Bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học môn toán ở trường trung học phổ thông






!"#"$
%# &
'"()&
"$*%+,
-./012



!"#"$
%# &
'"()&
3445467894:5;<=4;>;?@4ABCDEF4G>4
HIJ6K/120111
"$*%+,
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1L%L%LMN
/L%L"#ON"$
-./012
 
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố
trong bất kỳ công trình nào khác.
>P?@894>4
Thái Thị Hồng Lam

(Q8QP16(*"RS,*TLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL1KU

Trang
 V*W"$
?XY ?XZ[Z\
ĐBH : Đặc biệt hóa
ĐC : Đối chứng
GV : Giáo viên
HTH : Hệ thống hóa
HĐ : Hoạt động
HS : Học sinh
KQH
NL
: Khái quát hóa
: Năng lực
NXB : Nhà xuất bản
PPDH : Phương pháp dạy học
SGK : Sách giáo khoa
SGV : Sách giáo viên
TT : Thành tố
TN : Thực nghiệm
Tr : Trang
THCS : Trung học cơ sở
THPT : Trung học phổ thông
TDPP : Tư duy phê phán
TDST : Tư duy sáng tạo
TDTN : Tư duy thuận nghịch
']"
1LS^
1L1L Để thực hiện thành công Chiến lược phát triển giáo dục Việt Nam 2011-
2020, Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04 tháng 11 năm 2013 của Hội nghị lần thứ VIII
Ban chấp hành Trung ương Đảng khóa XI đã thông qua Đề án “Đổi mới căn bản, toàn

diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều
kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế” [4]. Trong
Chương trình hành động của ngành Giáo dục, có những nội dung triển khai các dự
án, đề án về đổi mới phương pháp dạy học, hướng dẫn và thu hút nhiều học sinh
Trung học phổ thông nghiên cứu khoa học kỹ thuật, tổ chức nhiều “sân chơi” trí tuệ cho
học sinh.
Như vậy, đổi mới giáo dục nói chung và đổi mới phương pháp dạy học môn
Toán nói riêng đang trở thành một yêu cầu bức thiết của giáo dục phổ thông nước ta,
nhằm tạo ra nguồn lực phục vụ sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa nước nhà.
Để đáp ứng được những yêu cầu trên, ở nhà trường dạy học các môn học
không chỉ đơn thuần là giúp cho học sinh có được một số kiến thức cụ thể nào đó.
Điều cơ bản hơn, quan trọng hơn là trong quá trình dạy học các tri thức cụ thể đó,
rèn luyện cho học sinh tiềm lực để khi ra trường họ có thể tiếp tục tự học tập, có khả
năng nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo giải quyết vấn đề, đáp ứng được những đòi hỏi đa
dạng của hoạt động thực tiễn không ngừng phát triển. Nói cách khác, hệ thống giáo
dục phải linh hoạt hơn, cần phải quan tâm hơn nữa đến việc dạy cách học, cách tư
duy, tạo điều kiện cho học sinh có phương pháp tư duy tốt để các em có thể tiếp tục
tự học suốt đời.
1L/LGiáo sư Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: “ Làm khoa học gì cũng đụng
chạm đến kiến thức, tư duy và tính cách con người một cách sâu đậm. Kiến thức, tư
duy, tính cách con người chính là mục tiêu giáo dục” [101, tr.7]. Tuy nhiên, thực
tiễn dạy học cho thấy vẫn còn không ít giáo viên chưa quan tâm thích đáng đến việc
phát triển tư duy cho học sinh. Chẳng hạn như “ Cách dạy phổ biến hiện nay là
thầy đưa ra kiến thức (khái niệm, định lý) rồi giải thích, chứng minh, trò cố gắng
tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định lý, cố gắng tập vận dụng các công thức,
các định lý để tính toán, để chứng minh ” [102, tr.4], hoặc “Dạy toán ở trường phổ
thông còn nhiều điều chưa ổn”[106, tr.38].
Nhu cầu đào tạo nguồn nhân lực phục vụ cho công cuộc công nghiệp hóa,
hiện đại hóa đất nước đòi hỏi phải nâng cao chất lượng dạy học. “Việc giải quyết
triệt để các vấn đề dạy học của nhà trường hiện đại, đòi hỏi phải thay đổi kiểu tư

duy, được thiết kế bằng nội dung và phương pháp dạy học các môn học” [20, tr.6].
1L_LTính thuận nghịch của tư duy được nhắc đến trong các công trình nghiên
cứu của M. N. Sacđacôp [90], J. Piaget [20], Trong công trình nghiên cứu “Tâm
lý năng lực toán học của học sinh” [13]của Viện sĩ V. A. Cruchetxki xuất hiện
6
cụm từ: Tính thuận nghịch của quá trình tư duy trong lập luận Toán học (khả năng
chuyển nhanh chóng và dễ dàng từ tư duy thuận sang tư duy đảo). Những mô tả ban
đầu của V. A. Cruchetxki về nghĩa của cụm từ này mặc dù chưa thật cụ thể và sâu
sắc bởi trọng tâm nghiên cứu của ông là về cấu trúc năng lực toán học. Nhưng, cách
dùng thuật ngữ đó cộng với những cảm nhận trực giác về một loại hình tư duy
không xa lạ trong Toán học và giáo dục Toán học, liên quan đến việc nhận thức,
xem xét sự vật và hiện tượng theo các chiều hướng ngược nhau, mà trong đó mức
độ khó, dễ giữa chúng cũng không giống nhau, tựa hồ như những hành động phổ
biến diễn ra trong cuộc sống hàng ngày: đi tiến và đi lùi, đi lên và đi xuống cầu
thang, Tất cả những điều trên đã cho chúng ta gợi ý: Phải chăng chúng ta có thể
nghiên cứu về một loại hình tư duy có tên gọi tư duy thuận nghịch?
Đến nay, đã có nhiều công trình nghiên cứu trong và ngoài nước đề cập đến
các loại hình tư duy trong giảng dạy Toán học. Chẳng hạn: tư duy lôgic [41], [98], tư
duy biện chứng [43], [118], [119], tư duy sáng tạo [61], [97], tư duy phê phán [3],
[63], [110], tư duy thuật toán [65], [69], tư duy hàm [51], [75], tư duy thống kê [12],
[42], Tuy nhiên, chưa có công trình nào nghiên cứu một cách đầy đủ, có hệ thống
về tư duy thuận nghịch. Bởi vậy, nội hàm của khái niệm này xem như vẫn còn mới.
Chúng ta có thể đặt vấn đề nghiên cứu làm sáng tỏ nội hàm của nó cũng như minh
chứng khả năng cần và có thể bồi dưỡng loại hình tư duy này trong dạy học toán ở
các lớp bậc Trung học phổ thông.
1L2LTrong thực tiễn dạy học Toán ở trường phổ thông, thường xuyên bắt gặp
những tình huống biểu thị mối liên hệ hai chiều mà ta tạm xem một chiều là thuận
và một chiều là ngược. Chẳng hạn như các hoạt động tư duy phân tích và tổng hợp,
khái quát hóa và đặc biệt hóa, suy ngược và suy xuôi, nhận dạng và thể hiện, lật
ngược vấn đề, Tuy nhiên, những tình huống này chưa thể hiện đầy đủ mọi khía

cạnh của tư duy thuận nghịch, mà chỉ thể hiện một phần nào đó của tư duy thuận
nghịch. Những tình huống đó là phổ biến, nhưng không phải là dễ dàng thực hiện
đối với học sinh.
Thực tiễn dạy học cũng cho thấy, trong quá trình dạy học, giáo viên chưa
quan tâm nhiều đến mối liên hệ hai chiều này. Một số giáo viên đã có tìm hiểu, khai
thác mối liên hệ này trong dạy học, nhưng chưa thành hệ thống và thường xuyên.
Hầu hết chỉ khi nào trong nội dung dạy học có chứa đựng tường minh mối liên hệ
7
đó thì giáo viên mới đặt vấn đề xem xét, chẳng hạn khi trong sách giáo khoa yêu
cầu xét định lý đảo, điều kiện cần và đủ,
Từ những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của Luận án là:
“Bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường
Trung học phổ thông”.
/L `Ta"
Mục đích của luận án là nghiên cứu để xác định nội hàm của khái niệm tư
duy thuận nghịch trong môn Toán trên cơ sở nêu lên và làm sáng tỏ các thành tố của
năng lực tư duy thuận nghịch của học sinh, chứng minh sự cần thiết và có thể bồi
dưỡng loại hình tư duy này cho học sinh trong quá trình dạy học môn Toán ở các
lớp bậc Trung học phổ thông bằng việc xây dựng các biện pháp phù hợp.
_L- Ta"
Để đạt được mục đích nghiên cứu trên, đề tài có nhiệm vụ:
_L1LTổng hợp những cơ sở lý luận và thực tiễn về tư duy, tư duy toán học và
việc phát triển tư duy toán học cho học sinh.
_L/L Làm sáng tỏ khái niệm tư duy thuận nghịch của học sinh trong môn Toán ở
các lớp bậc Trung học phổ thông thông qua việc xác định các thành tố của năng lực tư
duy thuận nghịch của học sinh.
_L_LĐề xuất một số biện pháp sư phạm góp phần bồi dưỡng tư duy thuận
nghịch cho học sinh Trung học phổ thông trong dạy học môn Toán.
_L2LTổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của
các biện pháp đã đề xuất.

2Lb"#*,
Nếu xây dựng được một số biện pháp sư phạm hợp lý, khả thi, có cơ sở khoa
học xác đáng thì có thể bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh, góp phần vào
việc nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông.
UL(c((Ta"
UL1LPhương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu trong và ngoài
nước về các vấn đề có liên quan đến đề tài.
UL/LPhương pháp điều tra quan sát: Dự giờ, quan sát và lập phiếu điều tra
thực trạng về việc phát triển tư duy nói chung, tư duy thuận nghịch nói riêng trong
dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông.
8
UL_LPhương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để
đánh giá tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất.
KLdd(e"$
KL1LfEg87894
6.1.1.Xác định được nội hàm của khái niệm tư duy thuận nghịch của học
sinh trong môn Toán ở các lớp bậc Trung học phổ thông thông qua việc làm rõ các
thành tố của năng lực tư duy thuận nghịch của học sinh.
6.1.2.Làm sáng tỏ tầm quan trọng, ý nghĩa của tư duy thuận nghịch trong
dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông và trong thực tiễn.
KL/LfEghP?i4
6.2.1. Đề xuất những biện pháp sư phạm có tính khả thi và hiệu quả góp
phần phát triển tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học môn Toán.
6.2.2. Có thể sử dụng Luận án để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán
nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ
thông.
jLk"$l b-
jL1L Thiết lập những căn cứ đưa ra một cách quan niệm về tư duy thuận nghịch.
jL/LMột số thành tố của năng lực tư duy thuận nghịch của học sinh trong
môn Toán và các mức độ biểu hiện năng lực tư duy thuận nghịch trong toán học.

jL_LMột số định hướng cơ bản và các biện pháp sư phạm đã đề xuất góp
phần bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường
Trung học phổ thông.
mLn"oe"$
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, danh mục các Tài liệu tham khảo, nội dung
Luận án được trình bày trong 3 chương:
<=416c%'S"$pO
1.1. Một số vấn đề chung về tư duy.
1.2. Tư duy toán học.
1.3. Tư duy thuận nghịch.
1.4. Mối quan hệ của tư duy thuận nghịch với một số loại hình tư duy.
1.5. Vai trò của tư duy thuận nghịch.
1.6. Đặc điểm tâm lý của học sinh Trung học phổ thông.
1.7. Thực trạng về việc bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh trong
9
dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông.
Kết luận Chương 1.
<=4/6 DIJC?q4;>;r;;[4Cs?A<t4<A944uP
PGvPI?4w4vP;xF4wG4ABvPEF4G>4
2.1. Định hướng xây dựng và thực hiện biện pháp.
2.2. Một số biện pháp góp phần bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh
trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông.
Kết luận Chương 2.
<=4_6hP4?qEI<;BE
3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm.
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm sư phạm.
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm.
,X894
<=41

c%'S"$pO
1L1L DIJ:y4ZfP4:f<A
1L1L1L ,>?4?qE:f<A
Trong thực tiễn cuộc sống, có rất nhiều cái mà ta chưa biết, chưa hiểu. Để
làm chủ được thực tiễn, con người cần phải hiểu thấu đáo những cái chưa biết đó,
10
phải vạch ra cái bản chất, mối quan hệ, liên hệ có tính quy luật của chúng. Quá trình
đó gọi là tư duy.
Có thể chỉ ra một số cách định nghĩa khác về tư duy, chẳng hạn: “Tư duy là
quá trình tâm lý nhờ đó mà con người phản ánh được các đối tượng và các hiện
tượng của hiện thực qua những dấu hiệu căn bản của chúng, con người vạch ra được
những mối liên hệ khác nhau trong mỗi đối tượng và hiện tượng và giữa các đối
tượng, hiện tượng với nhau” [37, tr.94]. Hoặc: “Tư duy là sự khôi phục trong ý nghĩ
của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu
cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể” [20, tr.246].
Mặc dù có nhiều định nghĩa, cách diễn đạt khác nhau về tư duy, nhưng có
thể nhận thấy: Tư duy là quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất,
những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật và hiện tượng
trong hiện thực khách quan. Đó là một quá trình tâm lý đặc biệt chỉ có ở người.
1L1L/LgPZ?zEP\{<A
Trong [1], [14], [20], [29], [30], [107], [108], nhiều nhà tâm lý học đã chỉ ra
một số đặc điểm của tư duy là:
* Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp những hoàn cảnh có vấn đề;
* Tư duy có tính gián tiếp;
* Tư duy có tính trừu tượng và tính khái quát;
* Tư duy có mối quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: Tư duy và ngôn ngữ có mối
quan hệ chặt chẽ với nhau, không tách rời nhau nhưng cũng không đồng nhất với
nhau. Ngôn ngữ không phải là tư duy, ngôn ngữ là vỏ vật chất của tư duy, là phương
tiện của tư duy.
* Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: tư duy thường bắt

đầu từ nhận thức cảm tính, trên cơ sở nhận thức cảm tính mà nảy sinh “tình huống
có vấn đề”. Dù tư duy có khái quát và trừu tượng đến đâu thì nội dung của tư duy vẫn
chứa đựng những thành phần cảm tính (cảm giác, tri giác, hình tượng trực quan, ).
X. L. Rubinstêin đã khẳng định rằng: “Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong tư
duy trừu tượng, tựa hồ như làm thành chỗ dựa cho tư duy” [108].
* Tư duy là một quá trình: Tư duy là hoạt động trí tuệ với một quá trình bao
gồm bốn bước cơ bản sau:
+ Xác định vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy.
+ Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thuyết.
11
+ Xác minh tính đúng sai của giả thuyết. Nếu giả thuyết đúng thì qua bước
sau, nếu sai thì phủ định nó và hình thành giả thuyết mới.
+ Đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng [29], [30], [78], [107].
Quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành những thao tác trí
tuệ nhất định. Có rất nhiều thao tác trí tuệ tham gia vào một quá trình tư duy cụ thể
với tư cách một hành động trí tuệ: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái
quát hóa,
1L1L_LfIh;|48GB?<A
Có nhiều loại hình tư duy đã được nhiều tác giả trong và ngoài nước nghiên
cứu như tư duy lôgic, tư duy trừu tượng, tư duy sáng tạo, tư duy lý luận, Về bản
chất, tư duy chỉ có một, đó là sự hình thành mới hoặc tái tạo lại các liên kết giữa các
phần tử ghi nhớ. Sự phân chia ra các loại hình tư duy nhằm mục đích hiểu sâu và
vận dụng tốt tư duy trong hoạt động của hệ thần kinh.
Theo [89], [108], có ba loại tư duy: Tư duy trực quan, hành động; Tư duy
trực quan hình tượng; Tư duy trừu tượng (tư duy ngôn ngữ, lôgic).
Theo A.V. Pêtrôvxki và L. B. Itenxơn, có bốn loại tư duy: tư duy hình tượng,
tư duy thực hành, tư duy khoa học, tư duy lôgic [74, tr.126-130].
J. Piaget thường nói đến 2 loại tư duy: tư duy cụ thể, tư duy hình thức.
Trong [20], V. V. Đavưđôv nói đến tư duy lý luận, tư duy kinh nghiệm.
Trong một số công trình của V. A. Cruchetxki đề cập đến: tư duy tích cực, tư

duy độc lập, tư duy sáng tạo, tư duy lý luận [15, tr.112-117].
Theo J. Guilford, có hai loại tư duy phân biệt, ngược với nhau: tư duy hội tụ
và tư duy phân kỳ [61].
Tác giả Nguyễn Văn Lộc trong [59] đã trình bày 5 cách xem xét về phương
diện tư duy: Xem xét về phương diện lịch sử hình thành và phát triển tư duy; xem
xét về phương diện lôgic hình thức và lôgic biện chứng; xem xét về phương diện
tính chất, kết quả của quá trình tư duy; xem xét về phương diện cấu trúc khác nhau
của hiện thực; xem xét về phương diện các dấu hiệu đặc thù của đối tượng tư duy.
Trong cuốn Phương pháp tư duy lôgic [96], tác giả Tiến Thành đề cập đến
rất nhiều loại hình tư duy, chẳng hạn: Tư duy động, tư duy tĩnh, tư duy ngược, tư
duy chiều dọc, tư duy chiều ngang, tư duy liên tưởng,
12
Trên đây là một số cách phân loại tư duy, qua đó có thể thấy rằng cách phân
loại tư duy là hết sức đa dạng và “Tùy theo nội dung và tính chất của những nhiệm
vụ cần giải quyết mà tư duy được phân thành các kiểu khác nhau” [40, tr.449].
1L1L2L}4Z?f~?q4•454P>P~?z<A~>P4{wG4ABvP
Theo A.V. Pêtrôvxki [74, tr.130], trong tình huống sư phạm đã cho, hình
thành được kiểu tư duy nào, điều đó phụ thuộc vào bốn nhân tố: tính chất của tài
liệu học tập; kiểu bài toán; lứa tuổi và trình độ của học sinh; phương thức dạy học.
Nhân tố thứ nhất – Tính chất của tài liệu: Hiểu tài liệu có nghĩa là xác định
được mối liên hệ giữa các sự vật và hiện tượng với nhau, cũng như với kinh nghiệm
và những tri thức đã có của học sinh. Từ đó, ông quan niệm: tư duy – có nghĩa là
vận dụng những mối liên hệ này để giải những bài toán xác định.
A.V. Pêtrôvxki [74] cho rằng: nếu tư duy là chân thực, tức nó phản ánh hiện
thực một cách đúng đắn, thì nó chỉ có thể dựa trên những mối liên hệ thực sự có
trong các tri thức xuất phát của nó. Vì thế, dựa theo tính chất về mối liên hệ mà tạo
khả năng triển khai loại hình tư duy, không phải trên mọi tài liệu đều có thể hình
thành bất kì kiểu tư duy nào. Vì vậy, ở trường phổ thông, tính chất khác nhau của
các môn học cũng như giữa các nội dung kiến thức trong một môn học, tạo khả
năng cho sự triển khai một kiểu tư duy xác định. Chẳng hạn, khi xem xét một định

lý toán học, chúng ta không chỉ quan tâm định lý thuận, mà còn quan tâm đến mệnh
đề đảo của định lý, nghĩa là xem xét định lý trong mối liên hệ hai chiều, tạo khả
năng cho kiểu tư duy xem xét sự vật hiện tượng theo hai chiều ngược nhau.
Nhân tố thứ hai - Tính chất của bài toán là nhân tố sản sinh ra sự cần thiết của
kiểu tư duy. Mỗi bài toánmuốn giải được đòi hỏi phải phát hiện và sử dụng những
mối liên hệ xác định của các dữ kiện xuất phát. Chẳng hạn, những bài toán về chứng
minh trong toán học đòi hỏi phải phát hiện và sử dụng những mối liên hệ lôgic của
các dữ kiện tất yếu, do đó tư duy lôgic là cần thiết, còn việc giải các phương trình
(chẳng hạn như
82
2
=+
xx
) thường chỉ đòi hỏi những biến đổi hợp qui tắc, vì thế tư
duy thực hành là cần thiết. Như vậy, bản thân bài toán buộc tư duy phải dựa trên kiểu
mối liên hệ này hay kiểu mối liên hệ kia trong các dữ kiện xuất phát và do đó nó cũng
quyết định kiểu tư duy nào được thực hiện khi giải bài toán đó. Hơn thế nữa, bằng
cách biến đổi tính chất của bài toán có thể bồi dưỡng cho các em những kiểu tư duy
khác nhau.
Ví dụ 1.1: a) So sánh 2
10
với 10
3
;
13
b) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để 2
n
> n
3
.

Với câu a) học sinh nghĩ ngay rằng: chỉ việc thực hiện phép tính 2
10
và so sánh
kết quả với 1000 - tư duy thực hành. Tuy nhiên, đối với câu b) đòi hỏi phải tìm tòi,
phải đi theo con đường ngược lại - từ dữ kiện của bài toán đến chỗ tìm tòi lời giải,
phải nghĩ đến quy nạp toán học, nghĩ đến khảo sát hàm số, khiến cho hoạt động trí
tuệ của các em có đặc điểm khác, nâng cao tính tích cực trí tuệ của học sinh.
Nhân tố thứ ba – lứa tuổi và trình độ phát triển của học sinh. Khó qui định
được các giới hạn của lứa tuổi. Như L. S. Vygotski đã chứng tỏ, những cấp độ và
những kiểu tư duy khác nhau có thể đồng thời tồn tại ở cùng một người tùy theo tri
thức và thực tiễn tư duy tương ứng của người đó trong lĩnh vực này hay lĩnh vực
khác. Tuy nhiên, nhìn chung rõ ràng là cùng với lứa tuổi, tư duy phát triển từ kiểu
hình tượng – thực hành sang kiểu tư duy khoa học và tư duy lý thuyết.
Ví dụ 1.2: Với ví dụ 1.1 ở trên, câu a) HS tiểu học cũng làm được, các em
phải thực hành tính toán 2
10
bằng 1024. Với câu b) HS lớp 10 chỉ có thể nghĩ đến
quy nạp toán học, với HS lớp 12 có thể nghĩ đến khảo sát hàm số, logarit hóa,
Nhân tố thứ tư – phương thức dạy học, phương thức xác định các mối quan
hệ mà tư duy vận dụng.
Như vậy, trong quá trình dạy học, giáo viên cần phải xem xét bốn nhân tố
trên một cách linh hoạt, để lựa chọn và có phương pháp bồi dưỡng loại hình tư duy
thích hợp một cách hiệu quả nhất, nhằm đạt được mục đích dạy học.
1L/L<AG>4vP
1L/L1L DIJ€{44?qE:f<AG>4vP
Theo Nguyễn Văn Lộc [59], tư duy toán học được hiểu: Thứ nhất là hình
thức biểu lộ của tư duy biện chứng trong quá trình con người nhận thức khoa học
Toán học hay trong quá trình áp dụng Toán học vào các khoa học khác như kĩ thuật,
kinh tế quốc dân, Thứ hai, tư duy toán học có các tính chất đặc thù được quy định
bởi bản chất của khoa học toán học, bởi sự áp dụng các phương pháp toán học để

nhận thức các hiện tượng của thế giới hiện thực, cũng như bởi chính các phương
thức chung của tư duy mà nó sử dụng.
Nội dung của tư duy toán học là những tư tưởng phản ánh hình dạng không
gian và những quan hệ số lượng của thế giới hiện thực [59, tr.16-17].
Về đặc điểm của tư duy toán học, A. M. Phriđman viết: “Tư duy toán học là
tư duy lý thuyết trừu tượng cao nhất, các đối tượng của nó có thể được hình thức
14
hóa vứt bỏ tất cả các tính vật chất và chỉ giữ lại những quan hệ đã cho giữa chúng”
(dẫn theo [12, tr.13]).
Giáo dục Toán học cho HS là một quá trình phức tạp, nhằm đạt các mục tiêu [115]:
- Truyền thụ cho HS một hệ thống nhất định những kiến thức cơ bản của
Toán học.
- Rèn luyện cho HS những kỹ năng, kỹ xảo Toán học.
- Phát triển tư duy toán học cho HS.
“Tư duy toán học không chỉ là thành phần quan trọng trong quá trình hoạt
động toán học của HS, nó còn là thành phần mà, nếu thiếu sự phát triển một cách có
phương hướng thì không thể đạt hiệu quả trong việc truyền thụ cho HS hệ thống các
kiến thức và kỹ năng toán học” (dẫn theo [98, tr.13]).
Đến nay, đã có nhiều tài liệu đề cập (theo các mức độ khác nhau) đến các
khía cạnh xung quanh vấn đề về tư duy toán học: [12], [41], [42], [43], [61], [63],
[65], [68], [75], [97], [98], [113], [119],
1L/L/L DIJ€{4Z?zE:f4}454;[4P\{<AG>4vP:5
4•48hPG>4vP
Để hỗ trợ cho việc xác định các thành tố cơ bản của tư duy thuận nghịch trong
môn Toán, chúng tôi đã tham khảo một số quan điểm về những thành phần của tư
duy toán học. Nhiều nhóm tác giả đưa ra các quan điểm khác nhau về vấn đề này.
- Trong cuốn sách Phương pháp giảng dạy Toán ở trường phổ thông của
nhóm tác giả: Iu. M. Kôliagin, V. A. Ôganhexian, V. Ia. Xannhixki và G. L.
Lucankin (cuốn sách này được ấn hành lần đầu tiên vào năm 1975 [118] và được tái
bản lần thứ nhất vào năm 1980 [119]), các tác giả đã trình bày rất cụ thể về những

thành phần của tư duy toán học.
Trước khi nêu ra các thành phần của tư duy toán học, tác giả lý giải: “Tư duy
toán học có những nét, những đặc điểm đặc trưng của mình, mà những đặc điểm
này được quy định bởi tính đặc thù của các đối tượng nghiên cứu và được quy định
bởi tính đặc thù của các phương pháp nghiên cứu” [118].
Về cấu trúc tư duy toán học, theo [118, tr.136-151], các thành phần chủ yếu
của tư duy toán học gồm: Tư duy cụ thể; Tư duy trừu tượng; Tư duy trực giác; Tư
duy hàm; Tư duy biện chứng; Tư duy sáng tạo; Các phong cách toán học của tư duy.
Trong đó, tư duy trừu tượng có thể được tách thành: Tư duy phân tích; Tư
duy lôgic; Tư duy lược đồ không gian.
15
Tuy nhiên, cũng là nhóm tác giả này, trong [119, tr.116] các tác giả chỉ trình
bày các thành phần của tư duy là: Tư duy cụ thể; Tư duy trừu tượng; Tư duy trực
giác; Tư duy hàm.
Khi đề cập đến các loại hình tư duy, các tác giả đều mô tả tương đối cụ thể
bằng cách chỉ ra những đặc trưng của loại hình tư duy ấy.
- Trong các bài báo của Viện sĩ B. V. Gơnhedencô viết về giáo dục toán học
(ở trường phổ thông), không thấy Ông nói đến những thành phần của tư duy toán
học hay cấu trúc của năng lực toán học, mà chỉ thấy Ông sử dụng cụm từ những yêu
cầu đối với tư duy toán học của học sinh. Những yêu cầu đó là: Năng lực nhìn thấy
sự không rõ ràng của quá trình suy luận, thấy được sự thiếu sót của những điều cần
thiết trong chứng minh; Sự cô đọng; Sự chính xác của các ký hiệu; Phân chia rõ
ràng tiến trình suy luận; Thói quen lý lẽ đầy đủ về lôgic (dẫn theo [98, tr.15]).
- Nhà toán học nổi tiếng A. Ia. Khinsin, A. I. Marcusêvich, cũng không nói
rõ ràng tư duy toán học; năng lực toán học bao gồm những thành phần nào mà có
cách sử dụng khác về thuật ngữ.
Theo A. Ia. Khinsin, những nét độc đáo của tư duy toán học là: Suy luận
theo sơ đồ lôgic chiếm ưu thế; Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất dẫn đến
mục đích; Phân chia rành mạch các bước suy luận; Sử dụng chính xác các ký hiệu
(mỗi ký hiệu toán học có một ý nghĩa xác định chặt chẽ); Tính có căn cứ đầy đủ của

lập luận [37, tr.127].
Theo A. I. Marcusêvich‚những kỹ năng cần phải bồi dưỡng cho học sinh
trong dạy học toán là: Kỹ năng loại bỏ những chi tiết không căn bản để chỉ giữ lại
những cái bản chất của vấn đề, chẳng hạn kỹ năng trừu tượng hóa; Kỹ năng rút ra
hệ quả lôgic từ những tiền đề đã cho; Kỹ năng phân tích một vấn đề thành những
trường hợp riêng, phân biệt khi nào đã bao quát được mọi khả năng, khi nào chỉ là
ví dụ chưa bao quát hết mọi khả năng; Kỹ năng khái quát hóa các kết quả nhận
được và đặt ra những vấn đề mới ở dạng khái quát; Kỹ năng xây dựng sơ đồ của
hiện tượng, sao cho, trong đó chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết cho việc giải thích
vấn đề về mặt Toán học; Kỹ năng vận dụng các kết luận được rút ra từ các suy luận,
biết đối chiếu các kết quả đó với các vấn đề đã dự kiến, kỹ năng đánh giá ảnh
hưởng của việc thay đổi các điều kiện đến độ tin cậy của các kết quả [61].
- Theo quan điểm của V. A. Cruchetxki, ông chỉ ra cấu trúc NL toán học của
HS bao gồm các thành phần sau:
Thu nhận những thông tin toán học: NL tri giác hình thức hóa tài liệu toán
16
học, NL nắm được cấu trúc hình thức của bài toán.
Chế biến thông tin toán học, đó là: NL tư duy lôgic trong lĩnh vực các quan
hệ số lượng và các quan hệ không gian, các kí hiệu dấu, các kí hiệu số, NL suy nghĩ
với các kí hiệu toán học; NL khái quát nhanh chóng và rộng rãi các đối tượng, quan
hệ, các phép toán của toán học; NL rút ngắn quá trình suy luận toán học và hệ thống
các phép toán tương ứng, NL suy nghĩ với những cấu trúc được rút gọn; Tính mềm
dẻo của quá trình tư duy trong hoạt động toán học; Khuynh hướng vươn tới sự rõ
ràng, sự đơn giản, tính tiết kiệm và tính hợp lý của lời giải; NL thay đổi nhanh
chóng, dễ dàng hướng suy nghĩ, dạng tư duy thuận chuyển qua tư duy ngược.
Lưu trữ thông tin toán học, đó là trí nhớ toán học tức là trí nhớ khái quát về
các quan hệ toán học, về các đặc điểm điển hình, về các sơ đồ suy luận và chứng
minh, về các phương pháp giải toán, nguyên tắc, đường lối giải toán.
Thành phần tổng hợp chung là khuynh hướng toán học của trí tuệ [13,
tr.167-168]; [37, tr.129-130].

- Theo A. N. Kôlmôgôrôv, trong thành phần của NL toán học có: NL biến đổi
khéo léo những biểu thức chữ phức tạp, NL tìm các con đường giải các phương trình
không theo quy tắc chuẩn, NL tính toán; Trí tưởng tượng hình học hay “trực giác
hình học”; Nghệ thuật suy luận lôgic theo các bước được phân chia một cách đúng
đắn. Đặc biệt, có kỹ năng vận dụng đúng đắn nguyên lý quy nạp toán học[37,
tr.129].
Bên cạnh các tác giả nước ngoài, một số loại hình của tư duy toán học đã
được các tác giả Việt Nam nghiên cứu. Trong [37, tr.60-61], các tác giả cho rằng:
“Để nhận thức mặt nội dung của hiện thực cần tư duy biện chứng, để nhận thức mặt
hình thức của hiện thực cần tư duy lôgic, nên tư duy toán học cũng phải là sự thống
nhất biện chứng giữa tư duy lôgic và tư duy biện chứng”.
Những đặc trưng của tư duy hàm và bốn tư tưởng chủ đạo để phát triển tư
duy hàm đã được tác giả Nguyễn Bá Kim trình bày trong [51, tr.122- 149]. Theo đó,
tư duy hàm được đặc trưng bởi các hoạt động: Phát hiện hoặc thiết lập những sự
tương ứng; Nghiên cứu những sự tương ứng; Lợi dụng những sự tương ứng.
Trong [54, tr.201- 202], [65, tr.28], các tác giả đã chỉ rõ những thành phần
của tư duy thuật toán (thuật giải). Trong [65] đã đề xuất một số hướng có thể thực
hiện để phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong dạy học môn Toán.
ƒ{:?qP{E~@GP>P€{4Z?zEP\{P>P>P?@:f<AG>4vP:5
4•48hPG>4vP‚{w„w{EDIJ494…†I{6
17
* Dù phân loại theo tiêu chí nào thì các loại hình tư duy thường có sự giao
thoa nhau. Tuy nhiên, sự phân chia một cách tương đối vẫn rất cần thiết: “Sự phân
chia diễn ra ở trên cho một quá trình phức tạp như tư duy toán học, bằng cách xét
các thành phần riêng rẽ của nó, chẳng qua là do muốn nghiên cứu các biểu hiện
riêng biệt của tư duy trong quá trình giảng dạy Toán mà thôi. Chỉ có như vậy người
giáo viên mới có điều kiện thúc đẩy sự phát triển nếu không được toàn diện thì cũng
là sự phát triển từng phần tư duy toán học cho học sinh” (dẫn theo [98, tr.20]).
Chính vì lẽ đó, trong mục 1.3.4 của luận án khi đưa ra những thành tố cơ
bản của tư duy thuận nghịch cũng không tránh khỏi sự giao thoa giữa các thành tố

với nhau.
* Khi so sánh tính hợp lý giữa các cách quan niệm về các loại hình tư duy
cần có quan điểm toàn diện. Có thể quan niệm này phù hợp hơn quan niệm kia nếu
xét ở khía cạnh học sinh Trung học phổ thông, nhưng không phù hợp bằng nếu xét
ở khía cạnh học sinh Trung học cơ sở. Tương tự như vậy nếu xét trên khía cạnh chất
liệu kiến thức (Đại số, Số học, Hình học, Giải tích).
Như vậy, để đánh giá đúng mức vai trò của một loại hình tư duy hay năng
lực, cũng như tìm kiếm các biện pháp phát triển chúng, không nên chỉ đơn thuần
dựa vào tên gọi một cách chung chung, mà trước hết phải có quan niệm cụ thể về
loại hình tư duy hoặc năng lực này. Hợp lý hơn cả là nên làm rõ những thành tố cơ
bản của nó.
1L_L<A944uP
1L_L1Lx4€{4•4•44?34P‡DP8ˆ4:hPP\{Zf5?
Việc nghiên cứu mối quan hệ hai chiều có tính thuận nghịch trong các hiện
tượng tự nhiên, xã hội và tư duy đã được một số tác giả trong và ngoài nước quan
tâm như sau:
'4G5?4<‰P6
*Theo Piaget [16], [71], [72], [78], [79], đối với trẻ em từ 7, 8 tuổi trở lên,
trong tư duy đã xuất hiện khả năng đảo ngược. Đó là khả năng thực hiện các thao
tác ngược nhau (thực ra hành động chỉ xảy ra một chiều, vì thời gian chỉ xảy ra một
chiều, nhưng tính đảo ngược có thể hiểu là trật tự ngược nhau của chuỗi thao tác hai
hành động). Chẳng hạn, ngay từ lớp 1, HS đã thực hiện thao tác 3 + 5 = 8 (trên cở sở
đã thành thục hành động “gộp” 3 với 5 thành 8), thì cũng thực hiện được thao tác
18
ngược lại là “tách” hay là phân tích 8 = 3 + 5. Theo J. Piaget, tính thuận nghịch thể
hiện khi “các thao tác và hành động có thể được triển khai về hai hướng và hiểu được
một trong hai hướng đó gợi ra sự hiểu biết hướng kia” [20, tr.275]. Ông đã đánh giá
cao về vai trò của tính thuận nghịch trong hoạt động nhận thức, điều này được thể
hiện trong nhận xét của Ph. Lêyven: đối với Piaget, tính thuận nghịch – đó là “con
ngươi” của nhận thức, được hình thành trong hệ thống, một tính chất mà trong quan

hệ với nó, tất cả các tính chất còn lại chỉ là dẫn xuất [20, tr.275].
* Tác giả V. A. Cruchetxki đã quan tâm đến tính thuận nghịch của quá trình
tư duy trong lập luận toán học [13, tr.107], được hiểu là việc làm thay đổi phương
hướng của quá trình tư duy theo nghĩa chuyển từ tư duy thuận (hướng tư duy từ A
đến B) sang tư duy đảo (hướng từ B đến A). Ông xem khả năng này là một thành
phần của năng lực toán học của HS và đã tiến hành thực nghiệm trên đối tượng HS
lớp 6, 7, 8 và chủ yếu tập trung vào việc xem xét, đánh giá sự suy nghĩ của HS
trong vấn đề nhận thức và giải quyết vấn đề liên quan đến hai chiều của một công
thức và các bài toán thuận nghịch. Ông đã rút ra kết luận rằng nét nổi bật của HS có
năng khiếu là khả năng chuyển một cách nhanh chóng và dễ dàng từ quá trình tư
duy thuận sang quá trình tư duy đảo, là tính thuận nghịch dễ dàng của quá trình lập
luận. Các liên hệ được hình thành ở các em có ngay đặc tính thuận nghịch. Ở các
HS trung bình và kém quá trình này hết sức khó khăn.
* Tác giả Edgar Morin cho rằng: “Tư duy, trong sự vận động/sáng tạo của
nó, là một dạng thức đối lôgic phức hợp của những hoạt động và những thao tác, sử
dụng những năng lực bổ sung/đối kháng của tinh thần/bộ não, và theo nghĩa đó, tư
duy là sử dụng đầy đủ đối lôgic về những năng lực suy nghĩ của tinh thần con
người” [66, tr.342]. Ông cho rằng, trong quá trình suy nghĩ, chúng ta gặp những
thành tố đối lôgic được tư duy đưa vào vận động, chẳng hạn như: phân tích – tổng
hợp; trừu tượng – cụ thể; diễn dịch – qui nạp; khách thể hóa – chủ thể hóa; và
những thành tố này cũng đưa tư duy vào vận động.
Như vậy, tư duy không ngừng liên kết trong bản thân nó, theo lối bổ sung
các quá trình đối kháng tiềm tàng có xu hướng loại bỏ nhau. Nó phải từ chối và
chiến đấu chống lại mâu thuẫn, nhưng đồng thời lại chịu đựng mâu thuẫn và tự nuôi
sống bằng mâu thuẫn. Theo nghĩa đó, tư duy là một vận động đối lôgic không
ngừng. Do đó, có những khiếm khuyết của tư duy khi xảy ra sự loại trừ một quá
trình bởi quá trình đối kháng. Chẳng hạn, sự phân tích một mình nó phá vỡ tổ chức
19
liên kết các yếu tố được phân tích, còn sự tổng hợp một mình nó che khuất tính hiện
thực của các thành tố, Mọi quá trình tư duy, nếu không được kiểm tra theo lối đối

lôgic, thì dẫn đến chỗ mù quáng hay tới hoang tưởng.
Tác giả Ia. I. Pêtrốp (dẫn theo [90, tr.114]) cũng có quan niệm: hoạt động tư
duy của HS diễn biến theo chiều thuận – nghịch.
* Trong công trình nghiên cứu về tư duy của HS của M. N. Sacđacôp có đề
cập đến tính thuận nghịch trong các mối liên hệ và quan hệ. Ông cho rằng, tính
thuận nghịch là một trong những đặc điểm về chất của các mối liên hệ và quan hệ
giữa các hiện tượng của hiện thực. Nó biểu hiện trong ảnh hưởng lẫn nhau có tính
chất động giữa các thành phần của một hiện tượng hoàn chỉnh. Ông cũng cho rằng
dòng ý nghĩ thuận và nghịch là đặc điểm vốn có của bản thân hoạt động tư duy.
* Các tác giả Tsukasa Hirashima và Megumi Kurayama quan tâm đến việc
dạy HS học tập bằng cách đặt bài toán cho những bài toán tư duy ngược. Các ông
đặc biệt quan tâm “đảo ngược suy nghĩ vấn đề”, và đã tiến hành thực nghiệm trong
một lớp học của HS lớp 1 ở một trường tiểu học, với môi trường học tập dựa trên
máy tính [116].
* Tác giả G. Polya đã đề cập đến phép rút gọn thuận nghịch trong giải toán.
Ông quan niệm: “Việc chuyển bài toán ban đầu sang bài toán phụ sẽ gọi là phép rút
gọn thuận nghịch hoặc hai chiều, hoặc là tương đương nếu như bài toán phụ và bài
toán ban đầu là tương đương nhau” [80, tr.66].
'wG44<‰P6
* Tác giả Nguyễn Bá Kim đã quan tâm đến khả năng đảo ngược quá trình tư
duy, lấy đích của một quá trình đã biết làm điểm xuất phát cho quá trình mới, còn
điểm xuất phát của quá trình đã biết lại trở thành đích của quá trình mới. Ông xem
đó là một thể hiện của tính linh hoạt của tư duy [56]. Các tác giả Nguyễn Bá Kim,
Vũ Dương Thụy, Hoàng Chúng đều cho rằng, trong dạy học, cần chú ý rèn luyện
cho học sinh kĩ năng biến đổi xuôi chiều và ngược một cách song song với nhau
nhằm giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược diễn ra đồng thời với việc hình
thành liên tưởng thuận [11], [54].
* Trên cơ sở nghiên cứu Lý thuyết phát sinh nhận thức của J. Piaget, Phan
Trọng Ngọ [72] cho rằng: thao tác thực chất là hành động vật chất bên ngoài được
chuyển vào trong và cải biến ở trong đó; tính đảo ngược của thao tác là do hai hành

động thực tiễn ngược nhau tạo thành. Từ đó, để có thao tác trong đầu, trẻ em phải
20
bắt đầu từ hành động ở bên ngoài và khi tiến hành hành động ở bên ngoài cần triển
khai hành động ngược ngay sau khi có hành động xuôi. Đây chính là bí quyết trong
việc hình thành thao tác học cho HS.
Vì vậy, trong giáo dục, nói chung cần thực hiện theo nguyên tắc: hai việc
làm (thao tác) ngược nhau phải được tiến hành liền nhau (coi như đồng thời).
Chẳng hạn, thao tác trừ đi liền thao tác cộng; thao tác chia đi liền thao tác nhân; thao
tác “tháo” vần ra thành nguyên âm và phụ âm phải đi liền thao tác “lắp” nguyên âm
vào phụ âm để được lại vần; Cho hàm số y = f(x), thao tác tìm y khi biết x đi liền với
thao tác tìm x khi biết y,
* Tác giả Tôn Thân [97] quan tâm đến việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho
HS thông qua việc giải các bài toán thuận nghịch và lập bài toán đảo.
Như vậy, nhìn chung đã có nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm
nghiên cứu mối quan hệ có tính thuận nghịch trong tư duy theo những quan niệm,
đối tượng cụ thể khác nhau. Tuy nhiên, chưa có tác giả hay nhóm tác giả nào nghiên
cứu có hệ thống, đầy đủ về một loại hình tư duy mang tên là tư duy thuận nghịch và
đề xuất các biện pháp sư phạm để khai thác tiềm năng của môn Toán nhằm hiện
thực hóa việc bồi dưỡng loại hình tư duy này cho HS.
1L_L/L}4P•4P‡AŠ4ZX4EDP>P€{44?qE:f<A94
4uP:5…>PZu4P>P54JP\{4•48hPwG4G>4vP
1.3.2.1. Căn cứ vào mối liên hệ phổ biến
Theo quan điểm triết học Mác-Lênin [28], các sự vật, các hiện tượng và các
quá trình trong thế giới đều tồn tại trong những mối liên hệ, quan hệ, trong sự tác
động qua lại, chuyển hóa lẫn nhau với sự vật, hiện tượng khác, cũng như giữa các
mặt của một sự vật, của một hiện tượng. Do đó, khi nhận thức về sự vật, hiện tượng
chúng ta phải có quan điểm toàn diện, xem xét theo nhiều chiều, nhiều phương
diện, theo các góc cạnh khác nhau, tránh quan điểm phiến diện chỉ xét sự vật, hiện
tượng ở một mối liên hệ, hay chỉ một mặt, đã vội vàng kết luận về bản chất hay tính
quy luật của chúng. Chẳng hạn, mỗi bài toán cần được xem xét trong mối liên hệ

với các bài toán khác như bài toán ngược, bài toán đặc biệt, bài toán khái quát, bài
toán tương tự, Đồng thời, ngay trong mỗi bài toán cũng cần xem xét mối quan hệ
giữa giả thiết và kết luận của nó.
Tất cả các sự vật, hiện tượng trên thế giới đều có tính hai mặt của nó. Hai
mặt của một vấn đề vừa có tính thống nhất, vừa mâu thuẫn, sẽ không có mặt này
21
nếu không có mặt kia, sẽ không có cái toàn bộ nếu không có mối liên hệ giữa hai
mặt đó. Chẳng hạn, phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhau
nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất.
Vì vậy, trong khi xem xét, đánh giá một sự vật, hiện tượng, chúng ta không
chỉ xem xét theo lối suy nghĩ hoặc thói quen thường làm, mà hãy nhìn nhận vấn đề
theo cả chiều ngược lại. Bởi vì, việc xem xét mặt kia của vấn đề sẽ tăng tính bao
quát, toàn diện, đầy đủ, có thể giúp chúng ta linh hoạt trong suy nghĩ, trong cách
giải quyết vấn đề. Sự đảo ngược sẽ phá vỡ lối tư duy thông thường của chúng ta,
khắc phục sức ì tâm lý và kích thích lối tư duy mới. Theo tác giả Đào Văn Trung,
nghĩ ngược có thể giúp chúng ta mở ra bầu trời mới [104]. Việc tư duy theo hai
chiều ngược nhau sẽ góp phần khắc phục khó khăn, hạn chế sai lầm của lối tư duy
một chiều. Chẳng hạn, trong hoạt động chứng minh, nếu chứng minh trực tiếp mệnh
đề gặp khó khăn thì người giải toán phải linh hoạt chuyển hướng suy nghĩ, có thể
nghĩ đến chứng minh gián tiếp bằng cách chứng minh mệnh đề phản đảo hoặc bác
bỏ phủ định của mệnh đề cần chứng minh.
1.3.2.2. Căn cứ vào kết quả nghiên cứu về tính thuận nghịch của tư duy
Dựa vào một số kết quả nghiên cứu của J. Piaget, V. A. Cruchetxki, Edgar
Morin, M. N. Sacđacôp, Phan Trọng Ngọ, Nguyễn Bá Kim, … về tính thuận nghịch
của tư duy trong mục 1.3.1, có thể nhận thấy tính thuận nghịch của tư duy được đặc
trưng bởi khả năng của trí tuệ vận động theo cả chiều thuận và nghịch và tư duy
trong sự vận động là một dạng thức đối lôgic phức hợp của những hoạt động và
những thao tác. Đó là những đặc tính quan trọng của tư duy, có vai trò quan trọng
trong hoạt động nhận thức và có thể bồi dưỡng được trên cơ sở thực hiện các hành
động có chiều hướng ngược nhau. Vì vậy, trong dạy học GV cần quan tâm tập

luyện cho HS các hoạt động tư duy, cách suy nghĩ ngược nhau nhưng hỗ trợ lẫn
nhau và vận dụng linh hoạt mối liên hệ, quan hệ đó nhằm nâng cao hiệu quả dạy
học.
1.3.2.3. Căn cứ vào nghĩa của các từ và cụm từ “thuận nghịch” trong tiếng Việt
Trong Từ điển tiếng Việt, chưa thấy sự giải thích về nghĩa của cụm từ tư duy
thuận nghịch. Tuy nhiên, sự xuất hiện của mỗi từ hoặc cụm từ ít nhiều đều có cái lí
của nó. Trong quan hệ đặt tên cho các đối tượng có ba khái niệm khác nhau tham
gia vào đó là: “tên gọi”, “ý nghĩa của tên gọi”, “ý đồ của tên gọi” [22]. Người ta nói
rằng: tên gọi gợi ra ý nghĩa và phản ánh ý tưởng của việc đặt tên cho đối tượng.
22
Cụm từ “thuận nghịch” gợi cho ta những tính chất, những mối liên hệ xuôi và
ngược với mức độ khó, dễ khác nhau, nhưng tương hỗ lẫn nhau.
1.3.2.4. Căn cứ vào những khó khăn, sai lầm phổ biến của HS khi giải toán,
đặc biệt là những khó khăn, sai lầm của HS trong quá trình xem xét, đánh giá, diễn
đạt, vận dụng, những khái niệm, định lý, lập luận toán học liên quan đến tình
huống theo chiều ngược lại
Ví dụ 1.3: Khi dạy về hàm số nghịch biến, đồng biến, có thể cho HS trả lời
câu hỏi: Giả sử
)(xf
là hàm đồng biến trên
);( ba
, có nhận xét gì về mối quan hệ
giữa hai số
21
, xx
khi biết hai số này thuộc
);( ba
và
)()(
21

xfxf =
?
Một số HS do không nắm vững khái niệm, không nắm vững các quy tắc suy
luận nhưng vẫn đi tới kết quả
21
xx =
. Rất có thể họ đã lập luận như sau: Nếu
21
xx =
thì
)()(
21
xfxf =
, mà
)()(
21
xfxf =
, nên
21
xx =
.
Thực ra, kết quả
21
xx =
là đúng nhưng suy luận thì không đúng. Những HS
này đã lầm tưởng rằng có quy tắc suy luận:
A
BBA ,⇒
.
Ví dụ 1.4: Một học sinh tính

322
5
=
. Cậu ấy hình dung ba số 2, 5, 32 liên hệ
bằng hai cách khác nhau:  = 2;  = 5. Việc xác lập mối liên hệ giữa các số đã cho
bằng cách áp dụng khái niệm khai căn (
232
5
=
) và tìm lôgarit (
532log
2
=
) đối với
cậu ta là khó. Việc làm trên chỉ có thể thực hiện được khi có sự thống nhất trong
nhận thức của cậu ta bằng mối quan hệ thuận nghịch với nhau.
1.3.2.5. Căn cứ vào đặc điểm môn Toán, đặc trưng của phương pháp toán
học, nội dung của môn Toán ở bậc THPT
* Đặc điểm của toán học được phản ánh vào đặc điểm của môn Toán trong
nhà trường phổ thông.
- Môn Toán vừa có tính cụ thể, vừa có tính trừu tượng cao độ (đây là hai mặt
đối lập): Đối tượng của môn Toán ban đầu là những số đếm, sau đó là những ẩn số,
là những hàm số Bởi vậy, trong dạy học môn Toán cần chú ý cả hai hoạt động cụ
thể hóa và trừu tượng hóa .
- Kết quả của Toán học vừa là kết quả của quá trình mò mẫm, dự đoán, vừa
là kết quả của quá trình suy luận lôgic (hai suy luận trái ngược: quy nạp và suy
diễn).
23
Sự thống nhất giữa quy nạp và suy diễn là một đặc điểm của tư duy toán học
[56, tr 38]. Phải chú ý cả hai phương diện đó mới có thể hướng dẫn HS học toán, mới

khai thác được đầy đủ tiềm năng môn Toán để thực hiện mục tiêu giáo dục toàn diện.
* Về mặt phương pháp, môn Toán được đặc trưng bởi sự kết hợp chặt chẽ
giữa cái cụ thể và cái trừu tượng, giữa phương pháp quy nạp và phương pháp suy
diễn và điều này được thể hiện ở tất cả các bậc học với yêu cầu tăng dần.
Xuất phát từ đặc điểm của môn Toán, trong quá trình dạy học toán phải lưu ý:
- Mỗi khái niệm toán học đều xuất phát từ việc khái quát hóa, trừu tượng hóa
nhiều thực tiễn trong thế giới khách quan (và cả trong toán học), cho nên để đi đến
khái niệm toán học, cần nêu rõ những thí dụ trong thực tiễn (hoặc trong toán học),
đồng thời sau khi đã có khái niệm trừu tượng của toán học rồi, cần vận dụng vào
nhiều tình huống cụ thể khác nhau. Nghĩa là cần khuyến khích và tạo điều kiện cho
học sinh thường xuyên tiến hành hai quá trình thuận nghịch nhưng liên hệ mật thiết
với nhau, đó là trừu tượng hóa và cụ thể hóa.
- Trước lúc đi vào suy diễn để chứng minh một định lý, cần cho HS quan sát, dự
đoán, mò mẫm, quy nạp (không hoàn toàn) những tính chất có thể có của thực tế khách
quan, để từ đó hình thành một phán đoán, sử dụng suy diễn để kiểm tra tính đúng đắn
của nó. Nghĩa là cần khuyến khích và tạo điều kiện để HS được tiến hành hai kiểu suy
luận ngược nhau nhưng tương hỗ lẫn nhau, đó là quy nạp và suy diễn.
* Trong môn Toán có nhiều đối tượng toán học chứa đựng tường minh hay
ẩn tàng mối quan hệ hai chiều. Chẳng hạn:
- Tính có thể đảo ngược của định nghĩa là một đặc tính quan trọng của định
nghĩa [104, tr.28]. Dù được phát biểu ở dạng nào, định nghĩa luôn là một điều kiện
cần và đủ. Nếu khi dạy định lý ta thường xuyên phải lưu ý để học sinh không nhầm
lẫn điều kiện cần với điều kiện đủ, thì khi dạy định nghĩa, lại cần làm cho họ hiểu
rằng, cách phát biểu của định nghĩa có cấu trúc lôgic theo kiểu điều kiện cần và đủ.
Nói cách khác, tất cả các định nghĩa đều có thể đảo ngược được.
- Mỗi đẳng thức toán học đều gồm hai vế được liên hệ với nhau bởi dấu
bằng: A = B. Nếu thay A bằng B ta gọi là chiều thuận thì thay B bằng A gọi là chiều
nghịch. Bởi vậy, trong dạy học môn Toán, GV cần phải lưu ý cho HS sử dụng theo
cả hai chiều. Hơn nữa, với mỗi chiều, có thể phải kèm theo một điều kiện nhất định.
24

Chẳng hạn, chỉ có thể thay
[ ]
)()( xgxfLim
ax
+
→
bằng
[ ] [ ]
)()( xgLimxfLim
axax →→
+
khi mà
[ ]
)(xfLim
ax→
tồn tại và
[ ]
)(lim xg
ax→
tồn tại. Xét thêm ví dụ:
Ví dụ 1.5: Khi tìm giới hạn
x
x
I
x
2
15
lim
2
+

=
−∞→
, có một số HS đã làm như sau:
x
x
I
x
2
15
lim
2
+
=
−∞→
=
x
x
x
x
x
2
15
lim
2
2
+
−∞→
=
2
1

5
lim
2
x
x
+
−∞→
=
2
5
Lời giải này sai, vì khi thay A bằng
2
A
phải có điều kiện
0≥A
. Ở đây, vì:
x → - ∞ nên x < 0 và lời giải đúng phải như sau:
x
x
I
x
2
15
lim
2
+
=
−∞→
=
x

x
x
x
x
2
15
lim
2
2
+
−
−∞→
=
2
1
5
lim
2
x
x
+
−
−∞→
=
2
5
−
Trong dạy học môn Toán, các đẳng thức thường được vận dụng theo một
chiều nhất định, còn chiều ngược lại ít gặp hơn và việc sử dụng nó thường phải
“tinh tường”hơn.

Ví dụ 1.6: Ta có công thức nhị thức Niu- tơn:
nn
n
kknk
n
n
n
n
n
n
n
n
bCbaCbaCbaCaCba ++++++=+
−−−
)(
222110
Với các dạng toán: Viết khai triển một nhị thức cho trước; tìm hệ số của
một số hạng thứ i trong khai triển, chỉ cần vận dụng công thức theo chiều từ trái
sang phải (chiều thuận), HS thường làm một cách thuận lợi. Tuy nhiên, với bài
toán cần sử dụng công thức theo chiều ngược, chẳng hạn bài toán: “Cho n là số
nguyên dương, tính tổng S =
n
n
nn
n
n
nn
CCCC 44 441
11221
+++++

−−
”, HS sẽ gặp khó
khăn hơn. HS phải biến đổi:
nnnn
n
n
n
n
nn
n
n
nn
n
n
nn
CCCC
CCCCS
5)41(4 4141
44 441
2221110
11221
=+=++++=
+++++=
−−
−−
Như vậy, việc dạy hoàn thành một công thức và ứng dụng nó theo chiều
thuận và chiều ngược lại sẽ làm cho sự hiểu biết của HS về công thức đó sâu sắc
hơn, toàn diện hơn, tránh được những khó khăn sai lầm trong khi vận dụng công
thức vào giải toán.
- Khi học định lý toán học, cấu trúc thông thường của định lý có dạng: A

⇒
B.
Trong cấu trúc đó thì A là giả thiết của định lý và cho chúng ta biết phạm vi sử dụng của
25