Sáng kiến kinh nghiệm Giải toán trên máy tính cầm tay

A- Đặt vấn đề
Với xu thế phát triển của xà hội nói chung và sự phát triển của khoa học nói
riêng, con ngời cần phải có một tri thức, một t duy nhạy bén để nắm bắt và sử dụng
những tri thức đó trong cuộc sống hàng ngày. Muốn có những tri thức đó con ngời cần
phải tự học, tự nghiên cứu tìm hiểu những kiến thức đó. Hơn nữa việc đổi mới phơng
pháp dạy học đòi hỏi ngời giáo viên cần phải tích cực nghiên cứu sử dụng đồ dùng dạy
học để đáp ứng nhu cầu dạy học hiện nay. Ngời giáo viên cần phải khai thác và sử
dụng đồ dùng một cách triệt để và có hiệu quả cao nhất. Đối với môn toán học thì đồ
dùng dạy học không phải là nhiều, nhng để sử dụng thành thạo đợc thì thật là khó.
Máy tính điện tử là một công cụ hỗ trợ đắc lực cho giáo viên và học sinh trong việc
giải toán. Nó giúp cho giáo viên và học sinh giải toán đợc nhanh hơn, tiết kiệm đợc
thời gian, nó giúp giáo viên và học sinh hình thành thuật toán, đồng thời góp phần
phát triển t duy cho học sinh. Có những dạng toán nếu không có máy tính điện tử thì
việc giải gặp rất nhiều khó khăn, có thể không thể giải đợc, hoặc không đủ thời gian
để giải.
Thi giải toán trên máy tính đà đợc tổ chức từ lâu, nhng đối với các trờng trong
huyện thì cuộc thi này mới đợc tổ chức hai năm gần đây, nó còn mới mẻ nên giáo viên
còn bỡ ngỡ, gặp nhiều khó khăn trong việc nghiên cứu và tìm tòi tài liệu. Chính vì vậy
mà nhiều giáo viên còn ngại khi đợc giao nhiệm vụ bồi dỡng đội tuyển học sinh giỏi
giải toán trên máy tính điện tử. Mặt khác các tài liệu để giáo viên tham khảo còn ít và
khó tìm kiếm. Trong khi đó nhu cầu học hỏi của học sinh ngày càng cao, các em thích
tìm hiểu ham học hỏi, khám phá những kiến thức mới lạ trên trên máy tính điện tử.
Còn về phía giáo viên lại không đợc đào tạo cơ bản về nội dung này. Hầu hết giáo viên
tự tìm hiểu, tự nghiên cứu các kiến thức về máy tính điện tử nên gặp rất nhiều khó
khăn trong việc bồi dỡng đội tuyển học sinh giỏi giải toán trên máy tính điện tử. Chính
vì vậy tôi đà chọn kinh nghiệm "Hình thành kỹ năng giải toán trên máy tính điện tử
Casio fx - 500 MS hc Casio fx - 570 MS đối với dạng toán dÃy số" để viết. Các
dạng bài tập áp dụng máy tính điện tử để giải thì rất nhiều, trong kinh nghiệm này tôi
chỉ chọn một mảng nhỏ đó là dạng toán về dÃy số để trao đổi cùng các bạn đồng
nghiệp. Rất mong đợc các bạn ®ång nghiƯp trao ®ỉi, ®ãng gãp ý kiÕn ®Ĩ kinh nghiệm
này hoàn thiện hơn và đợc áp dụng rộng rÃi hơn.

Tôi xin chân thành cám ơn!

1


B - Néi dung chÝnh
I - Mét sè kiÕn thøc về máy tính điện tử

Để đọc và hiểu kinh nghiệm này đối với giáo
viên phải biết sử dụng tơng đối thành thạo máy tính
Casio fx - 500 MS hoặc Casio fx - 570 MS. Giáo
viên có thể tìm hiểu chức năng của các phím trong
sách hớng dẫn đi kèm máy tính khi mua. Sau đây là
một số phím chức năng mà tôi sử dụng trong kinh
nghiệm này:
- Mỗi một phím có một số chức năng. Muốn
lấy chức năng của chữ ghi màu vàng thì phải ấn
phím SHIFT rồi ấn phím đó. Muốn lấy chức năng
của phím ghi chữ màu đỏ thì phải ấn phím ALPHA
trớc khi ấn phím đó.
- Các phÝm nhí: A B C D E F X Y M (chữ
màu đỏ)
- Để gán một giá trị nào đó vào một phím nhớ
đà nêu ở trên ta ấn nh sau:
Ví dụ: Gán số 5 vào phím nhớ B :
Bấm 5 SHIFT STO B
Khi gán một số mới và phím nhớ nào đó, thì số
Máy tính Casio fx - 570 MS
nhớ cũ trong phím đó bị mất đi và số nhớ mới đợc thay thế.
Chẳng hạn ấn tiếp: 14 SHIFT STO B thì số

nhớ cũ là 5 trong B bị đẩy ra, số nhớ trong B lúc
này là 14.
- Để lÊy sè nhí trong « nhí ra ta sư dơng phÝm
ALPHA

VÝ dơ: 34 SHIFT STO A (nhí sè 34 vµo phÝm A
BÊm 24 SHIFT STO C (nhí sè 24 vµo phÝm C
BÊm tiÕp: ALPHA A + ALPHA C = (M¸y lấy 34
trong A cộng với 24 trong C đợc kết quả là 58).
- Phím lặp lại một quy trình nào ®ã:
∆ = ®èi víi m¸y tÝnh Casio fx - 500 MS
SHIFT COPY đối với máy tính Casio fx -

570 MS.
- Ô nhớ tạm thời: Ans
Ví dụ: Bấm 8 = thì số 8 đợc gán vào trong ô
nhớ Ans . Bấm tiếp: 5 ì 6 + Ans = (kết quả là 38)
Giải thích: Máy lấy 5 nhân với 6 rồi céng víi 8
trong Ans
2

M¸y tÝnh Casio fx - 570 MS


II - Một số dạng dÃy số và ví dụ

1. Dạng 1 - DÃy Phi - bô - na - xi
(Fibonacci - là dÃy số có dạng u1=1; u2 = 1; un+1= un + un-1(n = 1, 2, 3…)
Ta cã công thức tổng quát:
n

n
1 1+ 5 1 5  

un =
÷ −
÷÷
 2 ÷  2 ÷ ÷
5



- Quy trình tính trên máy tính Casio fx-500 MS.
BÊm
1 SHIFT STO A
+ 1 SHIFT STO B Vµ lặp lại dÃy phím:
+ ALPHA A SHIFT STO A
+ ALPHA B SHIFT STO B B»ng phÝm ∆ =

Khi bÊm 1 SHIFT STO A đa u2 = 1 vào A
Khi bấm + 1 SHIFT STO B nghÜa lµ céng u2 = 1 với u1 = 1 đợc u3 = 2 và ghi vµo
B.

Khi bÊm + ALPHA A SHIFT STO A céng u3= 2 với u2 = 1 đợc u4 = u3 + u2 = 3
vµ ghi vµo A .
Khi bÊm + ALPHA B SHIFT STO B nghÜa lµ céng u4 = 3 với u3 = 2 trong B đợc
u5 = u4 + u3 = 5 vµ ghi vµo B . TiÕp tục sử dụng quy trình trên, ta sử dụng hai ô A và
B để lần lợt tính các giá trị un bằng cách bấm liên tiếp phím = ta sẽ đợc u6= 8; u7
=13; u8 = 21...
- Quy trình tính trên máy tính Casio fx-570 MS
+ Quy trình 1: BÊm 1 SHIFT STO A

+ 1 SHIFT STO B Vµ lặp lại dÃy phím:
+ ALPHA A SHIFT STO A
+ ALPHA B SHIFT STO B B»ng phÝm COPY =

Gi¶i thÝch:
Khi bÊm 1 SHIFT STO A đa u2 = 1 vào A
Khi bÊm + 1 SHIFT STO B nghÜa lµ céng u2=1 với u1=1 đợc u3= 2 và ghi vào B .
Khi bÊm + ALPHA A SHIFT STO A céng u3= 2 với u2 = 1 đợc u4 = u3 + u2 = 3
vµ ghi vµo A .
Khi bÊm + ALPHA B SHIFT STO B nghÜa lµ céng u4 = 3 víi u3 = 2 trong B đợc
u5 = u4 + u3 = 5 vµ ghi vµo B . TiÕp tơc sư dụng quy trình trên, ta sử dụng hai ô A và
B để lần lợt tính các giá trị un bằng cách bấm liên tiếp phím COPY = ta sẽ đợc u6= 8;
u7 =13; u8 = 21...
Quy tr×nh 2: BÊm 1 SHIFT STO A
+ 1 SHIFT STO B
+ ALPHA A SHIFT STO A
+ ALPHA B SHIFT STO B ∆ SHIFT
3

COPY


Lặp lại phím =
Giải thích:
Khi bấm 1 SHIFT STO A ®a u2 = 1 vµo A
Khi bÊm + 1 SHIFT STO B nghĩa là cộng u2 =1 với u1=1 đợc u3=2 vµ ghi vµo B .
Khi bÊm + ALPHA A SHIFT STO A céng u3= 2 víi u2 = 1 đợc u4 = u3 + u2 = 3
và ghi vào A .
Khi bÊm + ALPHA B SHIFT STO B nghÜa lµ céng u4 = 3 víi u3 = 2 trong B đợc
u5 = u4 + u3 = 5 và ghi vào B .

Khi bấm SHIFT COPY lấy lại quy trình và tính tiếp nhờ phím = .
Quy trình 3: TÝnh sã Phi - b« - na - xi u n trên máy Casio fx - 570 MS nhờ công
thức nghiƯm:
( ( (1+
5 ) ÷ 2 ) ^ ALPHA X
− ( (1−

5 ) ÷ 2 ) ^ ALPHA X ÷

5

BÊm CALC m¸y hiƯn X ?
Thay X b»ng c¸c sè tù nhiên từ 1 đến 49 ta đợc các un tơng ứng.
Lời bình: Máy tính Casio fx - 570 MS tiện hơn máy tính Casio fx - 500 MS vì chỉ
cần khai báo công thức một lần, sau đó, mỗi lần bấm phím CALC chỉ cần thay X
bằng các số tự nhiên từ 1 đến 49 ta đợc các u tơng ứng.
2. Dạng 2. DÃy Lu - ca (Lucas - là dÃy số tổng quát của dÃy Phi - bô - na - xi víi
u1 = a; u2 = b; un+1= un + un-1 víi mäi n ≥ 2 a vµ b là hai số nào đó.
Quy trình 1:
Bấm b SHIFT STO A .
+ a SHIFT STO B và lặp lại dÉy phÝm
+ ALPHA A SHIFT STO A .
+ ALPHA B SHIFT STO B B»ng phÝm COPY = .
Gi¶i thÝch
BÊm b SHIFT STO A nghĩa là đa u2 = b vào A .
BÊm + a SHIFT STO B nghÜa lµ céng u2 =b với u1 =a đợc u3=a + b và ghi vµo B .
Khi bÊm + ALPHA A SHIFT STO A céng u3= a + b víi u2 = b đợc u4 = u3 + u2 =
a + 2b và ghi vµo A .
Khi bÊm + ALPHA B SHIFT STO B nghÜa lµ céng u4 = a + 2b víi u3 = a + b
trong B đợc u5 = u4 + u3 = 2a + 3b vµ ghi vµo B . Tiếp tục sử dụng quy trình trên, ta

sử dụng hai ô A và B để lần lợt tính các giá trị un bằng cách bấm liên tiếp phím
COPY = ta sẽ đợc u6; u7; u8 ...
Quy trình 2: : BÊm b SHIFT STO A
+ a SHIFT STO B
+ ALPHA A SHIFT STO A
+ ALPHA B SHIFT STO B ∆ SHIFT

Lặp lại phím =
Giải thích:
Khi bấm b SHIFT STO A ®a u2 = 1 vµo A
4

COPY


Khi bÊm + 1 SHIFT STO B nghÜa lµ céng u2 =1 với u1=1 đợc u3=2 và ghi vào B .
Khi bÊm + ALPHA A SHIFT STO A céng u3= 2 với u2 = 1 đợc u4 = u3 + u2 = 3
vµ ghi vµo A .
Khi bÊm + ALPHA B SHIFT STO B nghÜa lµ céng u4 = 3 với u3 = 2 trong B đợc
u5 = u4 + u3 = 5 vµ ghi vµo B .
Khi bÊm ∆ SHIFT COPY lấy lại quy trình và tính tiếp un nhê phÝm = .
VÝ dô 1:
Cho d·y sè u1 = 8; u2 =13; un+1= un + un-1 ( n = 2, 3, 4…).
1) H·y lËp mét quy tr×nh bÊm phÝm liên tục để tính giá trị của un+1 với mọi n 2.
2) Sử dụng quy trình trên để tính giá trị u13; u17.
Hớng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 570 MS.
Ta thấy rằng đây chính là dÃy Lu - ca cã a = 8; b = 13
Sö dụng quy trình trên để tính un+1 với mọi n ≥ 2 nh sau:
13 SHIFT STO A (g¸n u2 = 13 vào A )
+ 8 SHIFT STO B (gán u3 = 21 vµo B )

+ ALPHA A SHIFT STO A (gán u4 = 34 vào A )
+ ALPHA B SHIFT STO B (gán u5 = 55 vào B )
SHIFT

COPY

Lặp lại phím =
Để tính tiếp u13 ta ấn tiếp liên tiếp phím = 8 lần đợc số 2584 nghĩa là u13 = 2584.
Sau khi tính đợc u13 để tính tiếp u17 ta ấn tiếp 4 phím = đợc số 17711 nghĩa là
u17 =17711.
Hớng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 500 MS.
13 SHIFT STO A (g¸n u2 = 13 vào A )
+ 8 SHIFT STO B (gán u3 = 21 vào B )
+ ALPHA A SHIFT STO A (gán u4 = 34 vµo A )
+ ALPHA B SHIFT STO B (gán u5 = 55 vào B )
Lặp lại dÃy phím trên bằng cách ấn liên tiếp phím = ta đợc các un tơng ứng.
Ví dụ 2: Cho dÃy sè u1 = 144; u2 = 233; un+1 = un + un-1 (n = 2, 3, 4..)
a) LËp mét quy trình bấm phím để tính un+1.
b) Tính u12; u20; u25, u30.
c) Tính chính xác đến 5 chữ số sau dấu phÈy c¸c tØ sè:

u2 u3 u 4 u6
.
u1 u 2 u 3 u 5

Hớng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 500 MS.
233 SHIFT STO A (g¸n u2 = 233 vào A )
+ 144 SHIFT STO B (gán u3 = 377 vµo B )
+ ALPHA A SHIFT STO A (gán u4 = 610 vào A )
+ ALPHA B SHIFT STO B (gán u5 = 987 vào B )

Lặp lại dÃy phím trên bằng cách ấn liên tiếp phím = ta đợc các un tơng ứng.
Để tính u12 ta ấn liên tiếp 7 lần cặp phím = đợc u12=28657
Để tính tiếp u20 ta ấn liên tiếp 8 lần cặp phím = nữa đợc u20= 1346269
5


Để tính tiếp u25 ta ấn liên tiếp 5 lần cặp phím = nữa đợc u25= 14930352
Để tính tiếp u30 ta ấn liên tiếp 5 lần cặp phím = nữa đợc u30= 165580141.
Hớng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 570 MS:
233 SHIFT STO A (g¸n u2 = 233 vào A )
+ 144 SHIFT STO B (gán u3 = 377 vµo B )
+ ALPHA A SHIFT STO A (gán u4 = 610 vào A )
+ ALPHA B SHIFT STO B (gán u5 = 987 vào B )
SHIFT

COPY

Lặp lại phím =
Lặp lại phím = ta tính tiếp đợc u6= 1597; u7 = ; 2584....
Đến đây dễ dàng tính đợc các tỉ số theo yêu cầu của đề bµi:

u
u 2 233
377
=
≈ 1, 61805; 3 =
≈ 1, 61802
u1 144
u 2 233
u

u 4 610
1597
=
≈ 1, 61803; 6 =
≈ 1, 61803
u 3 377
u 5 987
3.D·y Lu - ca suy réng d¹ng u1=a; u2 = b; un = aun + bun-1.
- Quy trình bấm phím trên máy tính Casio fx - 570 MS:
+ Quy tr×nh 1:
b SHIFT STO A × a + b ì a SHIFT STO B

Lặp lại dÃy phím ì a + ALPHA A × b SHIFT STO A
× a + ALPHA B ì b SHIFT STO B

Giải thích: Bấm b SHIFT STO A × a + b × a SHIFT STO B đa b = u2 vào ô nhớ
A , tính u3 = au2 + bu1 và gán u3 vào ô nhớ B .
DÃy phím ì a + ALPHA A × b SHIFT STO A tÝnh u4 = au3 + bu2 và gán u3 vào ô
nhớ A , còn trong ô nhớ B là u3. thực hiện ì a + ALPHA B × b SHIFT STO B ta cã u5
trên màn hình và trong ô nhớ B .
Tiếp tục vòng lặp lại đợc các số hạng của un+1=aun + bun-1
b SHIFT STO A × a + b × a SHIFT STO B
+ Quy tr×nh 2:
× a + ALPHA A × b SHIFT STO A
× a + ALPHA B × b SHIFT STO B
SHIFT

COPY

Lặp lại phím =

Giải thích: Tơng tù nh quy tr×nh 1 nhng ë quy tr×nh 2 ta sử dụng các phím
SHIFT COPY để lặp lại quy tr×nh.
VÝ dơ 1: Cho d·y u1 = 2, u2 = 20, un+1 = 2un + un-1 ( n = 2, 3, ….)
a) TÝnh u3 , u4 , u5 , u6 , u7.
b) Viết quy trình bấm phím để tính un.
Hớng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 500MS:
20 SHIFT STO A × 2 + 20 × 2 SHIFT STO B (gán u3 = 80 vào B )
ì 2 + ALPHA A ì 20 SHIFT STO A
(gán u4 = 560 vµo A )
6


(gán u5 = 2720 vào B )
Lặp lại quy trình trên bằng phím = ta tính đợc u6 = 16640, u7 = 87680 ...
Hớng dẫn giải trên mÃy tính Casio fx - 570 MS:
20 SHIFT STO A × 2 + 20 ì 2 SHIFT STO B (gán u3 = 80 vào B )
ì 2 + ALPHA A ì 20 SHIFT STO A
(gán u4 = 560 vào A )
ì 2 + ALPHA B ì 20 SHIFT STO B
(gán u5 = 2720 vào B )
ì 2 + ALPHA B ì 20 SHIFT STO B

SHIFT

COPY

Lặp lại phím =
Nh vậy sử dụng máy tính Casio fx - 570 MS để lặp lại một quy trình chỉ cần ấn
liên tiếp phím = , còn đối với máy tính Casio fx - 500 MS để lặp lại một quy trình thì
phải ấn liên tiếp cỈp phÝm ∆ = .

VÝ dơ 2: Cho d·y sè u n =

(2 + 3) n − (2 − 3) n
2 3

a) Tìm 8 số hạng đầu tiên của dÃy.
b) Lập một công thức truy hồi để tính un+2 theo un + 1 và un.
c) Lập một quy trình để tính un?
Hớng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 500 MS:
a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dÃy theo công thức tổng quát
( (2+
3) ^ 1 ( 2
3 ) ^ 1 ) ữ2ì
3=
(u1= 1)
REPLAY
Sử dụng phím
để sửa công thức trên di chuyển con chỏ tới vị trÝ
sè mị lµ 1 sưa thµnh sè mị lµ 2 råi bÊm = , tiÕp tơc sưa sè mị lµ 2 thành 3 ... ta sẽ tìm
đợc 8 số hạng đầu của dÃy.
b) Đặt a = (2 + 3); b = (2 − 3) ta cã a+ b = 4 vµ ab = 1

a n − b n (a + b)(a n −1 − b n −1 ) − a n −1b + ab n −1
un =
=
2 3
4(a n −1 − b n −1 ) − ab(a n − 2 − b n − 2 )
un =
2 3
4(a n −1 − b n −1 ) (a n − 2 − b n − 2 )

un =
−
=4un-1 - un-2
2 3
2 3
VËy un = 4un- 1 - un-2 hay un+2 =4un+1 - un
c) LËp quy tr×nh tÝnh un.
Cã u1 = 1, u2 = 4
4 SHIFT STO A (gán u2 = 4 vào A )
ì 4 1 SHIFT STO B (tính và gán u3 = 15 vào B )
ì 4 ALPHA A SHIFT STO A
(gán u4 = 56 vào A )
ì 4 − ALPHA B SHIFT STO B
(g¸n u5 = 209 vào B )
Lặp lại quy trình trên bằng phím = ta tính đợc u6 = 780, u7 = 2911 ...
Hớng dẫn giải trên máytính Casio fx - 570 MS
a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dÃy theo công thøc tỉng qu¸t
( (2+
3 ) ^ ALPHA X − ( 2 −
3 ) ^ ALPHA X ) ÷ 2 3
7


BÊm CALC m¸y hiƯn X ?
Thay X b»ng c¸c sè tự nhiên từ 1 đến 8 ta đợc các un t¬ng øng.
u1= 1, u2= 4, u3= 15, u4= 56, u5= 209, u6= 780, u7= 2911, u8= 10864.
c) LËp quy tr×nh tính un.
4 SHIFT STO A (gán u2 = 4 vào A )
ì 4 1 SHIFT STO B (tính và gán u3 = 15 vào B )
ì 4 ALPHA A SHIFT STO A

(gán u4 = 56 vào A )
ì 4 − ALPHA B SHIFT STO B
(g¸n u5 = 209 vào B )
SHIFT

COPY

Lặp lại phím =
Tìm đợc các un tơng ứng
4. DÃy Phi - bô - na - xi bËc ba
D¹ng u1 = u2 = 1, u3 = 2, un+1 = un + un-1 + un-2 (n=3, 4, 5,..)
- Quy trình trên máy tính Casio fx 570 - MS:
1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B
ALPHA B + ALPHA A + 1 SHIFT STO C

Lặp lại dÃy phím + ALPHA B + ALPHA A SHIFT STO A
+ ALPHA C + ALPHA B SHIFT STO B
+ ALPHA A + ALPHA C SHIFT STO C

B»ng c¸ch bÊm tiÕp: ∆ SHIFT COPY và bấm liên tiếp phím =
Giải thích:
Bấm:1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B nghĩa là gán u1 = 1 vào A , gán u3 = 2 vào
B.

Bấm: ALPHA B + ALPHA A + 1 SHIFT STO C tÝnh u4 và gán vào C
+ ALPHA B + ALPHA A SHIFT STO A tính u5 và gán vào A
+ ALPHA C + ALPHA B SHIFT STO B tính u6 và gán vµo B
+ ALPHA A + ALPHA C SHIFT STO C tính u7 và gán vào C
Ta đợc dÃy 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, 57, 105, ...
2

2
5. D·y phi tuyÕn d¹ng: u1 =a, u2 = b, un+1 = u n + u n-1
- Quy trình trên máy tính Casio fx - 570 MS:
BÊm: b SHIFT STO A
x 2 + a x 2 SHIFT STO B

Lặp lại dÃy: x 2 + ALPHA A x 2 SHIFT STO A
x 2 + ALPHA B x 2 SHIFT STO B

B»ng c¸ch phÝm SHIFT COPY và bấm liên tiếp phím =
- Giải thích:
Bấm b SHIFT STO A gán u2= b vào A
x 2 + a x 2 SHIFT STO B tÝnh u3 = b2 + a2 và gán vào B
Lặp lại dÃy: x 2 + ALPHA A x 2 SHIFT STO A tính u4 = u 2 + u 2 và gán vµo A
3
2
8


2

2

x 2 + ALPHA B x 2 SHIFT STO B tÝnh u 5 = u 4 + u 3 vµ gán vào B

6. Một số dÃy số khác

a3 + an
n
Bài 1: Cho d·y sè a1 = 3....a n +1 =

1+ a3
n
a) LËp quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh an+1
b) TÝnh an víi n = 2, 3, 4, ..., 10
Híng dÉn gi¶i trên máy Casio fx - 500 MS, Casio fx - 570 MS
( Ans ^ 3 + Ans ) ÷ ( 1 + Ans ^ 3 )
a) Bấm 3 =
Lặp lại phím = ta đợc :
0,195615199; 0,447318398; 0,672491028; 0,757778244; 0,761046838;
0,760889819; 0,76089781; 0,760897404; 0,760897425; 0,760897424; 0,760897424;
0,760897424,0,760897424....
Giải thích:
Bấm 3 = gán a1 = 3 vào ô nhớ Ans
Bấm

( Ans ^ 3 + Ans ) ÷ ( 1 + Ans ^ 3 ) tÝnh a2

Bấm = gán u2 vào ô nhớ Ans
(Mỗi lần bấm phím = thì giá trị trên màn hình đợc gán vào ô nhớ Ans )
Bài 2:Cho dÃy số

x n +1 =

3x n − 1
, n = 1, 2,3...
xn + 3

a) H·y tÝnh xn víi n = 1, 2,..., 15 víi x0 = 1; x0 = 3
b) Chøng minh r»ng d·y số trên là tuần hoàn với mọi x0 cho trớc bất kỳ, tức là tồn
tại mọt số N nguyên dơng sao cho với mọi x0 dÃy {xn} xác định nh trªn ta cã:

xn+N =xn víi mäi n= 1, 2, 3, ...
Hớng dẫn giải trên máy Casio fx - 500 MS, Casio fx - 570 MS:
a) Khai báo giá trị đầu: x0 = 1
Bấm: 1 =
Khai báo công thức x n +1 =
BÊm tiÕp: (

3x n − 1
xn + 3

3 × Ans 1 ữ ( Ans +

3 ) (1)

Liên tiếp bấm phím = đợc xn.
Khai báo lại giá trị đầu x'0 = 3 BÊm 3 =
Dïng phÝm V ®Ĩ ®a về dòng công thức (1) và liên tiếp bấm phím = đợc x'n
x1= 0,267949192
x'1= 0,886751345
x2= - 0,267949192
x'2= 0,204634926
x3 = - 1
x'3= - 0,333333333
x4= - 3,732050808
x'4= - 1,127711849
x5= 3,732050808
x'5= - 4,886751346
x6 = 1
x'6= 3
x7= 0,267949192

x'7= 0,886751345
x1= - 0,267949192
x'8= 0,204634926
9


......
Tính theo công thức truy hồi ta đợc:

.....

x1 =

3x 0 − 1
x − 3
1
; x2 = 0
; x3 = −
x0
x0 + 3
3x 0 + 1

x4 =

x0 + 3
3x 0 + 1
; x5 =
; x6 = x0
1 − 3x 0
3 − x0

Vậy {xn} tuần hoàn chu kỳ là N = 6
III - Một số bài tập đề nghị bạn đọc tự viết quy trình để giải
Bài 1: Biết dÃy só {an} xác định nh sau: a1 = 1; a2 = 2; an+2 =3an+1 +2an với mọi n
nguyên dơng.
Tính a15.
Bài 2: Cho d·y sè u1 = 1, u2 = 2, un+1 = 2003un + 2004un-1 ( n = 2, 3, 4, ...)
a) TÝnh u4, u5, u6.
b) LËp quy tr×nh tÝnh un+1 .
Cho d·y sè un=(3 + 7 )n +(3 - 7 )n (n = 0, 1, 2,…)
LËp c«ng thøc tÝnh un+2 theo un v un+1
Lập quy trình tính un, n=5,,10
Kết quả : u2 = 32; u3 = 180; u4 = 1016; u5 = 5736; u6 = 32384; u7 = 182832;
u8 = 1032224; u9 = 5827680; u10 = 32901632;
Bài tËp 3: Cho d·y sè

(10 + 3) n − (10 − 3) n
un =
2 3
a) Tính các giá trị u1, u2; u3, u4.
b) Xác định công thức truy hồi tính un+2 theo un+ 1 và un.
c) Lập quy trình tiên tục tính un+2 theo un+ 1 vµ un råi tÝnh u5, u6,... u16.
Bµi 4: Cho dÃy số {un} xác định bởi:
u1 = 1; u2 = 3; un =3un-1 khi n chẵn và un =4un-1 + 2un-2 khi n lẻ.
a) Lập quy trình bấm phím liªn tơc tÝnh un
b) TÝnh u10, u11, u12, u14, u15.
Híng dẫn: Tính trên máy Casio fx - 500 MS:
1 ì 2 + 3 ì 4 SHIFT STO A

Lặp lại dÃy phÝm × 3 = × 4 + ALPHA A × 2 SHIFT STO A nhờ =

Tính trên máy Casio fx - 570 MS:
1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B
4 ALPHA B + 2 ALPHA A SHIFT STO A
3 ALPHA A SHIFT STO B
V SHIFT COPY =

KÕt qu¶: u10 = 115548; u11 = 537824; u12 = 1613472; u13 = 7529536; u14 =
22588608 ; u15 = 105413504.
Bµi 5: Mét häc sinh đà viết liên tiếp các tổng sau:
S1 = 1 + 2; S2 = (1 + 2) + 4 + 5; S3 = (1 + 2 + 3) + 7 + 8 + 9: ...
10


TÝnh S50; S60; S80; S100.
Híng dÉn

11