Hsg quan sơn 2013 2014

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUAN SƠN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013 – 2014

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Mơn thi: Tốn; Lớp: 8
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 10/5/2014
(Đề thi có 01 trang, gồm 06 câu)

Số báo danh

Câu 1: (4 điểm) Cho biểu thức:

16  x  x

3  2x

2  3x

x 1





:
A = x  2

2 x
x  2  x3  4 x 2  4 x
 x 4
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A  0.
Câu 2: (3 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x(x - 7) - 36x
b) Chứng minh rằng: B = n - 14n + 49n - 36n luôn chia hết cho 210 với mọi n  Z
Câu 3 : (4 điểm)

a) Giải phương trình sau :

3
2
4
9
 2
  2
x  5 x  4 x  10 x  24 3 x  3 x  18
2

b) Cho ba số x,y,z≠ 0 thỏa mãn + + = 0.Tính giá trị của biểu thức:

P=

 xy yz zx

 2  2  2  2 
x

y
z


2013

Câu 4 : (4 điểm) Cho ABC đều,H là trực tâm, đường cao AD. M là một điểm bất kì trên
cạnh BC. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC. Gọi I là trung điểm của AM; ID
cắt EF tại K.
a)Chứng minh: DEIF là hình thoi.
b)Chứng minh: Ba điểm M,H,K thẳng hàng.
Câu 5: (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD.Trên cạnh AB và BC lần lượt lấy hai điểm M và
N sao cho AN = CM.Gọi K là giao điểm của AN và CM.
CMR: KD là tia phân giác của góc AKC
Câu 6 (3 điểm)
a) Cho x > 0 ;y> 0.CMR: + 
b) Cho 2 số dương a,b thỏa mãn a+b 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
M= + + +
Hết
Cán bộ coi thi không giải thich gì thêm
HƯỚNG DẪN CHẤM
Tốn 8


Câu

ý

a
(2đ)

Đáp án và hướng dẫn chấm
ĐKXĐ: x≠  2; x≠ 0 ;x ≠ 1
 16 x  x 2   3  2 x  x  2   2  3x  x  2 
x 1
x

A=

:
2
 x  2 x  2

 x x  2
2
x 2
x x  2
.
= x
 x  2 x  2 x  1
x x  2 
= x
x 1
 3x
3x
= x  1 1  x
3x
Vậy A = 1  x

Điểm

0.25đ
0.5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

A 0  0



Kết hợp với đk x ≠ 0 thì với 0 < x < 1 thì A  0
Có thể xét dấu

1

b
(2đ)

0.25đ
0.25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

2

x 3  x 2  7   36 x



2

 x x 2  x 2  7   36


 x x
 x x


 7 x  6 . x

 x x  x 2  7   6 . x x 2  7   6

a
(2đ)

3

3

0.5đ




 7 x  6

 x  6 x  6  x 3  x  6 x  6 
 x  x  1 x x  1  6  x  1 x x  1  6
3

 x  x  1  x 2  x  6  x  1  x 2  x  6 
 x  x  1 ( x  2)( x  3)( x  1)( x  2)( x  3)

2

b
(1đ)

Ta có: B= n - 14n + 49n - 36n = n(n - 7) - 36n
Theo câu a ta có:
B = n3  n 2  7 2  36n  n  3 n  2 n  1 n n  1 n  2 n  3
Do đó: B là tích của 7 số ngun liên tiếp
 B 2; B 3 ; B 5 ;B 7
Mà các số 2;3;5;7 đôi một nguyên tố cùng nhau
 B (2.3.5.7) hay B  210 Với mọi n  Z

0.5đ

0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ

ĐKXĐ: x≠ -1;-4;-6;3


a
(2đ)

3

2



 x  1 x  4  x  4 x  6

0,25đ
4
9
 
3  x  3 x  6 

1   1
1  4  1
1 
 1




 

  

 x 1 x  4   x  4 x  6  3  x  3 x  6 
1
4
1

 
x 1 3 x  3
3 x  3
4 x  1 x  3
3 x  1



3 x  1 x  3 3 x  1 x  3 3 x  1 x  3
 4 x 2  8 x 0
 4 x x  2  0

 x = 0 hoặc x = 2 (thỏa mãn điền kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình: S =
1 1 1
1 1
1
  0 
 
x y z
x y
z
3

b
(2đ)



yz xz xy
  3
x2 y 2 z 2

 P  3  2 

2013

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0.25đ

3

1 1
 1
      
 z
 x y
1

1
1 1 1
1
 2  3  3      3
x
y
xy  x y 
z
1
1
1  1
1
 3  3  3     3
x
y
xy  z 
z
1
1
1
3
 3 3 3 
x
y
z
xyz

3

0,25đ

0.25đ

0.25đ
0,25đ

12013 1

Ta có:
 xy yz zx

P  2  2  2  2 
z
x
y



2013



 1
1
1
  xyz  3  3  3   2
y
z 
x





3
  xyz.
 2
xyz


2013
1
1

4

a
(2đ)

0.5đ
2013

2013

EMA vng tại E có EI là đường trung tuyến
 EI=IM=IA= AM
 IAE cân tại I  = 2 (Góc ngoài của tam giác)
Tương tự: = 2 và DI = AM

0,25đ
0,25đ

0.25đ
0.25đ
0.5đ


A

N
I

E
B

Suy ra:
CMTT ta có:

F

H

K

M

C

D

0.25đ

EI = DI và = 600
 IED đều  EI=ED=ID
IDF đều  ID=DF=IF
 DEIF hình thoi

0.25đ
0.25đ
0,25đ

0.25đ

Vì DEIF hình thoi  K là trung điểm của EF và ID
Gọi N là trung điểm của AH
b
(2đ)

Do ABC đều có H là trực tâm  H là trọng tâm
 AN=NH=HD

MH  KH
5

0,25đ
0.25đ

CM : NI //MH
 theo tiên đề Ơclit
và NI // KH
hay: M,H,K thẳng hàng

0.5đ
0.5đ
0,25đ

(2đ)
A

M
l
B

K

J
D

N

C

Kẻ DI AK ; DJ  CK
Ta có: SAND = AN.DI = SABCD (1)
(do chung đáy AD,cùng đườngcao hạ từ N )
SCDM = CM.DJ = SABCD (2)
(do chung đáy CD,cùng đườngcao hạ từ M )
Từ (1) và (2) suy ra: AN.DI = CM.DJ
 DI = DJ (do AN = CM)
CM: DIK = DJK  =
 KD là tia phân giác của

0.25đ
0.5đ
0.5đ

0.25đ
0.25đ


0,25đ
Ta có:
a
(1đ)

+ 
Vậy



 (*)
 (x+y)  4xy (vì x > 0 ; y > 0)
 (x-y)  0 (Đúng)

+ 

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

Từ (*) 



0,5đ

Với a,b >0 nên ta áp dụng bất đẳng thức ở câu a ta có:
6

1
1
1
1
 2
 2
 2 2
ab a  ab b  ab a  b
1   1
1 
1
 1

 2
 2
 2

2 
 2ab a  b   a  ab b  ab  2ab
4
4

2
10




10
2
2
2
 a  b  a  b  a  b  a  b 2
1
Dấu bằng xảy ra  a b  2
1
Vậy Min M = 10  a b  2
M 

b
(2đ)

0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ

Chú ý:- HS có thể giải theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Bài hình học mà học sinh khơng vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì khơng chấm bài
hinh đó.