Hsg tx phú thọ 2010 2011

UBND TX PHÚ THỌ
PHỊNG GD&ĐT
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI PHÁT HIỆN HỌC SINH NĂNG KHIẾU THCS
NĂM HỌC 2010-2011
Mơn: Tốn - Lớp 7
Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2.0 điểm)
Cho
a)

a c
 chứng minh rằng:
c b

a2  c2 a

b2  c 2 b

b2  a 2 b  a
b) 2 2 
a c
a

Bài 2:(2,0 điểm)
Xét tổng gồm n số hạng
Sn 1 

1

1
1

 
với n  * .
1 2 1 2  3
1  2   n

Chứng minh rằng Sn < 2
Bài 3: (2.0 điểm)
Một vật chuyển động trên các cạnh hình vng. Trên hai cạnh đầu vật chuyển
động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc
3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vng biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn
cạnh là 59 giây
Bài 4: (2.0 điểm)
 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam
Cho tam giác ABC cân tại A có A
giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
a) Tia AD là phân giác của góc BAC
b) AM = BC
Bài 5: (2.0 điểm):

Cho tam giác ABC cân tại A, A 800 . Ở miền trong tam giác lấy điểm I sao


cho IBC
100 , ICB
300 . Tính AIB

UBND TX PHÚ THỌ
PHÒNG GD&ĐT

Bài

HDC THI PHÁT HIỆN HỌC SINH NĂNG KHIẾU THCS
NĂM HỌC 2010-2011
Mơn: Tốn - Lớp 7

Đáp án
a c
 chứng minh rằng:
c b
a2  c2 a
b2  a 2 b  a
a) 2 2 
b) 2 2 
b c
b
a c
a
2
2
a ( a  b) a
a c
a c
a 2  a.b
Từ  suy ra c 2 a.b , khi đó 2 2  2
= b( a  b)  b
c b

b c
b  a.b
2
2
2
2
a c
a
b c
b
Theo câu a) ta có: 2 2   2 2 
b c
b
a c
a
2
2
2
2
b c
b
b c
b
từ 2 2   2 2  1   1
a c
a
a c
a
2
2

2
2
b c  a  c
b a
b2  a 2 b  a


hay
.
Vậy
a2  c2
a
a2  c2
a

Điểm

Bài 1: (2.0 điểm): Cho

a)
b)

0.75
0.25
0.5
0.5

Bài 2:(2,0 điểm) Xét tổng gồm n số hạng
Sn 1 

1
1
1

 
với n  * . Chứng minh rằng Sn < 2
1 2 1 2  3
1  2   n

Ta có với mọi k là số nguyên dương thì:
1
2
1 
1

2  

1  2   k k (k  1)
 k k 1 
Thay lần lượt k 1, 2 n ta được tổng

0.75

1
1 
1 
2
 1 1 1

sn 2  1      

 2  1 
 2 
n 1
n n 1 
 2 2 3
 n 1 
*
Vì n   nên Sn < 2

0.75

0.5
Bài 3: (2.0 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vng. Trên hai cạnh đầu
vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư
với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vng biết rằng tổng thời gian vật chuyển
động trên bốn cạnh là 59 giây
Cùng một đoạn đường, cận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch
0.25
Gọi x, y, z là thời gian chuyển động lần lượt với các vận tốc 5m/s ; 4m/s
; 3m/s
0.5
5.x 4. y 3.z và x  x  y  z 59
Ta có:
x y z x  x  y  z 59
  
 60
hay: 1 1 1 1  1  1  1 59
5 4 3 5 5 4 3 60
1
1

Do đó: x 60. 12 ; y 60. 15 ;
5
4

0.5
1
z 60. 20
3

0.5

Vậy cạnh hình vng là: 5.12 = 60 (m)
0.25
0
 20 , vẽ tam giác đều DBC (D
Bài 4: (2.0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A
nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:


Tia AD là phân giác của góc BAC
b) AM = BC
-Vẽ hình, ghi GT, KL đúng
0.5 điểm
a) Chứng minh  ADB =  ADC (c.c.c)


suy ra DAB
DAC

Do đó DAB

0.5 điểm
200 : 2 100

A

20 0

M

D

C

B

b)

cân tại A, mà A 200 (gt) nên ABC (1800  200 ) : 2 800

 DBC đều nên DBC
600
Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra ABD 800  600 200 .
Tia BM là phân giác của góc ABD nên ABM 100
Xét tam giác ABM và BAD có:


AB cạnh chung ; BAM
 ABD 200 ; ABM DAB
100
Vậy:  ABM =  BAD (g.c.g)

suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC
 ABC

0.25
0.25
0.25
0.25

Bài 5: (2.0 điểm): Cho tam giác ABC cân tại A, A 800 . Ở miền trong tam giác lấy


điểm I sao cho IBC
100 , ICB
300 . Tính AIB
Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường
thẳng BC, chứa điểm A dựng tam giác
đều BCE.
Vì  ABC cân tại A, A 800 nên
ABC  ACB 500  ABE  ACE 100 và
điểm A thuộc miền trong  BCE.
Dẽ dàng chứng minh được
 ABE =  ICB (g. c. g)
 BA = BI   ABI cân tại B, ta có
1400

ABI = 500  100 400  AIB

700
2

0.5
E

0.5
A

0.5
I
B

Hình vẽ đẹp, chính
xác

C

0.5