ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN LỚP 9 CẤP TỈNH QUẢNG NAM 2021 (CÓ ĐÁP ÁN)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (443.83 KB, 12 trang )

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2020 - 2021
Môn thi : Tốn
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 10/4/2021

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01 trang)
Câu 1. (4,0 điểm)
a) Rút gọn các biểu thức sau:

A = 13 + 30 4 + 9 − 4 2 ; B =

3

2 3 + 12 −

(

4 4− 3
27

2

)

3

+

3

2 3 − 12 −

(

4 4− 3

)

3

27

2

.

b) Tìm giá trị của tham số m để phương trình ( x −1) 2 x −1 − mx + m = 0 có hai nghiệm
phân biệt.
Câu 2. (4,0 điểm)
a) Giải phương trình 4 3 + 2x = 3x − 1 + 4 4 − x.
 x 2 + y 2 − xy + 4 y + 1 = 0
b) Giải hệ phương trình 
.
2
2
3x − y ( x − y ) + 10 y + 3 = 0

Câu 3. (2,5 điểm)
Cho hình vng ABCD có tâm O và cạnh bằng 6cm , điểm M nằm trên cạnh BC.
a) Khi BM = 2 cm , hạ OK vng góc với AM tại K. Tính độ dài đoạn thẳng OK.
b) Khi điểm M thay đổi trên cạnh BC (M không trùng B và C), điểm N thay đổi trên
cạnh CD sao cho MAN = 450 , E là giao điểm của AN và BD. Chứng minh tam giác AEM
vuông cân và đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Câu 4. (4,5 điểm)
Cho hai đường tròn (O ; R ) và (O ' ; r ) tiếp xúc ngoài tại A ( R  r ). Dựng lần lượt hai
tiếp tuyến OB, O ' C của hai đường tròn (O ' ; r ) , (O ; R ) sao cho hai tiếp điểm B, C nằm
cùng phía đối với đường thẳng OO '. Từ B vẽ đường thẳng vng góc với OO ' cắt O ' C tại
K , từ C vẽ đường thẳng vng góc với OO ' cắt OB tại H .
a) Gọi D là giao điểm của OB và O ' C. Chứng minh DO.BO ' = CO.DO ' và DA là tia
phân giác của góc ODO '.
b) Đường thẳng AH cắt đường tròn (O ; R ) tại E (E khác A). Chứng minh tứ giác OABE
nội tiếp đường tròn.
c) Đường thẳng AK cắt đường tròn (O ' ; r ) tại F (F khác A), L là giao điểm của BC và

EF. Chứng minh BF song song với CE và 3 điểm A, D, L thẳng hàng.
Câu 5. (5,0 điểm)
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x, y) thỏa mãn đẳng thức
x3 + y3 + 3x2 − 3 y 2 − 3xy + 6x = 0 .
b) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A=

1
1
1
+
+


x + 2 yz y + 2 zx z + 2 xy

---------- HẾT ---------Họ và tên thí sinh: ……………………………… Phịng thi: ……… Số báo danh: …….......

BÀI LÀM
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………

Điểm

a) Rút gọn các biểu thức sau: A = 13 + 30 4 + 9 − 4 2 ,

B=

3

4(4 − 3)3
4(4 − 3)3
2
3
−
12
−
3
27
27
.
+
2
2

2 3 + 12 −

2,5

Ta có A = 13 + 30 4 + 9 − 4 2 = 13 + 30 4 + (2 2 − 1) 2

0,25

= 13 + 30 3 + 2 2 = 13 + 30( 2 + 1)

0,5

= 43 + 30 2 = (5 + 3 2) 2 = 5 + 3 2

0,5

Đặt a =

3

4(4 − 3)3
4(4 − 3)3
2
3
−
12
−
3
27
27
,b=
2
2

2 3 + 12 −

0,25

Suy ra a 3 + b3 = 2 3 .

4(4 − 3)3 
12 − 12 −

3
27
Câu 1

 = 4− 3
a.b =
(4,5 đ)
4
3

a3 + b3 = 2 3  (a + b)3 − 3ab(a + b) = 2 3  (a + b)3 − (4 − 3)(a + b) = 2 3

 (a + b)3 − 4(a + b) + 3(a + b) − 2 3 = 0  (a + b − 2) ( a + b)(a + b + 2) + 3  = 0
 a + b = 2 ( vì a  0, b  0 ). Vậy B = 2 .

b) Tìm giá trị của tham số m để phương trình ( x −1) 2 x −1 − mx + m = 0 có hai
nghiệm phân biệt.
Điều kiện: x 

1
2

 x =1 (thoa)
( x −1) 2 x −1 − mx + m = 0  ( x −1)( 2 x −1− m)  

 2 x −1 = m
m  0

2 x −1 = m   m2 +1
x =

2
m  0
m  0

+ Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi  m2 +1  
 1  m 1

 2

a) Giải phương trình 4 3 + 2 x = 3x − 1 + 4 4 − x

0,25
0,25
0,25
0,25
1,5
0,25
0,5

0,25

0,5

2,0

Câu 2
3 + 2 x  0
3
(4,0 đ) Điều kiện:  4 − x  0  − 2  x  4

4 3 + 2 x = 3x −1 + 4 4 − x  4( 3 + 2 x − 4 − x ) = 3x −1 (*)
3 + 2 x + 4 − x = 0 vô nghiệm nên pt(*) tương đương với phương trình

Do

4( 3 + 2x − 4 − x )( 3 + 2x + 4 − x ) = (3x −1)( 3 + 2 x + 4 − x )
3 x − 1 = 0
 4(3x −1) = (3x −1)( 3 + 2 x + 4 − x )  
 3 + 2x + 4 − x = 4
1
• 3x − 1 = 0  x = (thỏa mãn)
3

0,25
0,25
0,25
0,5

0,25

3 + 2 x + 4 − x = 4  2 (3 + 2 x)(4 − x) = 9 − x

x = 3

(thỏa mãn)
 9 x − 38 x + 33 = 0  
 x = 11
9

1
11
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm x = , x = , x = 3 .
3
9
2
2
 x + y − xy + 4 y + 1 = 0
b) Giải hệ phương trình 
2
2

3x − y ( x − y ) + 10 y + 3 = 0
2
2
2


 x + y − xy + 4 y + 1 = 0
( x + 1) − y( x − y) = −4 y
(*)

 2
2
2

2


3x − y( x − y) + 10 y + 3 = 0
3( x + 1) − y( x − y) = −10 y
2

- Nhận xét y = 0 không thỏa hệ.
- Khi y  0 : Hệ phương trình (*) tương đương với hệ:
 x2 + 1
− ( x − y ) = −4

 y
(**)

2
3  x + 1  − ( x − y ) 2 = −10
  y 

 
2
a − b = −4
x +1
Đặt
= a, x − y = b , khi đó hệ (**) trở thành: 
2
y
3a − b = −10
a = −2 a = −3
+ Giải hệ trên tìm được: 

,
b = 2 b = 1

 x2 + 1
a
=
−
2
= −2

x = 1

+
hoặc
 y

y
=
−
1
b = 2

x − y = 2


−3 + 17
 x2 + 1
x=

a = −3 

= −3 
2
+ 
 y

b = 1
x − y = 1
 y = −5 + 17


2

•

0,25

0,25
2,0
0,25
0,25

0,5

0,25
 x = −3

 y = −5


−3 − 17

x =
2
hoặc 
 y = −5 − 17

2
2
2
2
2
 x + y − xy + 4 y + 1 = 0

 x + 1 = − y + xy − 4 y
Lưu ý: 

2
2
2
2

3x − y ( x − y) + 10 y + 3 = 0 
3( x + 1) − y( x − y) + 10 = 0
Thay x2 + 1 = − y2 + xy − 4 y vào phương trình thứ hai.

0,5

Câu 3 Cho hình vng ABCD có tâm O và cạnh bằng 6 cm , điểm M nằm trên cạnh BC.
(2,5 đ)
a) Khi BM = 2 cm , hạ OK vng góc với AM tại K. Tính độ dài đoạn thẳng OK.

+ Gọi Q là giao điểm của AM và BD, P là trung điểm của MC. Suy ra OP//AM.
+ Trong tam giác OBP có MB = MP và MQ//OP. Suy ra Q là trung điểm của OB.
6 2 3 2
1
1
1
1
1
5
+ BD = 6 2  OQ =
,
=
=
+
=
+
=
2
2
2
2
2
4
2
OK
OA OQ
 3 2  18
3 2



 2 
3 2
 OK =
5

(

)

b) Khi điểm M thay đổi trên cạnh BC (M không trùng B và C), điểm N thay đổi trên
cạnh CD sao cho MAN = 450 , E là giao điểm của AN và BD. Chứng minh tam giác
AEM vuông cân và đường thẳng MN ln tiếp xúc với một đường trịn cố định.

2,5
1,0

0,25

0,5

0,25

1,5

0,25

(Khơng có hình khơng chấm điểm)
+ MAN = MBE = 450 . Suy ra tứ giác ABME nội tiếp.

0,25

Mà ABM = 90 nên AEM = 90 . Vậy tam giác AEM vuông cân tại E.

0,25

0

0

+ Gọi F là giao điểm của AM và BD. Tương tự suy ra AFN = 900
+ Gọi I là giao điểm của EM và FN, H là giao điểm của AI và MN. Suy ra AH vng 0,25
góc với MN.
+ Xét hai tam giác vng ABM và AHM có:
AM chung;
0,25
+ AMB = AEB, AEB = AMH (vì tứ giác MNEF nội tiếp). Do đó AMB = AMH
Suy ra hai tam giác vuông ABM và AHM bằng nhau.
Suy ra AH = AB = 6 cm (khơng đổi).
0,25
Do đó MN ln cách A một khoảng cách bằng 6 cm.

Suy ra MN luôn tiếp xúc với đường trịn tâm A, bán kính bằng 6 cm.

Câu 4 Cho hai đường tròn (O ; R ) và (O ' ; r ) tiếp xúc ngoài tại A ( R  r ) . Dựng lần
(4,5 đ) lượt hai tiếp tuyến OB, O ' C của hai đường tròn (O ' ; r ) , (O ; R ) sao cho hai tiếp
điểm B, C nằm cùng phía đối với đường thẳng OO ' . Từ B vẽ đường thẳng vng
góc với OO ' cắt O ' C tại K , từ C vẽ đường thẳng vuông góc với OO ' cắt OB

tại H .
a) Gọi D là giao điểm của OB và O ' C . Chứng minh DO.BO ' = CO.DO ' và DA
là tia phân giác của góc ODO ' .

4,5

1,5

0,25

(Khơng có hình vẽ không chấm)
Xét hai tam giác ODC và O ' DB có: ODC = O ' DB ;
+ Tứ giác OO ' BC nội tiếp đường trịn đường kính OO ' nên DOC = DO ' B .
Suy ra hai tam giác ODC và O ' DB đồng dạng, do đó:
DO CO
=
 DO.BO ' = CO.DO '
DO ' BO '
Ta có:

DO CO
AO
. Suy ra DA là tia phân giác của góc ODO ' .
=
=
DO ' BO ' AO '

b) Đường thẳng AH cắt đường tròn (O ; R ) tại E (E khác A). Chứng minh tứ giác

OABE nội tiếp đường tròn.

0,25
0,25
0,25
0,5
1,5

+ OCH = OO ' C (Cùng phụ với O ' CH )

0,25

+ OO ' C = OBC (Cùng chắn cung OC )
Suy ra OCH = OBC . Suy ra hai tam giác OCH , OBC đồng dạng

0,25



OC OB
OA OB .
=

=
OH OC
OH OA

Suy ra hai tam giác OHA, OAB đồng dạng.
 OAH = OBA hay OEA = OBA . Vậy tứ giác OABE nội tiếp trong đường tròn.

c) Đường thẳng AK cắt đường tròn (O ' ; r ) tại F (F khác A), L là giao điểm của BC

0,25
0,25
0,25
0,25

và EF. Chứng minh BF song song với CE và 3 điểm A, D, L thẳng hàng.

1,5

EOB = EAB = 1800 − OAE − O ' AB = 1800 − OBA − O ' BA = 900

0,5

Mà OBO ' = 900 nên OE // O’B . Tương tự O’F // OC. Suy ra EOC = BO ' F
Lại có: hai tam giác EOC và BO’F là hai tam giác cân. Suy ra ECO = BFO '
Hơn nữa OE // O’B nên BF// EC ( lưu ý O’B //OE)
LC EC OE
OA
OC DC
=
=
=
=
=
LB BF O ' B O ' A O ' B DB
Suy ra DL là tia phân giác của góc BDC . Suy ra A, D, L thẳng hàng.

0,25
0,25

0,25
0,25

Câu 5

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x, y ) thỏa mãn đẳng thức
x3 + y 3 + 3x 2 − 3 y 2 − 3xy + 6 x = 0 .

3,0

x3 + y 3 + 3x 2 − 3 y 2 − 3xy + 6 x = 0
 ( x3 + 3x 2 + 3x + 1) + ( y 3 − 3 y 2 + 3 y − 1) − 3xy + 3x − 3 y = 0
 ( x + 1)3 + ( y − 1)3 − 3( x + 1)( y − 1) − 3 = 0

0,5

 ( x + 1) + ( y − 1) − 3( x + 1)( y −1) ( x + 1) + ( y −1)  − 3( x + 1)( y −1) − 3 = 0
3

Đặt a = ( x + 1) + ( y − 1), b = ( x + 1)( y − 1)
Khi đó ta có: a3 − 3ab − 3b − 3 = 0  a 3 − 3 = 3b( a + 1)

0,25

Suy ra a3 − 3 = (a3 + 1) − 4 (a + 1)  4 (a + 1)

0,25

32

(không thỏa)
3
11
a + 1 = −1  a = −2  b =
(không thỏa)
3
1
a + 1 = 2  a = 1  b = − (không thỏa)
3
a + 1 = 1  a = 0  b = −1 . Tìm được ( x, y ) = (0, 0); ( x, y ) = ( −2, 2)
a +1 = 4  a = 3  b = 2 . Tìm được ( x, y ) = (0,3); ( x, y ) = (1, 2)

+ Với a + 1 = −4  a = −5  b =

0,25

+ Với

0,25

+ Với

0,25

0,5
+ Với
+ Với
0,5
0,25
+ Với a +1 = −2  a = −3  b = 5 (không tồn tại x, y)

b) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức A =

1
1
1
+
+

x + 2 yz y + 2 zx z + 2 xy

Ta có: A =

1
1
1
x
y
z
+
+
= 2
+ 2
+ 2
x + 2 yz y + 2 zx z + 2 xy x + 2 y + 2 z + 2

x
x
1

1 

= 1 −

x + 2 2x +1 2  2x +1 
y
1
1 
z
1
1 
 1 −
 1 −
Tương tự : 2
, 2

y + 2 2  2 y +1  z + 2 2  2z +1 
x 2 + 2 = ( x 2 + 1) + 1  2 x + 1 

Suy ra A 

2,0

0,25

2

3 1 1
1
1 

− 
+
+

2 2  2x +1 2 y +1 2z +1 

a
b
c
, y = , z = (a, b, c  0).
b
c
a
1
1
1
b
c
a
+
+
=
+
+
2 x + 1 2 y + 1 2 z + 1 2a + b 2b + c 2c + a

0,5

0,25

Đặt x =

b2
c2
a2
(a + b + c) 2
+
+

=1
2ab + b 2 2bc + c 2 2ca + a 2 2ab + b 2 + 2bc + c 2 + 2ca + a 2
m2 n 2 k 2 (m + n + k ) 2
(Chứng minh được BĐT:
(với các số dương) : 0,25)
+ + 
x
y
z
x+ y+z
3 1
Suy ra A  − .1 = 1 (Dấu bằng xảy ra khi a = b = c hay x = y = z = 1 )
2 2

0,25

=

Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 1.

0,5

0,25

Nhận xét: Đặt x = a3 , y = b3 , z = x3 (a, b, c  0, abc = 1)
1
1
1
abc
abc
abc
+
+
= 3
+ 3
+ 3
2 x + 1 2 y + 1 2 z + 1 2a + abc 2b + abc 2c + abc
=

bc
ca
ab
(bc)2
(ca)2
(ab) 2
+
+
=
+
+

2a 2 + bc 2b 2 + ca 2c 2 + ab 2.ca.ab + (bc)2 2.ab.bc + (ca) 2 2.bc.ca + (ab) 2

(bc + ca + ab)2

2.ca.ab + (bc) 2 + 2.ab.bc + (ca) 2 + 2.bc.ca + (ab) 2
(bc + ca + ab)2
=
=1
(bc + ca + ab)2
Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác đúng thì Ban Giám khảo thảo luận và thống nhất thang
điểm cho phù hợp với Hướng dẫn chấm.

ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN LỚP 9 CẤP TỈNH QUẢNG NAM 2021 (CÓ ĐÁP ÁN)

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về