ôn tập-luyện thi vào lớp 10. môn Toán

LỜI NÓI ĐẦU
Để góp phần định hướng cho việc dạy - học ở các trường nhất là việc ôn tập, rèn luyện kĩ
năng cho học sinh sát với thực tiễn giáo dục của nhà trường nhằm nâng cao chất lượng các kì thi
tuyển sinh sắp tới. Tổ KHTN trường THCS Nghi Văn biên soạn bộ đề cương ôn tập-luyện thi vào
lớp 10.
Về nội dung kiến thức, kĩ năng: Tài liệu được biên soạn theo hướng bám Chuẩn kiến thức, kĩ
năng của Bộ GDĐT, trong đó tập trung vào những kiến thức cơ bản, trọng tâm và kĩ năng vận
dụng.
Chúng tôi cố gắng biên soạn nội dung đề cương bám sát với thực tế năng lực của học sinh
trường THCS Nghi Văn, nhằm tổ chức , ôn thi có chất lượng, góp phần quan trọng nâng cao chất
lượng dạy - học để phục vụ cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm học 2012-2013 và những
năm tiếp theo đạt hiệu quả tốt nhất.
Bộ đề cương này biên soạn mang tích chất định hướng, bám sát theo các đơn vị kiến thức
trọng tâm theo nội dung cuốn sách luyện thi vào lớp 10 và các đề thi vào lớp 10 của SGD Nghệ An
ra trong các năm gần đây.
Chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu, tìm hiểu và hoàn thiện hơn bộ đề cương này trong các
năm tiếp theo.
Nhóm biên tập
Tổ KHTN – Trường THCS Nghi Văn
Trang 1
1.1 Một số chú ý:
Các hằng đẳng thức hay dùng:

( )( )
1x1x1x)1
+−=−


( )( )
yxyxyx)2
+−=−

( )( )
1xx1x1xx)3 +±=± 

( )( )
yxyxyxyyxx)4 +±=± 
5. Học sinh phải biết đưa ra ngoài dấu căn
( )
2
12
−

( )
2
52
−
6. Học sinh phải biết tạo thành hằng đẳng thức khi gặp các biểu thức sau

để rút gọn
:

223 +
;
83
−
;
549
+

1.2 Chọn lọc các bài tập ôn luyện:

Câu 1: P =
1x
1x
:
xx
x
1x
x
−
+








−
−
−
a.Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b. Tìm x để p <0.
Câu 2: K =
xx
xx2
1x
x
−
−
−

−
a.Tìm ĐKXĐ và rút gọn K b. Tính K sao cho x= 4+2
3
.
Câu 3 : . Cho biểu thức A =
1 1
1
1
x x x
x
x
+ −
−
−
+
.
a)Nêu ĐKXĐ và rút gọn A. b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =
9
4
.
c) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1.
( Đề thi vào lớp 10 tỉnh Nghệ An năm học 2009 – 2010 )
Câu 4: Cho biểu thức P =
2 2
1
1 1
x
x
x x
− −

−
− +
a) Nêu ĐKXĐ và rút gọn P; b)Tính giá trị của P khi x = 9;
c) Khi x thoả mãn ĐKXĐ. Hãy tìm GTNN của biểu thức B = A(x – 1).
( Đề thi vào lớp 10 tỉnh Nghệ An năm học 2010 – 2011 )
Câu 6 : Cho biểu thức P =
3 1 1
:
1
1 1
x
x x
 
+
 ÷
−
+ +
 
a) Nêu ĐKXĐ và rút gọn biểu thức P. b) Tìm các giá trị của x để P =
5
4
.
c)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =
12 1
.
1
x
P
x
+

−
.
( Đề thi vào lớp 10 tỉnh Nghệ An năm học 2008 – 2009)
Câu 8: Cho biểu thức M =
8 8( 1)
2 1
x x x
x x
− −
−
− −
a)Nêu ĐKXĐ và rút gọn M.
a) Tìm GTNN cảu biểu thức M.
Trang 2
A.Phần Đại số
Dạng 1: Bài toán rút gọn tổng hợp.
Câu 9: Cho biểu thức A =
1 1
4
2 2
x
x
x x
+ +
−
− +
a) Nêu ĐKXĐ và rút gọn A. b)Tính giá trị của A khi x = 25. c)Tìm x để A = -
1
3
.

Câu 10: Cho biểu thức A =
2 1
:
2 1
x
x x x x
 
+
 ÷
 ÷
+ − −
 
a) Nêu ĐKXĐ và rút gọn A. b)Tìm giá trị của A khi x =
3 2 2−
c)Tìm GTNN của biểu thức A.
Câu 11 : Cho biểu thức P =
2
2 2 1
.
1
2 1 2
x x x
x
x x
 
− + −
 
−
 ÷
 ÷

 ÷
−
+ +
 
 
a)Nêu ĐKXĐ và rút gọn P. b) CMR nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
c)Tìm giá trị lớn nhất của P.
Câu 12: Cho biểu thức P =
1 1
1 .
1x x x
 
+
 ÷
− −
 
a) Nêu ĐKXĐ và rút gọn P. b)Tính giá trị của P khi x = 25.
c)Tìm x để P.
( )
2
5 2 6. 1 2009 2 3x x
+ − = − + +
.
Câu 13 : Cho biểu thức: A =
x
x
x
x
xx
x

−
+
−
−
+
−
+−
−
3
12
2
3
65
92
(x≥ 0; x≠ 4 ; x≠ 9)
a, Tìm các giá trị của x để A > 1. b, Tìm các giá trị của x
∈
Z để A
∈
Z.
Câu 14 : Cho biểu thức: M =
.
2
x)(1
1x2x
2x
1x
2x
2
−

⋅








++
+
−
−
−
a) Rút gọn M. b) Tìm các giá trị của x để M dương. c) Tìm giá trị lớn nhất của M.
Câu 15 : Cho biểu thức: P =








−
+
+









−
−
−
1
2
1
1
:
1
1
x
xxxx
x
a) Tìm các giá trị của x để P > 0
b) Tìm x để P = 6
Câu 1 6: P=
.
1
1
1
1
1
2
:1









−
+
−
++
+
+
−
+
x
x
xx
x
xx
x
Rót gän P
So s¸nh P víi 3
Câu 17 : Cho biÓu thøc :
P=









−
+
+








+
−
−
a
a
aa
a
a
aa
1
1
.
1
1

a.Rót gän P

b.T×m a ®Ó P<
347
−
Câu 18 : Cho biÓu thøc:
P=








−
−
−








−
+
−
−
+
+

1
3
22
:
9
33
33
2
x
x
x
x
x
x
x
x
a.Rót gän P
a) T×m x ®Ó P<
2
1
b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P
Câu 19 : XÐt biÓu thøc
1.
a
a2a
1aa
aa
A
2
+

+
−
+−
+
=
Trang 3
a) Rót gän A.
b) BiÕt a > 1, h·y so s¸nh A víi
A
.
c) T×m a ®Ĩ A = 2.
d) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa A.
Câu 20: Cho biĨu thøc
x1
x
2x2
1
2x2
1
C
−
+
+
−
−
=
a) Rót gän biĨu thøc C.
b) TÝnh gi¸ trÞ cđa C víi
9
4

x =
.
c) TÝnh gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ
.
3
1
C
=
2.1 Kiến thức bổ sung:
Ph ươ ng trình : ax
2
+ bx + c = 0 (
≠a¹ 0
) 
- Phương trình  có 2 nghiệm phân biệt
0
⇔ ∆ >
; Có nghiệm:
0
≥∆
- Phương trình  có 2 nghiệm trái dấu
0
<⇔
P
- Phương trình  có 2 nghiệm cùng dấu
0
0P
∆ ≥

⇔


>

- Phương trình  có 2 nghiệm cùng dương
0
0
0
P
S
∆ ≥


⇔
>


>

- Phương trình  có 2 nghiệm cùng âm
0
0
0
P
S
∆ ≥


⇔
>



<

2.2. Bài tập chọn lọc:
Câu 1: Chøng minh r»ng c¸c ph¬ng tr×nh sau lu«n cã nghiƯm.
a> x
2
-3mx – 1 =0
b> x
2
– 2(m - 1)x – 3 – m = 0
c> x
2
+ (m + 1)x + m = 0
d> x
2
– 2mx – m
2
– 1 = 0
Câu 2 : Cho ph¬ng tr×nh: x
2
– 2(m + 1)x + 4m = 0
1) X¸c ®Þnh m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp. T×m nghiƯm kÐp ®ã.
2) X¸c ®Þnh m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã mét nghiƯm b»ng 4. TÝnh nghiƯm cßn l¹i.
3) Víi ®iỊu kiƯn nµo cđa m th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm cïng dÊu (tr¸i dÊu)
4) Víi ®iỊu kiƯn nµo cđa m th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm cïng d¬ng (cïng ©m).
5) §Þnh m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm sao cho nghiƯm nµy gÊp ®«i nghiƯm kia.
6) §Þnh m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x
1
; x

2
tho¶ m·n 2x
1
– x
2
= - 2.
7) §Þnh m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x
1
; x
2
sao cho A = 2x
1
2
+ 2x
2
2
– x
1
x
2
nhËn
gi¸ trÞ nhá nhÊt
Câu 3: Cho phương trình: x
2
– 4x + m-1 = 0 (1)
1, Giải phương trình khi m = 4; m= -4.
2, Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
3, Tìm m để phương trình có nghiệm
4, Tim để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
5, Tìm m để phương trình vơ nghiệm.

Trang 4
Dạng 2: Phương trình bậc hai và hệ thức vi -ét
6, Tỡm m phng trỡnh cú nghim kộp. Tỡm nghim kộp ú.
7, Tỡm m phng trỡnh cú mt nghim x = -2. Tỡm nghim cũn li.
8, Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim cựng õm
9, Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim cựng dng.
10, Tỡm m phng trỡnh cú 2 nghim x
1
, x
2
tho món cỏc h thc:
a, x
1
= 2x
2
b, x
1
2
+ x
2
2
= 8
c,
2
11
21
=+
xx
d, x
1

x
2
= 2.
Cõu 4: Cho phng trỡnh bc hai n s x:
x
2
- 2(m + 1)x + m - 4 = 0. (1)
a, Gii phng trỡnh khi m = 0; m= 3.
b/ Chng minh phng trỡnh (1) luụn luụn cú hai nghim phõn bit
vi mi giỏ tr ca m.
c/ Gi x
1
, x
2
l hai nghim phõn bit ca phng trỡnh (1).
Tỡm m 3( x
1
+ x
2
) = 5x
1
x
2
.
d/Tỡm h thc gia v khụng ph thuc vo m.
e. Tỡm m phng trỡnh cú mt nghim x = 2. Tỡm nghim cũn li.
Cõu 5: Cho phng trỡnh bc hai sau, vi tham s m.
x
2
(m + 1)x +2m 2 = 0

a) Gii phng trỡnh (1) khi m = 2.
b) Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s m x = -2 l mt nghim ca phng trỡnh (1).
Cõu 6: Cho phơng trình: x
2
2mx m
2
1 = 0.
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x
1
; x
2
không phụ thuộc vào m.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn:
2
5
x
x
x
x
1
2

2
1
=+
.
Cõu 7: Cho phng trỡnh x
2
- (5m - 1)x + 6m
2
- 2m = 0 (m l tham s)
a, Gii phng trỡnh khi m = 2 v m = -1.
b) Chng minh phng trỡnh luụn cú nghim vi mi m.
c) Gi x
1
, x
2
l nghim ca phng trỡnh. Tỡm m x
1
2
+ x
2
2
=1.
Cõu 8 : . Cho phng trỡnh: x
2
- 2(m-3)x - 2(m-1) = 0 (1)
a) Chng minh rng phng trỡnh luụn cú 2 nghim phõn bit vi mi giỏ tr ca m;
b) Gi x
1
, x
2

l 2 nghim ca phng trỡnh (1). Tỡm giỏ tr nh nht ca x
1
2
+ x
2
2
.
Cõu 9: Cho phng trỡnh bc hai sau, vi tham s m.
x
2
(m + 1)x + 2m 2 = 0 (1)
1. Gii phng trỡnh (1) khi m = 2.
2. Chng minh rng phng trỡnh luụn cú nghim vi mi m.
3. Tỡm giỏ tr ca tham s m x = -2 l mt nghim ca phng trỡnh (1).
Cõu 10: Cho phng trỡnh: x
2
- (2a- 1)x - 4a - 3 = 0
a) Chng minh rng phng trỡnh luụn cú nghim vi mi giỏ tr ca a
b) Tỡm h thc liờn h gia hai nghim khụng ph thuc vo a
c) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc A = x
1
2
+ x
2
2

Cõu 11: Cho phng trỡnh: x
2
- 2(m+4)x + m
2

- 8 = 0
a) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim phõn bit
Trang 5
b) Tỡm m A = x
1
2
+ x
2
2
- x
1
- x
2
t giỏ tr nh nht
c) Tỡm m B = x
1
+ x
2
- 3x
1
x
2
t giỏ tr ln nht
Cõu 12: Cho phng trỡnh :
( )
0412
2
=++
mxmx
(x l n )

a) Tỡm m phng trỡnh 2 cú nghim trỏi du
b) Chng minh rng phng trỡnh luụn cú 2 nghim phõn bit vi mi m
c) Chng minh biu thc M=
( ) ( )
1221
11 xxxx
+
khụng ph thuc vo m.
Cõu 13: Tỡm m phng trỡnh :
a)
( )
012
2
=+ mxx
cú hai nghim dng phõn bit
b)
0124
2
=++
mxx
cú hai nghim õm phõn bit
c)
( )
( )
012121
22
=+++ mxmxm
cú hai nghim trỏi du
Cõu 14: Cho phng trỡnh x
2

2x + m = 0 (1).
a, Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim trỏi du.
b, Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim dng.
c, Phng trỡnh cú th cú hai nghim cựng õm khụng?
Cõu 15: Cho phng trỡnh bc hai vi tham s m: 2x
2
- ( m + 3 )x + m = 0 (1).
Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s m phng trỡnh (1) cú hai nghim x
1
, x
2
tho món
x
1
+ x
2
=
1 2
5
2
x x
(ờ thi tuyn sinh lp vo lp 10 THPT tnh Ngh An nm hc 2009 2010)
Cõu 16: Cho phng trỡnh: x
2
2(m+2)x + m
2
9 = 0 (1)
a)Gii phng trỡnh (1) khi m = 1.
a) Tỡm m phng trỡnh (1) cú hai nghim phõn bit.
b) Gi hai nghim ca phng trỡnh (1) l x

1
; x
2
. Hóy xỏc nh m :

1 2 1 2
x x x x = +
(ờ thi tuyn sinh lp vo lp 10 THPT tnh Ngh An nm hc 2006 2007)
Dạng 1. Tăng giảm
Cõu 1: Một đoàn xe chở 480 tấn hàng. Khi sắp khởi hành có thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn
8 tấn. Hỏi lúc đầu đoàn xe có bao nhiêu chiếc?
Cõu 2: Trong một phòng có 80 ngời họp, đợc sắp xếp ngồi đều trên các dãy ghế. Nếu ta bớt đi hai
dãy ghế thì mỗi dãy ghế còn lại phải xếp thêm hai ngời mới đủ chỗ. Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế và
mỗi dãy ghế đợc xếp bao nhiêu ngời ngồi?
Cõu 3: Một phòng họp có 360 chỗ ngồi và đợc chia thành các dãy có số chỗ ngồi bằng nhau. Nếu
thêm cho mỗi dãy 4 chỗ ngồi và bớt đi 3 dãy thì số chỗ ngồi trong phòng họp không thay đổi. Hỏi
ban đầu số chỗ ngồi trong phòng họp đợc chia thành bao nhiêu dãy?
Cõu 4 : Hai giỏ sỏch cú 450 cun. Nu chuyn t giỏ th nht sang giỏ th hai 50 cun
thỡ s sỏch giỏ th hai bng
4
5
s sỏch giỏ th nht.Tỡm s sỏch lỳc u mi giỏ.
Dạng 2. Chuyn ng
Trang 6
Dng 3: Gii bi toỏn bng cỏch lp phng trỡnh
v h phng trỡnh
Cõu 5: Hai ngời đi xe máy khởi hành cùng một lúc từ A đến B dài 75 km . Ngời thứ nhất mỗi giờ đi
nhanh hơn ngời thứ hai 5 km/h nên đến B sớm hơn ngời thứ hai 10 phút. Tính vận tốc của mỗi ng-
ời.
Cõu 6: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc trên quãng đờng từ A đến B dài 120 km. Mỗi giờ ô tô thứ

nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến b trớc ô tô thứ hai là 2/5 giờ. Tính vận tốc của mỗi
xe.
Cõu 7: Một ô tô đi trên quãng đờng dài 520 km. Khi đi đợc 240 km thì ô tô tăng vận tốc thêm 10
km/hvà đi hết quãng đờng còn lại. Tính vận tốc ban đầu của ô tô, biết thời gian đi hết quãng đờng là
8 giờ.
Cõu 8: Một ngời dự định đi từ A đến B cách nhau 36 km trong một thời gian nhất định. Đi đợc
nửa đờng, ngời đó nghỉ 18 phút nên để đến B đúng hẹn phải tăng vận tốc 2 km/h. Tính vận tốc ban
đầu.
Cõu 9: Mt ca nụ xuụi t bn A n bn B vi vn tc trung bỡnh 30 Km/h , sau ú ngc
t B v A . Thi gian i xuụi ớt hn thi gian i ngc l 40 phỳt . Tớnh khong cỏch gia
hai bn A v B bit rng vn tc dũng nc l 3 Km/h v vn tc riờng ca ca nụ l khụng
i
Cõu 10 : Mt ca nụ xuụi dũng t bn A n bn B ri li ngc dũng t bn B v bn A
mt tt c 4 gi . Tớnh vn tc ca ca nụ khi nc yờn lng ,bit rng quóng sụng AB di
30 km v vn tc dũng nc l 4 km/h.
Dạng 3. Bi toỏn lm chung mt cụng vic hoc b nc.
Cõu 1 1: Hai t cựng lm chung mt cụng vic hon thnh sau 15 gi. nu t mt lm
trong 5 gi, t hai lm trong 3 gi thỡ c 30% cụng vic. Hi nu lm riờng thỡ mi t
hon thnh trong bao lõu.
Cõu 12: Hai vũi nc cựng chy vo 1 cỏi b khụng cú nc trong 6 gi thỡ y b. Nu
riờng vũi th nht chy trong 2 gi, sau ú úng li v m vũi th hai chy tip trong 3
gi na thỡ c 2/5 b. Hi nu chy riờng thỡ mi vũi chy y b trong bao lõu?
Cõu 13 : Hai cụng nhõn cựng lm mt cụng vic sau 4 ngy hon thnh . Bit rng nu
lm mt mỡnh xong vic thỡ ngi th nht lm nhanh hn ngi th hai l 6 ngy .Tớnh
thi gian mi ngi lm mt mỡnh xong cụng vic trờn.
Dạng 4. Toỏn hỡnh hc:
Cõu 14. Mt tha rung hỡnh ch nht cú chiu rng ngn hn chiu di 45m. Tớnh din
tớch tha rung, bit rng nu chiu di gim i 2 ln v chiu rng tng 3 ln thỡ chu vi
tha rung khụng thay i.
Cõu 15 : Mt mnh vn hỡnh ch nht cú din tớch l 720m

2
, nu tng chiu di thờm
6m v gim chiu rng i 4m thỡ din tớch mnh vn khụng i. Tớnh kớch thc (chiu
di v chiu rng) ca mnh vn
Cõu 16 : Mt hỡnh ch nht cú chiu di hn chiu rng 2 cm v din tớch ca nú l 15
cm
2
. Tớnh chiu di v chiu rng ca hỡnh ch nht ú.
Cõu 17: Mt hỡnh ch nht cú chu vi l 160m v din tớch l 1500m
2
. Tớnh chiu di v
chiu rng hỡnh ch nht y .
Dạng 5. Tỡm s:
Cõu 18 : Tìm số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 4
và nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì ta nhận đợc số mới bằng
5
17
số ban đầu.
Cõu 19 : Tìm số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2
và nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì ta nhận đợc số mới bằng
7
4
số ban đầu.
Cõu 20 :Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm 2 số đó.
Trang 7
Dng 4: H phng trỡnh
Cõu 1 :Giải các hệ phơng trình

=
=



=
=+



=+
=+



=+
=+



=
=



=+
=
1815y10x
96y4x
6) ;

142y3x
35y2x
5) ;
142y5x
024y3x
4)
106y4x
53y2x
3) ;
53y6x
32y4x
2) ;
5y2x
42y3x
1)
Giải hệ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ
Cõu 2 :Giải các hệ phơng trình
( )
( )





=++++
=+

=++
=++







=
+


=
+
+

+







=
+

+

=
+

+







=
+

+
=
+
+
+
13.44yy548x4x2
72y31x5
5) ;
071y22xx3
01y2xx2
4)
;
4
2y
5
1x

2
7
2y
3y
1x
1x
3) ;
9
4y
5
1x
2x
4
4y
2
1x
3x
2) ;
1
2xy
3
2yx
4
3
2xy
1
2yx
2
1)
22

2
2
Cõu 1 :Cho h m s y = (2k 1)x + k 2 (d) với k là tham số.
a> Tỡm K hm s ú l hm s bc nht.
b> Tỡm K hm s ú l hm s ng bin.
c> Định k để (d) đi qua điểm (1 ; 6).
d> Định k để (d) song song với đờng thẳng 2x + 3y 5 = 0.
e> Định k để (d) vuông góc với đờng thẳng x + 2y = 0.
g> CMR không có đờng thẳng (d) nào đi qua điểm A(-1/2 ; 1).
h> Chứng minh rằng khi k thay đổi, đờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định.
Cõu 2 : a> Trờn cựng mt h trc Oxy v cỏc th hm s sau:
y= 2x (d
1
) ; y = -x + 3 (d
2
) v y = 2x 5 (d
3
)
b> Gii thớch ti sao (d
1
) ct (d
2
) ; (d
1
) // (d
3
)
c> Bng phộp tớnh,hóy tỡm ta giao im ca :(d
1
)vi (d

2
); (d
1
) vi (d
3
);
(d
2
) vi (d
3
)
Cõu 3:Trờn cựng mt h trc Oxy v cỏc th hm s sau : y =2x+3 v y = 2x
2
v tỡm ta giao
im ca chỳng bng phộp tớnh.
Cõu 4 :
a) Biết đồ thị hàm số y = ax
2
đi qua điểm (- 2 ; -1). Hãy tìm a và vẽ đồ thị (P) đó.
b) Gọi A và B là hai điểm lần lợt trên (P) có hoành độ lần lợt là 2 và - 4. Tìm toạ độ A và B
Cõu 5 :Trong cùng hệ trục vuông góc, cho parabol (P):
2
x
4
1
y =
và đờng thẳng (D):
y = mx - 2m - 1.
a) Vẽ độ thị (P).
b) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P).

c) Chứng tỏ rằng (D) luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P).
Trang 8
Dng 5: th v hm s
B.Phn Hỡnh hc

Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt
nhau tại
H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P.
Chứng minh rằng:
1. Tứ giác CEHD, nội tiếp .
2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
4. H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.

Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là
tâmđườngtròn
ngoại tiếp tam giác AHE.
1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .
2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường
tròn.
3. Chứng minh ED =
2
1
BC.
4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn
(O).
5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.

Bài 3 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua

điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt ở C và D.
Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N.
1.Chứng minh AC + BD = CD.
2.Chứng minh ∠COD = 90
0
.
3.Chứng minh AC. BD =
4
2
AB
.
4.Chứng minh OC // BM
5.Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính
CD.
5.Chứng minh MN ⊥ AB.
6.Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị
nhỏ nhất.
Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng
tiếp góc
A , O là trung điểm của IK.
1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn.
2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
3. Tính bán kính đường tròn (O)
Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm.


Bài 5 Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng
d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến
MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC ⊥ MB, BD ⊥ MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm
của OM và AB.

1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.
Trang 9
2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một
đường tròn .
3. Chứng minh OI.OM = R
2
; OI. IM = IA
2
.
4. Chứng minh OAHB là hình thoi.
5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.
6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường
thẳng d

Bài 6 Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH.
Gọi HD là đường kính của đường tròn (A; AH). Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA ở
E.
1.Chứng minh tam giác BEC cân.
2. Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH.
3.Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH).
4.Chứng minh BE = BH + DE.
Bài 7 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó
một điểm P sao
cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M.
1. Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp được một
đường tròn.
2. Chứng minh BM // OP.
3. Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng
minh tứ giác OBNP là hình bình hành.
4. Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt

nhau tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
Bài 8 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn ( M
khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại
I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM
tại K.
1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh rằng: AI
2
= IM . IB.
3) Chứng minh BAF là tam giác cân.
4) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi.
5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường
tròn.
Bài 9 Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D
thuộc nửa đường tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt ở E, F (F ở giữa B và E).
1. Chứng minh AC. AE không đổi.
2. Chứng minh ∠ ABD = ∠ DFB .
3. Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp.

Trang 10
Bài 10 Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn sao
cho AM < MB. Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua AB và S là giao điểm của hai tia BM, M’A.
Gọi P là chân đường
vuông góc từ S đến AB.
1.Gọi S’ là giao điểm của MA và SP. Chứng minh rằng ∆ PS’M cân.
2.Chứng minh PM là tiếp tuyến của đường tròn .
Bài 11. Cho tam giác ABC (AB = AC). Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đường tròn (O) tại các
điểm D, E, F . BF cắt (O) tại I , DI cắt BC tại M. Chứng minh :
1. Tam giác DEF có ba góc nhọn.
2. DF // BC. 3. Tứ giác BDFC nội tiếp. 4.

CF
BM
CB
BD
=

Bài 12 Cho đường tròn (O) bán kính R có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên
đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O). CM cắt (O) tại N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M
cắt tiếp tuyến
tại N của đường tròn ở P. Chứng minh :
1. Tứ giác OMNP nội tiếp.
2. Tứ giác CMPO là hình bình hành.
3. CM. CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
4.Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đoạn
thẳng cố định nào.
Bài 13 Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC), đường cao AH.
Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, Nửa
đường tròn đường kính HC cắt AC tại F.
1. Chứng minh AFHE là hình chữ nhật.
2. BEFC là tứ giác nội tiếp.
3. AE. AB = AF. AC.
4. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa
đường tròn .
Bài 14 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. Vẽ về một
phía của AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo
thứ tự là O, I, K.
Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại E. Gọi M. N
theo thứ tự là giao điểm của EA, EB với các nửa đường tròn (I),
(K).
EB với các nửa đường tròn (I), (K).

1.Chứng minh EC = MN.
2.Ch/minh MN là tiếp tuyến chung của các nửa đ/tròn (I),
(K).
3.Tính MN.
4.Tính diện tích hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn
Bài 15 .Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn. Các
đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung
điểm
của BC.
Đường thẳng qua H vuông góc với MH
cắt AB tại P, cắt AC tại Q. Chứng minh:
a)
AHP ~ CMH∆ ∆
b)
QHA ~ HMB∆ ∆
c) HP = HQ.
Trang 11
Bài 16 Cho tam giác ABC vuông ở A.và một điểm
D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD
cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt
đường tròn tại F, G.
Chứng minh :
1. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD.
2. Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp .
3. AC // FG.
4. Các đường thẳng AC, DE, FB đồng quy.
Bài 17. Cho tam giác đều ABC có đường cao là AH. Trên
cạnh BC lấy điểm M bất kì ( M không trùng B. C, H ) ; từ M
kẻ MP, MQ vuông góc với các cạnh AB. AC.
1.Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm

O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.
2.Chứng minh rằng MP + MQ = AH.
3.Chứng minh OH ⊥ PQ
Bài 18 Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đoạn
thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H không trùng O, B) ; trên
đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M
ở ngoài đường tròn ; MA và MB thứ tự cắt đường tròn
(O) tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC.
1. Chứng minh MCID là tứ giác nội tiếp .
2. Chứng minh các đường thẳng AD, BC, MH đồng
quy tại I.
3. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID,
Chứng minh KCOH là tứ giác nội tiếp .

Trang 12
Bài 19. Cho đường tròn (O) đường kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác
O, C ). Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB. Nối
CD, Kẻ BI vuông góc với CD.
1. Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp .
2. Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi.
3. Chứng minh BI // AD.
4. Chứng minh I, B, E thẳng hàng.
5. Chứng minh MI là tiếp tuyến của (O’).
Bộ đề 2011-2012
Bài 20.(Đ 1) Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với
AB tại I (I nằm giữa A và O ). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC ( E khác B và C ), AE cắt CD
tại F. Chứng minh:
a) BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) AE.AF = AC
2

.
c) Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF luôn thuộc một
đường thẳng cố định.
Bài 21. (Đ 2) Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB,
AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M, vẽ MI
⊥
AB,
MK
⊥
AC (I
∈
AB,K
∈
AC)
a) Chứng minh: AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Vẽ MP
⊥
BC (P
∈
BC). Chứng minh:
· ·
MPK MBC=
.
Bài 22. (Đ 3) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R). Các
đường cao BE và CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: AEHF và BCEF là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Gọi M và N thứ tự là giao điểm thứ hai của đường tròn (O;R) với BE và CF.
Chứng minh: MN // EF.
c) Chứng minh rằng OA
⊥

EF.
Bài 23. (Đ 4) Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E. Lấy I thuộc
cạnh AB, M thuộc cạnh BC sao cho:
·
0
IEM 90=
(I và M không trùng với các đỉnh của hình
vuông ).
a) Chứng minh rằng BIEM là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Tính số đo của góc
·
IME
c) Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC; K là giao điểm của BN và tia EM. Chứng
minh CK
⊥
BN.
Bài 24. (Đ5) Cho đường tròn (O;R); AB và CD là hai đường kính khác nhau của
đường tròn. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O;R) cắt các đường thẳng AC, AD thứ tự tại
E và F.
a) Chứng minh tứ giác ACBD là hình chữ nhật.
b) Chứng minh ∆ACD
~
∆CBE
c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn.
d) Gọi S, S
1
, S
2
thứ tự là diện tích của ∆AEF, ∆BCE và ∆BDF. Chứng minh:
1 2

S S S+ =
.
Bài 25. (Đ6) Cho tam giác ABC vuông tại A, M là một điểm thuộc cạnh AC (M khác
A và C ). Đường tròn đường kính MC cắt BC tại N và cắt tia BM tại I. Chứng minh rằng:
a) ABNM và ABCI là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) NM là tia phân giác của góc
·
ANI
.
c) BM.BI + CM.CA = AB
2
+ AC
2
.
Bài 26. (Đ7) Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc
với AB (CD không đi qua tâm O). Trên tia đối của tia BA lấy điểm S; SC cắt (O; R) tại
điểm thứ hai là M.
a) Chứng minh ∆SMA đồng dạng với ∆SBC.
b) Gọi H là giao điểm của MA và BC; K là giao điểm của MD và AB. Chứng minh
BMHK là tứ giác nội tiếp và HK // CD.
c) Chứng minh: OK.OS = R
2
.
Bài 27. (Đ 8) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax
cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC
với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D
khác B).
a) Chứng minh: AMCO và AMDE là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh
·

·
ADE ACO=
.
c) Vẽ CH vuông góc với AB (H
∈
AB). CMR: MB đi qua trung điểm của CH.
Bài 28. (Đ9) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm M thuộc đoạn
thẳng OA, điểm N thuộc nửa đường tròn (O). Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax và By.
Đường thẳng qua N và vuông góc với NM cắt Ax, By thứ tự tại C và D.
a) Chứng minh ACNM và BDNM là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh ∆ANB đồng dạng với ∆CMD.
c) Gọi I là giao điểm của AN và CM, K là giao điểm của BN và DM.Chứng minh IK //AB.