Tiểu luận Lý thuyết tổ hợp Hàm sinh thường và ứng dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (301.24 KB, 20 trang )
LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG
Mục lục
Lời nói đầu 2
Danh sách nhóm
1. Đại cương về tổ hợp 3
1.1 Các bài toán tổ hợp 3
1.1.1 Cấu hình tổ hợp 3
1.1.2 Các dạng toán tổ hợp 3
1.2 Các cấu hình tổ hợp cơ bản 5
1.2.1 Hoán vị 5
1.2.2 Hoán vị lặp 5
1.2.3 Tổ hợp 6
1.2.4 Tổ hợp lặp 6
1.2.5 Chỉnh hợp 7
1.2.6 Chỉnh hợp lặp 7
1.2.7 Nhị thức Newton 8
2. Hàm sinh thường 9
2.1 Định nghĩa hàm sinh thường 9
2.2 Định lý 9
3. Ứng dụng hàm sinh thường giải các bài toán truy hồi 12
3.1 Bài toán (số Fibonaci) 12
3.2 Ứng dụng hàm sinh giải các bài toán đếm điển hình 13
3.2.1 Ứng dụng hàm sinh giải bài toán chia kẹo Euler 13
3.2.2 Ví dụ 13
3.3 Ứng dụng hàm sinh giải công thức truy hồi tuyến tính 15
3.3.1 Công thức truy hồi 15
3.3.2 Công thức truy hồi tuyến tính hệ số hằng 15
3.3.3 Giải công thức truy hồi tuyến tính bằng hàm sinh 16
3.3.3.1 Giải công thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ số hằng 16
3.3.3.2 Giải công thức truy hồi tuyến tính không thuần nhất hệ số
hằng 17
Kết luận 19
Tài liệu tham khảo 20
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 1
LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG
Lời nói đầu
Vào TK XVII với hàng loạt công trình nghiên cứu của các nhà toán
học xuất sắc như: Pascal, Fermat, Uuler, Leibnitz,…dẫn đến lý thuyết tổ hợp
được hình thành.
Các bài toán tổ hợp có đặc trưng bùng nổ tổ hợp với số cấu hình tổ hợp
khổng lồ. Việc giải chúng đòi hỏi một khối lượng tính toán không lồ. Vì vậy
trong thời gian dài, khi mà các ngành toán học như Phép tính vi phân, phép
tính tích phân, phương trình vi phân,… phát triển như vũ bảo, thì dường như
nó nằm ngoài sự phát triển và ứng dụng của toán học. Và cho đến khi xuất
hiện máy tính điện tử và toán học hữu hạn, nhiều vấn đề tổ hợp được giải
quyết trên máy tính. Từ chỗ chỉ nghiên cứu các trò chơi, tổ hợp đã trở thành
ngành toán học phát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực
toán học và tin học…
Hàm sinh là một trong những sáng tạo thần tình, bất ngờ, nhiều ứng dụng
của toán rời rạc. Nói một cách nôm na, hàm sinh chuyển những bài toán về
dãy số thành những bài toán về hàm số. Điều này là rất tuyệt vời vì chúng
ta đã có trong tay cả một cỗ máy lớn để làm việc với các hàm số. Nhờ vào
hàm sinh, chúng ta có thể áp dụng cỗ máy này vào các bài toán dãy số. Bằng
cách này, chúng ta có thể sử dụng hàm sinh trong việc giải tất cả các dạng
toán về phép đếm. Có cả một ngành toán học lớn nghiên cứu về hàm sinh, vì
thế, trong bài này, chúng ta chỉ tìm hiểu những vấn đề căn bản nhất về chủ đề
này.
Đề tài xin trình bày vấn đề sau: "Hàm sinh thường và ứng dụng"
Là một phương pháp hữu hiệu để giải quyết các bài toán tổ hợp phức tạp.
Đề tài được chia thành những nội dung chính sau:
1. Lời nói đầu.
2. Chương 1. Đai cương về tổ hợp.
3. Chương 2. Hàm sinh thường .
4. Chương 3. Ứng dụng hàm sinh thường giải các bài toán tổ hợp.
5. Kết luận.
Mặc dù nhóm đã rất cố gắng nhưng không tránh khỏi những sai sót, mong
nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy và các bạn.
Đà Nẵng, ngày 02 tháng 04 năm 2012
Nhóm 10 – Cao học Toán sơ cấp K24
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 2
LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG
Chương 1
ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP
1.1. Các bài toán tổ hợp
Có thể nói rằng bài toán tổ hợp rất đa dạng và phong phú, liên quan
đến nhiều lĩnh vực khoa học và đời sống khác nhau. Một cách tổng quát rằng
lí thuyết tổ hợp nghiên cứu việc phân bố, sắp xếp các phần tử của một hoặc
nhiều tập hợp, thỏa mãn một số điều kiện nào đó. Mỗi cách phân bố sắp xếp
như thế gọi là một cấu hình tổ hợp.
1.1.1. Cấu hình tổ hợp:
Cho các tập hợp A
1
, A
2
,…,A
n
, giả sử S là sơ đồ sắp xếp các phần tử của
A
1
, A
2
,…,A
n
, được mô tả bằng các quy tắc sắp xếp và R
1
, R
2
,…,R
m
các điều
kiện ràng buộc lên mỗi sắp xếp theo sơ đồ S. Khi đó mỗi cách sắp xếp các
phần tử A
1
, A
2
,…,A
n
, thảo mãn các điều kiện R
1
, R
2
,…,R
m
gọi là một cấu hình
tổ hợp trên các tập A
1
, A
2
,…,A
n
.
Ví dụ: Xét sự bố trí các quân cờ trên bàn cờ vua. Mỗi thế cờ có thể coi là một
cấu hình tổ hợp. Ở đây có thể định nghĩa:
A là tập hợp các quân cờ trắng
B là tập hợp các quân cờ đen
S là sơ đồ sắp xếp các quân cờ trên bàn cờ
R là hệ thống các điều kiện được xác định bằng luật cờ vua.
1.1.2. Các dạng bài toán tổ hợp
a. Bài toán tồn tại
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 3
LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG
Mục tiêu của bài toán tồn tại là chứng minh sự tồn tại hoặc không tồn
tại của cấu hình tổ hợp nào đó. Có nhiều bài toán loại này rất khó và việc cố
gắng giải chúng đã thúc đẩy nhiều hướng nghiên cứu toán học.
Ví dụ. Cho n là số nguyên dương
A là tập hợp n x n điểm:
[ ]
{ }
njijiA 1,,, ==
S là tập hợp 2n điểm trong A
R là điều kiện không có 3 điểm trong S thẳng hàng
Với
13 ≤≤ n
cấu hình tổ hợp tồn tại. Nhưng bái toán vẫn chưa có lời
giáo với n>15.
b. Bài toán đếm
Nội dung bài toán đếm là trả lời câu hỏi “Có bao nhiêu cấu hình tổ hợp
thuộc dạng đang xét”. Phương pháp đếm cấu hình thường dựa vào một số quy
tắc, nguyên lí đếmvà phân rã đưa về các cấu hình tổ hợp đơn giản. Khi việc
xác định chính xác số cấu hình tổ hợp gặp khó khăn, có thể ước lượng cận trên
và cận dưới của nó. Bài toán đếm được áp dụng vào những công việc như tính
xác suất hay tính độ phức tạp thuật toán
Ví dụ. Đếm số nghiệm nguyên dương của phương trình
x + y + z = 12
c. Bài toán liệt kê
Các bài toán loại này nghiên cứu những thuật toán hiệu quả để xây
dựng tất cả các cấu hình tổ hợp đã cho. Nhiều vấn đề trong các lĩnh vự khác
nhau thường được đưa về bài toàn liệt kê và kiểm tra xem các cấu hình tổ hợp
có thỏa mãn tính chất cho trước hay không ?
Ví dụ. Liệt kê tất cả các hoán vị của n phần tử.
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 4
LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG
d. Bài toán tối ưu tổ hợp
Trong nhiều vấn đề, một cấu hình tổ hợp được gán một giá trị bằng số
(chẳng hạn như hiệu quả sử dụng hay chi phí thực hiện ). Khi đó bài toán tối
ưu tổ hợp nghiên cứu những thuật toán tìm cấu hình tổ hợp có giá trị tối ưu
(lớn nhất hoặc nhỏ nhất).
Ví dụ. Cho đồ thị có trọng số G, a và b là 2 đỉnh bất kì. Tìm đường đi ngắn
nhất từ a đến b.
1.2. Các cấu hình tổ hợp cơ bản
1.2.1. Hoán vị
Định nghĩa. Một hoán vị của n phần tử khác nhau là một cách sắp xếp thứ tự
các phần tử đó
Ví dụ. Có 6 học sinh xếp thành một hàng dọc trước lúc vào lớp. Hỏi có thể có
bao niêu cách sắp xếp như vậy
Giải: một cách sắp hàng là một hoán vị của 6 người. Vậy số cách xếp hàng là :
6 ! = 720
1.2.2. Hoán vị lặp
Định nghĩa :Hoán vị lặp là hoán vị trong đó mỗi phần tử được ấn định một số
lần lặp lại cho trước
Ví dụ. Có 3 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh và 4 viên bi trắng. Hỏi có bao nhiêu
cách sắp xếp các viên bi trên theo hàng ngang.
Giải :
Có tất cả 9 lỗ trống để xếp tất cả các viên bi. Ta có C(3,9) khả năng xếp
3 viên bi đỏ, C(6,2) khả năng xếp 2 viên bi xanh, còn lại một khả năng xếp các
viên bi trắng. Theo nguyên lí nhân ta có
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 5
LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG
C(9, 3) x C(6, 2) =
!4!.2!.3
!9
cách xếp.
1.2.3. Tổ hợp
Định nghĩa. Một tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ không kể
thức tự gồm k thành phần khác nhau lấy từ n phần tử đã cho. Nói cách khác ta
có thể coi một tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là một tập con có phần
tử từ n phần tử đã cho.
Kí hiệu C
n
k
là số tổ hợp chập k của n phần tử ta có:
)!!.(
!
),(
knk
n
knC
−
=
Ví dụ. Một lớp học có 45 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 học sinh
trong lớp đi thi học sinh giỏi?
Giải
Mỗi cách chon 5 học sinh trong 45 học sinh của lớp ứng với một tổ hợp
chập 5 của 45. Vậy có
)!545!.(5
!45
)5,45(
−
=C
1.2.4. Tổ hợp lặp
Định nghĩa: Tổ hợp lặp chập k từ n phần tử là một nhóm không phân biệt thứ
tự gồm k phân tử trích từ n phần tử đã cho, trong đó các phần tử có thể được
lặp lại
Ví dụ: Giả sử ta có 3 quyên sách: Toán, Lí, Hóa và mỗi quyển có ít nhất có 6
bản photocopy. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 quyển
Giải:
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 6
LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG
Bài toán đặt ra là chọn 6 phần tử, không kể thứ tự và cho phép lặp lại.
Mỗi cách chọn sách được xác định duy nhất bởi số lượng của mỗi loại sách.
Ta có thể biểu diễn mỗi cách chọn sách như sau:
Toán Lí Hóa
xxx | xx | x
Trong đó 6 dấu x chỉ quyển sách chọn và hai dấu gạch đứng chỉ phân
cách giữa giữa các loại sách. Như vậy mỗi cách chọn sách tương ứng chọn 2
vị trí trong 8 vị trí để đặt 2 dấu gạch | tức là tổ hợp chập 2 từ 8 phần tử.
Suy ra số cách chọ sách là: C(8,2) = 28
1.2.5. Chỉnh hợp
Định nghĩa: Một chỉnh hợp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ có thứ
tự gồm 3 thành phần lấy từ n thành phần đã cho. Các thành phần không được
lặp lại
Kí hiệu: A(n, k) và
)!(
!
),(
kn
n
knA
−
=
Ví dụ. Một lớp học có 45 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọ 5 học sinh trong
lớp đi thi học sinh giỏi 5 môn: Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh.
Giải
Mỗi cách chon 5 học sinh trong 45 học sinh của lớp đi thi học sinh giỏi
5 môn ứng với một chỉnh hợp chập 5 của 45. Vậy có
)!545(
!45
)5,45(
−
=A
1.2.6. Chỉnh hợp lặp
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 7
LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG
Định nghĩa: Một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ có
thứ tự gồm k thành phần lấy từ n thành phần đã cho. Các thành phần có thể
được lặp lại.
Một chỉnh hợp lặp chập k của n có thể xem như một phần tử của tích
Đê- các X
k
, với X là tập n phần tử. Như vậy số tất cả các chỉnh hợp chập k của
n là
AR(n, k) = n
k
Ví dụ. Tính số hàm từ tập X có k phần tử đến tập Y có n phần tử
Giải:
Mỗi hàm từ X vào Y tương ứng với một bộ có thứ tự k thành phần của n
phần tử của Y, các phần tử có thể lặp lại. Như vậy số hàm từ X vào Y là n
k
.
1.2.7. Nhị thức Newton:
Công thức nhị thức Newton
.
Chú ý:
Số hạng tổng quát thứ k+1 là: .
Hệ số của số hạng thứ k+1 là giá trị không chứa biến.
Ví dụ: Tìm hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển (1 + 2x)
n
Giải: Số hạng thứ 3 là .
Suy ra hệ số của số hạng thứ ba của khai triển đó là .
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 8
LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG
Chương 2
HÀM SINH THƯỜNG
2.1 Định nghĩa hàm sinh thường.
Cho dãy số thực (a
r
)
r
= ( a
0
, a
1
,a
2
, …) và biến x. Hàm sinh thường của
dãy ( a
0
, a
1
,a
2
, …) là hàm
g(x) = a
0
+ a
1
x +
a
2
x
2
+ a
3
x
3
+ …
Ví dụ 1: Hàm
( )
∑
=
=+
n
k
kk
n
n
xCx
0
1
Là hàm sinh của dãy
n
nnnn
CCCC , ,,,
210
2.2 Định lý.
1. Nếu g(x) là hàm sinh thường của dãy (a
r
)
r
thì (1 – x ) g(x) là hàm
sinh thường của dãy (a
r
– a
r-1
)
r
.
2.
Nếu g(x) là hàm sinh thường của dãy (a
r
)
r
thì
x
xg
−1
)(
là hàm sinh
thường của dãy (a
0
+ a
1
+
a
2
+ … + a
r
)
r
.
3.
Nếu g(x) là hàm sinh thường của dãy (a
r
)
r
thì x.
g
′
(x)
là hàm sinh
thường của dãy (r.a
r
)
r
.
4. Nếu g(x) là hàm sinh thường của dãy (a
r
)
r
và h(x) là hàm sinh
thường của dãy (b
r
)
r
thì p.g(x) + q.h(x) là hàm sinh thường của dãy (p.a
r
+
q.b
r
)
r
với mọi số thực p,q.
5. Nếu g(x) là hàm sinh thường của dãy (a
r
)
r
và h(x) là hàm sinh
thường của dãy (b
r
)
r
thì g(x).h(x) là hàm sinh thường của dãy tích chập
r
r
i
iri
ba
∑
=
−
0
6. Nếu g(x) là hàm sinh thường của dãy (a
r
)
r
, thì
!
)0(
r
g
a
r
r
=
,
∀
r = 0,1,2 …
Chứng minh. g(x) là hàm sinh thường của dãy (a
r
)
r
nên :
g(x) = a
0
+ a
1
x +
a
2
x
2
+ a
3
x
3
+ …
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 9
LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG
1. Ta có
(1 – x ) g(x) = a
0
+ a
1
x +
a
2
x
2
+ a
3
x
3
+ …
– a
0
x – a
1
x
2
– a
2
x
3
– a
3
x
4
– ….
= a
0
+ (a
1
– a
0
)x + (a
2
– a
1
)x
2
+ (a
3
– a
2
)x
3
+ …
suy ra (1 – x ) g(x) là hàm sinh thường của dãy (a
r
– a
r-1
)
r
. ¨
2. Ta có
x
xg
−1
)(
= g(x).(1 + x + x
2
+ x
3
+…)
= a
0
+ a
0
x +
a
0
x
2
+ a
0
x
3
+ …
+ a
1
x +
a
1
x
2
+ a
1
x
3
+ a
1
x
4
+
+ a
2
x
2
+
a
2
x
3
+ a
2
x
4
+ a
2
x
5
+ …
…
= a
0
+ (a
0
+ a
1
)x + (a
0
+ a
1
+ a
2
)x
2
+ (a
0
+ a
1
+ a
2
)x
3
+ …
suy ra
x
xg
−1
)(
là hàm sinh thường của dãy (a
0
+ a
1
+
a
2
+ … + a
r
)
r
. . ¨
3. Ta có
g
′
(x) = a
1
+ 2a
2
x +3
a
3
x
2
+ …
x.
g
′
(x) = a
1
x +2
a
2
x
2
+3 a
3
x
3
+…
suy ra x.
g
′
(x)
là hàm sinh thường của dãy (r.a
r
)
r
. ¨
(4), (5), (6) được chứng minh tương tự. ¨
Ví dụ 2. Cho g(x) là hàm sinh thường của dãy (a
r
)
r
, a
0
≠
0, và h(x) =
)(
1
xg
.
Giả sử h(x) là hàm sinh thường của dãy (b
r
)
r
. Để tính dãy số (b
r
)
r
ta sử dụng
đẳng thức
= (a
0
+ a
1
x +
a
2
x
2
+ … ) (b
0
+ b
1
x +b
2
x
2
+ …) = g(x)h(x) = 1
suy ra hệ phương trình đối với (b
r
)
r
a
0
b
0-
= 1
a
1
b
0
+ a
0
b
1
= 0
a
2
b
0-
+
a
1
b
1
+
-
a
0
b
2
= 0
-
………………….
Hai mệnh đề thường được sử dụng .
Mệnh đề 1: Cho hàm sinh G(x) = (1 + x + x
2
+ …)
n
a)
Đặt a
r
là hệ số của x
r
trong khai triển của G(x) thì : a
r
=
r
nr
C
1−+
b)
(1 – x
m
)
n
=
mnnm
n
m
n
xxCxC )1( 1
221
−+−+−
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 10
LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG
c) (1 + x + x
2
+ … + x
m-1
)
n
= (1 – x
m
)
n
(1 + x + x
2
+ …+)
n
Mệnh đề 2: ( Công thức xác định hệ số tích của hai hàm sinh)
Cho hai hàm sinh của hai dãy (a
n
), (b
n
) lần lượt là:
A(x) = a
0
+ a
1
x +a
2
x
2
+ …
B(x) = b
0
+b
1
x +b
2
x
2
+ …
Đặt G(x) = A(x)B(x) = (a
0
+ a
1
x +a
2
x
2
+ …)( b
0
+b
1
x +b
2
x
2
+ …)
= a
0
b
0
+ (a
0
b
1
+ a
1
b
0
)x +( a
0
b
2
+ a
1
b
1
+ a
2
b
0
)x
2
+ (a
0
b
3
+ a
1
b
2
+
a
2
b
1
+ a
0
b
3
)x
3
+ …
Khi đó hệ số của x
r
trong khai triển của G(x) là a
0
b
r
+ a
1
b
r-1
+ a
2
b
r-2
+ …+ a
r-
2
b
2
+ a
r-1
b
1
+ a
r
b
0
(*).
Chú ý: Trong các ví dụ ứng dụng hàm sinh để giải bài toán đếm nâng cao ở
phần II chúng ta rất hay sử dụng công thức (*).
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 11
LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG
Chương 3
ỨNG DỤNG HÀM SINH THƯỜNG GIẢI
CÁC BÀI TOÁN TRUY HỒI
3.1 Bài toán ( Số Fibonacci)
Giải công thức truy hồi sau
a
n
= a
n-1
+a
n-2
, với n
≥
2, a
0
= 0, a
1
= 1
Bài giải. Gọi g(x) là hàm sinh thường của dãy a
n
, ta có :
g(x) = a
0
+ a
1
x +
a
2
x
2
+ a
3
x
3
+ a
4
x
4
+…
xg(x) = a
0
x +
a
1
x
2
+ a
2
x
3
+ a
3
x
4
+…
x
2
g(x) =
a
0
x
2
+ a
1
x
3
+ a
2
x
4
+…
suy ra :
(1 – x – x
2
)g(x) = a
0
+ (a
1
– a
0
)x + (a
2
– a
1
– a
0
)x
2
+
+ (a
3
– a
2
– a
1
)x
3
+(a
4
– a
3
– a
2
)x
4
+…
= x
Hay g(x) =
2
1 xx
x
−−
Gọi
2
51+
−=α
,
2
51−
−=β
là hai nghiệm của phương trình bậc hai
1 – x – x
2
= 0.
Biến đổi g(x) như sau:
g(x) =
2
1 xx
x
−−
=
β
βα
α
βαββα
β
ααβ
α
xx
xx
−
−
−
−
−
=
−−
+
−−
1
1
.
1
1
1
.
11
.
1
.
=
−
−
∑ ∑
∞
=
∞
=0 0
1
r r
r
r
r
r
xx
βα
βα
=
r
r
rr
x
∑
∞
=
−
−
0
111
βα
βα
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 12
LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG
Vì
5−=− βα
và
( )
r
rr
rr
1
11
−
−
=−
βα
βα
=
( ) ( )
rr
αβ −−−
, ta có
g(x) =
r
rr
r
x.
2
51
2
51
5
1
0
−
−
+
∑
∞
=
Cuối cùng ta nhận được:
a
n
=
−
−
+
nn
2
51
2
51
5
1
,
.2≥∀n
3.2 Ứng dụng hàm sinh giải các bài toán đếm điển hình
3.2.1 Ứng dụng hàm sinh giải bài toán chia kẹo Euler.
Ý tưởng chung của phương pháp sử dụng hàm sinh giải bài toán đếm là
đi tìm hệ số của x
r
trong khai triển của hàm sinh với r là số phần tử được chọn
ra trong n đối tượng vowid những điều kiện ràng buộc cho trước. Bây giờ
chúng ta sẽ vận dụng kiến thức hàm sinh trên vào việc giải quyết các ài toán
đếm tổ hợp nâng cao. Thông qua nhiều ví dụ khác nhau dưới đây chúng ta sẽ
định hình và nắm chắc được cách sử dụng hàm sinh trong việc giải bài toán
đếm tổ hợp nâng cao.
3.2.2 Ví dụ.
3.2.2.1 Vào ngày chủ nhật, cô Hoa đi chơi và mua quà là 12 quả cam cho
3 đứa trẻ An, Bình, Chi. Hỏi cô Hoa có bao nhiêu cách phân phối 12 quả
cam sao cho An có ít nhất 4 quả, Bình và Chi mỗi người đếu có ít nhất 2 quả,
nhưng Chi không được nhiều hơn 5 quả?
Giải:
Hàm sinh cho số cách chọn quả cho An là:
A(x) = x
4
+ x
5
+ x
6
+ x
7
+ x
8
= x
4
( 1 + x + x
2
+ x
3
+ x
4
)
= x
4
.
x
x
−
−
1
1
5
Hàm sinh cho số cách chọn quả cho Bình là:
B(x) = x
2
+ x
3
+ x
4
+ x
5
+ x
6
= x
2
( 1 + x + x
2
+ x
3
+ x
4
)
= x
2
.
x
x
−
−
1
1
5
Hàm sinh cho số cách chọn quả cho Chi là:
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 13
LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG
C(x) = x
2
+ x
3
+ x
4
+ x
5
= x
2
( 1 + x + x
2
+ x
3
)
= x
2
.
x
x
−
−
1
1
4
Hàm sinh cho số cách phân phối 12 quả cam thỏa mãn điều kiện đề bài
là:
G(x) = A(x)B(x)C(x) = x
4
.
x
x
−
−
1
1
5
. x
2
.
x
x
−
−
1
1
5
. x
2
.
x
x
−
−
1
1
4
=
( )( )
( )
3
4
2
58
1
11
x
xxx
−
−−
= x
8
(1 – 2x
5
+ x
10
(1-x
4
)
3
1
1
−x
= (x
8
– x
12
- 2 x
13
+ 2x
17
+ x
18
– x
22
).
3
1
1
−x
Do tìm hệ số của x
12
trong khai triển của G(x) nên ta chỉ quan tâm đến hệ số
của U(x) = (x
8
– x
12
- 2 x
13
+ 2x
17
+ x
18
– x
22
) với bậc
≤
12. Do đó U(x) chỉ có
các hệ số a
8
, a
12
là thỏa mãn.
Và hệ số của x
r
trong khai triển V(x) =
3
1
1
−x
là b
r
=
r
r
C
2+
Vậy hệ số của x
12
trong khai triển của G(x) là: a
8
b
4
+ a
12
b
0
= 1.
0
2
4
6
.1 CC −
= 14
Kết luận: Cô Hoa có 14 cách phân chia 12 quả cam cho 3 đứa trẻ thỏa mãn
yêu cầu An có ít nhất 4 quả, Bình và Chi mỗi người đều có ít nhất 2 quả
nhưng Chi không được nhiều hơn 5 quả.
Nhận xét: Thoạt nhìn ban đầu chúng ta thấy cáh giải bừng cách liệt kê cho lời
giải ngắn gọn hơn cách hàm sinh nhưng suy nghĩ sâu thêm chúng ta sẽ thấy
đối với bài toán có dữ kiện lớn thì cách làm liệt kê tỏ ra kém hiệu quả thậm
chí khó làm được, chẳng hạn bài toán trên ta thay đổi một chút như sau: “Vào
ngày chủ nhật, cô Hoa đi chơi và mua quà là 50 cái kẹo cho 3 đứa trẻ An,
Bình, Chi. Hỏi cô Hoa có bao nhiêu cách phân phối 50 cái kẹo sao cho An có
ít nhất 4 kẹo, Bình và Chi mỗi người đếu có ít nhất 2 kẹo, nhưng Chi không
được nhiều hơn 5 kẹo?” Rõ ràng cách làm liệt kê đối với bài toán này trở nên
kém hiệu quả, khó khăn và mất thời gian hơn rất nhiều vì chúng ta phải xét
quá nhiều trường hợp. Khi đó giải pháp hàm sinh trong bài toán này đem lại
cho chúng ta hiệu quả rõ rệt vì chúng ta chỉ cần quan tâm tới hệ số trong khai
triển của hàm sinh tương ứng đề bài. Trong cuộc sống thực tiễn thì dữ liệu rất
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 14
LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG
đa dạng với những bài toán đếm có nhiều điều kiện ràng buộc khác nhau. Việc
sử dụng hàm sinh sẽ cho chúng ta lời giải hiệu quả.
3.2.2.2 Có bao nhiêu cách xếp một giỏ gồm n trái cây gồm (táo, chuối, cam,
đào) sao cho số táo phải là chẵn, số chuối chia hết cho năm, chỉ có thể nhiều
nhất 4 quả cam và nhiều nhất 1 quả đào.
Giải:
Hàm sinh cho số cách chọn quả táo (số chẵn) là:
A(x) = 1+ x
2
+ x
4
+ x
6
+ =
2
1
1
x−
Hàm sinh cho số cách chọn quả chuối (số chia hết cho 5) là:
B(x) = 1+ x
5
+ x
10
+ x
15
+ =
5
1
1
x−
Hàm sinh cho số cách chọn quả cam (nhiều nhất 4 quả) là:
C(x) = 1+ x + x
2
+ x
3
+ x
4
=
x
x
−
−
1
1
5
Hàm sinh cho số cách chọn quả đào (nhiều nhất 1 quả) là:
D(x) = 1 + x =
x
x
−
−
1
1
2
Hàm sinh cho số cách chọn cả 4 loại quả là:
G(x) = A(x)B(x)C(x)D(x) =
2
1
1
x−
.
5
1
1
x−
.
x
x
−
−
1
1
5
.
x
x
−
−
1
1
2
=
( )
2
1
1
x−
=
( )
i
i
xi
∑
∞
=
+
0
1
Vậy số cách chọn trái cây thỏa mãn đề bài là n+1 cách.
3.3 Ứng dụng hàm sinh giải công thức truy hồi tuyến tính
3.3.1 Công thức truy hồi
Định nghĩa 1. Công thức truy hồi của dãy số s(0), s(1), s(2), … là phương
trình xác định s(n) bằng các phần tử s(0), s(1), s(2), …, s(n-1) trước nó.
s(n) = F(s(0), s(1), s(2),…, s(n-1)).
Điều kiện ban đầu là các giá trị gán cho một số hữu hạn các phần tử đầu.
3.3.2 Công thức truy hồi tuyến tính hệ số hằng
Định nghĩa 2. Công thức truy hồi tuyến tính hệ số hằng bậc k có dạng
s(n) = c
1
.s(n-1) + c
2
.s(n-2) + … + c
k
.s(n-k) + f(n) , (*)
trong đó c
1
, c
2
, …, c
k
là các hằng số, c
k
≠
0 và f(n) là hàm theo n.
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 15
LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG
Điều kiện ban đầu là giả thiết một số phần tử đầucủa dãy có giá trị cho
trước: s(0) = C
0
, s(1) = C
1
, … , s(k-1) = C
k-1
.
Định nghĩa 3.
Nếu f(n)
≠
0 thì (*) được gọi là công thức truy hồi tuyến tính không
thuần nhất hệ số hằng bậc k.
Nếu f(n) = 0 thì (*) được gọi là công thức truy hồi tuyến tính thuần nhất
hệ số hằng bậc k.
3.3.3 Giải công thức truy hồi tuyến tính bằng hàm sinh
Nội dung của phương pháp này là tìm công thức tường minh cho hàm sinh
liên đới. Nghĩa là giả sử ta giải công thức truy hồi, tức là ta cần tìm số hạng
tổng quát của dãy số {a
n
} của một công thức truy hồi nào đó, ta thiết lập hàm
sình F(x) của {a
n
}. Dựa vào công thức truy hồi, ta tìm được phương trình cho
F(x). Giải phương trình đó, ta tìm được F(x). Khai triển F(x) theo lũy thừa x
(khai triển Taylor), ta tìm được a
n
với mọi n.
Trên lý thuyết, ta phải dùng công thức Taylor để tìm khai triển của
F(x). Đây là bài toán khá phức tạp. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp,
ta có thể sử dụng công thức Newton tổng quát sau:
( )
( ) ( ) ( )
!
1 1
2
1
11
2
n
n
xxx
+−−
++
−
++=+
ααααα
α
α
n
x
+
Ta có một hệ quả quen thuộc sau:
1 + x + x
2
+ x
3
+… =
( )
1
1
1
<
−
x
x
.
1 + 2x + 3x
2
+4 x
3
+… =
( )
2
1
1
x−
(hệ quả của nhị thức Newton tổng
quát).
3.3.3.1. Giải công thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài toán 1. Giải công thức truy hồi a
n
= 5a
n-1
– 6a
n-2
& a
0
= 0, a
1
= 1.
Giải. Giả sử F(X) là hàm sinh đối với dãy {a
n
}, tức là F(X) =
n
n
n
xa
∑
∞
=0
.
Ta có
F(X) =
n
n
n
xa
∑
∞
=0
= a
0
+ a
1
x +
( )
∑
∞
=
−−
−
2
21
65
n
n
nn
xaa
= x + 5.
6
2
1
−
∑
∞
=
−
n
n
n
xa
∑
∞
=
−
2
2
n
n
n
xa
= x + 5x.
∑
∞
=
−
−
2
1
1
n
n
n
xa
- 6x
2
.
∑
∞
=
−
−
2
2
2
n
n
n
xa
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 16
LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG
= x + 5x.(F(x) – a
0
) – 6x
2
. F(x) = x + 5x.F(x) – 6x
2
.F(x).
Suy ra
F(x) =
156
2
+− xx
x
=
( )( )
1312 −− xx
x
=
xx 31
1
21
1
−
+
−
−
=
n
n n
nnn
xx .3.2
0 0
∑ ∑
∞
=
∞
=
+−
=
( )
∑
∞
=
−
0
.23
n
nnn
x
.
Vậy a
n
= 3
n
+ 2
n
.
Bài toán 2. Giải công thức truy hồi a
n
= 6a
n-1
– 11a
n-2
+ 6a
n-3
& a
1
= a
2
= 1.
Giải. Giả sử F(X) là hàm sinh đối với dãy {a
n
}, tức là F(x) =
n
n
n
xa
∑
∞
=0
.
Ta có
F(x) =
n
n
n
xa
∑
∞
=0
= a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+
∑
∞
=3n
(6a
n-1
– 11a
n-2
+ 6a
n-3
).x
n
= x + x
2
+ 6x.
1
3
1
.
−
∞
=
−
∑
n
n
n
xa
– 11x
2
.
2
3
2
.
−
∞
=
−
∑
n
n
n
xa
+ 6x
3
.
3
3
3
.
−
∞
=
−
∑
n
n
n
xa
= x + x
2
+ 6x.(F(x) – a
0
– a
1
x) – 11x
2
. (F(x) – a
0
) + 6x
3
.F(x)
= x – 5x
2
+ 6x.F(x) – 11x
2
.F(x) + 6x
3
.F(X).
Suy ra
F(x) =
16116
5
23
2
−+−
−
xxx
xx
=
( )( )( )
13121
5
2
−−−
−
xxx
xx
=
xxx 31
1
21
3
1
2
−
−
−
+
−
−
=
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
−+−
000
.3.232
n
nn
n
nn
n
n
xxx
.
Vậy a
n
= 3.2
n
– 3
n
– 2 .
3.3.3.2. Giải công thức truy hồi tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng
Bài toán 3. Giải công thức truy hồi a
n
= a
n-1
+2
n-1
– 1 & a
0
= 1.
Giải. Giả sử F(X) là hàm sinh đối với dãy {a
n
}, tức là F(x) =
n
n
n
xa
∑
∞
=0
.
Ta có
F(x) =
n
n
n
xa
∑
∞
=0
= a
0
+
( )
∑
∞
=
−
−
−+
1
1
1
.12
n
nn
n
xa
= 1 + x.
1
1
1
−
∞
=
−
∑
n
n
n
xa
+ 2
-1
.
∑∑
∞
=
∞
=
−
11
2
n
n
n
nn
xx
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 17
LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG
= 1 + x.F(x) + 2
-1
.
x
x
x
x
−
−
− 121
2
.
Suy ra
F(x) =
( )( )
( )
x
x
x
xx
x
−
+
−
−
−− 1
1
1
121
2
=
( )
2
1
1
1
1
21
1
x
xx
−
−
−
+
−
=
( )
( )
n
n
n
n n
nn
n
nn
xnxnxx .2.1.2
00 00
∑∑ ∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
−=+−+
.
Vậy a
n
= 2
n
– n .
Bài toán 4. Giải công thức truy hồi a
n
= 2a
n-1
– a
n-2
+ n.2
n-1
& a
0
= 0, a
1
= 1.
Giải. Giả sử F(x) là hàm sinh đối với dãy {a
n
}, tức là F(x) =
n
n
n
xa
∑
∞
=0
.
Ta có
F(x) =
n
n
n
xa
∑
∞
=0
= a
0
+ a
1
x +
( )
∑
∞
=
−
−−
+−
2
1
21
.2.2
n
nn
nn
xnaa
= x +2x.
−
−
∞
=
−
∑
1
2
1
n
n
n
xa
x
2
.
2
2
2
−
∞
=
−
∑
n
n
n
xa
+ x.
( )
+−
∑
∞
=
−
1
1
2.1
n
n
xn
= x + 2x.(F(x) – a
0
) – x
2
.F(x) + x.
( )
−
+−
2
21
1
1
x
.
Suy ra
F(x) =
( ) ( ) ( ) ( )
2222
21
2
1
1
1
3
21
6
211 xx
xx
xx
x
−
+
−
+
−
+
−
−
=
−−
=
( ) ( )
∑ ∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
+++++−
0 000
.2.12.13.26
n n
nn
n
n
n
nnn
xnxnxx
=
( )
∑
∞
=
+++++−
0
2).1(2)1(32.6
n
nnn
xnn
=
( )
( )
∑
++−
nn
xnn .42.42
.
Vậy a
n
= (2n – 4).2
n
+ n + 4.
Nhận xét: Trong quá trình tìm công thức tường minh cho các số hạng của các
dãy số ở trên, ta thấy F(x) có chứa các hàm phân thức với tử và mẫu là các đa
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 18
LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG
thức. Để đi đến kết quả cuối cùng, ta phải phân tích các phân thức này thành
các phân thức sơ cấp. Sau đó sử dụng phương pháp hệ số bất định để tìm các
hệ số của các phân thức sơ cấp đó. Cuối cùng, khai triển F(x) theo lũy thừa x,
ta tìm được a
n
.
KẾT LUẬN
Đề tài đã trình bày vấn đề : “Hàm sinh thường và ứng dụng” với những nội
dung chính sau:
1. Chương 1. Đại cương về tổ hợp.
Trình bày các kiến thức cơ bản về tổ hợp và một số bài toan nổi tiếng.
2. Chương 2. Hàm sinh thường.
Phát biểu và đưa ra một số ví dụ về hàm sinh thường.
3. Chương 3. Ứng dụng hàm sinh thường giải các bài toán truy hồi.
Sử dụng phương pháp đếm bằng hàm sinh thường để giải quyết các bài toán
truy hồi.
Đây có thể coi là một công dụng hữu ích trong việc giải quyết các bài toán
đếm, thường xuất hiện trong các kì thi Olympic Toán quốc tế. Tuy nhiên, việc
sử dụng các khai triển Taylor trong lời giải đã gây không ít cản trở trong việc
tiếp cận phương pháp này của học sinh bậc THPT.
Hướng phát triển của đề tài: sẽ hoàn thiện thêm các dạng toán phức tạp
và bước đầu xây dựng phương pháp giả các phương trình sai phân đơn giản.
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 19
LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] PGS.TSKH Trần Quốc Chiến.Giáo trình Lý thuyết tổ hợp.
[2] Kenneth H. Rosen. Toán học rời rạc và ứng dụng trong tin học, nhà xuất
bản thống kê 2002.
[3] Một số tài liệu trên internet khác.
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 20
