Chuyên đề Định thức Toán cao cấp 1

Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Giới thiêu về định thức
Với một ma trận vuông cấp 2 bất kỳ, ta tìm thấy điều kiện cần và đủ để ma trận là khả nghịch. Thật vậy,
xét ma trận:

Ma trận A là khả nghịch khi và chỉ khi ad - bc ≠ 0. Ta gọi số này là định thức của A. Từ điều này,
chúng ta muốn có một kết quả tương tự cho các ma trận lớn hơn (tức là ma trận có cấp cao hơn). Vì vậy,
ta có định nghĩa định thức tương tự cho một ma trận vuông bất kỳ, nó xác định một ma trận vuông là khả
nghịch hay không?
Để tổng quát khái niệm cho các các cấp cao hơn, chúng ta cần phải nghiên cứu về khái niệm định
thức và những tính chất nào của nó được thỏa mãn. Trước hết, chúng ta sử dụng ký hiệu sau đây
cho định thức.
Định thức của = det = = ad - bc
Các tính chất của định thức
1. Định thức của ma trận A bất kỳ và chuyển vị của nó là bằng nhau, nghĩa là
Từ tính chất này ta suy ra sử dụng dòng hay cột để tính định thức đều được. Đặc biệt ta sẽ thấy
các phép biến đổi cơ bản trên hàng hữu hiệu thế nào trong việc tìm định thức. Do đó, ta có những
kết quả tương tự cho các phép biến đổi cơ bản trên cột.
2. Định thức của ma trận tam giác là tích của các phần tử trên đường chéo, tức là
3. Nếu ta đổi chỗ hai dòng thì định thức đổi dấu, tức là
1
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
4. Nếu ta nhân vào một dòng với một số, định thức của ma trận mới bằng định thức của ma trận cũ
nhân với số đó, tức là.
Đặc biệt, nếu tất cả các phần tử trong một dòng là số 0 thì định thức bằng 0.
5. Nếu ta cộng vào một dòng với dòng khác nhân một số thì định thức của ma trận mới sẽ bằng định
thức của ma trận cũ, tức
6. Ta có
Đặc biệt, nếu A là khả nghịch (điều này xảy ra nếu và chỉ nếu det A ≠ 0), khi đó
Nếu A và B tương tự, khi đó
Ta lấy ví dụ để hiểu rõ hơn về các tính chất trên.

Ví dụ. Tính

Chúng ta hãy đưa ma trận này về ma trận tam giác qua các phép biến đổi cơ bản. Ta giữ lại dòng 1 và
lấy dòng 1 nhân với rồi cộng vào dòng 2. Ta được
Sử dụng tính chất 2, ta được
2
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Vì vậy, ta có
ta có thể dễ dàng kiểm tra lại kết quả.
Định thức của các ma trận cấp cao hơn sẽ được trình bày ở mục .
Định thức của các ma trận cấp cao
Như đã trình bày trước đó, mong muốn của chúng ta là những tính chất của định thức đã đúng với ma
trận cấp 2 vẫn còn đúng với một ma trận vuông tổng quát. Nói cách khác, chúng ta giả định:
1. Định thức của ma trận A bất kỳ và chuyển vị của nó là bằng nhau, tức là
2. Định thức ma trận tam giác là tích của các phần tử trên đường chéo.
3. Nếu ta đổi chỗ hai dòng thì định thức đổi dấu.
4. Nếu ta nhân vào một dòng với một số, định thức của ma trận mới bằng định thức của ma trận cũ
nhân với số đó.
5. Nếu ta cộng vào một dòng với dòng khác nhân một số thì định thức của ma trận mới sẽ bằng định
thức của ma trận cũ.
6. Ta có
Đặc biệt, nếu A là khả nghịch (điều này xảy ra nếu và chỉ nếu det A ≠ 0), khi đó
Vì vậy, chúng ta hãy xét một ma trận cấp 4.
Ví dụ. Tính
3
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Ta có
Nếu ta lấy mỗi dòng trừ cho dòng đầu nhân với một số thích hợp, ta được
Ta giữ lại dòng đầu, biến đổi trên những dòng còn lại. Đổi dòng 2 với dòng 3, ta được
Nếu ta lấy mỗi dòng trừ cho dòng thứ 2 nhân với một số thích hợp, ta được

Sử dụng tính chất trước đây, ta được
Nếu ta nhân dòng thứ ba với 13 và cộng vào dòng thứ tư, ta được
4
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
định thức này bằng 3. Như vậy, định thức ban đầu là
Những tính toán dường như là khá dài. Sau này ta sẽ thấy có một công thức dùng để tính định thức của
ma trận.
Ví dụ. Tính
Trong ví dụ này, những phép biến đổi cơ bản không được trình bày chi tiết. Ta có
Ví dụ. Tính
Ta có
5
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Công thức chung để tính định thức Cho A là một ma trận vuông cấp n . Ta viết A = (a
ij
), trong đó a
ij

là phần tử ở dòng i và cột j, với i = 1, …, n và j = 1, …, n. Với mỗi i, j ta đặt A
ij
(gọi là phần bù đại
số) là định thức cấp (n-1) có được từ A bằng cách bỏ đi dòng i và cột j nhân với (-1)
i+j
. Ta có
với i cố định, và
với k cố định. Nói cách khác, chúng ta có hai công thức: công thức khai triển theo dòng (thứ i) hoặc khai
triển theo cột (thứ j). Ta khai triển theo bất kỳ dòng nào hoặc cột nào đều được. Bí quyết là sử dụng
dòng nào hoặc cột nào có nhiều số không nhất.
Đặc biệt, ta có công thức khai triển theo dòng
Hoặc

Hoặc
Như một bài tập, hãy viết các công thức khai triển theo cột
Ví dụ. Tính
6
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Ta sử dụng công thức khai triển theo dòng thứ ba. Ta có
Có kỹ thuật để tính định thức dễ dàng hơn không?. Câu trả lời là phụ thuộc vào định thức được yêu cầu
tính. Có những định thức nên dùng các phép biến đổi cơ bản, có những định thức nên dùng công thức
khai triển. Tất cả những vấn đề đó là để có được câu trả lời chính xác.
Lưu ý: Tất cả các tính chất ở trên vẫn đúng trong trường hợp tổng quát. Ngoài ra, ta nên nhớ rằng các
khái niệm của định thức chỉ tồn tại cho ma trận vuông.
Định thức ma trận và ma trận khả nghịch.
Tìm ma trận nghịch đảo là vẫn đề quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học. ví dụ giải mã một tin nhắn
ta tìm ma trận nghịch đảo. Xét ma trận vuông. Ma trận A được gọi là khả nghịch nếu và chỉ nếu
. Ngoài ra nếu A có cấp n, khi đó A
i,j
được định nghĩa là ma trận cấp n-1 tạo thành từ ma
trận A bằng cách bỏ đi phần tử nằm ở dòng I cột j. Nhắc lại
với mọi I cố định và
với mọi j cố định. Định nghĩa ma trận chuyển vị của A, kí hiệu adj(A).
Ví dụ. Cho
Ta có
7
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Lấy giá trị . Ta có
Chú ý rằng . Do đó ta có
Định nghĩa chuyển vị của ma trận A kí hiệu adj(A), là ma trận mà phần tử dòng i cột j là phần tử dòng j
cột i của ma trận ban đầu.
Định lí. Với mọi ma trận A cấp n, ta có
Đặc biệt, nếu , khi đó

Cho ma trận vuông cấp hai, ta có
8
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
điều này dẫn đến
Đây là công thức đã dùng ở trang trước.
Trong trang tiếp theo, chúng ta thảo luận ứng dụng công thức trên vào hệ tuyến tính.
Ứng dụng của định thức tới hệ phương trình: Qui tắc Cramer.
Chúng ta thấy rằng định thức là hữu ích trong việc tìm ma trận nghịch đảo của ma trận khả nghịch. Ta có
thể sủ dụng sự tìm kiếm này trong việc giải hệ phương trình tuyến tính cho ma trận hể số khả nghịch.
Xét hệ tuyến tính( dưới dạng ma trận)
A X = B
trong đó A là ma trận hệ số, B là ma trận hạn cột tự do, và X ma trận cột ẩn. Ta có:
Dịnh lí. Hệ tuyến tính AX = B có nghiệm duy nhất nếu và chỉ nếu A là ma trận khả nghịch. Trong trường
hợp này, nghiệm được cho bởi quy tắc định thức Cramer:
trong đó x
i
là nghiệm của hệ hoặc là một phần tử của X, và ma trận A
i
được xác định từ A bằng cách
thay thế cột thứ I bởi ma trận cột B. Khi đó, ta có
với b
i
những phần tử của B.
Đặc biệt, nếu hệ tuyến tính AX = B là thuần nhất, nghĩa là , khi đó nếu A khả nghịch, nghiệm
duy nhất của hệ là tầm thường , đó là . Do đó nếu ta ta tìm nghiệm khác 0 của hệ, ma trận hệ số
9
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
A phải khả nghịch.Ta cũng biết rằng điều này xảy ra néu và chỉ nếu . Đây là kết quả quan
trọng.
Ví dụ. Giải hệ phương tình tuyến tính.

Giải. Trước hết, chú ý rằng
điều này chỉ ra ma trận hệ số khả nghịch. Sử dụng công thức Cramer. Ta có
và nghiệm là
Chú ý rằng, dễ thấy z=0. Thật vậy, sự xác định cho z có hai dòng giống nhau ( dòng 1 và dòng cuối). Ta
cố gắng kiểm tra giá trị tìm được của x, y, và z là nghiệm của hệ cho trước.
Chú ý. Quy tắc Cramer chỉ sử dụng cho hệ tuyến tính mà ma trận hệ số khả nghịch.
Giá trị riêng và vectơ riêng: Giới thiệu.
Bài toán giá trị riêng là vấn đề đáng quan tâm về lí thuyết và ứng dụng rộng rãi. Ví dụ, vấn đề này là
quan trọng trong việc giải hệ phương trình vi phân, phân tích mô hình tăng trưởng dân số và tính toán
10
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
bậc của ma trận ( trong việc xác định lũy thừa ma trận). Các lĩnh vực khác như vật lí, xã hội học, sinh
học, kinh tế và thống kê đã tập trung sự chú ý đáng kể vào giá trị riêng và vectơ riêng trong các ứng dụng
và tính toán của chúng. Trước khi cung cấp khái niệm chính thức, chúng tôi giới thiệu khái niệm này
trong một ví dụ.
Ví dụ. Xét ma trận
Xét ba cột của ma trận
Ta có
Suy ra
Tiếp theo xét ma trận P có các cột là C
1
, C
2
, và C
3
,
Ta có det(P) = 84. Nên ma trận khả nghịch. Tính toán đơn giản
Tiếp theo tính P
-1
AP

11
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
ta có
Sử dụng ma trận tích, ta được
điều này chỉ ra A đồng dạng với một ma trận chéo. Đắc biệt, ta có
với . Chú ý rằng không thể tìm A
75
, một cách trực tiếp từ dạng ban đầu của A.
Ví dụ này là phong phú để kết luận nhiều câu hỏi đặt ra một cách tự nhiên.Ví dụ , cho trước ma trận
vuông A, làm thế nào để tìm ma trận cột đồng dạng với những cái ở trên? Nói cách khác, làm thế nào để
tìm ma trận cột giúp ta tìm ma trận khả nghịch P sao cho P
-1
AP là ma trận chéo?
Từ bây giờ, chúng tôi sẽ gọi ma trận cột vectơ. Vì vậy các cột ma trận C
1
, C
2
, và C
3
là các vectơ. Chúng
ta có định nghĩa.
Định nghĩa. Cho A là ma trận vuông. Một vectơ C khác 0 được gọi là vectơ riêng của A nếu và chỉ nếu
tồn tại một số ( thực hoặc phức) sao cho
mỗi giá trị là giá trị riêng của A. Vectơ C được gọi là vectơ triêng của A tương ứng với giá trị riêng
.
12
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Chú ý. Vectơ riêng C phải khác 0 bởi vì ta có
với bất kì số .
Ví dụ. Xét ma trận

Ta thấy rằng
trong đó
Dó đó C
1
là vectơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng 0. C
2
là vectơ riêng của A tương ứng với giá trị
riêng -4 , C
3
là vectơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng 3.
Lệu có thể tìm được tất cả các giá trị riêng trên không. Trong phần tiếp theo sẽ thảo luận về điều này.
Tính các giá trị riêng
Cho ma trận vuông A có cấp n, số là giá trị riêng nếu và chỉ nếu tồn tại một vectơ C khác 0 sao cho
Sử dụng tính chât của tích hai ma trận, ta thu được
Đây là hệ phương trình tuyến tính với ma trận hệ số
13
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:

Chúng ta cũng biết rằng hệ này có một nghiệm nếu và chỉ nếu ma trận hệ số khả nghịch, tức là
Bởi vì vectơ 0 là một nghiệm C không là vectơ 0, nên ta phải có
Ví dụ. Xét ma trận
Phương trình tương đương với
tương đương với phương trình bậc hai
Giải phương trình này dẫn đến
Nói cách khác, ma trận A chỉ có hai giá trị riêng.
Tông quát, cho ma trận vuông A cấp n, phương trình
cho nghiệm là giá trị riêng của A. Phương trình này được gọi là phương trình đặc trung hay đa thức đặc
trưng của A. Đó là hàm đa thức bậc n. Ta biết rằng phương trình này có nhiều nhất n nghiệm. Do đó ma
trận vuông A cấp n sẽ có không quá n giá trị riêng.
14

Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Ví dụ. Xét ma trận đường chéo
Đa thức đặc trưng của nó là
Nên giá trị riêng của D a là a, b, c, và d, là các phần tử trên đường chéo.
Kết quả này là đúng cho mọi ma trận chéo có cấp tùy ý. Nên tùy thuộc vào giá trị trên đường chéo, bạn
có thể có mọt, hai hay nhiều hơn các giá trị riêng.
Nhận xét. Thật là tuyệt vời khi thấy rằng ma trận A có cùng giá trị riêng với ma trận chuyển vị A
T
của
nó bởi vì
Cho bất kì ma trận cấp 2, A, trong đó
đa thức đặc trưng được cho bởi phương trình
Số (a+d) được gọi là vết A (denoted tr(A)), và rõ ràng số (ad-bc) là định thức của A. Nên đa thức đặc
trưng của A có thể được viết lại như sau
15
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Cho giá trị của ma trận
B = A
2
- tr(A) A + det(A) I
2
.
Ta có
Ta dẫn đến
Nói cách khác, ta có
Phương trình này được gọi là định lí Cayley-Hamilton . Nó đúng cho mọi ma trận vuông có cấp tùy ý.
trong đó là đa thức đặc trưng của A.
Ta có một số tính chất của các giá trị riêng của một ma trận.
Định lí. Cho A là ma trận vuông cấp n. Nếu là một giá trị riêng của A, thì:
1.

là giá trị riêng của A
m
, với
2.
Nếu A khả nghịch, thì là giá trị riêng của A
-1
.
3.
16
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
A không khả nghịch nếu và chỉ nếu là một giá trị riêng của A.
4.
Nếu là một số tùy ý, thì là một giá trị riêng của .
5.
Nếu A và B là đồng dạng nhau, then they have thì chúng có cùng đa thức đặc trưng (điều này đãn
đến có cùng giá trị riêng).
Câu hỏi tự nhiên tiếp theo là tìm vectơ riêng. Trong phần tiếp theo sẽ thảo luận về vấn đề tìm vectơ
riêng.
Tính vectơ riêng.
Co ma trận A vuông cấp n và là một giá trị riêng của nó. X là vectơ riêng của A ứng với . Ta phải
có
Đây là hệ phương trình tuyến tính với ma trận hệ số là . Bởi vì vectơ 0 alf một nghiệm, hệ này
có nghiệm. Thật vậy, ta sẽ đề cập trong trang khác là ccấu trúc nghiệm của hệ là phong phú. Trong phanà
này ta thảo luận vần đề có bản là tìm nghiệme.
Nhận xét. Khá dễ dàng để thấy rằng nếu X là một vectơ thỏa mãn , thì vectơ Y = c X (cho
mọi số c tùy ý) thỏa mãn cùng phương trình . Nói cách khác, nếu ta biết X là một vectơ
riêng, thì cX cũng là một vectơ tương ứng với cũng vectơ riêng.
Chúng ta bắt đầu với một ví dụ.
Ví dụ. Xét ma trận
17

Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Trước hết ta tìm giá trị riêng của A. Chúng là nghiệm của đa thức đặc trưng
Suy ra
Nếu ta khai triên định thức này theo cột thứ ba, ta được
Sử dụng biến đổi đại số, ta có
dẫn đến các giá trị rieneg của A là 0, -4, và 3.
Tiếp theo ta tìm các vectơ riêng.
1.
Trường hợp : Vectơ riêng tương ứng được cho bởi hệ phương trình tuyến tính
điều này có thể được viết lại bởi
Có nhiều cách để giải hệ phương trình này. Phương trình thứ ba là đồng nhất với phương trình đầu
. Vì vậy, từ phương trình thứ hai, ta có y = 6x, phương trình đầu dẫn đến 13x + z = 0. Nên hệ này
tương đương với
18
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Do đó vectơ X được cho bởi
Vì vậy, bất kì giá trị riêng X của A tương ứng với giá trị riêng 0 được cho bởi
trong đó c là một số tùy ý.
2.
Trường hợp : Vectơ riêng tương ứng được cho bởi hệ
điều này có thể được viết lại
Trong trường hợp này, ta sử dụng phương pháp khử để giải. Tước hết ta xét ma trận bổ sung
, đó là
Ta sử dụng phép biến đỏi trên dòng để nhận được ma trận chéo. Chuyển đổi các dòng cho nhau ta
được
19
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Tiếp, ta lấy dòng đầu nhân với 5 cộng vào dòng thứ hai, nhân với 6 rồi cộng vào dòng ba. Thu
được
Nếu giản ước dòng thứ hai cho 8, dòng thứ ba cho 9, ta được

Cuối cùng, trừ dòng thứ hai cho dòng thứ ba
Tiếp, ta đặt z = c. Từ dòng thứ hai, nhận được y = 2z = 2c. dòng đầu nhạn được x = -2y+3z = -c.
Do vậy
Vì thế, bất kì vectơ riêng X của A tương ứng với giá trị riêng -4 được cho bởi
trong đó c là một só bất kì.
2.
20
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Trường hợp : Giải chi tiết dành cho bạn đọc. Sử dụng mô tả tương tự trên, một vectơ
riêng X of A tương ứng với 3 được cho bởi
trong đó c là một số bất kì.
Nhận xét. Tổng quát, giá trị riêng của ma trận là tất cả các nghiệm phân biệt của phương trình đặc trưng.
Ví dụ. Xét ma trận
Phương trình đặc trưng của A cho bởi
Do đó giá trị riêng của A là -1 và 8. Với giá trị riêng 8, dễ thấy rằng bất kì vectơ riêng X được cho bởi
trong đó c là một số tùy ý. Ta tập trung vào giá trị riêng -1. Vectơ riêng tương ứng được cho bởi hệ
điều này được viết lại
21
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Rõ ràng, phương trình thứ ba và hai tương đương với phương trình đầu . Nói cách khác hệ này, hệ này
tương đương với mọt phương trình
2x+y + 2z= 0.
ĐỂ giải nó, ta chọn hia số cố định trước và tìm số thứ ba. Ví dụ, nếu ta ðặt và , ta được
. Do đó, bất kì vectơ riêng X của A tương ứng với giá trị riêng -1 cho bởi
Nói cách khác, với mọi vectơ riêng X của A ứng với giá trị riêng -1 là tôe hợp tuyến tính của hai vectơ
trên
Ví dụ. Xét ma trận
Phương trình đặc trưng cho bởi
Do đó ma trận A có một giá trị riêng -3. Ta tìm vectơ riêng tương ứng. Chúng được cho bởi hệ phương
trình tuyến tính

được viết lại như sau
22
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Hệ này tương đương với mọt phương trình duy nhất của hệ
x - y = 0.
Nên nếu đặt x = c, thì bất kì vectơ riêng X của A tương ứng với giá trị riêng -3 được cho bởi
Tổng kết lại các ví dụ trên.
Tóm tắt: Cho A là ma trận vuông cấp n. Giả sử là một giá trị riêng của A. Để tìm vectơ riêng tương
ứng, ta làm các bước sau:
1.
Viết hệ phương trình tương ứng
2.
Giải hệ phương trình.
3.
Viết lại vectơ X dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ đữ biết.
Trong các ví dụ trên, giả sử rằng các giá trị riêng là số thực. Tổng quát, this is not the case except for
symmetric matrices.Chứng minh điều này là phức tập, chỉ dễ dàng với ma trận vuông cấp 2.
Xét ma trận vuông đối xứng
Phương trình đặc trưng của nó
23
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Đây là phương trình bậc hai. Nghiệm phụ thuộc vào dấu của định thức
Biến đổi đại số ta được
Do đó, là một số dương, suy ra giá trị riêng của A là nững số thực.
Nhận xét. Chú ý rằng ma trận A có một giá trị riêng, đó là nghiệm kép của phương trình, nếu và chỉ nếu
. Nhưng điều này chỉ có thể a=c và b=0. Nói cách khác, Ta có
A = a I
2
.
Phần tiếp theo sẽ thảo luận về giá trị riêng phức.

TRƯỜNG HỢP GIÁ TRỊ RIÊNG PHỨC
Trước tiên, ta chứng tỏ rằng tồn tại ma trận với các giá trị riêng phức .
Ví dụ. Hãy xét ma trận
Phương trình đặc trưng được cho bởi
Phương trình bậc hai này có nghiệm phức được cho bởi
Vì vậy ma trận chỉ có giá trị riêng phức.
24
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:
Bí quyết là chúng ta xem các giá trị riêng phức như là số thực. Nghĩa là chúng ta xem nó như là một con
số và làm các tính toán bình thường cho các vectơ riêng. Ta hãy xem nó được tính toán như thế nào.
Với , các vectơ riêng tương ứng được cho bởi hệ phương trình tuyến tính tính.
A X = (1+2i) X
Có thể viết lại như sau
Thực ra, hai phương trình trên là đồng nhất vì (2+2i)(2-2i) = 8. Vì vậy, hệ phương trình giảm xuống còn
một phương trình
(1-i)x - y = 0
Đặt x=c, khi đó y=(1-i)c. Do đó, ta có
trong đó c là một số tùy ý.
Nhận xét. Rõ ràng là mong đợi có các phần tử phức trong các vectơ riêng .
Chúng ta thấy rằng (1-2i) cũng là một giá trị riêng của ma trận trên. Vì các phần tử của ma trận A là số
thực, khi đó ta dễ dàng chỉ ra rằng nếu là một giá trị riêng phức thì liên hợp của nó cũng là một
giá trị riêng. Hơn nữa, nếu X là một vectơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng , khi đó vector ,
có được từ X bằng thay số phức liên hợp của các phần tử của X, là một vectơ riêng ứng với giá trị riêng
. Vì vậy, các vectơ riêng các ma trận A ở trên ứng với giá trị riêng (1-2i) được cho bởi
trong đó c là một số tùy ý.
Chúng ta tóm tắt lại những gì đã làm trong ví dụ trên.
Tóm tắt: Cho A là một ma trận vuông. Giả sử là một giá trị riêng phức của A. Để tìm các vectơ
riêng tương ứng, ta làm theo các bước sau đây:
1. Viết ra hệ phương trình tuyến tính tương ứng.
25