Một số ứng dụng của phép chéo hóa ma trận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

UBND TỈNH THANH HÓA

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

——————————————–

BÙI ANH HIẾU

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP CHÉO HĨA MA TRẬN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

THANH HĨA, 2021


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

UBND TỈNH THANH HÓA

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

——————– * ———————

BÙI ANH HIẾU

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP CHÉO HĨA MA TRẬN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 8.46.01.04

Người hướng dẫn khoa học:
TS. Phạm Thị Cúc

THANH HÓA, 2021


Danh sách hội đồng chấm thi luận văn thạc sĩ theo Quyết định số 2183/QĐĐHHĐ ngày 15 tháng 11 năm 2021 của Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức.

Học hàm, học vị, họ tên

Cơ quan công tác

Chức danh trong
Hội đồng

PGS. TS. Nguyễn Tiến Quang

Trường ĐHSP Hà Nội

Chủ tịch HĐ

TS. Trần Nam Trung

Viện Toán học

UV, Phản biện 1

TS. Lê Xuân Dũng

Trường ĐH Hồng Đức

UV, Phản biện 2

TS. Hồng Đình Hải

Trường ĐH Hồng Đức

Ủy viên

TS. Nguyễn Văn Lương

Trường ĐH Hồng Đức

UV, Thư ký

Xác nhận của người hướng dẫn
Học viên đã chỉnh sửa theo ý kiến của Hội đồng

Ngày 05 tháng 12 năm 2021
(ký, ghi rõ họ tên)

TS. Phạm Thị Cúc


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của tơi, được hồn thành dưới
sự hướng dẫn khoa học của TS. Phạm Thị Cúc. Các kết quả trình bày trong luận
văn là trung thực, nội dung của luận văn khơng trùng lặp với các khóa luận,

luận văn, luận án và các cơng trình nghiên cứu đã cơng bố.

Người cam đoan

Bùi Anh Hiếu

i


LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành tại Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học
Hồng Đức dưới sự hướng dẫn của TS. Phạm Thị Cúc. Tôi xin chân thành bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc và lòng yêu quý tới Cô.
Tôi xin được cảm ơn tới tất cả quý thầy cô trong Khoa Khoa học Tự nhiên,
đặc biệt là các thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Đại số và lý thuyết
số K12 - Trường Đại học Hồng Đức. Mặc dù lớp chỉ 5 học viên nhưng đã cho
tôi những trải nghiệm, không những trong tự học, tập dượt nghiên cứu khoa học
mà còn là những phương pháp luận, thế giới quan khoa học và niềm lạc quan,
bản lĩnh nghiên cứu trong quá trình học tập và rèn luyện. Tôi xin gửi lời cảm ơn
tới phòng QLĐT Sau đại học, Trường Đại học Hồng Đức, đã giúp đỡ tơi hồn
thiện luận văn này.
Mặc dù đã cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi những hạn chế và thiếu
sót. Chúng tơi rất mong nhận được ý kiến góp ý của các nhà khoa học, các thầy
giáo, cô giáo, các anh chị và đồng nghiệp để luận văn được hồn chỉnh hơn.
Trân trọng cảm ơn!
Thanh Hóa, tháng 12 năm 2021

Bùi Anh Hiếu

ii

iii

Mục lục
LỜI CAM ĐOAN

i

LỜI CẢM ƠN

ii

MỞ ĐẦU

1

1

CHÉO HÓA MA TRẬN

3

1.1

Ma trận và các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Các phép toán trên ma trận

. . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.3

Ma trận nghịch đảo

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.4

Hạng của ma trận

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Vectơ riêng, giá trị riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1

Ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.2

Ma trận của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.3

Ma trận đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.4

Vectơ riêng, giá trị riêng . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Chéo hóa ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.1

Ma trận chéo hóa được . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.2

Điều kiện cần và đủ để ma trận chéo hóa được . . . . .

12

1.3.3

Thực hành chéo hóa một ma trận . . . . . . . . . . . .

13

Chéo hóa trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4.1

Không gian Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4.2

Cơ sở trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.4.3

Ma trận trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2

1.3

1.4


1.4.4
2

Phép biến đổi trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP CHÉO HÓA MA TRẬN

19

2.1

Tìm dãy truy hồi tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.1.1

Tính lũy thừa của ma trận vuông . . . . . . . . . . . .

19

2.1.2

Tìm các dãy truy hồi tuyến tính đồng thời cấp 1 với hệ

2.1.3
2.2

số không đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Tìm dãy truy hồi tuyến tính cấp p với hệ số khơng đổi

28

Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 với hệ số là hằng số 32
2.2.1

Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 với hệ số là

hằng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2
2.3

32

Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 với hệ số
hằng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Phân loại đường và mặt bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.3.1

Phân loại đường bậc hai trong mặt phẳng . . . . . . .

39

2.3.2

Phân loại mặt bậc hai trong không gian ba chiều . . .

42

Tài liệu tham khảo

48

iv


MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Ma trận khơng chỉ được ứng dụng rộng rãi trong toán học mà còn trong nhiều
lĩnh vực khoa học khác như vật lý, kinh tế, ... Trong Đại số tuyến tính, ma trận
và ánh xạ tuyến tính có mối liên hệ chặt chẽ với nhau, ma trận là công cụ để
nghiên cứu ánh xạ tuyến tính, và ngược lại. Các giá trị riêng và vectơ riêng của
một ánh xạ tuyến tính có thể được xác định thông qua ma trận. Chúng cũng là
công cụ để đưa ma trận về dạng đơn giản hơn (nếu được), đó là dạng chéo.
Khi cho ma trận của một tự đồng cấu đối với một cơ sở nào đó, ta muốn tìm
một cơ sở mới mà đối với nó ma trận đã cho có dạng đơn giản nhất - dạng chéo,
và ta nói ma trận đã cho chéo hóa được. Nếu một ma trận là chéo hóa được thì
việc nghiên cứu các tính chất (bảo tồn qua quan hệ đồng dạng) của ma trận
này dẫn đến nghiên cứu các tính chất đó trên ma trận chéo, và như vậy vấn đề
trở nên đơn giản hơn rất nhiều.
Việc đưa một ma trận về dạng chéo gọi là chéo hóa ma trận. Chéo hóa ma
trận có nhiều ứng dụng quan trọng, chẳng hạn: tính lũy thừa của ma trận vng,
xác định một lớp dãy truy hồi tuyến tính, giải một lớp hệ phương trình vi phân
tuyến tính, phân loại các đường và mặt bậc hai, . . .
Vì vậy, để tìm hiểu sâu hơn về phép chéo hóa ma trận cũng như một số ứng
dụng của nó, chúng tơi lựa chọn đề tài “Một số ứng dụng của phép chéo hóa ma
trận.”
2. Mục đích của đề tài
Tìm hiểu một số vấn đề lý thuyết chung về ma trận: vectơ riêng, giá trị riêng,
phép chéo hóa ma trận,. . .
Trình bày một số ứng dụng của phép chéo hóa ma trận, đó là: tính lũy thừa

của ma trận vng, tìm các dãy truy hồi tuyến tính, giải hệ phương trình vi phân
cấp 1, phân loại đường và mặt bậc hai.
3. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết: đọc, nghiên cứu, phân tích
và tổng hợp các tài liệu có liên quan đến đề tài; sử dụng các kỹ thuật tính tốn,
chứng minh đặc thù của Đại số tuyến tính để giải các bài tốn có trong đề tài.
1


4. Kết quả đạt được
Trình bày tổng quan một số vấn đề chung liên quan đến phép chéo hóa ma
trận.
Trình bày một số ứng dụng của phép chéo hóa ma trận. Với mỗi ứng dụng,
chúng tôi đưa ra một lớp bài tốn liên quan có thể giải được bằng cách sử dụng
phép chéo hóa ma trận và phương pháp giải cho mỗi loại đó, kèm theo các ví
dụ minh họa.
5. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của luận văn
được chia thành hai chương:
Chương 1: Chéo hóa ma trận.
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số vấn đề về ma trận, ma trận của
ánh xạ tuyến tính, vectơ riêng, giá trị riêng, chéo hóa ma trận, điều kiện cần và
đủ để ma trận chéo hóa được, khơng gian Euclide, cơ sở trực chuẩn, phép biến
đổi trực giao, ma trận trực giao, . . .
Chương 2: Ứng dụng của phép chéo hóa ma trận.
Chương này trình bày một số ứng dụng của phép chéo hóa ma trận: Tính lũy
thừa của ma trận vng, tìm các dãy truy hồi tuyến tính đồng thời cấp 1 với hệ
số khơng đổi, tìm dãy truy hồi tuyến tính cấp p với hệ số khơng đổi, giải hệ
phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng số, phân loại các đường
bậc hai trong mặt phẳng và mặt bậc hai trong không gian ba chiều.

2


3

Chương 1

CHÉO HĨA MA TRẬN
Chương này trình bày một số vấn đề cơ sở chuẩn bị cho nội dung của Chương
2. Đó là: ma trận và các phép tốn trên ma trận, vectơ riêng và giá trị riêng, vấn
đề về chéo hóa ma trận và chéo hóa trực giao. Nội dung của chương này chủ
yếu tham khảo các tài liệu [1], [4] và [5].
1.1
1.1.1

Ma trận và các phép toán trên ma trận
Định nghĩa

Định nghĩa 1.1.1. Cho hai số nguyên dương m,n ta gọi ma trận m hàng (dòng)
n cột với các hệ số trên trường K (K là trường số ) là một bảng gồm m × n phần
tử ai j của K, với 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n được ký hiệu bởi




 a11 a12 . . . a1n 


a


 21 a22 . . . a2n 
A=

 ..
..
..
.. 
 .
.
.
. 


am1 am2 . . . amn
hoặc ta viết A = (ai j )m×n . Ta cũng gọi A là ma trận cấp (cỡ) (m, n), phần tử ai j
là phần tử ở dòng thứ i và cột thứ j.
Nếu m = n thì ma trận A được gọi là ma trận vuông cấp n .
Ma trận khơng, ký hiệu là 0, là ma trận có tất cả các phần tử bằng 0.
Ma trận vuông cấp n mà tất cả các phần tử ngồi đường chính bằng 0 gọi là
ma trận đường chéo. Đặc biệt ma trận đường chéo gọi là ma trận đơn vị nếu


ai j = 1, i = 1, 2, ..., n, ký hiệu In hoặc đơn giản là I nếu không cần nhắc đến cấp
của nó.
Ma trận A = (ai j )n được gọi là ma trận đối xứng (phản đối xứng) nếu At =
A(At = −A) hay ai j = a ji (ai j = −a ji ) với mọi i, j = 1, 2, ..., n.
Hai ma trận A = (ai j )m×n và B = (bi j )m×n được gọi là bằng nhau nếu ai j = bi j
với mọi i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n .
1.1.2

Các phép toán trên ma trận

Phép cộng hai ma trận: Cho hai ma trận cấp m × n là A = (ai j )m×n và
B = (bi j )m×n , ta gọi tổng A + B là một ma trận C cấp m × n có dạng C = (ai j +
bi j )m×n .
Phép nhân ma trận với một số: Tích của ma trận A = (ai j )m×n với một số
λ ∈ K là một ma trận có dạng λ A = (λ .ai j )m×n .
Phép nhân hai ma trận: Cho hai ma trận A = (ai j )m×n và B = (b jk )n×p .
Tích của hai ma trận A và B là một ma trận C = (cik )m×p cấp m × p mà các phần
n

tử cik được xác định bởi cik = ∑ ai j b jk , với i = 1, m, k = 1, p .
j=1

Nếu A là ma trận vng cấp n thì ta có tích của n ma trận A kí hiệu là
A.A...A = An .
Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận: Các phép biến đổi sau đây đối với
ma trận được gọi là các phép biến đổi sơ cấp:
i) Đổi chỗ hai dòng hoặc hai cột của ma trận.
ii) Nhân tất cả các phần tử của một dòng hoặc một cột với một số khác không.
iii) Cộng vào các phần tử của một dòng (hoặc cột) các phần tử tương ứng của
một dòng (cột) sau khi đã nhân với cùng một số nào đó.
1.1.3

Ma trận nghịch đảo

Định nghĩa 1.1.2. Một ma trận vng A cấp n trên trường số K được gọi là khả
nghịch (hay có ma trận nghịch đảo) nếu tồn tại một ma trận vuông B cấp n sao
cho AB = BA = In . Khi đó, ta cũng nói B là ma trận nghịch đảo của A và kí

hiệu B = A−1 .
4


−1

Từ định nghĩa dễ dàng suy ra (A−1 )

= A, (AB)−1 = B−1 A−1

Nếu ma trận vuông A cấp n khả nghịch thì ma trận A−1 là duy nhất. Hơn nữa,
ma trận vuông A cấp n là khả nghịch khi và chỉ khi det(A) ̸= 0 .
Có nhiều phương pháp để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A. Dưới đây,
chúng tơi trình bày phương pháp dùng phép biến đổi sơ cấp.
Giả sử ma trận A vuông cấp n là ma trận khả nghịch, ta tìm ma trận A−1 bằng
phương pháp biến đổi sơ cấp Gauss như sau:
Viết thêm vào ma trận A ma trận In để được ma trận có dạng (A|In ). Dùng
các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận để biến đổi ma trận (A|In ) về dạng (In |B).
Khi đó ma trận B thu được chính là ma trận A−1 cần tìm.




 1 1 2


.
Ví dụ 1.1.3. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A = 
3
0

3




−2 3 0
Giải: Để tìm A−1 , ta xét (A|I3 )

1 1

Ta có: (A|I3 ) = 
3 0

−2 3

1 1 2
3d3 +5d2 =d3 
−→ 
0 −3 −3

0 0 −3

3 0 0
−d3 +d2 =d2 
−→ 
0 −3 0

0 0 −3





2 1 0 0 d −3d =d 1 1 2 1 0 0
 d32+2d11 =d23 




3 0 1 0 −→ 0 −3 −3 −3 1 0



0 0 0 1
0 5 4 2 0 1



1 0 0
3 0 0 −9 6 3
 3d1 +d2 +d3 =d1 




−→
−3 1 0
0 −3 −3 −3 1 0




−9 5 3
0 0 −3 −9 5 3

 1 d →d 
1
1
3
1
−9 6 3  − 31 d2 →d2 1 0 0 −3 2


1
 − 3 d3 →d3 

 −→ 0 1 0 −2 4
1
6 −4 −3


3



5
0 0 1 3 − −1
−9 5 3
3



1
−3 2


4


−1
Vậy ma trận nghịch đảo của A là A = −2
1 .


3


5
3 − −1
3
5


Ngồi ra, người ta có thể tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp sử dụng
phần bù đại số (xem [4]).
1.1.4

Hạng của ma trận

Định nghĩa 1.1.4. Cho A là ma trận cấp m × n . Ta gọi
(i) Định thức con cấp k của A là định thức được suy từ A bằng cách bỏ đi
m − k hàng và n − k cột.

(ii) Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của các định thức con khác 0 của A,
ký hiệu r(A) hoặc rank(A), và quy ước coi hạng của ma trận không là bằng 0.
Trong thực hành, để tìm hạng của ma trận ta có thể dựa vào kết quả sau:
i) Hạng của ma trận không thay đổi qua các phép biến đổi sơ cấp.
ii) Hạng của ma trận bậc thang bằng số dòng khác 0 của nó.
1.2
1.2.1

Vectơ riêng, giá trị riêng
Ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa 1.2.1. Cho X và Y là hai không gian vectơ trên trường K, một ánh
xạ f : X → Y thỏa mãn các điều kiện sau đây được gọi là ánh xạ tuyến tính:
(i) f (u + v) = f (u) + f (v), ∀u, v ∈ X;
(ii) f (αu) = α f (u), ∀u ∈ X, ∀α ∈ K.
Nếu X = Y thì f được gọi là phép biến đổi tuyến tính của X.
Từ định nghĩa dễ dàng suy ra rằng ánh xạ f : X → Y là tuyến tính khi và chỉ
khi f (αu + β v) = α f (u) + β f (v), ∀u, v ∈ X; ∀α, β ∈ K .
Định lý 1.2.2. (Sự xác định ánh xạ tuyến tính) Giả sử B = {e1 , e2 , ..., en } là
một cơ sở của không gian vectơ X và {v1 , v2 , .., vn } là một hệ vectơ tùy tý của
không gian vectơ Y (chúng có thể khơng nhất thiết khác nhau). Khi đó tồn tại
duy nhất một ánh xạ tuyến tính f : X → Y sao cho f (ei ) = vi , ∀i = 1, .., n .
Ký hiệu HomK (X,Y ) là tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính từ khơng gian
vectơ X vào khơng gian vectơ Y . Khi đó HomK (X,Y ) cùng với hai khơng phép
tốn
6


(i) ∀ f , g ∈ HomK (X,Y ), ( f + g)(x) = f (x) + g(x), ∀x ∈ X ;
(ii) (α f )(x) = α f (x), ∀x ∈ X, ∀α ∈ K,

lập thành không gian vectơ trên trường K, và được gọi là không gian các ánh
xạ tuyến tính.
1.2.2

Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa 1.2.3. Cho f : X → Y là một ánh xạ tuyến tính giữa các khơng gian
hữu hạn chiều trên trường K. Giả sử dimX = n, dimY = m, B = {u1 , u2 , ..., un }
và C = {v1 , v2 , ..., vm } lần lượt là các cơ sở tương ứng của X và Y . Biểu diễn các
ảnh f (ui ) qua cơ sở C ta thu được:





f (u1 ) = a11 v1 + a21 v2 + ... + am1 vm






 f (u1 ) = a12 v1 + a22 v2 + ... + am2 vm

.



..



.






 f (u ) = a v + a v + ... + a v
n
mn m
1n 1
2n 2
Khi đó ma trận




 a11 a12 . . . a1n 


a

a
.
.
.
a
2n 
 21 22

Af = 

 ..
..
..
.. 
 .
.
.
. 


am1 am2 . . . amn
được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối với cặp cơ sở (B,C).
Trong trường hợp X = Y và cơ sở B trùng với cơ sở C thì ta nói ma trận A f là
ma trận của phép biến đổi tuyến tính f đối với cơ sở đã cho.
Ví dụ 1.2.4. Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f : P2 [x] → P1 [x] xác định bởi
f (ax2 + bx + c) = (a + b)x + (b + c) đối với cặp cơ sở (E, F) với E = (1; x; x2 )
và F = (1 + x; 2x).
Giải
Giả sử f (ax2 + bx + c) = (a + b)x + (b + c) = α(1 + x) + β (2x)
7









α = b + c
α + 2β = a + b
⇔
⇒




β = a − c
α = b + c
2 
 

 
 1 
1
0
Ta có f (1)[F] =   , f (x)[F] =   , f (x2 )[F] =  
1
1
−
0
2
2



 1 1 0 
Vậy ma trận của f đối với cặp cơ sở (E, F) là A = 
.

1
1
− 0 −
2
2
1.2.3

Ma trận đồng dạng

Trước khi nêu khái niệm hai ma trận đồng dạng, ta xét mối liên hệ giữa các
ma trận của cùng một ánh xạ tuyến tính đối với các cơ sở khác nhau.
Cho khơng gian X cùng với hai cơ sở B = {u1 , u2 , . . . , un } và B′ = {u′1 , u′2 , . . . , u′n },
không gian Y cùng với hai cơ sở C = {v1 , v2 , . . . , vn } và C′ = {v′1 , v′2 , . . . , v′n }.
Giả sử ánh xạ tuyến tính f : X → Y có ma trận đối với các cơ sở (B) và (C) là
A = (ai j )m×n , ma trận đối với cơ sở (B′ ) và (C′ ) là B = (bi j )m×n . Ta tìm mối
liên hệ giữa A và B.
Gọi P, T theo thứ tự là các ma trận chuyển từ cơ sở (B) sang cơ sở B′ và từ
cơ sở (C) sang cơ sở (C′ ): P = (ci j )n , T = (ti j )n .
Gọi X, X ′ theo thứ tự là các ma trận cột của tọa độ vectơ u ∈ Xn đối với các
cơ sở (B), (B′ ). Khi đó ta có X = PX ′ .
Ma trận cột của tọa độ của vectơ ảnh f (u) ∈ Ym đối với cớ sở (C) là AX, đối
với cơ sở (C′ ) là BX ′ .
Ta có AX = T (BX ′ ) = T (BP−1 )X. Từ đó suy ra A = T BP−1 .
Trong trường hợp m = n, Xn ≡ Ym , (B′ ) ≡ (C′ ) và (B) ≡ (C) thì P = T và khi
đó ta có kết quả sau: A = PBP−1 .
Hai ma trận A, B liên hệ với nhau bởi hệ thức A = PBP−1 gọi là hai ma trận
đồng dạng. Ta ký hiệu A ∼
= B.

8

1.2.4

Vectơ riêng, giá trị riêng

Định nghĩa 1.2.5. Cho V là một K-không gian vectơ, V ′ là không gian vectơ
con của V và f là phép biến đổi tuyến tính trong V
i) Ta nói V ′ là khơng gian con bất biến đối với phép biến đổi tuyến tính f nếu
f (α) ∈ V ′ , ∀α ∈ V ′ (hay f (V ′ ) ⊂ V ).
ii) vectơ α khác vectơ không được gọi là một vectơ riêng của f nếu tồn tại
một số k ∈ K sao cho f (α) = kα. Khi đó số k được gọi là giá trị riêng của
f ứng với vectơ riêng α.
iii) Nếu A là ma trận của tự đồng cấu f thì giá trị riêng của f cũng được gọi là
giá trị riêng của ma trận A.
Nhận xét:
i) Mỗi vectơ riêng α ứng với một giá trị riêng k duy nhất. Điều ngược lại
không đúng.
ii) Nếu α là vectơ riêng ứng với giá trị riêng k thì khơng gian con một chiều
sinh bởi α là một không gian con bất biến đối với phép biến đổi tuyến tính
f . Ngược lại, nếu không gian con một chiều V ′ của V là không gian con bất
biến đối với phép biến đổi tuyến tính của V thì mọi vectơ khác khơng của
V đều là vectơ riêng ứng với giá trị riêng k.
iii) Tập hợp tất cả các vectơ riêng ứng với giá trị riêng k của tự đồng cấu f là
một không gian con bất biến của V và được gọi là không gian riêng ứng với
giá trị riêng k.
Định nghĩa 1.2.6. Giả sử A = [ai j ] là ma trận của phép biến đổi tuyến tính f
của khơng gian n chiều đối với cơ sở α1 , . . . , αn . Khi đó ma trận



· · · a1n 
a11 − k a12


 a

a
−
k
·
·
·
a
22
2n 
 21
A − kI = 

 ..
..
.. 
 .
.
···
. 


an1
an2
· · · ann − k

9


được gọi là ma trận đặc trưng của ma trận A. Và định thức |A − kI| là đa thức
bậc n đối với ẩn k, được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A. Một nghiệm
của đa thức đặc trưng được gọi là nghiệm đặc trưng của ma trận A.
Đa thức đặc trưng của A không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở mà chỉ phụ
thuộc vào phép biến đổi tuyến tính f .
Định lý 1.2.7. Số thực k là giá trị riêng của phép biến đổi tuyến tính f khi và
chỉ khi k là nghiệm đặc trưng của f .
Cách tìm vectơ riêng và giá trị riêng của f :
a) Dùng định nghĩa.
b) Dựa vào định lý trên:
• Lập ma trận đặc trưng [A − KI].
• Tìm nghiệm đặc trưng thực: |A − kI| = 0.
• Tìm nghiệm (x1 , x2 , . . . , xn ) khác không của hệ





(a11 − k)x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0






a21 x1 + (a22 − k)x2 + · · · + a2n xn = 0
⇒





···






a x + a x + · · · + (a − k)x = 0
n1 1

n2 2

nn

n

vectơ riêng ứng với k chính là: x1 α1 + x2 α2 + · · · + xn αn .
Ví dụ 1.2.8. Giả sử ma trận:


3 1 −3




3

1
−1




2 −2 0
là ma trận của phép biến đổi tuyến tính f của khơng gian vectơ 3 chiều V đối
với cơ sở α1 , α2 , α3 nào đó. Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của f .

10


Ta có đa thức đặc trưng là









3 − k 1


−3