ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN TOÁN A3 SPKT

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ II NĂM HỌC 2015 - 2016
Mơn: Tốn Cao Cấp A3
Mã mơn học: MATH 130301
Đề số 1. Đề thi có 02 trang.
Thời gian: 90 phút.
Được phép sử dụng tài liệu.

Khoa Đào tạo Chất lượng cao
Nhóm mơn học Khoa học cơ bản

Câu 1: (4,0 điểm)
x 2

3

a. Đổi thứ tự lấy tích phân

I   dx
0

f ( x, y )dy , sau đó tính diện tích miền lấy tích phân I.



x2 2 x 2

b. Trong hệ tọa độ Descartes, cho điểm M

1; 

3;2 3

 . Tìm tọa độ điểm M trong hệ tọa độ

trụ và tọa độ cầu.
Viết tích phân

K 



f ( x 2  y 2  z 2 ) dxdydz

trong hệ tọa độ Descartes, tọa độ trụ

V

và tọa độ cầu với V là miền giới hạn bởi các mặt:

z  0, z   16  x 2  y 2 .

c. Tính tích phân đường

 y2

M    x sin y  yx  dy    cos y  xy  dx
 2


C

bên phải của đường tròn

x2  y2  4

lấy theo chiều kim đồng hồ từ điểm

trong đó C là nửa

B(0;2)

đến điểm

A(0; 2) .
Câu 2: (3,0 điểm)



x3  y3 
F ( x, y , z )  i 
j  ( z  3)k
3
3
2
2
thể giới hạn bởi các mặt: z  2  x  y và z  3 .
Cho trường vectơ



và (S) là mặt trong của biên vật



a. Tính diện tích mặt (S). Tính rot F ( x, y, z ), div F ( x, y , z ) .


b. Tính thơng lượng của trường vectơ

F ( x, y, z )

qua mặt (S).

Câu 3: (3,0 điểm)
a. Giả sử dân số P(t) (đơn vị tính: triệu người) của một cộng đồng tăng theo quy luật hàm mũ với
tỷ lệ tự nhiên là r và E(t) là số dân di cư khỏi cộng đồng tại thời điểm t (đơn vị tính: năm), ta có

dP
 rP  E .
dt
Giải phương trình trên xác định dân số tại thời điểm t biết rằng

r  0,1, E (t )  10e  t , P(0)  90.
b. Giải phương trình:

y  3 y  2 y  sin x


Câu

Đáp án

Thangđi
ểm
0,5đ

Đổi thứ tự:
1 y 1

2

1a
(1đ)

I   dy
1

1 y 1

5

f ( x, y )dx   dy


1 y 1



f ( x , y )dx

y2

2

Tính diện tích:

S   dx
0

0,5đ

x2

3

3



x 2 2 x 2

dy   (  x 2  3x )dx 
0

9
2

Tọa độ điểm M:

0,5đ


;2 3)
Trụ: M (2;
3
 
; )
Cầu: M (4;
3 6
Descartes:
1b

0,5đ
16  x 2

4

K   dx
4

(2đ)



0

 16 x

f  x, y , z dz



dy
2

2

 16  x  y

2

Trụ:

0,5 đ
2

I

4

0

r. f  r 2  z 2 dz

 d   dr 
0

0

 16 r 2

2



4

Cầu:

I

0,5đ

 d  d   f    . 
2

0

 /2

2

sin  d 

0

 y2

x

sin
y

yx
dy


cos
y

xy



 dx
AB
2


 AB : x  0  dx  0
Ta có 
 M1  0
 2  y  2

0,5đ

Ta có

0,5đ

Đặt M 1 
1c
(1đ)

M  M1  



xdxdy  

x 2  y 2 4, x 0

M 

 /2

2



cos d  r 2 dr  

 /2

0

16
3

16

16
 M1  
3
3

Diệntích:

2a
(2đ)

0,5đ

Dt ( S )  Dt ( S1 )  Dt ( S2 ); ( S1 ) : z  2  x 2  y 2 ,( S2 ) : z  3
Dt ( S1 ) 



x 2  y 2 1

1  z '2x  z '2y dxdy 



x 2  y 2 1

2dxdy  2. .12  2


Dt ( S2 ) 

1  z '2x  z '2y dxdy 



x 2  y 2 1



0,5đ

dxdy   .12  

x 2  y 2 1

Dt ( S )  ( 2  1)



 
rot F   Ry'  Qz'  i   Pz'  Rx'  j   Qx'  Py'  k  0

divF  Px'  Q y'  Rz'  x 2  y 2  1
Thông lượng: W 
2b
(1đ)

W= 

 (x

2

0,5đ
0,5đ
0,5đ

x3
y3
dy
d
z

dxdz   z  3 dxdy
S 3
3

+y 2 +1)dxdydz ; ( ) : 2  x 2  y 2  z  3

( )

Ta có:

0,5đ
2

W= 

1

 d  dr  (r

0

0

2

3
2

 1).rdz 

2 r

1

 d  ( r
0

2

 1).r.( r  1)dr 

0

13
30

pt  P '( t )  0,1P( t )  10e
1 
 t  0,1dt

P (t ) 

10
e
e
dt  C 


0,1
dt



e

0,5đ

100  t
P (t )  e 0,1t   10e 1,1t dt  C  
e  Ce0,1t

 11
890
100  t 890 0,1t
P(0)  90  C 
 P( t ) 
e 
e
(triệu người)
11

11
11
2
Pt đặc trưng: k  3k  2  0  k  1; k  2

0,5đ

t

3a
(1,5đ)

3b
(1,5đ)

Nghiệm tổng quát pt y '' 3 y ' 2 y  0 là Y  C1e
Mộtnghiệmriêng có dạng: yr  A cos x  B sin x

 yr 

x

0,5đ

 C2 e2 x
0,5đ
0,5đ

3
1

cos x  sin x
10
10

Nghiệm tổng quát pt ban đầu là

y  Y  yr  C1e x  C2 e2 x 

0,5đ

3
1
cos x  sin x
10
10