Toán tử tích phân cực đại trên trường địa phương

Viện khoa học và công nghệ việt nam
viện toán học

Hà Duy Hng

TOáN Tử TíCH PHÂN CựC ĐạI
TRÊN trờng ĐịA PHƯƠNG

Luận ¸n tiÕn sÜ to¸n häc

Hµ Néi - 2012


Viện khoa học và công nghệ việt nam
viện toán học

Hà Duy Hng

TOáN Tử TíCH PHÂN CựC ĐạI
TRÊN trờng ĐịA PHƯƠNG
Chuyên ngành: Phơng trình vi phân và tích phân
MÃ số

62 46 01 05

Ln ¸n tiÕn sÜ to¸n häc

Ng−êi h−íng dÉn khoa học
GS. TSKH. Nguyễn Minh Chơng

Hà Nội - 2012

Lài cam đoan
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cúu cna tơi. Các ket qua viet
chung vói tác gia khác đã đưoc sn nhat trí cna đong tác gia khi đưa vào
lu¾n án. Các ket qua cna lu¾n án là mói và chưa tùng đưoc ai cơng bo
trong bat kỳ cơng trình nào khác.
Tác gia

Hà Duy Hưng

1


2

TĨM TAT
Trong lu¾n án này, chúng tơi nghiên cúu các bat đang thúc TRQNG
chuan loai yeu, manh, trên các trưòng đ%a phương, cho toán tu cnc
đai Hardy-

1
∫ |f (y)|dy và f ∈
Littlewood M , trong đó Mf (x) = sup
dγ
L1
γ∈Z q

. Các
l

γ

ket qua nghiên cúu chính cna lu¾n án nam o chương 2 và chương 3.
Trong chương 2, chúng tôi chúng minh m®t so bo đe phn quan

TRQNG

trưịng đ%a phương; xây dnng lai lý thuyet ve các hàm

trên

TRQNG

Muckenhoupt AA
trên trưòng đ%a phương và úng dung vào giai quyet m®t bài tốn TRQNG noi
tieng ve tốn tu M , đó là: vói đieu ki¾n nào cna

TRQNG

ω thì M b% ch¾n

tù LA (ω) vào LA (ω). Các ket qua đó đưoc mo r®ng cho tốn tu cnc đai
vói giá tr% véctơ, tù đó nh¾n đưoc các bat đang thúc

TRQNG

chuan

Fefferman-Stein. Chúng tơi đưa ra oc mđt ieu kiắn can v mđt ieu

kiắn n gan tng ng nhau, cho mđt cắp hm

TRQNG

e cú oc bat

đang thúc ngưoc loai yeu cho toán tu cnc đai Hardy-Littlewood M ;
chúng tơi áp dung ket qua đó cho lóp hàm L log+ L vói

TRQNG

cna

Zygmund. Cũng trong chương 2, chỳng tụi giúi thiắu mđt lúp toỏn tu
tớch phõn cnc đai mói và chúng minh đưoc m®t ưóc lưong loai yeu cho
nó.
Trong chương 3, chúng tơi giai quyet m®t bài tốn

TRQNG

Muckenhoupt trên trưịng đ%a phương: tìm đieu ki¾n can và đn cna hàm
TRQNG

v đe ton tai m®t hàm

TRQNG

u huu han hau khap nơi sao cho tốn

tu M là b% ch¾n tù LA (u) vào LA (v).

3

ABSTRACT
In this thesis, we investigate the weak and strong types of weighted
norm inequalities for the Hardy-Littlewood maximal operator M , in
which

1
Mf (x) = sup ∫ |f (y)|dy, here f ∈
dγ
L1
γ∈Z q

. Our main results are given
l

γ

in chapter 2 and chapter 3. In chapter 2, we prove some necessary covering
lemmas on local fields; a theory of Muckenhoupt weights is
systematically introduced and we use it to solve a famous problem of
characterizing all weight functions ω for which the operator M is
bounded from LA (ω)

to LA (ω). Then, we prove the Fefferman-Stein

weighted inequalities for vector- valued maximal operator over local
fields. We go on to obtain a sufficient and an almost similar necessary

condition on a pair of weight functions for which a reverse weak type
norm inequality holds for the Hardy-Littlewood maximal operator M ;
we apply our result to the weighted Zygmund class L log+ L. Also in
this chapter, we prove a weak type estimate for a new maximal integral
operator.
In chapter 3, we obtain a necessary and sufficient condition on weight
functions v such that the Hardy-Littlewood maximal operator M is bounded
from LA (u) to LA (v) for some finite a.e. function u. This characterization
answers completely to a local field version of a similar question posed by
Muckenhoupt.


Lài cam ơn
Lu¾n án đưoc thnc hi¾n và hồn thành tai Viắn Toỏn
Viắn Khoa

HQ c

HQ c

thuđc

v Cụng nghắ Viắt Nam, dưói sn hưóng dan t¾n tình và

nghiêm khac cna GS.TSKH Nguyen Minh Chương. Thay đã hưóng dan
và truyen thu cho tác gia nhung kinh nghi¾m trong
khoa

HQ c.

HQ c

t¾p, nghiên cúu

Tác gia xin bày to lòng biet ơn chân thành và kính

TRQNG

sâu

sac đoi vói Thay.
Trong q trình nghiên cúu và hồn thành lu¾n án, tác gia ln nhân
đưoc sn giúp đõ, góp ý cna GS.TSKH Hà Huy Khối, GS.TSKH Nguyen
Manh Hùng, PGS.TSKH Nguyen Minh Trí, PGS.TS Hà Tien Ngoan, TS.
Nguyen Văn NGQc, TS. Cung The Anh. Tác gia xin chân thành cam ơn
sn quan tâm giúp đõ cna các Thay.
Tác gia xin chân thành cam ơn các thay, cô giáo cùng các anh ch%
em nghiên cúu sinh, cao

HQ c

trong xemina "Toán tu gia vi phân, sóng nhó

trên các trưàng thnc, p−adic", xemina cna Phịng Phương trình vi phân
đã tao m®t mơi trưịng

HQ c

t¾p và nghiên cúu thu¾n loi giúp tác gia hồn

thành lu¾n án này. Tai đây tác gia đã nh¾n đưoc nhieu chi dan, góp ý
cũng như mơi trưịng nghiên cúu sơi noi và thân thi¾n, đieu khơng the
thieu trong

4


5

q trình nghiên cúu, hồn thành lu¾n án cna tác gia.
Tác gia xin chân thành cam ơn Ban lãnh đao Vi¾n Tốn

HQ c,

Trung tâm Đào tao sau đai

HQ c

Vi¾n Tốn

đieu ki¾n thu¾n loi cho tác gia trong quá

HQ c

đã tao

MQI

cùng ton the cỏn bđ, cụng nhõn viờn

trỡnh thnc hiắn luắn án.
Tác gia xin trân TRQNG cam ơn Trưòng THPT Chuyên ai HQc S pham
ó tao ieu kiắn giỳp ừ, đng viên tác gia trong suot thòi gian làm nghiên
cúu sinh và thnc hi¾n Lu¾n án.
Tác gia xin chân thành cam ơn ban bè, đong nghi¾p, đ¾c bi¾t là cha
me, vo và con trai cùng nhung ngưịi thân trong gia đình, đã giúp đõ
đ®ng viên tác gia trong suot thịi gian thnc hiắn Luắn ỏn.
H Nđi, thỏng 12 nm 2011
Tỏc gia
H Duy Hưng


6

BANG Kí HIfiU
Ký hiắu

Dien giai

|x| : chuan cna mđt phan tu x trong Kd,
|x|p : chuan p − adic cna so p − adic x
K/k : mo r®ng đai so trên trưòng k,
(K : k) : so chieu cna mo r®ng đai so K/k,
Kd : khơng gian véc tơ d chieu trên trưòng K,
Qp : trưòng các so p−adic
Fq((t)) : trưòng các chuoi so Laurent trên trưòng huu han Fq,
O : vành các so nguyên cna K,
P : ideal nguyên to cna O,
β : phan tu nguyên to cna P,
p : so ngun to và là đ¾c so cna trưịng O/P,

q : so phan tu cna trưòng O/P,
x + Bγ, Bγ : hình cau đóng tâm x, tâm 0 bán kính
q γ , x + Sγ, Sγ

: m¾t cau tâm x, tâm 0 bán kính

qγ,
NK/k(α), TrK/k(α) : đ%nh thúc, vet cna phan tu α ∈ K,
M : toán tu Hardy-Littlewood,


7

AA : Lóp các hàm

TRQNG

Muckenhoupt,

CSp : t¾p tat ca các dãy Cauchy trong Q úng vói metric p−adic dp,
Null p : t¾p tat ca các dãy trong Q có giói han bang 0,
dx : đ o Haar,
LA : tắp cỏc hàm kha tích b¾c A trên Kd,
A
Llo
c

: t¾p các hàm kha tích đ%a phương b¾c A trên Kd,

LA (u) : t¾p các hàm kha tích b¾c A trên Kd úng vúi đ o dà = udx,

D : tắp cỏc hm hang đ%a phương vói giá compact,
DJ : t¾p các phiem hàm tuyen tính liên tuc trên D,
χ : hàm đ¾c trưng cna nhóm c®ng (K, +) vói hang bang 1,
Σ
.∞
|xk| r1/r < ∞.
Ar : không gian các dãy phúc x = (xk) sao
Σ
k
cho
=1


Mnc lnc

Lài cam đoan

1

Tóm tat

2

Lài cam ơn

4

Bang ký hi¾u

6

Lài nói đau

10

1

22

2

M®T SO KHÁI NIfiM VÀ KET QUA CHUAN B±
1.1

Trưịng đ%a phương...........................................................................22

1.2

Đ® đo và tích phân trên trưịng đ%a phương.................................33

1.3

Bien đoi Fourier v tớch chắp.......................................................39

1.4

%nh lý nđi suy Marcinkiewicz.......................................................41

TON TU CUC ĐAI HARDY - LITTLEWOOD VÀ CÁC
BAT ĐANG THÚC TRONG CHUAN TRÊN TRƯèNG

бA PHƯƠNG

46
8


9

2.1

Các bo đe phn loai Calderón-Zygmund......................................48

2.2

Tốn tu cnc đai Hardy-Littlewood và lóp hàm TRQNG Muck- enhoupt
AA trên trưịng đ%a phương ..............................................................56

2.3

Bat đang thúc TRQNG chuan Fefferman-Stein cho toán tu cnc
đai giá tr% vectơ trên trưịng đ%a phương.......................................66

2.4

M®t bat đang thúc

TRQNG

chuan loai yeu ngưoc cho tốn tu

cnc đai...........................................................................................73
2.5
3

Ưóc lưong loai yeu cho m®t lóp tốn tu tích phân.....................81

BÀI TỐN MUCKENHOUPT TRÊN TRƯèNG бA
PHƯƠNG

89

3.1

Bat đang thúc đoi ngau Fefferman-Stein....................................91

3.2

Lóp hàm TRQNG WA và bài tốn TRQNG cna Muckenhoupt trên
trưịng đ%a phương............................................................................92

Ket lu¾n và kien ngh%

102

Danh mnc cơng trình cơng bo cua tác gia

104

Tài li¾u tham khao

105


Lài nói đau
I. Lý do cHQN đe tài
Giai tích đieu hịa có nguon goc tù lý thuyet các chuoi Fourier. Tù
lâu, ngưịi ta đã khoi xưóng vi¾c nghiên cúu các chuoi Fourier tù m®t chieu
sang nhieu chieu và trên các nhóm compact đ%a phương. Vi¾c nghiên
cúu các chuoi Fourier trên các nhóm compact đ%a phương mang đen
nhieu ket qua có nhung úng dung quan

TRQNG

trong nghiên cúu lý

thuyet so, lý thuyet phương trình đao hàm riêng. Bên canh R và đưịng
trịn đơn v% T cna m¾t phang phúc là các ví du quen thu®c ve các
nhóm compact đ%a phương, thì ta cịn có các nhóm c®ng và nhân cna
trưịng so p−adic Qp , hoắc rđng hn l cỏc trũng %a phng (bao gom
Qp ,

MQI

mo r®ng huu han cna Qp và trưịng các chuoi Laurent trên m®t

trưịng huu han). Trưóc đây khơng gian ba chieu Euclid R3 thưịng đưoc
nói như là khơng gian cna các hi¾n tưong v¾t lý. Theo thơng l¾ đó, R3
thưịng đưoc nh¾n thúc như là khơng gian v¾t lý thnc. Tuy nhiên, R3
cũng chi đơn gian là m®t mơ hình hình
dàng kiem tra đưoc các tiên đe hình

bang phương pháp

TQA

HQ c

HQ c

mà o đó ngưịi ta de

bang trnc giỏc. Thnc vắy,

đ, ta cú the mụ ta cỏc vắt the hình

HQ c

thơng qua h¾ thong các so. Khơng gian Euclid su dung h¾ thong so
thnc, có the coi là làm đay cna t¾p các so huu ty Q vói giá tr%
10


1

tuy¾t đoi thơng thưịng | · | trên Q, o đó m®t giá tr% tut đoi là m®t hàm
| · | : Q → R thoa mãn:
1. |x| ≥ 0, |x| = 0 khi và chi khi x =
0, 2. |xy| = |x| |y|,
3. |x + y| ≤ |x| + |y|.
Tuy nhiên, trên trưịng các so huu ty Q ngồi giá tr% tuy¾t đoi thơng
thưịng cịn có các giá tr% tuy¾t đoi p−adic khơng tương đương vói nó.

Năm 1916, nhà tốn

HQ c

Ostrowski chúng minh đưoc rang

MQI

giá tr%

tuy¾t đoi khơng tam thưòng trên trưòng các so huu ty Q đeu tương đương
vói giá tr% tuy¾t đoi thnc thơng thưịng, ho¾c giá tr% tuy¾t đoi p−adic | · |p ,
vói p là mđt so nguyờn to. e õy, giỏ tr% tuyắt oi | · |p thoa mãn các
đieu ki¾n 1., 2., và
3J. |x + y|p ≤ max{|x|p , |y|p }.
Chú ý rang giá tr% tuy¾t đoi thơng thưịng thoa mãn tiên đe
Archimede trong khi đó tiên đe Archimede khơng cịn đúng đoi vói | · |p .
Thnc v¾y, ta có |n · 1|p = |1 + · · · + 1|p ≤ |1|p = 1, vói
dương. Do đó | · |p đưoc

GQI

MQI

n nguyên

là giá tr% tuy¾t đoi phi-Archimede. Bao đay

cna Q theo | · |p cho ta trưòng các so p−adic Qp .
Trong luắn ỏn ny, trũng %a phng l mđt trũng tơpơ đn, khơng

rịi rac, compact đ%a phương và hồn tồn khơng liên thơng. Ngưịi ta chi
ra đưoc rang, m®t trưịng như v¾y, thì ho¾c là trưịng các so p−adic Qp,
ho¾c l mđt mo rđng huu han cna Qp, hoắc l trưịng các chuoi so Laurent
trên m®t trưịng huu han.


1

Như đã nói o trên, nhieu lý thuyet tốn

HQ c

đã sóm đưoc chuyen sang

và xây dnng trên Qp , và tong quát hơn trên các trưòng đ%a phương.
Tù đây, các khơng gian hàm quan

TRQNG

trong lý thuyet phương

trình đao hàm riêng như không gian các hàm trơn vô cùng, không gian
các hàm thu, khơng gian các phân bo đưoc thiet l¾p trên các trưịng đ%a
phương tương
úng là khơng gian E các hàm hang đ%a phương, D không gian các hàm hang
đ%a phương vói giá compact, DJ khơng gian các phân bo, ... Bên canh đó,
rat nhieu van đe cơ ban cna giai tích đieu hồ trên trưịng đ%a phương đã
bat đau đưoc nghiên cúu tù nhung năm 1934 và phát trien manh me trong
giai đoan 1970-1980 boi các cơng trình cna M. Taibleson, Keith Phillips,
J. A. Chao, James Daly, Charles Downey ... trong đó các nghiên cúu chn

yeu t¾p trung vào các tốn tu cnc đai, các tốn tu tích phân kì d%, chuoi
Fourier (xem [47]). Vì nhung úng dung quan
cơng ngh¾, trong y

HQ c

TRQng

trong khoa

HQ c

mà nhung năm gan đây, các lý thuyet phương

trình đao
hàm riêng p−adic, giai tích sóng nho p−adic, giai tích đieu hịa trên các
trưịng trưịng đ%a phương đã thu hút đưoc sn quan tâm nghiên cúu
cna rat nhieu nhà toán

HQ c

như V.S. Vladimirov, I.V. Volovich, A.

Kochubei, Keith Rogers, A. Yu. Khrennikov, S.V. Kozyrev, Nguyen
Minh Chuong,
... . Trong đó có nhieu cơng trình t¾p trung nghiên cúu ve lý thuyet hàm
cnc đai, sóng nho, các tốn tu tích phân dao đ®ng, tốn tu gia vi phân,
bài tốn Cauchy đoi vói phương trình gia vi phân parabolic, pho cna toán
tu gia vi phân p−adic (xem [13], [14], [15], [16], [36], [33], [48], [51], ...).
Lý thuyet ve các toán tu tích phân cnc đai, là m®t trong nhung

đoi tưong nghiên cúu quan

TRQNG

cna giai tích đieu hịa hi¾n đai và lý


thuyet

1


1

phương trình đao hàm riêng. M®t trong nhung úng dung co đien nhat cna
lý thuyet các toán tu cnc đai đó là trong chúng minh đ%nh lý đao
hàm Lebesgue. Bên canh đó, các tốn tu tích phân cnc đai, trong đó
tốn tu cnc đai Hardy-Littlewood là m®t trong nhung ví du quan

TRQNG

nhat, đưoc su dung trong nghiên cúu các không gian Sobolev boi cú mđt
sn kiắn khỏ n gian ú là tính kha vi yeu thưịng đưoc bao ton qua
tốn tu cnc đai. Chang han, m®t tính chat cna tốn tu cnc đai
Hardy-Littlewood M đó là bien m®t hàm Lipschitz thành m®t hàm
Lipschitz, do đó theo đ%nh lý Rademacher, hàm cnc đai cna m®t hàm
Lipschitz là kha vi hau khap ni. Mắc dự toỏn tu cnc ai khụng bien mđt
hm kha vi thành m®t hàm kha vi, nhưng M là tốn tu b% ch¾n giua các
khơng gian Sobolev W 1,p (Rd ) vói
1 < p < ∞, do đó nó bao tồn tính kha vi yeu. Năm 2001, các nhà toán

HQ c

J. Bourgain, H. Brezis, và P. Mironescu [11] đã a ra mđt ắc trng

rat múi cho cỏc khụng gian Sobolev W

1,p

(Rd ) vói 1 < p < ∞, mà o đó

các tính chat cna tốn tu cnc đai đóng vai trị chìa khóa trong
chúng minh
cna

HQ.

Trên các trưịng p−adic và r®ng hơn trên các trưịng đ%a phương, giai
tích đieu hịa đưoc các nhà toán

HQ c

quan tâm và nghiên cúu tù rat sóm,

mà đ¾c bi¾t trong đó là lý thuyet ve các tốn tu tích phân kì d%, các tốn tu
tích phân cnc đai. Rat nhieu ket qua cơ ban đã đưoc chúng minh tù nhung
năm 70 cna the ky trưóc. Trong thịi gian gan đây, nhieu ket qua mói
ve lĩnh vnc này cũng đưoc cơng bo trong đó có nhung ket qua mang tính
mo đưịng. Chang han, năm 2004, Keith Rogers [42] đã giai quyet
đưoc bài tốn trung bình cnc ai
neu kớ hiắu

DQ c

theo mđt cung padic nh sau:


1

Mγ f (x) =
sup

k∈Z

1
|t|

p ∫

|f (x − γ(t))| dt, trong đó γ(t) = (t, t2, . . . , td )
thì

≤ pk

Mγ là b% ch¾n trong Lq(Qdp) vói 1 < q < ∞. Keith M. Rogers [43] cũng
đã chúng minh đưoc dang p−adic cna bo đe van der Corput cho đa thúc,
qua đó mo ra hưóng nghiên cúu lý thuyet tích phân dao đ®ng p−adic,
m®t trong nhung van đe trung tâm cna giai tích đieu hịa p−adic. Năm
2008, các tác gia Weiyi Su và Hua Qiu xây dnng lai đ%nh nghĩa và các tính
chat cna đao hàm Gibbs p−adic thơng qua toán tu gia vi phân p−adic và
chi ra rang các đao hàm loai đó rat có nhieu úng dung đáng ngac nhiên

trong giai tích fractal, trong y

HQ c.

Đieu đó cho thay vi¾c can thiet phai

phát trien lý thuyet phương trình đao hàm riêng p−adic, phương
trình đao hàm riêng fractal trên các trưòng đ%a phương (xem [51]). Năm
2008,
các tác gia Nguyen Minh Chương và Nguyen Văn Cơ [16] đã xây dnng
oc mđt hắ cỏc c so trnc chuan múi cna L2(Qp) gom các hàm riêng cna
toán tu gia vi phân Vladimirov Dα, qua đó xây dnng đưoc tưịng minh
nghi¾m o dang chuoi cna m®t lóp phương trình gia vi phân p−adic loai
hyperbolic. Tuy nhiên, trên các trưòng đ%a phương, lý thuyet các tốn tu
tích phân cnc đai cịn chúa đnng nhieu bài toán quan
đưoc nghiên cúu. Chang han, các bài tốn đ¾c trưng hàm
tu cnc đai Hardy-Littlewood M : đ¾c trưng hàm
tù LA (u) vào LA (u), bài tốn đ¾c trưng hàm
M b% ch¾n tù LA (u) vào LA (v), bài tốn hai

TRQNG

TRQNG

TRQNG

TRQNG

chưa

cho tốn

u đe M b% ch¾n

v đe ton tai u sao cho

TRQNG.

Vì nhung ngun nhân nói trên Giáo sư Nguyen Minh Chương đã goi ý
cho tôi nghiên cúu các van đe đã nêu vói đe tài Tốn tN tích phân cNc
đai trên trưàng đ%a phương.


1

II. Đoi tưang, pham vi và phương pháp nghiên cNu
Rat nhieu các ket qua nghiên cúu cna giai tích đieu hòa trên trưòng
so p−adic van đúng cho các trưòng đ%a phương (o đó trưịng đ%a phương
bao gom trưịng các so p−adic Qp , mo r®ng huu han cna Qp và
trưịng các chuoi Laurent trên m®t trưịng huu han). Do đó luắn ỏn ny
e cắp en mđt so ket qua cna giai tích đieu hịa, phương trình đao hàm
riêng khơng chi trên trưòng các so p−adic mà trên ca các trưòng %a
phng. Chỳng tụi nghiờn cỳu mđt so bi toỏn ắc trưng hàm
trưịng đ%a phương đe có đưoc các bat đang thúc

TRQNG

TRQNG

trên

chuan loai yeu

và manh cho toán tu cnc đai Hardy-Littlewood M , cho dang véctơ cna
toán tu M . Cũng trong lu¾n án này, chúng tơi đưa ra và nghiên cúu
m®t lóp tốn tu tích phân cnc đai mói. Cu the, trong lu¾n án này
chúng tơi nghiên cúu các bài toỏn sau õy:
(a) Bi toỏn mđt TRQNG: vúi ieu kiắn nào cna

TRQNG

u thì tốn tu M là b%

ch¾n tù LA (u) vào LA (u) vói 1 ≤ A ≤ ∞?. Nghiên cúu bài tốn
tương tn đoi vói dang véctơ cna tốn tu M .
(b) Bài tốn

TRQNG

nào cna hàm

Muckenhoupt trên trưịng %a phng: vúi ieu kiắn

TRQNG

v e ton tai mđt hm

TRQNG

u sao cho tốn tu M

là b% ch¾n tù LA (u) vào LA (v).
(c) Bài tốn hai

TRQNG:

tìm các đieu ki¾n giua hai

TRQNG

u, v đe tốn tu

M b% ch¾n trong các khơng gian hàm kha tích thơng thưịng.
(d) Nghiên cúu các bat đang thúc
phân cnc đai khác.

TRQNG

chuan đoi vói nhung tốn tu tích


1

Trong giai tích đieu hịa thnc, bon bài tốn trên thu hút đưoc sn quan tâm
nghiên cúu cna rat nhieu nhà toán

HQ c

và đã đat đưoc nhieu ket qua sâu

sac. Do ú mđt trong nhung thuắn loi khi nghiờn cỳu các bài tốn
trên là nhieu van đe đã có san nhung lưoc đo nghiên cúu cu the.
Tuy nhiên, vi¾c chuyen nghiên cúu các bài tốn trên trong trưịng đ%a
phương se g¾p nhung khó khăn nhat đ%nh. Khó khăn thú nhat đó là rat
nhieu các ket qua nen tang, can thiet trong các lưoc đo nghiên cúu các bài
toán trên lai chưa san có, phai đi thiet l¾p lai và khơng phai ket qua no
cng de dng thiet
lắp oc mđt phiờn ban p−adic thích hop khi xét chuyen tù giai tích đieu
hịa thnc sang giai tích đieu hịa p−adic. Chang han, phai đen năm 2004,
Keith Rogers [43] mói đưa ra đưoc m®t phiên ban p−adic đưoc cho là phù
hop cna bo đe van der Corput, m®t bo đe mà trong lý thuyet giai tích đieu
hịa thnc đã minh chúng rang có m®t vai trị rat quan

TRQNG

khi

nghiên cúu các tốn tu tích phõn dao đng. Vỡ vắy ket qua cna Keith
Rogers mo ra hưóng nghiên cúu ve các tích phân dao đ®ng p−adic. Khó
khăn thú hai
nam o sn khác bi¾t ve cau trúc so HQc và hình HQc giua hai trưịng so thnc
và trưịng so p−adic. Đieu này dan tói phai thay đoi nhieu ket qua tương
úng, phai đưa ra chúng minh hồn tồn khác vói các ket qua tương úng
giua hai trũng. Mđt so ket qua k thuắt san cú trong trưịng hop Euclid
g¾p khó khăn trong vi¾c chuyen sang trưịng đ%a phương nam o sn
khác nhau ve so

HQ c

giua hai trưịng: chang han trên R có the sap thú tn

tồn
phan cịn trên K thì khơng, ho¾c nhung chuoi so dang 1 +

1

+ 1 + · · · vói

q

q

q > 1 là h®i tu trong R nhưng khơng h®i tu trong trưịng đ%a phương và
ngưoc lai có nhung chuoi so h®i tu trong trưịng đ%a phương nhưng khơng
h®i tu trong R. Mđt ieu cú the nhắn ra, chớnh vỡ cỏc chuan phi Archimede


1

thoa mãn bat đang thúc manh hơn bat đang thúc tam giác, nên nhieu ket
qua nh¾n đưoc trong trưịng đ%a phương se đep hơn và o dang manh
hơn vói các ket qua tương úng trên trưòng thnc.
Đe nghiên cúu các bài tốn o trên, chúng tơi dna trên các lưoc đo nghiên
cúu đã có san trong giai tích đieu hịa thnc. Đau tiên, m®t trong
nhung phương pháp nghiên cúu tốn tu M đó là phai có nhung ket qua
sâu sac ve cau trúc hình
qua ve phn hình

HQ c.

HQ c

cna khơng gian nen mà đ¾c bi¾t là các ket

Do đó chúng tơi đi thiet l¾p lai các bo đe phn

Wienner, phân tích Calderón-Zygmund trên trưịng đ%a phương. Các tính
chat đ¾c trưng cna trưịng đ%a phương đưoc v¾n dung vào trong các
chúng minh cna các bo đe này. Điem khác bi¾t rõ nhat cna các bo đe này
giua hai trưòng thnc và trưịng đ%a phương đó là: trong trưịng đ%a phương,
t¾p múc cna tốn tu cnc đai Hardy-Littlewood M có the viet thành hop
khơng q đem đưoc các hình cau rịi nhau, cịn trưịng so thnc thì chưa
chac có the phân tích đưoc như v¾y. Chính ket qua này dan tói sn
khác nhau ve chuan yeu và chuan manh cna toán tu M . Đe nghiên cúu
bài tốn (a), cũng như trưịng hop Euclid, chỳng tụi i thiet lắp lai lúp
hm

TRQNG

toỏn mđt

Muckenhoupt tương tn trên trưịng đ%a phương. Đoi vói bài

TRQNG

cho tốn tu M , ket qua nh¾n đưoc khơng khác nhieu so

vói trưịng hop Euclid. Tuy nhiên đoi vói bài tốn m®t

TRQNG

cho tốn

tu dang véctơ, chúng tơi van cịn nhieu van đe tương úng chuyen sang
mà chưa giai quyet đưoc do gắp khú khn vúi mđt so ket qua mang tớnh
k thu¾t.
Bài tốn (b) trong trưịng hop Euclid đã đưoc giai quyet đc lắp boi
Wo-Sang Young [49], A.E. Gatto v C.E. Gutiérrez [24]. Trong trưịng đ
%a phương, chúng tơi giai quyet bài toán (b) dna trên ý tưong cna Wo-