Nghi¶N cøu v• topologic tr¶n c¡c không gian, làm rª hơn młi li¶n h» giœa c¡c topo tr¶n c¡c không gian, đặc bi»t đłi với c¡c không gian định chun và ti•n hilbert

i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khóa luận, luận
văn, luận án và các cơng trình nghiên cứu đã cơng bố.
Người cam đoan

Lê Thị Hạnh


ii

LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn,tác giả xin chân
thành cảm ơn các thầy cô trường Đại học Hồng Đức, nơi tác giả đã hoàn
thành chương trình cao học dưới sự giảng dạy nhiệt tình và tâm huyết của
các thầy, cô.
Đặc biệt,tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Đỗ Văn Lợi,
người thầy đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình để tác giả có thể hồn
thành luận văn này.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, những người đã
giúp đỡ và chia sẻ với tác giả trong suốt thời gian học tập và hoàn thành
luận văn của mình.

Thanh Hóa, tháng 08 năm 2015

Lê Thị Hạnh


iii

Mục lục
PHẦN MỞ ĐẦU

1

1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

3

1.1

Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Không gian tôpô. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Các tiên đề tách.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4

Không gian định chuẩn.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5

Ánh xạ đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2 KHÔNG GIAN LIÊN HỢP VÀ CÁC TOPOLOGIC LIÊN
QUAN.

9

2.1

9

Trường hợp tổng quát. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1

Khơng gian liên hợp của khơng gian topologic tuyến
tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

9

2.1.2

Vài vấn đề liên quan đến không gian liên hợp thứ hai. 15

2.1.3

Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Trường hợp các không gian định chuẩn và tiền -Hilbert. . . 20
2.2.1

Không gian liên hợp của không gian định chuẩn. . . 20

2.2.2

Không gian liên hợp của không gian Hilbert và tiền
Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.3

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Tài liệu tham khảo

38


1

Phần mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Đại số tuyến tính mà trọng tâm là khơng gian véc tơ và ánh xạ tuyến
tính, cùng với khơng gian tơpơ là hai trong số nhiều học phần trong chương
trình đào tạo cử nhân ngành toán trong hệ thống giáo dục Việt Nam. Các
kiến thức về khơng gian tơpơ mang tính trừu tượng cao và là kiến thức
nền của nhiều môn khoa học. Ánh xạ tuyến tính nói riêng và tốn tử nói
chung chiếm thời lượng lớn trong chương trình đào tạo cử nhân ngành
tốn. Khơng gian tơpơ tuyến tính là cấu trúc kết hợp giữa hai học phần
này, ở đó cung cấp cho người đọc những kiến thức cơ bản nhất về khơng
gian topologic tuyến tính; Khơng gian liên hợp và các tơpơ liên quan; Tốn
tử tuyến tính liên tục giữa các không gian tôpô, cũng như một vài ứng
dụng của chúng. Nghiên cứu về không gian liên hợp và các topologic liên
quan là cần thiết đối với học viên cao học tốn nói chung và cao học tốn
giải tích nói riêng. Đề tài này nhắc lại một số các kiến thức về topologic
trên các không gian, làm rõ hơn mối liên hệ giữa các tôpô trên các không
gian, đặc biệt đối với các không gian định chuẩn và tiền Hilbert. Một số
các tính chất đặc trưng của chúng .
Nội dung chính của luận văn bao gồm hai chương:
Chương 1.Một số kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này chúng tơi trình bày một số các khái niệm, định lý cần
thiết để nghiên cứu nội dung chính .
Chương 2. Khơng gian liên hợp và các topologic liên quan.
Trong chương này chúng tơi trình bày không gian liên hợp và tương


2

quan giữa các topologic liên quan đến không gian liên hợp.Chứng minh

một số kết quả mở rộng, đưa ra một số bài tập và lời giải.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các tính chất đặc trưng của khơng gian liên hợp và các
topologic liên quan.
Chứng minh chi tiết một số định lí, mệnh đề, tính chất và đưa ra một số
bài tập và lời giải .

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài này nghiên cứu về topologic trên các không gian, làm rõ hơn mối
liên hệ giữa các topo trên các không gian, đặc biệt đối với các không gian
định chuẩn và tiền Hilbert. Một số các tính chất đặc trưng của chúng.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu : Khơng gian topologic tuyến tính X, không
gian liên hợp của X, không gian liên hợp của không gian định chuẩn,
không gian liên hợp của không gian Hilbert và tiền Hilbert, topologic
trên các không gian, mối liên hệ giữa chúng.

• Phạm vi nghiên cứu : Mối liên hệ giữa các không gian, mối tương
quan giữa các topologic trên các không gian.
5. Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp chính được sử dụng trong q trình nghiên cứu là tổng
hợp các kiến thức từ các tài liệu khác nhau, đặc biệt tài liệu tham khảo
chính vẫn là tài liệu [1] (Đỗ Văn Lợi, (2014), Bài giảng không gian vecto
topo, ĐH Hồng Đức, Thanh Hóa, 185tr). Từ đó phân tích, so sánh để
làm sáng tỏ vấn đề, rồi trình bày theo hệ thống logic của mình trên cơ sở
có sự định hướng, gợi mở của thầy hướng dẫn.

3

Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

Không gian metric .

Định nghĩa 1.1.1. ([3])Giả sử X là tập hợp tùy ý. Khoảng cách d trong

X là một ánh xạ d: X × X −→ R thỏa mãn các điều kiện
1) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; d(x, y) = 0 ⇔ x = y;
2) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;
3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀x, y, z ∈ X.
Khi đó (X, d)- được gọi là không gian metric.
Định nghĩa 1.1.2. ([3])Cho X là không gian metric, a ∈ X, r > 0 ta gọi
Hình cầu mở tâm a, bán kính r là tập S(a; r) = {x ∈ X : d(a, x) < r} .
Hình cầu đóng tâm a, bán kính r là tập S[a; r] = {x ∈ X : d(a, x) ≤ r} .
Định nghĩa 1.1.3. ([3]) Cho A ⊂ X, x ∈ X
- x được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại hình cầu mở S(x, r) ⊂ A.
- A được gọi là tập mở nếu mọi x ∈ A đều là điểm trong của A.
- A được gọi là tập đóng nếu X\A là tập mở.
- A được gọi là tập lồi nếu với mỗi t ∈ [0; 1] thì tA + (1 − t)A ⊂ A.
- A được gọi là tập cân nếu với mỗi t mà |t| ≤ 1 thì tA ⊂ A.
- Bao lồi của A là tập lồi nhỏ nhất chứa A.Kí hiệu là convA
T
Dễ thấy convA = {K ⊂ E : K ⊃ A, K lồi}.
- A được gọi là bị chặn nếu với mỗi lân cận U của 0 đều tồn tại α > 0

4

sao cho với mọi λ : |λ| > α ta có A ⊂ λU.
- Bao đóng của A, kí hiệu là A, dễ thấy A = A ∪ ∂A, trong đó ∂A là tập
tất cả các điểm biên A.
Định nghĩa 1.1.4. ([3]) G được gọi là lân cận của x nếu G mở chứa x .
Nhận xét. - Điều kiện cần và đủ để tập A ⊂ X là lân cận của x ∈ X
là x là điểm trong của A.
- Hình cầu mở là tập mở, hình cầu đóng là tập đóng.
Định nghĩa 1.1.5. ([3]) Dãy {xn } trong không gian mêtric X được gọi
là hội tụ đến x0 ∈ X nếu

lim d(xn , x0 ) = 0.

x→∞

Khi đó,ta kí hiệu là lim xn = x0 hoặc xn → x0 .
x→∞

Nhận xét. Dãy {xn } hội tụ đến x0 khi và chỉ khi với mọi r>0, tồn tại

n0 ∈ N sao cho
xn ∈ S(x0 , r), ∀n ≥ n0 .
Định nghĩa 1.1.6. ([3]) Giả sử X là không gian metric A, B ⊂ X .

A được gọi là trù mật trong B nếu B ⊂ A.
A được gọi là trù mật khắp nơi trong X nếu A = X .
0

Tập con A được gọi là không đâu trù mật nếu A = Ø.

Định nghĩa 1.1.7. ([3])Không gian mêtric X được gọi là khả ly nếu tồn
tại tập A ⊂ X , A đếm được và A = X.
Định nghĩa 1.1.8. ([3]) Dãy điểm xn trong không gian mêtric X được gọi
là dãy Côsi (dãy cơ bản) nếu với mọi số ε > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho

∀m, n ≥ n0 ta có d(xn , xm ) < ε hay lim d(xn , xm ) = 0.
m,n→∞

Chú ý. Mọi dãy hội tụ đều là dãy cơ bản.
Định nghĩa 1.1.9. ([3])Không gian mêtric X được gọi là đầy đủ nếu mọi
dãy Cơsi trong X đều hội tụ (có giới hạn trong X).


5

Định nghĩa 1.1.10. ([3])
a)Ta nói dãy tập hợp A1 , A2 , ..., An , ... trong không gian mêtric là lồng
nhau nếu A1 ⊃ A2 ⊃ ... ⊃ An ⊃ ....
b) Dãy các tập lồng nhau được gọi là thắt lại nếu dãy các đường kính hội
tụ tới 0.
Định lý 1.1.11. Không gian mêtric X là đầy đủ khi và chỉ khi trong X
mỗi dãy hình cầu đóng lồng nhau và thắt lại đều có một điểm chung duy
nhất.
Định nghĩa 1.1.12. Tập A ⊂ X được gọi là compac nếu mọi dãy {xn } ⊂

A đều chứa một dãy con {xnk } ⊂ {xn } hội tụ đến một điểm thuộc A.
Chú ý. Tập compact là tập đóng, điều ngược lại không đúng.

1.2

Không gian tôpô.

Định nghĩa 1.2.1. ([3])Cho X là một tập hợp khác Ø.Một họ τ các tập
con của X được gọi là một tôpô trên X nếu nó thỏa mãn các tính chất
1) X ∈ τ và Ø ∈ τ,
2) τ đóng kín đối với phép lấy giao hữu hạn,tức là
k
T
nếu A1 , A2 , ..., Ak ∈ τ thì
Ai ∈ τ ;
i=1

3) τ đóng kín đối với phép lấy hợp tùy ý: Nếu Ai ∈ τ, ∀i ∈ I thì

S

Ai ∈ τ.

i∈I

Khi đó, cặp (X, τ ) (hay bản thân tập hợp X ) là không gian tôpô.
Định nghĩa 1.2.2. ([3]) Mỗi tập A ∈ τ được gọi là một tập hợp mở. Phần
bù của tập hợp mở gọi là tập đóng.
Nhận xét : Ø, τ là các tập hợp vừa đóng vừa mở.
Định nghĩa 1.2.3. ([3])Điểm a là điểm trong của của tập hợp A nếu tồn
tại B mở sao cho a ∈ B ⊂ A. Tập hợp mọi điểm trong của tập hợp A
được gọi là miền trong của A, kí hiệu là Int(A).
b) Điểm a được gọi là điểm ngoài của tập hợp A nếu nó là điểm trong của

6

Ac = X \ A. Tập hợp mọi điểm ngoài của tập hợp A được gọi là miền
ngoài của A, kí hiệu là Ext(A).
c) Điểm a được gọi là điểm biên của tập hợp A nếu nó khơng phải là điểm
trong cũng khơng phải là điểm ngồi của A. Tập hợp mọi điểm biên của
tập hợp A được gọi là biên của A và ký hiệu là ∂A.
d) Bao đóng của tập hợp A kí hiệu là A và A = A ∪ ∂A, trong đó ∂A là
tập các điểm biên của tập A.
e) Điểm a được gọi là điểm tụ của tập hợp A nếu mỗi lân cận của điểm a
đều chứa vô số điểm khác nhau của A.
Định nghĩa 1.2.4. ([3]) Cho không gian topologic ( X, τ ). Họ con σ
(không chứa Ø) của τ được gọi là cơ sở của τ hoặc của không gian
( X, τ ), nếu mỗi tập hợp A ∈ τ đều có dạng hợp của một số tập hợp thuộc
S
σ , nghĩa là A =
Ui , Ui ∈ σ , I là tập hợp các chỉ số.
i∈I

Mệnh đề 1.2.5. ([3]) Cho σ là họ nào đó các tập hợp con của tập hợp

X (Ø khơng thuộc σ ). Khi đó σ là cơ sở của một topologic nào đó trên X
khi và chỉ khi nó thỏa mãn 2 điều kiện sau:
a) Mỗi phần tử a ∈ X đều thuộc ít nhất một tập hợp A ∈ σ.
b) Nếu A1 , A2 ∈ σ và a ∈ A1 ∩ A2 thì tồn tại A3 ∈ σ sao cho

a ∈ A3 ⊂ A1 ∩ A2 .
Định nghĩa 1.2.6. ([3]) Cho (X, τ ) là một không gian tôpô, tập V ⊂ X
được gọi là lân cận của x nếu x ∈ V ∈ τ.
Họ ϑ = {V : V là các lân cận của x ∈ X} gọi là cơ sở lân cận của x nếu

với mọi lân cận U của x tồn tại V ∈ ϑ sao cho x ∈ V ⊂ U .
Định nghĩa 1.2.7. ([3]) Dãy điểm {xn } hội tụ tới điểm a hay a là giới
hạn của dãy {xn } (trong không gian topologic (X, τ )) và viết là: xn −→ a
hay limxn = a, nếu với mỗi lân cận U của điểm a đều tồn tại số nguyên
dương n0 sao cho với mọi n ≥ n0 thì xn ∈ U .
Khi trên X có topologic khác nữa thì sự hội tụ theo τ , kí hiệu là: xn −→ a.
τ

−

Định nghĩa 1.2.8. ([3]) Tập A trù mật trong tập B nếu B ⊂ A.
Nếu A trù mật trong khơng gian X thì ta nói A trù mật khắp nơi.


7

Nhận xét : Khi đã có một cơ sở σ của topologic τ thì để chứng minh

xn −→ a, ta chỉ cần chứng minh với mỗi U ∈ σ đều tồn tại n0 sao cho
∀n ≥ n0 đều có xn ∈ U.
Định nghĩa 1.2.9. ([3]) Không gian topologic (X, τ ) được gọi là khả ly
nếu có một tập hợp con đếm được trù mật khắp nơi .
Định nghĩa 1.2.10. ([3]) Cho f là ánh xạ từ không gian topologic (X, τ )
vào khơng gian topologic (Y, θ). Ta nói f liên tục tại điểm a ∈ X nếu với
mỗi lân cận V của điểm b = f (a) ∈ Y đều tồn tại lân cận U của điểm a
sao cho f (U ) ⊂ V .
Ánh xạ liên tục tại mọi điểm được gọi là liên tục trên X.
Khi f là song ánh, f và f −1 cùng liên tục thì ta nói f là đồng phơi .
Định lý 1.2.11. ([3]) a) Nếu (X, τ ) có một cơ sở đếm được thì nó là
khơng gian khả ly.

b) Đối với khơng gian metric thì tính khả ly tương đương với sự tồn tại cơ
sở đếm được.

1.3

Các tiên đề tách.

Định nghĩa 1.3.1. ([4]) a)Ta nói khơng gian (X, τ )thỏa mãn tiên đề tách
thứ nhất hay (X, τ ) là T1 - không gian, nếu với 2 điểm tùy ý khác nhau trong

X đều tồn tại một lân cận chứa điểm này mà khơng chứa điểm kia.
b) Ta nói khơng gian (X, τ ) thỏa mãn tiên đề tách thứ hai hay (X, τ ) là

T2 - không gian, nếu với 2 điểm tùy ý khác nhau a, b trong X đều tồn tại
lân cận U của a và lân cận V của b sao cho U ∩ V = Ø. Ta cịn gọi (X, τ )
là khơng gian Hausdorff.
c) Ta nói khơng gian (X, τ ) thỏa mãn tiên đề tách thứ ba, hay (X, τ ) là

T3 - không gian, nếu với mỗi điểm a ∈ X và tập hợp đóng A 6= Ø khơng
chứa a đều tồn tại các tập mở U, V sao cho a ∈ U, A ⊂ V, U ∩ V = Ø.
(Khi đó ta nói U, V là các lân cận khơng giao nhau của a và A).
d) Ta nói khơng gian (X, τ ) thỏa mãn tiên đề tách thứ tư, hay (X, τ ) là


8

T4 - khơng gian, nếu hai tập hợp đóng khác rỗng khơng giao nhau trong X
ln có hai lân cận tương ứng không giao nhau .
e) Không gian thỏa mãn T1 và T3 được gọi là khơng gian chính quy.
f) Không gian thỏa mãn T1 và T4 được gọi là không gian chuẩn tắc .

1.4

Không gian định chuẩn.

Định nghĩa 1.4.1. ([1]) Khơng gian tuyến tính X được gọi là khơng gian
định chuẩn, nếu được xét cùng với một ánh xạ ν : X −→ R+ biến mỗi

x ∈ X thành số thực không âm ν(x) = ||x|| thỏa mãn các điều kiện sau:
1) ||x|| = 0 ⇔ x = 0.
2) ||αx|| = |α| ||x||, ∀α ∈ R, x ∈ X.
3) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ X (Bất đẳng thức tam giác).
Khi đó ánh xạ ν được gọi hàm định chuẩn hay gọi là chuẩn trên X .
Số ||x|| được gọi là chuẩn hay độ lớn của phần tử x.
Khi đó (X, ||.||) là khơng gian định chuẩn.
Không gian định chuẩn là không gian metric với khoảng cách

d(x, y) = ||x − y||.
Không gian định chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach.
Nhận xét: Nếu (X, ||.||) là khơng gian định chuẩn thì mọi khơng gian
con tuyến tính Y của nó đều là khơng gian định chuẩn (với chuẩn thu hẹp
từ X lên Y .) Nếu (X, ||.||) là khơng gian Banach thì mọi khơng gian con
đóng của nó đều là khơng gian Banach.
Khơng gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn với : ||x|| =

1.5

√

< x, x >.

Ánh xạ đẳng cấu

Ánh xạ f từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y (Với
chuẩn cùng được ký hiệu là ||.||) được gọi là đẳng cấu nếu nó là song ánh
tuyến tính và bảo toàn chuẩn (||f (x)|| = ||x||, ∀x ∈ X ).


9

Chương 2
KHÔNG GIAN LIÊN HỢP VÀ
CÁC TOPOLOGIC LIÊN QUAN.
2.1
2.1.1

Trường hợp tổng qt.
Khơng gian liên hợp của khơng gian topologic tuyến
tính.

Ta quan tâm đến các phiếm hàm tuyến tính liên tục. Dễ thấy một phiếm
hàm tuyến tính là liên tục khi và chỉ khi nó liên tục tại một điểm (ví dụ
điểm 0).
Ký hiệu X ∗ là tập hợp mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên khơng
gian topologic tuyến tính X . Khi đó X ∗ là khơng gian tuyến tính với phép
cộng:

(f + g) (x) = f (x) + g (x) .
và phép nhân phiếm hàm với số:

(αf ) (x) = αf (x) .
Ta gọi X ∗ là không gian liên hợp của X .
Với mỗi tập A 6= Ø và bị chặn trong X và với mỗi số ε > 0, đặt tập hợp:

U (A, ε) = {f ∈ X ∗ : |f (x)| < ε, ∀x ∈ A}
Ký hiệu σ0∗ là hệ gồm mọi tập hợp dạng (2.1)

(2.1)


10

Định lý 2.1.1. ([1]) Với mỗi phiếm hàm tuyến tính f trên không gian
topologic X , các điều kiện sau là tương đương:
1) f liên tục.
2) Kerf đóng.
3) Kerf khơng trù mật khắp nơi.
4) Tồn tại lân cận U của 0 sao cho tập hợp f (U ) bị chặn (trong R).
Chứng minh. a) Từ 1) =⇒ 2) hiển nhiên vì {0} đóng trong R và nghịch
ảnh của tập đóng qua ánh xạ liên tục cũng là tập đóng.
Cách khác: Lấy x ∈ Kerf . Khi đó,tồn tại {xn } ⊂ kerf sao cho xn → x.
Do f liên tục nên f (xn ) = 0 → f (x) = 0. Vậy x ∈ kerf.
Vậy

kerf = Kerf.

b) Từ 2) =⇒ 3) Lấy a ∈ X \ kerf khi đó có ít nhất một lân cận V của 0
sao cho (a + V ) ∩ kerf = Ø nên kerf không trù mật trong X.
c) Từ 3) =⇒ 4) Giả sử kerf khơng trù mật khắp nơi. Khi đó có ít nhất
một lân cận V của 0 (V luôn chứa một lân cận cân bằng U của 0) sao cho

(a + U ) ∩ kerf = Ø. Vậy f (a + x) 6= 0, ∀x ∈ U .
Giả sử U không bị chặn. Khi đó, với mỗi α > 0 đều tồn tại xα ∈ U sao
cho

β ≡ |f (xα )| ≥ α. Do U cân bằng nên [−xα ; xα ] ⊂ U .Ta suy ra

[−β; β] ⊂ f (U ). Vậy f (U ) = R. Do đó f (a + U ) = f (a) + R = R.
Do đó trong a + U sẽ có một điểm tại đó f nhận giá trị bằng 0; điều này
mâu thuẫn với (a + U ) ∩ kerf = Ø. Vậy f bị chặn trên U , tức là có 4).
d) Từ 4) =⇒ 1) Giả sử tồn tại lân cận U của 0 sao cho tập hợp f (U ) bị
chặn. Khi đó f (U ) ⊂ (−R; R), R là một số dương nào đó.
Lấy {xn } hội tụ tới 0. Với mỗi k nguyên dương, chọn nk sao cho xnk ∈ k1 U .
Khi đó ta có f (xnk ) ∈ f ( k1 U ) ⊂ (− Rk ; Rk ) nên f (xnk ) → 0 = f (0).
Dễ thấy f (xn ) → f (0), (n → ∞). Vậy f liên tục.
Định lý 2.1.2. ([1])Tồn tại duy nhất một topologic tuyến tính τ ∗ trên X ∗ ,
trong đó σ0∗ là cơ sở lân cận của 0 (phiếm hàm 0).
Chứng minh. Ở đây chỉ chứng tỏ τ ∗ thỏa mãn tiên đề T1 . Giả sử ϕ ∈

X ∗ , ϕ 6= 0. Khi đó sẽ tồn tại a ∈ X : ϕ(a) 6= 0.


11

Với A = {a} và ε = ||ϕ(a)|| thì lân cận :

U (A, ε) = {f ∈ X ∗ : |f (x) < ε| , ∀x ∈ A} = {f ∈ X ∗ : |f (a)| < ε}
của phiếm hàm 0 khơng chứa ϕ, từ đó suy ra sự thỏa mãn tiên đề T1 .
Định nghĩa 2.1.3. τ ∗ được gọi là topologic mạnh trên X ∗ .
Với τ ∗ bản thân X ∗ có khơng gian liên hợp của nó, ký hiệu là : X ∗∗ .

Bây giờ , với mỗi bộ f1 , f1 , ..., fn ∈ X ∗ và mỗi số ε > 0, xét tập hợp :

U (f1 , f2 , ..., fn ; ε) = {x ∈ X : |fi (x)| < ε, i = 1, .., n}

(2.2)

0

Ký hiệu: σ0 là hệ gồm mọi tập hợp dạng (2.2) (Với những n nguyên dương
khác nhau).
Định lý 2.1.4. Tồn tại duy nhất một topologic tuyến tính τw trên X , trong
0

đó σ0 là cơ sở lân cận của 0.
Chứng minh. Xét họ


W (f1 , f2 , ..., fn ; ε) = x ∈ X : |fi (x)| < ε; f1 , f2 , ..., fn ∈ X ∗ ; i = 1, n; ε > 0
0

Họ này là lồi, cân, hút và αW (f1 , f2 , ..., fn ; ε) ∈ σ0 , ∀α ∈ R.
0

0

∀A, B ∈ σ0 , ∃C ∈ σ0 : C ⊂ A ∩ B . Lấy x ∈ X bất kỳ.


Xét họ: W (x, f1 , f2 , ..., fn ; ε) = y ∈ X : |fi (x − y)| < ε, i = 1, n .
0

Khi đó họ này có tính chất giống như σ0 . Suy ra có tơ pơ yếu nhất τw trên

X (duy nhất) để họ trên là cơ sở của các điểm, đồng thời tơ pơ này tương
thích với phép tốn của X .
Định nghĩa 2.1.5. Topologic τw được gọi là topologic yếu trên X . Sự hội
tụ theo τw trên X được gọi là hội tụ yếu. Kí hiệu: xn −→ a hoặc xn −→ a.
τw

w

Sự hội tụ theo topologic τ cho ban đầu trên X thì gọi là hội tụ mạnh.
Kí hiệu : xn −→ a hoặc xn −→a.
τ

Định lý 2.1.6. ([1]) (Điều kiện hội tụ yếu).

xn → a khi và chỉ khi với mỗi f ∈ X ∗ đều có f (xn ) → f (a).
w


12

Chứng minh. Chỉ cần chứng minh rằng xn → 0 khi và chỉ khi với mỗi
w

∗

f ∈ X đều có: f (xn ) → 0.
Điều kiện cần : Giả sử xn → 0. Khi đó, với mỗi U (f1 , f2 , ..., fk ; ε) đều tồn

w

tại N sao cho khi n ≥ N thì xn ∈ U (f1 , f2 , ..., fk ; ε). Đặc biệt với mỗi

U (f ; ε), f ∈ X ∗ , ta có |f (xn )| < ε. Từ đó suy ra f (xn ) → 0.
Điều kiện đủ : Giả sử với mỗi f ∈ X ∗ đều có

f (xn ) → 0 .

Ta phải chứng minh rằng xn → 0.
w

Xét các phiếm hàm f1 , f2 , ..., fk ∈ X ∗ . Từ giả thiết với mỗi i = 1, k đều tồn
tại ni sao cho khi n ≥ ni thì |fi (xn )| < ε . Vậy với N = max {n1 , ..., nk }
và n ≥ N thì

xn ∈ U (f1 , f2 , ..., fk ; ε) . Suy ra xn → 0 .
w

Định lý 2.1.7. ([1]) τw ⊂ τ
Chứng minh. Ta chứng minh τw ⊂ τ.
Ta cần chứng minh mỗi tập mở trong τw cũng là tập mở trong τ. Vì mỗi

f ∈ X ∗ là liên tục nên mỗi tập hợp dạng {x ∈ X : |fi (x)| < ε} là mở trong
X theo topologic mạnh (cho ban đầu). Do đó, tập hợp dạng (2.2):
n
T
U (f1 , f2 , ..., fn ; ε) =
{x ∈ X : |fi (x)| < ε} cũng mở, tức là thuộc τ .
i=1

Từ đó suy ra τw ⊂ τ.
Định lý 2.1.8. ([1])Giả sử Xw = (X, τw ). Khi đó:
(i)Xw∗ = X ∗ ;
(ii)(Xw )w = Xw .
Chứng minh. (i) Vì τw ⊂ τ nên mỗi phiếm hàm liên tục theo τw thì liên
tục theo τ , tức là Xw∗ ⊂ X ∗ .
Giả sử f ∈ X ∗ . Lấy B 6= Ø mở trong R và a ∈ f −1 (B) khi đó b = f (a) ∈ B
và tồn tại ε > 0 sao cho (b − ε; b + ε) ⊂ B.
Xét U (f ; ε). Đây là tập hợp dạng (2.2)
Lấy x ∈ a + U (f ; ε) khi đó |f (x − a)| < ε hay f (x) ∈ (b − ε; b + ε).
Vậy a + U (f ; ε) là lân cận của a và bao hàm trong f −1 (B).
Như vậy f −1 (B) mở; từ đó suy ra tính liên tục của f. Do đó mọi phiếm


13

hàm tuyến tính thuộc X ∗ đều liên tục theo τw , tức là : Xw∗ ⊃ X ∗ .
Vậy Xw∗ = X ∗
(ii) Vì X và Xw có cùng khơng gian liên hợp nên có cùng hệ cơ sở lân cận
của 0 gồm các tập hợp dạng (2.2), và vì vậy :(Xw )w = Xw
Định lý 2.1.9. Tập hợp A ⊂ X bị chặn yếu (tức là bị chặn trong Xw ) khi
và chỉ khi với mỗi f ∈ X ∗ đều có f (A) bị chặn trong R.
Chứng minh. Thuận: Giả sử A 6= Ø, bị chặn. Khi đó,với mỗi tập hợp dạng

(2.2), và do đó với mỗi U (f ; ε), đều có A ⊂ λU (f ; ε) với λ > 0 đủ lớn.
Như vậy A ⊂ λ {x ∈ X : |f (x)| < ε} = {y ∈ X : |f (y)| < λε} Do đó, với

x ∈ A thì |f (x)| < λε. Nghĩa là f (A) ⊂ (−λε; λε) tức f (A) bị chặn.
Đảo : mọi f ∈ X ∗ , f (A) bị chặn. Lấy V là lân cận của 0 theo tơ pơ

yếu, khi đó có u1 , ..., uk ∈ X ∗ , ε > 0 : W (u1 , ..., uk ; ε) ⊂ V . Theo giả thiết

ui (A), i = 1, .., k bị chặn, ∃ M > 0 : sup {|ui (x)| : x ∈ A, i = 1, .., k} ≤ M
Suy ra

ε
MA

∈ W (u1 , ..., uk ; ε). Vậy A bị chặn yếu.

Định lý 2.1.10. Trong không gian vô hạn chiều X mỗi lân cận yếu của

0 đều chứa một không gian con vô hạn chiều.
Chứng minh. Mỗi lân cận của 0 đều chứa những tập hợp dạng:

U (f1 , ..., fn ; ε) = {x ∈ X : |fi (x)| < ε, i = 1, 2, ..., n} .

(2.2)

Ta chứng tỏ chính tập hợp U (f1 , ..., fn ; ε) này chứa cả một không gian con
vô hạn chiều.
Thật vậy, U (f1 , ..., fn ; ε) chứa tập hợp :

A = {x ∈ X : fi (x) = 0, i = 1, ..., n} ≡

n
\

Kerfi .

i=1

Vì mỗi Kerfi là một không gian con vô hạn chiều nên A là không gian
con vô hạn chiều.
Vậy mỗi lân cận yếu của 0 đều chứa một không gian con vô hạn chiều.
Định lý 2.1.11. [1] Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong khơng gian
topologic tuyến tính lồi cục bộ X và a ∈ X \ C. Khi đó:

∃f ∈ X ∗ , α ∈ R : f (a) < α ≤ f (x), ∀x ∈ C

(2.3)


14

Chứng minh. Lấy lân cận U của 0 sao cho (a + U ) ∩ C = Ø.
Tồn tại lân cận lồi cân V sao cho V + V ⊂ U
Khi đó, V + C lồi và mở, đồng thời (a + V ) ∩ (V + C) = Ø.
Với b ∈ V +C, thì W = −b+V +C là lân cận lồi của 0 , (a−b+V )∩W = Ø.
Xét phiếm hàm µW như sau :

µW (x) = inf {r > 0 : x ∈ rW }
( µW nói chung khơng phải phiếm hàm Minkowski vì W khơng đối xứng).
Ký hiệu Y là không gian con sinh bởi a−b(6= 0), tức là Y = {λ(a − b), λ ∈ R},
xác định phiếm hàm f1 trên Y bởi công thức:

f1 (λ(a − b)) = λµW (a − b)

(2.4)

Rõ ràng f1 (y) ≤ µW (y), ∀y ∈ Y, tức là f1 là phiếm hàm tuyến tính bị
chặn bởi µW trên Y . Thác triển phiếm hàm này lên toàn bộ X sao cho
điều kiện chặn không bị vi phạm (và vẫn giữ nguyên ký hiệu f1 ), ta được

f1 liên tục (do µW liên tục và do(2.4) ).
Cũng từ (2.4) ta có µW (x) ≤ 1 khi và chỉ khi |f1 (x)| ≤ 1 . Chú ý rằng khi

λ đủ gần với 1 và nhỏ hơn 1 thì λ(a−b) ∈ a−b+V trong khi λ(a−b) 6∈ W,
nên µW (a − b) ≥

1
λ

> 1, và do đó f1 (a − b) > 1.

Lấy β = f1 (b) + 1, ta sẽ có f1 (a) > β ≥ f1 (x), ∀x ∈ C .
Với f = −f1 và α = −β, ta sẽ có (2.3).
Định lý 2.1.12. Trong khơng gian topologic tuyến tính X , A ⊂ X thì :

a) Cl(A) ⊂ Clw(A)
trong đó Clw(A) ký hiệu phép lấy bao đóng theo topologia yếu.
b) Nếu A là tập hợp lồi trong không gian topologic tuyến tính X (lồi cục
bộ) thì :

Clw(A) = Cl(A)

Chứng minh. a) Lấy x ∈ Cl(A) ⇒ ∃ {xn } ⊂ A : xn −→ x. Lấy V là lân
cận của 0 theo tơ pơ yếu, khi đó :

V ⊃ W (f1 , ..., fn ; ε) = {x ∈ X, fi ∈ X ∗ : |fi (x)| < ε, i = 1, 2, ..., n}

15

Do đó, tồn tại n0 đủ lớn để với mọi n ≥ n0 ta có

xn − x ∈ W (f1 , ..., fn ; ε) ⇒ xn −→ x ⇒ x ∈ Clw (A).
W

Cách 2. Ký hiệu {Fi , i ∈ I} là họ gồm mọi tập hợp chứa A và đóng theo
topologic có sẵn trên X .
Vì τw ⊂ τ nên mỗi tập hợp đóng theo τw đều đóng theo τ ; do đó hệ gồm
mọi tập hợp chứa A và đóng theo τw là hệ con của {Fi , i ∈ I}, tức là hệ

0
0
Fi , i ∈ I với I ⊂ I .
T
T
Ta có
Fi ⊂
Fi , nhưng điều này có nghĩa là Clw(A) = Cl(A).
i∈I

i∈I 0

b) (i) Lấy a∈Cl(A). Áp dụng Định lý (2.1.11), ta có f ∈ X ∗ và α ∈ R
sao cho: f (a) < α ≤ f (x), ∀x ∈ Cl(A).
Xét V = {x ∈ X : f (x) ≤ α}. Đây là tập hợp mở theo τw , đồng thời chứa

a và không giao nhau với f (Cl(A)), nên cũng không giao nhau với f (A).
Vậy a∈Clw (A). Từ đó suy ra Clw (A) ⊂ Cl(A).
Mặt khác theo a) ta được Clw (A) ⊃ Cl(A).Vậy Clw(A) = Cl(A).
Nhận xét: Nếu {xn } là dãy điểm trong A (nhớ rằng A lồi và X lồi cục
bộ) và xn −→ a (không nhất thiết thuộc A) thì trong X cũng tồn tại dãy
w
 0
0
xn sao cho xn −→ a.
τ

2.1.2

Vài vấn đề liên quan đến không gian liên hợp thứ hai.

Nhận xét: X ∗ là khơng gian topologic tuyến tính với topologic mạnh τ ∗
(ứng với sự hội tụ mạnh) nên cũng có khơng gian liên hợp X ∗∗ .
Ngoài ra, trong định nghĩa 2.1.5 , X được thay bởi X ∗ , ta cũng có trên

X ∗ một topologic yếu τw∗ và tương ứng là sự hội tụ yếu; đó là topologic
0

xác định bởi cơ sở lân cận σ0∗ của 0 ∈ X ∗ gồm mọi tập hợp dạng:

U (f1∗ , ..., fn∗ ; ε) = {f ∈ X ∗ : |fi∗ (f )| < ε, i = 1, .., n} , (f1∗ , ..., fn∗ ∈ X ∗∗ )
(2.5)
Định nghĩa 2.1.13. Ta nói trên khơng gian X có đủ nhiều các phiếm
hàm tuyến tính liên tục, nếu với mỗi x 6= 0 ∈ X đều tồn tại một phiếm
hàm tuyến tính liên tục ϕ : ϕ (a) 6= 0.

16

Định lý 2.1.14. a) Giả sử ánh xạ Φ xác định bởi: với x ∈ X thì ảnh của
nó là phiếm hàm tuyến tính Φx trên X ∗ cho bởi cơng thức Φx (f ) = f (x).
Khi đó với mỗi x ∈ X thì Φx ∈ X ∗∗ , tức Φx là phiếm hàm tuyến tính liên
tục trên X ∗ .
b) Nếu trên X có đủ nhiều phiếm hàm tuyến tính liên tục thì:

Φ : X −→ X ∗∗
Φ(x) = Φx
là đơn cấu tuyến tính.
Chứng minh. a) ∀α, β ∈ R; ∀f, g ∈ X ∗ ta có:

Φx (αf + βg) = αf (x) + βg(x) = αΦx (f ) + βΦx (g).
Vậy Φx là phiếm hàm tuyến tính trên X ∗ .
Tiếp theo, giả sử fn → 0.
0

Khi đó với mỗi ε > 0 đều tồn tại n0 sao cho với mọi n ≥ n0 đều có:

fn ∈ U ({x} , ε) = {f ∈ X ∗ : |f (x)| < ε}
|fn (x)| < ε hay |Φx (fn )| < ε.

tức

Từ đây suy ra Φx (fn ) → 0. Vậy với mỗi x thì Φx liên tục (theo biến f ).
b) Ta có: Φ(αx + βy)(f ) = Φαx+βy (f ) = f (αx + βy)

= αf (x) + βf (y) = αΦ(x)(f ) + βΦ(y)(f ), ∀f ∈ X ∗ .

nên Φ(αx + βy) = αΦ(x) + βΦ(y). Vậy Φ là phiếm hàm tuyến tính.
0

0

Tiếp theo, giả sử x 6= x . Khi đó x − x 6= 0 . Vì trên X có đủ nhiều phiếm
0

hàm tuyến tính liên tục nên tồn tại f ∈ X ∗ sao cho f (x − x ) 6= 0 hay
0

0

f (x) 6= f (x ) , tức là Φ(x )(f ) 6= Φ(x)(f ) .
0

Từ đây suy ra Φ(x ) 6= Φ(x) hay Φ là đơn ánh.
Định nghĩa 2.1.15. Topologic τw ∗ gọi là topologia dưới yếu, và sự hội tụ
tương ứng gọi là hội tụ dưới yếu (còn gọi là hội tụ ∗ yếu). Nếu dãy {fn }
hội tụ dưới yếu tới f ta viết: fn → f.
w∗

Định lý 2.1.16. (Điều kiện hội tụ dưới yếu).

fn → f khi và chỉ khi fn (x) → f (x), ∀x ∈ X .
w∗


17

Chứng minh. ⇒) fn → f, mỗi x ∈ X, W (x; ε) = {f ∈ X ∗ : |f (x)| < ε} ,
w∗
∗

là lân cận của 0 ∈ X , với ε > 0 bất kỳ. Khi đó có n0 đủ lớn để:

∀n ≥ n0 , fn − f ∈ W (x; ε) ⇒ fn (x) → f (x).
⇐) Lấy W là lân cận bất kì của 0 ∈ X ∗ , ta có
x1 , x2 , ..., xm ∈ X, ε > 0 : W (x1 , x2 , ..., xm ; ε) ⊂ W .
Do giả thiết có n0 đủ lớn , ∀n ≥ n0 : fn − f ∈ W (x1 , x2 , ..., xm ; ε) .
Vậy fn → f.
w∗

2.1.3

Bài tập.

Bài tập 2.1.17. ([1]) Xét tính liên tục của phiếm hàm f (x) = x(1) trên
C[0;1] nếu coi C[0,1] là:
a) không gian tiền-Hilbert với tích vơ hướng: < x, y >=

R1

x(t)y(t)dt

0

b) khơng gian định chuẩn với : ||x||1 = max |x(t)| .
t∈[0;1]

c) không gian con của R

[0;1]

(không gian mọi ánh xạ từ [0;1] vào R )

Giải. Trên C[0;1], xét phiếm hàm f (x) = x(1)
Đây là phiếm hàm tuyến tính vì ∀x, y ∈ C[0, 1], ∀α, β ∈ R ta có

f (αx + βy) = (αx + βy)(1) = αx(1) + βy(1) = αf (x) + βf (y).
a) Ta chứng tỏ f không liên tục tại 0 (hàm đồng nhất bằng 0).
Với mỗi n nguyên dương, xét hàm: xn (t) = tn .
R1
1
2
→ 0.Vậy {xn } → 0 theo chuẩn ứng
Ta có: ||xn || = (xn (t))2 dt = 2n+1
0

với tích vơ hướng đã cho.
Mặt khác, f (xn ) = xn (1) = 1 không nhận f(0) làm giới hạn.
Vậy f không liên tục tại 0, tức là không liên tục.
b) Giả sử xn → 0. Khi đó dãy {xn (t)} hội tụ đều theo t tới hàm 0, nên
||.||1

nó hội tụ tại t=1, tức là f (xn ) → 0. Vậy phiếm hàm tuyến tính f liên tục.
c) Ở đây xn → 0 có nghĩa là: xn (t) → 0, ∀t ∈ [0; 1].
Khi đó xn (1) → 0 hay f (xn ) → 0. Vậy f liên tục .
Bài tập 2.1.18. Cho X là khơng gian tuyến tính (chưa có topologic), X

0

là một không gian con của không gian mọi phiếm hàm tuyến tính trên X .


18

Ký hiệu ∂ là topologic xác định bởi cơ sở lân cận của 0 gồm các tập hợp
dạng :
(1)

0

U (f1 , f2 , ..., fn ; ε) = {x ∈ X : |fk (x)| < ε} với f1 , f2 , ..., fn ∈ X .

Ta đã biết rằng ∂ là topologia tuyến tính lồi cục bộ trên X .
0

Chứng minh rằng với topologia này thì X =X ∗ .
0

Chứng minh. Với tô pô trên là tô pô yếu nhất để các hàm của X liên tục.
0

Do đó X ⊆ X ∗ .
Lấy f ∈ X ∗ , có lân cận :

U (f1 , f2 , ..., fn ; ε) = {x ∈ X : |fk (x)| < ε} :|f (x)| ≤ 1, ∀x ∈ W (f1 , f2 , ..., fn ; ε)
0

với f1 , f2 , ..., fn ∈ X .
n
T
0
kerfi ⊂ kerf. Vậy f là tổ hợp tuyến tính củaf1 , f2 , ..., fn ∈ X
Suy ra
i=1

0

hay f ∈ X .Ta có điều phải chứng minh.
Bài tập 2.1.19. ([1]) Trên C [0; 1] với ||x|| = max |x(t)| xét phiếm hàm:
t∈[0;1]

Z1

f (x) =

1
(t − )x(t)dt.
2

0

a) Chứng tỏ f tuyến tính liên tục và tìm chuẩn của nó.
b) Tìm điều kiện của các hệ số a, b sao cho x(t) = aet + be−t ∈ Kerf.
Chứng minh. a) Dễ thấy

1 f tuyến tính,

f liên1 tục vì: