cơ sở vanderput cho không gian các hàm liên tục trên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Tp. HỒ CHÍ MINH





NGUYỄN THANH DŨNG






CƠ SỞ VANDERPUT CHO KHÔNG
GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC TRÊN
p
¢








LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Tp. Hồ Chí Minh - 2011
LỜI CẢM ƠN


Luận văn này được hoàn thành nhờ quá trình tích lũy kiến thức lâu dài ở trường ĐHSP Quy
Nhơn và lớp cao học Toán, chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số khóa 19 của trường ĐHSP Tp. Hồ
Chí Minh.
Đầu tiên tôi xin tỏ lòng tôn kính và biết ơn sâu sắc tới thầy PGS. TS Mỵ Vinh Quang, người
đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài này. Phương pháp làm việc của thầy
rất nghiêm minh, khoa học và đạt hiệu quả cao. Thầy cũng đã đọc bản thảo và đưa ra những nhận
xét sắc đáng về cách trình bày giúp luận văn được rõ ràng, mạch lạc hơn.
Chân thành cảm ơn qúy thầy, cô trong khoa Toán – Tin học; khoa Giáo dục chính trị của
trường ĐHSP Tp. Hồ Chí Minh; quý thầy, cô trong khoa Toán – Tin học trường ĐHKHTN Tp. Hồ
Chí Minh đã tận tâm truyền thụ những kiến thức nền tảng giúp tôi hoàn thành luận văn này.
Cảm ơn Ban giám hiệu; quý thầy, cô công tác tại phòng KHCN và Sau đại học của trường
ĐHSP Tp. Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi hoàn thành khóa học cũng như trong suốt

quá trình làm luận văn.
Cuối cùng, xin cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô trong tổ Toán – Tin học trường THPT
Ngô Gia Tự; gia đình, bè bạn đã tạo điều kiện thuận lợi cả về vật chất lẫn tinh thần cho tôi trong
suốt quá trình học tập.

Tp Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2011

Nguyễn Thanh Dũng




MỤC LỤC


CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

p: số nguyên tố
¥
: tập hợp các số tự nhiên
*
¥
: tập hợp các số nguyên dương
¢
: tập hợp các số nguyên
¤
: tập hợp các số hữu tỉ
¡
: tập hợp các số thực
£

: tập hợp các số phức
p
¢
: vành các số nguyên p – adic
p
¤
: trường số p – adic
µ
p
p
=£¤

p
: giá trị tuyệt đối p – adic trong
p
¤

p
: giá trị tuyệt đối p – adic trong
p
£

_
n
nn
γ
= −

{}
nn

x
: dãy chuẩn của x
[]a
: phần nguyên của số nguyên a
[]
p
a
: phần nguyên p – adic của a
W
: kết thúc phép chứng minh


MỞ ĐẦU
Các số p – adic được mô tả lần đầu tiên bời Kurt Hensel vào năm 1897, hơn một trăm năm
qua chúng đã từng bước thâm nhập vào nhiều ngành toán học như: Lý thuyết số, Hình học đại số,
Tôpô đại số, Giả tích và cả Vật lý đặc biệt là Vật lý lượng tử. Bộ môn toán học nghiên cứu các hàm
với biến số là các số p – adic gọi là giải tích p – adic.
Không gian các hàm liên tục trên
p
¢
,
( )
pp
C →¢£
, là một không gian Banach với chuẩn
{ }
( )
max ( ) , ,
p pp
p

f fx x f C
∞
= ∀∈ ∀∈ →¢ ¢£

Mahler đã chỉ ra rằng tập các đa thức dạng
, 0,1,2,
x
n
n

=


lập thành một cơ sở trực giao của
( )
pp
C →¢£
, gọi là cơ sở Mahler. Cơ sở này đã có nhiều ứng dụng trong việc nghiên cứu các hàm
liên tục trên
p
¢
. Theo hướng nghiên cứu này, Vanderput đã đưa ra một cơ sở trực giao khác của
( )
pp
C →¢£
bao gồm các hàm hằng địa phương và cũng có nhiều ứng dụng. Bởi vậy, chúng tôi
chọn đề tài “ Cơ sở Vanderput cho không gian các hàm liên tục trên
p
¢
” vơi mục đích tiếp tục làm

rõ thêm một số kết quả về cơ sở này.
Mục đích chính của luận văn là xây dựng cơ sở Vanderput cho không gian các hàm liên tục
trên
p
¢
. Nghiên cứu và mở rộng một số tính chất của cơ sở này. Đồng thời, xây dựng các ứng dụng
của cơ sở này để biểu diễn các hàm liên tục trên tập
p
¢
.
Luận văn giới thiệu đầy đủ, chi tiết cách xây dựng cũng như các tính chất cơ bản của cơ sở
Vanderput. Chúng tôi đã cố gắng tìm tòi để đưa ra những ứng dụng của cơ sở này trong việc nghiên
cứu các hàm liên tục, khả vi liên tục trên
p
¢
; các hàm thỏa điều kiện Lipchitz cấp a dương.
Cấu trúc của luận văn gồm 2 chương
Chương 1: Các kiến thức cơ bản
Chương này giới thiệu các kiến thức cơ bản dùng cho chương sau như: các trường số
p - adic, không gian các hàm liên tục trên
p
¢
, cơ sở trực giao, trực chuẩn của một không gian.
Chương 2: Cơ sở Vanderput cho không gian các hàm liên tục trên
p
¢

Chương này là chương chính của luận văn, trình bày đầy đủ, chi tiết cách xây dựng cơ
sở Vanderput và các tính chất của nó. Trình bày các đặc trưng của hệ số Vanderput đối với lớp hàm
khả vi liên tục. Đưa ra công thức tính tích phân Volkenborn theo cơ sở này. Cuối cùng là mở rộng

kết quả của Vanderput cho không gian các hàm liên tục hai biến
( )
pp p
C ×→¢¢ £
.

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2011
Tác giả


Nguyễn Thanh Dũng







Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN

Trong chương này, chúng tôi nêu cách xây dựng các trường số p – adic. Đồng thời đưa ra
khái niệm hàm liên tục, không gian các hàm liên tục; cơ sở trực giao – trực chuẩn của một không
gian; nêu và chứng minh chi tiết các tính chất cơ bản của chúng mà sẽ được sử dụng trong chương
2.

1.1 Trường các số p – adic

Để xây dựng trường các số p – adic
p
¤

và
p
£
, trước hết ta cần khái niệm giá trị tuyệt đối
trên một trường.

1.1.1.Định nghĩa
Cho K là một trường, ánh xạ
: K → ¡
được gọi là một giá trị tuyệt đối trên K nếu:
1)
0, ; 0 0x x Kx x≥ ∀∈ = ⇔ =

2)
., ,xy x y x y K= ∀∈

3)
,,x y x y xy K+≤+ ∀ ∈

Nếu
thỏa điều kiện 3’)
{ }
max , , ,x y x y xy K+≤ ∀ ∈
thì gọi là giá trị tuyệt đối phi - Acsimét.

Ví dụ 1 Trên trường số hữu tỷ
¤
, giá trị tuyệt đối thông thường là một giá trị tuyệt đối trên trường
¤

Ví dụ 2 Trên trường số hữu tỷ
¤
, ta có một số giá trị tuyệt đối phi – Acsimét
1) Giá trị tuyệt đối tầm thường
0, 0
1, 0
x
x
x
=

=

≠


2) Với
x∈¤
, ta ký hiệu
()
p
ord x
là số mũ của p trong sự phân tích x thành tích các thừa số
nguyên tố, với quy ước
(0)
p
ord = ∞
. Khi đó, hàm định bởi
()

0, 0
,
1
,0
p
ord x
p
x
xx
x
p
=


= ∀∈


≠




¤

là một giá trị tuyệt đối phi – Acsimét trên trường
¤
.

Cho
là một giá trị tuyệt đối trên trường K. Ta định nghĩa hàm

:dK K×→¡
như sau:
(,) , ,dxy x y xy K=−∀ ∈
.
Do
là một giá trị tuyệt đối trên K nên ta kiểm tra được d là một mêtríc trên K và do đó (K,
d) là một không gian mêtríc, gọi là không gian mêtríc sinh bởi giá trị tuyệt đối.

1.1.2 Định nghĩa
Cho
12
,
là hai giá trị tuyệt đối trên trường K. Ta nói rằng hai giá trị tuyệt đối này
tương đương nếu:
{}
n
x
là dãy Côsi theo
1
khi và chỉ khi
{}
n
x
là dãy Côsi theo
2
.

Chú ý rằng:
{}
n

x
là dãy Côsi theo giá trị tuyệt đối , nghĩa là:
,
0
mn
mn
xx
→+∞

−→



( )
0, : , ,
o om n
n nm n x x
εε
⇔∀ > ∃ ∈ ∀ > − <¥


1.1.3 Định lý Oxtropxki
Mọi giá trị tuyệt đối không tầm thường trên
¤
đều tương đương với giá trị tuyệt đối
p
(p
là số nguyên tố nào đó) hoặc tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường trên
¤
.

1.1.4 Định lý
Cho
là một giá trị tuyệt đối phi – Acsimét trên trường K. Khi đó, nếu
xy≠
thì
{ }
max ,xy xy±=
.
Chứng minh Trước hết ta chứng minh
max{ , }xy xy−=
. Không mất tính tổng quát, ta giả sử
xy>
. Khi đó,
max{ , }xy xy x−≤ =
hay
xy x+≤
(1)
Mặt khác,
( )) max{ , }x y xy xyy=+− ≤ −
.
Nếu
max{ , }xyy y−=
thì
xy≤
, trái giả thiết. Do vậy
max{ , }xyy xy−=−
hay
x xy≤−
(2)

Từ (1) và (2) suy ra
max{ , }xy x xy−= =
.
Cuối cùng ta chứng minh
max{ , }xy x xy+==
. Ta có
( ) max{ , } max{ , }xy x y x y xy+ = −− = − =
.
W

1.1.5 Trường các số p – adic
p
¤

Xét
p
là giá trị tuyệt đối p – adic trên
¤
;
()
1
() ,
p
ord x
p
xx
p
= ∀∈¤
. Ký hệu S là tập tất cả
các dãy Côsi trong

¤
theo
p
.
Trên S xét quan hệ tương đương ~ cho như sau:
{ },{ } ,{ } ~ { } lim( ) 0
n n n n nn
n
x y x y xy
→∞
∀ ⊂ ⇔ −=¤
.
Ký hiệu
{ }
{ }:{ } trong theo
~
p nn
p
S
x x Cosi= =¤¤
. Ta sẽ trang bị hai phép toán cộng và
nhân cho
p
¤
để nó trở thành một trường.
Phép cộng:
{ }, { } , { }
n n p nn
x xy y xy x y∀= = ∈ + = +¤

Phép nhân:
{ }, { } , . { . }
n n p nn
x x y y xy x y∀= = ∈ =¤

Ta chứng minh được với hai phép toán cho như trên
P
¤
là một trường với:
Phần tử không:
0 { 0}
n
x= =

Phần tử đơn vị:
1 { 1}
n
x= =

Phần tử đối:
{}
n
xx=
thì
{}
n
xx−=−

Phần tử nghịch đảo: Với
{}0

n
x ≠
. Ta có
0
n
x
/
:
suy ra
0N∃>
sao cho
,0
n
p
n Nx a∀> = ≠
.
Khi đó dãy
{}
n
y
, với
1
0,
,
n
n
nN
y
xnN
−

≤

=

>

, là một dãy Côsi trong
¤
theo
p
, và
{ }.{ } 1
nn
xy=
.
Tức phần tử nghịch đảo của
{}
n
x
là phần tử
{}
n
y
.
Xét
: , ( ) { },
pn
x xxx
θθ
→ = = ∀∈¤¤ ¤

, ta chứng minh được
θ
là đơn cấu trường. Do đó, ta
có thể coi
p
⊂¤¤
.
Với
{}
np
xx= ∈¤
, ta định nghĩa
lim
n
p
n
xx
→∞
=
. Kiểm tra được là một chuẩn trên
p
¤
.
Hơn nữa, mọi dãy Côsi trong
( )
,
p
¤
đều hội tụ trong
( )

,
p
¤
, tức
( )
,
p
¤
là một mở rộng của
( )
,
p
¤
.
Để tiện trình bày, ta cũng ký hiệu giá trị tuyệt đối trong
p
¤
là
p
.

Ký hiệu
{ }
:1
pp
p
xx=∈≤¢¤
. Khi đó,
p
¢

là vành con của trường
p
¤
. Hơn nữa,
, {0,1, , 1}
pi
xa p∀∈ ∃ ∈ −¢
,
1
0
nn
onn
n
x a ap ap ap
∞
=
=+ ++ +=
∑
LL
.

Nếu
,1
p
p
xx∈>¤
thì
,1
m
p

m px∃∈ ≤¥
hay
m
p
x px
′
= ∈¢
. Do đó,
{0,1, , 1}
i
ap∃∈ −
sao
cho
0
i
i
i
x ap
∞
=
′
=
∑
. Suy ra
i
i
im
x ap
∞
=−

=
∑
. Nói cách khác: với mỗi
p
x∈¤
luôn tồn tại
{0,1, , 1}
i
ap∈−

sao cho
i
i
im
x ap
∞
=−
=
∑
, trong đó
m
p
xp
=
.

Trong
p
¤
, ta định nghĩa:

Hình cầu mở tâm a bán kính r là tập
( )
{ }
,/
p
p
Bar x x a r=∈ −<¤

Hình cầu đóng tâm a bán kính r là tập
( )
{ }
,/
p
p
B ar x x a r=∈ −≤¤

Mặt cầu tâm a bán kính r là tập
( )
{ }
,/
p
p
S ar x x a r=∈ −=¤


Từ định nghĩa cho thấy
( )
0,1
p
B=¢

. Mặt khác, vì tôpô trên
p
¤
là tôpô cảm sinh từ chuẩn
phi – Acsimét nên nó có một vài tính chất khác lạ. Cụ thể:
1) Mọi hình cầu, mặt cầu trong
p
¤
đều là tập vừa đóng vừa mở.
2) Hai hình cầu trong
p
¤
hoặc rời nhau hoặc lồng vào nhau.
3) Mọi hình cầu, mặt cầu trong
p
¤
đều có vô số tâm, vô số ban kính.
4)
p
¤
chỉ có một số đếm được các hình cầu, mặt cầu.
1.1.6 Trường các số p – adic
p
£

Theo định lý Oxtropxki, trên
¤
chỉ có hai loại giá trị tuyệt đối là giá trị tuyệt đối thông
thường
và giá trị tuyệt đối p – adic

p
. Làm đầy đủ
¤
theo ta được trường số thực
¡
. Còn
làm đầy đủ
¤
theo
p
ta được trường
p
¤
. Trường số thực
¡
không đóng đại số, bao đóng đại số
của
¡
là trường số phức
£
và đặc biệt
£
đầy đủ. Vậy bao đóng, đủ của
p
¤
là trường nào? Ta xây
dựng nó như sau.
Ký hiệu
p
¤

là bao đóng đại số của
p
¤
. Giá trị tuyệt đối
p
trên
p
¤
được mở rộng thành
giá trị tuyệt đối
p
trên
p
¤
theo cách:
Với
p
α
∈¤
, giả sử
1
11
(, )
nn
pn o
Irr x a x a x a
α
−
−
=+ ++ +¤L

. Khi đó,
n
o
p
p
a
α
=

là một giá trị tuyệt đối trên
p
¤
.
Nhận xét rằng
p
¤
đóng đại số nhưng chưa đầy đủ. Ký hiệu
p
£
là bao đủ của
p
¤
theo
p

và ta chứng minh được
p
là một giá trị tuyệt đối trên
p
£

.
Như vậy,
¶
pp
=£¤
và
p
α
∀∈£
,
1
11
(, )
nn
pn o
Irr x a x a x a
α
−
−
=+ ++ +¤L
thì
n
o
p
p
a
α
=
.

Trong trường
p
£
:
Dãy
{}
nn
a
gọi là hội tụ về
p
a∈£
nếu
lim 0
n
p
n
aa
→∞
−=
. Ký hiệu
lim
n
n
aa
→∞
=
.

0
n

ni
i
Sa
=
=
∑
gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi
0
n
n
a
+∞
=
∑
. Nếu
lim
np
n
SS
→∞
= ∈£
ta nói chuỗi
0
n
n
a
+∞
=
∑

hội tụ và viết
0
n
n
Sa
+∞
=
=
∑
.

Nhận xét Vì
p
£
là trường phi – Acsimét nên điều kiện hội tụ của dãy và chuỗi đơn giản hơn trong
giải tích phức. Cụ thể: trong trường
p
£

1) Dãy
{}
nn
a
hội tụ khi và chỉ khi
1
0, , ,
nn
p
N n Na a
εε

+
∀> ∃ ∈ ∀> − <¥

2) Chuỗi
0
n
n
a
+∞
=
∑
hội tụ khi và chỉ khi
lim 0
n
n
a
→∞
=

1.2 Không gian các hàm liên tục
Cho K là một trường với giá trị tuyệt đối và X là tập con của K.

1.2.1 Định nghĩa
Hàm
:fX K→
được gọi là liên tục tại
aX∈
nếu
lim ( ) ( )
xa

fx fa
→
=
, nghĩa là
, 0, : ( ) ( )x X x a fx fa
εδ δ ε
∀ >∃ > ∀ ∈ − < ⇒ − <
.
Nếu f liên tục tại mọi điểm thuộc X thì ta nói f liên tục trên X. Ký hiệu
()CX K→
là tập tất
cả các hàm liên tục trên X.
1.2.2 Mệnh đề
()CX K→
là K – không gian véctơ với phép toán cho như sau:
Phép cộng:
( )( ) ( ) ( ), , ( ),f g x fx gx fg CX K x X+ = + ∀ ∈ → ∀∈

Phép nhân ngoài:
( )( ) ( ), ( ), ,f x fx f CX K K x X
λλ λ
= ∀∈ → ∀ ∈ ∀∈

1.2.3 Định nghĩa
Ánh xạ
:fX K→
được gọi là hàm hằng địa phương nếu với mỗi
xX∈
, tồn tại một lân
cận mở U của x sao cho f là hằng trên U.

Ví dụ Với U là tập vừa đóng vừa mở trong K. Hàm đặc trưng
:
U
XK
ζ
→
định bởi
1,
()
0,
U
xU
x
xU
ζ
∈

=

∉

là hàm hằng địa phương.
Chứng minh
xX∀∈
, nếu
xU∈
thì vì U mở nên U là lân cận của x và
() 1
U

y
ζ
=
,
yU∀∈
. Còn
xU∉
thì
\x KU∈
, mà U đóng nên
\KU
mở tức
\KU
là lân cận của x và
( )
( ) 0, \
U
y y KU
ζ
= ∀∈
. Vậy
U
ζ
là hàm hằng địa phương.
W

1.2.4 Định lý
Hàm hằng địa phương là hàm liên tục
Chứng minh Giả sử
:fX K→

là hàm hằng địa phương. Vì f là hàm hằng địa phương nên với
o
xX∈
,
U∃
là lân cận mở của
o
x
sao cho
()fx a=
,
xU∀∈
.
Khi đó,
0
ε
∀>
, vì U là lân cận mở của
o
x
nên
0
δ
∃>
sao cho
( ,)
o
Bx U
δ
⊂

, ta có
() ( ) 0 , ( , )
oo
fx fx a a x Bx
εδ
− = − = < ∀∈
. Vậy f liên tục.
W


1.2.5 Định nghĩa
Cho E là một không gian véctơ trên trường
( )
,K
. Một chuẩn trên E là một ánh xạ
: E → ¡

thỏa ba tính chất:
1)
0, ; 0 0x x Ex x≥ ∀∈ = ⇔ =

2)
,,x x xE K
λλ λ
= ∀∈ ∀∈

3)
,,x y x y xy E+≤ + ∀ ∈

Cặp

( )
,E
gọi là không gian định chuẩn. Nếu thỏa tính chất 3’)
{ }
, ,,x y Max x y x y E+≤ ∀ ∈
thì gọi là chuẩn phi – Acsimét.

Ta đã biết
( )
pp
C →¢£
là một
p
£
- không gian véctơ. Tiếp theo ta sẽ trang bị cho
( )
pp
C →¢£
một chuẩn để nó thành không gian định chuẩn.
Với mỗi
( )
pp
fC∈→¢£
, ký hiệu
{ }
max ( ) ,
p
p
f fx x
∞

= ∀∈¢
. Khi đó,
( )
:
pp
C
∞
→→¢£ ¡
là một hàm. Hơn nữa, ta có định lý.

1.2.6 Định lý
Hàm
∞
là một chuẩn phi – Acsimét trên
( )
pp
C →¢£
.
Chứng minh Ta kiểm tra bằng định nghĩa
Rõ ràng
( )
0, ; 0 0
pp
f fC f f
∞
≥ ∀∈ → = ⇔ =¢£

Với mọi
( )
,

p pp
fC
α
∈∈ →£ ¢£
, ta có:
{ }
{ }
{ }
max ( ) , max ( ) ,
max ( ) ,
pp
p pp
p
pp p
f fx x fx x
fx x f
αα α
αα
∞
∞
= ∀∈ = ∀∈
= ∀∈ =
¢¢
¢


Với mọi
( )
,
pp

fg C∈→¢£
, ta có:
{ }
{ }
{ }
{ }
max () () ,
max max ( ) , ( ) ,
max , .
p
p
p
pp
f g f x gx x
fx gx x
fg
∞
∞∞
+ = + ∀∈
≤ ∀∈
≤
¢
¢
W


Như vậy,
( )
( )
,

pp
C
∞
→¢£
là một không gian định chuẩn. Hơn nữa, nó còn là không gian
Banach. Ta có định lý

1.2.7 Định lý
( )
( )
,
pp
C
∞
→¢£
là một không gian Banach
Chứng minh Giả sử
{ }
n
n
f
là dãy Côsi trong
( )
pp
C →¢£
. Với mọi
0
ε
>
, do

{ }
n
n
f
là dãy Côsi
nên
11
0, ,N mn N∃ >∀ >
ta có
3
mn
ff
ε
∞
−<
hay
{ }
max () () , () () ,
33
mn p mn p
pp
fx fx x fx fx x
εε
− ∀∈ < ⇔ − < ∀∈¢¢
(1)
Suy ra, với mỗi
p
x∈¢
dãy
{ }

()
n
n
fx
là dãy Côsi trong không gian
p
£
đầy đủ do đó,
{ }
()
n
n
fx
hội tụ.
Xét hàm
: , () lim (),
pp n p
n
f fx f x x
→∞
→ = ∀∈¢£ ¢
và ta sẽ chứng minh f là giới hạn của dãy
{ }
n
n
f
trong
( )
pp
C →¢£

.
Vì
() lim (),
np
n
fx f x x
→∞
= ∀∈¢
nên
22
0,N mN∃ >∀>
ta có
() () ,
3
mp
p
f x fx x
ε
− < ∀∈¢
(2)
Giả sử
{ }
,
n pn p
x xx⊂ →∈££
. Khi đó, với mỗi
m∈ ¥
vì
m
f

liên tục nên
( ) ()
3
mn m
p
fx fx
ε
−<


Từ đó,
2
mN∀>
, ta được
{ }
( ) () ( ) ( ) ( ) () () ()
max ( ) ( ) , ( ) () , () ()
3
n n mn mn m m
pp
n mn mn m m
p pp
fx fx fx f x f x f x f x fx
fx fx fx fx fx fx
ε
− = − + −+−
≤ − − −=

suy ra
( ) ()

n
p
fx fx
ε
−<
, tức là
( ) ()
n
fx fx→
hay
( )
pp
fC∈→¢£
.
Cuối cùng ta còn phải chứng minh
n
ff→
.
Chọn
12
max{ , }N NN=
, thế thì theo (1) và (2), với mọi
,mn N>
ta được
{ }
() () () () () ()
2
max () () , () ()
3
,

n nmm
pp
nm m
pp
p
fxfx fxfxfxfx
fx fx fx fx
x
ε
ε
− = −+−
≤ − −=
< ∀∈¢

suy ra
{ }
max () () ,
nn p
p
f f f x fx x
ε
∞
− = − ∀∈ <¢
. Ta được
n
ff→
.
Vậy
( )
( )

,
pp
C
∞
→¢£
là một không gian Banach.
W


Cho
XK⊆
và
:fX K→
. Với
aX∈
là một điểm tụ,
bK∈
. Khi đó, ta định nghĩa
lim ( )
xa
fx b
→
=
nếu
( )
0, , , ( )x Xx a fx b
εδ δ ε
∀ > ∃ >∀ ∈ − < ⇒ − <

1.2.8 Định nghĩa
Cho X là một tập con khác rỗng của trường K và a là một điểm tụ của X. Hàm
:fX K→

được gọi là khả vi tại a nếu tồn tại giới hạn
() ()
lim
xa
fx fa
xa
→
−
−
.
Ký hiệu:
() ()
( ) lim
xa
fx fa
fa
xa
→
−
′
=
−
.
Hàm f được gọi là khả vi trên X nếu tồn tại
()fa
′

với mọi
aX∈
. Khi đó, f gọi là nguyên
hàm của f’ còn f’ gọi là đạo hàm của hàm f.

Cho X là tập khác rỗng không chứa các điểm cô lập của K, ký hiệu
{ }
( , ):xx x X∆= ∈
. Sai
phân thương
1
fΦ
của
:fX K→
là một hàm hai biến
1
1
:\
() ()
(,) (, )
fXX K
fx fy
xy fxy
xy
Φ × ∆→
−
Φ=
−
a

1.2.9 Định nghĩa
Cho X là một tập con khác rỗng của trường K. Hàm
:fX K→
được gọi là khả vi liên tục
tại
aX
∈
(f là
1
C
tại a) nếu giới hạn
1
(,) (,)
lim ( , )
xy aa
f xy
→
Φ
tồn tại.
Hàm f được gọi là khả vi liên tục trên X nếu nó khả vi liên tục tại mọi
aX∈
. Ký hiệu
( )
1
CX K→
là tập hợp các hàm khả vi liên tục.

Nhận xét
( )

1
CX K→
là không gian định chuẩn với chuẩn
( )
{ }
1
1
1
max , /f f f f CX K
∞∞
= Φ ∀∈ →


1.2.10 Định nghĩa
Cho
(,)K
là một trường,
,0X Ka⊂>
. Hàm
:fX K→
được gọi là thỏa điều kiện
Lipschitz cấp a nếu tồn tại số M > 0 sao cho:
() () , ,
a
f x f y Mx y xy X− ≤ − ∀∈

Ký hiệu
( )
a
Lip X K→

là K – không gian vectơ gồm tất cả các hàm
:fX K→
thỏa điều
kiện Lipschitz cấp a.

Nhận xét
( )
1
Lip X K→
là không gian Banach với chuẩn
( )
{ }
11
1
max , /f f f f Lip X K
∞∞
= Φ ∀∈ →


1.3 Cơ sở trực chuẩn, cơ sở trực giao

Xét
( )
,E
là một K – không gian Banach với chuẩn phi – Acsimet.

1.3.1 Định nghĩa
Với hai phần tử x và y trong E. Ta nói x trực giao với y, ký hiệu
xy⊥
, nếu

{ }
inf ,x xy K
λλ
= − ∀∈
.

Ví dụ: Trong không gian định chuẩn
( )
( )
,
pp
C
∞
→¢£
hai hàm
()fx x=
và
2
( ) ( 1)gx xx= −
là
trực giao.
Chứng minh: Ta có
{ }
{ }
max ( ) , max , 1
pp
pp
f fx x x x
∞
= ∀∈ = ∀∈ =¢¢

.
Mặt khác,
{ }
{ }
{ }
2
2
max ( ) ( ) , max ( 1) ,
max 1 (1 1) , 1,
pp
p
p
pp
p
f g f x gx x x xx x
x
λλ λ
λλ
∞
− = − ∀∈ = − − ∀∈
≥ − − ∀∈ = ∀ ∈
¢¢
¢£

Vậy ta được
{ }
inf : 1
p
fg f
λλ

∞∞
− ∀∈ ==£
.
W


1.3.2 Định nghĩa
1) Cho
xE∈
và
12
,DD E⊆
. Ta nói:
Phần tử x trực giao với tập hợp
1
D
, ký hiệu
1
xD⊥
, nếu
1
,xddD⊥ ∀∈
.
Tập hợp
1
D
trực giao với tập hợp
2
D
, ký hiệu

12
DD⊥
, nếu
1 2112 2
,,d d dDd D⊥ ∀∈ ∀∈
.
2) Tập hợp
{ }
12
, , , ,
n
xx x E⊆
được gọi là tập trực giao nếu với mọi
1, 2, 3, n =
ta có
12 1 1
, , , , ,
n nn
x xx x x
−+
⊥
, trong đó
12 1 1
, , , , ,
nn
xx x x
−+
là K - không gian con sinh bởi
12 1 1
, , , , ,

nn
xx x x
−+

3)
{ }
12
, , , ,
n
xx x E⊆
được gọi là tập trực chuẩn nếu nó là tập trực giao và
1, 1, 2, 3,
n
xn=∀=

Nhận xét: Nếu
{ }
12
, , , ,
n
xx x E⊆
là tập trực giao không chứa phần tử không thì nó độc lập tuyến
tính.
1.3.3 Định lý
Cho
12
, , , ,
n
xx x E∈
. Ta có các khẳng định sau:

1)
12
{ , , , , }
n
xx x
là tập trực giao nếu và chỉ nếu
12
{ , , , }
n
xx x
là tập trực giao với mọi
*
n∈ ¥
.
2)
12
{ , , , }
n
xx x
là tập trực giao khi và chỉ khi
{ }
1
max /1
n
ii i i
i
x x in
λλ
=
= ≤≤

∑
với
12
, , ,
n
K
λλ λ
∈

3)
12
{ , , , }
n
xx x
là tập trực giao khi và chỉ khi
1
n
ii n n
i
xx
λλ
=
≥
∑
với
12
, , ,
n
K
λλ λ

∈

Chứng minh
1) Nếu
12
{ , , , , }
n
xx x
là cơ sở trực giao thì theo định nghĩa
12
{ , , , }
n
xx x
là tập trực giao với
mọi
*
n∈ ¥
.
Ngược lại,
12
{ , , , }
n
xx x
là tập trực giao với mọi
*
n∈ ¥
. Ta sẽ chứng minh
12
{ , , , , }
n

xx x
là
tập trực giao bằng cách chỉ ra
12 1 1
, , , , , ,
i ii
x xx x x i
−+
⊥∀
. Thật vậy,
1 11
, , , ,
ii
y x xx
−+
∀∈
,
1
,
m
in in in
n
y ax a K
=
= ∈
∑
suy ra
1
, ,
i im

yx x∈
.
Mặt khác.
{ }
1
, , ,
i i im
xx x
là tập trực giao nên
i
xy⊥
, do đó
12 1 1
, , , , , ,
i ii
x xx x x i
−+
⊥∀
.
2) Giả sử
12
{ , , , }
n
xx x
là tập trực giao. Khi đó,
1,in∀=
,
1 11
, , , , ,
i ii n

x x xx x
−+
⊥
.
Suy ra, với mọi
1
, ,
n
K
λλ
∈
ta có
1
n
ii j j
ij
xx
λλ
≠=
⊥
∑
. Theo định nghĩa 1.3.1, ta được
1
n
ii j j ii
ij
x xx
λ λλ
≠=
+≥

∑
hay
1
n
j j ii
j
xx
λλ
=
≥
∑

Vì thế,
{ }
1
max / 1,
n
j j ii
j
x xi n
λλ
=
≥=
∑
. (*)
Do
là chuẩn phi – Acsimet nên
{ }
1
max / 1,

n
j j ii
j
x xi n
λλ
=
≤=
∑
. (**)
Kết hợp (*) và (**), ta được
{ }
1
max / 1,
n
j j ii
j
x xi n
λλ
=
= =
∑
.
Ngược lại, giả sử
{ }
1
max / 1, ,
n
jj jj j
j
x xi n K

λλ λ
=
= = ∀∈
∑
. Với mọi
12
{ , , , }
in
x xx x∈
và
1 11
, , , ,
ii n
y x xx x
−+
∈
, ta có
1
,
n
jj j
ij
y xK
λλ
≠=
= ∈
∑
. Khi đó,
{ }
1

max , / 1, ,
n
i i jj i jj
ij
x y x x x xij n K
α α λ αλ α
≠=
− = − = ≠= ∀∈
∑

Từ đó suy ra
,
ii
x yx K
αα
− ≥ ∀∈
suy ra
i
xy⊥
. Vậy
12
{ , , , }
n
xx x
là tập trực giao.
3) Giả sử
12
{ , , , }
n
xx x

là tập trực giao. Khi đó, với
2,3, ,mn=
tập hợp
12
{ , , , }
m
xx x
cũng là
tập trực giao, do đó theo (2), ta được :
{ }
1
max / 1,
m
jj jj mm
j
x xj m x
λλ λ
=
= = ≥
∑

Để chứng minh chiều ngược lại ta có nhận xét: với mọi
,xy E∈
, nếu có
(0;1]c∈
sao cho
x y cx+≥
thì
x y cy+≥
.

Giả sử
1
,
n
j j nn j
j
xx K
λ λλ
=
≥ ∀∈
∑
. Khi đó,
1
11
nn
nn j j j j nn
jj
x x xx
λ λ λλ
−
= =
+= ≥
∑∑


Theo nhận xét trên,
11
1 11
n nn
jj nn jj jj

j jj
xx x x
λλ λ λ
−−
= = =
=+≥
∑ ∑∑
.
Cũng từ
1
11
1
n
jj n n
j
xx
λλ
−
−−
=
≥
∑
suy ra
1
11
1
n
jj n n
j
xx

λλ
−
−−
=
≥
∑
. Do đó,
11
1
n
jj n n
j
xx
λλ
−−
=
≥
∑

Cứ lập luận như vậy ta được
1
, 3, ,
n
j j mm
j
x xm n
λλ
=
≥=
∑

Ngoài ra,
11 22 22
1
n
jj
j
x xx x
λ λλ λ
=
≥+ ≥
∑
. Lại do
11 22 22
xx x
λλ λ
+≥
nên
11 22 11
xx x
λλ λ
+≥
suy ra
11
1
n
jj
j
xx
λλ

=
≥
∑

Như vậy, ta đã chứng minh được
1
, 1, ,
n
j j mm
j
x xm n
λλ
=
≥=
∑
. Từ đó suy ra
{ }
1
max / 1,
n
j j mm
j
x xm n
λλ
=
≥=
∑

Điều này cho ta khẳng định
{ }

1
max / 1,
n
j j mm
j
x xm n
λλ
=
= =
∑
.
Vậy theo (2),
12
{ , , , }
n
xx x
là tập trực giao.
W


1.3.4 Định nghĩa
Hệ
{ }
12
, , , , , 0, 1,2,3,
nn
e e e Ee n⊆ ≠ ∀=
được gọi là cơ sở trực giao (tương ứng, trực
chuẩn) của E nếu thỏa hai điều kiện:
1)

{ }
12
, , , ,
n
ee e
là tập trực giao (tương ứng, trực chuẩn)
2) Với mỗi
xE∈
, tồn tại
12
, , K
λλ
∈
sao cho
1
nn
n
xe
λ
∞
=
=
∑


1.3.5 Mệnh đề
Cho
{ }
12
, , , ,

n
ee e
là cơ sở trực chuẩn của E. Giả sử rằng
1
nn
n
x eE
λ
∞
=
= ∈
∑
, với
12
, , K
λλ
∈
.
Khi đó, ta có
1)
lim 0
n
n
λ
→∞
=

2)
{ }
max /

n
xn
λ
= ∈¥

3) Nếu
1
nn
n
x eE
β
∞
=
= ∈
∑
, với
12
, , K
ββ
∈
thì
, 1, 2, 3,
nn
n
λβ
= ∀=

Chứng minh
1) Vì
1

nn
n
xe
λ
∞
=
=
∑
hội tụ nên
lim 0
nn
n
e
λ
→∞
=
. Khi đó,
0
ε
∀>
, ta có
n n n nn
ee
λλ λ ε
= = <
suy ra
lim 0
n
n
λ

→∞
=
.
2) Ta có
{ }
11
lim lim max , 1,
n
nn ii ii
nn
ni
x e e ei n
λλ λ
∞
→∞ →∞
= =
= = = =
∑∑


{ }
{ }
lim max , 1, max , 1,2,3,
ii n
n
ei n n
λλ
→∞
= = = =

3) Ta có
1
0 ()
n nn
n
xx e
λβ
∞
=
=−= −
∑
. Theo (2), ta được
{ }
0 0 max , 1, 2,
nn
n
λβ
== −=

Suy ra
, 1, 2, 3,
nn
n
λβ
= ∀=
W

Chương 2: CƠ SỞ VANDERPUT CHO KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC TRÊN
p
¢


Chương này sẽ giới thiệu cụ thể, chi tiết cách xây dựng cơ sở Vanderput cho không gian các
hàm liên tục trên
p
¢
,
( )
pp
C →¢£
; cơ sở Vanderput cho các hàm liên tục trên
pp
×¢¢
,
( )
pp p
C
×→¢¢ £
. Đồng thời, đưa ra một số tính chất và ứng dụng của cơ sở này trong việc nghiên
cứu các hàm khả vi liên tục; các hàm thỏa điều kiện Lipchitz và công thức tính tích phân
Volkenborn qua hệ số Vanderput.

2.1 Cơ sở Vanderput cho không gian
( )
pp
C →¢£

Cho p là một số nguyên tố, với mỗi số nguyên dương n luôn tồn tại các số
{ }
0;1; ; 1 , 1,
i
a p is∈ −=
sao cho
1
s
os
n a ap ap=+ ++L
, trong đó
log
p
sn

=

, gọi là khai triển p –
phân của n. Ký hiệu
1
11
_
s
os
n a ap a p

−
−
=+ ++L
.

2.1.1 Định nghĩa
Với
i
ip
i
x ap
+∞
=−∞
= ∈
∑
¤
, ta định nghĩa phần nguyên p – adic của nó là
[ ]
1
i
i
p
i
x ap
−
=−∞
=
∑
, với mỗi
1, 2, 3, n =

ký hiệu
nn
n
p
x p px
−

=

.
Dễ thấy
1n
nn i
ni
p
i
x p p x ap
−
−
=−∞

= =

∑
. Do đó, với mỗi
p
x∈¤
ta được dãy các phần tử
1
, , , ,

o np
xx x ∈¤
hội tụ về x. Ta gọi
{ }
n
n
x
là dãy chuẩn của x. Nếu
p
x∈¢
thì
0
i
i
i
x ap
+∞
=
=
∑
. Do đó,
dãy chuẩn của x là các số tự nhiên.
2.1.2 Định nghĩa
Cho
1
{ , , , , }
on
xx x
là dãy chuẩn của
p

x∈¢
. Với mỗi số
m∈ ¥
ta nói x bắt đầu với m, ký
hiệu
mx>
, nếu
1
{ , , , , }
on
m xx x∈
.

Nếu
n∈ ¥
thì khai triển p – adic của n chính là khai triển p – phân do đó, tập hợp
{| }m mnmn∈ ≠∧¥>
là hữu hạn, suy ra nó có phần tử lớn nhất và phần tử lớn nhất đó chính là
_n
.

Sau đây là một số các tính chất của dãy chuẩn
{}
nn
x
và
_n


2.1.3 Mệnh đề

Các khẳng định sau là đúng
1) Nếu
p
x∈¢
,
n∈ ¥
thì
n
n
xx p
−
−≤
và
{0,1, , 1}
n
n
xp∈−
. Ngược lại, nếu
{0,1, , 1}
n
yp∈−
thỏa
n
xy p
−
−≤
thì
n
yx=
.

2) Cho
,,
p
xy n∈∈¢¥
. Khi đó,
i)
n
p
xy p−≤
khi và chỉ khi
nn
xy=

ii)
n
p
xy p−=
khi và chỉ khi
nn
xy=
và
11nn
xy
++
≠

3) Hàm
()
np
x xx∈a¢

là hằng trên tập
*
(,)
n
pp
ap a n+ ∈∈¢¢¥

4) Cho
,,
p
xy n∈∈¢¥
. Khi đó,
0,
,
n
p
nn
p
n
pp
xy p
xy
xy xy p
−
−

−≤

−=


− −>



5)
min{ , }
( ) ,( , , )
n m nm p
x x x nm= ∈∈¢¥

6) Cho
,
p
xm∈∈¢¥
. Khi đó,
1
p
mx xm
m
⇔− <<

7)
_
s
p
mm p
−
−=
trong đó,
1

, log
s
os p
m a ap ap s m

=+ ++ ∈ =

L¥

Chứng minh
1) Giả sử
1
11
nn
o nn p
x a ap a p ap
−
−
= + ++ + +∈L L¢
. Với mỗi
n∈ ¥
, ta có:
1
11
n
no n
x a ap a p
−
−
=+ ++L

suy ra
1
{0,1, , 1}
n
n
xp
−
∈−
và
1
1
nn n
nn n
p
p
x x ap a p p
+−
+
−= + +≤L
.
Ngược lại, giải sử
1
{0,1,2, , 1}
n
yp
−
∈−
thỏa
n

p
xy p
−
−≤
. Khi đó, vì
y∈ ¥
nên
1
s
os
y b bp bp=++L
. Thêm nữa,
n
yp<
nên
1sn≤−
. Ta có
Nếu s < n - 1 thì
1
1
()()
ss
oo ss s
p
p
x y a b a bp a p
+
+
− = − ++ − + +LL

Do
n
p
xy p
−
−≤
nên
, 0,
ii
a bi s= =
và
0, 1, 1
i
a is n==+−
. Từ đó suy ra
1sn
yx x
+
= =

Nếu s = n – 1 thì lập luận như trên ta được
n
yx=
.
2) Với mọi
,
p
xy∈¢
,
n∈ ¥

ta có
1
11
nn
o nn
x a ap a p ap
−
−
=+ ++ + +LL
và
1
11
nn
o nn
y b bp b p bp
−
−
=+ ++ + +LL

Suy ra
11
( ) ( )( )
sn
oo n n nn
p
p
x y a b a b p a bp
−−
− = − ++ − + − +LL
.

i) Điều kiện
n
p
xy p
−
−≤
tương đương với
, 0, 1
ii
a bi n= = −
, tức là ta có
nn
xy=
.
ii) Điều kiện
n
p
xy p
−
−=
tương đương với
, 0, 1
ii
a bi n= = −
và
nn
ab≠
. Do đó,
nn
xy=

và
11nn
xy
++
≠
.
3) Với mỗi
n∈ ¥
,
p
x∈¢
,
1
1
1
n
pn
nn
p
o
pp
x a ap a p a p
−
−
=+ ++ + +LL
do đó,
1
11
n nn
po n p

x p a ap a p p
−
−
+ =+ ++ +¢L ¢

Suy ra
{ }
/ { / 0, 1}
n nn
pp p
ap a ip i p+ ∈=+ = −¢¢ ¢
,
*
n∈ ¥
.


Với
{0,1, , 1}
n
ip∈−
và
,
n
p
xy i p∈+ ¢
, ta có
n
p
xi p

−
−≤
và
n
p
iy p
−
−≤
suy ra
{ }
max ,
n
p pp
xy xi iy p
−
−≤ − − ≤

Theo (2i),
nn
xy=
. Tức hàm
()
np
x xx∈a¢
hằng trên tập
*
,,
n
pp
ap n a+ ∈∈¢¥¢

4) Với
,
p
xy∈¢
và
n∈ ¥
ta có
1
11
nn
o nn
x a ap a p ap
−
−
=+ ++ + +LL
và
1
11
nn
o nn
y b bp b p bp
−
−
=+ ++ + +LL
. Suy ra
11
( ) ( )( )
sn
oo n n nn

p
p
x y a b a b p a bp
−−
− = − ++ − + − +LL
.
Khi đó,
Nếu
n
p
xy p
−
−≤
thì
, 0, 1
ii
abi n= ∀= −
nên
0
nn
p
xy−=

Nếu
n
p
xy p
−
−>
thì

{0, , 1}:
ii
i n ab∃∈ − ≠
. Không mất tính tổng quát ta có thể xem i là chỉ
số đầu tiên mà
ii
ab≠
. Ta được
i
nn
p
p
x y p xy
−
−==−
.
5) Với
p
x∈¢
;
,mn∈¥
ta có
1
11
nn
o nn
x a ap a p ap
−
−
=+ ++ + +LL

. Khi đó,
1
11
n
no n
x a ap a p
−
−
=+ ++L
. Xảy ra hai trường hợp:
Nếu m > n thì
11
11
00
nn m
no n
x a ap a p p p
−−
−
=+ ++ + ++ +L LL
suy ra,
11
11
() 0 0
nn m
nm o n n
x a ap a p p p x
−−
−
=+ ++ + ++ =LL

Nếu
mn≤
thì
11
11 1
mm n
no m m n
x a ap a p a p a p
−−
−−
=+ ++ + ++LL
suy ra
1
11
()
m
nm o m m
x a ap a p x
−
−
=+ ++ =L
.
Vậy
min{ , }
()
n m nm
xx=
.
6) Với

p
x∈¢
ta luôn có
1
n
on
x a ap ap=++ +LL
. Giả sử
,m mx∈¥<
. Khi đó,
s∃∈¥

sao cho
1
s
os
m a ap ap=++L
. Từ đây suy ra
1 2 ( 1)
12
1
ss s
ss
p
xm ap a p p
m
+ + −+
++
− = + +≤ <L

Ngược lại, giả sử
m∈ ¥
,
1
p
xm
m
−<
. Khi đó, vì
m∈ ¥
nên m có dạng
1
s
os
m b bp bp=++L
suy ra
1
s
p
m
−
≤
. Từ đó,
11
( )( ) ( )
ss
oo ss
p

p
x m a b a bp a bp p
−
− = − + − ++ − + <LL

Suy ra
, 0,
ii
abi s= ∀=
hay
mx<
.
7) Vì
m∈ ¥
nên m có khai triển p – phân
1
s
os
m a ap ap=+ ++L
trong đó,
log
p
sm

=

.
Suy ra
_
ss

s
p
p
m m ap p
−
−= =
.
W


2.1.4 Mệnh đề
Với mỗi
{0,1,2, }n∈
ánh xạ
:
np p
e →¢£
cho bởi công thức
1,
() ,
0,
np
nx
ex x
nx

= ∈


<

¢
<

là một hàm liên tục.
Chứng minh Với mỗi
n∈ ¥
, ta sẽ chứng minh
n
e
là hàm hằng địa phương. Thật vậy, với mọi
p
x∈¢
, có hai khả năng có thể xảy ra:
Nếu
nx<
thì
:
m
m nx∃∈ =¥
. Ký hiệu
1
{/ }
m
pm
U y yx p
−−
=∈ −<¢
. Khi đó, U là lân cận
mở của x và
ny<

,
yU∀∈
. Do đó,
( ) 1,
n
ey yU= ∀∈
.
Nếu
nx<
thì đặt
1
{/ }
p
p
U y yn
n
=∈ −≥¢
. Vì
1
\,
p
U Bn
n

=


¤
nên U là tập mở. Theo
mệnh đề 2.1.3, ta có

xU∈
suy ra U là một lân cận mở của x. Hơn nữa,
yU∀∈
, cũng theo mệnh đề
2.1.3,
ny<
suy ra
() 0
n
ey=
.
Vậy
n
e
là hàm hằng địa phương, do đó,
n
e
là hàm liên tục trên
p
¢
. Nói các khác
( )
,
n pp
n eC∀∈ ∈ →¥ ¢£
.
W

2.1.5 Định lý
(Cơ sở Vanderput) Các hàm

1
, ,
o
ee
xác định bởi công thức
1,
( ) , , {0;1; }
0,
np
nx
ex x n
nx

= ∈∈


<
¢
<

tạo thành một cơ sở trực chuẩn của
()
pp
C →¢£
. Nếu
()
pp
fC∈→¢£
thì
0

() ()
nn
n
f x ae x
+∞
=
=
∑

trong đó,
*
(0), ( ) ( _),
on
a f a fn fn n==−∈¥
.
Chứng minh Trước hết ta chứng minh
1
{ , , , , }
on
ee e
là tập trực chuẩn. Với
n∈ ¥
ta có:

{ }
max ( ) , 1
nnp
p
e ex x
∞

= ∈=¢

Với mỗi
{2,3, , }mn∈
và với
12
, , ,
np
λλ λ
∈£
, ta có:
{ }
{ }
11
12 1
max ( ) /
max 0 0 0 ( ) /
max ( ) /
mm
ii ii p
ii
p
m mm p
p
mm p m m
pp
e ex x
ex x
ex x e
λλ

λλ λ λ
λλ
= =
∞
−
∞


= ∈



≥ + ++ + ∈
= ∈=
∑∑
¢
L¢
¢

Hay là
1
m
ii m m
p
i
ee
λλ
∞
=
∞

≥
∑
. Theo định lý 1.3.5,
1
{ , , , }
on
ee e
là tập trực giao nên
1
{ , , , , }
on
ee e
là
tập trực giao
Cuối cùng ta chứng minh
1
{ , , , , }
on
ee e
là hệ sinh. Xét chuỗi