luận văn phương trình hàm đa ẩn hàm cơ bản

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
TRẦN ĐỨC TOÀN
PHƯƠNG TRÌNH HÀM
ĐA ẨN HÀM CƠ BẢN
LUẬN VĂN THẠC SĨ
Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số : 60 46 40
Giáo viên hướng dẫn:
GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU
THÁI NGUYÊN, 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
Mục lục
Mở đầu 4
1 Các phương trình hàm dạng Cauchy 6
1.1 Các phương pháp cơ bản để giải phương trình hàm . . . . . 6
1.2 Đặc trưng hàm của một số hàm số sơ cấp
( xem [6]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Phương trình hàm Cauchy và các phương trình kiểu Cauchy
( xem [6]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Phương trình hàm Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Các dạng khác của phương trình hàm Cauchy . . . . 14
1.4 Phương trình hàm Jensen và mở rộng . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1 Phương trình hàm Jensen và bài toán chuyển đổi các
đại lượng trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.2 Mở rộng phương trình hàm Jensen với đa ẩn hàm . . 19
1.5 Phương trình hàm D’Alembert và mở rộng . . . . . . . . . 19
1.5.1 Phương trình hàm D’Alembert . . . . . . . . . . . . 19
1.5.2 Mở rộng phương trình hàm D’Alembert với đa ẩn hàm 19
2 Lớp phương trình hàm dạng Pexider 22

2.1 Phương trình hàm Pexider . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Phương trình hàm Pexider với bài toán hệ thức lượng trong
tam giác ( xem [4]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Mở rộng phương trình Pexider ( xem [9]) . . . . . . . . . . 30
3 Một số lớp phương trình hàm đa ẩn sinh bởi đẳng thức và
phi đẳng thức đại số 32
3.1 Phương trình hàm sinh bởi đẳng thức . . . . . . . . . . . . 32
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
3.1.1 Phương trình hàm sinh ra bởi việc thay đổi vai trò
của x và f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.2 Phương trình hàm sinh bởi các hằng đẳng thức . . . 37
3.2 Phương trình hàm sinh bởi phi đẳng thức . . . . . . . . . . 41
Kết luận 48
Tài liệu tham khảo 49
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
Mở đầu
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Phương trình hàm là bài toán không thể thiếu khi nghiên cứu về hàm
số. Phương trình hàm cũng là một trong các bài toán hay gặp và khó trong
các kì thi học sinh giỏi toán quốc gia, khu vực và quốc tế. Đã có nhiều tài
liệu viết về phương trình hàm nhưng chưa đủ so với nhu cầu của những
người yêu phương trình hàm. Để góp thêm một cách nhìn về một lớp các
phương trình hàm đa ẩn hàm, tôi đã chọn đề tài "Phương trình hàm đa
ẩn hàm cơ bản".
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu phương trình hàm Cauchy thông qua các ví dụ cụ thể nhằm
củng cố các phương pháp và kĩ năng biến đổi trong bài toán giải phương
trình hàm.

Góp thêm cách nhìn nhận và phương pháp giải một lớp các phương
trình hàm đa ẩn hàm mà trọng tâm là phương trình Pexider và phương
trình hàm sinh bởi đẳng thức-phi đẳng thức đại số.
Định hướng cho học sinh cách vận dụng phương trình hàm trong việc
giải một số bài toán ở cấp trung học phổ thông và bồi dưỡng học sinh giỏi
toán.
3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm Jensen, phương trình
hàm D’Alembert, phương trình hàm Pexider, phương trình hàm sinh bởi
đẳng thức và phi đẳng thức đại số.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu trực tiếp từ các tài liệu của giáo viên hướng dẫn, tủ sách
chuyên toán và các kỷ yếu hội thảo khoa học về chuyên toán cũng như từ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
bài học kinh nghiệm giảng dạy của các đồng nghiệp và các bạn học viên
trong lớp.
5. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh
giỏi cấp trung học phổ thông.
6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và 3 chương.
Luận văn được hoàn thành dưới sự định hướng và hướng dẫn tận tình
của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc của mình tới Thầy.
Trong quá trình học tập và làm luận văn, tác giả đã nhận được sự
quan tâm giúp đỡ của Khoa Toán Tin, Phòng đào tạo Sau đại học trường
ĐHKH-ĐHTN. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu đó.
Tác giả cũng muốn được gửi lời cảm ơn tới gia đình, các bạn đồng
nghiệp lớp Toán K4A trường ĐHKH, các Thầy Cô giáo tổ toán và Ban

giám hiệu trường THPT Tiên Du số 1 Bắc Ninh đã giúp đỡ và tạo điều
kiện để tác giả hoàn thành luận văn này.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
Chương 1
Các phương trình hàm dạng Cauchy
1.1 Các phương pháp cơ bản để giải phương trình
hàm
Có rất nhiều phương pháp để giải một phương trình hàm. Dưới đây là
một số phương pháp cơ bản hay được sử dụng trong quá trình giải phương
trình hàm từ các đề thi Olympic.
* Thay các giá trị cho các biến: Cách thử đầu tiên là thay bởi hằng số
(chẳng hạn 0 hoặc 1), sau đó là một số biểu thức mà sẽ làm cho một phần
của phương trình trở thành hằng số. Ví dụ, nếu f(x + y) xuất hiện trong
phương trình và nếu xác định được f(0) thì ta sẽ có kết luận tương ứng
với y = −x.
* Quy nạp toán học: Phương pháp này sử dụng f(1) để tìm tất cả các
f(n) với n ∈ Z, sau đó tìm f(
1
m
) và f(r) với r ∈ Q.
* Xem xét tính chất đơn ánh, toàn ánh và song ánh của hàm số trong
phương trình: Trong rất nhiều bài toán tính chất đó là không khó để chứng
minh, nhưng có thể là mấu chốt của lời giải bài toán.
* Tìm kiếm các điểm bất động và không điểm của hàm: Phương pháp
này thường hay gặp trong các bài toán khó. Số lượng các bài toán sử dụng
phương pháp này ít hơn số lượng các bài toán sử dụng ba phương pháp
trên. Ngoài ra ta cũng cần nắm vững các đặc trưng của các hàm khi sử
dụng phương pháp này.
* Sử dụng phương trình hàm Cauchy và các phương trình hàm kiểu

này: Thường thì ta cần sử dụng các biến đổi và một số phương pháp giải
khác để đưa phương trình hàm ban đầu về phương trình hàm Cauchy.
* Xem xét tính liên tục và đơn điệu của một hàm số: Tính chất liên tục
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
thường là điều kiện thêm và cũng như tính đơn điệu, nó thường dùng để
đưa bài toán về phương trình hàm Cauchy. Nếu không phải vậy, bài toán
sẽ giải quyết theo một cách khó khăn hơn.
* Thiết lập các mối quan hệ truy hồi (lặp lại): Phương pháp này sử
dụng các phương trình mà miền giá trị bị chặn và trong trường hợp chúng
ta có thể tìm được mối liên hệ giữa f(f(n)), f(n) và n.
* Thay thế hàm số: Phương pháp này dùng để đưa phương trình hàm
đã cho trở nên đơn giản hơn. Ta có thể thế ẩn để tạo ra phương trình hàm
mới hoặc hệ phương trình hàm mới có lời giải đơn giản hơn.
* Biểu diễn các hàm số thành tổng các hàm chẵn và hàm lẻ. Điều đó có
thể hữu ích trong việc tuyến tính hóa phương trình hàm của nhiều hàm
số.
* Xử lý số trong hệ cơ số 10. Truy nhiên, phương pháp này chỉ sử dụng
nếu miền xác định là tập N.
* Phương pháp hệ số bất định, phương pháp chuyển qua giới hạn,
phương pháp sai phân
Cuối cùng, ta nhấn mạnh điều quan trọng nhất là đoán nhận được lời
giải ngay. Điều đó giúp ích rất nhiều trong việc tìm được phép thế hợp lý.
Tuy nhiên, cuối lời giải cần kiểm tra lại xem lời giải đã thỏa mãn các điều
kiện đã cho chưa.
1.2 Đặc trưng hàm của một số hàm số sơ cấp
( xem [6])
Để có thể định hướng, gợi ý và dự đoán công thức nghiệm của các bài
toán liên quan, chúng ta xét một vài tính chất tiêu biểu của một số dạng
hàm số quen biết ( xem [1]).

1. Hàm bậc nhất: f(x) = ax + b (a = 0, b = 0) có tính chất
f

x + y
2

=
1
2
[f(x) + f(y)], ∀x, y ∈ R.
2. Hàm tuyến tính: f(x) = ax (a = 0) có tính chất
f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
3. Hàm mũ: f(x) = a
x
(a > 0, a = 1) có tính chất
f(x + y) = f(x)f(y), ∀x, y ∈ R.
4. Hàm logarit: f(x) = log
a
|x| (a > 0, a = 1) có tính chất
f(xy) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R\{0}.
5. Hàm lượng giác
a) Hàm f(x) = sin x có tính chất
f(3x) = 3f(x) −4[f(x)]
3
, ∀x ∈ R.
b) Hàm f(x) = cos x có tính chất
f(2x) = 2[f(x)]
2

− 1, ∀x ∈ R
và
f(x + y) + f(x −y) = 2f(x)f(y), ∀x, y ∈ R.
c) Hàm f(x) = sin x, g(x) = cos x có tính chất

f(x + y) = f(x)g(y) + f(y)g(x), ∀x, y ∈ R,
g(x + y) = g(x)g(y) − f(x)f(y), ∀x, y ∈ R.
d) Hàm f(x) = tan x có tính chất
f(x + y) =
f(x) + f(y)
1 −f(x)f(y)
với x, y ∈ R, x + y =
(2k + 1)π
2
, x =
π
2
+ kπ, y =
π
2
+ kπ (k ∈ Z).
e) Hàm f(x) = cot x có tính chất
f(x + y) =
f(x)f(y) −1
f(x) + fy)
với x, y ∈ R, x + y = kπ, x = kπ, y = kπ (k ∈ Z).
6. Hàm lượng giác ngược
a) Hàm f(x) = arcsin x có tính chất
f(x) + f(y) = f(x


1 −y
2
+ y

1 −x
2
), ∀x, y ∈ [−1; 1].
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
b) Hàm g(x) = arccos x có tính chất
g(x) + g(y) = g(xy −

1 −x
2

1 −y
2
), ∀x, y ∈ [−1; 1].
c) Hàm h(x) = arctan x có tính chất
h(x) + h(y) = h

x + y
1 −xy

, ∀x, y : xy = 1.
d) Hàm p(x) = arccot x có tính chất
p(x) + p(y) = p

xy −1
x + y


, ∀x, y : x + y = 0.
7. Các hàm hyperbolic
a) Hàm f(x) = sinh x :=
1
2
(e
x
− e
−x
) có tính chất
f(3x) = 3f(x) + 4[f(x)]
3
, ∀x ∈ R.
b) Hàm g(x) = cosh x :=
1
2
(e
x
+ e
−x
) có tính chất
g(x + y) + g(x − y) = 2g(x)g(y), ∀x, y ∈ R.
c) Hàm h(x) = tanh x :=
e
x
− e
−x
e
x

+ e
−x
có tính chất
h(x + y) =
h(x) + h(y)
1 + h(x)h(y)
, ∀x, y ∈ R.
d) Hàm q(x) = coth x :=
e
x
+ e
−x
e
x
− e
−x
có tính chất
q(x + y) =
1 + q(x)q(y)
q(x) + q(y)
, ∀x, y : x, y, x + y = 0.
1.3 Phương trình hàm Cauchy và các phương trình
kiểu Cauchy ( xem [6])
1.3.1 Phương trình hàm Cauchy
Phương trình
f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R (1.1)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
trong lớp hàm liên tục trên R được gọi là phương trình hàm Cauchy.
Nếu không đòi hỏi hàm f thoả mãn điều kiện gì thì (1.1) được gọi là

điều kiện cộng tính của f.
Nếu tập xác định của (1.1) là Q thì rất dễ chỉ ra f(x) = x.f(1). Chứng
minh này có được nhờ quy nạp toán học.
Tiếp theo, mở rộng miền xác định từ Q đến R. Không quá khó để chúng
ta chỉ ra được lời giải của phương trình hàm Cauchy trong trường hợp này
không phải là f(x) = xf(1).
Tuy nhiên, ta cần có thêm vào một số giả thiết để bắt buộc lời giải được
mô tả như trên. Nghĩa là, nếu hàm số f thỏa mãn một trong các điều kiện
sau:
+) đơn điệu trên một khoảng của R;
+) liên tục;
+) bị chặn trên một khoảng;
+) dương với mọi x ≥ 0.
+) khả vi (cách làm sẽ đơn giản hơn nhiều)
thì lời giải của phương trình hàm Cauchy f : R → S là f(x) = xf(1). Cụ
thể:
Bài toán 1.1. Xác định các hàm f(x) liên tục trên R thỏa mãn
f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R. (1.2)
Giải. Từ (1.2) suy ra f(0) = 0, f(−x) = −f(x), với x = y thì
f(2x) = 2f(x), ∀x ∈ R. (1.3)
Giả sử k nguyên dương, f(kx) = kf(x), ∀x ∈ R. Khi đó
f((k + 1)x) = f(kx + x)
= f(kx) + f(x)
= kf(x) + f(x)
= (k + 1)f(x), ∀x ∈ R, ∀k ∈ N.
Theo nguyên lý quy nạp, ta có
f(nx) = nf(x), ∀x ∈ R, ∀n ∈ N.
Kết hợp với tính chất f(−x) = −f(x) ta được
f(mx) = mf(x), ∀m ∈ Z, ∀x ∈ R. (1.4)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

11
Từ (1.3) ta có
f(x) = 2f

x
2

= 2
2
f

x
2
2

= ··· = 2
n
f

x
2
n

.
Suy ra
f

x
2
n


=
1
2
n
f(x), ∀x ∈ R, ∀n ∈ N. (1.5)
Kết hợp (1.4) và (1.5) ta được
f

m
2
n

=
m
2
n
f(1), ∀m ∈ Z, ∀n ∈ N
∗
.
Vì f(x) liên tục, suy ra
f(x) = ax, ∀x ∈ R, a = f(1).
Thử lại, ta thấy hàm số f(x) = ax thỏa mãn (1.2).
Kết luận: f(x) = ax, a ∈ R.
Bài toán 1.2. Tìm các hàm số f(x) xác định và có đạo hàm trên R thỏa
mãn điều kiện:
f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R. (1.6)
Giải. Lần lượt lấy đạo hàm hai vế của (1.6) theo biến x và y, ta được
f


(x + y) = f

(x), ∀x, y ∈ R;
f

(x + y) = f

(y), ∀x, y ∈ R.
Suy ra
f

(x) = f

(y), ∀x, y ∈ R.
Do vậy f

(x) = const hay f(x) = ax + b.
Thế vào (1.6) ta được f(x) = ax với a ∈ R tùy ý (b = 0).
Kết luận: f(x) = ax, ∀x ∈ R, a ∈ R tùy ý.
Bài toán 1.3. Tìm các hàm f(x) xác định và đồng biến trên R thỏa mãn
điều kiện
f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R. (1.7)
Giải. Lần lượt thay y = 0 và y = x vào (1.7) ta được
f(0) = 0, f(2x) = 2f(x), ∀x ∈ R.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
Suy ra f(x) > 0 khi x > 0 và
f(mx) = mf(x), ∀x ∈ R, m ∈ N
∗
. (1.8)

Thay x bởi
x
m
vào (1.8) ta được
f

x
m

=
1
m
f(x), ∀x ∈ R, ∀m ∈ N
∗
.
Do f(x) đồng biến trên R nên
f

−1
n

< f(x) < f

1
n

⇔
−1
n
< x <

1
n
.
Suy ra
−1
n
f(1) < f(x) <
1
n
f(1) ⇔
−1
n
< x <
1
n
.
Do đó
lim
x→0
f(x) = 0 = f(0).
Vậy f(x) là hàm liên tục tại x = 0 và với mọi x ∈ R
lim
y→0
[f(x + y) − f(x)] = lim
y→0
f(y) = 0.
Do đó f(x) liên tục tại ∀x ∈ R. Theo Bài toán (1.1) ta có f(x) = ax, a > 0.
Kết luận: f(x) = ax, ∀x ∈ R, a > 0 tùy ý.
Bài toán 1.4. Cho c > 0, xác định các hàm f(x) thỏa mãn các điều kiện


f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R
|f(x)| ≤ c, ∀x ∈ [−1; 1].
(1.9)
Giải. Từ (1.9) suy ra f(qx) = qf(x), ∀q ∈ Q, ∀x ∈ R.
Giả sử {x
n
} là dãy số thực và {q
n
} là dãy số hữu tỷ tùy ý sao cho
lim
n→∞
x
n
= 0, lim
n→∞
q
n
= +∞;
lim
n→∞
(q
n
x
n
) = 0, x
n
, q
n
= 0, ∀n ∈ N.
(Để lập dãy {q

n
} thỏa mãn điều kiện trên, chỉ cần cho tương ứng với mỗi
số tự nhiên n một số hữu tỷ q
n
sao cho
1

|x
n
|
< q
n
<
1
3

|x
n
|
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
trong đó |f(q
n
x
n
)| ≤ M, ∀n ∈ Z
+
).
Khi đó
|f(x

n
)| =




f

1
q
n
q
n
x
n





=
1
q
n
|f(q
n
x
n
)|, ∀n ∈ N.
Do đó

lim
n→∞
f(x
n
) = 0 = f(0).
Vậy f(x) liên tục tại x = 0 và
lim
y→0
[f(x + y) − f(x)] = lim
y→0
f(y) = 0
Suy ra f(x) liên tục tại mọi điểm x ∈ R. Theo Bài toán 1.1 ta có f(x) = ax
với a ∈ R và |a| ≤ c.
Kết luận: f(x) = ax, với a ∈ R tùy ý sao cho |a| ≤ c.
Bài toán 1.5. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện

f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R,
f(x) ≥ 0, ∀x ≥ 0.
(1.10)
Giải. Từ (1.10) ta chứng minh được f(x) = xf(1), ∀x ∈ Q.
Nếu x ≥ y thì x −y ≥ 0. Do đó
f(x) = f((x −y) + y) = f(x − y) + f(y) ≥ f(y).
Suy ra f là hàm tăng.
Với x ∈ R, do tính chất trù mật của tập các số hữu tỉ nên tồn tại
{p
n
}, {q
n
} ⊂ Q sao cho


p
n
< x < q
n
{p
n
} tăng tới x, {q
n
} giảm xuống x.
⇒ p
n
f(1) = f(p
n
) ≤ f(x) ≤ f(q
n
) = q
n
f(1)
⇒ lim
n→∞
(p
n
f(1)) ≤ f(x) ≤ lim
n→∞
(q
n
f(1))
⇒ xf(1) ≤ f(x) ≤ xf(1) ⇒ f(x) = xf(1), ∀x ∈ R.
Do đó f(x) = cx, c ≥ 0.
Thử lại thấy hàm số f(x) thỏa mãn.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
1.3.2 Các dạng khác của phương trình hàm Cauchy
Ngoài các phương trình hàm Cauchy ở trên, những phương trình hàm
sau có thể đưa về phương trình hàm Cauchy một cách dễ dàng. Người ta
coi chúng là những dạng khác của phương trình hàm Cauchy.
Bài toán 1.6 (Phương trình hàm Cauchy dạng mũ). Xác định các hàm
f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
f(x + y) = f(x)f(y), ∀x, y ∈ R. (1.11)
Giải. Nhận thấy f(x) ≡ 0 là một nghiệm của (1.11).
Xét trường hợp f(x) ≡ 0. Khi đó tồn tại x
0
∈ R sao cho f(x
0
) = 0.
Ta có f(x
0
) = f(x + (x
0
− x)) = f(x).f(x
0
− x) = 0, ∀x ∈ R.
Suy ra
f(x) = 0, ∀x ∈ R
và
f(x) = f

x
2
+

x
2

=

f

x
2

2
> 0, ∀x ∈ R.
Đặt ln f(x) = g(x) (nghĩa là f(x) = e
g(x)
).
Khi đó g(x) liên tục trên R và
g(x + y) = ln f(x + y)
= ln[f(x)f(y)]
= ln f(x) + ln f(y)
= g(x) + g(y), ∀x, y ∈ R.
Theo phương trình hàm Cauchy (1.1) thì g(x) = bx, b ∈ R tùy ý.
Do đó f(x) = e
bx
= a
x
với a > 0 tùy ý.
Kết luận: f(x) ≡ 0 hoặc f(x) = a
x
(a > 0).
Bài toán 1.7 (Phương trình hàm Cauchy dạng logarit). Xác định các

hàm f(x) liên tục trên R\{0} thỏa mãn điều kiện
f(xy) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R\{0}. (1.12)
Giải. Trước hết xét với x, y ∈ R
+
. Đặt x = e
u
, y = e
v
và f(e
t
) = g(t).
Khi đó (1.12) có dạng
g(u + v) = g(u) + g(v), ∀u, v ∈ R. (1.13)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Theo phương trình hàm Cauchy (1.1) thì từ (1.13) ta có g(t) = bt và do
đó
f(x) = a ln x, ∀x ∈ R
+
, a ∈ R tùy ý .
Tiếp theo, xét với x, y ∈ R
−
thì xy ∈ R
+
. Với y = x từ (1.12) và theo kết
quả ở trên ta có
f(x) =
1
2
f(x

2
) =
1
2
b ln(x
2
) = b ln |x|, ∀x ∈ R
−
, b ∈ R tùy ý .
Thử lại, ta thấy hàm f(x) = b ln |x|, với b ∈ R tùy ý thỏa mãn điều kiện
bài toán.
Kết luận: f(x) = b ln |x|, ∀x ∈ R\{0}, với b ∈ R tùy ý.
Bài toán 1.8 (Phương trình hàm Cauchy dạng nhân tính). Xác định các
hàm f(x) liên tục trên R\{0} thỏa mãn điều kiện
f(xy) = f(x)f(y), ∀x, y ∈ R\{0}. (1.14)
Giải. Thay y = 1 vào (1.14) ta được
f(x)(1 − f(1)) = 0, ∀x ∈ R. (1.15)
Nếu f(1) = 1 thì từ (1.15) suy ra f(x) ≡ 0 và nghiệm này thỏa mãn
(1.14).
Xét f(1) = 1, khi đó
f(1) = f

x
1
x

= f(x).f

1
x


, ∀x ∈ R\{0}.
Suy ra f(x) = 0, ∀x ∈ R\{0} và do đó
f(x
2
) = f(x)f(x) = [f(x)]
2
> 0, ∀x ∈ R\{0}.
Trường hợp 1: x, y ∈ R
+
. Đặt x = e
u
, y = e
v
và f(e
t
) = g(t). Khi đó ta có
g(u + v) = g(u)g(v), ∀u, f ∈ R.
Theo Bài toán 1.6 thì
g(t) = a
t
, ∀t ∈ R(a > 0 tùy ý.
Do đó
f(x) = f(e
u
) = g(u) = a
ln x
=

e

ln a

ln x
= x
ln a
= x
α
, ∀x ∈ R, α = ln a.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Trường hợp 2: x, y ∈ R
−
. Khi đó xy ∈ R
+
, với y = x từ (1.14) và theo kết
quả trên ta có
[f(x)]
2
= f(x
2
) = (x
2
)
β
= (|x|
β
)
2
, ∀x ∈ R
−

, β ∈ R tùy ý .
Do f(x) liên tục trên R
−
nên
f(x) =

|x|
β
, ∀x ∈ R
−
−|x|
β
, ∀x ∈ R
−
.
Kết hợp các trường hợp trên và thử lại các kết quả ta có
Kết luận: Nghiệm của (1.14) là một trong các hàm số sau:
1) f(x) ≡ 0, ∀x ∈ R\{0}.
2) f(x) = |x|
α
, x ∈ R\{0}, α tùy ý.
3) f(x) =

x
β
, ∀x ∈ R
+
−|x|
β
, ∀x ∈ R

−
.
1.4 Phương trình hàm Jensen và mở rộng
1.4.1 Phương trình hàm Jensen và bài toán chuyển đổi các
đại lượng trung bình
Bài toán 1.9 (Phương trình hàm Jensen). Tìm hàm f(x) xác định và liên
tục trên R thỏa mãn điều kiện
f

x + y
2

=
f(x) + f(y)
2
, ∀x, y ∈ R. (1.16)
Giải. Đặt f(x) −f(0) = g(x), ta có g(x) liên tục trên R với g(x) = 0 và
g

x + y
2

=
g(x) + g(y)
2
, ∀x, y ∈ R.
Lần lượt cho y = 0 và x = 0, thì
g

x

2

=
g(x)
2
, g

y
2

=
g(y)
2
, ∀x, y ∈ R.
Do vậy
g

x + y
2

= g

x
2

+ g

y
2


, ∀x, y ∈ R
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
hay
g(x + y) = g(x) + g(y), ∀x, y ∈ R. (1.17)
Vì g(x) liên tục trên R nên (1.17) là phương trình hàm Cauchy và do đó
g(x) và do đó g(x) = ax. Suy ra f(x) = ax + b với z, b ∈ R.
Thử lại nghiệm f(x) = ax + b thỏa mãn (1.16).
Kết luận, f(x) = ax + b, a, b ∈ R tùy ý.
Áp dụng bài tập 1.9 ta có thể giải quyết một loạt các bài toán liên quan
đến hàm số chuyển đổi các đại lượng trung bình (xem [1]). Cụ thể:
1. Tìm các hàm f(x) xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
f

x + y
2

=

f(x).f(y), x, y ∈ R.
Kết luận,

f(x) ≡ 0
f(x) = e
ax+b
, a, b tùy ý thuộc R
2. Tìm hàm f : R → R
+
xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
f


x + y
2

=
2f(x).f(y)
f(x) + f(y)
, x, y ∈ R.
Kết luận, f(x) ≡
1
b
, b > 0 tùy ý.
3. Tìm hàm f(x) xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
f

x + y
2

=

[f(x)]
2
+ [f(y)]
2
2
, ∀x, y ∈ R.
Kết luận, f(x) = c, c ≥ 0 tùy ý.
4. Tìm hàm f(x) xác định và liên tục trên R
+
thỏa mãn điều kiện

f(
√
xy) =

f(x)f(y), ∀x, y ∈ R
+
.
Kết luận,

f(x) ≡ 0
f(x) = c.x
a
, a ∈ R, c > 0 tùy ý.
5. Tìm hàm f(x) xác định và liên tục trên R
+
thỏa mãn điều kiện
f(
√
xy) =
f(x) + f(y)
2
, ∀x, y ∈ R
+
.
Kết luận, f(x) = a ln x + b, a, b ∈ R tùy ý.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
6. Tìm hàm f(x) xác định và liên tục trên R
+
thỏa mãn điều kiện

f(
√
xy) =
2
1
f(x)
+
1
f(y)
, ∀x, y ∈ R
+
.
Kết luận, f(x) ≡ b ∈ R \{0} tùy ý.
7. Tìm hàm f(x) xác định và liên tục trên R \ {0} thỏa mãn điều kiện
f




2
1
x
+
1
y




=

2
1
f(x)
+
1
f(y)
, ∀x, y, x + y = 0.
Kết luận,


f(x) =
x
a
, a = 0
f(x) =
1
b
, b = 0
8. Tìm hàm f(x) xác định và liên tục trên R \ {0} thỏa mãn điều kiện
f




2
1
x
+
1
y





=
f(x) + f(y)
2
, ∀x, y, x + y = 0.
Kết luận, f(x) =
a
x
+ b, a, b ∈ R tùy ý.
9. Tìm hàm f(x) xác định và liên tục trên R \ {0} thỏa mãn điều kiện
f




2
1
x
+
1
y




=


f(x).f(y), ∀x, y, x + y = 0.
Kết luận,

f(x) ≡ 0
f(x) = e
a/x+b
, a, b ∈ R tùy ý
10. Tìm hàm f(x) xác định và liên tục trên R \ {0} thỏa mãn điều kiện
f




2
1
x
+
1
y




=

[f(x)]
2
+ [f(y)]
2
2

, x, y, x + y = 0.
Kết luận, f(x) ≡ c, c ≥ 0 tùy ý.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
1.4.2 Mở rộng phương trình hàm Jensen với đa ẩn hàm
Định lý 1.1. ( xem [8]) Cho f, g, h : R → R là các hàm liên tục thỏa mãn
f(
x + y
2
) =
g(x) + h(x)
2
, ∀x, y ∈ R.
Khi đó
f(x) = cx +
a + b
2
,
g(x) = cx + a,
h(x) = cx + b,
∀x ∈ R, a,b,c là các hằng số tùy ý.
1.5 Phương trình hàm D’Alembert và mở rộng
1.5.1 Phương trình hàm D’Alembert
Phương trình hàm D’Alembert là phương trình có dạng
f(x + y) + f(x −y) = 2f(x).f(y) ∀, x, y ∈ R. (1.18)
Khi đó, nếu f : R → R là hàm liên tục thì

f(x) = 0
f(x) = cosh bx, ∀x ∈ R
f(x) = cos bx

(xem [8])
1.5.2 Mở rộng phương trình hàm D’Alembert với đa ẩn hàm
Sau đây là hai bài toàn mở rộng phương trình hàm D’Alembert của
W.H.Wilson (xem [7])
Bài toán 1: f(x + y) + f(x −y) = 2f(x)g(y), ∀x, y ∈ R. (1.19)
Bài toán 2: f(x + y) + g(x −y) = 2h(x)k(y), ∀x, y ∈ R. (1.20)
Các kết quả cho hai bài toán trên được cho bởi các định lý sau.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Định lý 1.2. Nghiệm liên tục tổng quát của (1.19) là
f(t) = 0, g(t) bất kỳ; f(t) = a cos(bt) + c sin(bt), g(t) = cos(bt);
f(t) = a cosh(bt) + c sinh(bt), g(t) = cosh(bt);
f(t) = a + ct, g(t) = 1.
Nếu bỏ điều kiện liên tục thì ta có kết quả sau:
Định lý 1.3. Xét phương trình (1.19)
(i) Nếu f(t) ≡ 0 thì g(t) là hàm tùy ý.
(ii) Nếu f(t) ≡ 0 thì g(t) là hàm tùy ý không đồng nhất bằng 0 và
thỏa mãn phương trình D’Alembert (1.18)
g(x + y) + g(x − y) = 2g(x)g(y)
Hơn nữa, nếu g(t) ≡ 1 thì
f(t) = c + f
0
(t),
trong đó f
0
(t) là nghiệm của phương trình Cauchy f(x+y) = f(x)+f(y).
Ngược lại, nếu g(t) = 1 thì
f(t) = cg(t) + af
1
(t),

trong đó f
1
(t) là một hàm số đặc biệt thỏa mãn phương trình
f
1
(x −y) = f
1
(x).g(y) −f
1
(y)g(x)
với a, c là hằng số tùy ý.
Định lý 1.4. Với giả thiết f, g, h, k : R → R là các hàm liên tục thì
phương trình (1.20) có các bộ nghiệm sau
(i) f(t) = c; g(t) = −c; h(t) = 0; k(t) tùy ý.
(ii) f(t) = c; g(t) = −c; h(t) tùy ý; k(t) = 0.
(iii) f(t) = c
1
cos bt + a
1
sin bt + γ
1
.
g(t) = c
2
cos bt + a
2
sin bt + γ
2
.
h(t) = c cos bt + a sin bt.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
k(t) = γ cos bt + Γ sin bt.
với







γ
1
= −γ
2
2c
1
= cγ −aΓ
2a
1
= aγ + cΓ
2c
2
= cγ + aΓ
2a
2
= aγ −cΓ
(iv) f(t) = c
1
cosh(bt) + a

1
sinh(bt) + γ
1
g(t) = c
2
cosh(bt) + a
2
sinh(bt) + γ
2
h(t) = cosh(bt) + a sinh(bt); k(t) = γ cosh(bt) + Γ sinh(bt)
với







γ
1
= −γ
2
2c
1
= cγ + aΓ
2a
1
= aγ + cΓ
2c
2

= cγ −aΓ
2a
2
= aγ −cΓ
(v) f(t) = c
1
t
2
+ a
1
t + γ
1
; g(t) = c
2
t
2
+ a
2
t + γ
2
h(t) = c + at; k(t) = γ + Γt.
với







γ

1
+ γ
2
= cγ
2a
1
= aγ + cΓ
2a
2
= aγ −cΓ
c
1
= −c
2
=
aΓ
4
Định lý 1.5 (Ứng dụng của phương trình D’Alembert). Nếu hàm f không
phải hàm hằng và thỏa mãn
f(x − y) = f(x).f(y) + g(x).g(y),
với g là một hàm số nào đó, thì f thỏa mãn phương trình D’Alembert
f(x + y) + f(x −y) = 2f(x).f(y).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
Chương 2
Lớp phương trình hàm dạng
Pexider
2.1 Phương trình hàm Pexider
Các phương trình hàm
(P A) : f(x + y) = g(x) + h(y) (2.1)

(P E) : f(x + y) = g(x).h(y) (2.2)
(P L) : f(x.y) = g(x) + h(y) (2.3)
(P M) : f(x.y) = g(x).h(y) (2.4)
được gọi là các phương trình hàm Pexider, đó lần lượt là các dạng mở rộng
trực tiếp của phương trình hàm Cauchy cộng tính, mũ, logarit, nhân tính.
Lời giải cụ thể của các phương trình trên có thể được chỉ ra bằng cách đưa
chúng về các dạng phương trình hàm Cauchy tương ứng.
Xét phương trình (2.1): Lấy y = 0 và đặt b = h(0) thì g(x) = f(x) −b.
Lấy x = 0 và đặt a = g(0) thì h(y) = f(y) −a.
Thay vào (2.1) ta có
f(x + y) = f(x) + f(y) −a −b.
Đặt ϕ(x) = f(x) − a − b thì ta đưa về phương trình hàm Cauchy
ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y). (2.5)
Định lý 2.1. ( xem [8]) Lời giải tổng quát của phương trình hàm (PA)
(2.1) là
f(x) = ϕ(x) + a + b; g(x) = ϕ(x) + a; h(x) = ϕ(x) + b
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
23
trong đó ϕ(x) thỏa mãn phương trình hàm Cauchy (2.5), a, b là các hằng
số tùy ý.
Tương tự như phương trình hàm Cauchy, nếu f thoả mãn một trong
các điều kiện:
+) liên tục;
+) đơn điệu;
+) bị chặn trên một khoảng của R;
+) dương với mọi x ≥ 0
thì ta có được lời giải cụ thể dưới đây:
Hệ quả 2.1. Nếu f là hàm số liên tục thì lời giải của phương trình hàm
(2.1) là
f(x) = cx = a + b; g(x) = cx + a, h(x) = cx + b, với a, b, c ∈ R.

Tương tự, ta xét các phương trình hàm (PE), (PL), (PM) trong lớp các
hàm số liên tục như sau:
Bài toán 2.1. Tìm tất cả các hàm số f, g, h xác định và liên tục trên R
phương trình hàm (P E) (2.2), nghĩa là
f(x + y) = g(x).h(y), ∀x, y ∈ R.
Giải. Lấy y = 0 và đặt b = h(0) thì (2.2) trở thành
f(x) = bg(x), ∀x ∈ R. (2.6)
Lấy x = 0 và đặt a = g(0) thì từ (2.2) ta có
f(y) = ah(y), ∀y ∈ R. (2.7)
Trường hợp 1: a = 0 hoặc b = 0. Khi đó,





f(x) = 0, ∀x ∈ R

g ≡ 0, h là hàm số tùy ý
h ≡ 0, g là hàm số tùy ý.
Trường hợp 2: a = 0 và b = 0. Khi đó từ (2.6), (2.7) ta có
g(x) =
f(x)
b
h(x) =
f(x)
a
( ∀x, y ∈ R.)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
24
Thay vào (2.2), ta có

f(x + y) =
f(x).f(y)
ab
, ∀x, y ∈ R.
Đặt ϕ(x) =
f(x)
ab
ta thu được phương trình hàm Cauchy dạng mũ
ϕ(x + y) = ϕ(x).ϕ(y), ∀x, y ∈ R.
Do f là hàm liên tục nên ϕ cũng là hàm liên tục. Từ đó ta có ϕ(x) = u
x
,
với u là một số thực dương tùy ý.
Vậy f(x) = abu
x
; g(x) = au
x
; h(x) = bu
x
, ∀a, b, u ∈ R, u > 0.
Nhận xét 2.1. Tương tự phương trình hàm (PA), lời giải của phương
trình hàm (PE) là



f(x) = ab exp(ϕ(x)); g(x) = a exp(ϕ(x)); h(x) = b exp(ϕ(x));
f ≡ 0; g ≡ 0; h là hàm số tùy ý ;
f ≡ 0; h ≡ 0; g là hàm số tùy ý
trong đó ϕ(x) là hàm số thỏa mãn phương trình hàm Cauchy
ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y),

a, b là các số thực khác 0.
Bài toán 2.2. Tìm tất cả các hàm số f, g, h xác định và liên tục trên R
+
thỏa mãn phương trình (P L) (2.3)
f(xy) = g(x) + h(y), ∀x, y ∈ R
+
.
Giải. Lấy x = 1 và đặt a = g(1) thì từ (2.3) ta có
h(y) = f(y) −a, ∀y ∈ R.
Lấy y = 1 và đặt b = h(1) thì từ (2.3) ta có
g(x) = f(x) − b, ∀x ∈ R.
Thay vào (2.3) ta có
f(xy) = f(x) + f(y) −a −b.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
25
Đặt ϕ(x) = f(x) − a − b, ta thu được phương trình hàm Cauchy dạng
logarit
ϕ(xy) = ϕ(x) + ϕ(y), ∀x, y ∈ R.
Do f là liên tục nên ϕ liên tục. Từ đó ta có
ϕ(x) = c. ln x.
Biểu diễn a = c. ln α; b = c. ln β với α > 0, β > 0 ta thu được lời giải của
phương trình (PL) là:
f(x) = c. ln(αβx); g(x) = c. ln(αx); h(x) = c. ln(βx)
với c, α, β ∈ R; α > 0, β > 0.
Bài toán 2.3. Tìm tất cả các hàm số f, g, h xác định và liên tục trên
R
+
thỏa mãn phương trình (2.4):
f(xy) = g(x)h(y), ∀x, y ∈ R
+

.
Giải. Lấy x = 0 và đặt a = g(0), thay vào (2.4) ta có
f(y) = ah(y), ∀y ∈ R
+
. (2.8)
Lấy y = 0 và đặt b = h(0), thay vào (2.4) ta có
f(x) = bg(x), ∀x ∈ R
+
. (2.9)
Trường hợp 1: Nếu a = 0 hoặc b = 0 thì ta có





f ≡ 0

g ≡ 0, h là hàm số tùy ý
h ≡ 0, g là hàm số tùy ý
Trường hợp 2: a = 0 và b = 0. Từ (2.8), (2.9) ta có
h(y) =
f(y)
a
, ∀y ∈ R
+
;
g(x) =
f(x)
b
, ∀x ∈ R

+
.
Thay vào (2.3), ta có
f(xy) =
f(x).f(y)
ab
, ∀x, y ∈ R.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên