xác định các thông số của xe chạy trên cầu từ tập số liệu đo dao động

1


Cầu có vị trí quan trọng hàng đầu trong cơ sở hạ tầng vận tải của chúng
ta. Tuổi thọ của cầu càng cao thì việc vận hành và bảo dưỡng cầu càng trở nên
phức tạp. Tầm quan trọng của việc giám sát quá trình làm việc của kết cấu
cầu ngày càng quan trọng trong thời gian gần đây. Để duy trì và nâng cao chất
lượng, hiệu quả của quá trình khai thác, cần phải nắm vững quá trình làm việc
của kết cấu để bảo đảm độ bền và thời gian làm việc lâu dài.
Từ quan điểm về liên kết động giữa phương tiện giao thông và kết cấu
cầu, sự dao động của một cây cầu phần lớn liên quan đến sự chuyển động của
phương tiện giao thông di chuyển trên nó. Điều này được kiểm chứng rõ ràng
thông qua các kết quả phân tích về động lực học cầu dưới tải trọng của các
phương tiện giao thông đang di chuyển. Tất cả các phân tích động lực học đối
với cầu dưới sự di chuyển của các phương tiện giao thông đều được dựa trên
giả thiết rằng đã biết chính xác các thông số kỹ thuật của phương tiện giao
thông. Tuy nhiên, đối với việc vận hành thông thường và hoạt động giám sát
độ bền kết cấu đối với những cây cầu hiện vẫn đang được sử dụng, thì việc
cho rằng tất cả các thông số kỹ thuật chính xác của các phương tiện giao
thông đã được biết trước là điều không thực tế. Bởi thế cho nên việc xác định
các thông số kỹ thuật của phương tiện giao thông là một khâu rất quan trọng
trong quá trình nghiên cứu những biểu hiện động của các cây cầu hiện đang
sử dụng.
Để đảm bảo an toàn cho kết cấu cầu, tải trọng xe lưu thông trên cầu được
quy định rõ ràng. Tuy nhiên, trong thực tế việc các xe có tải trọng vượt quá
quy định đi qua cầu vẫn thường xuyên xảy ra và gây mất an toàn cho công
trình. Hiện nay, để hạn chế hiện tượng này, thường sử dụng phương pháp cân
xe. Tuy nhiên, biện pháp này rất tốn kém do phải lắp đặt quá nhiều trạm cân
và không hiệu quả do mất nhiều thời gian, có thể gây ùn tắc cục bộ.
2
Ngày nay, với sự phát triển của công nghệ xây dựng cầu, công nghệ đo

lường và công nghệ tin học, trạng thái làm việc của cầu được giám sát liên tục
bằng hệ thống cảm biến đặt trên cầu. Từ các số liệu thu nhận được từ hệ thống
cảm biến giám sát, hàng loạt các thông số trạng thái làm việc của cầu được
cập nhật liên tục, giúp đánh giá khả năng làm việc của cầu và dự báo các hư
hỏng có thể xuất hiện.
Sử dụng các số liệu từ kết quả đo giám sát hoạt động của cầu để xác định
tải trọng xe lưu thông trên cầu là vấn đề có ý nghĩa khoa học và thực tiễn.
Để xác định được các tham số của xe di chuyển trên cầu đòi hỏi phải
hiểu về tương tác động lực học của hệ cầu-xe và công tác giám sát trạng thái
làm việc của cầu.
 !"#$%&'()
Tương tác động lực học của hệ kết cấu cầu và xe di chuyển trên cầu (gọi
tắt là hệ cầu – xe) là bài toán phức tạp. Trong một số trường hợp, để đơn giản
và thuận tiện cho tính toán, hiệu ứng quán tính do tải trọng động của xe được
tính toán thông qua hệ số động so với tải trọng tĩnh, thường sử dụng tỷ số
giữa phản ứng động với phản ứng tĩnh của kết cấu cầu.
Trong trường hợp xe di chuyển với tốc độ tương đối nhỏ thì có thể tính
toán tương tự như trong trường hợp hàng loạt tải tĩnh đặt ở các vị trí liên tiếp
nhau.
Khi xe di chuyển với tốc độ cao, kết cấu cầu sẽ dao động và có chứa
thành phần có tần số cao. Các yếu tố ảnh hưởng đến phản ứng động của kết
cấu cầu bao gồm:
• Các thông số hình học, vật liệu, đặc trưng tiết diện, quán tính, cản của
bản thân kết cấu cầu.
• Các đặc tính của hệ di động: khối lượng, hệ thống treo, số lượng và
khoảng cách các trục bánh xe
• Các thông số của hệ di động, sự di chuyển của tải: tốc độ, đều hoặc
không đều (nhanh dần hoặc chậm dần, phanh ).
3
• Điều kiện tiếp xúc giữa tải và kết cấu: phẳng hoặc gồ ghề (ngẫu

nhiên), tiếp xúc liên tục hoặc không liên tục.
• Điều kiện ban đầu khi bắt đầu tiếp xúc với kết cấu.
Các nghiên cứu mới đây chủ yếu khai thác khả năng của các công cụ
tính toán thường tập trung ở các hướng sau:
• Phân tích đầy đủ và sát thực tế hơn trạng thái dao động của cầu dưới
tác động của tải trọng di động.
• Xây dựng các mô hình tải trọng di động sát thực tế hơn.
*+,&-./&0.+1
Lý thuyết và thực nghiệm về phản ứng động của kết cấu chịu tác dụng
của tải trọng di động đã được bắt đầu từ cách đây hơn 100 năm. Willis và
Stoke từ 1849 đã nghiên cứu lời giải cho trường hợp tải là một chất điểm có
khối lượng di chuyển với tốc độ đều trên một dầm đơn không khối lượng.
Dựa trên cơ sở các kết quả nghiên cứu sơ bộ trước đây cùng với sự phát
triển của khoa học và phương pháp số trên máy tính, việc nghiên cứu bài toán
tải trọng di động đã có những bước tiến dài. Các kết quả nghiên cứu gần đây
cho các dạng kết cấu chịu tải trọng di động có thể tổng hợp và phân loại như
sau.
• Ảnh hưởng do sự mấp mô bề mặt cầu: Theo hướng này các tác giả đã
nghiên cứu xây dựng mô hình tương tác của xe và cầu với các kích động ngẫu
nhiên xuất hiện do sự mấp mô của bề mặt cầu. Tính ngẫu nhiên của sự mấp
mô bề mặt cầu được các tác giả mô tả bằng các hàm mật độ phổ.
• Ảnh hưởng của hệ thống treo: Nhiều nghiên cứu lý thuyết và thực
nghiệm đã được tiến hành tập trung vào ảnh hưởng của hệ thống treo đến
các phản ứng của cầu trong mô hình tương tác hai chiều.
• Ảnh hưởng khi phanh xe trên cầu: Nghiên cứu phản ứng động của
cầu một nhịp và cầu nhiều nhịp dạng dầm liên tục dưới tác động phanh đột
ngột của xe với hệ thống treo gồm lò xo và phần tử cản.
• Ảnh hưởng của dao động ban đầu của xe: Nhiều kết quả nghiên cứu
đã đưa ra kết luận rằng dao động ban đầu của xe có ảnh hưởng lớn nhất đến
biến dạng cực đại. Tư thế nằm ngang của xe và trọng lượng của nó có ảnh

4
hưởng chính, còn độ mềm của dầm cầu, tốc độ chuyển động của xe và độ dày
của mặt sàn cầu có tác động phụ
• Ảnh hưởng của kiểu cấu trúc và phương pháp mô hình hoá: Các
tác giả đã nghiên cứu ảnh hưởng của hình dạng cầu đến dao động của cầu
khi chịu tải trọng di động. Các tác giả cũng nghiên cứu các phương pháp mô
hình hoá khác nhau cho kết cấu cầu như dầm đồng nhất, kết cấu thành mỏng,
v.v…
• Cộng hưởng và chống lại cộng hưởng. Nhiều nghiên cứu đi theo
hướng này với các biện pháp giảm dao động cho cầu bằng các cơ cấu giảm
chấn.
• Cầu đường sắt: Các tác giả đã xây dựng mô hình cho đường sắt trên
nền đàn hồi, nền được mô tả bằng các gối đỡ liên tiếp có phần tử đàn hồi và
phần tử cản nhớt, Khối lượng di chuyển đều với giả thiết điểm tiếp xúc không
tách khỏi đường ray.
"23+,&-./&40 1
Từ những năm 80 trở lại đây, các nhà khoa học Việt nam cũng đã chú ý
đến lĩnh vực nghiên cứu tải trọng di động. Trong đó có thể kể đến các công
trình nghiên cứu của GS Nguyễn Văn Khang và các cộng sự (ĐHBK Hà Nội).
Trong đó, các tác giả chủ yếu sử dụng phương pháp giải tích để lập và giải
các hệ phương trình vi phân mô tả kết cấu có dạng dầm liên tục, các kết cấu
có dạng hệ thanh phức tạp hơn được đề cập nhiều.
Trong công trình của TS Hoàng Hà và nhóm đề tài (2002) cũng tương tự
như vậy, mô hình được đưa ra để mô tả cầu dây văng là một dầm liên tục gối
cứng 2 đầu, tại các điểm liên kết với dây văng được thay bằng các gôi tựa đàn
hồi. Mô hình tải trọng di động là một khối lượng liên kết với dầm thông qua
một lò xo tuyến tính và một phần tử cản tỷ lệ bậc nhất với tốc độ. Số lượng tải
tham gia vào hệ thống có thể nhiều hơn một (nhiều xe chuyển động với vận
tốc khác nhau, nhưng đảm bảo điều kiện không va đập vào nhau). Lực kích
động gây ra dao động ngoài chuyển động của tải trọng còn có thành phân lực

kích động điều hoà tác động lên tải di động. Tác giả sử dụng nguyên lý
5
D‘Alambe để xây dựng phương trình vi phân chuyển động cho tải di động và
cho dầm. Hệ phương trình vi phân nhận được sẽ bao gồm n phương trình vi
phân thường (n là số lượng tải trọng di động) và một phương trình vi phân
đạo hàm riêng. Hệ phương trình vi phân hỗn hợp trên sẽ được đưa về hệ
phương trình vi phân thường và giải bằng phương pháp Runge-Kutta.
Trong công trình của TS Đỗ Xuân Thọ (1996), vật thể đi động là vật rắn
liên kết với dầm thông qua phần tử đàn hồi và phần tử cản. Đối với dầm tác
giả có đưa ra 2 mô hình, mô hình thứ nhất cũng gồm một dầm liên tục tựa trên
các gối đỡ đàn hồi tuyến tính, mô hình thứ 2 tựa trên các gối đỡ phi tuyến
dạng Duffing. Tác giả tách cấu trúc trên thành các cấu trúc con trong đó gồm
tải trọng di động và một dầm đơn, các gối tựa trung gian được thay bằng các
phản lực liên kết, sau đó tiến hành lập phương trình vi phân mô tả dao động
của hệ. Hệ bao gồm các phương trình vi phân thường và phương trình vi phân
đạo hàm riêng. Tác giả sử dụng phương pháp Ritz để đưa hỗn hợp nói trên về
hệ các phương trình vi phân thường và giải bằng phương pháp Runge- Kutta.
Trong công trình của TS Tạ Hữu Vinh (2005), tác giả đã sử dụng
phương pháp phần tử hữu hạn để nghiên cứu dao động của hệ khung chịu tác
dụng của tải trọng di động. Trong công trình này, tác giả đã thiết lập phương
trình vi phân mô tả dao động của phần tử hữu hạn thanh không gian chịu tác
dụng của một tải trọng di động đối với các trường hợp giữa tải trọng di động
và dầm có và không có liên kết đàn hồi hoặc cản nhớt.
561$&789%&:&;<-0
;"
Tải trọng di động được được xét ở đây có thể là một trong ba dạng sau:
• Lực có điểm đặt di chuyển trên kết cấu với vận tốc v
• Vật mang khối lượng cùng với lực tác dụng vào nó di chuyển trên kết
cấu với vận tốc v
• Hệ dao động di chuyển trên kết cấu với vận tốc v, giữa hệ di động và

kết cấu có các liên kết đàn hồi và cản nhớt.
6
Việc phân loại các mô hình kết cấu chịu tải trọng di động chủ yếu phụ
thuộc vào các yếu tố sau: khối lượng kết cấu, khối lượng tải trọng di động,
điều kiện liên kết giữa kết cấu và tải trọng di động.
89
Khối lượng của kết cấu và tải trọng bị bỏ qua, hệ hoàn toàn không dao
động, đây là mô hình tính toán tĩnh với tải trọng có vị trí thay đổi.

v

c
k
v

v

(1)
(2)
(4)
(3)
P
P
m
v

m
P
=9>' Mô hình 1
Phương pháp "đường ảnh hưởng" được sử dụng để tính toán mô hình

này đã được trình bày trong các giáo trình Cơ học kết cấu. Một số phần mềm
phổ biến hiện nay như SAP-2000 có khả năng tính theo phương pháp này đối
với hầu hết các dạng kết cấu.
89
Mô hình này kể đến khối lượng của tải trọng và bỏ qua khối lượng của
kết cấu tức là đã xét dao động của kết cấu.

v

c
k
v

v

(1)
(2)
(4)
(3)
P
P
m
v

m
P
=9>' Mô hình 2
Phương trình vi phân dao động của hệ có dạng:
2
2

d w
mg m P
dt
− =
Trong đó:
P – tải trọng tác dụng xuống dầm,
m – khối lượng của tải trọng di động,
w – chuyển vị của tải trọng di động theo phương thẳng đứng
7
Số hạng thứ hai trong biểu thức trên là lực quán tính của khối lượng của
tải trọng trên chuyển động theo phương thẳng đứng của dầm.
Ý nghĩa thực tiễn của bài toán dao động dựa trên cơ sở mô hình này
không lớn vì khối lượng của kết cấu thường không thể bỏ qua
895
Mô hình này kể đến khối lượng của kết cấu, dầm được xem là có khối
lượng phân bố.

v

c
k
v

v

(1)
(2)
(4)
(3)
P

P
m
v

m
P
=9>'5 Mô hình 3
Lời giải đầy đủ của bài toán được A.N.Krưlov đưa ra vào năm 1905.
Phương trình vi phân dao động của hệ có vô số bậc tự do tương ứng có dạng:
( ) ( )
4 2
4 2
1
, ,
2
sin sin
k
w x t w x t
P k k x
EJ m
x x
∞
πη π
=
∂ ∂
+ =
∂ ∂
∑
l l l
Trong đó:

EJ – độ cứng chống uốn của dầm,
m – khối lượng phân bố trên một đơn vị dài dầm, m=const,
ℓ – chiều dài dầm,
w – chuyển vị của tải trọng di động theo phương thẳng đứng.
Từ các kết quả nghiên cứu của F. Willis, S.A.Iliaxevic, A.N.Krưlov có
thể thấy hệ số động lực (tỷ số giữa các giá trị độ võng, mô men, … khi tính
toán động kết cấu với các giá trị tương ứng khi giải bài toán tĩnh) phụ thuộc
vào các yếu tố:
• Vị trí của tải trọng;
• Vị trí tiết diện khảo sát;
• Đại lượng nghiên cứu;
• Tính chất tác động và tốc độ di động của tải trọng;
Các mô hình 1, 2 và 3 được sử dụng khi điểm đặt của tải trọng di động
không tách rời kết cấu theo phương thẳng đứng, chủ yếu xét đến dao động của
phần kết cấu mà không quan tâm đến dao động của phần tải trọng di động.
8
89?
Mô hình này kể đến khối lượng của kết cấu và tải trọng, tương tác giữa
hệ dao động (gồm khối lượng tập trung, lò xo đàn hồi, cản nhớt) di động trên
kết cấu (có khối lượng).

v

c
k
v

v

(1)

(2)
(4)
(3)
P
P
m
v

m
P
=9>'? Mô hình 3
Tuỳ theo cấu trúc của hệ dao động bên trên mà có thể mô hình hoá nó
thành các hệ một hay nhiều bậc tự do. Tác dụng của hệ di động đối với kết
cấu được truyền qua các lò xo đàn hồi và cản, và chính những lực này lại gây
dao động cho hệ di động. Phương trình vi phân mô tả hệ như vậy có hệ số phụ
thuộc thời gian.
Đây là mô hình phức tạp hơn cả, gần sát thực tế và phân tích đầy đủ các
hiệu ứng quán tính của hệ. Đã có nhiều lời giải cho bài toán này nhưng cho
đến năm 1930 Meizel mới đưa ra lời giải đủ sức thuyết phục.
Kể từ đó đến nay đã có hàng loạt công trình được công bố. Cách đặt vấn
đề, xây dựng mô hình bài toán và cách giải quyết vấn đề của các công trình
ngày gấn sát với thực tế, song cũng đòi hỏi một khối lượng tính toán lớn và
cần có công cụ tính đủ mạnh.
Trong luận văn này sẽ sử dụng mô hình 4 và phương pháp phần tử hữu
hạn để tính toán tương tác động lực học của hệ cầu – xe.
5*8720@#7$%&
Tầm quan trọng của việc giám sát trạng thái làm việc của kết cấu ngày
càng được quan tâm trong thời gian gần đây. Để duy trì và nâng cao chất
lượng, hiệu quả của quá trình khai thác công trình, cần phải nắm rõ trạng thái
làm việc của kết cấu trong suốt quá trình khai thác sử dụng để bảo đảm độ

bền và thời gian làm việc lâu dài.
9
Điều quan trọng đối với hệ thống giám sát trạng thái làm việc của kết
cấu là dữ liệu chất lượng cao kết hợp với những mô hình nhận dạng thực. Kết
quả của công tác giám sát có thể là chỉ số tin cậy, một mức an toàn, một hình
ảnh đồ họa, v.v Do tính phức tạp của vấn đề, công tác giám sát trạng thái
làm việc của kết cấu cũng có những giới hạn, các giới hạn này có thể thu hẹp
lại khi kết hợp với phương pháp chẩn đoán kỹ thuật không phá hủy. Khi hệ
thống giám sát trạng thái làm việc của kết cấu được vi tính hóa sẽ tốt hơn kinh
nghiệm của một kỹ sư cầu đường nhiều kinh nghiệm. Hệ thống giám sát trạng
thái làm việc của kết cấu được xem là công cụ và hỗ trợ cho các kỹ sư cầu
đường cũng như là chỉ số cho các đơn vị khai thác cầu khi xẩy ra trường hợp
khẩn cấp và cần gọi chuyên gia đến giải quyết.
Toàn bộ các dữ liệu liên quan thường được lưu giữ trong cơ sở dữ liệu,
có thể được sử dụng cho các mục tiêu khác chẳng hạn như nguồn thông tin
dành cho công tác bảo dưỡng.
Sử dụng hệ thống giám sát khả năng làm việc của kết cấu và kỹ thuật
kiểm tra không phá hủy để đánh giá chất lượng cầu, như một biện pháp thay
thế cho phương pháp khảo sát trực quan trước đây là yêu cầu ngày càng cấp
bách.
Tại Mỹ, và Châu Âu, các hệ thống giám sát khả năng làm việc của kết
cấu đã được úng dụng rộng rãi.
Tại Việt Nam, những cây cầu hiện đại được xây dựng trong thời gian
gần đây cũng được lắp đặt hệ thống giám sát khả năng làm việc của kết cấu
theo tiêu chuẩn quốc tế.
?AB;@
Lí thuyết nhận dạng hệ thống (System Identification) nhằm thiết lập lại
mô hình thực của một hệ thống dựa vào phản ứng của hệ dưới một nhóm các
tác động nào đó. Ban đầu lí thuyết nhận dạng hệ thống được sử dụng để giải
các bài toán nhận dạng của lí thuyết điều khiển, mô phỏng. Hiện nay lý thuyết

này còn được áp dụng cho nhiều bài toán khác trong đó có bài toán thiết lập
10
mô hình thực trạng công trình. Trong khoa học kỹ thuật hay trong các lĩnh
vực của đời sống kinh tế xã hội, sự hoạt động của bất cứ đối tượng cụ thể nào
cũng có thể mô hình hoá dưới dạng:
=C( ;
(a)
Trong đó:
; - ký hiệu các thông số đầu vào,
C - ký hiệu mô tả cấu trúc, đặc tính của đối tượng,
( - ký hiệu các thông số đầu ra.
Khi đó bài toán thuận được hiểu là cần phải xác định đầu ra ( nếu đã biết
được đầu vào ; và mô hình hoá C của đối tượng. Ngược lại, bài toán xác định
mô hình hoá C khi biết đầu vào ; và đầu ra ( của đối tượng là bài toán ngược
hoặc bài toán nhận dạng hệ thống (hay là bài toán chẩn đoán). Trong trường
hợp bài toán nhận dạng hệ cơ học công trình thì C là các đặc trưng hình học,
khối lượng, độ cứng kết cấu và môi trường, còn ; có thể là tải trọng, ( là biến
trạng thái như chuyển vị, biến dạng, v.v của kết cấu.
Phương pháp nhận dạng là phương pháp thiết lập lại mô hình thực trạng
của kết cấu dựa vào sự đồng nhất các trạng thái của hệ xuất hiện dưới một tác
động nào đó nhận được bằng đo đạc thực nghiệm và bằng tính toán trên mô
hình nhận dạng của hệ. Việc đồng nhất này dẫn đến giải bài toán cực tiểu hoá
một hàm mục tiêu phi tuyến có dạng:
( )
minf ⇒(
v i x = {x
1
, x
2
, , x

n
} (b)
với các điều kiện ràng buộc:
( )
( )
0;
0;
;
h
g
=
≤
≤ ≤
(
(
#D ( &D
trong đó:
x – véc tơ tham số tối ưu,
f(() – hàm mục tiêu có giá trị thực,
Gi (x) i=1,2,…,me – các hàm ràng buộc đẳng thức đối với các thông số tối
ưu x,
11
Gi (x) i= me +1,…,m – các hàm ràng buộc bất đẳng thức đối với các
thông số tối ưu x.
;
i i
L U
b b
 
 

– khoảng xác định của các tham số tối ưu x
i
(i=1,2, ,n).
Hiện nay, tồn tại nhiều phương pháp giải bài toán trên, nhưng phương
pháp tổng quát và chính xác nhất là phương pháp quy hoạch phi tuyến.
Theo [13,14] hàm mục tiêu thường chọn là bình phương của sai số giữa
một trạng thái cơ học của hệ khi thử tải tại hiện trường và qua phân tích tính
toán.
E<.&+,&-%@ F
Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu phương pháp xác định các thông số
(đặc biệt là trọng lượng) của xe di chuyển trên cầu từ các số liệu đo (giám sát)
dao động của cầu kết hợp với phương pháp tính toán dao động của cầu khi có
xe di chuyển trên cầu.
Nội dung luận án bao gồm phần mở đầu, phần nội dung gồm ba chương
và phần kết luận. Cuối luận án trình bầy các kết luận và kiến nghị về hướng
nghiên cứu tiếp theo, danh mục các công trình đã công bố, tài liệu tham khảo
và phụ lục chương trình tính.
Trong phần mở đầu nêu lên tính thực tiễn và nhu cầu cấp thiết của đề tài
nghiên cứu, trình bày tổng quan các kết quả nghiên cứu đối với các hệ dao
động chịu tác dụng của tải trọng di động của các tác giả trên thế giới và ở Việt
Nam, các mô hình tính toán cầu chịu tác dụng của tải trọng di động. Trong
chương này cũng trình bày mục tiêu nghiên cứu của luận án.
Chương 1 trình bày các cơ sở của phương pháp phần tử hữu hạn và thiết
lập phương trình dao động cho bài toán hệ dầm liên tục.
Chương 2 thiết lập phương trình dao động của phần tử dầm có xét đến sự
tương tác giữa đoàn xe và phần tử dầm bằng phương pháp phần tử hữu hạn.
Trên cơ sở đó, xây dựng phương trình dao động cho toàn hệ cầu dầm liên lục
chịu tác dụng của đoàn tải trọng (xe) di động. Trong chương này cũng xây
12
dựng thuật toán và lập chương trình tính dao động của kết cấu cầu dầm liên

tục chịu tác dụng của đoàn tải trọng di động.
Chương 3 sử dụng chương trình đã thiết lập để khảo sát ảnh hưởng của
đoàn xe đến dao động của cầu Dakrong. Các yếu tố được xem xét gồm ảnh
hưởng của tốc độ đoàn xe, giãn cách xe trong đoàn, v.v.
Phần kết luận trình bày các kết quả đạt được trong luận án, các kết luận
chính của luận án và xác định các hướng phát triển tiếp theo cho luận án.
13
* !
GHI6J*KI6LM*=N**OC=P*'QR
14
* !89-+
Có nhiều dạng kết cấu nhịp cầu khác nhau như dàn, dầm đơn giản, dầm
liên tục, …. Trong luận văn này giới hạn nghiên cứu với dạng kết cấu nhịp
thường gặp là dạng dầm đơn giản hoặc liên tục qua các gối tựa. Các gối này là
gối cứng trong trường hợp trụ, mố cầu hoặc được xem là gối đàn hồi trong
trường hợp dây treo.
Để xây dựng phương trình dao động của cầu theo phương pháp phần tử
hữu hạn, mô hình hoá kết cấu nhịp thành các phần tử dầm liên kết với nhau.
Mỗi phần tử dầm có thể có chiều dài, đặc trưng tiết diện khác nhau.
Mỗi xe chạy trên cầu được mô hình hoá như hệ một bậc tự do gồm một
khối lượng di động và liên kết với phần tử dầm bằng lò xo đàn hồi và cản
nhớt tuyến tính.
Mô hình bài toán được xây dựng với các giả thiết sau:
• Các hệ số đàn hồi của gối đàn hồi được coi như đã biết.
• Vật liệu kết cấu là đàn hồi tuyến tính.
• Chuyển vị của kết cấu cầu là bé, dao động của xe là bé, chỉ xét đến
dao động thẳng đứng của thân xe và các bánh xe không tách rời khỏi bề mặt
cầu khi di chuyển.
• Xe chuyển động trên các phần tử dầm theo phương ngang với vận tốc
v không đổi.

• Dọc theo cầu, các đặc trưng tiết diện có thể thay đổi.
• Các điều kiện biên liên kết của cầu (gối, ngàm) có thể là các liên kết
cứng hoặc đàn hồi.
*!24S !SSS%TU&@-D;";%7
#.<
I&V.#W0:;X+YS%
Xét một hệ kết cấu ở trạng thái cân bằng dưới tác dụng của các ngoại
lực. Giả sử trong hệ xuất hiện các chuyển vị vô cùng bé (được gọi là chuyển
vị khả dĩ) phù hợp với điều kiện liên kết của hệ. Khi đó, ứng với các chuyển
vị khả dĩ này trong hệ xuất hiện các biến dạng và được gọi là biến dạng khả
15
dĩ. Công do ngoại lực sinh ra trên các chuyển vị khả dĩ được gọi là công khả
dĩ và công do nội lực sinh ra trên các biến dạng khả dĩ gọi là năng lượng biến
dạng khả dĩ. Nguyên lý chuyển vị khả dĩ được phát biểu như sau: Nếu một kết
cấu đàn hồi ở trạng thái cân bằng dưới tác dụng của các ngoại lực và sau đó
chịu một chuyển vị khả dĩ bất kỳ thì công khả dĩ
1
W
δ
của hệ phải bằng năng
lượng biến dạng khả dĩ
1
A
δ
của hệ:
1 1
W A
δ δ
=
Trong đó,

1
δ
là số hạng thứ nhất của biến phân đối với đại lượng khảo
sát.
Tiếp tục, xét một hệ kết cấu cân bằng dưới tác dụng của các ngoại lực P
i
và chịu các chuyển vị khả dĩ
i
q
δ
, thì độ biến thiên thế năng
1
e
A
δ
của các
ngoại lực chính là công khả dĩ của các ngoại lực đó với dấu ngược lại:
1 1
i i
i
A w P q
δ δ δ
= − = −
∑
Thay hệ thức này vào biểu thức của nguyên lý chuyển vị khả dĩ nhận
được:
( )
1 1
0
e

V A A
δ δ
= + =
Trong đó,
1
V
δ
là độ biến thiên của thế năng toàn phần của hệ (gồm thế
năng của ngoại lực A
e
và năng lượng biến dạng A của hệ). Vì rằng theo biểu
thức này
1
0W
δ
=
cho nên thế năng toàn phần V ở trạng thái dừng, nghĩa là
lúc này nguyên lý chuyển vị khả dĩ trở thành nguyên lý giá trị dừng của thế
năng toàn phần đối với hệ bảo toàn.
Hệ thức tương đương với điều kiện sau đây về mặt toán học:
0
i
V
q
∂
=
∂
v i i=1,2, ,n
Nếu chỉ xét số hạng thứ nhất của biến phân
V

δ
có thể viết:
1
i
i
i
V
V q
q
δ δ
∂
=
∂
∑
16
Để ý rằng các chuyển vị khả dĩ
i
q
δ
độc lập với nhau nên từ điều kiện
1
0V
δ
=
có thể viết điều kiện tương đương suy từ như sau:
0
i
V
q
∂

=
∂
v i i=1,2, ,n
Hệ thức này biểu thị các điều kiện cân bằng tại các toạ độ i=1,2, ,n.
=7"2&VS%TU&@;%7:&&3
Trong phương pháp phần tử hữu hạn, kết cấu dạng hệ dầm liên tục được
rời rạc bằng các phần tử dầm chịu uốn thuần túy. Trên mỗi phần tử này gắn
một hệ toạ độ địa phương xy (Hình 1 -5).
=9'E Phần tử dầm chịu uốn thuần tuý
Khảo sát một phần tử dầm chịu uốn thuần túy. Vào thời điểm t, tại điểm
bất kỳ trên thanh có toạ độ địa phương x tồn tại một véc tơ chuyển vị &(x,t):
( )
( )
( )
,
,
,
v x t
x t
x t
θ
 
=
 
 
&
trong đó:
v(x,t) – độ võng của dầm,
θ(x,t) –thành phần góc xoay tương ứng với chuyển vị v:
( )

( )
,
,
dv x t
x t
dx
θ
=
Tại các nút, véc tơ chuyển vị của dầm trùng với véc tơ chuyển vị nút.
Gọi , là véc tơ chuyển vị nút của phần tử thanh:
( )
( )
( )
1
1 1
2 2
2
( )
( )
( )
( )
v t
t
t
t
t v t
t
θ
θ
 

 
 
 
= =
   
 
 
 
 
&
,
&
17
Trong đó, &
1
, &
2
– véc tơ chuyển vị tại các nút 1 và 2 của phần tử.
Trường chuyển vị trong thanh được xấp xỉ theo véc tơ của các chuyển vị
tại nút:
( ) ( ) ( )
,x t x t=& I ,
Trong đó, I – ma trận các hàm dạng (hàm nội suy) chuyển vị của phần
tử:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 4
1 2 3 4
N x N x N x N x

x
dN x dN x dN x dN x
dx dx dx dx
 
 
=
 
 
 
I
Với các hàm N
i
(x) được chọn là các hàm Hermitian có dạng:
( )
( )
( )
( )
2 3
1
2 3
2 3
2
2
2 3
3
2 3
2 3
3
2 3
1 3 2

2
3 2
x x
N x
L L
x x
N x x
L L
x x
N x
L L
x x
N x
L L
= − +
= − +
= −
= − +
Trong đó, L – chiều dài phần tử.
Thay vào nhận được:
( )
2 3 2 3 2 3 2 3
2 3 2 2 3 2
2 2 2 2
2 3 2 2 3 2
3 2 2 3 2
1
6 6 4 3 6 6 2 3
1
x x x x x x x x

x
L L L L L L L L
x
x x x x x x x x
L L L L L L L L
 
− + − + − − +
 
 
=
 
− + − + − − +
 
 
I
5Z !09;"S%TU&@;%7:&&3
&%&W
Để xây dựng phương trình dao động của phần tử hữu hạn, sử dụng
nguyên lý giá trị dừng của thế năng toàn phần. Biểu thức thế năng biến dạng
của nội lực trong phần tử thanh có dạng như sau:
1
2
x x
V
A dV
σ
=
∫
ò
18

Trong đó
V – thể tích phần tử,
σ
x
– ứng suất pháp tại tiết diện có tọa độ x,
ϵ
x
– biến dạng dọc trục tại tiết diện có tọa độ x,
Theo lý thuyết dầm, mô men uốn M tại vị trí có tọa độ x trong hệ tọa độ
địa phương của dầm được tính bằng biểu thức:
( )
( )
2
2
,
,
d v x t
M x t EJ
dx
=
Trong đó,
E – mô đun đàn hồi của vật liệu,
J – mô men quán tính của tiết diện dầm.
Ứng suất tại toạ độ y của tiết diện có toạ độ x:
( )
,
( , , )
x
M x t
x y t y

J
σ
= −
Và biến dạng:
( ) ( )
, , ,
( , , )
x
x
x y t M x t
x y t y
E EJ
σ
= = −
ò
Thay và vào nhận được:
( )
2
2
2
2
0
,
2
L
S
d v x t
E
A y dS dx
dx

   
=
 ÷  ÷
   
∫ ∫
Trong công thức trên, thành phần tích phân thứ hai chính là mô men
quán tính của tiết diện dầm:
2
S
J y dS
=
∫
Thay vào , nhận được:
( )
2
2
2
0
,
2
L
d v x t
EJ
A dx
dx
 
=
 ÷
 
∫

Lưu ý đến , độ võng của dầm tại tọa độ x được nội suy qua các chuyển vị
tại nút:
( ) ( )
, ( )
v
v x t x t= I ,
19
Trong đó, I
v
– ma trận hàm nội suy của độ võng tại x từ các thành phần
chuyển vị nút:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 4v
x N x N x N x N x
=  
 
I
Thay vào , nhận được:
[ ]
2
0 0
1 1
2 2
L L
T T
A EJ dx EJ dx
 
= =
 
 

∫ ∫
A, , A A ,
Trong đó, A – ma trận liên hệ biến dạng – chuyển vị của phần tử thanh:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2
1 2 3 4
v
d N x d N x d N x d N x
d
x
dx dx dx dx dx
 
= =
 
 
A I
Thay vào , nhận được:
2 3 2 2 3 2
6 12 4 6 6 12 2 6x x x x
L L L L L L L L
 
= − + − + − − +
 
 
A
Công của ngoại lực bẳng tổng công do các thành phần gây ra:
f P qt c
W W W W W= + + +

Trong đó,
W
f
– công do các thành phần lực phân bố gây ra:
( ) ( )
0
, ,
L
T
f
W x t x t dx
=
∫
[ &
W
P
– công do các thành phần lực tập trung gây ra:
( )
( )
,
T
P i i
i
W t x t
=
∑
Z &
W
qt
– công do các thành phần lực quán tính gây ra:

( )
0
1
,
2
L
qt
W x t dx
ρ
= −
∫
&
&&
W
c
– công do các thành phần lực cản nhớt gây ra:
( )
0
1
,
2
L
c
W c x t dx
= −
∫
&
&
Trong các công thức trên:
20

[(x,t) – véc tơ lực phân bố trên dầm gồm các thành phần lực phân bố
vuông góc với trục dầm và mô men phân bố trong mặt phẳng dầm:
( )
( )
,
( , )
,
y
z
p x t
x t
m x t
 
=
 
 
[
Z
i
(t) – véc tơ lực tập trung gồm các thành phần lực vuông góc với trục
dầm và mô men uốn của dầm tại điểm có toạ độ x
i
:
( )
( )
,
( )
,
i
i

i
P x t
t
M x t
 
=
 
 
Z
ρ – khối lượng phân bố trên một đơn vị chiều dài dầm,
c – hệ số cản nhớt phân bố trên một đơn vị chiều dài dầm.
Chú ý đến , viết lại như sau:
0 0 0
1 1
2 2
L L L
T T T T T T T T
i
i
W dx dx c dx
ρ
= + − −
∑
∫ ∫ ∫
, I , , I Z , I I , I I
&& && & &
&& &
Theo nguyên lý giá trị dừng của thế năng toàn phần điều kiện cân bằng
của hệ có dạng:
( )

0
i i
U W
dq dq
∂Π ∂ −
= =
v i
1 1 2 2
, , ,
i
q v v
θ θ
=
Thay và vào nhận được phương trình dao động của phần tử dầm:
( )
t+ + =7, , , S
&& &
Trong đó:
 – ma trận độ cứng của phần tử
0
L
T
EJ dx
=
∫
 A A
7 – ma trận khối lượng của phần tử
0
L
T

dx
ρ
=
∫
7 I I
&& &&
 – ma trận cản nhớt của phần tử
0
L
T
c dx
=
∫
 I I
& &
21
S(t) – véc tơ lực quy nút của các tải trọng tác dụng lên phần tử
0
( ) ( ) ( )
L
T T
i
i
t t dx t
= +
∑
∫
S I , I Z
Thực hiện các tích phân từ đến sẽ nhận được các ma trận phần tử hữu
hạn cho phần tử dầm chịu uốn thuần tuý:

Ma trận độ cứng của phần tử:
2 2
3
2 2
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
L L
L L L L
EJ
L L
L
L L L L
−
 
 
−
 
=
 
− − −
 
−
 

Ma trận khối lượng của phần tử:
2 2
2 2
156 22 54 13

22 4 13 3
54 13 156 22
420
13 3 22 4
L L
L L L L
L
L L
L L L L
ρ
−
 
 
−
 
=
 
−
 
− − −
 
7
22
Ma trận cản nhớt của phần tử:
2 2
2 2
156 22 54 13
22 4 13 3
54 13 156 22
420

13 3 22 4
L L
L L L L
cL
L L
L L L L
−
 
 
−
 
=
 
−
 
− − −
 

Trong thực tế rất khó xác định chính xác được các tham số cản nhớt c
của kết cấu do các tham số này phụ thuộc vào các tần số dao động của hệ. Do
đó trong thực tế tính toán động lực học của kết cấu thường giả thiết rằng ma
trận cản  là tổ hợp tuyến tính của ma trận khối lượng và ma trận độ cứng của
hệ [7]:
α β
= +
 7 
Trong đó, α và β là các hằng số và được gọi là các hệ số cản Rayleigh.
Thông thường ảnh hưởng của các tần số cao đến giá trị của hệ số cản
Rayleigh là không đáng kể nên trong tính toán chỉ xét đến ảnh hưởng cản do
hai tần số dao động riêng thấp nhất của hệ

Các hệ số cản liên hệ với tỷ số cản theo dạng riêng bằng phương trình:
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
ω
ω
ξ
α
ξ
β
ω
ω
 
 
 
 
 
=
   
 
 
 
 

 
Trong đó:
ω
1
, ω
2
– các tần số dao động riêng thứ nhất và thứ hai của hệ.
ξ
1
, ξ
2
– các tỷ số cản tương ứng với các tần số dao động riêng.
Giải phương trình nhận được:
( )
( )
1 2 2 1 1 2
2 2
2 1
2 2 1 1
2 2
2 1
2
2
ξ ω ξ ω ω ω
ω ω
α
β
ξ ω ξ ω
ω ω
− 

 
−
 
 
=
   
−
 
 
 
−
 
23
?A+\@# F#&V]:X$@":
S !2$@"\]
Khi xây dựng các ma trận phần tử hữu hạn của phần tử, mỗi phần tử
được gắn với một hệ toạ độ địa phương (gọi là hệ toạ độ phần tử). Các thành
phần của các véc tơ lực và chuyển vị tại các nút của phần tử được chọn tương
ứng với các phương của hệ toạ độ này. Khi thiết lập phương trình chuyển
động của toàn kết cấu, các véc tơ trên cần được biến đổi về hệ tọa độ tổng thể
của kết cấu.
Dưới đây dẫn ra các công thức biến đổi giữa hai hệ toạ độ cho véc tơ
chuyển vị nút. Việc chuyển đổi đối với các véc tơ lực cũng được thực hiện
tương tự.
Các véc tơ lực và chuyển vị trong hệ toạ độ địa phương và hệ toạ độ tổng
thể có mối quan hệ như sau:
′
=
, ,
Trong đó:

, – véc t chuyn v hoc ti trng trong h to    a ph  ng,
′
,
– véc t chuyn v hoc ti trng trong h to   tng th.
 – ma trn bin   i h to   ca các véc t , và
′
,
.
Xét một phần tử thanh hai nút i, j định hướng bất kỳ trong mặt phẳng.
Gọi xy là hệ trục toạ độ địa phương của thanh còn XY là hệ tọa độ tổng thể của
kết cấu.
Nếu ký hiệu X
i
, Y
i
và X
j
, Y
j
lần lượt là các toạ độ của các nút i, j của phần
tử thanh trong hệ toạ độ tổng thể XY thì chiều dài L của phần tử được xác định
bằng công thức:
( ) ( )
2 2
j i j i
L X X Y Y
= − + −
Khi đó, ma trận biến đổi hệ toạ độ có dạng:
x y
y X

c c
T
c c
 
=
 
−
 
Trong đó, c
x
, c
y
– các cosin chỉ phương
24
j i
x
j i
y
X X
c
L
Y Y
c
L
−
=
−
=
Tương tự, véc tơ lực nút của phần tử chuyển từ hệ tọa độ tổng thể về hệ
tọa độ cục bộ có dạng:

′
=
S S
Hay chuyển từ hệ tọa độ địa phương sang hệ tọa độ tổng thể:
1−
′
=
S  S
Thay vào nhận được phương trình:
( )
t
′ ′ ′
+ + =7, , , S
&& &
Nhân trái hai vế của phương trình với
1
−

nhận được:
( )
1 1 1 1
t
− − − −
′ ′ ′
+ + =
 7,  ,  ,  S
&& &
Lưu ý rằng, ma trận  có tính trực giao nên:
1 T
−

=
 
Trong đó,
T

– dạng chuyển trí của ma trận chuyển hệ tọa độ .
Thay vào nhận được:
( )
t
′ ′ ′ ′ ′
+ + =
7, ,  , S
&& &
Trong đó:
^ - ma trận độ cứng phần tử trong hệ tọa độ tổng thể
T
′
=
  
7^ - ma trận khối lượng phần tử trong hệ tọa độ tổng thể
T
′
=
7  7
^ - ma trận cản nhớt phần tử trong hệ tọa độ tổng thể
T
′
=
  
Đối với bài toán dầm liên tục, trục X của hệ tọa độ tổng thể thường được

chọn là phương dọc theo kết cấu. Khi đó, phương của hệ tọa độ cục bộ và
phương của hệ tọa độ tổng thể trùng nhau, ma trận  trở thành ma trận đơn vị:
25
1 0
0 1
 
=
 
 

Các ma trận phần tử hữu hạn trong hai hệ tọa độ trở nên giống nhau:
′
=
′
=
′
=
7 7
 
 
EBSFS70B\]
Trong phương pháp phần tử hữu hạn, kết cấu được xem như cấu tạo từ
các phần tử và được liên kết với nhau tại các nút. Tại nút chung, các phần tử
nối vào đó sẽ có cùng một véc tơ chuyển vị nút. Các ma trận phần tử hữu hạn
của toàn hệ được thiết lập dựa trên cơ sở “lắp ghép” các ma trận phần tử hữu
hạn của các phần tử thông qua ma trận hình dạng của kết cấu.
Khảo sát sự làm việc của toàn bộ kết cấu gồm nhiều phần tử hữu hạn liên
kết nhau tại các nút. Tại các nút có các tải trọng tác dụng và các chuyển vị nút
tương ứng. Đối với một kết cấu có n nút thì véc tơ chuyển vị của toàn kết cấu
được biểu diễn như sau:

1
2
n
 
 
 
=
 
 
 
 
&
&

&
M
Trong đó, &
i
– véc tơ chuyển vị tại nút i, gồm hai thành phần độ võng và
góc xoay
i
i
i
v
θ
 
=
 
 
&