Luận văn thạc sĩ phương pháp quy nạp và phương pháp phản chứng với các bài toán phổ thông lvts vnu

ĐAI H̟0C QU0C GIA H̟À N̟®I
TRƯèN̟G ĐAI H̟0C K̟H̟0A H̟0C TU N̟H̟IÊN̟
------------------

N̟GUYEN̟ TH̟± M
̟ AI AN̟H̟

PH̟ƯƠN̟G PH̟ÁP QUY N̟AP
VÀ PH̟ƯƠN̟G PH̟ÁP PH̟AN̟ CH̟ÚN̟G
VéI

CÁC BÀI T0ÁN̟

PH̟0

TH̟ƠN̟G

LU¾N̟ VĂN̟ TH̟AC SY T0ÁN̟ H̟0C

Ch̟un̟ n̟gàn̟h̟: PH̟ƯƠN̟G PH̟ÁP T0ÁN̟ SƠ CAP
M̟ã s0:
60.46.01.13

N̟GƯèI H̟ƯéN̟G DAN̟ K̟H̟0A H0C:
GS.TS. ắNG HUY RUẳN

H Nđi - Nm 2013


Mnc lnc
M

̟ e ĐAU
1

2

PH̟ƯƠN̟G PH̟ÁP QUY N̟AP
4
1.1 N̟guyên̟ lý quy n̟ap............................................................................5
1.1.1 Suy dien̟ và quy n̟ap..............................................................5
1.1.2 M̟®t s0 ví du ve suy lu¾n̟ quy n̟ap........................................5
1.1.3 N̟guyên̟ lý quy n̟ap t0án̟ HQ
̟ c.................................................7
1.2 Ph̟ươn̟g ph̟áp ch̟ún̟g m̟in̟h̟ quy n̟ap..................................................8
1.2.1 Các bưóc tr0n̟g ph̟ươn̟g ph̟áp ch̟ún̟g m̟in̟h̟ quy n̟ap..............9
1.2.2 Bưóc quy n̟ap đư0c xây dn̟n̟g trên̟ P(k̟)..............................12
1.2.3 Bưóc quy n̟ap đư0c xây dn̟n̟g trên̟ P(k̟+1)..........................13
1.3 M̟®t s0 dan̟g k̟h̟ác cn̟a n̟guyên̟ lý quy n̟ap t0án̟ HQ
̟ c.......................13
1.4 V¾n̟ dun̟g ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap đe giai các bài t0án̟ ph̟ő th̟ôn̟g .
1.4.1 Ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap tr0n̟g s0 HQ
̟ c...................................16
1.4.2 Ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap tr0n̟g đai s0....................................23
1.4.3 Ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap tr0n̟g giai tích̟..................................28
1.4.4 Ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap tr0n̟g h̟ìn̟h̟ HQ
̟ c................................35
1.5 M̟®t s0 bài t¾p tn̟ giai.....................................................................41

16

2 PH̟ƯƠN̟G PH̟ÁP PH̟AN̟ CH̟ÚN̟G

43
2.1 Ph̟ươn̟g ph̟áp ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ban̟g ph̟an̟ ch̟ún̟g.................................45
2.1.1 Cơ s0 l0gic..........................................................................45
2.1.2 M̟¾n̟h̟ đe ph̟n̟ đ%n̟h̟ đieu can̟ ch̟ún̟g m̟in̟h̟..........................46
2.1.3 Các bưóc suy lu¾n̟ tr0n̟g ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ph̟an̟ ch̟ún̟g.............48
2.2 V¾n̟ dun̟g ph̟ươn̟g ph̟áp ph̟an̟ ch̟ún̟g đe giai các bài t0án̟ ph̟ő th̟ôn̟g 49
2.2.1 Ph̟ươn̟g ph̟áp ph̟an̟ ch̟ún̟g tr0n̟g s0 HQ
̟ c.............................49
2.2.2 Ph̟ươn̟g ph̟áp ph̟an̟ ch̟ún̟g tr0n̟g đai s0...............................53
2.2.3 Ph̟ươn̟g ph̟áp ph̟an̟ ch̟ún̟g tr0n̟g giai tích̟............................63
2.2.4 Ph̟ươn̟g ph̟áp ph̟an̟ ch̟ún̟g tr0n̟g h̟ìn̟h̟ HQ
̟ c..........................73
2.3 Mđt s0 bi tắp tn giai.....................................................................79
Ket luắn......................................................................................................81
Ti liắu tham kha0....................................................................................83

1


Me
AU
Chỳng minh l mđt tr0ng nhung nột ắc trng lm ch̟0 t0án̟ H̟Qc k̟h̟ác bi¾t
vói các m̟ơn̟ k̟h̟0a H̟Qc k̟h̟ác. H̟ieu và v¾n̟ dun̟g các ph̟ươn̟g ph̟áp, k̟y th̟u¾t ch̟ún̟g
m̟in̟h̟ là u cau bat bu®c đ0i vói các em̟ HQ
̟ c sin̟h̟ n̟ói ch̟un̟g và đ¾c bi¾t là các
em̟ HQ
̟ c sin̟h̟ gi0i n̟ói riên̟g. Có rat n̟h̟ieu ph̟ươn̟g ph̟áp và k̟y th̟u¾t ch̟ún̟g m̟in̟h̟:
Tù ch̟ún̟g m̟in̟h̟ trn̟c tiep tói ch̟ún̟g m̟in̟h̟ gián̟ tiep, tù ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ban̟g quy
n̟ap tói ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ban̟g ph̟an̟ ch̟ún̟g, ... Ph̟ép ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ph̟an̟ ch̟ún̟g và ph̟ép
ch̟ún̟g m̟in̟h̟ quy n̟ap đã xuat h̟i¾n̟ tù rat lâu và ch̟ún̟g là n̟h̟un̟g ph̟ươn̟g ph̟áp

ch̟ún̟g m̟in̟h̟ k̟in̟h̟ đien̟, quan̟ TRQN̟G n̟h̟at cn̟a t0án̟ HQ
̟ c.
Ch̟ún̟g ta biet ran̟g, t0án̟ HQ
̟ c đư0c xây dn̟n̟g dn̟a trên̟ m̟®t h̟¾ th̟0n̟g lý th̟uyet
g0m̟ các tiên̟ đe và đ%n̟ h̟ n̟gh̟ĩa. H̟¾ th̟0n̟g lý th̟uyet n̟ày đư0c xây dn̟n̟g ban̟g c0n̟
đưịn̟g suy dien̟. Tr0n̟g su0t 2000 n̟ăm̟, h̟ìn̟h̟ m̟au cn̟a ph̟ươn̟g ph̟áp suy dien̟ xây
dn̟n̟g các lý th̟uyet t0án̟ HQ
̟ c là cn̟a n̟h̟à h̟ìn̟h̟ HQ
̟ c cő H̟y Lap Euclid đưa ra và0
th̟e k̟y III trưóc cơn̟g n̟gun̟. Sau Euclid đã xuat h̟i¾n̟ các m̟ơ h̟ìn̟h̟ h̟ìn̟h̟ HQ
̟ c
m̟ói. Tuy n̟h̟iên̟, ph̟ép suy dien̟ k̟h̟ơn̟g ph̟ai là c0n̟ đưịn̟g duy n̟h̟at cn̟a tư duy
k̟h̟0a HQ
̟ c, k̟e ca tư duy t0án̟ HQ
̟ c. N̟h̟à t0án̟ HQ
̟ c vĩ đai Euclid đã viet: "
Tr0n̟g
th̟n̟c te, n̟h̟ieu tín̟h̟ ch̟at cua các s0 đã biet đeu đưac tìm̟ ra ban̟g ph̟ép
quy n̟ap và đưac tìm̟ th̟ay rat lâu trưác k̟h̟i sn̟ đún̟g đan̟ cua ch̟ún̟g đưac ch̟ún̟g
m̟in̟h̟ ch̟¾t ch̟e. Cũn̟g có rat nhieu tớnh chat quen thuđc vỏi chỳng ta nhng hiắn
thi ch̟ún̟g ta cịn̟ ch̟ưa ch̟ún̟g m̟in̟h̟ đưac. Ch̟s có c0n̟ đưàn̟g quan̟ sát và tư
duy quy n̟ap m̟ái có th̟e dan̟ ch̟ún̟g ta đen̟ ch̟ân̟ lý." N̟h̟ư v¾y ch̟i các quan̟ trac
th̟n̟c te là c0n̟ đưòn̟g ch̟n̟ yeu dan̟ đen̟ n̟h̟un̟g ch̟ân̟ lý k̟h̟0a HQ
̟ c m̟ói. Ví du n̟h̟ư
n̟h̟à t0án̟ HQ
̟ c n̟gưòi M̟y J. Garfulk̟el đã dùn̟g m̟áy tín̟h̟ đi¾n̟ tu tín̟h̟ t0án̟ trên̟
700 tam̟ giác cu th̟e đe tìm̟ ra n̟h̟ieu h̟¾ th̟úc liên̟ h̟¾ m̟ói giua các yeu t0 tr0n̟g
tam̟ giác m̟à sau đó, ơn̟g h̟ay các n̟h̟à t0án̟ HQ
̟ c k̟h̟ác đã ch̟ún̟g m̟in̟h̟ đư0c tớnh
ỳng an cna mđt s0 hắ thỳc, cũn cỏc hắ th̟úc k̟h̟ác h̟i¾n̟ n̟ay van̟ đư0c c0i là

các gia th̟uyet. N̟h̟ư v¾y tr0n̟g T0án̟ HQ
̟ c cũn̟g n̟h̟ư tr0n̟g các n̟gàn̟h̟ k̟h̟0a HQ
̟ c
k̟h̟ác, m̟®t k̟et qua m̟ói th̟ưịn̟g đư0c tìm̟ ban̟g ph̟ép quy n̟ap, dn̟a và0 n̟h̟ieu
quan̟ trac, n̟h̟¾n̟ xét. e đây ta h̟ieu quy n̟ap là quá trìn̟h̟ đi tù n̟h̟un̟g cái cu th̟e
đen̟ n̟h̟un̟g cái tőn̟g quát.
2


M
̟ e ĐAU

Tr0n̟g t0án̟ H̟Qc có rat n̟h̟ieu bài t0án̟ n̟eu ch̟ún̟g ta ch̟ún̟g m̟in̟h̟ h̟ay giai n̟ó
th̟e0 m̟®t cách̟ th̟ơn̟g th̟ưịn̟g th̟ì k̟h̟ơn̟g đi tói k̟et qua, h̟ay n̟h̟un̟g k̟h̟an̟g đ%n̟h̟
t0án̟ HQ
̟ c dưòn̟g n̟h̟ư rat h̟ien̟ n̟h̟iên̟ n̟h̟ưn̟g ta k̟h̟ơn̟g có cách̟ n̟à0 đe ch̟ún̟g m̟in̟h̟.
K̟h̟i đó ph̟ươn̟g ph̟áp ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ban̟g ph̟an̟ ch̟ún̟g là m̟®t cơn̟g cu đac ln̟c, quan̟
TRQNG
̟ đe ta n̟gh̟ĩ tói. M̟®t ví du k̟in̟h̟ đien̟ n̟h̟at ve ph̟ép ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ph̟an̟ ch̟ún̟g
th̟u®c ve Euclid vói ph̟ép ch̟ún̟g m̟in̟h̟: "
T0n̟ tai vơ s0 s0 n̟guyên̟ t0". Euclid đã
ph̟n̟ đ%n̟h̟ đieu can̟ ch̟ún̟g m̟in̟h̟ túc là "t0n̟ tai h̟uu h̟an̟ s0 n̟guyên̟ t0" và tù gia
th̟iet đó sau m̟®t l0at các dien̟ giai, ơn̟g suy ra đieu m̟âu th̟uan̟. Đieu m̟âu th̟uan̟
đó ch̟ún̟g t0 đieu ph̟n̟ đ%n̟h̟ là sai, k̟h̟i đó ơn̟g k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ đieu can̟ ch̟ún̟g m̟in̟h̟
là đún̟g.
Tr0n̟g ch̟ươn̟g trìn̟h̟ t0án̟ ph̟ő th̟ơn̟g, h̟ai ph̟ươn̟g ph̟áp ch̟ún̟g m̟in̟h̟ quy n̟ap
và ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ph̟an̟ ch̟ún̟g cũn̟g đư0c đe c¾p tói. Tuy n̟h̟iên̟ sách̟ th̟am̟ k̟h̟a0
ve n̟h̟un̟g van̟ đe trên̟ rat ít. Tai các k̟ì th̟i HQ
̟ c sin̟h̟ gi0i t0án̟ cap qu0c gia,
qu0c te có rat n̟h̟ieu bài ph̟ai su dun̟g tói h̟ai ph̟ươn̟g ph̟áp n̟ày đe giai. K̟h̟i giai

t0án̟ k̟h̟ôn̟g ph̟ai lúc n̟à0 ch̟ún̟g ta cũn̟g n̟gh̟ĩ tói h̟ai ph̟ươn̟g ph̟áp đ¾c bi¾t trên̟
n̟ên̟ có n̟h̟ieu HQ
̟ c sin̟h̟ g¾p vưón̟g m̟ac vói n̟h̟un̟g bài t0án̟ dan̟g n̟ày. V¾y câu h̟0i
đ¾t ra là: Ph̟ươn̟g ph̟áp ch̟ún̟g m̟in̟h̟ quy n̟ap và ph̟ươn̟g ph̟áp ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ph̟an̟
ch̟ún̟g là th̟e n̟à0? Ch̟ún̟g ta ph̟ai v¾n̟ dun̟g h̟ai ph̟ươn̟g ph̟áp đó n̟h̟ư th̟e n̟à0
tr0n̟g vi¾c giai các bài t0án̟?
Lu¾n̟ văn̟
"Ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap và ph̟ươn̟g ph̟áp ph̟an̟ ch̟Ún̟g
vái các bài t0án̟ ph̟0 th̟ơn̟g "
trìn̟h̟ bày m̟®t s0 k̟h̟ái n̟i¾m̟ cơ ban̟, các bưóc th̟n̟c h̟i¾n̟ tr0n̟g ph̟ươn̟g ph̟áp
ch̟ún̟g m̟in̟h̟ quy n̟ap, ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ph̟an̟ ch̟ún̟g. Tù đó đưa ra các bài t0án̟ tr0n̟g
s0 HQ
̟ c, đai s0, giai tích̟, h̟ìn̟h̟ HQ
̟ c v¾n̟ dun̟g h̟ai ph̟ươn̟g ph̟áp trên̟ đe giai.
Lu¾n̟ văn̟ g0m̟ h̟ai ch̟ươn̟g.
Ch̟ươn̟g 1. Ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap
Ch̟ươn̟g n̟ày tác gia trìn̟h̟ bày ve n̟guyên̟ lý quy n̟ap t0án̟ HQ
̟ c, các bưóc tr0n̟g
ch̟ún̟g m̟in̟h̟ quy n̟ap, m̟®t s0 dan̟g k̟h̟ác cn̟a n̟guyên̟ lý quy n̟ap, và vắn dung
phng phỏp chỳng minh quy nap e giai mđt s0 bài t0án̟ 0 ph̟ő th̟ôn̟g.
Ch̟ươn̟g 2. Ph̟ươn̟g ph̟áp ph̟an̟ ch̟Én̟g
Tr0n̟g ch̟ươn̟g n̟ày tác gia trìn̟h̟ bày k̟h̟ái n̟i¾m̟, cơ s0 l0gic, các bưóc tr0n̟g
ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ph̟an̟ ch̟ún̟g và các bài t0án̟ 0 ch̟ươn̟g trìn̟h̟ ph̟ő th̟ơn̟g v¾n̟
dun̟g ph̟ươn̟g ph̟áp n̟ày đe giai.

3


Ch̟ươn̟g 1

PH̟ƯƠN̟G PH̟ÁP QUY N̟AP
T0án̟ HQ
̟ c đư0c xây dn̟n̟g trờn mđt tắp h0p cỏc tiờn e v %nh ngha. N̟h̟un̟g
tiên̟ đe, đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa n̟ày là n̟en̟ tan̟g cơ ban̟ ch̟0 các đ%n̟h̟ lý. Tat ca các đ%n̟h̟ lý
đư0c sán̟g ta0 ra, đư0c ch̟ún̟g m̟in̟h̟ n̟h̟ò su dun̟g các tiên̟ đe, đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa h̟ay các
đ%n̟h̟ lý đư0c ch̟ún̟g m̟in̟h̟ trưóc đó. N̟gư0c lai, lý th̟uyet 0 h̟au h̟et các n̟gàn̟h̟
k̟h̟0a HQ
̟ c k̟h̟ác (ví du n̟h̟ư đ%n̟h̟ lu¾t N̟ewt0n̟ ve chuyen đng tr0ng vắt
lý...), thũng 0c xõy dnng dna trờn k̟et qua th̟n̟c n̟gh̟i¾m̟ và có th̟e k̟h̟ơn̟g
ba0 giị đư0c ch̟ún̟g m̟in̟h̟ là đún̟g. Các th̟n̟c n̟gh̟i¾m̟ và quan̟ trac k̟h̟ơn̟g đn̟ đe
ch̟ún̟g t0 ran̟g m̟¾n̟h̟ đe t0án̟ HQ
̟ c là đún̟g. Ví du n̟h̟ư n̟h̟à t0án̟ HQ
̟ c Ferm̟at
(1601 - 1665) dn̟ đ0án̟ ran̟g k̟h̟i n̟ là m̟®t s0 n̟gun̟ lón̟ h̟ơn̟ 2 th̟ì ph̟ươn̟g
trìn̟h̟ xn̟ + y n̟ = z n̟ k̟h̟ơn̟g có n̟gh̟i¾m̟ n̟gun̟ dươn̟g. Các n̟h̟à t0án̟ HQ
̟ c
đã c0 gan̟g rat n̟h̟ieu đe tìm̟ ra mđt phan vớ du (tỳc l mđt tắp cỏc nghiắm
nguyờn dươn̟g) n̟h̟ưn̟g đeu th̟at bai. Ph̟ai m̟at h̟ơn̟ ba th̟e k̟y đe tìm̟ lịi giai
n̟h̟ưn̟g các n̟h̟à t0án̟ HQ
̟ c van̟ k̟h̟ơn̟g th̟àn̟h̟ cơn̟g. Tói n̟ăm̟ 1994 n̟h̟à t0án̟ HQ
̟ c
n̟gưịi An̟h̟ An̟drew Wiles đã tìm̟ ra lịi giai. Se l mđt sai lam neu nh ta ket
luắn h0ắc dn 0ỏn mđt mắnh e t0ỏn HQ
c ỳng chi n th̟uan̟ ban̟g th̟n̟c
2
n̟gh̟i¾m̟. Ví du ta có th̟e dn̟ đ0án̟ ran̟g n̟ − n̟ + 41 là s0 n̟guyên̟ t0 vói MQ
̟ i
2
s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟ . Ta có th̟e de dàn̟g th̟ay k̟h̟i n̟ = 1, n̟ − n̟ + 41 = 41 là s0
n̟guyên̟ t0, k̟h̟i n̟ = 2 th̟ì n̟ 2 − n̟ + 41 = 43 là s0 n̟gun̟ t0. Cú tiep tuc th̟u

n̟gh̟i¾m̟ ch̟0 tói k̟h̟i n̟ = 10 h̟0¾c n̟ = 20 ta cũn̟g k̟h̟ơn̟g tìm̟ đư0c ph̟an̟ ví
du. Tuy n̟h̟iên̟ de th̟ay ran̟g m̟¾n̟h̟ đe là sai, vì k̟h̟i ch̟0 n̟ = 41 th̟ì n̟ 2 − n̟ +
41 = 412 k̟h̟ơn̟g là s0 n̟guyên̟ t0. N̟h̟ư v¾y n̟h̟un̟g k̟et qua th̟n̟c n̟gh̟i¾m̟ là
k̟h̟ơn̟g đn̟ đe đam̟ ba0 tín̟h̟ đún̟g đan̟ ch̟0 m̟¾n̟h̟ đe và ch̟ún̟g cũn̟g k̟h̟ơn̟g th̟e
k̟iem̟ tra đư0c m̟¾n̟h̟ đe tr0n̟g tat ca các trưịn̟g h̟0p. Ví du ta dn̟ đ0án̟ tőn̟g cn̟a
n̟ s0 tn̟ n̟h̟iên̟ le đau tiên̟ là 1 + 3 + 5 + ... + (2n̟ − 1) = n̟ 2 . Tat n̟h̟iên̟ ta
de dàn̟g k̟iem̟ tra 0c mắnh e l ỳng tr0ng mđt vi giỏ tr% n̟ đau tiên̟ (n̟h̟ư
vói 100 s0 đau tiên̟ ch̟an̟g h̟an̟). N̟h̟ưn̟g ch̟ún̟g ta cũn̟g k̟h̟ơn̟g th̟e k̟et lu¾n̟ m̟¾n̟h̟
4


đe là đún̟g. Có th̟e n̟ó sai 0 m̟®t vài giá tr% n̟à0 đó m̟à ta k̟h̟ơn̟g biet. V¾y ch̟ún̟g
ta ph̟ai k̟iem̟

5


Chương 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NAP

tra m̟¾n̟h̟ đe ban̟g cách̟ n̟à0? Cơn̟g cu đac ln̟c 0 đây ch̟ín̟h̟ là quy n̟ap t0án̟ H̟Qc.
Tr0n̟g ch̟ươn̟g n̟ày ch̟ún̟g ta se cùn̟g tìm̟ h̟ieu ve ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap t0án̟
HQ
̟ c và n̟h̟un̟g ún̟g dun̟g cn̟a n̟ó tr0n̟g giai t0án̟.

1.1

N̟guyên̟ lý quy n̟ap

1.1.1

Suy dien v quy nap

Tr0ng la0 đng, HQc tắp v sinh h0at ngũi ta phai suy luắn, ỏnh giỏ nhung
h0at đng cn̟a m̟ìn̟h̟. Th̟n̟c te có h̟ai h̟ưón̟g ch̟ín̟h̟ đe suy luắn v a ra ket qua
trúc mđt van e can giai quyet. N̟h̟un̟g suy lu¾n̟ đó là suy dien̟ và quy n̟ap.
Suy dien̟ là q trìn̟h̟ đi tù "tín̟h̟ ch̟at" cn̟a t¾p th̟e (cái ch̟un̟g) suy ra "tín̟h̟
ch̟at" cn̟a cá th̟e (cái riên̟g), h̟ay tù quy tac ch̟un̟g, tőn̟g quát áp dun̟g và0
tùn̟g trưịn̟g h̟0p cu th̟e, riên̟g le.
Ví du nh ta biet mđt ket luắn chung rang: " S0 tn̟ n̟h̟iên̟ m̟à có tőn̟g các ch̟u s0
cn̟a n̟ó ch̟ia h̟et ch̟0 3 th̟ì s0 đó cũn̟g ch̟ia h̟et ch̟0 3 ". N̟h̟ư v¾y ta suy ra s0 2013
cũn̟g ch̟ia h̟et ch̟0 3 vì n̟ó có tőn̟g các ch̟u s0 là 2 + 0 + 1 + 3 = 6 ch̟ia h̟et
ch̟0 3. Quy n̟ap là quá trìn̟h̟ đi tù "tín̟h̟ ch̟at" cn̟a m̟®t s0 cá th̟e (cái riên̟g) suy
ra "tớnh chat" cna tắp the (cỏi chung), hay tự mđt vài trưịn̟g h̟0p cu th̟e rút
ra k̟et lu¾n̟ ch̟un̟g, tőn̟g qt. D0 đó q trìn̟h̟ n̟ày k̟h̟ơn̟g ph̟ai lúc n̟à0 cũn̟g
đún̟g. Ví du k̟h̟i quan̟ sát th̟ay m̟®t s0 k̟im̟ l0ai n̟h̟ư: sat, đ0n̟g, ch̟ì, vàn̟g, bac,...
đeu có th̟e ran̟, n̟gưịi ta đã quy n̟ap và rút ra k̟et lu¾n̟: " M̟QI k̟im̟ l0ai đeu là
ch̟at ran̟". Đây là k̟et luắn sai lam vỡ thny ngõn l mđt kim l0ai n̟h̟ưn̟g k̟h̟ôn̟g
ph̟ai là
ch̟at ran̟.
Ph̟an̟ n̟ày ta se n̟gh̟iên̟ cúu cách̟ suy lu¾n̟ quy n̟ap th̟e n̟à0 là đún̟g và áp dun̟g
ch̟ín̟h̟ xác n̟h̟un̟g suy lu¾n̟ n̟ày đe giai các bài t0án̟ ve s0 HQ
̟ c, đai s0, h̟ìn̟h̟ HQ
̟ c
và giai tích̟ tr0n̟g ch̟ươn̟g trìn̟h̟ ph̟ő th̟ơn̟g.
1.1.2

M
̟ ®t s0 ví dn̟ ve suy lu¾n̟ quy n̟ap

Trưóc k̟h̟i đi và0 n̟gun̟ lý cu th̟e ta xét m̟®t s0 ví du m̟à cách̟ giai th̟n̟c

h̟i¾n̟ tù trưịn̟g h̟0p cu th̟e tien̟ tói tőn̟g qt h̟óa.
Ví dn̟ 1.1. Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ran̟g tőn̟g n̟ s0 tn̟ n̟h̟iên̟ lé đau tiên̟ ban̟g n̟ 2.
Lài giai.
Ta biet ran̟g s0 le th̟ú n̟h̟at là 1, s0 le th̟ú h̟ai là 3, s0 le th̟ú ba là 5,... N̟h̟ư
v¾y s0 le th̟ú k̟ là (2k̟ − 1) vói k̟ = 1, 2, 3, ...
Ta k̟í h̟i¾u S(n̟ ) là tőn̟g cn̟a n̟ s0 tn̟ n̟h̟iên̟ le đau tiên̟.
5


Ta th̟ay ran̟g
Vói n̟ = 1, S(1) = 1 = 12, k̟et lu¾n̟ cn̟a bài t0án̟
đún̟g. Vói n̟ = 2, S(2) = 1 + 3 = 22, k̟et lu¾n̟ cn̟a
bài t0án̟ đún̟g.
Vói n̟ = 3, S(3) = 1 + 3 + 5 = 32, k̟et lu¾n̟ cn̟a bài t0án̟ đún̟g.
Ta có th̟e tiep tuc k̟iem̟ tra ch̟0 các trưịn̟g h̟0p tiep th̟e0. N̟h̟ưn̟g n̟h̟un̟g s0 le
là vô cùn̟g n̟h̟ieu n̟ên̟ ta k̟h̟ơn̟g có k̟h̟a n̟ăn̟g k̟iem̟ tra h̟et đư0c tùn̟g giá tr%. V¾y
có cách̟ n̟à0 k̟h̟ác k̟h̟ơn̟g đe suy lu¾n̟ tù m̟®t s0 trưịn̟g h̟0p m̟à se đún̟g vói MQ
̟ I
trưòn̟g h̟0p?
Ta th̟ay ran̟g n̟h̟un̟g trưòn̟g h̟0p giá tr% 0 sau đeu có th̟e suy ra k̟et lu¾n̟ tù
giá tr% trưóc ban̟g m̟0i quan̟ h̟¾ S(n̟ ) = S(n̟ − 1) + 2n̟ − 1, (n̟ ≥ 2).
N̟eu ta đã tín̟h̟ đư0c S(n̟ − 1) = (n̟ − 1)2 th̟ì ta có
S(n̟ ) = S(n̟ − 1) + 2n̟ − 1 = (n̟ − 1)2 + 2n̟ − 1 = n̟ 2.

N̟h̟ư v¾y, cú s0 trưóc đã có k̟et qua đún̟g th̟ì s0 sau cũn̟g đún̟g. Ta có n̟ = 3
k̟et lu¾n̟ đún̟g th̟ì n̟ = 4 k̟et lu¾n̟ đún̟g, sau đó n̟ = 5,...
Suy ra bài t0án̟ đún̟g vói MQ
̟ I giá tr% cn̟a n̟ .
Ví dn̟ 1.2. Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ran̟g vái M̟QI s0 n̟guyên̟ đ0n̟g (tien̟ Vi¾t N̟am̟) lán̟ h̟ơn̟
6 có th̟e đői ra tien̟ lé k̟h̟ơn̟g dư ban̟g n̟h̟un̟g đ0n̟g tien̟ g0m̟ n̟h̟un̟g tà 2 đ0n̟g

h̟0¾c 5 đ0n̟g (1 đ0n̟g á đây ban̟g 1000 đ0n̟g tr0n̟g th̟n̟c te).
Lài giai. Đan̟g th̟úc sau đây n̟ói lên̟ 7 đ0n̟g, 8 đ0n̟g th̟ì g0m̟ tị 2 đ0n̟g và 5
đ0n̟g n̟h̟ư th̟e n̟à0:
7 = 5 + 2;
8 = 2 + 2 + 2 + 2.

N̟eu ta th̟êm̟ và0 h̟ai ve cn̟a các đan̟g th̟úc trên̟ tị 2 đ0n̟g, th̟ì
9 = 7 + 2;
10 = 8 + 2.

Tiep tuc th̟êm̟ 2 đ0n̟g và0 h̟ai đan̟g th̟úc sau cùn̟g, ta có
11 = 9 + 2;
12 = 10 + 2.

Ta còn̟ tiep tuc làm̟ đư0c n̟h̟ư trên̟ vói bat cú m̟®t s0 n̟gun̟ dươn̟g n̟à0 k̟h̟ác
lón̟ h̟ơn̟ 6. Ta th̟ay ran̟g 0 bưóc trưóc có h̟ai đan̟g th̟úc và suy ra bưóc sau cũn̟g
có h̟ai đan̟g th̟úc. N̟h̟ư v¾y vói M̟QI s0 n̟ n̟gun̟ đ0n̟g n̟à0 dù là s0 ch̟an̟ h̟0¾c


s0 le th̟ì n̟ − 2 đ0n̟g cũn̟g rơi và0 m̟®t tr0n̟g h̟ai trưịn̟g h̟0p trưóc đó đã đői
đư0c ra


h̟ai l0ai tien̟ 2 đ0n̟g và 5 đ0n̟g. Suy ra n̟ó cũn̟g đői đư0c th̟àn̟h̟ các đ0n̟g 2
đ0n̟g và 5 đ0n̟g.
N̟h̟ư v¾y k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ cn̟a bài t0án̟ là đún̟g.
1.1.3

N̟guyên̟ lý quy n̟ap t0án̟

H̟QC

Cơ s0 cn̟a n̟guyên̟ lý quy n̟ap t0án̟ H̟Qc là tiên̟ đe th̟ú 5 (còn̟ GQI là tiên̟ đe quy
n̟ap) cn̟a h̟¾ tiên̟ đe PEAN̟0 ve t¾p h̟0p s0 tn̟ n̟h̟iên̟ đư0c xây dn̟n̟g tù cu0i th̟e
k̟i 19.
• Tiên̟ đe 1. 1 là s0 tn̟ n̟h̟iên̟.
• Tiên̟ đe 2. Vói MQ
̟ I s0 tn̟ n̟h̟iên̟ a, có m̟®t s0 tn̟ n̟h̟iên̟ a* đi lien̟ sau a.
• Tiên̟ đe 3. S0 1 k̟h̟ôn̟g đi lien̟ sau s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟à0. N̟ói cách̟ k̟h̟ác, vói M̟QI
s0 tn̟ n̟h̟iên̟ a ta ch̟i có a* k̟h̟ác 1.
• Tiên̟ đe 4. N̟eu a*=b* th̟ì a=b. S0 tn̟ n̟h̟iên̟ đi lien̟ sau a là duy n̟h̟at.
• Tiên̟ đe 5. (Tiên̟ đe quy n̟ap) Gia su M l mđt tắp h0p cỏc s0 tn nhiờn có
tín̟h̟ ch̟at: M̟ ch̟úa 1, và n̟eu M̟ ch̟úa a th̟ì M̟ cũn̟g ch̟úa a*. K̟h̟i đó t¾p M̟
trùn̟g vói tắp h0p cỏc s0 tn nhiờn .
Mắnh e l mđt câu TRQN̟ n̟gh̟ĩa (m̟®t k̟h̟an̟g đ%n̟h̟) m̟à n̟®i dun̟g cn̟a n̟ó ph̟an̟
án̟h̟ đún̟g h̟0¾c sai th̟n̟c te k̟h̟ách̟ quan̟.
N̟h̟un̟g ví du trên̟ ch̟0 ta th̟ay ran̟g m̟0i bài t0án̟ là mđt mắnh e ỳng h0ắc
sai. M0i mắnh e nh vắy lai ph̟u th̟u®c và0 m̟®t bien̟ s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟ . Mđt
cỏch tng quỏt ta kớ hiắu P (n ) l mắnh e t0ỏn HQ
c phu thuđc v0 n , vói n̟
là s0 tn̟ n̟h̟iên̟. N̟h̟ư v¾y, th̟n̟c ch̟at cn̟a các ví du đã xét là ch̟ún̟g m̟in̟h̟ dãy
m̟¾n̟h̟ đe sau đún̟g (h̟0¾c sai)
P (1), P (2), P (3), ..., P (n̟ ), ...

M̟®t s0 bài t0án̟ ph̟át bieu dưói dan̟g: Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ran̟g vái M̟QI s0 tn̟
n̟h̟iên̟ n̟ , P (n̟ ) đún̟g. N̟h̟ư v¾y, n̟h̟un̟g bài t0án̟ l0ai ny eu liờn quan
túi tắp s0 tn nhiờn.
Mđt tớnh ch̟at cn̟a t¾p s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟gưịi ta cơn̟g n̟h̟¾n̟ n̟h̟ư m̟®t tiên̟ đe và
th̟ưịn̟g GQI là tiên̟ đe th̟ú tn̟.
Tiên̟ đe th̟Ú tU. M̟QI t¾p k̟h̟ác rőn̟g các s0 tn̟ n̟h̟iên̟ đeu có ph̟an̟ tu n̟h̟ó n̟h̟at.

Ch̟0 m̟0i s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟ ún̟g vói m̟®t k̟h̟an̟g đ%n̟ h̟ P (n̟ ). Th̟ay vì ta ph̟ai đi
k̟iem̟ tra vơ h̟an̟ các m̟¾n̟h̟ đe th̟ì n̟gưịi ta su dun̟g n̟gun̟ lý t0án̟ H̟Qc sau là
đn̟.
Đ%n̟h̟ lý 1.1. (N̟guyên̟ lý quy n̟ap t0án̟ H̟Qc.) Ch̟0 n̟ 0 ≥ 1 là m̟®t s0 tn
nhiờn c0 %nh v P (n ) l mđt mắnh đe có n̟gh̟ĩa vái M̟QI s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟ ≥ n̟ 0 .
Gia su h̟ai đieu k̟i¾n̟ sau đưac th̟óa m̟ãn̟:


(i) P (n̟ 0) là m̟¾n̟h̟ đe đún̟g và
(ii) N̟eu m̟¾n̟h̟ đe P (k̟ ) đún̟g vái m̟ői s0 tn̟ n̟h̟iên̟ k̟ ≥ n̟ 0 k̟é0 th̟e0 m̟¾n̟h̟ đe
P (k̟ + 1) cũn̟g đún̟g.
K̟h̟i đó m̟¾n̟h̟ đe P (n̟ ) đún̟g vái M̟QI s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟ ≥ n̟ 0 .
Ch̟Ún̟g m
̟ in̟h̟. GQI A là t¾p h̟0p các s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟ ≥ n̟ 0 m̟à P (n̟ ) k̟h̟ơn̟g
đún̟g. Gia su A ƒ= ∅, k̟h̟i đó se t0n̟ tai m̟®t s0 tn̟ n̟h̟iên̟ m̟ ≥ n̟ 0 m̟à P (m̟)
k̟h̟ôn̟g đún̟g. Ta lay s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟h̟0 n̟h̟at m̟J tr0n̟g A m̟à
P (m̟J ) k̟h̟ôn̟g đún̟g.

(1.1)

Đieu n̟ày th̟n̟c h̟i¾n̟ đư0c d0 tiên̟ đe th̟ú tn̟. Th̟e0 gia th̟iet (i) th̟ì P (n̟ 0 )
đún̟g n̟ên̟ m̟J > n̟ 0 suy ra m̟J − 1 ≥ n̟ 0 . Vì m̟J − 1 ∈/ A (d0 m̟J là s0 nh0
nhat thuđc A), nờn the0 %nh ngha cna tắp A th̟ì P (m̟J − 1) đún̟g. K̟h̟i đó
th̟e0 gia th̟iet (ii) th̟ì
P (m̟J ) = P ((m̟J − 1) + 1) cũn̟g đún̟g.

(1.2)

Tù (1.1) và (1.2) suy ra m̟âu th̟uan̟. Đieu n̟ày ch̟ún̟g t0 A = ∅.
V¾y P (n̟ ) đún̟g vói m̟QI s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟ ≥ n̟ 0 .

□
Ph̟ươn̟g ph̟áp dùn̟g n̟guyên̟ lý quy n̟ap t0án̟ HQ
̟ c đe giai t0án̟, n̟gưòi ta GQI là
ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap t0án̟ H̟Qc.
Ch̟ú ý 1.1. Ta can̟ ph̟ân̟ bi¾t rõ các khỏi niắm
ãP
" hộp quy nap"l mđt phng phỏp t duy dùn̟g đe tìm̟ tịi, dn̟ đ0án̟, ph̟át h̟i¾n̟
các k̟ien̟ th̟úc m̟ái.
•P
" h̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap t0án̟ HQ
̟ c"ta GQI tat "Ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap" là m̟®t
ph̟ươn̟g ph̟áp ch̟ún̟g m̟in̟h̟ các k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ ch̟úa ch̟u n̟ ∈ N̟ (t¾p h̟ap các s0 tn̟
n̟h̟iên̟).
Ta cũn̟g có th̟e su dn̟n̟g ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap đe ch̟ún̟g m̟in̟h̟ n̟h̟un̟g k̟h̟an̟g đ
%n̟h̟ đ0i vái các s0 n̟guyên̟.
N̟h̟ieu k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ m̟à có th̟e đưac ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ban̟g ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap cũn̟g
có th̟e đưac ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ban̟g các ph̟ươn̟g ph̟áp k̟h̟ác đôi k̟h̟i n̟gan̟ GQN̟ h̟ơn̟.

1.2

Ph̟ươn̟g ph̟áp ch̟Én̟g m̟in̟h̟ quy n̟ap

Dn̟a th̟e0 n̟guyên̟ lý quy n̟ap t0án̟ HQ
̟ c ta đưa ra các bưóc tr0n̟g ch̟ún̟g m̟in̟h̟
th̟e0 ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap t0án̟ HQ
̟ c.


1.2.1

Các bưác tr0n̟g ph̟ươn̟g ph̟áp ch̟Én̟g m̟in̟h̟ quy n̟ap

Gia su k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ P (n̟ ) xác đ%n̟h̟ vói M̟QI n̟ ≥ n̟ 0 , (n̟ , n̟ 0 ∈ Z+ ). Đe ch̟ún̟g
m̟in̟h̟ P (n̟ ) đún̟g vói M̟QI n̟ ≥ n̟ 0 ban̟g ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap, ta can̟ th̟n̟c h̟i¾n̟
ba bưóc: Bưác 1. Cơ sá quy n̟ap. Ta k̟iem̟ tra m̟¾n̟h̟ đe có đún̟g vói n̟ =
n̟ 0 k̟h̟ơn̟g?
N̟gh̟ĩa là k̟iem̟ tra P (n̟ 0) có đún̟g k̟h̟ơn̟g? N̟eu bưóc cơ s0 đún̟g ta ch̟uyen̟
san̟g bưóc th̟ú h̟ai.
Bưác 2. Quy n̟ap. Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ran̟g n̟eu vói m̟0i k̟ ≥ n̟ 0 (k̟ ∈ Z+), P (k̟ ) là
m̟¾n̟h̟ đe đún̟g th̟ì suy ra P (k̟ + 1) cũn̟g đún̟g.
Bưác 3. K̟et lu¾n̟. P (n̟ ) đún̟g vói MQ
̟ I n̟ ≥ n̟ 0 .
Ví dn̟ 1.3. Tín̟h̟ tőn̟g cua n̟ s0 tn̟ n̟h̟iên̟ đau tiên̟.
Lài giai. K̟í h̟i¾u S(n̟ ) là tőn̟g cn̟a n̟ s0 tn̟ n̟h̟iên̟ đau tiên̟, n̟gh̟ĩa là
S(n̟ ) = 1 + 2 + 3 + ... + n̟ .

Ta tín̟h̟ m̟®t s0 tőn̟g tai n̟h̟un̟g giá tr% ban̟ đau.
n̟

1

2

3

4

5

6

7

8

S(n̟)

1

3

6

10

15

21

28

36

Ta th̟ay quy lu¾t: Tích̟ cn̟a h̟ai s0 liên̟ tiep 0 h̟àn̟g trên̟ ban̟g 2 lan̟ s0 0 h̟àn̟g
dưói (s0 có v% trí cùn̟g c®t vói s0 th̟ú n̟h̟at tr0n̟g 2 s0 liên̟ tiep 0 h̟àn̟g trên̟).
N̟h̟ư 1.2 = 2.1, 2.3 = 2.3, 3.4 = 2.6, 4.5 = 2.10, 5.6 = 2.15, 6.7 =
2.21, ...

D0 đó ta có th̟e dn̟ đ0án̟ cơn̟g th̟úc ph̟ai tìm̟ là
S(n̟ ) = 1 + 2 + 3 +

... + n̟ =

n̟ (n̟ +
1) .
2

(1.3)

Bieu th̟úc (1.3) đư0c GQI là gia th̟iet quy n̟ap. M̟u0n̟ ch̟ac ch̟an̟ côn̟g th̟úc n̟ày
đún̟g ta ph̟ai ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ban̟g ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap th̟ôn̟g qua h̟ai bưóc:
1. Bưác cơ sá. Vói n̟ = 1 cơn̟g th̟úc (1.3) đún̟g n̟h̟ư cách̟ tín̟h̟ 0 trên̟.
2. Bưác quy n̟ap. Gia su n̟ = k̟ ≥ 1 (k̟ ∈ Z+), S(k̟ ) đún̟g túc là S(k̟ ) =
Ta ph̟ai ch̟ún̟g m̟in̟h̟ (1.3) cũn̟g đún̟g vói n̟ = k̟ + 1.
Th̟¾t v¾y,
S(k̟ + 1) = S(k̟ ) + (k̟ + 1)
k̟ (k̟ +
1)
+ (k̟ +
=
1) =
2

k̟ (k̟ + 1)
2

k̟ (k̟ + 1) 2(k̟ + 1) (k̟ + 1)(k̟ +
+
=
2)
2

2
.
2

D0 đó cơn̟g th̟úc (1.3) cũn̟g đún̟g vói n̟ = k̟ + 1.

.


Th̟e0 n̟guyên̟ lý quy n̟ap t0án̟ H̟Qc côn̟g th̟úc (1.3) đún̟g vói M̟Qi n̟ ≥ 1.
n̟ (n̟ + 1)
V¾y 1 + 2 + 3 + ... + n̟ =
.
2


Ví dn̟ 1.4. Tín̟h̟ tőn̟g các l¾p ph̟ươn̟g cua n̟ s0 tn̟ n̟h̟iên̟ đau tiên̟.
Lài giai. Ta đ¾t cơn̟g th̟úc T (n̟ ) = 13 + 23 + 33 + ... + n̟ 3.
Ta cũn̟g đi tín̟h̟ m̟®t s0 giá tr% ban̟ đau:
n̟

1

2

3

4

5

6

T(n̟)

1

9

36

100

225

441

N̟h̟ìn̟ và0 ban̟g trên̟ ta k̟h̟ó có th̟e tìm̟ ra quy lu¾t ch̟0 T (n̟ ).
N̟h̟ưn̟g vói k̟in̟h̟ n̟gh̟i¾m̟ và k̟et qua đã tín̟h̟ 0 bài trưóc ta có ban̟g n̟h̟ư sau:
n̟

1

2

3

4

5

6

S(n̟)

1

3

6

10

15

21

T(n̟)

1

9

36

100

225

441

e đây S(n̟ ) = 1 + 2 + ... + n̟ .
Tù ban̟g trên̟ ta th̟ay ran̟g có th̟e
T (n̟ ) = S2(n̟ ) : 1 = 12, 9 = 32, 36 = 62, ...

Côn̟g th̟úc tín̟h̟ S(n̟ ) đã biet 0 bài t0án̟ 1.3, k̟h̟i đó ta có cơn̟g th̟úc ch̟0 gia
th̟iet quy n̟ap là
Σ

T (n̟ ) = 13 + 23 + 33 + ...
+ n̟ 3 =

1)

n̟ (n̟ +

(1.4)

.

Σ2
2

Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ côn̟g th̟úc (1.4) ban̟g ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap th̟e0 n̟ :
1. Bưác cơ sá. Vói n̟ = 1 cơn̟g th̟úc (1.4) đún̟g (th̟e0 ban̟g trên̟).
2. Bưác quy n̟ap. Gia su (1.4) đún̟g vói n̟ = k̟ ≥ 1 (k̟ ∈ Z+), ta ph̟ai ch̟ún̟g
m̟in̟h̟ (1.4) cũn̟g đún̟g vói n̟ = k̟ + 1.
Th̟¾t v¾y,
T (k̟ + 1) = 13 + 23 + 33 + ... + k̟ 3 + (k̟ + 1)3 = T (k̟ ) + (k̟ + 1)3

Σ

k̟ (k̟ + 1)
=
2

Σ2

.
2

= (k̟ + 1) Σ

3

+ (k̟ + 1) = (k̟ +
1)2
k̟ 2 + 4k̟ + 4=

Σ

.2

Σ

k̟ + k̟ + 1
4

(k̟ + 1)(k̟ + 2).
2

Σ2

4

V¾y (1.4) đún̟g vói n̟ = k̟ + 1. Th̟e0 n̟guyên̟ lý quy n̟ap t0án̟ H̟Qc suy ra
(1.4) đún̟g vói M̟QI s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟ .
D0 đó ta có
.


Σ
13 + 23 + 33 + ... +
n̟ 3 =

n̟ (n̟ + 1)
2

Σ2


Ch̟ú ý 1.2.
Tr0n̟g q trìn̟h̟ quy n̟ap n̟eu k̟h̟ơn̟g th̟n̟c h̟i¾n̟ đay đn̟ ca h̟ai bưóc: Cơ s0
quy n̟ap và quy n̟ap th̟ì có th̟e dan̟ tói sai lam̟, ch̟an̟g h̟an̟:
• D0 b0 bưóc cơ s0 quy n̟ap n̟ên̟ ta đưa ra k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ k̟h̟ôn̟g đún̟g.
Ta xét bài t0án̟: Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ran̟g MQ
̟ I s0 tn̟ n̟h̟iên̟ đeu ban̟g s0 tn̟ n̟h̟iên̟
lien̟ sau n̟ó.
Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ bài t0án̟ th̟e0 ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap n̟h̟ư sau:
Gia su m̟¾n̟h̟ đe đún̟g vói n̟ = k̟ , (k̟ ∈ N̟). K̟h̟i đó ta có: k̟ = k̟ + 1.

Ta se ch̟ún̟g m̟in̟h̟ m̟¾n̟h̟ đe đún̟g vói n̟ = k̟ + 1, n̟gh̟ĩa là ph̟ai ch̟ún̟g m̟in̟h̟:
k̟ + 1 = k̟ + 2. Th̟¾t v¾y,
k̟ + 1 = (k̟ + 1) + 1 = k̟ + 2.

N̟h̟ư v¾y k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ đún̟g vói n̟ = k̟ th̟ì n̟ó cũn̟g đún̟g vói n̟ = k̟ + 1, d0 đó
th̟e0 quy n̟ap t0án̟ HQ
̟ c n̟ó đún̟g vói M̟QI s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟ . H̟¾ qua cn̟a bài t0án̟
n̟ày là tat ca các s0 tn̟ n̟h̟iên̟ đeu ban̟g n̟h̟au! Đieu n̟ày vơ lý.
V¾y cách̟ ch̟ún̟g m̟in̟h̟ sai 0 đâu? De th̟ay ran̟g k̟h̟i ta áp dun̟g n̟guyên̟ lí quy
n̟ap t0án̟ HQ
̟ c n̟h̟ưn̟g đã b0 qua k̟iem̟ tra trưịn̟g h̟0p n̟ = 1. Ta th̟ay vói n̟ = 1
th̟ì k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ cn̟a bài t0án̟ sai vì 1 ƒ= 2.
Búc kiem tra ban au cú mđt ý ngha ắc bi¾t là ta0 ra cơ s0 đe th̟n̟c
h̟i¾n̟ quy n̟ap. Bưóc th̟ú h̟ai đưa ra n̟gun̟ tac ch̟0 vi¾c m̟0 rđng tn đng
vụ han trờn c s0 cỏc ieu kiắn ban̟ đau, đây là n̟guyên̟ tac đi tù trưòn̟g h̟0p
riên̟g n̟ày san̟g trưòn̟g h̟0p riên̟g k̟h̟ác: tù k̟ đen̟ k̟ + 1.
Bài t0án̟ trên̟ k̟h̟i ch̟ưa k̟iem̟ tra đieu k̟i¾n̟ ban̟ đau th̟ì k̟h̟ơn̟g có cơ s0 đe th̟n̟c
h̟i¾n̟ quy n̟ap, vì th̟e vi¾c k̟iem̟ tra ph̟an̟ quy n̟ap k̟h̟ơn̟g có ý n̟gh̟ĩa gì.
• K̟h̟i ta ch̟i ch̟ún̟g m̟in̟h̟ đư0c mđt s0 ieu kiắn ban au m b0 qua phan
quy n̟ap th̟ì m̟ói ch̟i đưa ra đư0c cơ s0 ch̟ú ch̟ưa có n̟gun̟ tac n̟à0 đe m̟0
r®n̟g cơ s0 đó. D0 đó đieu ta k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ có th̟e se b% sai.
Ta xét ví du sau: N̟h̟à T0án̟ HQ
̟ c Ph̟áp P.Ferm̟at (1601 - 1665) đã ch̟0
2
ran̟g các s0 dan̟g 2 n̟ + 1 đeu là s0 n̟guyên̟ t0 vói n̟ là s0 n̟gun̟ k̟h̟ơn̟g âm̟.
K̟h̟i đó, P.Ferm̟at ch̟i xét 5 s0 đau tiên̟:
Vói

n̟ =
0

n̟ = 1
n̟ = 2
n̟ = 3

0

ch̟0 22 + 1 = 2 + 1 = 3
1

ch̟0 22 + 1 = 22 + 1 = 5

là s0 n̟guyên̟ t0.

ch̟0 22 + 1 = 24 + 1 = 17

là s0 n̟guyên̟ t0.

ch̟0 22 + 1 = 28 + 1 =

là s0 n̟guyên̟ t0.

2
3

257
n̟ = 4

là s0 n̟guyên̟ t0.

4

ch̟0 22 + 1 = 216 + 1 =

là s0 n̟guyên̟ t0.


65537


N̟h̟ưn̟g và0 th̟e k̟y 18, Euler đã ph̟át h̟i¾n̟ vói n̟ = 5 k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ trên̟
k̟h̟ơn̟g đún̟g, b0i vì:
5
là h̟0p s0.
22 + 1 = 4294967997 = 641 × 6700417
Rõ ràn̟g vì b0 qua bưóc quy n̟ap n̟ên̟ k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ cn̟a P.Ferm̟at k̟h̟ơn̟g đún̟g.
V¾y ph̟ươn̟g ph̟áp ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ban̟g quy n̟ap t0án̟ HQ
̟ c can̟ ph̟ai th̟n̟c h̟i¾n̟ h̟ai
bưóc n̟h̟ư ph̟ân̟ tích̟ 0 ph̟an̟ trên̟. K̟h̟ó k̟h̟ăn̟ ch̟n̟ yeu ch̟ún̟g ta g¾p tr0n̟g bưóc
quy n̟ap t0án̟ HQ
̟ c là k̟h̟i m̟¾n̟h̟ đe gia su đã đún̟g ch̟0 P (k̟ ) và ph̟ai ch̟ún̟g
m̟in̟h̟ ch̟0 P (k̟ + 1) cũn̟g đún̟g. Th̟ôn̟g th̟ưịn̟g n̟gưịi ta ph̟ai tìm̟ m̟0i liên̟ h̟¾
giua P (k̟ ) và P (k̟ + 1) đe suy ra k̟et qua ph̟ai ch̟ún̟g m̟in̟h̟.
1.2.2

Bưác quy n̟ap đưac xây dEn̟g trên̟ P(k̟)

Ph̟an̟ n̟ày ta xét k̟h̟a n̟ăn̟g bien̟ đői quy n̟ap trn̟c tiep tù k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ đún̟g
P(k̟) san̟g k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ đún̟g P(k̟+1).
Ví dn̟ 1.5. Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ran̟g vái M̟QI s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟ , th̟ì
12 1)

+ 22 + 32 + ... + n̟ 2 =
+

n̟ (n̟ + 1)(2n̟
6

(1.5)

Lài giai. Ta ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ban̟g ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap th̟e0 n̟ .
Đ¾t
S(n̟ ) = 12 + 22 + 32 + ... + n̟ 2.
1.2.3
1. Bưác cơ sá. Vói n̟ = 1 th̟ì S(1) = 12 = 1 =
, côn̟g th̟úc (1.5) đún̟g.
6
2. Bưác quy n̟ap. Gia su (1.5) đún̟g vói n̟ = k̟ ≥ 1 (k̟ ∈ N̟), túc là
k̟ (k̟ + 1)(2k̟ + 1)
S(k̟ ) = 12 + 22 + 32 + ... + k̟ 2 =
.
6

K̟h̟i đó
S(k̟ + 1) = 12 + 22 + ... + k̟ 2 + (k̟ + 1)2 = S(k̟ ) + (k̟ + 1)2
k̟ (k̟ + 1)(2k̟ + 1)
k̟ (2k̟ + 1) +
2
6(k̟++1)1)
=
+ (k̟
= (k̟ + 1)

6
6
2k̟ (k̟ + 1) + k̟ + 4(k̟ +
= (k̟ + 1)
1) + 2
6
(k̟ + 1)(k̟ + 2)[2(k̟ + 1) + 1]
=
.
6

D0 đó (1.5) đún̟g vói n̟ = k̟ + 1.
Th̟e0 n̟guyên̟ lý quy n̟ap t0án̟ H̟Qc (1.5) đún̟g vói M̟QI s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟ .


1.2.3

Bưác quy n̟ap đưac xây dEn̟g trên̟ P(k̟+1)

Bưóc quy n̟ap t0án̟ H̟Qc can̟ k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ P (k̟ + 1) đư0c suy ra tù P
(k̟ ). N̟h̟ưn̟g n̟h̟ieu k̟h̟i vi¾c bien̟ đői trn̟c tiep tù P (k̟ ) san̟g P (k̟ + 1) g¾p rat
n̟h̟ieu k̟h̟ó k̟h̟ăn̟ h̟0¾c k̟h̟ơn̟g có h̟ưón̟g ch̟ín̟h̟ xác đe bien̟ đői. K̟h̟i đó ta ph̟ai làm̟
n̟gư0c lai đe bieu dien̟ P (k̟ + 1) th̟àn̟h̟ n̟h̟un̟g m̟¾n̟h̟ đe P (k̟ ) và tien̟ h̟àn̟h̟
quy n̟ap.
Ví dn̟ 1.6. Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ran̟g s0 zn̟ = 32n̟+1 + 40n̟ − 67 ch̟ia h̟et ch̟0 64 vái
MQ
̟ I s0 n̟guyên̟ k̟h̟ơn̟g âm̟ n̟ .
Lài giai.
1. Bưác cơ sá. Vói n̟ = 0 ta có z0 = 31 − 67 = −64 ch̟ia h̟et ch̟0 64, m̟¾n̟h̟ đe đún̟g.
2. Bưác quy n̟ap. Gia su zn̟ ch̟ia h̟et ch̟0 64.

K̟h̟i đó
zn̟+1 = 32(n̟+1)+1 + 40(n̟ + 1) − 67
= 32n̟+3 + 40n̟ − 27
= 9(32n̟+1 + 40n̟ − 67) − 320n̟ + 576
= 9.zn̟ − 64(5n̟ − 9).

Ve ph̟ai cn̟a đan̟g th̟úc sau cùn̟g ch̟ia h̟et ch̟0 64, v¾y vói n̟ + 1 m̟¾n̟h̟ đe van̟
đún̟g.
Th̟e0 n̟guyên̟ lý quy n̟ap bài t0án̟ đún̟g vói m̟QI s0 n̟gun̟ k̟h̟ơn̟g âm̟ n̟ .

1.3

M
̟ ®t s0 dan̟g k̟h̟ác cua n̟guyên̟ lý quy n̟ap t0án̟

H̟QC

Đieu k̟ i¾n̟ th̟ú n̟h̟at tr0n̟g n̟guyên̟ lý quy n̟ap t0án̟ HQ
̟ c ch̟0 ta cơ s0 m̟0 r®n̟g
bat đau tù giá tr% n̟ 0 . Đieu k̟ i¾n̟ th̟ú h̟ai ch̟0 ta m̟¾n̟h̟ đe k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ P (n̟ )
đún̟g tai n̟ 0 + 1, n̟ 0 + 2, ... Th̟n̟c te n̟h̟ieu k̟h̟i tr0n̟g bưóc quy n̟ap ph̟ai địi
h̟0i h̟ai giá tr% n̟ = k̟ − 1 và n̟ = k̟ cn̟a m̟¾n̟h̟ đe trưóc k̟h̟i suy ra đún̟g vói
n̟ = k̟ + 1. Tr0n̟g trưịn̟g h̟0p n̟ày bưóc cơ s0 ph̟ai k̟iem̟ tra k̟h̟ơn̟g n̟h̟un̟g ch̟i
vói n̟ 0 , m̟à ca n̟ 0 + 1. Tőn̟g quát h̟ơn̟ ta có các đ%n̟h̟ lý sau:
Đ%n̟h̟ lý 1.2. Ch̟0 P (n̟ ) l mđt mắnh e cú ngha vỏi MQI s0 tn n̟h̟iên̟ n̟ ≥ 1.
Gia su h̟ai đieu k̟i¾n̟ sau đưac th̟óa m̟ãn̟:
(i) P(1) là m̟¾n̟h̟ đe đún̟g và
(ii) N̟eu các m̟¾n̟h̟ đe P (1), P (2), ..., P (k̟ ) đún̟g vái m̟ői s0 tn̟ n̟h̟iên̟ k̟ ≥
1 k̟é0 th̟e0 m̟¾n̟h̟ đe P (k̟ + 1) cũn̟g đún̟g.
K̟h̟i đó m̟¾n̟h̟ đe P (n̟ ) đún̟g vái tat ca các s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟ ≥ 1.

Ch̟Ún̟g m
̟ in̟h̟. GQI A là t¾p h̟0p các s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟ ≥ 1 m̟à P (n̟ ) k̟h̟ôn̟g
đún̟g. Gia su A ƒ= ∅, k̟h̟i đó se t0n̟ tai m̟®t s0 tn̟ n̟h̟iên̟ m̟ m̟à P (m̟) k̟h̟ơn̟g
đún̟g. Ta lay s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟h̟0 n̟h̟at m̟J tr0n̟g A m̟à
P (m̟J ) k̟h̟ơn̟g đún̟g.

(1.6)

Đieu n̟ày th̟n̟c h̟i¾n̟ đư0c d0 tiên̟ đe th̟ú tn̟. Th̟e0 gia th̟iet (i) th̟ì P (1) đún̟g
n̟ên̟ m̟J > 1 suy ra m̟J − 1 ≥ 1. Vì k̟ := m̟J − 1 ∈/ A (d0 m̟J là s0 n̟h̟0 n̟h̟at
th̟u®c A), n̟ên̟ th̟e0 đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa cn̟a t¾p A th̟ì P (k̟ ) đún̟g. Tươn̟g tn̟ k̟ − 1 ∈/ A
và P (k̟ − 1) đún̟g, cỳ lắp lai nh the, ta thu 0c mđt dóy P (1), P (2), . . .
, P (k̟ ) là n̟h̟un̟g m̟¾n̟h̟ đe đún̟g. K̟h̟i đó th̟e0 gia th̟iet (ii) th̟ì
P (m̟J ) = P (k̟ + 1) cũn̟g đún̟g.

(1.7)

Tù (1.6) và (1.7) suy ra m̟âu th̟uan̟. Đieu n̟ày ch̟ún̟g t0 A = ∅.
V¾y P (n̟ ) đún̟g vói M̟QI s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟ ≥ n̟ 0 .
Ví dn̟ 1.7. Ch̟0 x + là m̟®t s0 n̟guyên̟ (x
1
x

□

0). Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ran̟g

1

x2013 + 2013 cũn̟g là m̟®t s0 n̟guyên̟.
x

Lài giai. Ta dùn̟g ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap đe ch̟ún̟g m̟in̟h̟ m̟¾n̟h̟ đe sau:
1
0) th̟ì vói m̟QI s0 n̟gun̟ dươn̟g n̟ , xn̟ +
"N̟eu x + là m̟®t s0 n̟guyên̟
1
xn̟
(x
x

cũn̟g là m̟®t s0 n̟guyên̟."
1. Bưác cơ sá. K̟h̟i n̟ = 1 m̟¾n̟h̟ đe h̟ien̟ n̟h̟iên̟ đún̟g.
2. Bưác quy n̟ap. Gia su 1m̟¾n̟h̟ đe1 đún̟g vói MQ
̟ I 1s0 n̟guyên̟ dươn̟g n̟ có giá tr% tù
2
k̟
1 đen̟ k̟ , n̟gh̟ĩa là x + , x + , . . . , x + là n̟h̟un̟g s0 n̟guyên̟.
x

Ta can̟ ch̟ún̟g m̟in̟h̟ x

k̟+1

Th̟¾t v¾y,
xk̟+1 +

1
k+

x
1

x2
xk̟
1
+
cũn̟g là s0 n̟guyên̟.
xk̟+1

= .x +

Th̟e0 gia th̟iet quy n̟ap x +
,

V¾y x

k̟+1

1

x

1

1
x

Σ .xk̟ +

,

xk̟−1 +
xk̟

1

x
k

xk̟ +
1

1

Σ − .xk̟− +

1
xk̟−1

1

k−
x
1

Σ.

đeu là các s0 n̟guyên̟.

+
cũn̟g là s0 n̟guyên̟. Th̟e0 đ%n̟h̟ lý 1.2, m̟¾n̟h̟ đe đư0c ch̟ún̟g m̟in̟h̟.
xk̟+1
1
Tù m̟¾n̟h̟ đe, de dàn̟g suy ra x2013 +
cũn̟g là m̟®t s0 n̟guyên̟.
x2013
Đ%n̟h̟ lý 1.3. Ch̟0 n̟ 0 là m̟®t s0 tn̟ n̟h̟iên̟ c0 đ%n̟h̟ và P (n ) l mđt mắnh
e cú ngha vỏi MQI s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟ . Gia su h̟ai đieu k̟i¾n̟ sau đưac th̟óa m̟ãn̟: