Cơ sở wavelet trong không gian l2 (r)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
LƯƠNG DUY TIẾU
CƠ SỞ WAVELET
TRONG KHÔNG GIAN L
2
(R)
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
MÃ SỐ: 60.46.36
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn
Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Công trình được hoàn thành tại
Trường Đại học Khoa Học-Đại học Thái Nguyên
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn
Phản biện 1:

Phản biện 2:

Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn tại:
Trường Đại học Khoa Học-Đại học Thái Nguyên
Tháng 8 năm 2011
Có thể tìm hiểu tại Thư viện Trường Đại học Khoa Học
hoặc Trung tâm Học Liệu Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chương 1. CƠ SỞ TRỰC CHUẨN TRONG KHÔNG
GIAN L

2
(R) 5
1.1 Không gian L
2
(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2. Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Khái niệm cơ sở wavelet trong không gian L
2
(R) . . . . . 8
1.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2. Định lí Balian-Low . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3. Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Chương 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG CƠ
SỞ SÓNG NHỎ TRONG KHÔNG GIAN L
2
(R) 17
2.1 Xây dựng phép chiếu trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1. Phép chiếu trong I = [0, +∞) . . . . . . . . . . . 18
2.1.2. Phép chiếu trên đoạn I = [α, β] . . . . . . . . . . 20
2.2 Dùng các hàm sin và cosin . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.1. Trường hợp I = [0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2. Trường hợp I = [α, β] . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.3. Cơ sở trực chuẩn trong L
2
(R) . . . . . . . . . . . 31
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2

Mở đầu
Trong những năm gần đây nhiều vấn đề về khoa học, công nghệ thông
tin, truyền thông và các ngành kỹ thuật khác phát triển mạnh mẽ. Lợi
ích của xử lý số trong việc truyền các tín hiệu ngày càng được khẳng
định rõ ràng. Nó cũng được ứng dụng ở nhiều dạng khác nhau với những
hiệu quả đặc biệt là trong các ngành khoa học chứ không phải chỉ là một
môn học. Với mức độ phát triển ngày càng cao về cơ bản, về phương
pháp và khả năng ứng dụng nó đã lôi cuốn được nhiều kỹ sư, các nhà
toán học cũng như các nhà vật lý quan tâm nghiên cứu.
Khái niệm wavelet đã được đưa vào từ những năm 70 của thế kỷ
trước và ngày càng có nhiều ứng dụng trong khoa học, truyền thông,
công nghệ thông tin và các ngành kỹ thuật khác. Việc nghiên cứu khái
niệm cơ sở wavelet trên đường thẳng có ý nghĩa quan trọng trong lý
thuyết và ứng dụng thực tế.
Những hệ cổ điển của các cơ sở trực chuẩn trong không gian L
2
([0, 1))
bao gồm các hàm mũ

e
2πimx
: m ∈ Z

và tập hợp các hàm lượng giác
thích hợp (xem Định lý 2.2.1 bên dưới). Mô hình của những cơ sở này
trong không gian L
2
([α, β)), −∞ < α < β < +∞, sẽ có được bằng phép
tịnh tiến và phép co giãn thích hợp của các hàm số trên. Để tìm ra được
cơ sở trực chuẩn trong không gian L

2
(R) chúng ta có thể xét R là hợp
của các nửa khoảng liên tiếp sau:
[α
j
, α
j+1
), j ∈ Z, −∞ < < α
j
< α
j+1
< < +∞,
và xem xét từng cơ sở trên cho mỗi một không gian L
2
([α
j
, α
j+1
)), mở
rộng những phần tử của cơ sở bởi các hàm đặc trưng của [α
j
, α
j+1
) và
sau đó lấy tổng của các hàm có được. Cơ sở trực chuẩn này, tuy nhiên
tạo ra "hiệu ứng cạnh không mong muốn" tại điểm cuối α
j
khi chúng
ta cố gắng biểu diễn một hàm theo cơ sở đó.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

3
Để khắc phục tình trạng đó, chúng ta cần xét đến các hàm trơn,
những hàm này thay thế cho hàm đặc trưng của [α
j
, α
j+1
) với j ∈ Z.
Trong trường hợp có sự phân chia đơn giản
R =

n∈N
[n, n + 1)
thì chúng ta nghiên cứu hệ có dạng:

g
m.n
(x) = e
2πimx
g(x − n) : m, n ∈ Z

.
Đối với mỗi hệ của loại này (thường được gọi là cơ sở Gabor), để trở
thành một cơ sở trực chuẩn trong không gian L
2
(R) thì g không được
"quá trơn" hoặc có giá có kích thước nhỏ (very localized).
Điều này được trình bày rõ ràng trong phần 1.2.2 bởi Định lí Balian-
Low. Tuy nhiên nếu các cơ sở thích hợp gồm các hàm sin và cosin được
sử dụng, thì sẽ có nhiều tập hợp của hàm g trơn một cách tuỳ ý và "very
localized", có thể được sử dụng để có được những cơ sở trực chuẩn trong

không gian L
2
(R).
Điều này sẽ được thực hiện trong phần 2.1, phần mà chúng ta sẽ trình
bày lí thuyết về phép chiếu trơn, được giới thiệu bởi Coifman và Meyer.
Lý thuyết này cho phép chúng ta "liên kết" những cơ sở thích hợp với
khoảng [α
j
, α
j+1
). Một loạt các ví dụ của việc xây dựng này đã được đưa
ra, nhưng phần lớn những ví dụ liên quan đến mục đích của chúng ta là
những ví dụ tạo ra wavelet trực chuẩn ψ ∈ L
2
(R) như:
ψ
i,k
(x) = 2
j
2
ψ(2
j
x − k), j, k ∈ Z
là cơ sở trực chuẩn trong không gian L
2
(R).
Tương tự như vậy, trong phần 2.2 chúng ta sẽ xây dựng nên wavelet
Lemanrié và Meyer.
Ngoài phần Mở đầu, phần Kết luận, luận văn gồm 2 chương.
Chương 1 Cơ sở trực chuẩn trong không gian L

2
(R)
Trong chương này trình bày các khái niệm cơ bản về không gian L
2
(R),
biến đổi Fourier trong không gian L
2
(R), khái niệm cơ sở sóng nhỏ trong
không gian L
2
(R) bao gồm định nghĩa, Định lí Balian-Low và các ví dụ.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
Chương 2 Một số phương pháp xây dựng cơ sở sóng nhỏ trong
không gian L
2
(R)
Trong chương này trình bày hai phương pháp, đó là xây dựng phép chiếu
trơn và dùng các hàm sin và cosin. Tài liệu tham khảo chính của luận
văn là tài liệu [7].
Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình
của PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn-Viện Toán học, Viện Khoa học và Công
nghệ Việt Nam. Từ đáy lòng mình, em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đối với sự quan tâm, động viên và sự chỉ dạy, hướng dẫn tận tình
đầy tâm huyết của Thầy.
Tôi xin trân trọng cảm ơn các Thầy, các Cô giảng viên Trường Đại
học Khoa học, phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học, khoa Toán-Tin
Trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên. Đồng thời tôi xin gửi
lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao Học Toán K3A Trường Đại học Khoa
học-Đại học Thái Nguyên đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học

tập và làm luân văn này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Sở Giáo dục & Đào tạo tỉnh Bắc Ninh, Ban
Giám hiệu trường THPT Lương Tài, các đồng nghiệp trường THPT
Lương Tài-Bắc Ninh đã tạo điều kiện cho tôi được học tập và hoàn
thành kế hoạch học tập và đặc biệt xin cảm ơn vợ chồng em Hoàng
Tuyết Mai-Cử nhân Anh ngữ đã giúp tôi trình bày luận văn này.
Do thời gian có hạn nên luận văn mới chỉ dừng lại ở vịêc tìm hiểu,
tập hợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu đã có theo
chủ đề đặt ra. Trong quá trình viết luận văn cũng như trong quá trình
xử lý văn bản chắc chắn không thể tránh khỏi sai sót, rất mong nhận
được những ý kiến đóng góp của Thầy cô và bạn đọc quan tâm đến luận
văn này.
Thái Nguyên, ngày 22 tháng 05 năm 2011
Tác giả
Lương Duy Tiếu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1
CƠ SỞ TRỰC CHUẨN TRONG
KHÔNG GIAN L
2
(R)
1.1 Không gian L
2
(R)
1.1.1. Các khái niệm cơ bản
Trước hết chúng ta giới thiệu một số kí hiệu.
R ký hiệu là "đường thẳng thực",
T là vòng tròn đơn vị trong một mặt phẳng phức, mà có thể được xác
định bởi khoảng [−π,π), mặc dù thỉnh thoảng chúng ta sử dụng khoảng
[−

1
2
,
1
2
) hoặc [0,1); và Z sẽ biểu thị tập hợp của các số nguyên.
Tích trong của các hàm f và g được xác định là:
< f, g >=

f(x)g(x)d(x),
ở đó tích phân được lấy trên R hoặc T, chúng ta có bất đẳng thức
Schwarz’s
|< f, g >| ≤ f
2
g
2
,
trong đó f
2
= (

|f|
2
)
1
2
là chuẩn của f trong L
2
.
Bất đẳng thức Schwarz’s cho phép chúng ta chứng minh bất đẳng

thức Minkowski’s:
f + g
2
≤ f
2
+ g
2
.
Chúng ta nói rằng hai hàm f và g là trực giao nếu < f, g >= 0, kí hiệu
f⊥g. Một dãy các hàm số {f
n
}
n∈Z
là một dãy trực chuẩn nếu
< f
m
, g
n
>= δ
m,n
,
trong đó
δ
m,n
=

1, khi n = m ,
0, khi n = m.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6

Một ví dụ tiêu biểu của dãy trực chuẩn trên T = [−π, π) là

1
√
2π
e
n

n∈Z
khi e
n
(x) = e
inx
.
Cho một hệ trực chuẩn {f
n
: n ∈ Z} và một hàm f, chúng ta xác định
hệ số Fourier của f với {f
n
: n ∈ Z} sẽ là
c
k
=< f, f
k
>, k ∈ Z.
Một câu hỏi cơ bản mà chúng ta sẽ nghiên cứu để xác định khi nào và
trong tình huống nào, điều này đúng với
f =

k∈Z

c
k
f
k
. (1.1)
Khi f
k
(x) = e
ikx
, k ∈ Z, f ∈ L
2
(T), phép biểu diễn (1.1) là hợp lí trong
L
2
định chuẩn. Nhìn chung, đây là một trường hợp mà chúng ta nói rằng
{f
k
: k ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn trong L
2
(T). Đẳng thức (1.1) là một
công thức được xây dựng lại và nó là cơ sở cho nhiều ứng dụng của lí
thuyết về wavelet. Cho một hàm f (một tín hiệu hoặc một âm thanh)
chúng ta có thể lập mã cho nó bằng các hệ số {c
k
}
k∈Z
. Đẳng thức (1.1)
cho phép ta xây dựng lại tín hiệu đó từ những hệ số c
k
và cơ sở đã sử

dụng khi lập mã. Những cơ sở đặc biệt là cơ sở của wavelet, tái tạo lại
một cách hiệu quả hơn so với những cơ sở khác. Với mỗi hệ trực chuẩn
{f
n
: n ∈ Z}, chúng ta có bất đẳng thức Bessel’s

k∈Z
|c
k
|
2
≤ f
2
2
.
Hơn thế nữa, nếu hệ đó là một hệ cơ sở thì chúng ta có đẳng thức. Ngược
lại, nếu một hệ trực chuẩn {f
n
: n ∈ Z} thỏa mãn

k∈Z
|c
k
|
2
= f
2
2
(1.2)
với mọi f ∈ L

2
(T), thì hệ đó là một cở sở trong L
2
(T).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
1.1.2. Biến đổi Fourier
Trong R chúng ta có một lý thuyết "tương tự". Biến đổi Fourier của
một hàm f ∈ L
1
(R) ∩ L
2
(R) được xác định bởi

f(ξ) =
+∞

−∞
f(x)e
−iξx
dx
Chúng ta sẽ nói rằng x là biến thời gian có thể thay đổi được và ξ được
xem như là biến tần số của sự thay đổi.
Biến đổi ngược Fourier là
∨
g
(x) =
1
2π
+∞


−∞
g(ξ)e
iξx
dξ
và nếu chúng ta áp dụng nó cho g =

f, thì chúng ta có được f; đó là
(

f)
∨
= f. Với các định nghĩa này, Định lý Plancherel khẳng định rằng
< f, g >=
1
2π


f, g. (1.3)
Biến đổi Fourier mở rộng đến mọi hàm f ∈ L
2
(R) và toán tử
f →
1
√
2π

f là unita. Khi f

tồn tại trong L

2
thì

f

(ξ) = iξ

f(ξ). (1.4)
Phép tính tích phân này có thể được chứng minh bằng những công thức
+∞

−∞
f

(x)g(x)dx = −
+∞

−∞
f(x)g

(x)dx. (1.5)
là hợp lí khi f, g ∈ L
2
(R) và f

g, fg

∈ L
1
(R). Trong trường hợp

f, g, f

, g

∈ L
2
(R), điều đó có thể chứng minh được bằng sử dụng (1.3)
và (1.4).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
Khái niệm mà sẽ được sử dụng trong nhiều chứng minh là điểm
Lebesgue. Giả sử f là một hàm đo được và là hàm khả tích, thì điểm x
0
được gọi là điểm Lebesgue của f khi và chỉ khi
lim
δ→0
+
1
2δ
x
0
+δ

x
0
−δ
|f(x) − f(x
0
)|dx = 0.
Theo định lí về phép tìm đạo hàm Lebesgue thì hầu hết mọi điểm x

0
là
điểm Lebesgue. Chúng ta có thể tra cứu [Rud] về định lí đặc biệt này
cũng như những kết quả khác trong định lí về độ đo Lebesgue.
Ba toán tử đơn giản sau trên các hàm số được xác định trên R đóng
một vai trò quan trọng trong lý thuyết: Phép tịnh tiến bởi h, τ
h
, được
xác định bởi
(τ
h
f)(x) = f(x − h),
phép co giãn bởi r>0, ρ
r
, được xác định bởi
(ρ
r
f)(x) = f(rx)
và phép nhân bởi e
imx
. (Đôi khi chúng ta xét chúng như là một toán tử
biến điệu).
1.2 Khái niệm cơ sở wavelet trong không gian L
2
(R)
Một trong những mục đích chính của chúng ta là xây dựng các cơ sở
trực chuẩn trong không gian L
2
(R) bằng cách áp dụng những toán tử
trên vào một hàm nào đó trong không gian L

2
(R). Điều quan tâm của
chúng ta chính là những cơ sở wavelet.
1.2.1. Định nghĩa
Hai toán tử đầu tiên được áp dụng cho những cơ sở wavelet được sinh
bởi một hàm thích hợp. Nói một cách chính xác hơn, một wavelet trực
chuẩn trên R là một hàm ψ ∈ L
2
(R) sao cho {ψ
j,k
: j, k ∈ Z} là cơ sở
trực chuẩn của L
2
(R), trong đó
ψ
j,k
(x) = 2
j
2
ψ(2
j
x − k), j, k ∈ Z.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
Ta thấy ψ
j,k
đã được chuẩn hóa, vì thế
ψ
j,k


2
= ψ
2
= 1 với mọi j, k ∈ Z
Ví dụ 1:
Giả sử
ψ(x) =



1, nếu 0 ≤ x <
1
2
,
−1, nếu
1
2
≤ x < 1,
0, trường hợp còn lại.
Khi đó ψ là một wavelet trực chuẩn trong không gian L
2
(R). Nó được
gọi là wavelet Haar. Rất đơn giản để chứng minh rằng {ψ
j,k
: j, k ∈ Z}
là một hệ trực chuẩn trong không gian L
2
(R).
Ví dụ 2:
Ta chọn ψ sao cho


ψ(ξ) = χ
I
(ξ), với: I = [−2π, −π] ∪ [π, 2π], trong
đó χ
I
là hàm đặc trưng của tập hợp I, tức là
χ
I
(x) =

1 nếu x ∈ I
0 nếu x /∈ I.
Chúng ta sẽ chỉ ra ψ là một wavelet trực chuẩn trong không gian L
2
(R).
Một phép tính đơn giản cho chúng ta thấy
(ψ
j,k
)
∧
(ξ) = 2
−
j
2

ψ(2
−j
ξ)e
−i2

−j
kξ
.
Với j = l, đẳng thức này chỉ ra rằng phần giao của giá (ψ
j,k
)
∧
và (ψ
l,m
)
∧
có độ đo là 0; do đó
< ψ
j,k
, ψ
l,m
>=
1
2π
< (ψ
j,k
)
∧
, (ψ
l,m
)
∧
>= 0, với j = l.
Khi j = l ta có thể viết:
< ψ

j,k
, ψ
l,m
> =
1
2π
2
−j

R




ψ(2
−j
ξ)



2
e
i2
−j
(m−k)ξ
dξ
=
1
2π



−π
−2π
e
i(m−k)η
dη +

2π
π
e
i(m−k)η
dη

= δ
k,m
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Để chứng minh hệ này là một cơ sở thì ta cần chứng minh (1.2). Theo
Định lý Plancherel và sự thay đổi biến số cho phép chúng ta viết

j,k∈Z
|f, ψ
j,k
|
2
=

j,k∈Z
2

j
4π
2





R

f(ξ)

ψ(2
−j
ξ)e
i2
−jkξ
dξ




2
=

j∈Z
2
j
2π


k∈Z





I

f(2
j
µ)
e
ikµ
√
2π
dµ




2
.
Bây giờ chúng ta dùng hệ

1
√
2π
e
ikµ
: k ∈ Z


là một cơ sở trực chuẩn của
không gian L
2
(R) (thực tế là tương đương với tính trực chuẩn của hệ
tương tự trên đoạn [0, 2π]).
Ta viết:

j,k∈Z
|f, ψ
j,k
|
2
=

j∈Z
2
j
2π





I
ˆ
f(2
j
µ)





2
dµ
=
1
2π

j∈Z

R
χ
I
(2
−j
ξ)



ˆ
f(ξ)



2
dξ
=
1
2π




ˆ
f



2
2
= f
2
2
,
do

j∈Z
χ
I
(2
−j
ξ) = 1, với hầu hết ξ ∈ R.
Điều này chỉ ra rằng ψ là một wavelet trực chuẩn trong không gian
L
2
(R).
1.2.2. Định lí Balian-Low
Ta sẽ xét việc tạo ra cơ sở trực chuẩn từ một hàm số nào đó bằng
phép tịnh tiến và phép nhân với một hàm số.
Ví dụ, một cơ sở trong không gian L

2
(R) là như sau: Giả sử g = χ
[0,1]
và
g
m,n
(x) = e
2πimx
g(x − n) với m, n ∈ Z.
Không quá khó để nhân ra rằng {g
m,n
: m, n ∈ Z} là một cơ sở trực
chuẩn của không gian L
2
(R). Tiến sĩ D. Gabor ([Gab]) đã xem xét kiểu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
hệ này vào năm 1946 và ông đề xuất việc sử dụng nó (g ∈ L
2
(R)) cho
mục đích truyền thông. Đối với một hàm g tổng quát thì định lí sau đây
sẽ đưa ra các điều kiện mà g phải thỏa mãn để hệ {g
m,n
: m, n ∈ Z} là
một cơ sở trực chuẩn.
Định lý 1.2.1. (Balian-Low)
Giả sử g ∈ L
2
(R) và g
m,n

(x) = e
2πimx
g(x − n), m, n ∈ Z.
Nếu {g
m,n
: m, n ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn trong không gian L
2
(R)
thì
+∞

−∞
x
2
|g(x)|
2
dx = +∞ hoặc
+∞

−∞
ξ
2
|g(ξ)|
2
dξ = +∞.
Chứng minh.
Chúng ta đưa ra các toán tử Q và P, được xác định trên không gian
S

gồm các hàm suy rộng tăng chậm với

(Qf)(x) = xf(x) và (P f)(x) = −if

(x).
Sự liên quan của các toán tử đối với định lí này là
+∞

−∞
|Qg(x)|
2
dx =
+∞

−∞
x
2
|g(x)|
2
dx
+∞

−∞
|P g(x)|
2
dx =
1
2π
+∞

−∞
ξ

2
|g(ξ)|
2
dξ,
Các công thức cuối là hệ quả của (1.3) và (1.4). Vì thế chúng ta cần
phải thấy rằng cả (Qg) và (P g) không thể cùng thuộc L
2
(R).
Giả sử cả (Qg) và (P g) đều thuộc L
2
(R). Chúng ta sẽ thấy rằng điều
này dẫn đến mâu thuẫn, và từ điều này định lí được chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
Ta có:
< Qg, P g >=

m,n∈Z
< Qg, g
m,n
>< g
m,n
, P g >, (1.6)
< Qg, g
m,n
>=< g
−m,−n
, Qg > với mọi m, n ∈ Z (1.7)
và < P g, g
m,n

>=< g
−m,−n
, P g > với mọi m, n ∈ Z. (1.8)
Từ đẳng thức (1.6),(1.7) và (1.8) suy ra
< Qg, P g >=< P g, Qg > (1.9)
Nhưng (1.9) là không đúng nếu Pg và Qg thuộc L
2
(R). Thật vậy, chúng
ta có thể áp dụng tích phân từng phần công thức (1.5) để có được
< Qg, P g > =

+∞
−∞
xg(x)

−ig

(x)

dx
= −i

+∞
−∞
{g(x) + xg

(x)}g(x)dx
= −i < g, g > + < P g, Qg > .
Từ g, g = g
2

2
= g
0,0

2
2
= 1, chúng ta có được
< Qg, P g >= −i+ < P g, Qg >,
điều này trái ngược với (1.9).
Vì thế định lí được chứng minh nếu chúng ta thiết lập (1.6), (1.7) và
(1.8). Từ Qg, P g ∈ L
2
(R) và {g
m,n
: m, n ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn
chúng ta có:
< Qg, P g > =<

m,n∈Z
< Qg, g
m,n
> g
m,n
, P g >
=

m,n∈Z
< Qg, g
m,n
>< g

m,n
, P g >,
điều này chứng minh (1.6).
Để chứng minh (1.7) thì hãy quan sát n < g, g
m,n
>= 0 với mọi
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
m, n ∈ Z. Điều này rõ ràng đúng với n = 0, còn nếu n = 0, thì g = g
0,0
là trực giao với g
m,n
. Do đó,
< Qg, g
m,n
> =< Qg, g
m,n
> −n < g
m,n
, P g >
=

+∞
−∞
g(x)(x − n)g(x − n)e
−2πimx
dx
=

+∞

−∞
g(y + n)(y)g(y)e
−2πim(y+n)
dy =< g
−m,−n
, Qg >,
chúng ta đã có (1.7).
Để chứng minh (1.8) chúng ta sử dụng tích phân từng phần công thức
(1.5) để có được
< P g, g
m,n
> = −i

+∞
−∞
g

(x)g(x − n)e
−2πimx
dx
= i

+∞
−∞
g(x){ − 2πimg(x − n) + g

(x − n)}e
−2πimx
dx
= 2πmδ

m,0
δ
0,n
+

+∞
−∞
g(y + n){−ig

(y)}e
−2πimy
dy
=< g
−m,−n
, P g > .
1.2.3. Các ví dụ
Ví dụ 1.2.1. Cho g = χ
[0,1)
khi đó {g
m,n
: m, n ∈ Z} là một cơ sở trực
chuẩn trong không gian L
2
(R); trong trường hợp này tích phân đầu tiên
theo định lí Balian-Low là hữu hạn, nhưng tích phân thứ hai là vô hạn,
vì
ξ
2



(χ
[0,1)
)
∧
(ξ)


2
=

2 sin(
ξ
2
)

2
Ví dụ 1.2.2. Cho g(x) =
sin(πx)
πx
≡ sinc(x), khi đó {g
m,n
: m, n ∈ Z} là
một cơ sở trực chuẩn trong không gian L
2
(R), ta thấy
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
(χ
[0,1)
)

∧
(ξ) = e
−i
ξ
2
sin(
ξ
2
)
ξ
2
= e
−
ξ
2
sin c(
ξ
2π
).
Trong trường hợp này, tích phân đầu tiên theo định lí Balian-Low sẽ
là vô hạn.
Ví dụ 1.2.3. Nếu g ∈ L
2
(R) và
g
m,n
(x) = e
imw
0
x

g(x − nt
0
) (1.10)
với w
0
t
0
= 2π, thì định lí Balian-Low vẫn đúng. Để thấy được thì toán
tử U được xác định bởi Ug(x) = (2πw
−1
0
)
1
2
.g(2πw
−1
0
x) là unita trong
L
2
(R) và
Ug
m,n
(x) = e
2πimx
Ug(x − n)
khi 2πw
−1
0
= t

0
. Định lí này cho chúng ta biết nếu w
0
t
0
= 2π, thì cơ sở
được đưa ra bởi (1.10) không đồng thời có giá compact và định vị tốt về
thời gian và tần số.
Ví dụ 1.2.4. Nếu b(x) là đủ trơn và có giá compact thì Định lí Balian-
Low chỉ ra cho ta thấy rằng hệ
{b
m
(x)}
m∈Z
=

e
2πimx
b(x)

m∈Z
sẽ không tạo ra một cơ sở trực chuẩn bằng cách tịnh tiến các phần tử
của hệ bởi các số nguyên. Điều này dễ dàng nhận thấy do sự giảm ở vô
cực của biến đổi Fourier của b, đó là một hệ quả của độ trơn của b. Nếu
chúng ta xét một trường hợp cục bộ hơn, chúng ta có thể tìm thấy một
"hàm hình chuông" b(x) trơn và có giá compact mà
{b
m
(x)}
m∈Z

=

e
2πimx
b(x)

m∈Z
là một hệ trực chuẩn, chẳng hạn trong L
2
(0, 1)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Ví dụ giả sử b là một hàm số xác định trên R với supp(b) ⊆ [−ε, 1 + ε

],
khi ε + ε

≤ 1, ε, ε

> 0 và b(x) ≥ 0. Thật dễ để tìm thấy các điều về b
để {b
m
: m ∈ Z} là một hệ trực chuẩn. Ý tưởng này là sử dụng một "đối
số gập" để thu được các mối quan hệ trực giao
< e
2πim(.)
b, e
2πiπn(.)
b >= δ
m,n

trên đoạn [0, 1] :
δ
m,n
=< e
2πim(.)
b, e
2πin(.)
b >
=

1+ε

−ε
b
2
(x)e
2πi(m−n)x
dx
= (

0
−ε
+

ε

0
+

1−ε

ε

+

1
1−ε
+

1+ε

1
){b
2
(x)e
2πi(m−n)x
}dx.
Trong tích phân đầu tiên chúng ta thực hiện thay đổi các biến số
y = 1 + x; Trong tích phân cuối cùng, chúng ta sử dụng sự thay đổi của
các biến y = x − 1. Do đó chúng ta có được
δ
m,n
=

ε

0

b
2
(x) + b

2
(1 + x)

e
2πi(m−n)x
dx
+

1−ε
ε

b
2
(x)e
2πi(m−n)x
dx
+

1
1−ε

b
2
(x) + b
2
(x − 1)

e
2πi(m−n)x
dx.

Đó là hàm f có giá trị b
2
(x) + b
2
(1 + x) trên đoạn [0, ε

], b
2
(x) trên
[ε

, 1 −ε] và b
2
(x) + b
2
(x −1) trên [1 − ε, 1] có hệ số Fourier là

f(k) = 0
nếu k = 0 và

f(0) = 1. Bây giờ thì đã trở nên dễ dàng hơn, nếu các mối
quan hệ trực giao được thiết lập, thì b phải thỏa mãn:
b
2
(x) + b
2
(1 + x) = 1 nếu x ∈ [0, ε

]
b

2
(x) = 1 nếu x ∈ [ε

, 1 −ε]
b
2
(x) + b
2
(x − 1) = 1 nếu x ∈ [1 −ε, 1]



(1.11)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Điều này có nghĩa là (1.11) là điều kiện cần và đủ để

e
2πimx
b(x)

m∈Z
trở thành một hệ trực chuẩn trong không gian L
2
(0, 1). Định lí Balian-
Low cho chúng ta thấy rằng nếu chúng ta chọn hàm g(x) như "hàm hình
chuông trơn" thì phép tịnh tiến bởi số nguyên sẽ không tạo ra được một
cơ sở trực chuẩn trong không gian L
2
(R). Trong chương tiếp theo chúng

ta sẽ thấy rằng nếu thay thế các hàm mũ e
2πimx
bằng các hàm sin và
cosin thích hợp thì chúng ta có thể có được những cơ sở như vậy.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
Chương 2
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY
DỰNG CƠ SỞ SÓNG NHỎ
TRONG KHÔNG GIAN L
2
(R)
2.1 Xây dựng phép chiếu trơn
Chúng ta sẽ thấy rằng chúng ta có thể xây dựng một hàm số trơn
liên kết với đoạn [0, 1], theo cách mà hệ
√
2b(x − k) sin(
2j + 1
2
π(x − k)), k, j ∈ Z
là một cơ sở trực chuẩn trong không gian L
2
(R). Trong thực tế, chúng
ta sẽ thấy rằng đối với mỗi số k cố định (k ∈ Z), thì tập hợp
{
√
2b(x − k) sin(
2j + 1
2
π(x − k)) : j ∈ Z}

là một cơ sở trong một không gian con đóng H
k
của không gian L
2
(R),
và L
2
(R) sẽ là tổng trực giao của H
k
. Nói chung, chúng ta có thể xây
dựng được "hàm hình chuông" trơn thích hợp, phù hợp với khoảng hữu
hạn I = [α, β), nó có thể nhân lên bởi các hàm sin và cosin thích hợp
để có được một cơ sở trực chuẩn của một không gian con H
k
của không
gian L
2
(R). Theo cách này nếu chúng ta có:
−∞ < ··· < α
k−1
< α
k
< α
k+1
< ··· < +∞,
thì cơ sở của các không gian H
I
k
(I
k

= [α
k
, β
k
)) tạo ra một hệ đầy đủ các
không gian con trực giao của L
2
(R).
Hệ được xây dựng như vậy không phải là một hệ wavelet, nhưng nó
có thể được dùng để phân tích một hàm tổng quát trong không gian L
2
và hơn thế nữa chúng ta sẽ thấy nó có thể được sử dụng để xây dựng
nên wavelet như thế nào?
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
2.1.1. Phép chiếu trong I = [0, +∞)
Chúng ta bắt đầu với trường hợp đặc biệt I = [0, +∞) và mục đích
của chúng ta là xây dựng nên một "hàm hình chuông" trơn mà "xấp xỉ"
χ
[0,+∞)
. Vì phép chiếu bất kì là lũy đẳng (không thay đổi sau khi nó được
lũy thừa lên) thì phép nhân bởi một số sẽ đưa ra một phép chiếu chỉ khi
hàm số đó có các giá trị 0 hoặc 1 hầu như ở khắp mọi nơi trên R; Điều
này chỉ ra rằng phép chiếu mà chúng ta đang tìm kiếm không thể được
đưa ra một cách đơn giản bằng phép nhân bởi một hàm trơn. Ta sẽ tìm
một hàm cộng tính không âm ρ ∈ C
+∞
, như vậy sup p(ρ) ⊆ [ − ε, +∞)
với ε > 0 và giống như χ
[0,+∞)

thỏa mãn ρ(x) + ρ(−x) = 1, x = 0 và
một hàm lấy giá trị thực t(x) sao cho:
(P f)(x) = ρ(x)f(x) + t(x)f(−x)
là một phép chiếu. Một phép tính đơn giản, dựa theo tính chất P là lũy
đẳng và tự liên hợp, cho chúng ta đẳng thức
t(x) = ±

ρ(x)ρ(−x).
Viết s =
√
ρ, ta có công thức
(P f)(x) = s(x)[s(x)f(x) ±s(−x)f(−x)].
Thực tế, s sẽ không còn là giá trị thực nữa, nếu chúng ta đưa ra toán tử
P =P
0,ε
, được xác định bởi:
(P f)(x) ≡ (P
0,ε
f)(x) = s(x)[s(x)f(x) ± s(−x)f(−x)] (2.1)
với
|s(x)|
2
+ |s(−x)|
2
= 1. (2.2)
Rất dễ dàng để nhận thấy rằng đó là một phép chiếu trực giao. Để thấy
được điều này chúng ta cần chỉ ra rằng P là lũy đẳng (P
2
= P) và tự
liên hợp (P

∗
= P ).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
Trên thực tế,
(P
2
f)(x) = s(x)[s(x)(P f)(x) ±s(−x)(P f)(−x)]
= s(x)[|s(x)|
2
s(x)f(x) ± |s(x)|
2
s(−x)f(−x)
± |s(−x)|
2
s(−x)f(−x) + |s(−x)|
2
s(x)f(x)]
= s(x)[s(x)f(x) ± s(−x)f(−x)] = (Pf)(x),
và
< P
∗
f, g > =< f, P g >
=

+∞
−∞
f(x)s(x)[s(x)g(x) ± s(−x)g(−x)]dx
=


+∞
−∞
(f(x)s(x)s(x)g(x) ± f(−x)s(−x)s(x)g(x))dx
=

+∞
−∞
s(x)[s(x)f(x) ± s(−x)f(−x)]g(x)dx =< Pf, g >.
Chúng ta sẽ giả sử s là hàm lấy giá trị thực. Chúng ta hãy xây dựng
một hàm trơn s(x) thỏa mãn (2.2). Chọn ψ là một hàm chẵn C
+∞
trên
R và có giá trên [−ε, ε], ε > 0, sao cho

ε
−ε
ψ(x)dx =
π
2
.
Giả sử θ(x) =

x
−∞
ψ(t)dt và hãy chú ý:
θ(x) + θ(−x) =

x
−∞
ψ(t)dt +


−x
−∞
ψ(t)dt
=

x
−∞
ψ(t)dt +

+∞
x
ψ(−t)dt
=

x
−∞
ψ(t)dt +

+∞
x
ψ(t)dt =
π
2
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Đặt s(x) ≡ s
ε
(x) = sin(θ(x)) và c(x) ≡ c

ε
(x) = cos(θ(x)), chúng ta có:
s(−x) = sin(θ(−x)) = sin(
π
2
− θ(x))
= cos(θ(x)) = c(x).
Do đó s
2
(x) + s
2
(−x) = sin
2
(θ(x)) + cos
2
(θ(x)) = 1, và (2.2) thỏa mãn
Hình 2.1 : Đồ thị hàm số s
ε
và c
ε
Như vậy chúng ta đã có được phép chiếu, P
+
0,ε
và P
−
0,ε
, phù hợp với
khoảng [0, +∞) và tương ứng với sự lựa chọn + hoặc − trong (2.1).
Chúng ta đồng thời cũng có những phép chiếu tương tự
(P

0,ε

+,−
f)(x) = c
ε

(x)[f(x) ± c
ε

(−x)f(−x)]
phù hợp với khoảng (−∞, 0], khi ε

> 0.
2.1.2. Phép chiếu trên đoạn I = [α, β]
Bây giờ chúng ta muốn xây dựng những hình chiếu trơn trên một
đoạn tổng quát
I = [α, β], −∞<α < β < +∞
Chúng ta làm điều này bằng phép tịnh tiến τ
h
f(x) = f(x − h) đã được
giới thiệu ở phần đầu và đặt
P
α
= τ
α
P
0
τ
−α
và P

β
= τ
β
P
0
τ
−β
,
trong đó chúng ta tam bỏ các chỉ số phụ và chỉ số mũ ε, ε

, +, −. Mỗi
một toán tử này sẽ là lũy đẳng và tự liên hợp khi P
0
và P
0
là những hình
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
chiếu trực giao. Do đó P
α
và P
β
cũng là những hình chiếu trực giao. Sử
dụng (2.1), chúng ta có công thức:
(P
α
f)(x) = (τ
α
P
0

τ
−α
f)(x)
= (P
0
τ
−α
f)(x − α)
= s
ε
(x − α)[s
ε
(x − α)f(x) ± s
ε
(α −x)f(2α − x)]. (2.3)
Tương tự như vậy ta có:
(P
β
f)(x) = (τ
β
P
0
τ
−β
f)(x)
= (P
0
τ
−β
f)(x − β)

= c
ε

(x − β)[c
ε

(x − α)f(x) ± c
ε

(β − x)f(2β − x)]. (2.4)
Ta thấy 2α −x và x là đối xứng đối với α (tức là, chúng nằm ở phía đối
diện và cách đều α).
Chúng ta nói rằng một hàm số g là chẵn, đối với γ ∈ R nếu
g(x) = g(2γ − x) với mọi x ∈ R.
Nếu g là một hàm chẵn đối với α, thật dễ dàng để nhận thấy rằng
P
α
(gf) = g(P
α
f) khi g ∈ L
+∞
(R) và f ∈ L
2
(R);
đó chính là phép nhân bởi g giao hoán với P
α
. Tương tự như vậy, nếu g
là chẵn đối với β, từ (2.4) ta suy ra
P
β

(gf) = g(P
β
f).
Đối với một đoạn tổng quát I = [α, β] ta chọn ε, ε

> 0 sao cho α + ε ≤
β − ε

và ta nhận thấy
P
α
P
β
f = χ
[α−ε,α+ε]
P
α
f + χ
[α+ε,β−ε

]
f + χ
[β−ε

,β+ε

]
P
β
f.

= P
β
P
α
f. (2.5)
Để có được nó, ta có
P
α
f = P
α
χ
[α−ε,α+ε]
f + P
α
χ
[α+ε,+∞]
f.
= χ
[α−ε,α+ε]
P
α
f + χ
[α+ε,+∞]
f. (2.6)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
Chúng ta sử dụng χ
[α−ε,α+ε]
là chẵn đối với α và giao hoán với P
α

. Tương
tự, ta có
P
β
f = P
β
χ
[−∞,β−ε

]
f + P
β
χ
[β−ε,β+ε

]
f.
= χ
[−∞,β−ε

]
f + χ
[β−ε

,β+ε

]
P
β
f. (2.7)

Bây giờ áp dụng P
β
vào đẳng thức đầu tiên và P
α
vào đẳng thức thứ
hai để có được kết quả mong muốn. Khi P
α
giao hoán với P
β
thì toán
tử
P
I
f ≡ P
[α,β]
f = P
α
P
β
f = P
β
P
α
f. (2.8)
là một phép chiếu trực giao bị chặn trên L
2
(R).
Ta nhận thấy P
I
≡ P

[α,β]
phụ thuộc vào α, β, ε, ε

và các dấu mà ta
chọn tại α, β. Vì vậy, nếu α, β, ε và ε

là cố định thì việc chọn các dấu
cho ta 4 phép chiếu.
Cho biểu thức P
I
≡ P
[α,β]
, cái mà khác với cái đã nêu trong (2.8) đã thu
được bằng cách đưa ra hàm số b(x) = s
ε
(x − α)c
ε

(x − β).
Chúng ta coi b = b
I
như là một "hàm hình chuông" và phù hợp với
đoạn [α, β]. Quan sát thấy b phụ thuộc vào α, β, ε và ε

. Bằng cách tịnh
tiến đồ thị của b
ε
và b
ε


ở Hình vẽ 2.1 chúng ta thu được đồ thị của hàm
"hàm hình chuông" và phù hợp với đoạn [α, β]:
Hình 2.2 : Đồ thị của "hàm hình chuông" b trên đoạn [α, β]
Thật dễ dàng để chứng minh những tính chất cơ bản sau đây của
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
23
b(x)
i)supp(b) ⊆ [α − ε, β + ε

] ;
Trên [α − ε, α + ε]
ii) b(x) = s
ε
(x − α),
iii) b(2α −x) = s
ε
(α −x) = c
ε
(x − α),
iv) b
2
(x) + b
2
(2α −x) = 1;
v) supp(b(.)b(2α −.)) ⊆ [α − ε, α + ε] ;
vi) Trên [α + ε, β − ε

] , b(x) = 1;
Trên [β − ε


, β + ε

]
vii) b(x) = c
ε

(x − β),
viii) b(2β − x) = c
ε

(β − x) = s
ε

(x − β),
ix) b
2
(x) + b
2
(2β − x) = 1;
x) supp(b(.)b(2β − .) ⊆ [α −ε, α + ε] ;
xi) b
2
(x) + b
2
(2α −x) + b
2
(2β − x) = 1 trên supp(b).















































(2.9)
Không phải tất cả những tính chất trên là độc lập. Ví dụ như iv)
được suy ra từ ii) và iii). Có thể so sánh những điều kiện này với (1.11).
Dựa vào (2.5), định nghĩa P
α
và P
β
đã nêu ra trong (2.3) và (2.4),
những tính chất này chúng ta dễ dàng có được công thức mới sau đây
cho P
I
đối với "hàm hình chuông" b
(P
I
f)(x) = b(x){b(x)f(x) ± b(2α − x)f(2α − x)
±b(2β − x)f(2β − x)}
(2.10)
Quan sát công thức này ta thấy chúng ta có 4 cách chọn cho mỗi phép

chiếu. Cách chọn I phù hợp với α được gọi là sự phân cực của P
[α,β]
tại
α, và sự lựa chọn ± phù hợp với β được gọi là phân cực của P
[α,β]
tại
β. Vì vậy nếu chúng ta chọn + trước số hạng thứ hai trong phần ngoặc
đơn của (2.10), chúng ta nói rằng phép chiếu có tính phân cực dương tại
α.
Định nghĩa 2.1.1. Giả sử I = [α, β] và J = [β, γ] là kề nhau; chúng ta
nói rằng chúng có "hàm hình chuông" tương thích b
I
và b
J
nếu:
α −ε < α < α + ε ≤ β − ε

< β < β + ε

≤ γ −ε

< γ < γ + ε

và b
I
= s
ε
(x − α)c
ε


(x − β);
b
J
= s
ε

(x − β)c
ε

(x − γ).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên