Khóa luận tốt nghiệp một số ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
----

NGUYỄN THỊ HIỀN

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN
HÀM SỐ NHIỀU BIẾN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lí thuyết

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học

TS. NGUYỄN HUY THẢO

HÀ NỘI – 2017


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU................................................................................................................1
1.

Lí do chọn đề tài...........................................................................................1

2.

Mục đích nghiên cứu....................................................................................1

3.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu................................................................2

4.

Nhiệm vụ nghiên cứu...................................................................................2

5.

Phương pháp nghiên cứu..............................................................................2

6.

Cấu trúc của đề tài........................................................................................2

NỘI DUNG.............................................................................................................3
Chương I. Phép tính vi phân hàm nhiều biến........................................................3
I.1

Định nghĩa hàm số nhiều biến số.................................................................3

I.1.1

Định ngĩa hàm số nhiều biến.................................................................3

I.1.2

Một số hệ tọa độ cơ bản.........................................................................4

I.1.3

Giới hạn của hàm nhiều biến số.............................................................7

I.2

Biểu diễn hình học của hàm số 2 biến số.....................................................8

I.3

Sự liên tục của hàm số nhiều biến số.........................................................12

I.3.1
I.4

Tính chất..............................................................................................12
Đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến số...................................................13

I.4.1

Đạo hàm riêng cấp 1............................................................................13

I.4.2

Đạo hàm riêng cấp cao.........................................................................14

I.5

Vi phân toàn phần.......................................................................................15

I.5.1

Định nghĩa vi phân toàn phần..............................................................15

I.5.2

Vi phân cấp cao....................................................................................16

I.6

Đạo hàm hàm số ẩn....................................................................................17

I.6.1

Hàm ẩn một biến..................................................................................17

I.6.2

Hàm ẩn hai biến...................................................................................18

I.7

Đạo hàm theo hướng..................................................................................19


I.7.1

Định nghĩa............................................................................................19

I.7.2

Cơng thức tính.....................................................................................20

I.7.3

Gradien.................................................................................................21

I.8

Cơng thức Taylo với hàm số 2 biến số.......................................................22

I.9

Cực trị của hàm số nhiều biến số................................................................23

I.9.1

Định nghĩa và điều kiện cần của cực trị...............................................23

I.9.2

Điều kiện đủ của cực trị.......................................................................24

I.10

Cực trị có điều kiện.................................................................................25

I.10.1

Định nghĩa và điều kiện cần.............................................................25

I.10.2

. Điều kiện đủ...................................................................................26

Chương II. Một số ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến...............28
II.1. Ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tính gần đúng.......28
II.2. Ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tìm cực trị, cực trị có
điều kiện................................................................................................................32
II.2.1. Cực trị.........................................................................................................33
II.2.2. Cực trị có điều kiện..................................................................................41
II.2.2.1 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số hai biến số trong một miền đóng bị
chặn.

41

II.2.2.2. Cực trị có điều kiện của hàm số hai biến số............................................45
KẾT LUẬN...........................................................................................................51
TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................................52


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn đến TS.Nguyễn Huy Thảo, người đã tận tình
hướng dẫn và chỉ bảo em trong suốt quá trình học tập cũng như nghiên cứu đề tài
khóa luận tốt nghiệp này.
Em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong tổ bộ mơn Vật Lý Lí thuyết và Ban
chủ nhiệm khoa Vật Lý trường Đại học Sư phạm Hà nội 2 đã giúp đỡ và tạo điều
kiện cho em trong quá trình hồn thành đề tài khóa luận này.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng để thực hiện đề tài một cách hoàn chỉnh nhất. Song
do buổi đầu mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học cũng như hạn chế về
kiến thức và kinh nghiệm nên không tránh khỏi những thiếu sót nhất định mà bản
thân chưa thấy được. Em rất mong được sự góp ý của quý Thầy, Cơ giáo và các bạn

sinh viên để khóa luận được hoàn chỉnh hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 19 tháng 4 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Hiền


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và các kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là
trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi
sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm ơn và các thơng tin trích
dẫn trong khóa luận đã được ghi rõ nguồn gốc.
Hà Nội, ngày 19 tháng 4 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Hiền


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.
Sự phát triển của tốn học tuy có những bước thăng trầm ở từng thời điểm
lịch sử, song những kết quả mà nó đạt được rực rỡ nhất là vào thế kỉ XX, do sự phát
triển của ngành Giải tích tốn học.
Sự ra đời của ngành Giải tích tốn học, đặc biệt là ngành Giải tích hàm giúp
cho những bài tốn trong thực tế cuộc sống, vật lí, khoa học, kỹ thuật,…được giải
quyết nhanh gọn và chính xác. Ngành giải tích tốn học nghiên cứu nhiều lĩnh vực
như: các lớp hàm liên tục, khả vi, khả tích, phép tính vi phân, ….Mỗi lĩnh vực đều

có tầm quan trọng trong việc nghiên cứu và ứng dụng. Trong đó, phép tính vi phân
là một phần cơ bản của Giải tích.
Phép tính vi phân hàm số nhiều biến là một trong những lĩnh vực nghiên cứu
quan trọng của toán học, là thành tựu nổi bật nhất giai đoạn thế kỷ XVII của Isaac
Newton và Gottfried Wihelm Leibniz. Ngày nay cùng với sự phát triển của khoa
học, công nghệ, lí thuyết phép tính vi phân hàm số nhiều biến có rất nhiều ứng dụng
quan trọng trong thực tế cuộc sống và trong nghiên cứu khoa học. Đặc biệt phép
tính vi phân hàm số nhiều biến là một trong những cơ sở quan trọng trong học tập
cũng như nghiên cứu vật lý.
Engels đã viết: “Chỉ có phép tính vi phân mới đem lại cho khoa học tự nhiên
khả năng miêu tả bằng tốn học khơng chỉ những trạng thái mà cả những quá trình”.
Xuất phát từ nhận thức trên và mong muốn tìm hiểu rõ hơn về vấn đề này,
em mạnh dạn chọn đề tài: “Một số ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều
biến” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu.
Tổng hợp lại kiến thức về phép tinh vi phân hàm số nhiều biến, từ đó tìm ra
những ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến nhằm nâng cao nhận thức
của bản thân.

1


3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu.
 Đối tượng:
- Phép tính vi phân hàm số nhiều biến.
- Ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến.
 Phạm vi: Hàm số nhiều biến.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu.
 Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình liên quan đến phép tính vi phân hàm
số nhiều biến và đưa ra một số bài tốn về phép tính vi phân hàm số nhiều biến.

 Nghiên cứu những ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến để
tìm cực trị, tính gần đúng.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu.
 Phương pháp nghiên cứu lí luận.
 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
 Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia.
6. Cấu trúc của đề tài.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo đề tài bao gồm hai phần:
Chương I. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến.
I.1. Định nghĩa hàm số nhiều biến.
I.2. Biểu diễn hình học của hàm số hai biến số.
I.3. Sự liên tục của hàm số nhiều biến số.
I.4. Đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến số.
I.5. Vi phân toàn phần.
I.6. Đạo hàm của hàm số ẩn.
I.7. Đạo hàm theo hướng.
I.8. Công thức Taylor với hàm số hai biến.
I.9. Cực trị của hàm số nhiều biến số.
I.10. Cực trị có điều kiện của hàm số nhiều biến số.
Chương II. Một số ứng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến số.
II.1. Ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tính gần đúng.
II.2. Ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tìm cực trị, cực
trị có điều kiện.

2


NỘI DUNG
Chƣơng I. Phép tính vi phân hàm nhiều biến.
I.1

Định nghĩa hàm số nhiều biến số.

I.1.1 Định ngĩa hàm số nhiều biến.
 Xét không gian Euclid 𝑛 chiều 𝑅𝑛(𝑛 > 1). Gọi một phần tử 𝑥 ∈
𝑅𝑛 là một bộ 𝑛 số thực (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛); 𝐷 là một tập hợp trong 𝑅𝑛.
 Khi đó ánh xạ:
ƒ: 𝐷 → 𝑅
xác định bởi:
𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, … . , 𝑥𝑛) ∈ 𝐷 → 𝑢 = ƒ(𝑥) = ƒ(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ∈ 𝑅
(1.1)
được gọi là một hàm số của 𝑛 biến số xác định trên 𝐷; 𝐷 được gọi là miền xác
định của hàm số ƒ: 𝑥1, 𝑥2, … . , 𝑥𝑛 được gọi là các biến số độc lập. Nếu xem
𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 là các tọa độ của một điểm 𝑀 ∈ 𝑅𝑛 trong hệ tọa độ nào đó
thì cũng có thế viết
𝑢 = ƒ(𝑀).

𝑅

(𝑥1,
ƒ(𝑥1))
ƒ(𝑥1)

𝑥1
a.

Với 𝑛 = 1

3

𝑅


𝑅
(𝑥1, 𝑥2, (ƒ(𝑥1, 𝑥2))
ƒ(𝑥1, 𝑥2)
𝑅

𝑥1

(𝑥1, 𝑥2)
𝑥2

𝑅

b. Với 𝑛 = 2
Hình 1.1
Hình 1.1: Hình vẽ của hàm ƒ(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) trong không gian 𝑅𝑛+1 chiều.
I.1.2 Một số hệ tọa độ cơ bản.
 Hệ tọa độ Descartes: Hệ tọa độ Decartes gồm ba trục vng góc với nhau
từng đơi một 𝑥 𝑂𝑥, 𝑂 , 𝑂 , mà trên đó đã chọn ba vector đơn vị
→ →
,
→
i j , 𝑘 sao
cho độ dài ba vector này bằng đơn vị. Vị trí của một điểm M trong khơng gian hồn
tồn xác định nếu ta biết được các thành phần toạ độ (𝑎, 𝑏, 𝑐).
⃗𝑂⃗⃗⃗𝑀⃗→ = 𝑎ı→ + 𝑏𝑗→ + 𝑐𝑘⃗→.
𝑧

𝑐
𝑀(𝑎, 𝑏, 𝑐)

𝑘⃗→
𝑂

𝑖→

𝑗→

𝑥

𝑏

𝑦

𝑎

Hình 1.2

4


 Hệ tọa độ cực: Hệ tọa độ cực là một hệ tọa độ hai chiều trong đó
mỗi điểm M bất kỳ trên một mặt phẳng được biểu diễn bằng hai thành phần:
+ Khoảng cách từ điểm đó tới một điểm gốc 𝑂 (gốc cực) gọi là bán kính.
+ Góc tạo bởi đường thẳng 𝑂𝑀 với hướng gốc cho trước (trục cực).
𝑀
𝑟
𝜑

𝑂

Hình 1. 3
 Hệ tọa độ trụ: Cho một hệ tọa độ Descartes vng góc 𝑂𝑥𝑦𝑧. Tọa độ
trụ của điểm 𝑀 trong không gian là bộ ba (𝑟, 𝜑, 𝑧) được xác định như sau:
 𝑟 ≥ 0 là khoảng cách từ gốc tọa độ 𝑂 đến hình chiếu vng góc 𝑀′ của 𝑀
xuống mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦.
 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 là góc (𝑂𝑥, 𝑂⃗ ⃗⃗⃗ 𝑀⃗ ⃗→′ ).

 𝑧 là độ cao của điểm 𝑀.
Tọa độ trụ liên hệ với tọa độ Descartes vng góc bởi biểu thức sau:
𝑥 = 𝑟 𝑠i𝑛 𝜑
{𝑦 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑧=𝑧
𝑥 = 𝑂𝐴 = 𝑂𝑀′ 𝑠𝑖𝑛 𝜑 = 𝑟𝑠𝑖𝑛 𝜑
𝑦 = 𝑂𝐵 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑

M

𝑧 = 𝑀𝑀′ = 𝑧
𝑂
𝐴

𝐵

𝑟 𝜑
𝑀′
Hình 1.4

 Hệ tọa độ cầu: Cho một hệ tọa độ Descartes vng góc 𝑂𝑥𝑦𝑧. Tọa độ
cầu của điểm trong khơng gian là bộ ba số (𝑟, , 𝜑) được xác định như sau:

5


 𝑟 ≥ 0 là khoảng cách từ điểm 𝑀 đến gốc tọa độ 𝑂.
 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 là góc (𝑂𝑧, ̅𝑂̅𝑀̅).
 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 là góc (𝑂𝑥, 𝑂𝑀′), với 𝑀 là hình chiếu vng góc của 𝑀
xuống mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦.
Tọa độ cầu liên hệ với tọa độ Descartes vng góc như sau:
𝑥 = 𝑟 𝑠i𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜑
{𝑦 = 𝑟 𝑠i𝑛 𝜃 𝑠i𝑛 𝜑
𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃
−
er

z
D

−
eθ

θ

𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
𝑐𝑜𝑠𝜃 = 1/√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

O

B

φ

A

𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦/𝑥

𝑥

𝑥 = 𝑂𝐶. 𝑐𝑜𝑠𝜑 =
𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑

C

𝑦 = 𝑂𝐵 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑
−e→φ

𝑧 = 𝑂𝐷 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃

y
Hình 1.5
Mối liên hệ giữa các hệ toạ độ:
Từ
Đề

các

(Cartesian)

Trụ
(Cylindrical)
𝑥 = 𝜌 𝑐𝑜𝑠
𝜑

Cart
ang

𝑦 = 𝜌 𝑠i𝑛
𝜑

esian

𝑧=𝑧

Cầu
(Spherical)
x
= r sin 𝜃
cos 𝜑 y
= r cos 𝜃 sin
𝜑
𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠

6


𝜃

7

Cyli
ndrical

𝜌=𝑟
𝑠i𝑛 𝜃

𝜌 = √𝑥2 + 𝑦2
𝑦
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
𝑥

𝜑=𝜑
𝑧=𝑟
𝑐𝑜𝑠 𝜃

𝑧=𝑧

Sph
erical

𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 +
𝑧2
𝑧
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
𝑟
𝑦
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
𝑥

𝑟 = √𝜌2 +
𝑧2
𝜃=
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛

I.1.3 Giới hạn của hàm nhiều biến số.

𝜌
𝑧

𝜑=𝜑

 Gọi 𝑀(𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑛) ∈ 𝑅𝑛 và 𝑁(𝑦1, 𝑦, … , 𝑦𝑛) ∈ 𝑅𝑛. Khi đó
khoảng cách giữa 𝑀 và 𝑁, kí hiệu là 𝑑(𝑀, 𝑁), được tính theo cơng thức:
𝑑(𝑀, 𝑁) = √(𝑥1 − 𝑦1)2 + ⋯ + (𝑥𝑛 − 𝑦𝑛)2

(1.2)

 Ta nói dãy điểm 𝑀𝑛(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) dần đến điểm 𝑀0(𝑥0, 𝑦0), ký hiệu 𝑀𝑛 → 𝑀0
𝑙i𝑚 𝑥𝑛 = 𝑥0
khi 𝑛 → ∞ nếu 𝑙i𝑚 𝑑(𝑀0, 𝑀𝑛) = 0 hay là {𝑛→∞
𝑛→∞
𝑙i𝑚 𝑦𝑛 = 𝑦0
𝑛→∞

 Cho hàm 𝑧 = ƒ(𝑥, 𝑦) xác định lân cận 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) có thể trừ điểm
𝑀0. Ta nói hàm ƒ(𝑀) có giới hạn là 𝐿 khi 𝑀(𝑥, 𝑦) dần đến 𝑀0(𝑥0, 𝑦0)
nếu mọi dãy điểm
𝑀𝑛(𝑥0, 𝑦0) thuộc lân cận dần đến 𝑀0 ta đều có:

𝑙i𝑚 ƒ(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) = 𝐿.

𝑛→∞

Ký hiệu: 𝑙i𝑚 ƒ(𝑀) = 𝐿 hay
𝑀→𝑀0

lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0) ƒ(𝑥, 𝑦) = 𝐿.

(1.3)

Ví dụ 1: Tìm các giới hạn:
a.

𝑙i𝑚

b.

�
�2𝑦
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2+𝑦2

𝑙i𝑚

𝑥𝑦

(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥2+𝑦2

Lời giải:

8


𝑥2𝑦

𝑥 2𝑦
a |𝑥2 + 𝑦2| ≤ | 𝑥2 |
.
𝑥2 𝑦
⇒

𝑥2 + 𝑦 2

≤ |𝑦

𝑥 2𝑦

⇒ |( 𝑙i𝑚
𝑥,𝑦)→(0,0) 2 +
𝑥
𝑦
⇒

Do 𝑦2 ≥
0

| 𝑦| | = 0

| ≤ |( 𝑙i𝑚

2

Trị tuyệt đối của một số

𝑥,𝑦)→(0,0
)

�
=
(𝑥,𝑦)→(0,0) �2𝑦 2
0
𝑥
2
+
𝑦

nhỏ hơn hoặc bằng khơng

𝑙i𝑚

thì số đó phải bẳng khơng.

b. Giả sử 𝑀(𝑥, 𝑦) → 𝑂(0,0) theo đường thẳng 𝑦 = 𝑐𝑥 với 𝑐 là hằng số.
khi
𝑥𝑦 đó
=
�
�2+𝑦
2

𝐶𝑥2

(
1+𝐶2)𝑥2

⇒
𝑙i𝑚

𝑥
𝑦

𝑥→0
𝑥2+𝑦2

𝐶

=

1+𝐶2

Như vậy với mỗi giá trị 𝑐 khác nhau thì
𝑙i𝑚

𝑥
𝑦

có kết quả khác nhau. Do

(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥2+𝑦2

giới hạn của hàm số nếu có phải là duy nhất nên khơng tồn tại giới hạn
𝑙i
𝑚
𝑥𝑦
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥2+𝑦.2
I.2 Biểu diễn hình học của hàm số 2 biến số
Trong không gian ba chiều 𝑂𝑥𝑦𝑧 đồ thị của hàm hai biến ƒ(𝑥, 𝑦)
với (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 thường là một mặt cong. Sau đây là một số mặt cong đặc biệt
có nhiều ứng dụng trong vật lý:
 Mặt phẳng
Mặt phẳng là đồ thị của hàm hai biến tuyến tính, phương trình mặt phẳng có
dạng: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝐷 = 0 trong đó

2

�9

+

2

+

2

= 0.


𝑦

Hình 1.6
 Ellipsoid

𝑥

Ellipsoid là mặt cong, phương trình chính tắc của nó có dạng:

10


𝑥2 𝑦2 𝑧2
+
+
=1
𝑎2 𝑏2 𝑐2

Hình 1.7
 Paraboloid elliptic
Phương trình chính tắc của paraboloid elliptic có dạng:
𝑥2 𝑦 2
+
=𝑧
𝑎2 𝑏2

Hình 1.8
 Mặt trụ bậc
hai
o Mặt trụ elliptic có phương trình chính tắc là:

11

𝑥2
𝑎2

+

𝑦2
𝑏2

=1

𝑧

𝑂

𝑥

𝑦

Hình 1.9

o Mặt trụ hyperbolic có phương trình chính tắc là:
𝑥2
𝑎2

−

𝑦2
𝑏2

= −1

Hình 1.10
o Mặt trụ parabolic có phương trình chính tắc là:

12


𝑦2 = 2𝑝𝑥

Hình 1.11
 Mặt nón bậc
hai
Phương tình chính tắc của mặt nón có dạng:
𝑥2 𝑦2 𝑧2
+
−
=0
𝑎2 𝑏2 𝑐2

Hình 1.12

13


I.3

Sự liên tục của hàm số nhiều biến số.

 Hàm số ƒ(𝑀) xác định trên miền 𝐷 và điểm 𝑀0 G 𝐷. Ta nói rằng hàm số
ƒ(𝑀) liên tục tại 𝑀0 nếu 𝑙i𝑚 ƒ(𝑀) = ƒ(𝑀0).
𝑀→𝑀0

 Nếu hàm số ƒ(𝑀) xác định trên miền 𝐷 thì ta nói rằng hàm số đó liên
tục trên miền 𝐷 khi nó liên tục tại mọi điểm 𝑀 ∈ 𝐷.
 Hàm số ƒ(𝑀) liên tục trên miền đóng 𝐷 nếu nó liên tục trên miền 𝐷 và
liên tục tại mọi điểm 𝑁 ∈ 𝐷 theo nghĩa 𝑙i𝑚 ƒ(𝑀) = ƒ(𝑁), 𝑀 ∈ 𝐷.
𝑀→𝑁

 Nếu đặt ∆ƒ(𝑥0, 𝑦0) = ƒ(𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦0 + ∆𝑦) − ƒ(𝑥0, 𝑦0) là số
gia toàn phần của hàm số tại (𝑥0, 𝑦0) thì hàm số ƒ(𝑥, 𝑦) liên tục tại (𝑥0,
𝑦0) nếu
∆𝑥 → 0
∆ƒ(𝑥0, 𝑦0) → 0 khi {
.
∆𝑦
Ví dụ 2: Khảo sát sự liên tục của hàm số sau:
1
(𝑥2 + 𝑦2) sin (
) 𝑛e𝑢 (𝑥, 𝑦) G (0,0)
2
ƒ(𝑥, 𝑦) = {
𝑥 + 𝑦2
0
𝑛e𝑢 (𝑥, 𝑦) = (0,0)
Lời giải:

1
(𝑥2 + 𝑦2) sin (

) 𝑛e𝑢 (𝑥, 𝑦) G (0,0)
2
ƒ(𝑥, 𝑦) = {
𝑥 + 𝑦2
0
𝑛e𝑢 (𝑥, 𝑦) = (0,0)

Ta có ✯(𝑥, 𝑦) G (0,0)
|ƒ(𝑥, 𝑦)| = (𝑥2 + 𝑦2) |sin (
1

)| ≤ (𝑥2 + 𝑦2)

𝑥2 + 𝑦 2
Do đó khi (𝑥, 𝑦) → (0,0), ƒ(𝑥, 𝑦) → 0 = ƒ(0,0) và hàm số ƒ(𝑥,
𝑦) liên tục tại (0,0).
Ta thấy ƒ(𝑥, 𝑦) liên tục tại mọi (𝑥, 𝑦) G (0,0)
Vậy ƒ(𝑥, 𝑦) liên tục trên 𝑅2.
I.3.1 Tính chất.
 Nếu ƒ(𝑥, 𝑦) liên tục trong miền đóng 𝐷 giới nội thì nó đạt giá trị lớn
14


nhất và giá trị bé nhất trong miền 𝐷 tức là: E𝑀1 ∈ 𝐷, 𝑀2 ∈ 𝐷 để có bất đẳng
thức kép:

15