Những vấn đề thi tuyển lên quan tới hàm số tham khảo và bồi dưỡng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (805.55 KB, 68 trang )
Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số
Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007
1
Vấn ñề 01 Miền xác ñịnh hàm số
1. ðịnh nghĩa :
Miền xác ñịnh (MXð) của hàm số
(
)
y
f x
=
là tập hợp các giá trị biến số
x
∈
ℝ
, sao cho
ta tính ñược giá trị
(
)
f x
.
2. Nhắc lại kiến thức.
( ) ( )
A x
f x =
;
(
)
f x
xác ñịnh khi
(
)
A x 0
≥
.
( )
(
)
( )
A x
B x
f x =
;
(
)
f x
xác ñịnh khi
(
)
B x 0
≠
.
( )
(
)
( ) ( )
k x
A x B x
f x
=
±
;
(
)
f x
xác ñịnh khi
( )
( )
( )
( )
A x 0
B x 0
A x B x 0
≥
≥
± ≠
(
)
( )
(
)
a x
log A x
f x =
;
(
)
f x
xác ñịnh khi
(
)
( )
0 a 1
A x 0
x
< ≠
≥
Ví dụ 1
: Tìm miền xác ñịnh của các hàm số :
1.
( )
2
x 3
6
f x
x x
+
=
+ −
3.
( )
2 2
8
4 3 2
x
f x
x x x
+
=
− − + +
2.
( )
2
2 2
1
4 3 2
x x
f x
x x x
− +
=
− + + +
4.
( )
3
2
x
f x
x
+
=
−
Giải
1. Hàm số xác ñịnh
⇔
2
6 0
x x
+ − ≠
⇔
(
)
(
)
3 2 0
x x
+ − ≠
⇔
3
2
x
x
≠ −
≠
Vậy
{
}
D \ 3;2
= −
ℝ
2. Hàm số xác ñịnh khi
2
2
4 0
3 2 0
x
x x
− ≠
+ + ≠
⇔
2
1 và x -2
x
x
≠ ±
≠ − ≠
⇔
2
x
≠ −
Vậy
{
}
D \ 2
= −
ℝ
3. Hàm số xác ñịnh khi
2
2
2 2
4 0
3 2 0
4 3 2 0
x
x x
x x x
− ≥
+ + ≠
− − + + ≠
⇔
2
2 1
2
x
x
x
≤ − ≥
≤ − ≥ −
≠ −
hoaëc x 2
hoaëc x
⇔
2
x
< − ≥
hoaëc x 2
Vậy
(
)
)
D ; 2 2,
= +∞ − +∞
∪
Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số
Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007
2
4. Hàm số xác ñịnh khi
3
0
2
2 0
x
x
x
+
≥
−
− ≠
⇔
( )
( )
0
3
0
2
0
3
0
2
x
x
x
x
x
x
≥
+
≥
−
≤
+ −
≥
− −
⇔
0
3 2
0
2 3
x
x
x
x
≥
− ≤ <
≤
− < ≤
⇔
2 2
x
− < <
Vậy
(
)
D 2;2
= −
Trắc nghiệm
: Thời gian 15 phút
Câu 1. Miền xác ñịnh của hàm số
( )
2
3
6 9
x
y f x
x x
+
= =
+ +
là
A.
{
}
D \ 3
=
ℝ
C.
D
=
ℝ
B.
D 1
=
D.
{
}
D \ 3
= −
ℝ
Câu 2. Miền xác ñịnh của hàm số
(
)
1 5
y f x x x
= = − − −
A.
[
]
{
}
1,5 \ 3
C.
[
]
1,5
B.
{
}
\ 3
ℝ
D.
(
)
1,5
Câu 3. Miền xác ñịnh của hàm số
( )
2
2
2
3 4
3 2
4
x x
y f x x x
x
+ −
= = − − +
−
A.
]
(
D -2,1
=
C.
]
(
D -2,2
=
B.
(
)
D 2,1
= −
D.
(
)
D -2,2
=
Câu 4. Hàm số
( )
4
4
x
y f x
x
+
= =
+
có miền xác ñịnh là :
A.
D 1
=
C.
{
}
D \ 4
= −
ℝ
B.
D
=
ℝ
D.
{
}
D \ 4;1
= −
ℝ
Câu 5. Tập hợp xác ñịnh của hàm số
( )
2
2 2
4 3
1 4 3
x x
y f x
x x x
− +
= =
− + − +
là
A.
D
=
ℝ
C.
{
}
D \ 1,1,3
= −
ℝ
B.
{
}
D \ 1
=
ℝ
D.
{
}
D \ 1,1
= −
ℝ
Câu 6. Tập hợp xác ñịnh của hàm số
( )
2
x
y f x
x
= =
−
là
A.
{
}
D \ 2
=
ℝ
C.
)
{
}
D 0; \ 2
= +∞
B.
{
}
D \ 2;2
= −
ℝ
D.
(
)
D 2;2
= −
Câu 7. Tập hợp xác ñịnh của hàm số
( )
2
2
2 3
4 3
x
y f x x x
x x
= = + + −
− +
là :
Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số
Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007
3
A.
(
]
; 3
−∞ −
C.
(
)
3;
+∞
B.
(
)
1;3
D.
(
)
(
)
(
)
; 3 1;3 3;
−∞ − +∞
∪ ∪
Câu 8. Miền xác ñịnh của hàm số
( )
2 2
1 1
y f x x x x x
= = + + + − +
là ?
A.
D
=
ℝ
C.
1
D \
2
=
ℝ
B.
1
D \
2
= −
ℝ
D.
1 1
D \ ;
2 2
= −
ℝ
Câu 9. Miền xác ñịnh của hàm số
( )
1
1 3 2
y f x
x x
= =
+ − −
là ?
A.
3
D 1;
2
= −
C.
3 2
D 1; \
2 3
= −
B.
2
D \
3
=
ℝ
D. Một kết quả khác
Câu 10. Miền xác ñịnh của hàm số
( )
3
3 2
3
y f x x x
= = −
là ?
A.
D
=
ℝ
C.
[
]
D 0;3
=
B.
[
)
D 3,
= +∞
D.
(
]
D 0,3
=
ðáp Án
: 1. D 2. C 3. A 4. C 5. B
6. B 7. D 8. A 9. C 10. A
Ví dụ 2
: Tìm miền xác ñịnh của các hàm số :
1.
(
)
(
)
2
5
4
log
f x x
= −
4.
( )
4
ln
1
x
f x
x
−
=
− +
2.
( )
7 2
ln
1
x
f x
x
−
=
−
5.
( ) ( )
2
2
2
log 2
x x
f x x
−
= +
3.
(
)
(
)
2
lg ln 3ln 4
f x x x
= − −
6.
(
)
(
)
2
log 9 3.6 2.4
x x x
f x = − +
Giải
1. Hàm số xác ñịnh khi
2 2
4 0 4 2
x x x
− > ⇔ > ⇔ ≥
Vậy
(
)
(
)
D ; 2 2;
= −∞ − +∞
∪
2. Hàm số xác ñịnh khi
7 2
0
1
x
x
−
>
−
-
1
+
7
2
-
7
1
2
x
⇔ < <
Vậy
7
D 1;
2
=
Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số
Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007
4
3. Hàm số xác ñịnh khi
2
0
ln 3ln 4 0
x
x x
>
− − >
4
0
1
ln 1
e
e
ln 4
x
o x
x
x
x
>
⇔
< <
⇔
< −
>
>
Vậy
( )
4
1
D 0; e ;
e
= +∞
∪
4. Hàm số xác ñịnh khi
2 1
4
1 4
1 2
1 0
x
x
x
x
x
− < < −
−
⇔ < < ⇔
< <
− + >
Vậy
(
)
(
)
D 2; 1 1;2
= − −
∪
5. Hàm số xác ñịnh khi
2
2
2 0
0 1
0 2
1 2
0 2 1
1
x
x
x
x
x
x x
x
≠ −
+ ≠
< <
⇔ < < ⇔
< <
< − ≠
≠
Vậy
(
)
(
)
D 0;1 1;2
=
∪
6. Hàm số xác ñịnh khi
2
3 3
9 3.6 2.4 0 3. 2 0
2 2
x x
x x x
− + > ⇔ − + >
3
2
3
0 1
0
2
log 2
3
2
2
x
x
x
x
< <
<
⇔ ⇔
>
>
Vậy
( )
(
)
3
2
D ;0 log 2;
= −∞ +∞
∪
Trắc nghiệm
: Thời gian 15 phút
Câu 1. Miền xác ñịnh của hàm số
(
)
(
)
ln ln
f x x
=
là ?
A.
(
)
(
)
; 1 1;
−∞ − +∞
∪
C.
(
)
(
)
; e e;
−∞ − +∞
∪
B.
(
)
0;
+∞
D.
(
)
;
−∞ +∞
Câu 2. Miền xác ñịnh của hàm số
(
)
(
)
2
5
log 7 12
f x x x= − +
là ?
A.
D
=
ℝ
C.
[
]
D \ 3, 4
=
ℝ
B.
(
)
(
)
,3 4,x
∈ −∞ +∞
∪
D. Cả B và C ñúng
Câu 3. Miền xác ñịnh của hàm số
( )
2
2
log
3
x
f x
x
+
=
− +
là ?
A.
(
)
(
)
; 2 3;
−∞ − +∞
∪
C.
(
)
2;3
−
B.
(
)
\ 2;3
−
ℝ
D.
(
)
; 2
−∞ −
Câu 4. Miền xác ñịnh của hàm số
( )
2
2
2
3 log
log
2 log
x
f x
x
−
=
+
là ?
Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số
Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007
5
A.
1
;4
8
C.
1
0;
8
B.
(
)
0;3
D.
(
)
2;3
−
Câu 5. Tập hợp xác ñịnh của hàm số
(
)
(
)
2
1
log 6
x
f x x x
−
= − + +
là
A.
(
)
1;2
C.
(
)
1;3
B.
(
)
2;3
D.
(
)
{
}
1;3 \ 2
Câu 6. Tập hợp xác ñịnh của hàm số
( )
2
1
ln 2
ln 4
f x x
x
= + −
−
là
A.
(
)
2
e ;
+∞
C.
{
}
\ 2;2
ℝ
B.
(
)
0;
+∞
D. Một kết quả khác
Câu 7. Tập hợp xác ñịnh của hàm số
(
)
(
)
lg 2 4
x
f x
= − +
là
A.
{
}
2
C.
(
)
;2
−∞
B.
{
}
\ 2
ℝ
D. Một kết quả khác
Câu 8. Tập hợp xác ñịnh của hàm số
(
)
(
)
2
ln ln 4ln 3
f x x x
= − + −
là
A.
(
)
1;3
C.
(
)
0;e
B.
(
)
3
e;e
D. Một kết quả khác
Câu 9. Hàm số
( )
2
lg
1
x
f x
x
+
=
+
có tập xác ñịnh là :
A.
[
)
2;
− +∞
C.
(
)
(
)
; 2 1;
−∞ − − +∞
∪
B.
(
]
(
)
; 2 1;
−∞ − − +∞
∪
D.
(
)
2; 1
− −
Câu 10. Hàm số
( )
(
)
2
3
log 7 12
y f x x x x= = − − − −
có tập xác ñịnh là :
A.
(
]
61
; 3 4;
13
−∞ −
∪
C.
(
)
3;4
−
B.
( )
61
; 3 4;
13
−∞ −
∪
D. Một kết quả khác
ðáp Án
: 1. A 2. D 3. C 4. B 5. D
6. A 7. C 8. B 9. C 10. D
Ví dụ 3
: Tìm miền xác ñịnh của các hàm số :
1.
( )
( )
2
2
3 5
4
ln 9
x
f x x
x
+
= − +
−
4.
( )
2
tan 1
3
x
f x
−
=
Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số
Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007
6
2.
( )
2
e 4
4 e
e 4.e 3
x
x
x
f x
−
= − +
− +
5.
( )
(
)
(
)
2
3
sin log 4
f x x= − +
3.
( )
4 3.2 2
2
x x
f x
− +
=
6.
( )
2
sin
4cos 3
x
f x
x
=
−
Giải
2. Hàm số xác ñịnh khi
2
2
2
3
2
4 0
10
9 0 3
3
ln( 9) 0
10
10
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
>
≥
− ≥
≠
− > ⇔ ≥ ⇔
< −
− ≠
≠ ±
≠ −
Vậy
( ) ( )
{
}
D ; 3 3; \ 10; 10
= −∞ − +∞ −
∪
2. Hàm số xác ñịnh khi
2
0 e 4
4 e 0
0 e 1
e 4.e 3 0
e 3
x
x
x
x x
x
< ≤
− ≥
⇔ ⇔
< <
− + >
>
ln 4 2ln 2
0
ln 3
x
x
x
≤ =
<
>
ln3 2ln 2
0
x
x
< ≤
⇔
<
Vậy
(
)
(
]
D ;0 ln 3;2ln 2
= −∞
∪
3. Hàm số xác ñịnh khi
(
)
2
4 3.2 2 0 hay 2 3.2 2 0
x x x x
− + > − + >
2 1 0
1
2 2
x
x
x
x
≤ ≤
⇔ ⇔
≥
≥
Vậy
(
)
(
)
;0 1;x
∈ −∞ ∪ +∞
4. Hàm số xác ñịnh khi tanx xác ñịnh
cos 0
2
x x k
π
π
≠ ⇔ ≠ +
Vậy
D \ ;
2
k k
π
π
= + ∈
ℝ ℤ
5. Hàm số xác ñịnh khi
2 2
4 0 4 2 2
x x x
− + > ⇔ < ⇔ − < <
Vậy
(
)
D 2;2
= −
6. Hàm số xác ñịnh khi
2
1 cos 2
4cos 3 0 4 0
2
x
x
+
− ≠ ⇔ ≠
1
2cos2 1 0 cos 2
2
x x
⇔ − ≠ ⇔ ≠
hay
2
cos cos
3
x
π
≠
6
x k
π
π
⇔ ≠ ± +
Vậy
D \ ; ;
6 6
k k k
π π
π π
= − + + ∈
ℝ ℤ
Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số
Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007
7
Trắc nghiệm : Thời gian 15 phút
Câu 1. Hàm số
( )
2
2
3 2
2
4
e
4
x x
x
f x
x
− +
−
= +
−
có tập xác ñịnh là :
A.
(
)
; 2
−∞ −
C.
(
)
2;
+∞
B.
[
]
2;1
−
D.
(
)
(
]
(
)
; 2 2;1 2;
−∞ − − +∞
∪ ∪
Câu 2. T
ập hợp các giá trị x làm cho hàm số
( )
2
5
ln 4 2
x
x x
f x
−
=
−
không xác ñịnh là :
A.
1
2
x
=
C.
2
log 3
x =
B.
0
x
=
D. Cả A,B,C
Câu 3. Hàm số
(
)
2
log sin
f x x
=
c xác ñịnh khi và chỉ khi :
A.
k
π
x
≠
C.
π
k
2
x ≠
B.
[
]
\ 1;1
x ∈ −
ℝ
D. k
π
x
=
Câu 4. Tập hợp xác ñịnh của hàm số
( )
(
)
(
)
2
cos ln 4
f x x= −
là
A.
[
]
2;2
−
C.
(
]
[
)
D ;2 2;
= −∞ +∞
∪
B.
[
]
D \ 2;2
= −
ℝ
D.
(
)
[
)
D ; 2 2;
= −∞ − +∞
∪
Câu 5. Hàm số
( )
( )
2
5
9
ln 3 27
x
f x x= − + +
− +
xác ñịnh khi và chỉ khi :
A.
[
]
3;3
−
C.
[
]
3
3;3 \ log 28
−
B.
[
)
3;3
−
D. Một kết quả khác
Câu 6. Hàm số
( )
( )
3
1
log 2 1
x
f x
x
=
− −
không xác ñịnh khi giá trị nguyên của x là :
A.
0; 1
x x
= =
C.
(
)
2;1 ;x x
∈ − ∈
ℤ
B.
(
)
2;5 ;x x
∈ ∈
ℤ
D.
2; 0; 1
x x x
= − = =
Câu 7. Hàm số nào sau ñây có tập hợp xác ñịnh là R ?
A.
(
)
e
x
f x
−
=
C.
( )
1
2
x
k x
−
=
B.
( )
e 2
x
g x
−
= +
D. Cả 3 ñáp số trên
Câu 8. Tập hợp xác ñịnh của hàm số
( )
(
)
( )
2 3
3
ln 3 3 ln 2
x
f x x
= − − −
là
A.
1
x
>
C.
(
)
1,2
x ∈
B.
2
x
>
D.
x
∀ ∈
ℝ
ðáp Án
: 1. D 2. D 3. A 4. B
5. B 6. A 7. D 8. B
Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số
Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007
8
Ví dụ 4. ðịnh m ñể hàm số sau xác ñịnh với
x
∀
1.
( )
2
2 2
3
3 m
x
f x
x x
+
=
− +
3.
( )
2
x - mx +1
f x =
2.
(
)
(
)
2
7
log 3x + mx +3
f x =
4.
( ) ( )
2
sin m 2 4 m 1
f x x x
= + − + −
Giải
1. Hàm số xác ñịnh
2 2 2 2
R x 3 m 0, R pt : x 3 m 0
x x x x
∀ ∈ ⇔ − + ≠ ∀ ∈ ⇔ − + =
vô nghiệm
0
x
⇔ ∆ <
2
3
9 4m 0 m>
2
⇔ − < ⇔
hoặc
3
m
2
< −
2. Hàm số xác ñịnh
2
R 3x mx 3 0, R <0
x x
∀ ∈ ⇔ + + > ∀ ∈ ⇔ ∆
2
m 36 0 -6 m 3
⇔ − < ⇔ < <
.
3. Hàm số xác ñịnh
2
R x mx 1 0, R 0
x x
∀ ∈ ⇔ − + ≥ ∀ ∈ ⇔ ∆ ≤
2
m 4 0 2 m 2
⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ≤
.
4. Hàm số xác ñịnh
( )
2
m 2 0
R
m 2 4 m 1 0
x
x x
+ >
∀ ∈ ⇔
+ − + − ≥
' 2
m 2
m m 6 0
> −
⇔
∆ = − − + ≤
m 2
m 3 m 2
> −
⇔
≤ − ≥
hoaëc
m 2
⇔ ≥
.
Trắc nghiệm
: thời gian 10 phút
Câu 1 . Với giá trị nào của m thì hàm số
( )
2
2m 3m 2
f x x x
= − + −
xác ñịnh với mọi x
A.
1 m 2
≤ ≤
C.
1 m 2
< <
B.
m 1
=
hoặc
m = 2
D.
m 1
≤
hoặc
≥
m 2
Câu 2 . Với giá trị nào của m thì hàm số
( )
2
2
8
2m 3m 2
x
f x
x x
+
=
+ + −
xác ñịnh với
(
)
x R
∀ ∈
?
A.
1 m 2
≤ ≤
C.
1 m 2
< <
B.
m 1
=
hoặc
m = 2
D.
m 1
≤
hoặc
≥
m 2
Câu 3 . Hàm số
(
)
(
)
(
)
2 2
4
2 2 m 1 m 4m 3
log
x x
f x
+ + + + +
=
có tập hợp xác ñịnh là R thì m phải thoả
ñiều kiện nào ?
A.
5 m 1
− ≤ ≤ −
C.
5 m 1
− < < −
B.
m -5
<
hoặc
m -1
>
D.
m -5
≤
hoặc
-1
≥
m
Câu 4 . N
ếu hàm số
( )
2
m m
y f x Cos x x
= = − +
có tập xác ñịnh là R thì m phải thoả ñiều
kiện nào ?
A.
m 0
≤
hoặc
≥
m 4
C.
0 m 4
≤ ≤
B.
0 m 4
< <
D.
m 0
<
hoặc
m > 4
Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số
Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007
9
Câu 5 . Với giá trị nào của m thì hàm số
(
)
2
sin(ln( 2m 3m 2))
f x x x= − + −
xác ñịnh với mọi
(
)
x R
∀ ∈
?
A.
1 m 2
< <
C.
m>1
hoặc
m < 2
B.
1 m 1
≤ ≤
D.
m 1
≥
hoặc
m
≤
2
ðáp Án
: 1. A 2. C 3. B 4. C 5. A
ðề Kiểm Tra 01
Thời gian làm bài
: 45 phút
Câu 1. Hàm số
( )
2
1 1
3 4
f x
x x
= −
+ −
có tập hợp xác ñịnh là :
A.
{
}
D \ 3
= −
ℝ
C.
{
}
D \ 4
= −
ℝ
B.
{
}
D \ 2;2
= −
ℝ
D.
{
}
D \ 3; 2;2
= − −
ℝ
Câu 2. Hàm số
( )
2
2
4
3 2
4
x
x
f x
x
x
−
= +
−
−
có tập hợp xác ñịnh là :
A.
3
;
2
−∞
C.
3
2;
2
−
B.
(
)
2;2
−
D. ðáp số khác
Câu 3. Miền xác ñịnh của hàm số
( )
2
2
1
x x
f x
x
− + +
=
−
là tập xác ñịnh nào sau ñây ?
A
(
)
]
(
1;1 1;2
− ∪
C.
[
]
)
{
1;2 \ 1;1
− −
B.
{
}
\ 1,2
−
ℝ
D.
(
)
1,2
−
Câu 4. Miền xác ñịnh của hàm số
( )
2
4
1
x
y f x
x x
= =
+ +
là tập xác ñịnh nào sau ñây ?
A
D
=
ℝ
C.
{
}
D \ 0
=
ℝ
B.
{
}
D \ 1
= −
ℝ
D.
{
}
D \ 1,0
= −
ℝ
Câu 5. Miền xác ñịnh của hàm số
( )
3 2
1 1
x
f x
x x
−
=
+ − −
là
A
D
=
ℝ
C.
{
}
D \ 1
= −
ℝ
B.
{
}
D \ 0
=
ℝ
D.
{
}
D \ 1,1
= −
ℝ
Câu 6. Hàm số
( )
2
8 9
2 2 4
x x
y f x
x x
− +
= =
+ + − −
không xác ñịnh khi :
A.
(
)
2;2
x ∈ −
C.
[
]
2;2
x∈ −
B.
(
)
(
)
; 2 2;x
∈ −∞ − +∞
∪
D. ðáp số khác
Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số
Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007
10
Câu 7. Hàm số
( )
8
2
4
2 4
f x x x
= − + −
có tập hợp xác ñịnh là :
A.
(
)
2;
+∞
C.
{
}
2
B.
2 2
x
− ≤ ≤
D.
ℝ
Câu 8. Miền xác ñịnh của hàm số
( )
2
2 3
f x x x x
= − + −
là tập hợp nào sau ñây ?
A
3
;
2
−∞
C.
ℝ
B.
3
;
2
+∞
D. ðáp số khác
Câu 9. Hàm số
( )
4 3
x x
f x e e
−
= − −
có tập hợp xác ñịnh là :
A.
[
]
0;ln 3
C.
[
]
\ 0;ln3
ℝ
B.
[
]
0;3
D.
[
]
\ 0;3
ℝ
Câu 10. Hàm số
( )
2 3
x x
f x e e
−
= + −
có tập hợp xác ñịnh là :
A.
(
)
(
)
0;1 2;
+∞
∪
C.
(
)
(
)
;0 ln 2;
−∞ +∞
∪
B.
(
)
1;2
D.
(
)
(
)
;1 2;
−∞ +∞
∪
Câu 11. Hàm số nào sau ñây xác ñịnh
(
)
x
∀ ∈
ℝ
?
A.
(
)
2
2 .
x
f x x e
−
=
C. Cả 2 câu A và B
B.
(
)
2
.
g x x Cos x
=
D.
(
)
2
.tan
k x x x
=
Câu 12. Tập hợp các giá trị x làm cho hàm số
( )
2
2
2
1
log 1
x
f x
x
−
=
−
không xác ñịnh là :
A.
{
}
1,0
−
C.
{
}
1;0;1; 2
−
B.
{
}
1, 2
D. ðáp số khác
Câu 13. Miền xác ñịnh của hàm số
( ) ( )
2
9
3
x
x
f x x
−
= −
là
A
(
)
3;
+∞
C.
{
}
\ 3;3
−
ℝ
B.
(
)
(
)
0,3 3;
+∞
∪
D. ðáp số khác
Câu 14. Hàm số
( )
( )
1
ln 1
ln ln 1
f x x
x x
= − +
−
có miền xác ñịnh là :
A.
(
)
2
;e
−∞
C.
(
)
2
e ;
+∞
B.
(
)
2
e;e
D.
(
)
(
)
2 2
e;e e ;
+∞
∪
Câu 15. ð
ể tìm
tập xác ñịnh của hàm số
( )
2
f x x
= −
một học sinh lý luận như sau :
(1). Hàm số
(
)
f x
xác ñịnh
2 0
x
⇔ − ≠
.
(2). Do ñó
2 x 2
x
⇔ ≠ ⇔ ≠ ±
.
(3). Vậy tập xác ñịnh của hàm số là
{
}
D \ 2;2
= −
ℝ
Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số
Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007
11
Trong lý luận trên nếu sai thì sai từ bước nào ?
A. Chỉ (1) C. Chỉ (3)
B. Chì (2) D. Chỉ (1) và (3)
Câu 16. Hàm số
(
)
(
)
2
2
log 6
x
f x x x
−
= + −
có tập hợp xác ñịnh là :
A.
(
)
(
)
; 3 2;
−∞ − +∞
∪
C.
(
)
3;2
−
B.
(
)
(
)
2;3 3;
+∞
∪
D.
(
)
2;3
Câu 17. Hàm số nào sau ñây có tập hợp xác ñịnh là R ?
A.
(
)
1
x
f x e
−
= +
C.
( )
3
1
x
k x e
−
= +
B.
( )
3 1
x
g x
= +
D. Cả 3 hàm số trên
Câu 18. Hàm số
(
)
(
)
(
)
2
ln 4 .ln 4
f x x x
= − −
có tập hợp xác ñịnh là :
A.
(
)
; 2
−∞ −
C.
(
)
2;4
B.
(
)
2;
+∞
D.
(
)
(
)
; 2 2;4
−∞ −
∪
Câu 19. Hàm số
( )
2
4 3
x
f x
x x
=
− +
có tập hợp xác ñịnh là :
A.
(
)
2;
+∞
C.
ℝ
B.
[
)
2;
+∞
D. Một kết quả khác
Câu 20. Miền xác ñịnh của hàm số
( )
2 1
4
x
y f x
x x
−
= =
−
là tập hợp nào sau ñây ?
A
\ 4
ℝ
C.
(
)
2;
+∞
B.
(
)
4,
+∞
D.
ℝ
Câu 21. Miền xác ñịnh của hàm số
( )
3 2 2
f x x x
= + − +
là tập hợp nào sau ñây ?
A
(
)
2;
− +∞
C.
[
)
0;
+∞
B.
(
)
0;
+∞
D.
[
)
2;
− +∞
Câu 22. Tập hợp xác ñịnh của hàm số
(
)
3 1 2
y f x x x
= = − − −
là
A.
1
;3
2
C.
ℝ
B.
[
)
1
; 3;
2
−∞ +∞
∪
D. Một kết quả khác
Câu 23. Tập hợp xác ñịnh của hàm số
(
)
(
)
2
2
log 3 2
x
f x x x
= − +
là
A.
{
}
\ 0;1
ℝ
C.
{
}
\ 1;0
−
ℝ
B.
(
)
[
)
;1 2;
−∞ +∞
∪
D.
(
)
(
)
{
}
;1 2; \ 1;0
−∞ +∞ −
∪
Câu 24. Tập hợp các giá trị x làm cho hàm số
( )
( )
3
1 2
y f x
x x
= =
+ +
không xác ñịnh là :
Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số
Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007
12
A.
(
)
{
}
2; \ 1
− +∞ −
C.
(
]
{
}
; 2 1
−∞ − −
∪
B.
[
)
{
}
2; \ 1
− +∞ −
D. Một ñáp án khác
Câu 25. Tập hợp xác ñịnh của hàm số
(
)
(
)
2
log 5 25
x
f x = −
là
A.
(
)
1;
+∞
C.
(
)
2;
+∞
B.
(
)
25;
+∞
D.
(
)
1;2
Câu 26. Miền xác ñịnh của hàm số
(
)
(
)
2
ln 6
f x x x
= − −
là ?
A
(
)
(
)
; 2 3;
−∞ − +∞
∪
C.
{
}
\ 2;3
−
ℝ
B.
(
)
2,3
−
D.
[
]
\ 2;3
−
ℝ
Câu 27. Tập hợp các giá tr
ị nào c
ủa m thì hàm số
( )
2
m m
f x x x
= − +
xác ñịnh với mọi x?
A.
0 m 1
< <
C.
0 m 4
< ≤
B.
0 m 4
≤ <
D.
0 m 4
≤ ≤
Câu 28. Hàm số
(
)
(
)
2 2
3
log m
f x x x= + +
có tập xác ñịnh là R thì m phải thoả ñiều kiện nào:
A.
1
m
4
>
C.
1 1
m
4 2
< <
B.
1
m
2
>
D. Giá trị m khác
Câu 29. Tập xác ñịnh của hàm số
( )
( )( )
3
2 1 2 5
x
x x
f x =
− +
là
A.
ℝ
C.
{
}
2
\ log 5
ℝ
B.
{
}
\ 0
ℝ
D.
{
}
2
\ 0;log 5
ℝ
Câu 30. Tập xác ñịnh của hàm số
( )
2 4
x x
f x
= −
là
A.
ℝ
C.
(
]
;0
−∞
B.
(
)
2
log 4
+ ∞
D.
(
)
0;2
ðáp Án
; 1. D 2. C 3. A 4. A 5. B 6. C 7. A 8. A 9. A 10. C
11. C 12. D 13. A 14. D 15. A 16. B 17. D 18. D 19. B 20. C
21. D 22. D 23. D 24. C 25. C 26. A 27. D 28. B 29. B 30. C
Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số
Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007
13
Vấn ñề 02 ðạo hàm
1. Dùng ñịnh nghĩa hàm số
(
)
y
f x
=
có ñạo hàm tại
0
D
x
∈
+
(
)
f x
có ñạo hàm bên phải
0
x
:
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
0
0 0 0
'
0
0
lim lim lim
x o x o x x
f x x f x f x f x
y
f x
x x x x
+ + +
+
∆ → ∆ → →
+ ∆ − −
∆
= = =
∆ ∆ −
+
(
)
f x
có ñạo hàm bên trái
0
x
:
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
0
0 0 0
'
0
0
lim lim lim
x o x o x x
f x x f x f x f x
y
f x
x x x x
− − −
−
∆ → ∆ → →
+ ∆ − −
∆
= = =
∆ ∆ −
+
(
)
f x
có ñạo hàm tại
0
x
:
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
0
0 0 0
'
0
0
lim lim lim
x o
x o x x
f x x f x f x f x
y
f x
x x x x
−
∆ →
∆ → →
+ ∆ − −
∆
= = =
∆ ∆ −
2. Dùng ñịnh nghĩa hàm số
(
)
y
f x
=
có ñạo hàm trong 1 khoảng:
(
)
f x
có ñạo hàm trong khoảng (a,b)
(
)
f x
⇔
có ñạo hàm tại
(
)
0
a,b
x∀ ∈
( )
(
)
(
)
'
lim lim
x o x o
f x x f x
y
f x
x x
∆ → ∆ →
+ ∆ −
∆
= =
∆ ∆
3. ðạo hàm bằng công thức (học sinh xem Sgk)
Ví dụ 1: cho hàm số
(
)
2
f x x
=
1. Tính số gia của hàm số
(
)
f x
tại ñiểm
0
1
x
= −
biết
0,3
x
∆ = −
Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số
Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007
14
2. Tính số gia của hàm số
(
)
f x
tương ứng với sự biến thiên của biến số : từ
0
1
x
=
ñến
0
2
x x
+ ∆ =
Giải
1.
(
)
(
)
0 0
y -
f x x f x
∆ = + ∆
(
)
(
)
1 1
f x f
= − + ∆ − −
( ) ( )
2 2
1 1
x
= − + ∆ − −
(
)
2
2 2
x x x x
= − ∆ + ∆ = ∆ ∆ −
Với
0,3
x
∆ = −
(
)
(
)
y 0,3 0,3, 2 0,69
⇒ ∆ = − − − =
2.
(
)
(
)
0 0
y -
f x x f x
∆ = + ∆
=
(
)
(
)
2 2
2 1 2 1 3
f f
− = − =
Ví dụ 2
: Dùng ñịnh nghĩa tính ñạo hàm của hàm số
(
)
2
2
f x x x
= +
tại ñiểm
0
0
x
=
.
Giải
( )
( ) ( )
(
)
( )
2
'
0
0 0
2 0
0
lim lim lim 2 1 1
0
x o x x
x x
f x f
f x x
x x
→ → →
+ −
−
= = = + =
−
Ví dụ 3
: Dùng ñịnh nghĩa tính ñạo hàm của hàm số
(
)
1
f x x
= +
trên khoảng
(
)
1;
− +∞
Giải
( )
( ) ( )
( )
'
0
0
1 1
lim lim lim
x o x o x
x x x
f x x f x
y
f x
x x x
∆ → ∆ → ∆ →
+ + ∆ − +
+ ∆ −
∆
= = =
∆ ∆ ∆
( )
( )
( )
( )
0 0
1 1
lim lim
2 1
1 1 1 1
x x
x
x
x x x x x x x
∆ → ∆ →
∆
= = =
+
∆ + + ∆ + + + + ∆ + +
Ví dụ 4
: Tính ñạo hàm của các hàm số tại ñiểm ñã chỉ ra.
1.
( )
2
1
2
f x
x x
=
−
tại ñiểm
0
1
x
=
3.
(
)
tan
f x x
=
tại ñiểm
0
4
x
π
=
2.
( )
2
2
f x x
= +
tại ñiểm
0
1
x
= −
4.
(
)
sin cos
f x x x x x
= +
tại ñiểm
0
1
x
=
Giải
1.
2
2 0 0
x x x
− ≠ ⇔ ≠
và
1
2
x
≠
, ta có
( )
( )
( ) ( )
( )
2 2
'
2
2
1 2 1 2
2
x x x x
f x
x x
′
− − −
=
−
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
' '
2 2
2 2
4 1 4.1 1
1 3
2 2.1 1
x
f x f
x x
− − − −
= ⇒ = = −
− −
Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số
Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007
15
2.
( ) ( )
( )
' '
2 2
1 3
1
3
2
1 2
x
f x f
x
− −
= ⇒ − = =
+
− +
3.
( )
' '
2
2
1 1 1
2
1
cos 4
cos
2
4
f x f
x
π
π
= ⇒ = = =
4.
(
)
(
)
(
)
'
sin cos cos sin 1 sin 1 cos
f x x x x x x x x x x x
= + + − = − + +
(
)
'
1 0 2cos1 2cos1
f = + =
Ví dụ 5
: Cho hàm số
f
ñịnh bởi
( )
2
2
1
b c 1
x x
f x
x x x
≤
=
− + + >
neáu
neáu
ñịnh b và c ñể hàm số có ñạo
hàm tại
0
1
x
=
Giải
+ Hàm số liên tục tại
0
1
x
=
(
)
(
)
1 1
lim lim
x x
f x f x
+ −
→ →
⇔ =
(
)
2 2
1 1
lim b c lim 1 b c 1 c 2 b
x x
x x x
− +
→ →
⇔ − + + = ⇔ − + + = ⇔ = −
Khi ñó
( )
2
2
1
b 2 b 1
x x
f x
x x x
≤
=
− + + − >
neáu
neáu
+
( )
(
)
(
)
( )
2
1 1 1
1
1
1 1 lim lim lim 1 2
1 1
x x x
f x f
x
x f x
x x
− − −
−
→ → →
−
−
′
< = = = + =
− −
+
( )
( ) ( )
(
)
2 2
1 1
b 2 b 1
1
1 1 lim lim
1 1
x x
x x
f x f
x f
x x
+ +
+
→ →
− + + − −
−
′
> = =
− −
(
)
(
)
( )
( )
2
1 1
1 b 1
lim lim b 1 b 2
1
x x
x x
x
x
+ +
→ →
− − + −
= = − + = −
−
Hàm số có ñạo hàm tại
0
1
x
=
nên
(
)
(
)
1 1 2 b 2 b 4 c 2
f f
− +
′ ′
= ⇔ = − ⇔ = ⇒ = −
Trắc nghiệm
: Thời gian 15 phút
Câu 1. Cho hàm số
(
)
cos
f x x
=
.ðể tính ñạo hàm của hàm số
(
)
f x
tại
0
0
x
=
,một học sinh lý
luận như sau:
Bước 1: Gọi
x
∆
là số gia của biến số
0
0
x
=
, số gia
y
∆
của hàm số:
( ) ( )
2
y 0 - 0 0 2sin
2
x
f x f Cos x Cos
∆
∆ = + ∆ = ∆ − = −
Bước 2: Lập
2 2
2sin sin
2 2
2
x x
y
x
x x
∆ ∆
∆
= − = −
∆
∆ ∆
Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số
Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007
16
Bước 3:
2
0 0
2sin
2
lim lim
2
x x
x
y
x
x
∆ → ∆ →
∆
∆
= − =
∆
∆
2
0 0
2sin
2
lim . lim sin 0
2
2
x x
x
x
x
∆ → ∆ →
∆
∆
− =
∆
Vậy
(
)
0 0
f
′
=
Trong lý luận trên,nếu thiếu sót thì thiếu sót từ giai ñoạn nào ?
A. Bước 1 C. Bước 3
B. Bước 2 D. Bước 1,2,3
Câu 2. Hàm số nào trong 3 hàm số sau có ñạo hàm tại
0
1
x
=
?
(
)
1
f x x
= −
;
( ) ( )
2
1
g x x= −
;
( ) ( )
3
1
h x x= −
A. Chỉ
(
)
f x
C. Chỉ
(
)
h x
B. Chỉ
(
)
g x
D. Chỉ
(
)
g x
và
(
)
h x
Câu 3. Cho hàm số
( )
2
m
1
x
f x
x
+
=
+
.Nếu
(
)
(
)
1 1
f f
′ ′
= −
thì m bằng giá trị nào sau ñây?
A.
1
−
C.
1
±
B.
1
D.
2
±
Câu 4. Cho hàm số
( )
n 0
1
0 n 0
x
x
f x
x
x
≠
=
+
=
eáu
eáu
. Xét các mệnh ñề sau:
I.
(
)
f x
xác ñịnh trên
{
}
\ 1
−
ℝ
II.
(
)
f x
liên tục tại
0
0
x
=
III.
(
)
f x
có ñạo hàm tại
0
0
x
=
Mệnh ñề nào ñúng?
A. Chỉ (I) C. Chỉ (III)
B. Chỉ (II) D. Chỉ (I) và (II)
Câu 5. Cho hàm số
( )
2
3
f x x x
= −
. Khi ñó giá trị của
(
)
(
)
A 2 2
f f
′
= +
là ?
A.
1
2
C.
3
2
B.
3
2
D. ðáp số khác
Câu 6. ðạo hàm của hàm số
(
)
10
.10
x
f x x=
là?
A.
(
)
(
)
9
10 ln10
f x x x
′
= +
C.
(
)
(
)
9
10 10 ln10
x
f x x x
′
= +
B.
(
)
(
)
9
10 ln10
x
f x x x
′
= +
D.
(
)
(
)
9
10 1 ln10
x
f x x x
′
= +
Câu 7. Hàm số
(
)
(
)
(
)
2 2
2
f x x x x x
= + − +
có ñạo hàm trên
D
=
ℝ
là:
A.
(
)
3
4 6 2
f x x x
′
= − −
C.
( ) ( )
2
2 1
f x x
′
= − +
B.
(
)
(
)
(
)
2
2 1 2 2 1
f x x x x
′
= + − −
D. Cả A và B.
Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số
Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007
17
Câu 8. Hàm số nào sau ñây có ñạo hàm tại
0
2
x
π
=
?
(
)
sin
f x x
=
;
(
)
g x x Cosx
= +
;
(
)
h x Cotx
=
A. Chỉ
(
)
f x
C. Chỉ
(
)
h x
B. Chỉ
(
)
g x
D. Chỉ
(
)
f x
và
(
)
g x
Câu 9. ðạo hàm của hàm số
(
)
x
f x e
=
tại
0
x
=
là?
A. Không có C.
1
−
B.
1
D.
1
±
Câu 10. Hàm số
(
)
3
ln
f x x x
=
có
(
)
1
f
′
là?
A.
1
C.
4
B.
3
D.
∞
ðáp Án
: 1. A 2. D 3. C 4. B 5. D
6. C 7. D 8. D 9. A 10. D
Chú ý
: Nếu hàm số
(
)
f x
có ñạo hàm tại
0
x
thì nó liên tục tại ñó. ðảo lại một hàm số liên
tục tại một ñiểm
0
x
thì chưa chắc có ñạo hàm tại ñiểm ñó.
Ví dụ 1
: cho hàm số
( )
2
m n
f x x x
= + +
. Xét ñạo hàm tại ñiểm
0
0 D
x
= ∈
.
1/ Tìm m, n ñể
(
)
0 1
f
′
=
?
2/ Tìm m, n ñể
(
)
0
f
′
không tồn tại ?
Giải
( )
(
)
(
)
2
0 0
0
m n n
0 lim lim
x x
f x f
x x
f
x x
→ →
−
+ + −
′
= =
2
0
m 1 1
lim
2 n
m n n
x
x
x x
→
+
= =
+ + +
1/
(
)
0 1
f
′
=
1 1
1 n ; m
4
2 n
⇔ = ⇔ = ∀
2/
(
)
0
f
′
không tồn tại
( )
1
0
2 n
f
′
⇔
không xác ñịnh
n 0 ; m
⇔ ≤ ∀
.
Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số
Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007
18
Ví dụ 2 : Chứng minh hàm số
(
)
1
f x x
= −
và
( )
1
h
1
x
x
x
−
=
+
không có ñạo hàm tại
0
1
x
=
?
Giải
*
(
)
1
f x x
= −
( )
(
)
(
)
1 1
11
1 lim lim 1
1 1
x x
xf x f
f
x x
+ +
+
→ →
−−
′
= = =
− −
( )
(
)
(
)
(
)
1 1
1 1
1 lim lim 1
1 1
x x
f x f x
f
x x
− +
−
→ →
− − −
′
= = = −
− −
Vì
(
)
(
)
1 1
f f
+ −
′ ′
≠
nên
(
)
1
f
′
không tồn tại.
*
( )
1
h
1
x
x
x
−
=
+
Tương tự như trên ta ñược :
( ) ( )
1 1
1 1
2 2
f f
+ −
′ ′
= ≠ = −
Vậy
(
)
h x
′
không tồn tại
Ví dụ 3
: cho hàm số
( )
1 1
0
1
2
x
x
x
x
f x
− −
≠
=
neáu
neáu =0
1/ Chứng minh rằng hàm số
(
)
f x
liên tục tại
0
x
=
.
2/ Tính ñạo hàm (nếu có) của hàm số tại
0
x
=
.
Giải
1/
( )
1
0
2
f
=
( )
(
)
(
)
( )
0 0 0 0
1 1 1 1
1 1 1 1
lim lim lim lim
2
1 1
1 1
x x x x
x x
x
f x
x
x
x x
→ → → →
− − + −
− −
= = = =
+ −
+ −
(
)
(
)
0
0 lim
x
f f x
→
=
nên hàm số liên tục tại
0
x
=
.
2/
( )
( ) ( )
2
0 0 0
1 1 1
0
2 2 1
2
0 lim lim lim
0 2
x x x
x
f x f
x x
x
f
x x x
→ → →
− −
−
−
− − −
′
= = =
−
Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số
Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007
19
(
)
(
)
( )
2
0
2 2 1 2 2 1
lim
2 2 2 1
x
x x x x
x x x
→
− − − − + −
=
− + −
( )
0
1 1
lim
8
2 2 2 1
x
x x
→
= =
− + −
Ví dụ 4
: Cho hàm số
( )
( )
1 cos π
;
π
π
0 ;
π
x
x
x
x
f x
− −
≠
−
=
=
Tính
(
)
π
f
′
?
Giải
. ðặt
t
π
x
= −
; nếu
π
x
→
thì
t
π 0
x
= − →
.
. Hàm số cho viết lại
( )
(
)
2
2 sin
1 cos t
; t 0
t t
0 ; t 0
t
2
tf
−
= ≠
=
=
( )
( ) ( )
2 sin
2
t 0 t 0
t
2
t 0
t
lim lim
t 0 t
f f
f x
→ →
−
′
= =
−
2
2
2
0 0
sin
t t
sin
1 1
2 2
2.lim .lim
t
t
2 2
4.
2
4
t t→ →
= = =
Ví dụ 5
: Cho hàm số
( )
2
sin π
1
1
0 1
x
x
x
x
f x
≠
−
=
=
neáu
neáu
Xét tính liên tục và tính ñạo hàm của hàm số
(
)
f x
tại
1
x
=
.
Giải
* Xét tính liên tục tại
1
x
=
(
)
1 0
f
=
( )
2
1 1
sin
π
lim lim
1
x x
x
f x
x
→ →
=
−
ðặt
t 1
x
= −
; Khi ñó
1
x
→
thì
t 0
→
và
t 1
x
= +
.
( )
(
)
(
)
2 2
1 0 0
sin
π t 1 sin π πt
lim lim lim
t t
x t t
f x
→ → →
+ +
= =
( )
2
2 2
2
0
sin πt
lim .
π t=1.π .0 0
πt
t→
= =
(
)
(
)
1
1 lim 0
x
f f x
→
= =
Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số
Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007
20
Vậy hàm số liên tục tại
1
x
=
.
* Xét tính ñạo hàm tại
1
x
=
.
( )
(
)
(
)
( )
2
2
1 1
1
sin
π
1 lim lim
1
1
x x
f x f
x
f
x
x
→ →
−
′
= =
−
−
ðặt
t 1
x
= −
; Khi ñó
1
x
→
thì
t 0
→
và
t 1
x
= +
.
( )
(
)
(
)
( )
2 2
2
2 2
2
2 2
t 0 t 0 t 0
sin π t+1 sin π πt
sin πt
1 lim lim lim .
π π
t t
πt
f
→ → →
+
′
= = = =
Vậy
(
)
2
1
π
f
′
=
.
Chú ý
: Bài toán này có thể giải.
Cho
x
∆
1 số gia của biến số
1
x
=
.
*
0.
x
∆ >
(
)
(
)
2
0 0
1 1
lim lim
π
x x
f x f
y
x x
+ +
∆ → ∆ →
+ ∆ −
∆
= =
∆ ∆
.
*
0.
x
∆ <
(
)
(
)
2
0 0
1 1
lim lim
π
x x
f x f
y
x x
− −
∆ → ∆ →
+ ∆ −
∆
= =
∆ ∆
.
Vì
2
0 0
lim lim
π
x x
y y
x x
+ −
∆ → ∆ →
∆ ∆
= =
∆ ∆
nên
0
lim
x
y
x
∆ →
∆
∆
xác ñịnh .
Vậy hàm số có ñạo hàm tại
1
x
=
. Do vậy hàm số
(
)
f x
liên tục tại
1
x
=
.
Ví dụ 6
: Cho hàm số
( )
2
2 3
3 1
x x
f x
x
− +
=
−
.
Chứng minh rằng hàm số
(
)
f x
liên tục tại
3
x
= −
; Nhưng không có ñạo hàm tại ñiểm ñó .
Giải
( )
( )
( )
2
2 3
3
3 1
2
2 3
3
3 1
x x
x
x
x x
x
x
f x
− +
≥−
−
+ +
≤−
−
=
neáu
neáu
( )
9
3
10
f =
*
3.
x
≥ −
( )
( )
(
)
2
3 3
2 3
9
3 lim lim
3 1 10
x x
x x
f f x
x
+ +
+
∆ →− ∆ →−
=
− +
− = =
−
.
*
3.
x
≤ −
( )
( )
(
)
2
3 3
2 3
9
3 lim lim
3 1 10
x x
x x
f f x
x
+ −
−
∆ →− ∆ →−
=
+ +
− = =
−
.
Vì
( ) ( )
9
3 3
10
f f
+ −
− = − =
nên hàm số liên tục tại
3
x
= −
*
3.
x
≥ −
( )
( ) ( )
(
)
2
3 3
2 3
9
3 1 10
3
3
53
3 lim lim
3 100
x x
x x
x
x
f x f
f
x
+ +
+
∆ →− ∆ →−
− +
−
−
=
+
−
′
− = =
+
.
Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số
Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007
21
*
3.
x
≤ −
( )
( ) ( )
(
)
2
3 3
2 3
9
3 1 10
3
3
13
3 lim lim
3 100
x x
x x
x
x
f x f
f
x
− +
−
∆ →− ∆ →−
+
−
−
=
+
+
−
′
− = =
+
.
Vì
(
)
(
)
3 3
f f
+ −
′ ′
− ≠ −
nên
(
)
(
)
3
3 3
lim
3
x
f f
x
→−
−
+
không xác ñịnh.
Do ñó hàm số
(
)
f x
không có ñạo hàm tại
3
x
= −
.
ðạo hàm cấp cao.
Ví dụ 1
: Tính ñạo hàm cấp n của hàm số
( )
1
1
f x
x
=
+
Giải
+
D
=
ℝ
+
( ) ( ) ( )( )
(
)
( )
1 2
2
1 .1!
1 1 1
1
f x x x
x
− −
−
′
′
= + = − + =
+
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2 2 3
3
1 .2!
1 1 1 .2. 1
1
f x x x
x
− −
−
′
′′
= − + = − + =
+
Dự ñoán
( )
( )
( )
( )
n
n
n+1
1 .n!
1
x
f
x
−
=
+
;
n N
+
∈
(1).
+ Ta chứng minh ñiều dự ñoán là ñúng .
. Với
n 1
=
, ta có
( )
( )
2
1
1
f x
x
−
′
=
+
mệnh ñề ñúng với
n 1
=
.
. Giả sử (1) ñúng với
n k 1 ; k,n N
+
= ≥ ∈
,ta có.
( )
( )
( )
k
k
k 1
1 .k!
1
f
x
+
−
=
+
. Ta cần chứng minh (1) cũng ñúng với
n k 1
= +
.
Thật vậy
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )( )
( )
k k 1 k k 2
k 1 k
1 .k!. 1 1 .k!. k 1 1
x x
f f x x
− + − +
+
′
′
= = − + = − − − +
( ) ( )
( )
k+1
k 1
1 . k 1 !
; k N
1x
+
+
− +
= ∈
+
, công thức ñúng với
n k 1
= +
.
Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số
Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007
22
Ví dụ 2
: Cho hàm số
(
)
y e .cos
x
f x x
= =
. Chứng minh :
y 2y 2y 0
′′ ′
− + =
. Với
y ,y
′ ′′
là ñạo hàm
cấp 1, cấp 2 .
Giải
y =e .cos e sin y e sin .
x x x
x x x
′
− = −
(
)
y y e .sin e cos y y e .sin
x x x
x x x
′′ ′ ′
= − + = − −
(
)
y e .sin y e .sin
x x
x x
= − − −
= - 2e .sin
x
x
(
)
y 2y 2y 2e .sin 2 y e .sin 2y
x x
x x
′′ ′
− + = − − − +
2e .sin 2y 2e .sin 2y 0
x x
x x
= − − + + =
(ñpcm).
Trắc nghiệm
: Thời gian 15 phút
Câu 1. ðạo hàm cấp n của hàm số
y sin
x
=
là biếu thức nào sau ñây ?
n N
+
∈
A.
(
)
cos n
π
x +
C.
(
)
sin n
π
x +
B.
π
cos n
2
x
+
D.
π
sin n
2
x
+
Câu 2. Cho hàm số
y e sin
x
x
=
, gọi
y
′
và
y
′′
lần lượt là ñạo hàm cấp 1 và 2. Hệ thức nào sau
ñây ñúng ?
A.
y +2y 2y 0
′′ ′
+ =
C.
y +2y -2y 0
′′ ′
=
B.
y 2y 2y 0
′′ ′
− + =
D.
y 2y -2y 0
′′ ′
− =
Câu 3. Cho hàm số
y e cos
x
x
=
, gọi
y
′
và
y
′′
lần lượt là ñạo hàm cấp 1 và 2. Hệ thức nào sau
ñây ñúng ?
A.
y +y y 0
′′ ′
+ =
C.
y +y -ysinx 0
′′ ′
=
B.
y -y ysinx 0
′′ ′
+ =
D. Một hệ thức khác
Câu 4. Cho hàm số
3
y
4
x
x
−
=
+
, gọi
y
′
và
y
′′
lần lượt là ñạo hàm cấp 1 và 2. Hệ thức nào sau ñây
ñúng ?
A.
(
)
2
y y 1 .y
′ ′′
= −
C.
(
)
y y 1 .y
′ ′′
= −
B.
(
)
2
2y y 1 .y
′ ′′
= −
D.
(
)
2
2y y 1 .y
′′ ′
= −
Câu 5. ðạo hàm cấp n của hàm số
(
)
y ln 0;n N
x x
+
= > ∈
là :
A.
( )
n
n
1 .n!
x
−
C.
( ) ( )
n-1
n
1 . n-1 !
x
−
Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số
Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007
23
B.
( ) ( )
n-1
n-1
1 . n-1 !
x
−
D.
( )
n
n-1
1 .n!
x
−
Câu 6. Cho hàm số
(
)
y 0 1
x
x x
= < ≠
.ðạo hàm của hàm số là biếu thức nào sau ñây ?
A.
1
x
x
−
C.
(
)
ln 1
x
x x
+
B.
(
)
ln 1
x x
+
D.
(
)
1
ln 1
x
x x
−
+
Câu 7. ðạo hàm cấp n của hàm số
y cos
x
=
là hệ thức nào sau ñây ?
A.
π
cos n
2
x
+
C.
(
)
sin n
π
x
+
B.
π
sin n
2
x
+
D. Một kết quả khác.
Câu 8. ðạo hàm cấp n của hàm số
1
y
1
x
=
+
là hệ thức nào sau ñây ?
A.
( )
( )
n
n 1
1
1
x
+
−
+
C.
( ) ( )
( )
n-1
n 1
1 . n-1 !
1
x
+
−
+
B.
( )
( )
n
n 1
1 .n!
1
x
+
−
+
D. Một kết quả khác
ðáp Án
: 1. D 2. B 3. D 4. B
5. C 6. C 7. A 8. B
Vấn ñề 03 Tính ñơn ñiệu
Lý thuyết :
………………………………………………………………………………………….
Ví dụ 1
: Cho hàm số
( )
3 2
1 1
3 2
y f x x x
= = −
. Xác ñịnh khảng ñơn ñiệu hàm số.
Giải
.
D
=
ℝ
.
(
)
(
)
2
1
f x x x x x
′
= − = −
+
(
)
0 0 1:
f x x
′
≤ ⇔ ≤ ≤
+
(
)
0 x 0
f x
′
≥ ⇔ ≤
hoặc
1
x
≥
Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số
Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007
24
Ví dụ 2 : Cho hàm số
( ) ( ) ( )
3 2
1 m
y m, 2 2 m 2 2 m 5
3
f x x x x
−
= = − − + − +
ðịnh m ñể hàm số luôn luôn nghịch biến.
Giải
.
D
=
ℝ
.
(
)
(
)
(
)
2
y 1 m 4 2 m 2 2 m
x x
′
= − − − + −
. Hàm số luôn luôn nghịch biến
( ) ( )( )
2
1 m 0
D
y 2 m 1 m 2 m 0
x
− <
∀ ∈ ⇔
′ ′
∆ = − − − − ≤
[ ]
2
1 m
m 1
m 2;3
2 m 3
m 5m 6 0
≤
>
⇔ ⇔ ⇔ ∈
≤ ≤
− + ≤
.
Ví dụ 3
: ðịnh m ñể hàm số
2
m 5m 3
1
x
y
x
+ − +
=
−
luôn luôn ñồng biến trên mỗi khảng
(
)
;1
−∞
và
(
)
1;
+∞
.
Giải
.
{
}
D \ 1
=
ℝ
.
(
)
( )
2
2
m 5m 4
y
1
x
− − +
′
=
−
. Hàm số luôn luôn ñồng biến trên mỗi khoảng
(
)
;1
−∞
và
(
)
1;
+∞
Khi
(
)
y 0 x ;1
′
> ∀ ∈ −∞
và
(
)
1;
+∞
2
m 5m 4 0 1 m 4
⇔ − + − > ⇔ < <
.
Ví dụ 4
: Chứng minh rằng
π
sin2 2 ; x 0;
2
x x
< ∀ ∈
Giải
ðặt
( )
π
sin2 2 ; 0;
2
f x x x x
= − ∀ ∈
( ) ( )
2
π
2 2 2 2 1 2 =-4sin x<0 ; 0;
2
f x Cos x Cos x x
′
= − = − − ∀ ∈
Do ñó hàm số nghịch biến
π
0;
2
x
∀ ∈
.
π
2
0
x
Nguyễn Phú Khánh Những vấn ñề thi tuyển liên quan ñến hàm số
Bản thảo xuất bản sách tham khảo năm 2007
25
( )
-
f x
′
( )
f x
0
π
−
Vậy
( )
π
0 sin2 2 0 sin2 2 ; x 0;
2
f x x x x x
< ⇔ − < ⇔ < ∀ ∈
.
Ví dụ 5
:
1. Giải phương trình :
(
)
ln 3 4
x x
− = −
.
2. Giải bất phương trình :
2
5 4
x
x
−
< +
.
Giải
1/ .
(
)
D 3;
= +∞
.
. Xét
(
)
(
)
ln 3
f x x
= −
và
(
)
4
g x x
= −
.
.
( )
1
0; 3
3
f x x
x
′
= > ∀ >
−
.
→
Hàm số
(
)
f x
luôn ñồng biến
3
x
∀ >
(
)
1 0.
g x x
′
= − < ∀ →
Hàm số
(
)
g x
luôn nghịch biến
x
∀
.
. Do ñó 2 ñồ thị cắt nhau tại ñiểm duy nhất và
(
)
(
)
4 4 0
f g
= =
.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
4
x
=
.
2/ Xét hàm số
(
)
(
)
2
5 ; 4
x
f x g x x
−
= = +
.
(
)
4
5 .ln 5 0
x
f x
−
′
= − < →
Hàm số
(
)
f x
nghịch biến
x
∀ ∈
ℝ
.
(
)
1 0
g x
′
= >
→
Hàm số
(
)
g x
ñồng biến
x
∀ ∈
ℝ
.
Vậy 2 ñồ thị cắt nhau tại ñiểm duy nhất.
Nhận xét
(
)
(
)
1 1 5
f g
= =
. Nghiệm của bất phương trình
1
x
>
.
Ví dụ 6:
Tím các giá trị của m sao cho hàm số
(
)
3 2
3 3m 1
f x x x x
= − + −
.
1. ðồng biến trên tập xác ñịnh của nó
2. ðồng biến trên khoảng
(
)
2;
+∞
3. Nghịch biến trên khoảng
(
)
0;3
Bài Giải
(
)
(
)
2 2
3 6 3m 3 2 m
f x x x x x
′
= − + = − +
1. Hàm số ñồng biến trên tập xác ñịnh
ℝ
khi :
x
∀ ∈
ℝ
sao cho
(
)
0
f x
′
≥
1 m 0 m 1
′
⇔ ∆ = − ≤ ⇔ ≥
