Chuyên đề hình học không gian ôn thi đại học năm 2014
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (236.59 KB, 18 trang )
ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014
Phơng pháp toạ độ trong không gian
I. Tọa độ của vectơ và của điểm
A. Ví dụ:
VD1: Viết tọa độ của các vectơ say đây:
2a i j
= +
;
7 8b i k
=
;
9c k
=
;
3 4 5d i j k
= +
VD2: Cho ba vectơ
a
= ( 2;1 ; 0 ),
b
= ( 1; -1; 2) ,
c
= (2 ; 2; -1 ).
a) Tìm tọa độ của vectơ :
u
= 4
a
- 2
b
+ 3
c
b) Chứng minh rằng 3 vectơ
a
,
b
,
c
không đồng phẳng .
c) Hãy biểu diển vectơ
w
= (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vectơ
a
,
b
,
c
.
VD3: Cho 3 vectơ
a
= (1; m; 2),
b
= (m+1; 2;1 ) ,
c
= (0 ; m-2 ; 2 ) .Định m để 3 vectơ đó đồng phẳng
.
VD4: Cho:
( ) ( ) ( )
2; 5;3 , 0;2; 1 , 1;7; 2a b c
= = =
. Tìm tọa độ của vectơ: a)
1
4 3
2
d a b c
= +
b)
4 2e a b c
=
VD5: Tìm tọa độ của vectơ
x
, biết rằng:
a)
0a x
+ =
và
( )
1; 2;1a
=
b)
4a x a
+ =
và
( )
0; 2;1a
=
c)
2a x b
+ =
và
( )
5;4; 1a
=
,
( )
2; 5;3 .b
=
VD6: Cho ba điểm không thẳng hàng:
(1;3;7), ( 5; 2;0), (0; 1; 1).A B C
Hãy tìm tọa độ trọng tâm G của
tam giác ABC.
VD7: Cho bốn diểm không đồng phẳng :
(2;5; 3), (1;0;0), (3; 0; 2), ( 3; 1;2).A B C D
Hãy tìm tọa độ trọng
tâm G của tứ diện ABCD.
VD8: Cho điểm M(1; 2; 3). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M:
a) Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz. b) Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz.
VD9: Cho điểm M(1 ; 2 ; 3). Tìm tọa độ của điểm đối xứng với điểm M:
a) Qua gốc tọa độ O b) Qua mặt phẳng Oxy c) Qua Trục Oy.
VD10: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). Tìm tọa độ của
các đỉnh còn lại.
VD11: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). Đờng thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz tại điểm M.
a) Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ? b) Tìm tọa độ điểm M.
B. Bài tập
Bài 1. Viết dới dạng
x i y j z k
+ +
mỗi vectơ sau đây:
1
0; ; 2 ,
2
a
=
ữ
( )
4; 5;0 ,b
=
4 1
;0;
3
3
c
=
ữ
,
1 1
; ; ,
3
5
d
=
ữ
( )
0; 3;0 .u
=
Bài 2. Cho hai bộ ba điểm: A = (1; 3; 1), B = (0; 1; 2), C = (0; 0; 1) và A' = (1; 1; 1), B' = (-4; 3;
1),
C' = (-9; 5; 1). Hỏi bộ nào có ba điểm thẳng hàng.
Bài 3. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', A(x
1
; y
1
; z
1
), C(x
3
; y
3
; z
3
), B'(x'
2
;y'
2
;z'
2
), D'(x'
4
; y'
4
;z'
4
). Tìm tọa độ
của các đỉnh còn lại.
II. Biểu thức tọa độ của tích vô hớng, tích có hớng của hai vectơ
A. Ví Dụ:
Bài 1 . Cho ba vectơ
( ) ( )
1; 1;1 , 4;0; 1 ,a b
= =
( )
3; 2; 1 .c
=
Tìm:
2 2 2 2
) . ; ) . ; ) ;a a b c b a b c c a b b c c a
+ +
ữ ữ
2 2 2
) 3 2 . ; ) 4 . 5d a a b b c b e a c b c
+ +
ữ
.
Bài 2. Tính góc giữa hai vectơ
a
và
b
:
( ) ( )
) 4;3;1 , 1;2;3a a b
= =
( ) ( )
) 2;5; 4 , 6;0; 3 .b a b
= =
Bài 3. a) Trên trục Oy tìm điểm cách đều hai điểm: A(3; 1; 0) và B(-2; 4; 1).
b) Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm cách đều ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) và C(3; 1; -1).
Bài 4. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ
, ,a b c
trong mỗi trờng hợp sau đây:
- 1 -
ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014
( ) ( ) ( )
) 1; 1;1 , 0;1;2 , 4;2;3a a b c
= = =
( ) ( ) ( )
) 4;3;4 , 2; 1;2 , 1;2;1b a b c
= = =
( ) ( ) ( )
) 4;2;5 , 3;1;3 , 2; 0;1c a b c
= = =
( ) ( ) ( )
) 3;1; 2 , 1;1;1 , 2;2;1 .d a b c
= = =
Bài 5. Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1).
a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. b) Tính chu vi và diện tích ABC.
c) Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABDC là hình bình hành. d) Tính độ dài đờng cao của ABC hạ từ
đỉnh A.
e) Tính các góc của ABC.
Bài 6. Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Tìm góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD.
c) Tính thể tích tứ diện ABCD và tính độ dài đờng cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
Bài 7. Cho ABC biết A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3). Hãy tìm độ dài đờng phân giác trong của
góc B.
Bài 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1; 1; 0), B(0; 2;1), C(1; 0; 2), D(1;1 ;1).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D tạo thành tứ diện. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD.
b) Tính độ dài đờng cao hạ từ đỉnh C của tứ diện đó.
c) Tính độ dài đờng cao của tam giác ABD hạ từ đỉnh B.
d) Tính góc ABC và góc giữa hai đờng thẳng AB, CD.
Bài 9. Cho 3 điểm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ).
a) Xác định điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành .
b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đờng chéo.
c) Tính diện tích tam giác ABC, độ dài BC từ đó đờng cao tam giác ABC vẽ từ A.
Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC .
Bài 10. Cho 4 điểm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ).
a) Chứng minh 4 điểm A, B , C , D không đồng phẳng.Tính thể tích tứ diện ABCD
b) Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD .
c) Tính diện tích tam giác ABC , từ đó suy ra chiều cao của tứ diện vẽ từ D.
d) Tìm tọa độ chân đờng cao của tứ diện vẽ từ D .
Bài 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(3;4;-1) , B(2;0;3), C(-3;5;4)
a) Tìm độ dài các cạnh của tm giác ABC. b) Tính cosin các góc A,B,C .
c) Tính diện tích tam giác ABC
Bài tập:
Bài 1. Cho tam giác ABC, A(1;0;-2), B(2;1;-1), C(1;-2;2).
a) Tìm độ dài các cạnh của tam giác ABC b) Tìm toạ độ trung điểm I của cạnh BC
c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC d) Tính diện tích tam giác ABC.
e) Tính đờng cao của tam giác hạ từ A. f) Tính các góc của tam giác ABC
g) Tìm điểm M thuộc Ox sao cho MA = MB h) Tìm giao (ABC) và Ox
Bài 2. Cho
( )
2 2
2 2 2
3 1
; ; , 1; ;1 , 4;4;
2 2
m m
a m m b c m
= = =
ữ ữ
a) Chứng minh với mọi m thì
, ,a b c
không đồng phẳng. b) Phân tích
3
1; 1; .
2
d
=
ữ
theo
, ,a b c
Bài 3. Cho ba véc tơ:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
; ; , ; ; , ; ;
2 2 2
a b c b a c c a b
p a a q b b r c c
= = =
ữ ữ ữ
Với a, b, c không đồng thời bằng không thì
, ,p q r
có đồng phẳng không
Bài 4 . Cho ABC biết A(1; 2; -1), B(2; -1; 3), C(-4; 7; 5). Hãy tìm độ dài đờng phân giác trong của
góc B.
Bài 5. Cho ABC biết A(-11; 8; 4), B(-1; -7; -1), C(9; -2; 4).
a) Chứng minh tam giác ABC vuông b) Tính diện tích tam giác ABC
Bài 6. Cho sáu điểm A(3; 5; -4), B(-1; 1; 2), C(-5; -5; -2), A(5; 1; 5), B(4; 3; 2), C(-3; -2; 1).
a) Chứng minh tam giác ABC cân, tam giác ABC vuông
b) Gọi G, G, G là trọng tâm tam giác ABC, ABCvà của tứ diện AABC. Tính
ã
tan G'GG''
Bài 7. Chứng minh 4 điểm A(3; 3; 3), B(1; 2; -1), C(4; 1; 1), D(6; 2; 5) là các đỉnh của hình bình hành
- 2 -
ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014
Bài 8. Chứng minh 4 điểm A(5; 2; -3), B(6; 1; 4), C(-3; -2; -1), D(-1; -4; 13) là các đỉnh của hình
thang. Tính diện tích
Bài 9. Cho hai điểm A(-2; 0; 4), B(5; -2; -14).
Tìm điểm E trong mặt phẳng Oyx sao cho:
1OE
=
,
, ,OA OB OC
uuur uuur uuur
đồng phẳng
Bài10. Cho hai véc tơ
( ) ( )
1; 1;3 , 2; 2;1p q
= =
. Tìm véc tơ
v
r
thoả mãn điều kiện
; ; , ,v p v q v p q
r ur r r r uruur
đồng phẳng.
Bài 11. Cho A(-3; 2; 4), B(2; 5; -2), C(1; -2; 2), D(4; 2; 3)
a) Tính cos(
,AB CD
uuur uuur
) b) Tính diện tích tam giác BCD
c) Tính độ dài đờng cao hạ từ A của tứ diện ABCD d) Tính cosin góc gữa AD và mặt phẳng
(BCD)
e) Tính cosin góc gữa hai mặt phẳng (ABD) và (BCD) f) Tìm toạ độ điểm I cách đều A, B, C, D
Iii. Mặt Phẳng
Bài toán 1 . Phơng trình mặt phẳng
Bài 1: Lập phơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt
n
r
biết
a,
( ) ( )
M 3;1;1 , n 1;1;2=
r
b,
( ) ( )
M 2;7;0 , n 3;0;1 =
r
c,
( ) ( )
M 4; 1; 2 , n 0;1;3 =
r
d,
( ) ( )
M 2;1; 2 , n 1;0;0 =
r
e,
( ) ( )
M 3;4;5 , n 1; 3; 7=
r
f,
( ) ( )
M 10;1;9 , n 7;10;1=
r
Bài 2: Lập phơng trình mặt phẳng trung trực của AB biết:
a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5)
c,
1 1
A ; 1;0 , B 1; ;5
2 2
ữ ữ
c,
2 1 1
A 1; ; , B 3; ;1
3 2 3
ữ ữ
Bài 3: Lập phơng trình mặt phẳng
( )
đi qua điểm M và song song với mặt phẳng
( )
biết:
a,
( ) ( ) ( )
M 2;1;5 , Oxy =
b,
( ) ( )
M 1;1;0 , :x 2y z 10 0 + =
c,
( ) ( )
M 1; 2;1 , : 2x y 3 0 + =
d,
( ) ( )
M 3;6; 5 , : x z 1 0 + =
Bài 4 Lập phơng trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;3;2) và cặp VTCP là
(2;1;2); (3; 2; 1)a b
r r
Bài 5 : Lập phơng trình của mặt phẳng (P) đi qua M(1;1;1) và
a) Song song với các trục 0x và 0y. b) Song song với các trục 0x,0z.
c) Song song với các trục 0y, 0z.
Bài 6 : Lập phơng trình của mặt phẳng đi qua 2 điểm M(1;-1;1) và B(2;1;1) và :
a) Cùng phơng với trục 0x. b) Cùng phơng với trục 0y.
c) Cùng phơng với trục 0z.
Bài 7 : Xác định toạ độ của véc tơ
n
vuông góc với hai véc tơ
(6; 1;3); (3; 2;1)a b
r r
.
Bài 8 : Tìm một VTPT của mặt phẳng (P) ,biết (P) có cặp VTCP là
)4,2,3( );2,7,2( ba
Bài 9 : Lập phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) biết :
a) (P) đi qua điểm A(-1;3;-2) và nhận
);4,3,2(n
làm VTPT.
b) (P) đi qua điểm M(-1;3;-2) và song song với (Q): x+2y+z+4=0.
Bài 10 : Lập phơng trình tổng quát của các mặt phẳng đi qua I(2;6;-3) và song song với các mặt phẳng
toạ độ.
B ài 11 : (ĐHL-99) :Trong không gian 0xyz cho điểm A(-1;2;3) và hai mặt phẳng (P): x-2=0 ,
(Q) : y-z-1=0 .Viết phơng trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (P),(Q).
Bài 12 : Lập phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong các trờng hợp sau:
a) Đi qua hai điểm A(0;-1;4) và có cặp VTCP là
( )
3; 2;1a
r
và
( )
3;0;1b
r
b) Đi qua hai điểm B(4;-1;1) và C(3;1;-1) và cùng phơng với trục với 0x.
Bài 13: Cho tứ diện ABCD có A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) .
a) Viết phơng trình tổng quát các mặt phẳng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD).
b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua cạnh AB và song song vói cạnh CD.
Bài 14: Viết phơng trình tổng quát của (P)
a) Đi qua ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) .
b) Đi qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : x+2y+3z+4=0
c) Chứa 0x và đi qua A(4;-1;2) ,
d) Chứa 0y và đi qua B(1;4;-3)
Bài 15: Cho hai điểm A(3;2;3) B(3;4;1) trong không gian 0xyz
- 3 -
ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014
a) Viết phơng trình mặt phẳng (P) là trung trực của AB.
b) Viết phơng trình mặt phẳng (Q) qua A vuông góc vơi (P) và vuông góc với mặt phẳng y0z
c) Viết phơng trình mặt phẳng (R) qua A và song song với mặt phẳng (P).
Bài toán 2. Vị trí tơng đối của hai mặt phẳng
Bài 1: Xét vị trí tơng đối ciủa các cặp mặt phẳng sau:
a) (P
1
): y z + 4 = 0, và
( )
2
: 3 0P x y z + =
b) (P
1
): 2x+4y-8z+9=0
( )
2
: 2 4 1 0P x y z+ + =
c) (P
1
): x+y-z-4=0và
( )
2
: 2 2 2 8 0P x y z+ =
Bài toán 3: Chùm mặt phẳng
Bài 1: Lập phơng trình mặt phẳng qua M(2;1;3) và đi qua đờng thẳng (d):
a)
( )
=+
=+
012
0532
:
zyx
zyx
d
b)
( )
+=
+=
=
tz
ty
tx
d
21
22:
Bài 2:Lập phơng trình mặt phẳng đi qua điểm M(2;1;-1) và qua hai giao tuyến của hai mặt phẳng (P
1
)
và (P
2
) có phơng trình : (P
1
): x - y + z - 4 = 0 và (P
2
) 3x y + z 1 = 0
Bài 3: Lập phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng
( )
=
=+
02
0323
:
zx
zyx
d
và song song với mặt phẳng
(Q) có phơng trình: 11x - 2y - 15z 6 = 0.
Bài 4: Lập phơng trình mặt phẳng qua giao tuyến của (P
1
): y + 2z 4 = 0 và (P
2
) : x + y z 3 = 0
và song song với mặt phẳng (Q):
- 2 0x y z+ + =
.
Bài 5: Lập phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng
( )
=
=+
02
0323
:
zx
zyx
d
và vuông góc với (Q) có ph-
ơng trình:
a) (ĐHNNI-95): (Q):
- 2 5 0x y z+ + =
. b)
( )
: 3 1 0Q x y z+ + =
Bài 6: Lập phơng trình của mặt phẳng qua hai giao tuyến của hai mặt phẳng (P
1
):
3 - - 2 0 x y z+ =
và
(P
2
):
4 -5 0 x y+ =
và vuông góc với mặt phẳng :
2 - 7 0x z + =
.
Bài 7: Lập phơng trình chứa mặt phẳng đờng thẳng :
( )
=
=+
02
0323
:
zx
zyx
d
và song song với đờng
thẳng (d) có phơng trình :
a)
( )
=++
=+
0323
0723
:
zyx
zyx
d
b)
( )
5
5
4
3
2
2
:
+
=
=
zyx
d
Bài 8:Lập phơng trình chứa mặt phẳng đờng thẳng :
( )
=+
=
0323
02
:
zyx
yx
d
và vuông góc đờng thẳng
(d) có phơng trình :
a)
( )
=++
=+
0323
0723
:
zyx
zyx
d
b)
( )
5
5
4
3
2
2
:
+
=
=
zyx
d
Bài 9: Lập phơng trình chứa mặt phẳng đờng thẳng và với mặt phẳng (Q) một góc 60 độ biết:
( )
=
=+
02
0323
:
zx
zyx
d
và (Q):3x+4y-6=0
Bài 10: Lập phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng
( )
=+
=
015
023
:
zy
zx
d
và có khoảng cách từ điểm
A(1;-1; 0) tới (P) bằng 1.
Bài 11: Cho đờng thẳng (d) và hai mặt phẳng
( )
=+
=
01
02
:
zy
zx
d
và (P
1
): 5x+5y-3z-2=0 và (P
2
):2x-y+z-
6=0. Lập phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng (d) sao cho:
( ) ( )
1
PP
và
( ) ( )
2
PP
là hai đờng
vuông góc.
Bài 12: (ĐHKT-93): cho hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) có phơng trình :
( )
,
014
0238
:
1
=+
=+
zy
zx
d
( )
=++
=
022
032
:
2
zy
zx
d
.
- 4 -
ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014
a) Viết phơng trình các mặt phẳng
( )
1
P
,
( )
2
P
song song với nhau và lần lợt chứa
( )
1
d
( )
2
d
b) Tính khoảng cách giữa
( )
1
d
,
( )
2
d
c) Lập phơng trình đờng thẳng (D) song song với trục Oz và cắt cả 2 đờng thẳng
( )
1
d
,
( )
2
d
B ài toán 4. Khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng
Bài 1:Tính khoảng cách từ điểm M(2;2;1) đến mặt phẳng (P) trong các trờng hợp sau:
a)
( ) : 2 - 3 3 0P x y z+ + =
b)
( )
: 2 3 1 0P x y z + =
Bài 2:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện có 4 đỉnh A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4)
D(4;0;6)
a) Lập phơng trình tổng quát mặt phẳng (ABC)
b) Tính chiều dài đờng thẳng cao hạ từ đỉnh D của tứ diện, từ đó suy ra thể tích của tứ diện
Bài 3:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện có 4 đỉnh A(1;1;1) B(-2;0;2) C(0;1;-3) D(4;-
1;0)
a) (ĐH Luật 1996) Tính chiều dài đờng thẳng cao hạ từ đỉnh D của tứ diện
b) Viết phơng trình mặt phẳng phân giác của 2 mặt (ABC) và (BCD) cắt đoạn AD
IV. Đờng thẳng trong không gian
Bài toán 1 . Phơng trình đờng thẳng
Bài 1:Lập phơng trình đờng thẳng (d) trong các trờng hợp sau :
a) (d) đi qua điểm M(1;0;1) và nhận
(3; 2;3)a
r
làm VTCP
b) (d) đi qua 2 điểm A(1;0;-1) và B(2;-1;3)
Bài 2: Trong không gian Oxyz lập phơng trình tổng quát của các giao tuyến của mặt phẳng
( ) : -3 2 -6 0 P x y z+ =
và các mặt phẳng toạ độ
Bài 3: Viết phơng trình chính tắc của đờng thẳng đi qua điểm M(2;3;-5) và song song với đờng thẳng
(d) có phơng trình:
3 2 7 0
3 2 3 0
x y z
x y z
+ =
+ + =
Bài 4: Cho đờng thẳng (D) và mặt phẳng (P) có phơng trình là :
( )
=+++
=++
0732
0143
:
zyx
zyx
d
và (P):
x+y+z+1=0
Tìm phơng trình chính tắc của đờng thẳng (t) đi qua A(1;1;1) song song với mặt phẳng (P) và vuông
góc với đờng thẳng (D)
Bài 5: Cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). Viết phơng trình tham số của đ-
ờng thẳng (d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó
B ài toán 2. Chuyển dạng phơng trình đờng thẳng
Bài 1:Tìm véc tơ chỉ phơng của các đờng thẳng sau
a)
3
1
4
2
3
1
:)(
+
=
+
=
zyx
d
b)
( )
=+
=++
0642
0104
:
zyx
zyx
d
Bài 2: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
=+
=++
0642
0104
:
zyx
zyx
d
. Hãy viết phơng trình tham số của
đờng thẳng đó
Bài 3: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
=+
=++
0642
0104
:
zyx
zyx
d
. Hãy viết phơng trình chính tắc của
đờng thẳng đó
Bài4: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
R t,
21
22:
+=
+=
=
tz
ty
tx
d
. Hãy viết phơng trình tổng quát của
đờng thẳng đó
Bài 5: Lập phơng trình tham số, chính tắc và tổng quát của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(2;1;3) và
vuông góc với mặt phẳng (P) trong các trờng hợp sau:
a)
( ) : 2 3 - 4 0P x y z+ + =
b)
( )
: 2 3 1 0P x y z+ + =
.
Bài 6: Lập phơng trình tham số, chính tắc và tổng quát của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1;2;3) và
song song với đờng thẳng (
) cho bởi :
- 5 -
ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014
a)
( )
2 2
: 3 t
3
x t
y t R
z t
= +
=
= +
. b)
( )
1 0
:
4 1 0
x y
x z
+ =
+ + =
Bài 7:Lập phơng trình tham số, chính tắc và tổng quát của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1;2;3) và
vuông góc
với 2 đờng thẳng :
( )
=+
=+
032
022
:
1
zx
yx
d
,
( )
=+
=++
0642
0104
:
2
zyx
zyx
d
Bài 8:Trong không gian Oxyz, lập phơng trình tham số, chính tắc và tổng quát của đờng thẳng (d) đi
qua điểm A(3;2;1), song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đờng thẳng (). Biết mặt phẳng
( ) : - 2 0P x y z+ + =
và
=++
=+
014
01
:)(
zy
yx
B ài toán 3. Vị trí tơng đối của đờng thẳng và mặt phẳng
Bài1: Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) ,biết:
a)
( )
R t,
2
3
1
:
+=
=
+=
tz
ty
tx
d
(P): x-y+z+3=0 b)
( )
R t,
1
9
412
:
+=
+=
+=
tz
ty
tx
d
(P): y+4z+17=0
c)
( )
05
010632
:
=+++
=++
zyx
zyx
d
(P): y+4z+17=0 d)
( )
01
03
:
=
=++
y
zyx
d
(P): x+y-2=0
Bài 2: Hãy tính sin của góc tạo bởi đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) cho bởi :
a)
( )
)(t
1
39
412
: R
tz
ty
tx
d
+=
+=
+=
và
( )
: 2 3 1 0P x y z + =
.b)
( )
05
010632
:
=+++
=++
zyx
zyx
d
và
( )
: 2 3 1 0P x z y + =
c)
( )
R t,
22
2
21
:
+=
+=
+=
tz
ty
tx
d
và
( ) : - 2 2 3 0.P x y z+ + =
Bài 3: (ĐHNN_TH-98): Cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình (P): 2x+y+z=0 và
( )
3
2
12
1
:
+
==
zyx
d
.
a) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P) .
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d
1
) qua A vuông góc với (d) và nằm trong mặt phẳng (P) .
Bài 4: (ĐH Khối A-2002): Trong không gian 0xyz ,cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d
m
) có phơng
trình :
( ) : 2 - 2 0 P x y + =
,
( )
024)12(
01)1()12(
:
=++++
=+++
mzmmx
mymxm
d
m
xác định m để (d
m
)//(P)
B ài toán 4. Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng
Bài 1: sử dụng tích hỗn tạp xác định vị trí tơng đối của hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) có phơng trình cho
bởi:
a)
( )
R
tz
ty
tx
d
+=
+=
+=
t
46
32
23
:
1
,
( )
=+
=+
015
0194
:
2
zx
yx
d
b)
( )
R
tz
ty
tx
d
+=
+=
+=
t
33
2
21
:
1
,
( )
13
23
2
:
2
+=
+=
+=
uz
uy
ux
d
c)
( )
01
012
:
1
=++
=++
zyx
yx
d
,
( )
012
033
:
2
=+
=++
yx
zyx
d
Bài 2: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
5
1
25
:
1
=
=
+=
tz
ty
tx
d
,
( ) ( )
R
tz
ty
tx
d
=
=
+=
1
1
1
1
2
tt,
1
3
23
:
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) song song với nhau .
b) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song ,cách đều (d
1
),(d
2
) và thuộc mặt phẳng chứa (d
1
),(d
2
) .
Bài 3: Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi:
- 6 -
ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014
( )
4
9
1
5
3
7
:
1
=
=
+ zyx
d
,
( )
4
18
1
4
3
:
2
+
=
+
=
zyx
d
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) song song với nhau .
b) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song ,cách đều (d
1
),(d
2
) và thuộc mặt phẳng chứa (d
1
),(d
2
).
Bài 4: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
R t
46
2
23
:
1
+=
+=
+=
tz
ty
tx
d
,
( )
015
0194
:
2
=+
=+
zx
yx
d
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) cắt nhau .
b) Viết phơng trình đờng phân giác của (d
1
),(d
2
)
Bài5: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
3
4
1
2
2
1
:
1
=
+
=
zyx
d
( ) ( )
t
32
1
:
2
R
tz
ty
tx
d
+=
=
+=
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) cắt nhau.
b) Viết phơng trình đờng phân giác của (d
1
),(d
2
)
Bài 6: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
1
1
:
1
=
=
=
z
ty
tx
d
,
( ) ( )
R
tz
ty
tx
d
=
+=
=
1
1
1
1
2
tt, 1
2
:
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
b) Viết phơng trìnhmặt phẳng(P) song song ,cách đều (d
1
),(d
2
) .
Bài 7: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
=+
=++
0104z-y
0238zx
: d
1
,
( )
022
032
:
2
=++
=
zy
zx
d
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
b) Viết phơng trìnhmặt phẳng(P) song song, cách đều (d
1
),(d
2
) .
Bài8: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
3
3
2
2
1
1
:
1
=
=
zyx
d
( )
0532
02
:
2
=+
=+
zyx
zyx
d
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
b) Viết phơng trình mặt phẳng(P) song song, cách đều (d
1
),(d
2
) .
B ài toán 5. Hai đờng thẳng đồng phẳng và bài tập liên quan
Bài 1: (ĐHBK-TPHCM-93): Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d
1
),(d
2
) ,biết:
( )
2
3
2
1
3
1
:
1
=
=
+ zyx
d
( )
2
3
1
1
1
:
2
=
=
zyx
d
Bài 2: (ĐHSPII-2000): Cho điểm A(1;-1;1) và hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
=+
=+
01y-2x
03z-y-3x
: d
1
( ) ( )
t
3
21:
2
R
tz
ty
tx
d
=
=
=
CMR (d
1
),(d
2
) và điểm A cùng thuộc mặt phẳng.
Bài 3: Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
=+
=++
01y-x
01y2x
: d
1
z
( )
012
033
:
2
=
=++
yx
zyx
d
a) CMR hai đờng thẳng đó cắt nhau.
b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d
1
), (d
2
).
c) Viết phơng trình đờng phân giác của(d
1
), (d
2
)
Bài 4: Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
1
1
2
1
1
2
:
1
=
=
zyx
d
( ) ( )
t
31
2
21
:
2
R
tz
ty
tx
d
+=
+=
+=
- 7 -
ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014
a) CMR hai đờng thẳng đó cắt nhau.Xác định toạ độ giao điểm của nó.
b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d
1
),(d
2
).
c) Viết phơng trình đờng phân giác của(d
1
),(d
2
)
Bài5: cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
3
2
4
1
1
3
:
1
=
+
=
zyx
d
,
( )
03
024
:
2
=
=
zx
yx
d
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) song song với nhau.
b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d
1
),(d
2
).
c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) trong (P) song song cách đều (d
1
),(d
2
) .
B ài toán 6. Hai đờng thẳng chéo nhau và bài tập liên quan
Bài 1: (ĐHNN-96): cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
34
24
37
:
1
+=
=
+=
tz
ty
tx
d
( ) ( )
R
tz
ty
tx
d
=
+=
+=
1
1
1
1
2
tt,
12
29
1
:
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
b) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc chung của (d
1
),(d
2
) .
Bài 2: (ĐHTCKT-96): Trong không gian 0xyz , cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
1
( ) : - 1 -1d x y z
= + =
,
2
( ) : - 1 -1d x y z+ = =
. Tìm toạ độ điểm A
1
thuộc (d
1
) và toạ độ điểm A
2
thuộc (d
2
)
để đờng thẳng A
1
A
2
vuông góc với (d
1
) và vuông góc với (d
2
) .
Bài 3: (ĐH L 1996) Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
1
1
:
1
=
=
=
z
ty
tx
d
,
( ) ( )
R
tz
ty
tx
d
=
+=
=
1
1
1
1
2
tt, 1
2
:
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.Viết phơng trình mặt phẳng (P),(Q) song song
với nhau và lần lợt chứa (d
1
),(d
2
)
b) Tính khoảng cách giữa (d
1
),(d
2
) .
Bài 4: (ĐHTS-96): Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( ) ( )
Rt
12
23
31
:
1
=
+=
+=
z
ty
tx
d
( )
01225
0823
:
2
=+
=
zx
yx
d
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau. Tính khoảng cách giữa (d
1
),(d
2
)
b) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc chung của (d
1
),(d
2
) .
Bài 5: : (PVBC 99) Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) ,biết:
( )
1
2
3
1
2
1
:
1
=
=
+ zyx
d
;
( )
25
2
2
2
:
2
=
+
=
zyx
d
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
b) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc chung của (d
1
),(d
2
) .
Bài 6: (ĐHSPQui Nhơn-D-96): cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) ,biết:
( )
=+
=+
04y-x
0yx
: d
1
z
( ) ( )
t
2
31
:
2
R
tz
ty
tx
d
+=
=
+=
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau. b) Tính khoảng cách giữa (d
1
),(d
2
)
Bài 7: : cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) ,biết:
( )
1
9
2
3
1
7
:
1
=
=
zyx
d
( )
3
1
2
1
7
3
:
2
=
=
zyx
d
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
b) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc chung của (d
1
),(d
2
) .
Bài 8: (ĐH Huế 1998) Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
1
1
22
:
1
1
1
=
+=
+=
z
ty
tx
d
,
( ) ( )
R
tz
ty
x
d
=
+=
=
21
2
22
t,t
3
1
1
:
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
- 8 -
ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014
b) Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d
1
) và song song với (d
2
) .
c) Tính khoảng cách giữa (d
1
),(d
2
) .
Bài 9: (ĐHNN-97): Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
=++
=++
01y-x
02zyx
: d
1
z
( ) ( )
t
2
5
22
:
2
R
tz
ty
tx
d
+=
=
+=
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau. b) Tính khoảng cách giữa (d
1
),
(d
2
) .
c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M(1,1,1) và cắt đồng thời (d
1
),(d
2
) .
Bài 10: (ĐHKT-98): Cho tứ diện SABC với các đỉnh S(-2;2;4), A(-2;2;0) ,B(-5;2;0) ,C(-2;1;1). Tính
khoảng cách giữa hai cạnh đối SA và SB.
V. Điểm, đờng thẳng và Mặt Phẳng
Bài toán 1 : Đờng thẳng đi qua một điểm cắt cả hai đờng thẳng cho trớc.
Bài 1: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;2;3) và cắt cả hai đờng thẳng
a)
( )
=+
=++
0104z-y
0328zx
: d
1
( )
022
032
:
2
=++
=
zy
zx
d
b)
( )
3
3
2
2
1
1
:
1
=
=
zyx
d
( )
0532
02
:
2
=+
=+
zyx
zyx
d
Bài 2: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua gốc toạ độ và cắt cả hai đờng thẳng:
( )
R
tz
ty
tx
d
+=
+=
+=
t
33
2
21
:
1
,
( )
13
23
2
:
2
+=
+=
+=
uz
uy
ux
d
Bài 3: Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng () và cắt cả hai đờng thẳng:
( )
01
02
:
=++
=++
zyx
zyx
( )
R
tz
ty
tx
d
=
=
+=
t
2
1
2
:
1
( )
03
022
:
2
=
=+
y
zx
d
Bài 4: (ĐHDL-97): Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;-1;0) và cắt cả hai đờng thẳng:
( )
2
1
1
1
1
:
1
=
+
=
zyx
d
( )
121
1
:
2
zyx
d ==
+
Bài 5: (ĐHTS-99): Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;-1;0) và cắt cả hai đờng thẳng:
( )
=+
=
012-2z5x
08-2y-3x
: d
1
( ) ( )
t
2
23
31
:
2
R
tz
ty
tx
d
=
=
+=
Bài 6: Viết phơng trình đờng thẳng (d) vuông góc với (P) :x+y+z-2=0 và cắt cả hai đờng thẳng (d
1
) và
(d
2
):
( )
R
tz
ty
tx
d
=
=
+=
t
2
1
2
:
1
( )
03
022
:
2
=
=+
y
zx
d
Bài 7: Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua gốc toạ độ và cắt cả 2 đờng thẳng (d
1
) và (d
2
):
( )
R
tz
ty
tx
d
=
+=
+=
t
33
2
12
:
1
( )
0313
23
2
:
2
=+=
+=
+=
uz
uy
ux
d
Bài toán 2: Đờng thẳng đi qua một điểm vuông góc với cả hai đờng thẳng cho trớc.
Bài 1: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;2;3) và cắt cả hai đờng thẳng (d
1
) ,(d
2
):
a)
( )
=+
=++
0104z-y
0328zx
: d
1
( )
022
032
:
2
=++
=
zy
zx
d
b)
( )
01225
0823
:
1
=+
=
zx
yx
d
( ) ( )
t
2
23
31
:
2
R
tz
ty
tx
d
=
=
+=
- 9 -
ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014
Bài 2: (ĐHTCKT 1999) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua A(1;1;-2) song song với mặt phẳng (P)
và vuông góc với đờng thẳng (d):
1 1 2
, ( ) : - - -1 0
2 1 3
x y z
P x y z
+
= = =
Bài toán 3: Đờng thẳng đi qua một điểm vuông góc với một đờng và cắt một đờng thẳng khác
Bài 1: (ĐHSP TPHCM-95): Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(0;1;1) và vuông góc với đờng
thẳng (d
1
) và cắt (d
2
) ,biết:
( )
11
2
3
1
:
1
zyx
d =
+
=
( )
01
02
:
2
=+
=++
x
zyx
d
Bài 2: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;1;1) và vuông góc với đờng thẳng (d
1
) và cắt (d
2
) ,biết :
( )
=+
=++
01-zy
03-zyx
: d
1
( )
01
0922
:
2
=+
=+
zy
zyx
d
Bài 3: Viết phơng trình đờng thẳng cắt cả ba đờng thẳng (d
1
) (d
2
) , (d
3
)
và vuông góc với vectơ
( )
1;2;3u
r
, biết:
( )
=+
=+
01z
01y-x
: d
1
( )
0
01
:
2
=
=+
z
yx
d
( )
1
01
:
3
=
=
z
yx
d
Bài 4: Tìm tất cả các đờng thẳng cắt (d
1
), (d
2
) dới cùng một góc, biết:
( )
=
=
az
0y-mx
: d
1
( )
0
:
2
=
=+
az
ymx
d
Bài 5: (ĐHTL-97):Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(3;-2;-4) song song với mặt phẳng (P) :3x-2y-
3z-7=0 và cắt đờng thẳng (d) biết:
( )
2
1
2
4
3
2
:
=
+
=
zyx
d
Bài toán 4: Hình chiếu vuông góc củađiểm lên mặt phẳng
Bài 1: Tìm toạ độ điểm đối xứng của A(-2;1;3) qua (P) cho bởi: 2x+y-z-3=0.
Bài 2: (ĐHKTCN-97): Cho điểm A(1;2;3) và mặt phẳng (P) có phơng trình :2x-y+2z-3=0
a) Lập phơng trình mặt phẳng qua A và song song với (P).
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (P). Xác định toạ độ của H
Bài3: (ĐHGTVTTPHCM-99): Cho ba điểm A(1;1;2), B(-2;1;-1), C(2;-2;-1) .Xác định toạ độ hình
chiếu vuông góc của điểm O lên mặt phẳng (ABC).
Bài 4: (ĐHTCKT-2000): Cho điểm A(2;3;5) và mặt phẳng (P) có phơng trình: 2x+3y+z-17=0
a) Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A và vuông gócvới (P).
b) CMR đờng thẳng (d) cắt trục 0z , tìm giao điểm M của chúng.
c) Xác định toạ độ điểm A
1
đối xứng với A qua (P).
Bài 5: Cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình:
(P): 2x+5y+z+17=0 và
( )
0736
02743
:
=++
=+
zyx
zyx
d
a) Xác định toạ độ giao điểm A của (d) và (P).
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d
1
) đối xứng với (d) qua (P)
Bài 6: Cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình :
( ) : 2 4 0P x y z+ + + =
và
( )
0723
032
:
=
=+
zx
yx
d
a) Xác định toạ độ giao điểm A của (d) và (P).
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d
1
) đối xứng với (d) qua (P)
Bài 7: (ĐHQG 1998) Cho các điểm A(a;0;0); B(0;b;0); C(0;0;c) (a,b,c dơng ). Dựng hình hộp chữ
nhật nhận O,A,B,C làm 4 đỉnh và gọi D là đỉnh đối diện với đỉnh O của hình hộp đó
a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABD)
b) Tính toạ độ hình chiếu vuông góc của C xuống mặt phẳng (ABD). Tìm điều kiện đối với a,b,c để
hình chiếu đó nằm trong mặt phẳng (xOy)
Bài toán 5: Hình chiếu vuông góc của đờng thẳng lên mặt phẳng
Bài 1: (ĐHQG TPHCM 1998) Trong không gian với hệ trục toạ độ trực chuẩn 0xyz ,cho đờng thẳng
(d) và mặt phẳng (P) có phơng trình: (P):x+y+z-3=0 và
( )
032
03
:
=
=+
zy
zx
d
Lập phơng trình hình chiếu
vuông góc của đờng thẳng (d) lên (Q).
Bài 2: Lập phơng trình hình chiếu vuông góc của giao tuyến (d) của hai mặt phẳng 3x-y+z-2=0 và
x+4y-5=0 lên mặt phẳng 2x-z+7=0.
- 10 -
ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014
Bài 3: (ĐHMĐC-98) :Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn 0xyz cho đờng thẳng (d) và mặt
phẳng (P) có phơng trình:
( )
2
1
3
4
4
:
+
=
=
zyx
d
và (P): x-y+3z+8=0. Hãy viết phơng trình chính tắc
hình chiếu vuông góc của (d) lên (P) .
Bài 4: Trong không gian 0xyz cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (Q) có phơng trình :
( )
=
=+
02z-x
03-z2y-3x
: d
( ) ( )
R
ttz
tty
ttx
Q
+=
+=
++=
21
21
21
21
t,t
5
24
34
:
. Lập phơng trình hình chiếu vuông góc của đ-
ờng thẳng (d) lên (Q) .
Bài 5: Cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (Q) có phơng trình:
( )
=+
=++
03-z-2yx
01zy-2x
: d
(Q): x-y+z+10=0
Hãy viết phơng trình chính tắc hình chiếu vuông góc (d
1
) của (d) lên (P) .
Bài 6: (ĐH Càn Thơ 1998) Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc 0xyz cho đờng thẳng (d) và mặt
phẳng (P) có phơng trình:
( )
3
1
2
2
1
1
:
=
=
zyx
d
và (P): x+y+z+1=0. Hãy viết phơng trình chính tắc
hình chiếu vuông góc (d
1
) của (d) lên (P) .
Bài 7: (HVQY-95): Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc 0xyz cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng
(P) có phơng trình :
( )
3
1
2
2
1
1
:
=
=
zyx
d
và (P): x+y+z+1=0.
a) Hãy viết phơng trình chính tắc hình chiếu vuông góc (d
1
) của (d) lên (Oxy) .
b) CMR khi m thay đổi đờng thẳng (d
1
) luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định trong mặt phẳng 0xy.
Bài 8: (ĐHQG-98): Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc 0xyz cho mặt phẳng (P) và hai đờng
thẳng (d
1
) và (d
2
) có phơng trình: (P):x+y-z+1=0,
( )
=+
=+
02yx
01z-2y
: d
1
,
( )
02
0123
:
2
=+
=+
zx
zy
d
a) Hãy viết phơng trình hình chiếu vuông góc (
1
), (
2
) của (d
1
), (d
2
) lên (P). Tìm toạ độ giao điểm I
của (d
1
), (d
2
).
b) Viết phơng trình mặt phẳng
( )
1
P
chứa (d
1
) và vuông góc với (P).
Bài toán 6: Hình chiếu vuông góc của điểm lên đờng thẳng
Bài 1: cho điểm A(1;2;3) và đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
01
0922
:
=+
=+
zy
zyx
d
. Xác định toạ độ
hình chiếu vuông góc của A lên (d) .Từ đó tìm toạ độ điểm A
1
đối xứng với A qua (d) .
Bài 2: cho điểm A(1;2;-1) và đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
R
tz
ty
tx
d
=
+=
+=
t
33
2
12
:
.Xác định toạ độ
hình chiếu vuông góc của A lên (d) .Từ đó tìm toạ độ điểm A
1
đối xứng với A qua (d) .
Bài 3: cho điểm A(2;1;-3) và đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
1
3
2
2
1
1
:
+
=
=
zyx
d
.Xác định toạ độ
hình chiếu vuông góc của A lên (d) .Từ đó tìm toạ độ điểm A
1
đối xứng với A qua (d) .
Bài 4: (ĐHhuế /A,B phân ban 98): Trong không gian 0xyz cho điểm A(2;-1;1) và đờng thẳng (d) có
phơng trình :
( )
022
04
:
=+
=+
zyx
zy
d
a) Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc (d) .
b) Xác định toạ độ điểm B đối xứng với A qua (d) .
Bài 5: (Đề 60-Va): Lập phơng trình đờng thẳng qua A(3;2;1) và vuông góc với đờng thẳng
(d)
1
3
42
:
+
==
zyx
và cắt với đờng thẳng đó .
Bài 6: (ĐHTM-2000): Lập phơng trình đờng thẳng qua A(2;-1;0) và vuông góc với đờng thẳng
( )
012
025
:
=++
=+++
zyx
zyx
d
và cắt với đờng thẳng đó .
Bài7: (HV BCVT-2000): Cho 2 đờng thẳng () và (d) có phơng trình :
- 11 -
ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014
( )
3
1
2
1
7
3
:
=
=
zyx
( )
1
9
2
3
1
7
:
=
=
zyx
d
Lập phơng trình đờng thẳng (d1) đối xứng với (d) qua ()
Bài 8: (ĐHHH-1999): Trong không gian cho 2 đờng thẳng (d1),(d2) :
( )
R t
54
21:)(d
01
012
:
21
+=
+=
=
=+
=++
tz
ty
tx
zyx
yx
d
a) (d1) , (d2) có cắt nhau hay không
b) Gọi B,C lần lợt là các điểm đối xứng của A(1;0;0) qua (d1),(d2) . Tính diện tích tam giác ABC
Bài 9: (ĐHTM-1999): Trong không gian cho đờng thẳng (d1) và mặt phẳng (P) :
( )
032:)(P
01722
0322
:
1
=+
=
=
zyx
zyx
zyx
d
a) Tìm điểm đối xứng của điểm A(3;-1;2) qua đờng thẳng (d)
b) Viết phơng trình hình chiếu vuông góc của đờng thẳng (d) trên mặt phẳng (P)
Bài10: Trong không gian 0xyz cho bốn đờng thẳng (d
1
), (d
2
), (d
3
), (d
4
) có phơng trình :
( )
0
:
1
=
=
hz
ymx
d
,
( )
0
:
2
=
=
hz
ymx
d
,
( )
0
:
3
=
=+
hz
ymx
d
,
( )
0
:
4
=
=+
hz
ymx
d
CMR các điểm đối xứng A
1,
, A
2,
, A
3
, A
4
của A bất kì trong không gian qua (d
1
), (d
2
), (d
3
), (d
4
) là đồng
phẳng. Lập phơng trình mặt phẳng chứa chúng .
Bài toán 7: Điểm và mặt phẳng
Bài 1: cho hai điểm A(1;0;2) ;B(2;-1;3) và mặt phẳng (P): x-2y+z-4=0.Tìm điểm M thuộc (P) sao cho
AM+BM nhỏ nhất.
Bài 2: cho hai điểm A(1;1;0) ;B(0;-1;1) và mặt phẳng (P): x-2y+z-4=0.Tìm điểm M thuộc (P) sao cho
AM+BM nhỏ nhất.
Bài 3: (ĐHhuế /A hệ cha phân ban 97):Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz cho mặt phẳng (P): 2x-
y+z+1=0 và hai điểm A(3;1;0), B(-9;4;9) .Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho
MBMA
là
lớn nhất .
Bài 4: (ĐHQG-2000):Cho mặt phẳng
(P):x+y+z-1=0 và hai điểm A(1;-3;0) ,B(5;-1;-2)
a) Chứng tỏ rằng đờng thẳng đi qua A,B cắt mặt phẳng (P) tại một điểm I, tìm toạ độ điểm đó .
b) Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho
MBMA
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5: (ĐHMĐC-97):
cho ba điểm A(1;4;5) B(0;3;1) ,C(2;-1;0) và mặt phẳng (P): 3x-3y-2z-15=0.Gọi G là trọng tâm
ABC .CMR điều kịên cần và đủ để M nằm trên mặt phẳng (P) có tổng các bình phơng khoảng cách
đến các điểm A,B,C nhỏ nhất là điểm M phải là hình chiếu vuông góc của điểm G trên mặt phẳng
(P) .Xác định toạ độ của điểm M đó.
Bài 6: Cho mặt phẳng (P) 3x+3y+mz-6-m=0.
a) CMR (P) luôn đi qua một điểm cố định M, Tìm toạ độ của M.
b) Giả sử (P) cắt 0x,0y,0z theo thứ tự tại A,B,C .
c) Tính 0A,0B,0C để tứ diện 0ABC đạt giá trị nhỏ nhất .
d) Tính 0A,0B,0C để 0A+0B+0C là nhỏ nhất .
Bài toán 8: Điểm và đờng thẳng
Bài 1: Tìm trên đờng thẳng (d) điểm M(x
M
,y
M
,z
M
) sao cho
MMM
zyx
222
++
nhỏ nhất ,biết:
a)
( )
R
tz
ty
tx
d
=
=
+=
t
3
21
2
:
b)
( )
5
4
3
1
2
3
:
=
+
=
zyx
d
c)
( )
0732
0143
:
=+++
=++
zyx
zyx
d
Bài 2: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
05
03
:
=+
=
yx
zyx
d
.Tìm điểm M thuộc (d) sao cho AM +
BM nhỏ nhất khi :
a) A(1;2;-1), B(8;1;-2) . b) A(1;2;-1),B(0;1;2).
Bài 3: (ĐHBK-98):Cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P)có phơng trình :
- 12 -
ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014
( )
R
tz
ty
tx
d
=
=
+=
t
3
2
21
:
,
( ) : 2 - - 2 1 0P x y z + =
a) Tìm toạ độ các điểm thuộc đờng thẳng(d) sao cho khoảng cách từmỗi điểm đó đến mặt phẳng (P)
bằng 1.
b) Gọi K là điểm đối xứng của điểm I(2;-1;3) qua đờng thẳng (d) .Xác định toạ độ K.
Bài 4: (ĐHHồng Đức -2000): Cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phơng trình :
( )
R
tz
ty
tx
d
=
+=
+=
t
2
1
1
:
và (P): x+2y+z-1=0.
a) Tìm toạ độ các điểm thuộc đờng thẳng(d) sao cho khoảng cách từmỗi điểm đó đến mặt phẳng (P)
bằng
6
.
b) Gọi K là điểm đối xứng của điểm I(2;0;-1) qua đờng thẳng (d) .Xác định toạ độ K.
Bài 5: (ĐHĐà nẵng -2000): Cho điểm A(-4;4;0),B(2;0;4),C(1;2;-1),D(7;-2;3).
a) CMR A,B,C,D đồng phẳng . b) Tính khoảng cách từ Cđến đờng thẳng (AB)
Bài toán 9: Góc trong không gian
Bài 1: Xác định số đo góc giữa 2 đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình :
a)
( )
015z-x
019-y4x
:)(d&
46
32
23
:
21
=+
=+
+=
+=
+=
tz
ty
tx
d
b)
( )
33
2
12
:
1
+=
+=
+=
tz
ty
tx
d
,
( )
31
23
2
:
2
+=
+=
+=
uz
uy
ux
d
c)
( )
01
012
:
1
=+
=++
zyx
yx
d
( )
012
033
:
2
=+
=++
yx
zyx
d
Bài 2: (ĐHHH-2000): Cho ba đờng thẳng (d
1
),(d
2
), (d
3
) có phơng trình :
( )
R
tz
ty
tx
d
+=
+=
+=
t
32
42
1
:
1
,
( )
012
034
:
2
=+
=+
zyx
zyx
d
( )
1
5
1
1
3
:
3
=
=
zyx
d
a) Xác định cosin góc giữa (d
1
),(d
2
).
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d) song song với (d
3
) đồng thời cắt cả (d
1
),(d
2
).
Bài 3: Xác định số đo góc giữa đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phơng trình cho bởi :
( )
015
0194
:
=+
=+
zx
yx
d
và (P):x+y-7z-58=0.
Bài 4: (CĐSP TP.HCM-99): Cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phơng trình :
( )
1
3
2
4
1
3
:
+
=
=
zyx
d
và (P):2x+y+z-1=0
a) Xác định số đo góc giữa đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) .
b) Tìm toạ độ giao điểm A của đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P).
c) Lập phơng trình tổng quát của đờng thẳng (d
1
) đi qua A vuông góc với (d) và nằm trong mặt phẳng
(P).
Bài 5: (ĐHAN-CS-98): Cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phơng trình :
( )
2
1
2
3
1
1
:
+
=
=
zyx
d
và (P): x+z+2=0
a) Xác định số đo góc giữa đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) .
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d
1
) là hình chiếu vuông góc của (d) lên mặt phẳng (P).
Bài toán 10: Tam giác trong không gian
Bài 1: Cho ABC bíêt A(1;2;5), B(1;4;3), C(5;2;1) và mặt phẳng (P):x-y-z-3=0.
a) Lập phơng trình đờng trung tuyến ,đờng cao và đờng phân giác trong kẻ từ đỉnh A.
b) Gọi G là trọng tâm ABC .CMR điều kịên cần và đủ để điểm M nằm trên mặt phẳng (P) có tổng các
bình phơng khoảng cách đến các điểm A,B,C nhỏ nhất là điểm M phải là hình chỉếu vuông góc của
điểm G trên mặt phẳng (P) .Xác định toạ độ của điểm M đó.
Bài 2: Cho mặt cầu
( )
0642:
222
=++ zyxzyxS
.
a) Gọi A,B,C lần lợt là giao điểm (khác gốc toạ độ ) của mặt cầu (S) với 0x,0y,0z .Các đỉnh toạ độ của
A,B,C và lập phơng trình mặt phẳng (ABC).
- 13 -
ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014
b) Lập phơng trình các đờng trung tuyến , đờng cao và đờng phân giác trong kẻ từ đỉnh A của ABC.
c) Xác định toạ độ tâm và tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp ABC.
Bài 3 Cho các điểm A(3;1;0), B(2;2;4) ,C(-1;21).
a) Lập phơng trình mặt phẳng (ABC).
b) Lập phơng trình các đờng trung tuyến ,đờng cao và đờng phân giác trong kẻ từ đỉnh A của ABC.
c) Xác định toạ độ tâm và tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp ABC.
VI. Mặt cầu
Bài toán 1 . Phơng trình mặt cầu
Bài 1: Trong các phơng trình sau đây ,phơng trình nào là phơng trình của mặt cầu ,khi đó chỉ rõ toạ độ
tâm và bán kính của nó ,biết:
a)
( )
02642:
222
=++++ zyxzyxS
b)
( )
09242:
222
=++++ zyxzyxS
c)
( )
03936333:
222
=++++ zyxzyxS
d)
( )
07524:
222
=++ zyxzyxS
e)
( )
022:
222
=+++ yxzyxS
Bài 2: Cho họ mặt cong (S
m
) có phơng trình:
( )
04624:
2222
=++++ mmzmymxzyxS
m
a) Tìm điều kiện của m để (S
m
) là một họ mặt cầu .
b) CMR tâm của (S
m
) luôn nằm trên một đờng thẳng cố định.
Bài 3: Cho họ mặt cong (S
m
) có phơng trình:
( )
05824:
22222
=+++ mymmxzyxS
m
a) Tìm điều kiện của m để (S
m
) là một họ mặt cầu .
b) Tìm quĩ tích tâm của họ (S
m
) khi m thay đổi.
c) Tìm điểm cố định M mà (S
m
) luôn đi qua.
Bài 4: Cho họ mặt cong (S
m
) có phơng trình:
( )
03cos2sin2:
222
=++ mymxzyxS
m
a) Tìm điều kiện của m để (S
m
) là một họ mặt cầu .
b) CMR tâm của (S
m
) luôn chạy trên một đờng tròn (C) cố định trong mặt phẳng 0xy khi m thay đổi.
c) Trong mặt phẳng 0xy, (C) cắt 0y tại A và B. Đờng thẳng y=m(-1<m<1 ,m
0) ,cắt (C) tại T, S , đ-
ờng thẳng qua A , T cắt đờng thẳng qua B ,S tại P .Tìm tập hợp các điểm P khi m thay đổi .
Bài 5: Lập phơng trình mặt cầu (S) ,biết :
a) Tâm I(2;1;-1), bán kính R=4. b) Đi qua điểm A(2;1;-3) và tâm I(3;-2;-1).
c) Đi qua điểm A(1;3;0) ,B(1;1;0) và tâm I thuộc 0x. d) Hai đầu đờng kính là A(-1;2;3),
B(3;2;-7)
Bài 6: Cho 3 đờng thẳng (d
1
),(d
2
), (d
3
) có phơng trình :
( )
1
1
4
2
3
2
:
1
=
+
=
zyx
d
,
( )
1
9
2
3
1
7
:
2
=
=
zyx
d
,
( )
1
2
2
3
3
1
:
3
=
+
=
+ zyx
d
a) Lập phơng trình đờng thẳng (d) cắt cả hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) và song song với đờng thẳng (d
3
).
b) Giả sử
( ) ( ) { }
Add =
1
,
( ) ( ) { }
Bdd =
2
.Lập phơng trình mặt cầu đờng kính AB.
Bài 7: Cho 2 đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình :
( )
R
tz
ty
tx
d
=
=
+=
t
2
1
2
:
1
,
( )
03
022
:
2
=
=+
y
zx
d
a) CMR (d
1
) và (d
2
) chéo nhau.
b) Viết phơng trình đờng vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
).
c) Lập phơng trình mật cầu (S) có đờng kính là đoạn vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
).
d) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng cách đều (d
1
) và (d
2
).
Bài toán 2: Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng
Bài 1: Viết phơng trình mặt cầu (S) biết :
a) Tâm I(1;2;-2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P):6x-3y+2z-11=0.
b) (CĐGTVT-2000): Tâm I(1;4;-7) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) :6x+6y-7z+42=0.
c) Bán kính R = 9 và tiếp xúc với (P): x+2y+2z+3=0 tại điểm M(1;1;-3).
Bài 2: Viết phơng trình mặt cầu có tâm I trên đờng thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng
( )
1
P
và
( )
2
P
, biết
a) (ĐHL-95):
( )
2
1
2
1
3
2
:
=
=
zyx
d
b)
( )
1
P
:x+2y-2z-2=0. và
( )
2
P
:x+2y-2z+4=0.
c)
( )
01445
0724
:
=++
=++
zyx
zyx
d
, d)
( )
1
P
:2x+2y-z-12=0. và
( )
2
P
:-2x+2y-z+8=0.
- 14 -
ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014
e)
( )
R
tz
ty
tx
d
=
+=
+=
t
2
3
21
:
, f)
( )
1
P
:3x4y+2z-10=0
( )
2
P
:2x-3y+4z-10=0
Bài 3: (ĐHLN-97): Cho đờng thẳng (d) và hai mặt phẳng
( )
1
P
,
( )
2
P
,biết :
( )
2
1
3
1
2
:
+
=
=
zyx
d
,
( )
1
P
:x+y-2z+5=0. và
( )
2
P
:2x-y+z+2=0
a) Gọi A là giao điểm của (d) với
( )
1
P
và
( )
2
P
.Tính độ dài đoạn AB.
b) Viết phơng trình mặt cầu cod tâm I trên đờng thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng
( )
1
P
và
( )
2
P
.
Bài toán 3: Mặt cầu cắt mặt phẳng
Bài 1: Lập phơng trình mặt cầu có tâm tạo giao điểm I của mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d) sao cho
mặt phẳng (Q) cắt khối cầu theo thíêt diện là hình tròn có diện tích 12
,biết :
a)
( )
R
tz
ty
tx
d
+=
=
+=
t
2
3
1
:
,(P):x-y-z+3=0 b)
( )
01
03
:
=
=++
y
zyx
d
, (P):x+y-2=0.
Bài 2: Lập phơng trình mặt cầu có tâm thuộc đờng thẳng (d) và cắt mặt phăng (P) theo thiết diện là đ-
ờng tròn lớn có bán kính bằng 18.biết:
( )
R
tz
ty
tx
d
+=
+=
+=
t
1
39
412
:
và (P):y+4z+17=0.
Bài 3: Trong không gian 0xyz , cho hai điểm A(0;0;-3),B(2;0;-1) ,và mặt phẳng (P):3x-8y+7z-1=0 .
a) (HVNH-2000): Tìm toạ độ điểm C nằm trên mặt phẳng (P) sao cho tam giác đều .
b) Lập phơng trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A,B,C và có tâm thuộc mặt phẳng (P):x-y-z-2=0.
Bài toán 4: Mặt cầu tiếp xúc với đờng thẳng
Bài 1: Viết phơng trình mặt cầu (S) biết :
a) Tâm I(1;2;-1) và tiếp xúc với đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
R
z
ty
tx
d
=
=
=
t
1
1
:
b) Tâm I(3;-1;2) và tiếp xúc với đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
017322
0322
:
=
=
zyx
zyx
d
Bài 2: Trong không gian 0xyz, cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) ,biết :
( )
R
tz
ty
tx
d
+=
=
+=
t
32
1
21
:
1
,
( )
012
043
:
2
=+
=
zyx
yx
d
Lập phơng trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (d
1
) tại điểm H(3;1;3) và có tâm thuộc đờng thẳng (d
2
).
Bài 3: Trong không gian 0xyz, cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) ,biết :
( )
01
012
:
1
=+
=++
zyx
yx
d
,
( )
012
033
:
2
=+
=++
yx
zyx
d
a) CMR hai đờng thẳng đó cắt nhau .Xác định tọa độ giao điểm I của chúng .
b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
).
c) Lập phơng trình mặt cầu tiếp xúc với (d
1
),(d
2
) và có tâm thuộc đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
R
tz
ty
tx
d
+=
+=
+=
t
33
2
21
:
Bài 4: Trong không gian 0xyz, cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) ,biết :
( )
R) (t
46
32
23
:
1
+=
+=
+=
tz
ty
tx
d
,
( )
015
0194
:
2
=+
=+
zx
yx
d
a) CMR hai đờng thẳng đó cắt nhau .Xác định tọa độ giao điểm I của chúng .
- 15 -
ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014
b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
).
c) Lập phơng trình mặt cầu tiếp xúc với (d
1
),(d
2
) và có tâm thuộc đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
4
9
1
5
3
7
:
=
=
+ zyx
d
Bài 5: Trong không gian 0xyz, cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) ,biết :
( )
4
1
32
2
:
1
+
=
=
zyx
d
,
( )
129
2
6
7
:
2
zyx
d =
=
a) CMR hai đờng thẳng đó song song với nhau.
b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
).
c) Lập phơng trình mặt cầu tiếp xúc với (d
1
),(d
2
) và có tâm thuộc đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
R
z
ty
tx
d
=
=
=
t
1
1
:
Bài 6: Trong không gian 0xyz, cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) ,biết :
( )
4
9
1
5
3
7
:
1
=
=
+ zyx
d
,
( )
4
18
1
4
3
:
2
+
=
+
=
zyx
d
a) CMR hai đờng thẳng đó song song với nhau.
b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
).
c) Lập phơng trình mặt cầu tiếp xúc với (d
1
),(d
2
) và có tâm thuộc đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
R
tz
ty
tx
d
=
=
+=
t
1
3
23
:
Bài 7: Trong không gian 0xyz, cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) ,biết :
( )
R) (t
33
2
21
:
1
+=
+=
+=
tz
ty
tx
d
,
( )
31
23
2
:
2
+=
+=
+=
uz
uy
ux
d
a) CMR hai đờng thẳng đó chéo nhau.
b) Viết phơng trình đờng vuông góc chung của(d
1
) và (d
2
).
c) Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
).
d) Lập phơng trình mặt cầu tiếp xúc với (d
1
),(d
2
) và có tâm thuộc mặt phẳng (P) : xy+z-2=0
Bài 8: Trong không gian 0xyz, cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) ,biết :
( )
01
03
:
1
=+
=++
zx
zyx
d
,
( )
01
0922
:
2
=+
=+
zy
zyx
d
a) CMR hai đờng thẳng đó chéo nhau.
b) Viết phơng trình đờng vuông góc chung của(d
1
) và (d
2
).
c)Lập phơng trình mặt cầu tiếp xúc với (d
1
),(d
2
) và có tâm thuộc mặt phẳng (P):2x-y+3z-6=0.
Bài toán 5: Mặt cầu cắt đờng thẳng
Bài 1: (ĐHQG-96): Cho điểm I(2;3;-1) và đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
0843
020345
:
=+
=++
zyx
zyx
d
a) Xác định VTCP
a
của (d) suy ra phơng trình mặt phẳng (P) qua I và vuông góc với (d):
b) Tính khoảng cách từ I đến (d) từ đó suy ra phơng trình mặt cầu (S) có tâm sao cho (S) cắt (d) tại
hai điểm phân biệt A,B thoả mãn AB = 40.
Bài 2: Cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phơng trình :
( )
R
tz
ty
tx
d
=
=
+=
t
3
2
21
:
, (P):2x-y-2z+1=0.
a) (ĐHBK-98):Tìm toạ độ các điểm thuộc đờng thẳng (d) sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến
mặt phẳng (P) bằng 1.
b) (ĐHBK-98):Gọi K là điểm đối xứng của điểm I(2;-1;3) qua đờng thẳng (d) .Xác định toạ độ K.
c) Lập phơng trình mặt cầu tâm I cắt đờng thẳng (d) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho AB=12.
d) Lập phơng trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P).
e) Lập phơng trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đờng tròn có diện tích
bằng 16
Bài toán 6: Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
- 16 -
ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014
Bài 1: (ĐH Huế-96): Trong không gian với hệ toạ 0xyz ,cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2),C(1;-
1;1),D(4;5;-5).
a) Viết phơng trình tham số của đờng thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
b) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 2: Cho bốn điểm O(0;0;0),A(6;3;0), B(-2;9;1), S(0;5;8)
a) (ĐHKT-99): CMR SB vuông góc SA.
b) (ĐHKT-99): CMR hình chiếu của cạnh SB lên mặt phẳng (0AB) vuông góc với cạnh 0A. Gọi K
là giao điểm của hình chiếu đó với 0A. Hãy xác định toạ dộ của K.
c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d) (ĐHKT-99): Gọi P,Q lần lợt là điểm giữa của các cạnh S0,AB . Tìm toạ độ của điểm M trên SB
sao cho PQ và KM cắt nhau.
Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz ,cho bốn điểm A(4;4;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1).
a) (HVKTQS-98): Tìm hình chiếu vuông góc của D lên (ABC) và tính thể tích tứ diện ABCD.
b) (HVKTQS-98): Viết phơng trình tham số đờng thẳng vuông góc chung của AC và BD.
c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d) Tính thể tích tứ diện ABCD.
Bài 4: Cho bốn điểm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4), D(0;6;1).
a) (HVNHTPHCM-99):Viết phơng trình tham số của đờng thẳng BC .Hạ AH vuông góc BC .Tìm
toạ độ của điểm H.
b) (HVNHTPHCM-99):Viết phơng trình tổng quát của (BCD) .Tìm khoảng cách từ A đến mặt
phẳng (BCD).
c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 5: Trong không gian 0xyz, cho hình chóp .biết toạ độ bốn đỉnh S(5;5;6), A(1;3;0), B(-1;1;4), C(1;-
1;4), D(3;1;0).
a) Lập phơng trình các mặt của hình chóp. b) Lập phơng trình mặt cầu (S) ngoại tiếp hình
chóp .
c) Tính thể tích hình chóp SABCD
Bài 6: (HVKTMM-97) Cho bốn điểm A(1;2;2), B(-1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2).
a) CMR tứ diện ABCD có cặp cạnh đối diện bằng nhau . b) Xác định toạ độ trọng tâm G của tứ
diện.
c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp ,nội tiếp tứ diện ABCD.
Bài toán 7: Mặt cầu nội tiếp khối đa diện
Bài 1: Lập phơng trình mặt cầu nội tiếp hình chóp SABCD ,biết:
a)
4
( ;0;0)
3
S
,A(0;-4;0), B(0;-4;0),C(3;0;0). b) S 0,A(a;0;0),B(0;b;0), C(0;0;c), với a,b,c>0.
Bài 2: Cho hình chóp SABCD .Đỉnh
)4,
2
9
,
2
1
(S
đáy ABCD là hình vuông có A(-4,5,0) ,đơngf chéo
BD có phơng trình :
( )
0
087
:
=
=+
z
yx
d
a) Tìm toạ độ các đỉnh của hình chóp . b) Lập phơng trình nặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
c) Lập phơng trình mặt cầu nội tíêp hình chóp.
Bài 3: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3).
a) Viết phơng trình tổng quát các mặt phẳng (0AB), (0BC), (0CA), (ABC).
b) Xác định tâm I của mặt cầu nội tiếp tứ diện 0ABC .
c) Tìm toạ độ điểm J đối xứng với I qua mặt phẳng (ABC).
Bài 4: (HVKTMM-99):Cho bốn điểm A(1;2;2), B(-1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2).
a) CMR tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện bằng nhau.
b) Xác định toạ độ trọng tâm G của tứ diện .
c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d) Viết phơng trình mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD.
Bài toán 8: Vị trí tơng đối của điểm và mặt cầu
Bài 1: Cho mặt cầu
( )
034:
222
=++ zyxzyxS
.xét vị trí tpng đối của điểm A đối với mặt cầu
(S) trong các trờng hợp sau:
a) điểm A(1;3;2). b) điểm A(3;1;-4). c) điểm A(-3;5;1).
Bài 2: Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu
( )
03242:
222
=+++ zyxzyxS
.Sao cho khoảng cách
MA đạt giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất,biết:
a) điểm A(1;-2;0). b) điểm A(1;1;-2).
Bài toán 9: Vị trí tơng đối của đờng thẳng và mặt cầu
Bài 1: Cho mặt cầu
( )
06222:
222
=++ zyxzyxS
.Tìm toạ độ điểm M thuộc (S) sao cho khoảng
cách từ M đến (d) đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất,biết:
- 17 -
ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014
a)
( )
R
tz
ty
tx
d
=
+=
=
t
1
1
2
:
b)
( )
012
032
:
=+
=++
zy
zyx
d
Bài toán 10: Vị trí tơng đối của mặt phẳng và mặt cầu
Bài 1: (ĐHDL-97):Trong không gian với hệ toạ đô trực chuẩn 0xyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)
có phơng trình :
( )
022:
222
=++ xzyxS
,(P):x+z-1=0.
a) Tính bán kính và toạ độ tâm của mặt cầu (S).
b) Tính bán kính và toạ độ tâm của đờng tròn giao của (S) và (P).
Bài 2: (ĐHSPV-99): Cho điểm I(1;2;-2) và mặt phẳng 2x+2y+z+5=0 .
a) Lập phơng trình mặt cầu (S) tâm I sao cho giao của (S) và (P) là đờng tròn có chu vi bằng 8
.
b) CMR mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng 2x-2=y+3=z.
c) Lập phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng (d) và tiếp xúc với (S).
Bài 3: (ĐHBK-A-2000): Cho hình chóp SABCD với S(3;2;-1), A(5;3;-1), B(2;3;-4), C(1;2;0).
a) CMR SABC có đáy ABC là tam giác đều và ba mặt bên là các tam giác vuông cân.
b) Tính toạ độ điểm D đối xứng với điểm C qua đờng thẳng AB. M là điểm bất kì thuộc mặt cầu
tâm D, bán kính
18=R
.(điểm M không phụ thuộc mặt phẳng (ABC) ). Xét tam giác có độ dài các
cạnh bằng độ dài các đoạn tjẳmg MA, MB, MC. Hỏi tam giác đó có đặc điểm gì ?
Bài 4: (ĐHPCCC-2000): Cho đờng tròn (C) có phơng trình :
( )
=
=++
0
14
:
222
z
zyx
C
.Lập hơng trình
mặt cầu chứa (C) và tiệp xúc với mặt phẳng: 2x+2y-z-6=0.
Bài 5: (CĐHQ-96): Cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phơng trình :
( )
9)1()2()3(:
222
=+++ zyxS
,(P):x+2y+2z+11=0. Tìm điểm M sao cho M thuộc (S) sao cho
khoảng cách từ M tới mặt phẳng (P) nhỏ nhất .
Bài toán 11: Vị trí tơng đối của hai mặt cầu
Bài 1: Cho hai mặt cầu:
( )
0722:
222
1
=++ yxzyxS
,
( )
02:
222
2
=++ xzyxS
a) CMR hai mặt cầu (S
1
) và (S
2
) cắt nhau.
b) Viết phơng trình mặt cầu qua giao điểm của (S
1
) và (S
2
) qua điểm M(2,0,1).
Bài 2: Cho hai mặt cầu:
( )
9:
222
1
=++ zyxS
,
( )
06222:
222
2
=++ zyxzyxS
a) CMR hai mặt cầu (S
1
) và (S
2
) cắt nhau.
b) Viết phơng trình mặt cầu qua giao điểm của (S
1
) và (S
2
) qua điểm M(-2;1;-1).
- 18 -
