Tai lieu on tap thi vào thpt tap 1

Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 THPT - Tập 1

Phần 1: Đại số
Chuyên đề 1: Căn thức - rút gọn biểu thức

A. Kiến thức cơ bản:
1.Nhắc lại về biến đổi đồng nhất
a. Phép nhân các đa thức:
Với A, B, C, D, E là các đơn thức thì:
A(B + C) = (B + C)A = AB + AC
(A + B)(C + D - E) = AC + AD – AE + BC + BD – BE.
b. Nh÷ng h»ng đẳng thức đáng nhớ:
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
(A - B)2 = A2 - 2AB + B2
A2 – B2 = (A + B)(A – B).
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
A3 - B3 = (A – B)( A2 + AB + B2) = (A - B)3 + 3AB(A – B)
A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2) = (A + B)3 – 3AB(A + B)
(A + B+C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC
2. Căn bậc hai
a, KN: Căn bậc hai của số a không âm (a 0) là số x sao cho x2 = a
Căn bậc hai của một số a d-ơng (a >0) là a và - a
Căn bậc hai số học của một số không âm a (a 0) lµ a
x  0

x= a  

2
x  a

( Víi a 0 )

b, So sánh hai căn bậc hai sè häc
Với a ; b  0 có: a > b a > b .
2.Các phép biến đổi căn thøc bËc hai:
A Cã nghÜa  A  0
1. §iỊu kiện tồn tại :
2. Hằng đẳng thức:
A2 A
3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai ph-ơng: A.B A. B ( A  0; B  0)
4. Liªn hệ giữa phép chia và phép khai ph-ơng:

A

B

A
B

( A 0; B 0)

5. Đ-a thừa số ra ngoài dấu căn :
- Với A 0 , B 0 Thì A2 B A B
1

GV:

Lê Đình Bằng

Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 - TËp 1

- Víi A<0 , B  0 Th× A2 B A B
6. Đ-a thừa số vào trong dấu căn :
- Với A 0 , B 0 Th× A B  A2 B
- Víi A < 0, B  0 Th× A B   A2 B
7. Khử mẫu của biểu thức lấy căn :
Với AB 0; B 0 Thì

A

B

AB

B2

AB
B

8. Trục căn thức ở mẫu (Khử bỏ dấu căn trong biểu thức ở mẫu):
- Víi B>0 th×

A
A B

B
B

- Víi B  0; A2  B

th×

C( A
B)
C

A B
A B

- víi A  0, B  0,A B thì

C
A B



C( A B )
A B

3.Các vÝ dơ
a. Tìm điều kiện xác định của biểu thức
Chú ý: Phương pháp giải một số dạng:
+ f (x ) xác định khi và chỉ khi f ( x)  0
+

1
xác định khi và chỉ khi f(x) > 0
f ( x)

+

g ( x)
xác định khi và chỉ khi
f ( x )  h( x )

 f ( x)  0

 f ( x)  h( x)  0

Ví dụ 1.1: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau
a)

x 3
x x

b)

x3
x x

x  0
x  0
x 3
xác định  

x0
x

0

x x
x

x

0


x  0
x  0
x3
b)
xác định  

1 x  0
x

1
x x
x

x

0



Hướng dẫn: a)

Ví dụ 1.2: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau

a) 4 x  1 ;
b)  4 x  1 ;
c) x 2  2
d)
m)

2x  3
;
x 1
x2  4 ;

e)
n)

x
;
x x
2x  1
x2  1

g)

2
x5
x
1

x 1 x  x

l)

b. Biểu thức liên hợp và trục căn thức
Ví dụ 1.3: Tính giá trị cỏc biu thc sau:
2

GV: Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 - TËp 1

 3  1 
 3  1 
 2  1 

A  42 3 
B  42 3 
C  3 2 2 

2

3 1  3 1

2

3 1  3 1

2

2 1  2 1

Chú ý: Khi cần thu gọn các biểu thức trong căn ta cần liên tưởng đến hai hằng
đẳng thức quen thuộc  A  B 2  A2  2 AB  B2 . Trong khi viết nên viết số lớn đứng
trước để khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta không phải đổi dấu.
Ví dụ 1.4: Khi thu gọn biểu thức K  9  4 5 ta có thể biến đổi theo 2 cách sau:

 5  2
2  5 

2

Cách 1: K  9  4 5 





2

Cách 2: K  9  4 5 

52  52



 2  5   2  5  5  2 vì 2  5  0

Rõ ràng là làm theo cách 1 thuận lợi hơn rất nhiều và không bị nhầm dấu.
Vận dụng:
1. Tính: A  5  2 6 ;
2. Tính A biết

B  52 6;

C  94 2

a) A  13  2 42 ;

b) A  46  6 5 ;

c) A  12  3 15

d) A  13  4 30 ;

e) A  7  4 3;

g) A  11  4 2

Khi các biểu thức cần tính hay thu gọn mà ở MT đang chứa căn thì ta cần nghỉ đến
việc trục căn thức - nhân với biểu thức liên hợp.
Chú ý:
+

1

x a

+

k


x a

+

3

3

k

x a





1. x  a
x a

x  a2
x a x a











k. 3 x 2  a3 x  a 2



x a

3





3

x a x a
2

3



k. 3 x 2  a3 x  a 2



x a

3



3

x a x a
2

3

2





2













k. 3 x 2  a3 x  a 2
x  a3
k. 3 x 2  a3 x  a 2
x  a3

Ví dụ 1.5: Trục các căn thức sau:



1

2 1

B

3

5 2

C

1

2 3

D
E

3

5
2 3





1. 2  1

2 1 2 1

A




3




3



2 1
 2 1
1







5 3
3 5 3

 5 3
3
5 2 5 2









3
1. 3 4  33 2  9
4  33 2  9


7
2  3 3 4  33 2  9





5 3
5 3 5 3


6
2 3. 3 2.3

10
10( 3  1)
10( 3  1) 10( 3  1)



 5( 3  1)
3 1
3  1 ( 3  1)( 3  1) ( 3) 2 1

3

GV: Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 - TËp 1

Vận dụng: Làm mất căn ở mẫu trong mỗi biểu thức sau:
1
5 3

a)

b)

1
8 2

c)

4
7 3 3

3

d)

5
3
11  3 4

e)

3

1
4 3 6 3 9

Ví dụ 1.6: Rút gọn các biểu thức sau:
6
2

. C  42 3  42 3

72
83 7
Lời giải

A=

4  2 3  7  4 3;

A=

4  2 3  7  4 3  ( 3  1) 2  (2  3 ) 2



B=


B=

3  1  2  3  3  1  2  3  1.

6
2
6( 7  2)
2(8  3 7 )




72
8  3 7 ( 7  2)( 7  2)
(8  3 7 )(8  3 7 )

6( 7  2)
16  6 7

3
1

= 2 7  4  (3  7 ) 2  2 7  4  3  7  2 7  4  3  7  7  1.
C  42 3  42 3 





2

3 1 





2

3 1  3 1 3 1  2

Ví dụ 1.7: Rút gọn các biểu thức sau:



A  x2  2 x2  1  2 ; B  x2  2 x2  1 x  1; C  x2  3  4 x2  1 1  x  5
D  x x

A



1
1
1
 x  x   ;
2
4
4

x2  2 x2  1  2 

x

x 2  1  1  x 2  1  1 (vì

x

B

x2  2 x2  1 

C

x2  3  4 x2  1 

2

2

E  x 2  2y x 2  y 2 x  y  0

Lời giải



1 1

2

x 2  1  1, x  R )



2

1 1 

2 





x 2  1  1x  1



2

x 2  1  2  x 2  1,   R / 1  x  5


1
1
1 1
D  x  x   x   x   x   
2
4
4 2




2

2


1 1
1 1
1 1

1
 x  x     x     x   , x  
4 2
4 2
4 2
4


Ví dụ 1.8: Thực hiện phép tính
9 4
25 49 1
.

16 9
16 9 100
0,16.0,64.225  0.16. 0,64.

a) 1 .5 .0, 01. 
b)
c)

5 7 1
7
. . 
4 3 10 24
225  0, 4.0.8.15  4,8

1,3. 52. 10  1,3.52.10  13.52  13.13.4 26

4

GV: Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 - TËp 1
9
16

4
9

d) 1 .5 .0, 01. 

25 49 1
5 7 1
7
.
 . . 
16 9 100 4 3 10 24

Ví d 1. 9: Đ-a một thừa số ra ngoài dấu căn
a) 5 a 4b 25a 2 5a 16ab2  2 9a víi y  0
b) 4 3  27  45  5  4 3  3 3  3 5  5  (4  3) 3  (3  1) 5  3  4 5
 a
1 

Ví dụ 1. 10: Cho biĨu thøc P= 

 2 2 a

2

 a 1
a 1
. 

 víi a> 0 và a 1
a

1
a

1



Giải:
Với a> 0 và a 1 ta cã:
2

 a . a  1  ( a  1) 2  ( a  1) 2
P  

 2 a  ( a  1)( a _1)
2

 a  1  a  2 a  1  a  2 a  1 (a  1)(4 a)


 .

a 1
(2 a ) 2
2 a 


(1  a).4 a 1 a

4a
a

4. BàI TậP

Dạng 1: Tìm ĐKXĐ của biểu thức:
Bài 1: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau đây xác định:
1)

3x 1

8)

x2  3

2)

5  2x
1

9)

x2  2

3)
4)
5)
6)
7)

7x  14
2x  1
3 x

x 2  3x  7

11)

2x 2  5x  3

12)

7x  2
x3
7x
1
2x  x

10)

13)
14)

2

1
x 2  5x  6
1
x 3



6x 1

3x
5x
x3

Bài 2: Biểu thức sau đây xác định với giá trị nào của x
A= 2 x +  7 x
C= 4 x  12 - x  3
E= 4 x 2  1
B = 2x  3 . x 1
F= x 2  2 x  1
G= 2 x 2  4 x  5
H=  5x  10
N=

x2
x3

I=

5
 x7

K=

J=

1
2x  x

2

5

 5x
 x7

M= x 2 4
GV: Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 - TËp 1

P= x  x 2  4 x  4

R=

1
x2  3

3
x

U= x    3x

D¹ng 2: So sánh hai biểu thức
áp dụng kiến thức để so sánh: Với a ; b  0 có: a > b  a > b .
a >b  a2 > b2
VD: Không dùng máy tính hÃy so sánh
a) 4 và 13
b) 7 + 3 và 15
HD:
a) * cách 1: áp dụng kiến thức để so sánh:
Vi a ; b 0 có: a > b  a > b .
Ta cã: 4 = 16 Vì 16 > 13 nên 16 > 13 hay 4 > 13
*) c¸ch 2: ¸p dơng kiÕn thức để so sánh: Vi a ; b 0 có: a>b  a2 > b2
Ta cã: 42 = 16 ; ( 13 )2 = 13
V× 16 > 13 => 42 >( 13 )2 hay 4 > 13
b) 7 + 3 và 15
(Ta bình ph-ơng các số để so sánh ở dạng bình ph-ơng)
Ta có :
( 7 + 3 )2 = 7 + 2. 7 . 3 + 3 = 10 + 2. 21
( 15 )2 = 15 = 10 + 5
Ta so sánh : 2. 21 và 5 (ta giải nh- phần a dùng một trong 2 cách )
Bài 4: a) Không dùng máy tính hÃy so sánh
2 31 vµ 10
-3 26 vµ 15
5 3 va 3 5
2 5 và 5 2
b) Không dùng máy tính hÃy so sánh

-3 11 vµ -12
3 2 .3 vµ 3 32

2 7 + 4 vµ 10
12 - 3 13 vµ 3
6 - 4 vµ -2
2  11 vµ 3 +5
- 5 35 vµ - 30
6 5 và 7
c) Không dùng máy tính hÃy so sánh
2. 1004 và 1003 1005
3 8 vµ 17
14 . 16 vµ 15
15  17 vµ 8
d) Không dùng máy tính hÃy so sánh
4 5 + 9 vµ 16
12  5 vµ 7
2  10 vµ 5  8
11  15 vµ 7  11
e) Khơng dùng máy tính hãy so sánh
3
1 và 3 3  1
7  3 15 và 15
3
14 và 3 13. 3 15
37  3 15 và 2
3+ 3 8 và 6+ 3 2
2 3 2  3 6 và 3+ 3 5
Bµi 5: a chøng minh r»ng: Víi a >0 vµ b> 0 th× : a  b  a  b

b, chøng minh r»ng: 2004  2005  2004  2005
6

GV: Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 - Tập 1

HD: Ta bình ph-ơng từng vế, so sánh suy ra đpcm
Dạng 3: Tính toán giá trị một biểu thức, rút goạn biểu thức:
Bài 3: Tính
a. 1, 21.360 ,
b. 3132  3122 ,
c.
d.

15

( 2006  2005)( 2006  2005)
1652  1242
164

,

735
75  48  27  300

98  162  72 0,5 8

,

Bài 4: Phân tích các biểu thức sau thành các luỹ thừa bậc hai:
a, 8+2 15 ;
b, 10- 2 21 ;
c, 12- 140
d, 5 + 24 ; e, 14 + 6 5 ;
g, 8- 28
h, 21 + 6 6 k, 5 - 2 6
l, 5 - 2 6
m, 8 + 2 15
Bµi 5: Rót gän
2a 3a
3 8

a.

b. 2 y 2
c.

,

13a .

x4
.,
4 y2

52
a

0, 2 x3 y 3

16
x4 y8

2
5a 2 (1  4a  4a 2 ) víi a > 0,5
2a  1

d. 5 a  4b 25a 2 5a 16ab2 2 9a
Bài 6: Rút gọn các biÓu thøc sau
1 1 3
 1
4

2
200  :
5
2 2 2
 8

a. ( 8  3 2  10) 2  5

b. 

640 34,3

c.

d. 2 ( 2  3)2  2(3)2  5 (1)4

567

Bµi 7: TÝnh:
a; 45.80 + 2,5.14,4
c; 2300 . 23 

b;

6
25

144
150

5 45  13. 52

d. ( 8  3 2  10) 2  5

Bµi 8: TÝnh







2
1
1

15
6 5 
120 
2
4
2
3 2 3 2 2

 3 3  2 2
b, B =
3
2 1

a, A =



c) 4  15



5 3



4  15



Bµi 9: Thùc hiƯn phÐp tÝnh:

a) 2 5  125  80 
c) ; 2 16  3 1  6 4
3

27

605 ;

b) ; 2
d) ;

75

7

27  6
2 3



4 3

75
3 5
5 2



GV: Lê Đình Bằng

Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 - TËp 1

Bµi 10: Thùc hiƯn phÐp tÝnh.
a)

( 28  2 14  7)  7  7 8;

d)

6  2 5  6  2 5;

b)

( 8  3 2  10)( 2  3 0,4);

e)

11  6 2  11  6 2

c)

(15 50  5 200  3 450): 10;

f)

3

5 2 7  3 5 2 7

20  14 2  20  14 2 ;

h)

3

26  15 3  3 26  15 3

3

g)

3;

Bµi 11: Thùc hiƯn phÐp tÝnh.
(4  15 )( 10  6) 4  15

a)
c)

3 5  3 5  2

e)

6,5  12  6,5  12  2 6

b)

(3  5) 3  5  (3  5) 3  5

4 7  4 7  7

d)

Bµi 12: Rót gọn biểu thức
1) 12  5 3  48
3) 2 32  4 8  5 18
5) 12  75  27
7) 3 20  2 45  4 5

43 2 43 2
13) ( 28  2 14  7) 7  7 8

5  20  3 45
12  4 27  5 48
18  7 2  162
2  2) 2  2 2
1
1
10)

52
52
2 2
12)
1 2
14) ( 14  3 2 ) 2  6 28

15) ( 6  5 ) 2  120

16) (2 3  3 2 ) 2  2 6  3 24

17) (1  2 ) 2  ( 2  3) 2

18) ( 3  2) 2  ( 3  1) 2

19) ( 5  3) 2  ( 5  2) 2

20) ( 19  3)( 19  3)

9)
11)

1
5 1
2



2)
4)
6)
8)

1
5 1
2



21) 4 x  ( x  12) 2 ( x  2)

5
3
2
(

7 5

22)

7 5



7 5
7 5

23) x  2 y  ( x  4 xy  4 y ) ( x  2 y )
Bµi 13: Rót gän biĨu thøc
2

2

a.

a
a b
 ab 
b

b a

b.

m
1  2 x  x2

2

víi a > 0, b> 0

4m  8mx  4mx 2
81

víi m> 0, vµ x  1

2

1 a a
 1  a 
 a 
d. 
 1  a  víi a > 0, a  1
1

a




c.

ab
a 2b4
b2
a 2  2ab  b 2

víi a+b  0vµ b  0

Bµi 14:
a, Cho A= 6  2 5 vµ B= 6  2 5
8

TÝnh A+B ;A-B ; A.B; A:B
GV: Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 - TËp 1

b, Cho C= 36  10 11 vµ D= 36  10 11 TÝnh C+D;C-D ; C.D ; C:D
Bµi 15: Thùc hiÖn phÐp tÝnh
A=

2

E= ( 252  700  1008) 448

2



3 2 4 3 2 4
1
1
1
B=


1  34
34  67
67  100
5 3
5 3
C=

5 3
5 3
D= ( 12  3 15  4 135). 3

F=2 40 12  2

75  3 5 48

H= 3  5  2 3 . 3  5  2 3
G=(15 50  5 200  3 450) : 10
I= ( 4  15 )( 10  6 )( 4  15 )
J=(

3 2 3
32



2 2
2 1

) : (1 :

1
2 3

)

Bµi 16: Rót gän c¸c biĨu thøc sau
A= 9  4 5 - 5
B= 23  8 7 - 7
C=

2 3
2 42 3

+

2 3
2 42 3

D= 3  5  3  5  2
F= 6,5  12  6,5  12  2 6

E= 4  7  4  7  7

G=

1
7  24  1



1
7  24  1

H= 4  15  4  15 -2 3  5

I= 4 3  2 2  57  40 2

J= 3  2 2  6  4 2

Bµi 17: TÝnh a) A= 3  5  2 3 . 3  5  2 3
b) A=

4 8 .

Bµi 18: a) TÝnh A=

2 2 2 .

2 2 2

5  3  29  6 20

B= 6  2 5  13  48

C= 4  5 3  5 48  10 7  4 3
b) Chøng minh r»ng c¸c biĨu thức sau có giá trị là số nguyên
B=

2 3 5  13  48

5  3  29  12 5

C=

6 2

Bµi 19: thùc hiƯn phÐp tÝnh.
a/ A = 2  8  32  18
c/Rót gän c¸c biĨu thøc sau
C=

2
2

b/ B =

 2  2 18  (1  2 ) 2 .

(5  17 ) 2 

P=

D = 52 6  42 3

E=

1
6 2

( 17  4) 2



1
6 2

x 2 x 1

Bài 20: Giải ph-ơng trình
9

GV: Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 - TËp 1

3x  1  4

a.

b.

9 x  16 x  2 25x  18

Bµi 21: a) Rót gän: ( 7  4)2  28
b) Chøng minh r»ng
( 4 + 15 ) ( 10  6 ) 4  15 = 2
Bài 22: Rút gọn các biểu thức:
a) A





3
1
4 x 2 9 x 2  6 x  1 víi 0  x  .
3x  1
3

4 7
4 7

4 7
4 7

b) B 

13,5 2

300a 3 Víi a>0
2a 5

c) 2 3a 75a a

Dạng 4: Chứng minh đẳng thức:
3 2 6
150  1
4


 
3  6
3
 27  3

Bµi 23: Chứng minh đẳng thức:

Bài 24 chứng minh các ®¼ng thøc sau
3
2
3
6
62
4

2
3
2
6
 6

2x

1
b.  x 
 6 x  : 6 x  2 víi x> 0
3
3
 x

 14  7
15  5 
1
c. 

 2
 :
1 3  7  5
 1 2
 a  a  a  a 
d. 1 
1 
  1  a víi a  0 vµ a  1
a  1
a 1



a.

Bài 25: Chứng minh đẳng thức

a,

(

a 3  b3
a b 2
 ab ).(
) 1
ab
a b

a  b  2 ab

b,

c, (2+

a b
a a
a 1

:

).(2 

1
a b
a a
a 1

 ab

víi mäi a>0 ; b>0 ; a  b

)  4a

víi mäi a>0 ; a  1

d,

x  12  6 x  3

e, (

a 2
a  2 a 1
2

).

a 1
a  2 a 1 a 1
a

-

víi mäi a>0 ; b>0 ; a  b

x  12  6 x  3 =6

f, ( 1  a

a
1 a a
 a ).(
 a )  (1  a) 2
1 a
1 a

víi mäi x  6
víi mäi a>0 ; a  1
với mọi a 0 ; a 1

Chuyên đề 2: Một số loại toán
10

GV: Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 - Tập 1

th-ờng kèm theo bài toán rút gọn
*Cỏc dng toỏn thng gp trong chuyờn 2
Dng 1: Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến.
Dng 2: Tìm giá trị của biến để giá trị của biểu thức bằng hoặc lớn hơn một số
thực cho trước.
Dạng 3: Tìm giá trị của biến để giá trị của biểu thức nhận giá trị nguyên.
Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN, ......của biểu thức sau khi đã thu gọn.
Để làm tốt các dạng bài tập trên đề nghị HS tập trung vào các vấn đề sau:
1) Việc tìm ĐKXĐ là vơ cùng quan trọng.
2) Ta chỉ giải các dạng toán trên đối với biểu thức đã được thu gọn.

Để thu gọn được biểu thức HS phải tìm được MTC và qui đồng mẫu số
Trong quá trình tìm MTC cần chú ý đến hằng đẳng thức sau và qui tắc
đổi dấu
A2  B 2   A  B  A  B 

A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2)
A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2)
Một số trường hợp áp dụng thường gặp
Với a  0, b  0
a - b = ( a )2 - ( b )2 = ( a - b )( a + b )
a a -b b = ( a )3-( b )3 = ( a - b )(a+ ab +b)
a a +b b = ( a )3+( b )3 = ( a + b )(a- ab +b)
I. Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến.
1. Ph-ơng pháp:
Để tính giá trị của biểu thức P(x), biÕt x=a, ta cÇn:
B1 : Rót gän biĨu thøc P(x).
B2 : Thay x=a vµo biĨu thøc võa rót gän.
* L-u ý: Tìm ĐKXĐ của biểu thức tr-ớc khi rút gän.
2. VÝ dơ: Cho biĨu thøc :

P=

x 1
2 x
25 x


4 x
x 2
x 2

a; Tìm TXĐ rồi Rút gọn
b; Tìm x để P =2
c; Tính giá trị của P khi x = 3-2 2
Giải :
11

GV: Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 - TËp 1

a; BiÓu thøc cã nghÜa khi x  0; x  4
VËy TX§: x  0; x  4
x 1
2 x
25 x


=
4 x
x 2
x 2

P=

x 1 2 x
25 x



x4
x 2
x 2



( x  1)( x  2)  2 x ( x  2)  2  5 x
( x  2)( x  2)



3x  6 x
3 x ( x  2)
3 x


( x  2)( x  2) ( x  2)( x  2)
x 2

 x  0; x  4
b; P= 2   3 x
2

 x 2
3 x
 2  3 x  2 x  4  x  16  TXD (tho¶ mÃn điều kiện)
x 2

Vậy x= 16 thì p =2.
c; x = 3-2 2 thuộc TXĐ Nên ta thay x = 3-2 2 vào biểu thức p ta đ-ợc :

P=

3 32 2
32 2  2



3( 2  1) 3( 2  1)

2 1 2
2 1

3. Bài tập áp dụng
x x 2  6x  9
2 x 2  3x
1
1
B

a2 2
a2 2
x
3 
5
x2
C 

 2
: 2
x  2 x  2x  x  4

 x
 1
x
x 2  x 1
2x  1
 : 2
D  
 3 .
x 1  x  2x 1
 x 1 x 1
A

E

F

x  1

x 2  6x  9
x2  9
2a x·2 4

x x 4
2

Tính giá trị của A biết x 18 .
Tính giá trị của B biết(a-6)(a-3)= 0
Tính giá trị của C biết 2x2+3x =0
Tính giá trị của D biết x=

2005
2007

Tính E biết x 16
Tính F biết x=

1
a.
a

II. Tìm giá trị của biến (ẩn) khi biết giá trị của biểu thức:
1. Ph-ơng pháp:
Để tìm giá trị của x khi biết giá trị của P(x) =a (Hoặc p(x)>a;
P(x) a hoặc P(x)B1 : + Rót gọn biểu thức P(x)
B2 :+ Giải ph-ơng trình P(x) =a. ( Hoặc bất ph-ơng trình: p(x)>a; P(x) a
hoặc P(x)B3: Kết hợp với ĐKXĐ loại những giá trị không thỏa mãn ĐK rồi kết luận
* L-u ý: Tìm ĐKXĐ của biểu thức tr-ớc khi rút gọn.
12
GV: Lê §×nh B»ng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 - TËp 1


1

2. VÝ dơ: Cho biĨu thøc P = 

 a 1



1   a 1
a 2


 : 
a   a 2
a  1 

a .Rót gän P víi a > 0,a 4 và a 1
b.Tìm giá trị của a để P d-ơng (P>0)
a. Với a > 0,a  4 vµ a  1 ta cã :
1   a 1
a 2
a  ( a  1) ( a  1)( a 1)  ( a  2)( a  2)
 1
p

:

:

 
 
a   a 2
a  1  ( a  1) a
( a  2)( a  1)

 a 1


1
( a  2)( a  1)
a 2
.

( a  1) a a  1  (a  4)
3 a

b.VËy víi a>0,ta cã a > 0 , P=

a 2
3 a

d-ơng khi và chỉ khi a  2 >0

Gi¶i a  2 >0
Ta cã a > 2  a > 4
VËy P d-¬ng khi a > 4
3. Bài tập áp dụng
a
1

A


2 2 a
 x 1

B  

 3 x 1 3

2

a) Tìm a để A>0 b) Tính giá trị của a ®Ĩ
 a 1
a 1

.

A=0
a  1 
 a 1
1
8 x   3 x  2  T×m x khi
 : 1 


x  1 9 x  1   3 x  1  B=6/5


 a) TÝnh C biÕt
x   1
2 x
:

C  1 


  x  1 x x  x  x  1  x= 4  2 3
x

1

 

x
2  a) TÝnh D khi
 x 1 x 1  1
D


 2
:

 x  1 x  1   x  1 1  x x  1  x= 4  2 3

b)T×m x khi C >1.

E=  x  3 

b) TÝnh x khi E >5



F

1  
1 

 :  x 1

x 1 
x 1

15 x  11 3 x  2 2 x  3


x  2 x  3 1 x
x 3

 2 x  3 x  1  4  2 x  3
G
2
 x  1  x  3

a) TÝnh E khi

b)T×m x ®Ĩ D=-3

x= 12  140
a)Rót gän F

b)TÝnh x ®Ĩ F=1/2

2

a)Rút gọn G

b)Tìm x để G >1

c)Tính G khi x 3 2 2
III. Tìm giá trị của biến x để giá trị của biểu thức P(x) nhận giá trị nguyên
1. Ph-ơng pháp:
B1 : Tr-ớc hết hÃy rút gọn giá trị của biểu thức, sau đó căn cứ vào điều
kiện nêu ra của bài toán mà lập luận tìm ra lời giải, Chẳng hạn:
Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức là nguyên?
13

GV: Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 - Tập 1

B2 : Ta cần đ-a biểu thức rút gọn về dạng : R(x)= f(x)+

a
(a là hằng số)
g ( x)

sau ®ã lËp luËn:
R( x)  Z  a g ( x ) hay g(x) lµ -íc cđa a (a lµ h»ng sè)

B3: Kết hợp với ĐKXĐ loại những giá trị khơng thỏa mãn ĐK rồi kết luận
* L-u ý: T×m §KX§ cđa biĨu thøc tr-íc khi rót gän.
2. VÝ dơ
VÝ dơ 1 Cho biĨu thøc:

3 a
3a

1
(a  1)( a  b )


):
a  ab  b a a  b b
a  b 2a  2 ab  2b
a, Rót gọn
b, Tìm những giá trị của a để M nhận giá trị nguyên
Giải
- ĐKXĐ: a 0; b 0; a b
2
a, Rút gọn ta đ-ợc:
M=
a 1
b, Để M nguyên thì 2 a-1 hay a-1 phải là -ớc của 2
a - 1 = 1 => a = 2
a - 1 = -1 => a = 0
a - 1 = 2 => a = 3
a - 1 = -2 => a = -1 ( loại )
Vậy M nguyên khi a = 2 hc a = 0 hc a = 3
1
1
VÝ dụ 2:
Cho biểu thức: A

1
a 1
a 1
Tìm giá trị nguyên của a để A nhận giá trị nguyên.

Giải
- ĐKXĐ: 0  a  1 ta cã:
a  1  ( a  1)
a 1 a 1
2
A
1
1
1
a 1
a 1
a 1
§Ĩ A nguyên thì 2 a-1 hay a-1 phải là -ớc cña 2
a - 1 = 1 => a = 2
a - 1 = -1 => a = 0
a - 1 = 2 => a = 3
a - 1 = -2 => a = -1 ( loại )
Vậy M nguyên khi a = 2 hc a = 0 hc a = 3
M(

VÝ dô 3: Cho A  (

a a  1)
a a



a a 1
a a

):

a2
a2

a) Tìm TXĐ của A
b) Rút gọn A
c) Tìm a nguyên để A có giá trị nguyên
Giải :
a  a  0
a  0

a) TX§ : a  2  0  a  1
a  0

a 2


14

GV: Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 - TËp 1

b) Rót gän
(

A=

a a 1
a a





a a 1
a a

(a  a  1)



):

a2
( a  1)(a  a  1) ( a  1)(a  a  1)


a2
a ( a  1)
a ( a  1)

(a  a  1)

: a  2  a 

: a  2
a2

a  1  a  a  1 a  2 2(a  2)
.

a2
a2
a

a2
a
a
2(a  2) 2(a  2)  8
8
c) A 

 2
a2
a2
a2
A  Z  8 a  2 a 2 Ư(8)= 1;2;4;8
Vì a > 0  a  2  2 , do đó ta có:

a+2 = 4 a=2 (loại - không thoả mÃn ĐKXĐ)
a+2 = 8 a= 6 thoả mÃn ĐKXĐ. Vởy a= 6 cần tìm.
3. Bài tập áp dụng
1) A

x 2   4 x  2  x  3

a) Rót gän A

x2  6 x  9
x2
5
1
 2

2) B 
x3 x  x6 2 x
 a a 1 a a 1 a  2
:
3) C  

 a2
a

a
a

a



Rót gọn B, Tính xZ để BZ?
a)Tìm a để biểu thức C không xác định

b)Rút gọn C
4) D

1

x 1 x

5)E=  x  3 




1
x 1  x



b)TÝnh xZ ®Ó AZ?

x3  x
x 1

1  
1  x2
 :  x 1
:
x
x 1 
x 1

c) TÝnh aZ ®Ĩ C Z?
a)Rút gọn và tính giá trị của D khi x=5
b)Tìm giá trị nguyên d-ơng của x để
DZ ?
Tính xZ để E Z?

IV. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN); giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức p(x).
1. Dạng 1: Tìm GTNN cđa biĨu thøc d¹ng: y = ax2 + bx + c (a > 0)
1. Ph-ơng pháp:
B1 : Ta cần ®-a biĨu thøc y vỊ d¹ng: y = A2 + d (d là hằng số) sau đó lập luận:
Vì A2  0 mäi A  A2 + d  d . VËy GTNN cđa biĨu thøc y lµ d khi A= 0
- Giải ph-ơng trình A= 0 ta đ-ợc giá trị của x.
2. Ví dụ: Tìm GTNN của biểu thức sau: y = 3x2 + 2x + 1
2
1
1
1
1
2
x ) + 1 = 3(x2 - 2. x + ) - 3. + 1 = 3(x - )2 +
3
3
9
3
3
9
1
1
2
2
V× 3(x - )2  0 víi mäi x  3(x - )2 + 
3
3
3
3

2
1
1
VËy GTNN cđa biĨu thóc y= 3x2 + 2x + 1 lµ khi x - = 0  x =
3
3
3

Ta có: y= 3(x2 -

2. Dạng 2: Tìm GTLN của biểu thøc d¹ng: y = ax2 + bx + c (a < 0)
1. Ph-ơng pháp:
+ Ta cần đ-a biểu thức y về dạng: y = -A2 + d (d là hằng số) sau đó lập luận:
15

GV: Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 - TËp 1

V× A2  0 mäi A  -A2  0 moi A  -A2 + d  d . Vëy GTLN cđa biĨu thøc y lµ d
khi A= 0
- Giải ph-ơng trình A= 0 ta đ-ợc giá trị của x.
2. VÝ dơ: T×m GTLN cđa biĨu thøc sau: y = -5x2 - 2x + 3
2
1
1
1
1
16

x ) + 3 = -5(x2 + 2. x +
) + 5.
+ 3 = -5(x + )2 +
25
25
5
5
5
5
1 2
1 2 16 16

V× -5(x + )  0 mäi x  -5(x + ) +
5
5
5
5
16
1
1
VËy GTLN cđa biĨu thøc y = -5x2 - 2x + 3 là
khi x + = 0 x = 5
5
5
a
3. Dạng 3: Tìm GTNN (GTLN) của biểu thức A =
(a là hằng số)
f ( x)

Ta có: y= -5(x2 +

1. Ph-ơng pháp:
Đ-a về bài toàn toán tìm GTLN (GTNN) của biểu thức f(x).
Ta biện luận:
a
đạt GTNN thì f(x) phải đạt GTLN.
f ( x)
a
- Để biểu thức A =
đạt GTLN thì f(x) phải ®¹t GTNN.
f ( x)
1
1
1
1
1
2. VÝ dơ:
Cho biĨu thøc A= (

):(

)
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x

- §Ĩ biĨu thøc A =

Gi¶i :

a)Rót gän A
b)TÝnh A khi x=7+4 3

c)Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất
ĐKXĐ: 0  x  1

1 x 1 x 1 x 1 x
1
a) A  (
):(
)
1 x
1 x
1 x


2 2 x
1
2 1 x
1
1
1
:


.




1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x
x 1 x

1
x (1  x )

b) x  7  4 3  (2  3 ) 2  x  2  3
Tõ ®ã A 

1
(2  3 )(1 3 )



53 3
2

c) A đạt giá trị nhỏ nhất khi x (1 x) đạt giá trị lín nhÊt
x (1  x)  (

1
x  )2
2



3
3

4
4

GTLN cđa x (1  x) lµ -3/4 , vËy A nhá nhÊt lµ -4/3 khi vµ chØ khi x=1/4

*. Bµi tËp ¸p dơng
1. T×m GTNN cđa biĨu thøc:
A = x2 + 3x – 1
B = x2 - 4x + 5
C =x- x +1
D=x+ x +1
2. T×m GTLN cđa biĨu thøc:
M = - x2 + x + 9
N = - x2 - 4x + 2
P = -x - x + 1
Q = -x + x + 1
16

GV: Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 - Tập 1

3. Tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức:
15
a 3a  2
1
H= 2
Víi a  0
a  3a  2

H=

7
 a  4a  1

S=

2

2

4. D¹ng 4: Các bài toán mà biểu thức là phân thức
Đường lối chung để giải dạng toán này: Cho biểu thức A 

F ( x)
. Biểu thức A
G ( x)

đạt GTLN khi F(x) đạt GTLN và G(x) đạt GTNN; biểu thức A đạt GTNN khi F(x)
đạt GTNN và G(x) đạt GTLN.
Ví dụ 1:

Tìm GTLN của biểu thức: A 

3x 2  18x  35
x 2  6 x  10

Giải
A

3x  18 x  35
5
5
 3 2

 3
2
x  6 x  10
x  6 x  10
x  32  1
2

A đạt GTLN khi x  32  1 đạt GTNN, mà x  32  1  1
Vậy GTLN của A  3   8 khi x  32  0  x  3
5
1

Cách giải chung của bài toán trên là:
Ta thấy bậc của tử thức bằng bậc của mẫu thức, ta thực hiện phép chia để
đưa biểu thức về dạng A = M +

N
(M, N là hằng số). Do đó biểu thức A đạt
f (x)

GTLN khi biểu thức f(x) đạt GTNN.
Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức: A 

2x  1
x2

x  0

Giải
Ta có thể viết:

2 x  1 x 2  2 x  1  x 2  x  1  x 2  x  1 
A



 1
x2
x2
x2
 x 
2

2

Do đó:
 x 1
A 1  

 x 

2



A 1  0 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

A  1

x 1
0 
x

x 1  0 

x  1

Vậy biểu thức A đạt GTNN bằng -1 khi x= -1
Cách giải chung của bài toán trên là:
Ta thấy bậc của tử thức nhỏ hơn bậc của mẫu thức, ta thực hiện phép biến
2

  f ( x) 
  K (K là hằng số). Do đó biểu thức
đổi để đưa biểu thức về dạng A =  F 
  g ( x) 
f ( x)
A đạt GTNN là K khi biểu thức
=0.
g ( x)

17

GV: Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 - Tập 1

* Bài tập áp dụng
Bi 1: Tỡm GTLN ca hàm số:
f ( x) 

x2
x4 1

x  0 ;

Đáp số: f(x) đạt GTLN bằng

1
khi x  1
2

Bài 2: Cho x>0. Tìm giá trị của x để biểu thức
M

x
đạt GTLN.
x  20092

1
khi x=2009
4.2009
x 2  2 x  2009
x3
Bài 3: Cho biểu thức: M 
: 3
x  1( x  2) x  3x 2  2 x

Đáp số: M đạt GTLN bằng

x 2  2 x  2009
x2

x  1; x  2; x  0

a/ Rút gọn M

Đáp số: M 

b/ Tìm GTNN của M.

Đáp số: M đạt GTNN bằng

Bài 4: Cho biểu thức: N 
a/ Rút gọn N .

3x 2  x 3x 3  x 2  12 x  4
:
3x  2
x  2( x  1)
x
Đáp số: N  2
x 4

2008
khi x  2009
2009

1
2

x  ;x   
3
3


b/ Tìm GTNN và GTLN của N
1
4

Đáp số: N đạt GTNN bằng  khi x  2
1
khi x  2
4
1
1
1


2
Bài 5: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện:
1 a 1 b 1 c

Đáp số: N đạt GTLN bằng

Tìm GTLN của biểu thức abc:
Đáp số: abc đạt GTLN bằng

1
1
khi a  b  c 
8
2

Bài 6: Cho biểu thức:
1   1
1 
1
 1
A


:

1  x 1  x  1  x 1  x  1  x
a.
Rút gọn A.
b.
Với giá trị nào của x thì A nhỏ nhất.
Giải:
1
a. Rút gọn được:
x 1 x









b. A nhỏ nhất nếu mẫu x 1  x là lớn nhất
Gọi x  K ta có K(1- K) = -K2+ K
-(K2- K) = -(K2 - 2K/2 +1/4 -1/4)
= -[(K-1/4)2 – 1/4]
Mẫu này lớn nhất khi: -[(K-1/4)2- 1/4] là nhỏ nhất
Và nó nhỏ nhất khi: K= ¼ Hay x  1 / 4  x  1 / 2
=>A nh nht =4
18

GV: Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 - TËp 1

Bài 7 : Cho biểu thức:
M

15 x  11 3 x  2 2 x  3


x  2 x  3 1 x
x 3

a, Rút gọn
b, Tìm giá trị lớn nhất của M và giá trị tương ứng của x

x2
Bài 8:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M  4
x  x2 1
Giải:
Ta nhận thấy x = 0 => M = 0. Vậy M lớn nhất x≠ 0.
Chia cả tử và mẫu cho x2
1
Vậy M lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất
M
1
2
x  2 1
x
1
Mẫu nhỏ nhất khi x 2  2 nhỏ nhất
x
1
1
x 2  2  0 Vậy x 2  2 nhỏ nhất x =1
x
x
1
1
M

Vậy
2 1 3
Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Y  x  2 x 1  x  2 x 1
Giải:

Y  x 1 2 x 1 1  x 1 2 x 1 1







2

x  1  1  ( x  1  1) 2  ( x  1  1) 2  (1  x  1) 2

 x 1 1  1 x 1
Biết rằng |A| + |B| ≥|A + B|
x 1 1  x 1 1  x 1 1 x 1 1

Y


x 1 1  1 x 1 

x 1 11 x 1  2

Vậy Y nhỏ nhất là 2 khi ( x  1  1) (1  x 1) 0
V. bài tập tổng hợp
Bài 1:

cho biểu thøc:

A

2a 2  4
1
1


3
1 a
1 a 1 a

1. rót gän biểu thức A.
2. tìm giá trị lớn nhất của A.
22 a   1
a 
 : 


Bµi 2: cho biÓu thøc: A = 1 

a  1   1 a 1 a a


19

GV: Lê Đình B»ng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 - Tập 1

1. rút gọn A.
2. tìm giá trị của a để A đạt giá trị lớn nhất.
Bài 3: cho biểu thøc:

2x  3 x  2

A

x3  x  2x  2

; B

x 2

x 2

1. rót gän A vµ B.
2. tìm x sao cho A=B.
Bài 4: .

2 a

cho biểu thøc: A  

 a 3

a



a 3



3a  3   2 a  2 
:
 1
9  a  a 3


1. rút gọn A.
2. tính giá trị cđa A víi a 


8
2 3

.

3 a

3a

1



a  1

a b



:
Bµi 5: cho biÓu thøc: A  


a  b  2a  2 ab  2b
 a  ab  b a a  b b
1. rót gän A.
2. t×m các giá trị nguyên của a, để A nhận giá trị nguyên.

Bài 6: cho biểu thức:

1

A

a 1

1



a 1

1

1. rút gọn A.
2. tìm các giá trị nguyên của a, để A nhận giá trị nguyên.

Bài 7:

cho biểu thức: A

a
ab b



b
ab a

1. rút gọn A.
2. tính giá trị của A khi a  6  2 5 ;
3. t×m kiỊu kiƯn cđa a ®Ĩ A=1.
 a2

A = 1 : 

Bµi 8: Cho biĨu thøc:

 a a 1



ab
ab

; a,b>0; a≠b

b  62 5



a 1
a  a 1



a  1
.
a  1 

a) Rót gän A
b) So s¸nh A víi 3
1 a a
 1 a a

 a .
 a 
 1 a
  1 a


Bµi 9: Cho biĨu thøc :Q= 
a) Rút gọn P
b) Tìm a để P< 7 4 3

 2 x


x

3


Bµi 10: Cho biĨu thøc:P= 

x
3x  3   2 x  2 
:

 1
x  3 x  9   x  3


a) Rót gän P
b) Tìm x để P<

1
2

c) Tìm giá trị nhỏ nhất cña P
 x3 x

 

9 x

x 3

x 2


 1 : 


Bµi 11: Cho biĨu thøc : P= 
x  3 
 x9
  x x 6 2 x
a) Rót gän P
b) Tìm giá trị của x để P<1

20

GV: Lê Đình B»ng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 - TËp 1

Bµi 12: Cho biĨu thøc :

P=

15 x  11 3 x  2 2 x  3


x  2 x  3 1 x
x 3

a) Rót gän P
b) T×m các giá trị của x để P=
c) Chứng minh P 

1
2

2
3

Bµi 13: Cho biĨu thøc:

2 x

x m

P=

x
m2

2
x  m 4 x  4m

víi m>0

a) Rót gän P
b) TÝnh x theo m để P=0.
c) Xác định các giá trị của m để x tìm đ-ợc ở câu b thoả mÃn điều kiƯn x>1
Bµi 14: Cho biĨu thøc :

a)
b)
c)
d)

P=

a2  a
2a  a

1
a  a 1
a

Rót gän P
BiÕt a>1 H·y so s¸nh P với P
Tìm a để P=2
Tìm giá trị nhỏ nhất cña P


  a 1

ab  a
ab  a
 1 : 

 1
ab  1
ab  1
  ab  1



a 1

Bµi 15: Cho biĨu thøc: P= 

 ab  1
a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P nếu a= 2 3 và b=

3 1
1 3

c) Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa P nÕu a  b  4
Bµi 16: Cho biĨu thøc

P=

a a 1 a a 1 
1  a  1
a 1


 a 


a a
a a 
a  a  1

a  1 

a) Rót gän P
b) Với giá trị nào của a thì P=7
c) Với giá trị nào của a thì P>6
a
1


Bài 17: Cho biÓu thøc: P= 

2
2
a



2

 a 1
a  1



 a 1

a

1

a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của a để P<0
c) Tìm các giá trị của a để P=-2
Bài 18: Cho biÓu thøc:


P=



2

a  b  4 ab a b b a
.
a b
ab

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Rút gọn P
c) Tính giá trị của P khi a= 2 3 vµ b= 3
 x2

x

1



:


Bµi 19: Cho biĨu thøc : P= 

x
x

1
x

x

1
1

x


a) Rót gän P
b) Chøng minh rằng P>0 x 1

21

x 1
2

GV: Lê Đình Bằng

Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 - TËp 1
2 x  x
1  
x 2 
 : 1 


  x  x 1
x
x

1
x

1

 


Bµi 20: Cho biĨu thøc : P= 
a) Rót gän P
b) TÝnh P khi x= 5  2 3

3x


 1

2
1

:
P= 1 : 
 2 
2 x 4 x 42 x  42 x





Bµi 21: Cho biểu thức:

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P=20
x y

Bài 22: Cho biểu thức : P= 
 x y


x3  y 3
yx


:







2

x  y  xy
x y

a) Rót gän P
b) Chøng minh P  0
 2a  a  1 2a a  a  a  a  a
.

 2 a 1
1

a
1

a
a



P= 1  

Bµi 24: Cho biĨu thøc:
a)

Rót gän P

b)

Cho P=

c)

Chøng minh rằng P>

6
1 6

tìm giá trị của a
2
3

1
1 a 1
a  2



 : 
a   a 2
a  1 
 a 1


P= 

Bµi 25: Cho biĨu thøc:
a)

Rót gän P

b)

Tìm giá trị của a để P>

Bài 26: Cho biểu thøc :

1
6
x3
2x
1 x

.
xy  2 y x  x  2 xy  2 y 1  x

P=

a) Rót gän P
b) Tìm tất cả các số nguyên d-ơng x để y=625 vµ P<0,2
Bµi 27. Cho biĨu : A4 = (

a a 1
a a



a a 1

a a

):

a2
a2

a) Với giá trị nào của a thì A4 không xác định. b) Rút gọn A4.
c) Với giá trị nguyên nào của a thì A4 có giá trị tự nguyên ?
Bài 28. Cho F

a
ab  b



b
ab  b



ab
ab

a) TÝnh F khi a= 4  2 3 ; b  4  2 3
a 1
th× F có giá trị không đổi.
b5
x
2x x

Bài 29. Cho biÓu thøc: B1 =
x 1 x  x
a
b

b) CMR nÕu

a) Rút gọn B1

b) Tính giá trị của B1 khi x=3+ 8
22

GV: Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 - Tập 1

c) Tìm x để B1 > 0 ? B1 < 0? B1 =0
Bµi 30. Cho biĨu thøc: C1 = x  4 x  4  x  4 x 4
a) Rút gọn C1
b) Tìm x để C1 = 4
Bµi 31: Cho A = 1  4  1  : x  2 x
víi x > 0 , x  1, x  4.
x 1



x 1 

x 1

a)Rút gọn A.
b)Tìm x để A =

1
2

2 x
Bài 32 Cho biÓu thøc: D= 

 x 3

x
3x  3   2 x  2 
:

 1 ( x  0; x  9)
x  3 x  9   x  3


a) Rót gän D.
b) T×m x sao cho D<

1
.
3

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D.
Bài 33 Cho biÓu thøc: K =

15 x  11 3 x  2 2 x  3
( x  0; x  9)


x  2 x  3 1 x
x 3

a) Rút gọn K.
b) Tìm x để K = 0,5
c) Tìm x để K nhận giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
Bài 34 Cho biểu thức: L =

12  x  x
( x  2; x  3)
x 4

a) Tìm x để L đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
b) Tìm x sao cho L = 2x
Bài 35 : Tính giá tr ca biu thức:
1
A = 1 + 1 + 1 + .....+
3 5

Bài 36.

5 7

97  99

7 9

Cho biểu thức : P =

a4 a 4
a 2



4a
2 a

( Với a



0;a  4)

1) Rút gọn biểu thức P.
2) Tìm giá trị của a sao cho P = a + 1.
Bài 37: Cho biểu thức A =

x 1 2 x x  x

x 1
x 1

1/.Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa
2/.Rút gọn biểu thức A
3/.Với giá trị nào của x thì A< -1

Bµi 38: Cho biểu thức:

Q=(

1
1
a 1
a 2

):(

)
a 1
a
a 2
a 1

a; Tìm TXĐ rồi rút gọn Q
b; Tìm a để Q d-ơng
c; Tính giá trị của Biểu thức biết a = 9- 4 5
 a
1  a  a a  a 




Bµi 39: Cho biÓu thøc: M = 


 2

2 a  a 1

23

a 1
GV: Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 - Tập 1

a/ Tìm ĐKXĐ của M.
b/ Rút gọn M
Tìm giá trị của a để M = - 4

Chuyên đề 3: ph-ơng trình vô tỉ
I. Khái niệm:
Các ph-ơng trình đại số chứa ẩn trong dấu căn gọi là ph-ơng trình vô tØ.
VÝ dô :
x 1  1

a)

b) 3x  7  x  1  2
c) x  x  3 x 2  x  1 =3
d)

x 3 x 1
3

x2 1



x2 1
4
3
x 1

3

II. Ph-ơng pháp giải:
Để giải ph-ơng trình chứa dấu căn ta tìm cách khử dấu căn .
Cụ thể : B-ớc 1- Tìm ĐKXĐ của ph-ơng trình .
B-ớc 2- Biến đổi đ-a ph-ơng trình về dạng đà học ở lớp 8.
B-ớc 3- Giải ph-ơng trình vừa tìm đ-ợc .
B-ớc 4- So sánh kết quả với ĐKXĐ rồi kết luận nghiệm .
** Các ph-ơng pháp giả cụ thể
1. Ph-ơng pháp nâng lên luỹ thừa.
Bình ph-ơng hai vế nếu ph-ơng trình chứa căn bậc hai hoặc lập ph-ơng hai
vế nếu ph-ơng trình chứa căn bậc ba để khử dấu căn.
*Chú ý: tr-ớc khi bình ph-ơng hai vế ta phải tìm điều kiện xác định nếu cần.
* Ph-ơng trình dạng: f ( x) = a (a 0) (I)
B1: ĐKXĐ của ph-ơng trình là: f(x) 0
B2:
Khi đó (1) f(x) = a2
Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình: 2 3x = 3 (1)
§KX§: 2  3x  0  2  3x  x 

2

3

Khi ®ã (1)  2  3x  9  3x  7  x 

24

7
Tho¶ m·n ĐKXĐ
3

GV: Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 - TËp 1

VËy pT (1) cã nghiƯn lµ x=

7
3

VÝ dơ 2: Giải ph-ơng trình biết :
a)

25 x 25

15 x  1
3
 6
x  1 (2)
2

9
2

§KX§ x  1
15
3
x 1  6 
x 1
2.3
2
 5 x  1  2,5 x  1  1,5 x  1  6

(2)  25( x  1) 

 (5  2,5  1,5) x  1  6
 x  1  6  x  36  1  37

b)

2
x2  5
2
4 x  20  2
 3 x 2  5  2 (3)
3
9
2
-§KX§: x  5  x  5; x   5
2
2 2

(3)  .2 x 2  5 
x  5  3 x2  5  2
3
3
4 2
 (   3) x 2  5 2
3 3
6
x2 5
5

Vì VT Không âm ; còn VP <0 Vậy PT đà cho vô nghiệm .
L-u ý: Nếu a<0 Kết luận luôn ph-ơng trình vô nghiệm
Ví dụ: Giải ph-ơng trình: f ( x) = -3 <0 ph-ơng trình vô nghiệm
* Ph-ơng trình dạng:

f ( x) = g(x)

 f ( x)  0
B1: §KX§ cđa ph-ơng trình là:
g ( x) 0
B2: f(x)= (g(x))2 (Bình ph-ơng hai vế để khử dấu căn)

3 2 x  3  x (1)
3  2x  3  x  2x  3  x  3

Ví dụ 3: Giải ph-ơng trình:
Giải:

3

2 x 3 o
x

Điều kiện xác định của ph-ơng trình là:
2 <=> x  3 (2)
x  3  o
 x  3

PT(1) <=> 2x – 3 = (x – 3)2 (Bình ph-ơng hai vế để khử dấu căn)
<=> 2x 3 = x2 – 6x + 9
<=> x2 – 8x + 12 = 0
<=> (x – 2)(x – 6) = 0
<=> x1 = 2; x2 = 6.
Giái trị x1 = 2 không thoả mÃn ĐKXĐ (2) loại.
x2 = 6 thoả mÃn ĐKXĐ (2) là nghiệm của ph-ơng trình.
Vậy ph-ơng trình (1) cã mét nghiƯm duy nhÊt x = 6.
25
GV: Lª §×nh B»ng