Tài liệu ôn thi hình học không gian rất hay. Phục vụ công tác ôn tập, giảng dạy trong khi ôn thi chủ đề này. Tài liệu ôn thi hình học không gian rất hay. Phục vụ công tác ôn tập, giảng dạy trong khi ôn thi chủ đề này. Tài liệu ôn thi hình học không gian r

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BÀI TẬP TỶ SỐ THỂ TÍCH - B1
A.
1.

LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
Tính thể tích 1 phần của khối đa diện

Khi phân chia một khối đa diện thành nhiều khối nhỏ. Muốn tính thể tích một phần khối nhỏ đó, ta thường dùng một
trong hai cách sau:
Cách 1. Giả sử khối lớn có thể tích V và được phân làm ba mảnh có thể tích lần lượt là V1 , V2 và V3 . Khi đó
V2 = V − V1 − V3 .
Cách 2. So sánh thể tích V0 của phần khối nhỏ cần tính so với thể tích V của khối lớn.
1 Nếu thể tích giảm k lần thì V0 =

1
V.
k
1
V.
m.n
= k 3 · VH .

2 Nếu diện tích mặt đáy giảm m lần, chiều cao giảm n lần thì V0 =
3 Nếu phép đồng dạng tỉ số k biến khối H thành khối H0 thì VH0

2.

Cơng thức tỉ số diện tích, tỉ số thể tích (dùng để so sánh tỉ số của phần nhỏ so với
tổng thể)
Tỉ số diện tích trong tam giác.
Theo hình bên thì

C

S∆AM N
AM AN
=
·
S∆ABC
AB AC

N

A

M

B

Tỉ số thể tích trong khối chóp.
Hai hình chóp có đáy bằng nhau thì tỷ số thể tích bằng tỷ số đường cao.
Hai hình chóp có đáy cùng nằm trên một mặt phẳng thì tỷ số thể tích bằng tỷ số chiều cao.
Cho hình chóp tam giác S.ABC, trên các tia SA, SB, SC lấy các điểm A0 ,
S
B 0 , C 0 không trùng với điểm S khi đó ta có cơng thức sau
VS.A0 B 0 C 0
SA0 SB 0 SC 0
·
·
.
=

VS.ABC
SA SB SC

A0
B0
C0

A

B

C
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng
(α) cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD của hình chóp lần lượt tại các
SA
SB
SC
SD
điểm A0 , B 0 , C 0 , D0 . Đặt
= x,
= y,
= z,
= t.
SA0
SB 0
SC 0
SD0
Khi đó

S

A0

• Cơng thức 1. x + z = y + t.

D0
A

VS.A0 B 0 C 0 D0
x+y+z+t
• Cơng thức 2.
=
.
VS.ABCD
4x · y · z · t

I

B0
B

C0
O

D

C

Tỉ số thể tích trong khối lăng trụ.
Nguyễn Chiến Thắng - THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp

Trang 1

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0 B 0 C 0 , M, N, P lần lượt là các điểm thuộc
cạnh AA0 , BB 0 , CC 0 Khi đó ta có:
Å
ã
BN
CP
VABC.M N P
1 AM
+
+
.
=
VABC.A0 B 0 C 0
3 AA0
BB 0
CC 0

C0

A0
B0

M

A

P

C

N
B

Cho hình hộp ABCD.A0 B 0 C 0 D0 . Gọi M, , N, P, Q lần lượt là các điểm trên
cạnh AA0 .BB 0 , CC 0 , DD0 . Khi đó ta có cơng thức:
• Cơng thức 1.

A

AM
CP
BN
DQ
+
=
+
.
AA0
CC 0
BB 0
DD0

• Cơng thức 2.
Å
ã
Å

ã
VABCD.M N P Q
CP
1 BN
DQ
1 AM
=
+
=
+
.
VABCD.A0 B 0 C 0 D0
2 AA0
CC 0
2 BB 0
DD0

D0

B.

C

D

Q

B

M

N

P

A0

B0

C0

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi, tam giác ABD đều cạnh a, tam giác BCD cân tại C và
’ = 120◦ . SA ⊥ (ABCD) và SA = a. Mặt phẳng (P ) đi qua A và vng góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần
BCD
lượt tại M√, N , P . Tính thể tích khối chóp
√ S.AM N P .
√
√
3
3
a 3
a 3
2a3 3
a3 3
A
.
B
.

C
.
D
.
12
42
21
14
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Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SC, mặt phẳng (P ) chứa AM và
VS.AB 0 M D0

song song với BD, cắt SB và SD lần lượt tại B 0 và D0 . Tỷ số
là
VS.ABCD
3
2
1
1
A .
B .
C .
D .
4
3
6
3
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Nguyễn Chiến Thắng - THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp

Trang 2

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Câu 4. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A0 B 0 C 0 có thể tích bằng 1. Tính thể tích V của khối chóp A0 .AB 0 C 0 .
1
1
1
A V = 3.
B V = .
C V = .
D V = .
2
4
3
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Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A, B, C lần lượt thay đổi trên các trục Ox, Oy, Oz và luôn thỏa mãn
3
điều kiện: tỉ số giữa diện tích của tam giác ABC và thể tích khối tứ diện OABC bằng . Biết rằng mặt phẳng (ABC)
2
luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định, bán kính của mặt cầu đó bằng
A 4.
B 1.
C 3.
D 2.
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Nguyễn Chiến Thắng - THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp

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√
Câu 6. Cho lăng trụ ABC.A0 B 0 C 0 có thể tích bằng 12 3a3 . Thể tích khối chóp A0 .ABC là
√ 3
√ 2
√ 3
√ 3
3a

A V = 4 3a .
B V = 2 3a .
C V = 4 3a .
D V =
.
4
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Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD
có đáy ABCD là hình vng cạnh a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vng
√
góc với đáy, biết SC = a 3. Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm các cạnh SB, SD, CD, BC. Tính thể tích khối

chóp.
a3
a3
a3
a3
A
.
B
.
C
.
D
.
4
8
12
3
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Nguyễn Chiến Thắng - THPT Chun Võ Nguyên Giáp

Trang 4

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Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có A0 và B 0 lần lượt là trung điểm của SA và SB. Biết thể tích khối chóp S.ABC bằng
24. Tính thể tích V của khối chóp S.A0 B 0 C.
A V = 3.
B V = 12.
C V = 8.
D V = 6.
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V
4
V
8
V
2
V
3
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Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, SB hợp với đáy một góc
45◦ . H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD mặt phẳng (AHK), cắt SC tại I. Khi đó thể tích của khối chóp

S.AHIK là
a3
a3
a3
a3
A V = .
B V =
.
C V =
.
D V =
.
6
12
18
36
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Câu 11. Cho khối chóp S.ABC, M là trung điểm của cạnh BC. Thể tích của khối chóp S.M AB là 2a3 . Thể tích khối
chóp S.ABC bằng
a3
1
A 2a3 .
B 4a3 .
C
D a3 .
.
4
2
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40
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Câu 13. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và I là trung điểm CD, M là trung điểm BI. Tính thể tích V của khối
chóp A.M CD.
A V = 4.
B V = 6.
C V = 3.
D V = 5.
Nguyễn Chiến Thắng - THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp

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Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có thể tích V . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, M C. Thể tích của khối chóp
N.ABCD là
V
V
V
V
A
B

C
D
.
.
.
.
6
4
2
3
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Câu 15. Cho tứ diện ABCD có DA = 1, DA ⊥ (ABC), 4ABC là tam giác đều, có cạnh bằng 1. Trên ba cạnh DA,
1 DN
1 DP
3
DM
= ,
= ,
= . Thể tích V của tứ diện M N P D bằng
DB, DC lấy điểm M , N , P mà
DA
2
DB
3
DC
4
√
√
√
√
2
3
3
2
A V =
.
B V =
.
C V =
.
D V =

.
96
12
96
12
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1
Câu 16. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng V . Trên cạnh SA lấy A0 sao cho SA0 = SA. Mặt phẳng qua
3
A0 và song song với mặt đáy của hình chóp cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B 0 , C 0 , D0 . Tính thể tích khối chóp
S.A0 B 0 C 0 D0 .
V
V
V
V
A
B
C
D
.
.
.
.
81
27
3
9
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2
3
3
2
A V =
.
B V =
.
C V =
.
D V =
.
96
12
96
12
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Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), ABCD là hình chữ nhật. SA = AD = 2a. Góc giữa (SBC) và
mặt đáy (ABCD) là 60◦ . Gọi G là trọng √
tâm tam giác SBC. Tính thể√tích khối chóp S.AGD là √
16a3
32a3 3
8a3 3
4a3 3
A √ .
B
.
C
.
D
.
27

27
9
. . . . . . . 9. . . 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 48, đáy ABCD hình thoi. Các điểm M , N , P , Q lần lượt thuộc SA,
SB, SC, SD thỏa SA = 2SM , SB = 3SN , SC = 4SP , SD = 5SQ. Thể tích khối đa diện S.M N P Q là
4
6
2
8
A .
B .

C .
D .
5
5
5
5
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Trang 9

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◦
’
Câu 21.
√ Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vng tại B, cạnh SA vng góc với đáy, góc ACB = 60 , BC = a,
SA = a 3. Gọi M là trung điểm của SB. Tính thể tích V của khối tứ diện M ABC.
a3
a3
a3
a3
A V = .
B V = .
C V = .
D V = .
6
4
3
2
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Câu 22. Cho tứ diện ABCD. Gọi B 0 và C 0 lần lượt là trung điểm của AB, AC. Khi đó tỉ số thể tích của khối tứ diện
AB 0 C 0 D và khối ABCD bằng
1
1
1
1
A .
B .
C .
D .
2
4
6
8
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S

D

B

C

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A
......................................
Nguyễn Chiến Thắng - THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp

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.
D V =
.
3
9
3
9
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Câu 27. Cho khối tứ diện OABC với OA, OB, OC vng góc từng đôi một và OA = a, OB = 2a, OC = 3a. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của hai cạnh AC, BC. Thể tích của khối tứ diện OCM N tính theo a bằng
3a3
2a3
a3
A
B a3 .
C
D
.
.
.
4
3
4
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1
Câu 28. Cho khối chóp S.ABC. Trên ba cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A0 , B 0 , C 0 sao cho SA0 = SA;
3
1
1
V
SB 0 = SB; SC 0 = SC. Gọi V và V 0 lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC và S.A0 B 0 C 0 . Khi đó tỉ số 0
4
2
V
là
1
1
A

.
B 24.
C
.
D 12.
12
24
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’ = CSB
’ = 60◦ , ASC
’ = 90◦ , SA = SB = a; SC = 3a. Thể tích V của khối chóp
Câu 30. Cho hình chóp S.ABC có ASB
S.ABC là
√
√
√
√
a3 2
a3 6

a3 2
a3 6
A V =
.
B V =
.
C V =
.
D V =
.
4
18
12
6
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HẾT

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