Một số ứng dụng của định lý viet

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA TỐN - CƠNG NGHỆ

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIET

PHÚ THỌ - 2014


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU…. ..................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài khóa luận ......................................................................... 1
2. Mục tiêu khóa luận....................................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................... 2
4. Phương pháp nghiên cứu.............................................................................. 2
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ................................................................ 3
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn ...................................................................... 3
7. Bố cục của khóa luận ................................................................................... 3
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ................................................................ 4
1.1.

Đa thức.................................................................................................... 4

1.1.1. Đa thức một biến................................................................................................. 4
1.1.2. Đa thức nhiều biến.............................................................................................. 8
1.2.

Đa thức đối xứng....................................................................................11

1.3.

Định lý Viet ...........................................................................................13

CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIET .......................16
2.1.

Ứng dụng trong bài tốn về nghiệm của phương trình............................16

2.1.1. Bài tốn tính giá trị biểu thức giữa các nghiệm của phương trình bậc hai ....... 16
2.1.2. Bài tốn tìm điều kiện của tham số để các nghiệm của phương trình thỏa
mãn một hệ thức cho trước. ......................................................................................... 22
2.2.

Ứng dụng trong bài tốn giải hệ phương trình đối xứng .........................26

2.3.

Ứng dụng trong bài toán chứng minh bất đẳng thức ...............................30

2.4.

Ứng dụng trong bài toán khảo sát hàm số...............................................38

2.4.1. Bài toán cực trị hàm số....................................................................................... 38
2.4.2. Bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số ................................................................ 42
2.4.3. Bài toán tương giao của hai đồ thị và tập hợp điểm .......................................... 46
2.5. Ứng dụng trong bài tốn tính giá trị biểu thức lượng giác .......................50


CHƯƠNG 3. BÀI TẬP...................................................................................55

KẾT LUẬN.....................................................................................................67
TÀI LIỆU THAM KHẢO..............................................................................68


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài khóa luận
Ở bậc đại học, sinh viên chuyên ngành toán được học nhiều học phần
về tốn học giải tích, hình học, đại số. Nhóm các học phần về đại số có: số
học, modun, hàm phức, đại số tuyến tính, đại số sơ cấp, đại số đại cương,….,
cung cấp cho người học các kiến thức về: lý thuyết số, lý thuyết nhóm và nửa
nhóm, vành và trường, vành đa thức, phương trình đại số, phương trình tuyến
tính, hệ phương trình, lý thuyết mơđun, … Tuy nhiên, đại số ở bậc đại học
khơng phải hồn tồn mới lạ. Trong chương trình phổ thơng, chúng ta đã
được biết đến bộ môn này thông qua hệ thống số, phương trình, hệ phương
trình, bất đẳng thức… Các kiến thức này không tách rời với đại số ở đại học.
Các kiến thức phổ thơng sẽ giúp người học có cơ sở để hiểu và mở rộng kiến
thức. Ngược lại, kiến thức đại học sẽ lí giải, làm rõ hơn những kiến thức mà
bậc phổ thông đã công nhận, chưa được chứng minh.
Trong chương trình phổ thơng, tên gọi tam thức bậc hai đã trở nên khá
quen thuộc. Các bài toán đại số hầu hết được nghiên cứu trên tam thức bậc
hai. Khi vận dụng kiến thức đại số ở đại học vào các bài toán này sẽ cho ta
những hướng giải nhanh gọn, đồng thời mở rộng, phát triển các bài toán về
tam thức bậc hai thành những bài tốn tổng qt. Việc làm này sẽ giúp người
học có những hiểu biết sâu sắc hơn, rộng hơn và thu được nhiều kết quả
nghiên cứu cho bản thân.
Khi nhắc đến bài tốn về tam thức bậc hai, khơng thể khơng nhắc đến
định lý Viet. Định lý này được mang tên của nhà toán học vĩ đại người Pháp
Frangxoa Viet sống ở thế kỉ XVI. Định lý Viet là một thành quả to lớn của
ông trong việc nghiên cứu các phương trình đại số, thiết lập mối liên hệ giữa
các hệ số và nghiệm của một phương trình. Trong chương trình phổ thông,

định lý Viet cho tam thức bậc hai được sử dụng rộng rãi trong nhiều dạng bài

1


tập khác nhau: bài tập về biểu thức nghiệm, bài tập về hệ phương trình đối
xứng, bài tốn khảo sát hàm số…
Với mong muốn giúp người học tốn nói chung, sinh viên sư phạm
tốn nói riêng có thêm tài liệu, cơ sở để nghiên cứu, đào sâu các ứng dụng của
định lý Viet cho tam thức bậc hai, mở rộng ra định lý Viet cho đa thức tổng
quát. Hơn nữa với mục đích đưa ra hệ thống kiến thức, phân loại kiến thức và
bài tập ứng dụng, nhằm đem lại thuận lợi cho học sinh, sinh viên trong quá
trình học tập và nghiên cứu các bài tập về định lý Viet, em mạnh dạn chọn đề
tài “ Một số ứng dụng của định lý Viet ” làm hướng nghiên cứu của mình.
2. Mục tiêu khóa luận
- Hệ thống kiến thức về định lý Viet.
- Phân loại một số dạng bài tập liên quan đến định lý Viet.
- Xây dựng hệ thống bài tập áp dụng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu về định lý Viet cho tam thức bậc hai và đa thức bậc n.
- Nghiên cứu ứng dụng vào các dạng bài tập, mở rộng từ định lý Viet
cụ thể ra định lý Viet tổng quát.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo
trình có liên quan đến ứng dụng của định lý Viet rồi phân hóa, hệ thống hóa
các kiến thức.
- Phương pháp tổng hợp, phân tích và hệ thống hóa các kiến thức liên
quan đến nội dung nghiên cứu một cách khoa học, chính xác.
- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: tham khảo ý kiến của giảng viên
trực tiếp hướng dẫn và của các thầy cô giáo bộ mơn tốn.

2


5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng: tam thức bậc hai, đa thức trên trường số, bất phương trình,
hệ phương trình, định lý Viet.
- Phạm vi: nghiên cứu ứng dụng định lý Viet trong việc giải một số
dạng tốn chương trình trung học phổ thơng.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Khóa luận là tài liệu tham khảo cho học sinh ở các trường phổ thông,
sinh viên các ngành, đặc biệt là sinh viên sư phạm toán. Khóa luận giúp người
học hiểu thêm về đa thức, tính chất nghiệm của đa thức, đặc biệt là ứng dụng
của định lý Viet trong việc giải các bài toán về nghiệm. Ngồi ra từ những bài
tốn, những kết quả đã chứng minh ta có hướng đề xuất những bài tốn tương
tự, khái quát lên bài toán tổng quát.
Đối với bản thân, khóa luận là một cơ hội để mở rộng và đi sâu kiến thức
về đa thức, về ứng dụng của định lý Viet trong giải toán, phát triển kỹ năng
phân tích, tư duy tốn học cần thiết cho cơng tác giảng dạy ở trường phổ
thông sau này.
7. Bố cục của khóa luận
Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được chia
thành các chương.
Chương 1. Kiến thức cơ sở
Chương 2. Một số ứng dụng của định lý Viet
Chương 3. Bài tập

3

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. Đa thức
1.1.1. Đa thức một biến
Định nghĩa 1.1. Cho A là vành giao hoán, có đơn vị kí hiệu là 1. Gọi P là tập
hợp các dãy  a0 , a1 , , an , , trong đó ai  A với i   và bằng 0 tất cả trừ
một số hữu hạn. Ta định nghĩa phép cộng và phép nhân trong P như sau:

 a , a ,, a ,   b , b ,, b ,
  a  b , a  b ,  , a  b , 
 a , a ,, a ,. b , b ,, b ,
  c , c ,, c ,
0

1

0

n

0

1

1

0

1

n

0

1

n

với ck  a0bk  a1bk 1   ak b0 

0

0

i

n

n

 ab ;

i j k

1

j

n

1

n

k  0,1, 2,

Khi đó P cùng với hai phép toán trên lập thành một vành, được gọi là
vành đa thức của biến x trên A, kí hiệu là A x  . Các phần tử của vành A x 
được gọi là đa thức của biến x lấy hệ tử trong A.
Nhận xét: Ta xét dãy
x   0,1,0,,0, .

Theo quy tắc nhân ta có
x 2   0,0,1,0,,0,
x 3   0,0,0,1,,0,



x n   0,0,

,0,1,0,

.




n



Ta quy ước viết:





x 0  1, 0, , 0,  .

Định nghĩa 1.2. Đa thức là một tổng có dạng

4


a0 x 0  a1 x    an1 x n1  an x n

trong đó các ai  A, i  0, n

gọi là các hệ tử của đa thức và x là biến.

ai x i , i  0, n gọi là các hạng tử của đa thức, đặc biệt a0 x 0  a0 gọi là hạng tử tự do.
Phép cộng và phép nhân đa thức:
Giả sử m  n
Phép cộng:
(a0  a1 x    an1 x n1  an x n )  (b 0  b1 x    bm1 x m1  bm x m )
 a0  b 0  (a1  b1 ) x    (an  bn ) x n  bn1 x n1    bm x m .

5


Phép nhân:

(a0  a1 x    an1 x n1  an x n ).(b0  b1x    bm1x m1  bm x m )
 a0 b0  (a0 b1  a1 b0 ) x ++ (a0 bk  a1 bk 1    ak b0 ) x k    anbm x mn .

Bậc của một đa thức
Định nghĩa 1.3. Bậc của đa thức khác 0

f ( x )  a0 x 0  a1 x1    an 1 x n 1  an x n
với an  0, n  0 , là n. Hệ tử an được gọi là hệ tử cao nhất của f ( x ) .
Ta chỉ định nghĩa bậc của một đa thức khác 0. Đối với đa thức bằng 0,
ta nói nó khơng có bậc.
Định lý 1.1. Giả sử f ( x ) và g ( x ) là hai đa thức khác 0.
i) Nếu bậc f ( x ) khác bậc g ( x) thì ta có f ( x)  g ( x)  0 và
bậc f ( x)  g ( x)  max( bậc f ( x ) , bậc g ( x) ).
Nếu bậc f ( x ) = bậc g ( x) và nếu f ( x)  g ( x)  0 thì ta có
bậc f ( x)  g ( x)  max( bậc f ( x ) , bậc g ( x) ).
ii) Nếu f ( x).g ( x)  0 , thì ta có
bậc f ( x)  g ( x)  bậc f ( x ) + bậc g ( x) ).
Nghiệm của một đa thức
Định nghĩa 1.4. Giả sử c là một số thực tùy ý.

f ( x )  a0  a1 x    an 1 x n 1  an x n là một đa thức tùy ý với hệ số thực.
Phần tử f (c)  a0  a1c    an1c n1  an c n   có được bằng cách thay x
bởi c được gọi là giá trị của f ( x ) tại c. Nếu f (c)  0 thì c được gọi là
nghiệm của f ( x ) .
Tìm nghiệm của f ( x ) được gọi là giải phương trình đại số bậc n

an x n  an 1 x n 1   a1 x  a0  0 , với an  0 .

6

Định lý 1.2. c là một số thực tùy ý, f ( x ) là đa thức với hệ số thực. Dư của
phép chia f ( x ) cho x  c là f (c) .
Chứng minh. Nếu ta chia f ( x ) cho x  c , dư hoặc bằng 0 hoặc là một đa
thức bậc 0 vì bậc của ( x  c) bằng 1. Vậy dư là một phần tử r   .
Ta có f ( x)  ( x  c) q ( x)  r. Thay x bằng c ta được f (c)  0.q (c)  r .
Vậy r  f (c) .
Hệ quả: c là nghiệm của f ( x ) khi và chỉ khi f ( x ) chia hết cho ( x  c) .
Định nghĩa 1.5. Giả sử c là một số thực, f ( x ) là đa thức với hệ số thực và m
là một số tự nhiên lớn hơn 1. c được gọi là nghiệm bội cấp m nếu và chỉ nếu

f ( x ) chia hết cho ( x  c) m và f ( x ) không chia hết cho ( x  c ) m 1 . Trong
trường hợp m  1 người ta gọi c là nghiệm đơn, m  2 thì c là nghiệm kép.
Người ta coi một đa thức có một nghiệm bội cấp m như một đa thức có
m nghiệm trùng nhau.
Từ định nghĩa về đa thức (định nghĩa 1.2), khi n  2; A   ta được một
trường hợp đặc biệt của đa thức, một khái niệm khá quen thuộc với học sinh
trung học: tam thức bậc hai.
Tam thức bậc hai có dạng tổng quát là: ax 2  bx  c , trong đó a  0 ,
các số a, b và c là các hằng số thực, được gọi là các hệ số: a là hệ số của x 2 ,
b là hệ số của x, c là hằng số tự do, hay số hạng tự do.
Nghiệm của tam thức bậc hai là các giá trị thực của x mà khi thay giá
trị đó vào tam thức bậc hai ax 2  bx  c ta được kết quả bằng 0. Tìm nghiệm
của tam thức bậc hai gọi là giải phương trình bậc hai. Phương trình có thể có
hai nghiệm khác nhau (cịn nói là hai nghiệm phân biệt), hai nghiệm bằng
nhau (có nghiệm kép hoặc nghiệm bội hai), hoặc khơng có nghiệm (vơ
nghiệm). Các nghiệm này có thể tính được nhờ việc sử dụng cơng thức
nghiệm của phương trình bậc hai như sau:

7

x1 

b  
b  
với   b 2  4ac  0 .
; x2 
2a
2a

Hoặc :
b   '
b   '
b
với  '     ac  0 .
x1 
; x2 
a
a
2
2

Ví dụ 1.1. Cho tam thức bậc hai f ( x )  3 x 2  4 x  1
Thay x  1 , ta được f (1)  3.12  4.1  1  0 , nên 1 là một nghiệm của phương trình.
Thay x  2 ta được f (2)  3.2 2  4.2  2  6 , do 6  0

nên 2 khơng là

nghiệm của phương trình.

Theo cơng thức nghiệm ta có:  '  4  3  1
Suy ra hai nghiệm của phương trình là:
x1 

2 1 1
2 1
 ; x2 
1
3
3
3

1.1.2. Đa thức nhiều biến
Trong mục 1.1.1 ta đã có định nghĩa vành đa thức một biến A x  lấy hệ
tử trong một vành A. Bằng qui nạp, ta có định nghĩa vành đa thức nhiều biến:
Định nghĩa 1.6. Giả sử A là một vành giao hốn có đơn vị. Ta đặt
A1  A[ x1 ]
A2  A1[ x2 ]
A3  A2 [ x3 ]

An  An1[ xn ].

Vành An  An1[ xn ] kí hiệu là A[ x1 , x2 ,, xn ] và gọi là vành đa thức của n biến
x1 , x2 ,, xn lấy hệ tử trong vành A. Mỗi phần tử của An gọi là một đa thức

của n biến x1 , x2 ,, xn lấy hệ tử trong vành A.

8

Định nghĩa 1.7. Một đa thức của n biến số x1 , x2 ,, xn có dạng

f ( x1 , x2 , , xn )  c1 x1a11  xna1n    cm x1am1 xnamn
với các ci  , i  1, m ; ai1 , ai 2 ,ain , i  1, m là những số tự nhiên và

( ai1 , ai 2 , ain )  ( a j1 , a j 2 , a jn ) khi i  j . Các ci gọi là các hệ tử, các

ci x1ai1  xnain gọi là các hạng tử của đa thức f ( x1 , x2 , , xn ) .
Đa thức f ( x1 , x2 , , xn ) bằng 0 khi và chỉ khi các hệ tử của nó bằng 0 tất cả.
Cho hai đa thức f ( x1 , x2 , , xn ) và g ( x1 , x2 , , xn ) bao giờ ta
cũng có thể viết chúng dưới dạng sau:

f ( x1 , x2 , , xn )  c1 x1a11  xna1n    cm x1am1  xnamn
g ( x1 , x2 , , xn )  d1 x1a11  xna1n    d m x1am1  xnamn
trong đó ( ai1 , ai 2 , ain )  ( a j1 , a j 2 , a jn ) khi i  j .
Ví dụ 1.2. Với f ( x1 , x2 )  x12  x1 x2 và g ( x1 , x2 )  2 x1 x22  x1 x2  x2 , ta viết:

f ( x1 , x2 )  x12  0 x1 x22  x1 x2  0 x2
g ( x1 , x2 )  0 x12  2 x1 x22  x1 x2  x2 .
Tổng, hiệu, tích của f ( x1 , x2 , , xn ) và g ( x1 , x2 , , xn ) :
m

f ( x1 , x2 , , xn )  g ( x1 , x2 , , xn )   (ci  d i ) x1ai1  xnain
i 1

f ( x1 , x2 , , xn ).g ( x1 , x2 , , xn )   ci d j x1 i1

a  a j1

a  a jn

 xn in

i, j

với i  1, m ; j  1, m .
Nhận xét: Vì một đa thức bằng 0 khi và chỉ khi các hệ tử của nó bằng 0, nên
hai đa thức f ( x1 , x2 , , xn ) và g ( x1 , x2 , , xn ) bằng nhau khi và chỉ khi
chúng có các hạng tử y như nhau.

9


Chứng minh. Xét hai đa thức f ( x1 , x2 , , xn ) và g ( x1 , x2 , , xn ) tùy ý.
Hiệu của chúng là
m

f ( x1 , x2 , , xn )  g ( x1 , x2 , , xn )   (ci  d i ) x1ai1  xnain .
i 1

f ( x1 , x2 , , xn )  g ( x1 , x2 , , xn )  0 khi và chỉ khi ci  di  0 ,

Do đó

i  1, m . Tức là f ( x1 , x2 , , xn )  g ( x1 , x2 , , xn ) khi và chỉ khi ci  di ,
i  1, m .
Bậc của đa thức nhiều biến
Định nghĩa 1.8. Giả sử đa thức n biến với hệ số thực f ( x1 , x2 , , xn ) là
một đa thức khác 0:

f ( x1 , x2 , , xn )  c1 x1a11  xna1n    cm x1am1 xnamn
với các ci  0 , i  1, m và ( ai1 , ai 2 , , ain )  ( a j1 , a j 2 , , a jn ) khi i  j . Ta
gọi là bậc của đa thức f ( x1 , x2 , , xn ) đối với biến xi số mũ cao nhất mà xi
có được trong các hạng tử của đa thức.
Nếu trong đa thức f ( x1 , x2 , , xn ) , biến xi khơng có mặt thì bậc của

f ( x1 , x2 , , xn ) đối với nó là 0.
Ta gọi là bậc của hạng tử ci x1 i 1  xn in
a

a

tổng các số mũ

ai1  ai 2    ain của các biến.
Bậc của đa thức (đối với toàn thể các biến) là số lớn nhất trong các bậc
của hạng tử của nó.
Đa thức 0 là đa thức khơng có bậc.
Ví dụ 1.3. Đa thức

f ( x1 , x2 , x3 )  2 x1 x23 x35  x12 x2  3 x39  x12  5 x1 x23 x32  4 x25 x3  6
có bậc là 9, nhưng đối với x1 nó có bậc là 2.

10


1.2. Đa thức đối xứng
Trong các bài toán giải phương trình, hệ phương trình, phân tích các đa
thức nhiều biến thành nhân tử, chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức nhiều
biến số…, một trường hợp đặc biệt là xuất hiện các đa thức mà vai trò cuả các

biến số trong đa thức đó là như nhau. Chúng ta gọi các đa thức này là đa thức
đối xứng.
Định nghĩa 1.9. Giả sử A là một vành giao hốn có đơn vị, f ( x1 , x2 ,, xn ) là
một đa thức của vành A[ x1 , x2 , , xn ] . Ta nói f ( x1 , x2 , , xn ) là một đa thức
đối xứng của n biến nếu
f ( x1 , x2 , , xn )  f ( x (1) , x (2) ,, x ( n ) )

với mọi phép thế
 1

2



n 

 

  (1)  (2)   (n) 
f ( x (1) , x (2) ,, x ( n ) ) suy ra từ

f ( x1 , x2 ,, xn ) bằng cách thay trong

f ( x1 , x2 ,, xn ) x1 bởi x (1) ,, xn bởi x ( n ) .

Nhận xét: Các phần tử của vành A là những đa thức đối xứng đặc biệt.
Thật vậy, mọi phần tử a  A đều có thể viết:
a  ax10 x20  xn0 .

Định nghĩa 1.10. Đa thức đối xứng f ( x1 , x2 , , xn ) được gọi là thuần nhất

bậc m nếu:

f (t x1 , t x2 , , t xn )  t m f ( x1 , x2 , , xn ) ,  t  0 .

11


Định nghĩa 1.11. Các đa thức
n

 1  x1  x2    xn   xi
2 
3 



1i  j  n



i 1

xi x j

1i  j l  n

xi x j xl

.....................

 n  x1 x2  xn
gọi là các đa thức đối xứng cơ bản.
Nhận xét:
- Mọi đa thức của các đa thức đối xứng cơ bản  1 , 2 , 3 , , n là một đa
thức đối xứng của n biến x1 , x2 ,, xn .
- Giả sử f ( x1 , x2 , , xn )  A x1 , x2 , , xn  là một đa thức đối xứng khác 0.
Khi đó f ( x1 , x2 ,, xn ) luôn đưa được về dạng đa thức của các đa thức đối
xứng cơ bản  1 , 2 , 3 , , n , và đa thức đó là duy nhất. (Theo Định lý
4,122,[7])
Ví dụ 1.5. Trong vành   x1 , x2 , x3  , đa thức
A  x12  x22  x32
 ( x1  x2  x3 ) 2  2( x1 x2  x2 x3  x3 x1 )
  12  2 2 .

Từ định nghĩa 1.9, ta xét một số trường hợp đặc biệt:
Đa thức đối xứng hai biến : Trong vành đa thức hai biến A x, y  , số các hoán
vị của  x, y là 2 nên đa thức f  x, y  là đa thức đối xứng nếu khi đổi chỗ của
x và y thì đa thức không thay đổi.
Tức là

f ( x, y )  f ( y , x).

Ví dụ 1.6. Trong vành   x, y  , các đa thức

12


f ( x, y )  x 2  xy  y 2 ; g ( x, y )  xy 2  y 2 x
là các đa thức đối xứng của biến x và y.
Đa thức đối xứng ba biến: Trong vành đa thức A x, y, z  , số hoán vị của

 x, y, z là 6. Vậy để đa thức f  x, y, z  là đa thức đối xứng thì
f ( x, y , z )  f ( x , z , y )  f ( y , x , z )
 f ( y, z, x)  f ( z, x, y )  f ( z, y, x).
Ví dụ 1.7: Trong vành   x, y, z  , đa thức f  x, y, z   x 3  y 3  z 3 là đa thức
đối xứng.
1.3. Định lý Viet
Định lý Viet cho đa thức bậc n:
Cho phương trình bậc n
an x n  an 1 x n 1   a1 x  a0  0

1

với an  0 .

Nếu phương trình có nghiệm x1 , x2 ,, xn thì ta có:
 an1

 x1  x2    xn  a
n

an2

  xi x j 
an
1i j n





n a0
x
x

x

(

1)
.
1
2
n

a
n


 2

Ngược lại, nếu có các số x1 , x2 ,, xn thỏa mãn hệ  2  thì chúng là tất cả các
nghiệm của phương trình 1 .
Ta xét một số trường hợp đặc biệt
Khi n  2 , ta có định lý viet cho tam thức bậc hai
Học sinh đã được biết đến định lý Viet từ lớp 9, gồm có định lý thuận và
định lý đảo.

13

Định lý Viet thuận: Nếu phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0 ( a  0) có hai
nghiệm x1 , x2 thì tổng và tích của chúng là:

x1  x2 

b
c
; x1.x2  .
a
a

Hệ quả: Cho phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0 ( a  0)

(1)

i) Nếu a  b  c  0 thì (1) có 1 nghiệm là x1  1 , nghiệm kia là x2 

c
.
a

ii) Nếu a  b  c  0 thì (1) có 1 nghiệm là x1  1 , nghiệm kia là x2 

c
.
a

 x1  x2  S
thì chúng là
 x1 .x2  P

Định lý Viet đảo: Nếu có hai số x1 , x2 thỏa mãn 
nghiệm của phương trình: X 2  SX  P  0 .
Điều kiện tồn tại hai số x1 , x2 là S 2  4 P  0 .

Chú ý: Trước khi áp dụng định lý Viet cần tìm điều kiện để phương trình có

a  0
   0 ( '  0).

hai nghiệm 

Khi n  3 , ta có định lý viet cho đa thức bậc ba
Định lý Viet thuận: Cho phương trình bậc ba ax 3  bx 2  cx  d  0, a  0
(2). Nếu (2) có ba nghiệm x1 , x2 , x3 thì ta có:

b

 x1  x2  x3  a

c

 x1 x2  x2 x3  x3 x1  .
a

d

 x1 x2 x3  a


14


Định lý Viet đảo: Nếu ba số x1 , x2 , x3 thỏa mãn

 x1  x2  x3  S

 x1 x2  x2 x3  x3 x1  P
x x x  Q
 1 2 3
thì x1 , x2 , x3 là nghiệm của phương trình X 3  SX 2  PX  Q  0.

15


CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIET
Từ các mảng kiến thức được trình bày ở chương 1 ta có thể đưa ra một số
ứng dụng của định lý Viet.
2.1. Ứng dụng trong bài toán về nghiệm của phương trình
Với các bài tập về nghiệm của phương trình, cần đặc biệt lưu ý sự tồn tại
nghiệm, sau đó áp dụng định lý Viet để giải quyết bài toán.
2.1.1. Bài tốn tính giá trị biểu thức giữa các nghiệm của phương trình bậc hai
Ở dạng này, biểu thức ta có thể gặp là biểu thức đối xứng hoặc khơng
đối xứng giữa các nghiệm.
Các biểu thức đối xứng luôn đưa được về dạng các đa thức đối xứng cơ
bản, khi đó ta áp dụng định lý Viet để giải bài toán. Đối với các biểu thức
nghiệm của tam thức bậc hai, ta có thể biểu thị theo S  x1  x2 và P  x1 x2 .
Với các biểu thức không đối xứng nghiệm ta cần biến đổi biểu thức sao
cho xuất hiện các đa thức đối xứng cơ bản (quá trình này phức tạp hơn so với
các biểu thức đối xứng nghiệm). Từ đó ta tính được giá trị của biểu thức

thơng qua định lý Viet.
Ví dụ 2.1.1. Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai
3 x 2  cx  2c  1  0 , với c là tham số. Tính theo c giá trị của biểu thức:

A

1 1
.

x13 x23

Lời giải
Phương trình 3 x 2  cx  2c  1  0 có   c 2  24c  12 .
 c  12  2 33
Để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thì   0  
1 .
 c  12  2 33

16


c

x

x

1
2


3
Theo định lý Viet ta có: 
.
2
c

1
x x 
 1 2
3

1 1 x23  x13  x1  x2   3x1 x2  x1  x2 
A 3  3  3 3 
x1 x2
x1 x2
x13 .x23
3

2c  1 c
c
.
2
   3.
1
3
3
3 c  c  18c  9 


, với c  và c thỏa mãn (1).

A

3
3
2
 2c  1
 2c  1 


 3 
3

Nhận xét: Tương tự, ta có bài tốn tính giá trị của biểu thức
A  x13  x23
B  x13 x2  x1 x23
C

1
1
 2
2
x1 x2

D  x13  x12 x2  x1 x22  x23

Ví dụ 2.1.2. Gọi x1 , x2 , x3 là nghiệm của phương trình: x 3  5 x  1  0 .
Tính giá trị các biểu thức sau:

A  x12  x22  x32 ;
B  x12 x22  x22 x32  x32 x12 .

Lời giải
Hiển nhiên phương trình trên có 3 nghiệm phân biệt.
Áp dụng định lý Viet ta có:

 x1  x2  x3  0

 x1 x2  x2 x3  x3 x1  5 .
 x x x  1
 1 2 3
Suy ra

17


A  x12  x22  x32
 ( x1  x2  x3 ) 2  2( x1 x2  x2 x3  x3 x1 )
 0  2.(5)  10.
B  x12 x22  x22 x32  x32 x12
 ( x1 x2  x2 x3  x3 x1 ) 2  2 x1 x2 x3 ( x1  x2  x3 )
 ( 5) 2  2.( 1).0  25.
Ta cũng có thể đưa ra u cầu tính giá trị một số biểu thức khác:
C  x14  x24  x34
D  x13 x2 x3  x1 x22 x3  x1 x2 x33

Ví dụ 2.1.3. Giả sử x1 , x2 là các nghiệm của phương trình x 2  ax  1  0 .
Đặt Sn  x1n  x2n . Tính S 7 theo a.
Lời giải
Ta nhận thấy việc biến đổi x17  x27 về dạng đa thức của x1  x2 và x1 x2 là
khá phức tạp. Tuy nhiên ta có thể biểu diễn
x17  x27   x14  x24  x13  x23   x13 x23  x1  x2  .

Như vậy ta phải tính S4 và S3 theo a.
x  x  a
Theo định lý Viet ta có  1 2
.
x
x

1
 1 2

Do đó
S 2  x12  x22   x1  x2   2 x1 x2
2

 a 2  2.
S3  x13  x23   x1  x2   3 x1 x2  x1  x2 
3

 a 3  3a.

S 4  x14  x24   x12  x22   2 x12 x22
2

 a 4  4a 2  2.

18


Vậy S7  a 7  7 a 5  14a 3  7 a.

Ví dụ 2.1.4. Cho đa thức f ( x )  x 4  4 x 3  2 x 2  12 x  1 có các nghiệm là
2 xi2  1
.
xi , i  1,4 . Hãy tính tổng sau: S   2
2
i 1 ( xi  1)
4

Lời giải
Ta viết lại :
f ( x)  ( x 2  2 x) 2  6( x 2  2 x)  9  8

 x 2  2 x  3  8  0 (1)
 ( x  2 x  3)  8   2
.
x

2
x

3

8

0
(2)

2

2

Gọi các nghiệm của (1) là x1 , x2 và các nghiệm của (2) là x3 , x4 .
2 xi2  1
2
2
i 1 ( xi  1)
2

Đặt S1  

2 xi2  1
.
2
2
i 3 ( xi  1)
4

và

S2  

Ta có :
S1 

2 x12  1
2 x22  1

( x12  1) 2 ( x22  1) 2



2 x12  1
2 x22  1

( x1  1) 2 ( x1  1) 2 ( x2  1) 2 ( x2  1) 2



2 x12  1
2 x22  1

( x1  1) 2 (4  8) ( x2  1) 2 (4  8)

 (2 x 2  1)( x  1) 2  (2 x 2  1)( x  1) 2 
1
2
2
1
 1

2
(4  8) 
(
x

1)(
x

1)
 1


2

 (2 x 2  1)( x 2  2 x  1)  (2 x 2  1)( x 2  2 x  1) 
1
2
2
2
1
1

 1

2
(4  8) 
 ( x1 x2  x1  x2  1)




 4 x 2 x 2  4 x x ( x  x )  3( x 2  x 2 )  2( x  x )  2 
1
1 2
1
2
1
2
1
2


 1 2
.
2
(4  8) 
( x1x2  x1  x2  1)


19


 x1  x 2   2
Áp dụng định lý Viet cho phương trình (1) ta có: 
 x1 x2   3  8.
Thay vào biểu thức trên: S1 

1 80  22 8
.
8
4 8

Thực hiện việc tính toán tương tự đối với biểu thức S2 của phương trình (2).
Ta có :

S  S1  S2 

9
.
2

Nhận xét: Ta nhận thấy khơng phải phương trình bậc cao nào cũng phải áp

dụng định lý Viet cho đúng bậc của nó. Ta có thể phân tích nó thành tích của
các đa thức bậc nhỏ hơn để đơn giản việc tính tốn.
Ở các ví dụ trên, biểu thức cần tính đều được cho dưới dạng đa thức đối
xứng của các nghiệm. Trong trường hợp với biểu thức không đối xứng, ta
cũng biến đổi đưa về biểu thức của các đa thức đối xứng cơ bản, nhưng quá
trình này phức tạp hơn. Ta xét ví dụ sau :
Ví dụ 2.1.5. Cho phương trình x 2  5 x  3  0 . Gọi hai nghiệm của phương
trình là x1 , x2 . Tính giá trị biểu thức A  x1  2  x2  1
Lời giải
Nhận thấy x1  2 

 x1  2 

2

.

x  x  5
Mà theo định lý Viet  1 2
 x1  0, x2  0.
 x1.x2  3

Vì x1 là nghiệm của phương trình x 2  5 x  3  0
nên

x12  5 x1  3  0

20

 x12  4 x1  4  x1  1
  x1  2   x1  1
2



 x1  2 

2

 x1  1

 x1  2  x1  1.

Khi đó
A

x1  1  x2  1

 A2  x1  x2  2  2 x1  x2  x1 x2  1
 A2  1
 A  1 (vì A  0 ).

Nhận xét: Ở ví dụ này ta thấy rằng nếu vội vàng bình phương hai vế của
đẳng thức thì bài tốn sẽ trở nên phức tạp. Nhưng nếu thay thế x1  2 bởi
x1  1 thì giá trị của A được tính dễ dàng hơn. Vì vậy, với những biểu thức

mà có chứa lũy thừa bậc cao thì việc biểu diễn lũy thừa bậc cao của một
nghiệm qua lũy thừa thấp hơn của nghiệm đó như ở trên, cũng là một phương
án đơi khi giúp cho việc tính tốn thuận lợi hơn nhiều.

Chẳng hạn với phương trình ax 2  bx  c  0 có hai nghiệm x1 , x2 và
S  x1  x2 ; P  x1.x2 Khi đó:

x12   x1  x2  x1  x1 x2  Sx1  P
x13  x1.x12  x1. Sx1  P   Sx12  P
 S  Sx1  P   Px1  S 2 x1  SP  Px1
  S 2  P  x1  SP

x14  x1 x13   S 3  2 SP  x1  P  S 2  P  .

Bằng cách tương tự ta có thể tính được x1n qua x1n 1 .

21


2.1.2. Bài tốn tìm điều kiện của tham số để các nghiệm của phương
trình thỏa mãn một hệ thức cho trước
Ví dụ 2.1.6. Tìm m để phương trình: 3 x 2  4( m  1) x  m 2  4m  1  0 (1) có
hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn:
1 1 1
   x1  x2  .
x1 x2 2

Lời giải
Trước hết điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác 0 là:
'
2
2
  4(m  1)  3(m  4m  1)  0


 f  0   0.

Giải được m  2  3 hoặc m  2  3 và m  2  3 .
Theo định lý Vi-et ta có :

x1  x2 

4(m  1)
(m 2  4m  1)
; x1.x2 
.
3
3

Lại có biểu thức ban đầu được đưa về là :

x1  x 2 x1  x 2

(*)
x1 .x 2
2

Thay tổng và tích các nghiệm vào (*) ta được:

2  m  1  m2  4m  5
4  m  1 
3
1

 0

0
 2
3
3 m2  4m  1
 m  4m  1 2 
Giải phương trình ta được m  1; m  1; m  5.
Kết hợp điều kiện ta nhận được m  1; m  5 .
Bài toán tương tự:
Cho phương trình bậc hai biến x với tham số m. Tìm điều kiện của m để
phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn:
a)

1
1 1
2


x

x


1
2
x12 x22 2

b) x13  x23  1

22