CHuyên đề luyện thi đại học Ứng dụng của đạo hàm

1

Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm, ĐắcLắc Giáo viên: Lê Văn Tiến


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
Chuyên đề ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Phần: Hàm số đơn điệu

I. PHƯƠNG PHÁP TÌM KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:
1) Tính đạo hàm y’ = f’(x)
2) Tìm nghiệm của f’(x) hoặc các điểm tại đó f’(x) không xác đònh.
3) Lập bảng xét dấu f’(x) (bảng biến thiên) để kết luận.
BÀI TẬP:
1) Tìm khoảng đồng biến, nghòch biến của các hàm số sau:
a) y = x
3
– x +1 b) y = - x
3
– 3x + 5 c) y = x
4
– 2x
2
+ 3
d) y =
x
1
1
3x

−
+
e) y =
1
2
−
−
x
x
2
x
g) y =
2
2 3
1
x x
x
− +
+

h)
( )
2
1
5
y
x
=
−
k)

100
x
y
x
=
+
l)
3
2
6
x
y
x
=
−

m) y = x – sinx n) y = x + 2cosx, x
5
;
6 6
π π
 
∈
 
 
o) y =
3
2
6
x x

−
2) Xác đònh m để hàm số y = (m – 3)x - sinx nghòch biến trên
ℝ

HD:
Hàm số nghòch biến trên
ℝ
⇔
y’ = m – 3 – cosx
0 x
≤ ∀ ∈
ℝ
. Đặt t = cosx, điều kiện | t|
≤
1
Ta cần tìm m để f(t) = - t + m – 3
0 [ 1; 1]
t
≤ ∀ ∈ −

Ta có f(t) = - t + m – 3
0 [ 1; 1] f( 1) 0 m 2 0 m 2
t
≤ ∀ ∈ − ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤

3)
Tçm m âãø hm säú : y = -
3
1
x

3
+ (m - 1)x
2
+ (m + 3)x - 4 âäưng biãún trãn (0, 3) .
HD: Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 3)
⇔
y’= - x
2
+ 2(m – 1)x + m +3
0 x (0; 3)
≥ ∀ ∈

⇔
y’ có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn x
1

≤
0
≤
3
≤
x
2
⇔
1f(0) 0 m -3 0
12

m
1f(3) 0 12 - 7m 0
7
− ≤ − ≤
 
⇔ ⇔ ≥
 
− ≤ ≤
 

4) Tçm m âãø hm säú y = -
3
1
mx
3
- (m +1)x
2
+ 3(m + 2)x +
3
1
luôn luôn âäưng biãún trên
ℝ
.
HD: H
àm số đồng biến trên
ℝ

⇔
y’ = -mx
2

-2(m +1)x + 3(m + 2)
0 x
≥ ∀ ∈
ℝ

+ Trường hợp m = 0 ta có y’ = -2x + 6 không thể lớn hơn bằng 0 với mọi x.
+ Trường hợp m
≠
0 ta có y’
0 x
≥ ∀ ∈
ℝ
2
m < 0
m 0
2 3 2- 3
m -
' 0
2 2
4m 8m + 1 0
− >


+
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤
 
∆ ≤
+ ≤



5)
Tçm m âãø y =
1
x
mx3x2
2
−
+−
âäưng biãún trãn (3, +∞). HD: Ta có y = 2x -1 +
m 1
x 1
−
−

Hàm số đồng biến trên khoảng (3; +∞)
⇔
2
2
2(x - 1) (m 1)
y' = 0 x (3; + )
(x - 1)
− −
≥ ∀ ∈ ∞

⇔
2
2
0 1 2
x 1 0

' 0
2 4 3 0 3 9
3
2(x-1) (m -1) 0 x > 3
x x m x m
VTcó hai n thỏa x x
− ≠
∆ ≤


⇔ − + − ≥ ∀ > ⇔ ⇔ ≤


≤ ≤
− ≥ ∀



II. p dụng tính đơn điệu giải toán:
1) Chứng minh BĐT f(x) > g(x) trên khoảng (a; b)
Phương pháp
:
Ta xét hàm h(x) = f(x) – g(x) trên (a; b)
- Nếu hàm h(x) đồng biến trên (a; b) thì h(x) > h(a) với mọi x thuộc khoảng (a; b)
- Nếu hàm h(x) nghòch biến trên (a; b) thì h(x) > h(b) với mọi x thuộc khoảng (a; b)
Bài tập:
Chứng minh các bất đẳng thức sau:


2

1)

tgx > sinx, 0 < x <
2
π
. HD: Xét hàm số f(x) = tgx – sinx trên khoảng (0;
2
π
).
Có f’(x) =
2
1
cos
cos
x
x
− > 0
⇒
f(x) là hàm đồng biến trên (0;
2
π
)
⇒
f(x) > f(0) = 0
⇒
tgx > sinx
2)

ln(1+ x) < x với ∀

x > 0,
HD: Xét hàm số f(x) = ln(1 + x) – x trên (0; +
)
∞

3)
cosx > 1-
2
x
2
với ∀
x > 0,
HD: Xét hàm số f(x) = cosx +
2
x
2
- 1
trên (0; +
)
∞

4)

x
α
- 1 >
α
(x – 1) với
α
≥

2, x > 1. HD: Xét hàm số f(x) =
x
α
-
α
(x – 1) – 1 trên (1; +
)
∞

5)

x -
6
x
3
< sinx
với x > 0, HD: Xét hàm số f(x) = x -
6
x
3
- sinx
trên (0; +
)
∞

6)

e
x
> 1 +

2
x
2

với
x > 0
, HD: Xét hàm số f(x) = e
x
-
2
x
2
- 1
trên (0; +
)
∞

2) Giải pt trình f(x) = 0, bpt f(x) > 0
Phương pháp:
- Xét tính đơn điệu của hàm số f(x).
- Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghòch biến) thì ta có:
1)

f(x
1
) = f(x
2
)
⇔
x

1
= x
2


2)

f(x
1
) < f(x
2
) ( hoặc f(x
1
) > f(x
2
) )
⇔
x
1
< x
2
( hoặc x
1
> x
2
)

Bài tập: G
iải các phương trình, bất phương trình hệ phương trình sau:
1)

2
x
< 3
2
x
+ 1. HD: BPT
⇔
3 1
1
2 2
x
x
 
 
+ >
 
 
 
 
 
. Xét hàm số f(x) =
3 1
2 2
x
x
 
 
+
 

 
 
 
 
là hàm NB trên
ℝ

Có f(2) = 1
( ) (2) 2. Tập nghiệm bpt T = (- ; 2)
f x f x
⇒
>
⇒
< ∞

2)

2
x
= 6 – x. HD: Xét hai hàm số
( ) 2
( ) 6
x
f x
g x x

=

= −


. Ta có
( ) đồng biến trên
( ) nghòch biến trên
f x
g x



ℝ
ℝ
và
(2) 4
(2) 4
f
g
=


=



x = 2 là nghiệm duy nhất
⇒

2 2
2
2
2
1 1 1

2x y : Xét pt 2x 2 1.Tương tự: ta có y 1
. Xét hàm số f(t) = t + .
y t
3)
1 1
2y x '( ) 0 1, [1; )
x
HD y x
y
t
có f t t nên hàm số đồng biến trên
t

= + = + ≥ ⇒ ≥ ≥



−

= + = ≥ ∀ ≥ +∞



Nếu x > y thì f(x) > f(y)
⇒
2y
2
> 2x
2
⇒

y > x vô lí.
Tương tự

nếu y > x thì f(y) > f(x)
⇒
x > y vô lí
Vậy x = y . Thay x = y vào một trong hai phương trình ta có x = y = 1.
cot cot (1)
4) , ; (0; ).
5 8 2 (2)
gx gy x y
x y
x y
π
π
− = −

∈

− =


HD: pt(1) cotgx -x = cotgy - y.
Xét hsố f(t) = cotgt - t trên
(0; )
π
⇔


5)

, ; (0; )
2
tgx tgy x y
x y
tgx tgy
π
− = −

∈

+ =

. HD: Xét f(t) = tgt – t.
6) Chứng minh rằng phương trình x
3
-3x + c = 0 không thể có hai nghiệm trong đoạn [0; 1]
3) p dụng đònh lí Lagrange:
Hàm f(x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên (a; b)

thì tồn tại một số c
∈
(a; b) sao cho
( ) ( )
'( )
f b f a
f c
b a
−
=
−

1)

Cho 0 < a < b. Chứng minh rằng: ln
b a b b a
b a a
− −
< < . HD: xét hàm số f(x) = lnx trên [a; b]
2)

Cho 0 < a < b <
2
π
. Chứng minh rằng:
2 2
cos cos
b a b a
tgb tga
a b
− −
< − <
.
HD: xét hàm f(x) = tgx trên (
0; )
2
π

3)
Hãy tìm trên đồ thò hàm số
f(x) = x

3
– x
những điểm tại đó tiếp tuyến song song với dây cung nối các
điểm có hoành độ là 10 và 12. HD: Áp dụng ĐLí Lagrăng ta có


3

f f
f c với c ĐS c
−
= ∈ =
−
(12) (10) 364
'( ), (10; 12). :
12 10 3

Phần: Cực trò hàm số

I. PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ SỐ y= f(x)
Cách 1:
- Tìm TXĐ của hàm số và tính y’. Tìm các điểm x
0
mà y’bằng 0 hoặc không xác đònh.
- Lập bảng biến thiên - Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x
0
thì x
0
là điểm cực đại.
- Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua x

0
thì x
0
là điểm cực tiểu.
Cách 2:
- Tìm TXĐ của hàm sốvà tính y’, y’’
- Tìm nghiệm x
0
của phương trình y’= 0 - Nếu f’’(x
0
) < 0 thì x
0
là điểm cực đại
- Nếu f’’(x
0
) > 0 thì x
0
là điểm cực tiểu
II. BÀI TẬP
1) Tìm cực trò của các hàm số sau:
a) y = 2x
3
+3x
2
-36x -10 ; b) y = x
4
+ 2x
2
– 3 ; c) y = x +
x

1
; d) y = x
3
(1 – x)
2
;
e) y =
2
2 3
1
x x
y
x
− +
=
−
; f)
3
2
2 3
y x
= +
; g)
3
(7 ) 5
y x x
= − +
; h)
2
10

x
y
x
=
−
;
2) Tìm cưc trò của các hàm số sau: sử dụng dấu hiệu II
a)y = x
3
+ 4x ; b) y = xe
-x
; c) y = x
2
lnx; d) y =
2
x
5
4x
x
2
+
++
;
e) y= cos2x -1 ; f) y = sinx + cos2x ; g) y =
2
xx
ee
−
+
.

1) Tçm m âãø hm säú y =
3
1
x
3
+ mx
2
+ (m + 6)x - (2m + 1)
cọ cực đại, cực tiểu.

2) Tçm m âãø hm säú y = x
3
- 3mx
2
- (m - 1)x + 2 âảt cỉûc tiãøu tải x = 2.
HD:
HS đạt CT tại
2
,
(2)
,,
(2)
0
1
0
y
m
y

=


⇔ ⇔ =

>



3)

Xác đònh a để hàm số y = asinx +
3
1
x đạt cực trò tại x =
3
π
.
4)

Xác đònh p và q để hàm số y = x
2
+px +q đạt cực tiểu tại x = 1.

Bài tập trắc nghiệm
1.
Biết rằng có hai giá trò của m để hàm số y = x
3
-(m + 2)x
2
+ (1 -m)x + 3m - 1 đạt cực trò tại x
1

, x
2

mà |x
1
- x
2
| = 2. Tổng hai số đó là:
A.
-5
B.
-14
C.
-7
D.
7
2.
Điểm cực tiểu của hàm số
2
lnx
y
x
=
là:
A.
2
1
e
B.
1

e
C.
e
D.
H.số không có điểm cực tiểu

3.
Biết đồ thò hàm số
3 2
1
f(x) x 2x mx 3
3
= − + +
có hai điểm cực trò thẳng hàng với điểm O, thì m thuộc khoảng:
A.
(-1; 1)
B.
(3; 1)
C.
(-3; -5)
D.
(-1; -3)
4.
Đồ thò hàm số
2
x 3x 5
f(x)
x 2
− + +
=

+
có hai điểm cực trò nằm trên đường thẳng y = ax + b ta có a.b bằng:
A.
-2
B.
-8
C.
-6
D.
5
5.
Biết rằng đồ thò hàm số
2
x 2x m 3
y
x m
− + +
=
+
có một điểm cực trò thuộc đt y = x + 1, điểm cực trò còn lại là:
A.
3
B.
2
C.
4
D.
1

4


6.
Biết hàm số f(x) = asinx + bcosx +x
( )
0 x 2 đạt cực trò tại x = và
3
π
< < π π
thì a + b bằng:
A.
3 1
+
B.
3 1
−
C.
3
1
3
+
D.
3 3

7.
Điểm cực đại của hàm số
2
x
y xe

−
=
gần nhất với số nào dưới đây:
A.
0,7
B.
0,6
C.
0,8
D.
0,5
8.
Có bao nhiêu giá trò nguyên của m để hàm số y = mln(x + 2) + x
2
- x có hai điểm cực trò trái dấu
A.
3
B.
2
C.
Không tồn tại m
D.
1
9.
Giá trò của m để hàm số y = x
4
+ mx
3
- 2x
2

- 3mx

+ 1 có ba điểm cực trò là:
A.
3
m
4
≠ ±
B.
Với mọi m
C.
m 1
≠ ±
D.
4
m
3
≠ ±

10.
Biết hàm số y = e
ax
.sinx
( )
0 x đạt cực trò tại x =
4
π
< < π
thì điểm cực tiểu của hàm số là:
A.

4
π
B.
3
4
π
C.
4
π
−

D.
3
π

11.
Hàm số
2
x 4x 1
f(x)
x 1
− +
=
+
có hai điểm cực trò x
1
và x
2
, ta có x
1

+ x
2
bằng:
A.
5
B.
-2
C.
-5
D.
-1
12.
Cho hàm số
x
2
e
y
x 1
=
+
. Mệnh đề nào sau đây đúng
A.
Hàm số đồng biến với x > 1
B.
Hàm số đồmg biến trên
ℝ

C.
Hàm số nghòch biến với x < 1 D. Các kết luận A, B, C đều sai
13.

Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến trên khoảng (1; 2)
A. y= x
2
- 4x + 5 B.
x 2
y
x 1
−
=
−
C.
2
x x 1
y
x 1
+ −
=
−
D.
3 2
1
y x 2x 3x 2
3
= − + +

14.
Hàm số nào sau đây đồng biến trên từng khoảng xác đònh:

2
2 3

1 x 2x 4 1
(I) y lnx ; (II) y ; (III) y
x 1 x 1 x x
− +
= − = = −
− − +

A.
Cả (I), (II) và (III) B. Chỉ (I) và (II) C. Chỉ có (I) và (III) D. Chỉ có (II)
15. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào nghòch biến trên
ℝ
.
A. y= cotgx B. y = - x
4
- x
2
- 1 C.
x 5
y
x 2
+
=
+
D.
x
1
y
2
=

16.
Hàm số nào sau đây nghòch biến trên từng khoảng xác đònh:

2
x 5 1
(I) y ; (II) y ; (III) y x x 4
x 1 cosx
+
= = = −
+

A. Chỉ có (I) B. Chỉ có (II) C. Cả (I), (II) và (III) D. Chỉ (I) và (II)
17. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến trên
ℝ
.
A. y = x
3
+ 1 B. y= tgx C.
4x 1
y
x 2
+
=
+
D. y = x
4
+ x
2
+ 1
18. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào nghòch biến trên khoảng (1; 3)

A.
2
1
y x 2x 3
2
= − +
B.
3 2
2
y x 4x 6x 9
3
= − + +

C.
2
x x 1
y
x 1
+ −
=
−
D.
2x 5
y
x 1
−
=
−

19. Cho hàm số f(x) = -2x

3
+ 3x
2
+ 12x - 5. Trong các mệnh đề sau, hãy tìm mệnh đề sai
A. Hàm số giảm trên khoảng (-3; -1) B. Hàm số tăng trên khoảng (-3; -1)
C.
Hàm số giảm trên khoảng (2; 3) D. Hàm số tăng trên khoảng (-1; 2)



5


20. Bất đẳng thức
a b
lna lnb
>
đúng với mọi a, b thoả mãn a < b và a, b thuộc khoảng:
A. (0; 1) B. (e; 4) C. (2; 3) D. (0; 3)
21.

Hàm số f(x) = x
4
- 6x
2
+ 8x + 1 có
ù
bao nhiêu điểm cực trò
A.

0 B. 3 C. 2 D. 1
22.
Hàm số
3 2
a 1
y x ax (3a 2)x
3
−
= + + −
luôn luôn đồng biến khi
A.

1
a 2 a
2
≥ ∨ ≤
B.
1
a 2
2
≤ ≤
C.
a 2
≥
D.
1 a 2
< ≤

23.
Hàm số f(x) = x

3
có bao nhiêu điểm tới hạn
A.

3 B. 2 C. 1 D. 0
2 4.
Giá trò m để hàm số f(x) = x
3
- 3mx
2
+ 3(m
2
- 1)x đạt cực đại tại x = 1 là
A.

m = 2 B. Không tồn tại m C. m = 0 D. m = 0 hoặc m = 2
25.
Cho hàm số f(x) = xlnx. Hàm số f(x) đồng biến trong các khoảng nào sau đây
A.

(
)
0;
+ ∞
B.
(
)
; 0
−∞
C.

(
)
0; 1
D.
(
)
1;
+ ∞

26.
Cho hàm số
3x+1
f(x) =
1 - x
. Trong các mệnh đề sau, hãy tìm mệnh đề đúng
A.

Tăng trên
ℝ
B. Tăng trên hai khoảng
(
)
(
)
; 1 ; 1;
−∞ + ∞

C. Giảm trên khoảng (0; 2) D.
Giảm trên khoảng
ℝ

27.
Hàm số f(x) = |x| có bao nhiêu điểm cực trò
A.

3 B. 0 C. 2 D. 1
28.
Cho hàm số
2
x + x + 1
f(x) =
x + 1
. Trong các mệnh đề sau, hãy tìm mệnh đề sai
A.

Giá trò cực đại bằng -3 B. Điểm M(0; 1) là điểm cực tiểu

C. Điểm N(-3; -2) là điểm cực đại D. Hàm số đạt cực đại tại x = -2
29.
Giá trò m để hàm số
2
x 2x m
f(x)
x 1
+ +
=
−
đạt một cực đạivà một cực tiểu là:
A.

m= -3 B. m < - 3 C. m > -3 D. m khác -3
30.
Hàm số
4
2
x
f(x) 2x 6
4
= − +
có bao nhiêu điểm cực tiểu
A.

1 B. 2 C. 0 D. 3
31.
Xét hàm số f(x) = 2x
2
- 5x + 3 trên [0; 4]. Số c thoả mãn đònh lí Lagrange áp dụng vào hàm số là:
A.

1 B. 1,5 C. 0,5 D. 2
32.
Hàm số
2
x + x - 1
f(x) =
x + 1
có bao nhiêu điểm cực trò
A.

0 B. 2 C. 3 D. 1

Phần: Giá trò lớn nhất, gía trò nhỏ nhất
I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GTLN,GTNN
1. Cách tìm GTLN, GTNN trên khoảng (a; b):
trong đó a có thể là
∞
−
, b có thể là
∞
+
.
Ta thực hiện: -
Tính đạo hàm y’
-

Lập bảng biến thiên: Nếu trên (a; b) hàm số chỉ có một cực đại (cực tiểu) duy nhất thì giá
trò cực đại (cực tiểu) là giá trò lớn nhất (nhỏ nhất) .
•
Chú ý
: Nếu trên khoảng (a; b) hàm số luôn luôn đồng biến hoặc luôn luôn nghòch biến thì không có
GTLN, GTNN trên khoảng đó.
Bài tập áp dụng:
1)
Tìm giá trò lớn nhất giá trò nhỏ nhất của các hàm số sau:


6

a)
y = 4 - x

2

b) y = 4x
3
– 3x
4
c) y = x
4
+ 2x
2
– 2
d) y =
2xx
2
++
e) y =
x
1
x
x
2
++
với x > 0 g) y =
2
x +3x 1
x-1
+
với x < 1.
2)
Tìm kích thước của hình chữ nhật có diện tích lớn nhất, biết rằng chu vi bằng 16 cm.

HD: - Gọi một kích thước là x, điều kiện
0 < x < 8
⇒
Diện tích là
S(x) = x( 8 – x).
- Tìm x
∈
(0; 8) để S(x) lớn nhất. ĐS: x = 4 cm
3)
Hãy xác đònh hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất, biết diện tích bằng 48cm
2
.
HD: - Gọi x là một kích thước của hình chữ nhật, điều kiện
x > 0.

- Chu vi của hình chữ nhật là
48
( ) 2( )
P x x
x
= +
.
- Tìm x
∈
(0;
+∞
) để P(x) nhỏ nhất. ĐS: Hình vuông có cạnh bằng 4
3
m
4)

Người ta dùng tấm kim loại để gò một thùng hình trụ tròn xoay có hai đáy với thể tích V cho trước. Hãy xác
đònh kích thước của hình trụ để vật liệu ít tốn nhất.
HD: - Gọi bán kính đáy hình trụ là x, x > 0
⇒
Chiều cao hình trụ là
2
V
x
π

-
Diện tích toàn phần của hình trụ là S(x) =
2
2
2
V
x
x
π
+
. ĐS:
x
=
3
2
V
π

2. Cách tìm GTLN, GTNN trên khoảng [a; b]

Ta thực hiện: -
Tính đạo hàm y’
-
Tìm các cực trò thuộc [a; b] của hàm số. Giả sử các điểm cực trò là x
1
, x
2
,…x
n

-

Tính f(x
1
), f(x
2
)….f(x
n
) và f(a), f(b), so sánh. Rồi kết luận.
•
Chú ý:
- Nếu hàm số f(x) tăng trên [a; b] thì Maxy = f(b) và miny = f(a).
- Nếu hàm số f(x) giảm trên [a; b] thì Maxy = f(a) và miny = f(b).
Bài tập áp dụng:
1) Tìm giá trò lớn nhất giá trò nhỏ nhất của các hàm số
a) y= 2x
3
+ 3x
2
– 12x + 1 trên đoạn [-1; 5] b) y = 1 + 4x + x

2
trên đoạn [-1; 3];
c) y=
4x5 −
trên đoạn [-1; 1] d) y= sin2x – x trên [
]
2
;0
π

e) y=
3416x4x
2
+−
trên đoạn [-1; 4] g) y= sin2x - 2sinx trên đoạn [-
];
2
π
π

h) y = x + cos
2
x trên đoạn [0;
]
4
π
k) y = 2x +
2
x5
−

l) y= cos2x + x trên đoạn [
]
2
;
2
π
π
−
m) y =
2005x12005x1 −++

n) y =
x
xln
2
trên đoạn [1; e
3
]

2) Tìm GTLN, GTNN hàm số
3 6 (3 )(6 )
y x x x x
= + + − − + −
. ĐS: miny =
9
3 2
2
−
, maxy = 3.

3) Tìm GTNN hàm số
2
2 3 2 1
y x x x
= − − + +
. ĐS: miny = -1 tại x = -1

II. SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỂ TÌM GTLN, GTNN
Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trê n [a; b]bằng điều kiện có nghiệm của phng trình:
Ta thực hiện:
- Xem phương trình f(x) – y = 0 là phương trình ẩn x
- Tìm điều kiện để phương trình ẩn x có nghiệm trên [a; b].
1)

Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
2
1
) ;
1
x
a y
x x
+
=
− +

2
2
3
) .

2
x
b y
x x
+
=
− +

2)

Tìm a, b để hàm số :
2
2
) 5 1.
1
x ax b
a y có GTLN bằng và GTNN bằng
x
+ +
= −
+
: 4 2, 3;
ĐS a b= ± =


2
) 4 1.
1
ax b
b y có GTLN bằng và GTNN bằng

x
+
= −
+
: 4, 3
ĐS a b
= ± =



7

3)

Tìm GTLN, GTNN hàm số y=
2
x
cos
x
++
+
sin
cosx

2
( Đề thi vào Cao Đẳng Kinh tế Kỹ thuật 2005).

4)

Tìm GTLN, GTNN hàm số y=

1
sinx
sin
1
sinx
2
++
+
x
.

Bài tập trắc nghiệm
1.

Hàm số
2 2
y 4 x 2x 3 2x x
= − + + −
đạt GTLN tại hai giá trò x
1
, x
2.
Ta có x
1.
x
2
bằng:
A.

-1

B.
-2
C.
1
D.
2
2. Gọi M là giá trò lớn nhất và m là giá trò nhỏ nhất của hàm số
2
x 1
y
x x 1
+
=
+ +
. Thì M - m gần nhất với số nào:
A.

0
B.
2
C.
1
D.
3
3. Giá trò lớn nhất của hàm số
y = sinx + cosx
là:
A.

2

B.
1
C.
2

D.
2 2

4. Gọi M là GTLN và m là GTNN của hàm số
2
2
2x 4x 5
y
x 1
+ +
=
+
, trong các mệnh đề sau hãy tìm mệnh đề đúng:
A.

M = 2; m = 1
B.
M = 0, 5; m = - 2
C.
M = 6; m = 1
D.
M = 6; m = - 2
5. Hàm số y = 2ln(x+1) - x
2
+ x đạt GTNL tại x bằng:

A.

e
B.
1
C.
2
D.
Không có GTLN
6. Hàm số f(x) = 2cos
2
x + x, với
0 x
2
π
≤ ≤
đạt GTNL tại x bằng:
A.

12
π

B.
5
12
π

C.
5
6

π

D.
6
π

7. Phương trình x
3
+ tgx = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc
[ ; ]
−π π
:
A.

1
B.
2
C.
3
D.
vô số nghiệm
8. Cho hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính R. Chu vi hình chữ nhật lớn nhất khi tỉ số

MN
MQ
bằng:

A.

2

B.
4
C.
1
D.
0,5



9.
Giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số y = x
3
- 3x
2
- 9x + 35 trên đoạn [-4; 4] là:
A.

GTLN bằng 15; GTNN bằng 8
B.
GTLN bằng 15; GTNN bằng -41

C.
GTLN bằng 40; GTNN bằng -41
D.
GTLN bằng 40; GTNN bằng 15
10. Giá trò nhỏ nhất của hàm số
3
1 a
y = tg x- +2, 0< x < là một phân số tố
i giản .

cosx 2 b
π
 
 
 
Ta có a + b bằng:
A.

30
B.
40
C.
50
D.
20
11. Trong hệ toạ độ Oxy cho parabol (P): y = 1 - x
2
. Một tiếp tuyến của (P) di động có hoành độ dương cắt hai
trục Ox và Oy lần lượt tại A và B. Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất khi hoành độ của điểm M gần nhất với
số nào dưới đây:
A.

0,9
B.
0,7
C.
0,6
D.
0,8
12. Cho hàm số y = sin

4
x - cos
2
x. Tổng GTLN và GTNN của hàm số là:
A.

5
4
−

B.
1
4
−

C.
2
D.
0
13. Xét lập luận sau: Cho hàm số f(x) = e
x
(cosx - sinx + 2) với
0 x
≤ ≤ π

(I) Ta có f'(x) = 2e
x
(1 - sinx) (III) Hàm số đạt GTLN tại
x
2

π
=

(II) f'(x) = 0 khi và chỉ khi
x
2
π
=

(IV) Suy ra
( )
2
f(x) e , x 0;
π
≤ ∀ ∈ π


Q
P
N
M


8

Lập luận trên sai từ đoạn nào:
A.
(IV)
B.
(II)

C.
(III)
D.
Các bước trên không sai
14.
Giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số y = sinx + cosx là:
A.

GTLN bằng 2; GTNN bằng 0
B.
GTLN bằng 2; GTNN bằng -2
C.
GTLN bằng 2; GTNN bằng - 2

D.
GTLN bằng 1; GTNN bằng -1
15.
Giá trò nhỏ nhất của hàm số y = x
3
(x - 4) là:
A.

-9
B.
-27
C.
-18
D.
Không tồ tại GTNN
16.

Giá trò lớn nhất của hàm số
2
y 3 2x x
= − −
là:
A.

3
B.
1
C.
4
D.
2
17.
Hàm số
3 2
3 2
1 1 1
y x x 2 x , x 0
x x x
   
= + − + − + >
   
   
có GTLN là:
A.

-2
B.

-4
C.
5
D.
-1
18.
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích S, chu vi hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất là:
A.

2 S

B.
4S
C.
4 S

D.
2S
19.
Gọi M là giá trò lớn nhất và m là giá trò nhỏ nhất của hàm số y = |- x
3
+3x
2
- 3| trên đoạn [1; 3]. Thì M + m
gần nhất với số nào:
A.

4
B.
0

C.
2
D.
3
20.
Giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số
( )
( )
2
x 2
y trên khoảng 0;+
x
+
= ∞
là:
A.
2
B.
−∞

C.
8
D.
Không có kết quả nào đúng

Phần: Tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thò
I. Tóm tắt lý thuyết
Cho hàm số y = f(x) có đồ thò là (C) xác đònh trên khoảng (a; b)
1)

Đồ thò (C) lồi trên khoảng (a; b)
⇔
f’’(x) < 0 với
b)
(a;
x
∈
∀

2)

Đồ thò (C) lõm trên khoảng (a; b)
⇔
f’’(x) > 0 với
b)
(a;
x
∈
∀

3)

Điểm M
0
(x
0;
f(x
0
)) là điểm uốn

⇔
f’’(x) đổi dấu khi x qua x
0.

II. Bài tập
1)

Tìm khoảng lồi lõm và điểm uốn của đồ thò các hàm số sau:
a)

y = x
3
+ 6x – 4 b) y = x
4
– 6x
2
+ 3 c) y =
x
4xx
2
+−

d) y=
2
x1
+
e) y= ln(1+ x
2
) e) y = x + sinx
2)

Chứng minh rằng hàm số y = 3x
2
– x
3
lõm trong khoảng (
;
∞
−
1) lồi trong khoảng (1; )
∞
+
và điểm uốn có
hoành độ bằng 1.
3) Xạc âënh a v b âãø âiãøm I(2; - 6) l âiãøm ún ca âäư thë hm säú: y = ax
3
+ bx
2
+ x - 4.
4) Xạc âënh m âãø âiãøm M(- 1; 2) l âiãøm ún ca âäư thë hm säú y = mx
3
+ 3mx
2
+ 4.
5) Cho hm säú: y = x
3
- 3(m - 1)x
2
+ 3x - 5. Âënh m âãø:
a) Âäư thë hm säú läưi trãn khong (- 5; 2) b) Âäư thë hm säú cọ âiãøm ún våïi honh âäü x

0
> m
2
- 2m - 5.
6) Tçm a âãø âäư thë hm säú y = x
4
- ax
2
+ 3
a) Cọ hai âiãøm ún b) Khäng cọ âiãøm ún no.
7) Chỉïng minh ràòng trong táút c cạc tiãúp tuún våïi âäư thë hm säú y = x
3
+ 3x
2
- 9x +5 tiãúp tuún tải âiãøm ún cọhãû säú
gọc nh nháút.
8) Chỉïng minh ràòng âäư thë hm säú y =
2
2x 1
x x 1
+
+ +
cọ ba âiãøm ún thàóng hng. Viãút phỉång trçnh âỉåìng thàóng qua
cạc âiãøm ún.
9) Xạc âënh a v b âãø âäư thë hm säú: y= x
4
+ 8ax
3
+3(1+ 3a)x
2.

- 4 cọ hai âiãøm ún m honh âäü tha mn báút


9

phỉång trçnh
0<
−−
−
2
2
x4x5
2xx
.
Bài tập trắc nghiệm
1.

Tìm m để đồ thò hàm số y = x
4
- mx
2
+ 3 có hai điểm uốn ta có:
A.

m < 0
B.
m > 0
C.
m = 0
D.

m khác 0
2.
Giá trò m để đồ thò hàm số y = mx
3
- 6x
2
+1 nhận điểm I(1; - 3) là điểm uốn là:
A.

3
B.
1
C.
7
D.
2
3.
Cho hàm số y = x
3
- 2x
2
- x + 9, có đồ thò (C). Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai:
A.

Điểm uốn là trung điểm của đoạn nối cực đại và cực tiểu của (C)
B.
Đồ thò (C) luôn luôn lồi
C.
Đồ thò (C) có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu
D.

Đồ thò (C) có một điểm uốn
4.
Đồ thò hàm số
2
x 1
y
x
+
=
có bao nhiêu điểm uốn:
A.

2
B.
3
C.
1
D.
0
5.
Cho hàm số y = lnx. Trong các mệnh đề sau tìm mệnh đề sai:
A.

Đồ thò hàm số không có điểm uốn
B.
Phương trình f'(x) = 0 vô nghiệm
C.
Hàm số có một điểm cực trò
D.
Đồ thò hàm số lồi trên (1; e)

6.
Cho hàm số y = f(x) = 2x
4
+ x
2
- 1. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng:
A.

Đồ thò hàm số lồi trên khoảng (1; 5)
B.
Đồ thò lõm trên khoảng (-2; 1)

C.
Đồ thò hàm số có một điểm uốn
D.
Đồ thò hàm số có hai điểm uốn
7.
Trong các đồ thò của các hàm số sau, đồ thò hàm số nào có khoảng lồi lõm nhưng không có điểm uốn:
A.

2
x 1
y
x 1
+
=
+
B.

y = x

3
+3x
2
+ 2x + 1
C.
x 2
y
x 3
+
=
+
D.

y = x
4
- 2x
2
+ 1
8.
Đồ thò hàm số y = x
4
- 2x
2
+ 9 có bao nhiêu điểm uốn?
A.

2
B.
3
C.

0
D.
1
9.
Đồ thò hàm số y = x
4
+ 4x
2
+ 1 có bao nhiêu điểm uốn?
A.

0
B.
2
C.
1
D.
3
10.
Điểm nào sau đây là điểm uốn của đồ thò hàm số y = - x
3
+ 3x
2
:
A.

(2; 4)
B.
(2; 1)
C.

(-1; 2)
D.
(1; 2)
Phần: Tiệm cận của đồ thò
I. Lý thuyết cơ bản

1) Đường thẳng y = y
0
là tiệm cận ngang của đồ thò hàm số y = f(x)
0
x
Lim f(x) y
→∞
⇔ =

2) Đường thẳng x = x
0
là tiệm cận đứng của đồ thò hàm số y = f(x)
0
x x
Lim f(x)
→
⇔ = ∞

3) Đường thẳng y = ax + b,
a 0
≠
là tiệm cận xiên của đồ thò hàm số y = f(x)
(
)

x
Lim f(x) ax b 0
→∞
⇔ − + =
 
 


Chú ý: - Cách tìm các hệ số a và b:
x
f(x)
a Lim
x
→∞
=

[
]
x
b Lim f(x) ax
→∞
= −

- Tìm tiệm cận xiên của đồ thò hàm số
2
ax bx c
y
a'x b'
+ +
=

+
ta thực hiện:
+ Chia tử cho mẫu. Hàm số viết lại là
C
y Ax B , A 0
a'x b'
= + + ≠
+

+ Ta có y = Ax + B là tiệm cận xiên
II. Bài tập
1) Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thò mỗi hàm số sau
a)
2x 1
y
x 2
−
=
−
b)
5
y
2 3x
=
−
c)
2
x 3x 3
y
1 x

− +
=
−
d)
3
y x
x 2
= − +
+

2) Tìm tiệm cận xiên của đồ thò hàm số
a)
2
y x x 1
= + +
b)
2
2x x 1
y
x 2
+ +
=
+
c)
3
y x 2
x 2
= − + +
+
d)

sinx
y x
x
= +



10

3) Cho hàm số
3
y x m
m x
= + + +
−
. Xác đònh m để để tiệm cận xiên của đồ thò hàm số qua điểm A(1; 2)
4) Tìm các tiệm cận của đồ thò hàm số
2
2
2x x 1
y
x 2
+ +
=
+

5) ) Tìm các tiệm cận của đồ thò hàm số
2
2
x x 1

y
2x 3x 1
+ +
=
− +

Bài tập trắc nghiệm
1.

Phương trình các tiệm cận của đồ thò hàm số
3
y 5x 1
2x 3
= + =
−
là:
A.

5x - y + 1 = 0 và 2y - 3= 0 B. 5x - y + 1 = 0 và 2y + 3 = 0
C. 5x - y + 1 = 0 và 2x + 3= 0 D. 5x - y + 1 = 0 và 2x - 3 = 0
2.
Cho đồ thò (C):
3
3 2
y x 3x
= − +
. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng
A.

(C) Có tiệm cận đứng B. (C) Có tiệm cận xiên

C. (C) Có tiệm cận ngang D. (C) Không có tiệm cận
3.
Cho đồ thò (C):
2
2x 3x m
y
x m
− +
=
−
. Với giá trò nào thì đồ thò (C) không có tiệm cận đứng?
A.

(C) luôn có tiệm cận đứng với mọi m B. m = 0; m = 1 C. m = 1 D. m = 0
4.
Cho ba hàm số (I):
5x
y
2 x
=
−
; (II):
2
x
y
x 1
=
+
; (II):
2

x 2
y
x 3x 2
−
=
− +
. Hàm số nào có đồ thò nhận đường thẳng x
= 2 làm tiệm cận:
A.

(I) và (II) B. Chỉ có (I) C. Chỉ có (II) D. (I) và (III)
5.
Đồ thò hàm số y = x
4
- x
2
+ 1 có bao nhiêu đường tiệm cận
A.

1 B. 0 C. Vô số D. 2
6.
Cho đồ thò (C):
3
3
y x 2x
= −
. Có tiệm cận xiên là:
A.

y = x - 2 B. y = x + 1 C. y = x D. 3 x - 3 y- 2 = 0

7.
Phương trình các đường tiệm cận của đồ thò hàm số
2
x x 1
y
x 1
+ +
=
+
là:
A.

y = x và x = -1 B. y = x+ 2 và x = 1 C. y = x + 1 và x = 1 D. y = x và y = 1
8.
Đồ thò hàm số
2
2
x x 1
y
5x 2x 3
+ +
=
− − +
có bao nhiêu đường tiệm cận
A.

3 B. 1 C. 2 D. 4
9.
Số tiệm cận của đồ thò hàm số
2

2x
y
x 2x 1
=
− −
là:
A.

3 B. 2 C. 1 D. Nhiều hơn 3
10.
Giá trò m để đồ thò hàm số
2
2x mx 3
y , m 5
x 1
− +
= ≠
−
có tiệm cận xiên qua gốc tọa độ là:
A.

-2 B. -3 C. 2 D. 3
11.
Cho đồ thò (C):
2
x
y
x m
=
−

. Với giá trò nào của m thì (C) có tiệm cận?
A.

Mọi m là số thực B. m khác 1 C. m = 0 D. m khác 0
12.
Phương trình các đường tiệm cận của đồ thò hàm số
x 2
y
x 1
+
=
−
là:
A.

y = 1 và x = -2 B. y = 1 và x = 1 C. y = -1 và x = -1 D. y = -2 và x = 1



“Chúc các em luyện tập đạt kết quả tốt!”