một số bài toán số học trong đề thi học sinh giỏi toán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (132.81 KB, 6 trang )
MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC
TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC TOÁN
!"#"$%&'"(%&)*&
+,"$& ''/.'"0'(1""*(10"*2
Bài toán 1:/3405''678'"
9
)n +
$:6:8
9 9n n+
!&&&%&$;,"&;21<+,"%&)=><+,"
%&8+8'" ?
Bài toán 2:/3405''678'"
9
@)5&:,"A2
(Đề thi chọn đội tuyển của Inđônêxia dự thi Toán Quốc tế năm 2009) .
Lời giải của bài toán 2:
!B?405''67@)(
∈
#
C
*
/?DEF&G4;'67@)(
∈
#
C
*H-$F
≠
I0JK
∈
F2D+'LF&GM2DE
N
& L:;,"F
⇒
N
≥
K2
D+'L
)
H
9
O
&;+'6P8
N
2
Q
9 9 9
N )
222 )
n
a p p p= +
R"
∈
#
C
H"S)2D+'LT&:6,""
⇒
T
≠
H
∀
∈
UNH)H9OHV2WQ(9
N
)
O
*
9
@)
≡
N(7T*
⇒
X)&'Y8(7T*0&TZ2
["
q
q
q
q
⇒
−
⇒=−⇒=
−
−
9?
9
)
)*)()
)
9
)
⇒≡ *(7)
T$7@)(
∈
#
C
*2WQTS
N
2\B&
]0:E
N
2^G405''67@)(
∈
#
C
*2
/_ " = '" 0` + %& 92 D+ 'L & ' 6 7 @ ) (
∈
#
C
*
⇒
))*)(
)
9
)
−⇒=−=
−
−p
p
&'Y8(7*
⇒
∃
∈
UNH)H9O2HX)V'"
9
p
n
⇒−≡ *(7) p
9
p
n
@)?0&
A5"
→
A5"
9
p
n
@)2"$?
9
p
n
@)
≥
⇒
≥
)−p
2^J405''67@)(
∈
#
C
*64
05''678'"
9
@)5&:,"A
Bài toán 3:/3405''678'":6:;,"
9
@)
:89
(Tạp chí Animath của Pháp năm 2006)
Lời giải của bài toán 3: D+'L&'67@)(
∈
#
C
*
["
))*)(
)
9
)
−⇒=−=
−
−p
p
&'Y8(7*
⇒
∃
a
∈
UNH)H9HOHX)V'"a
9
≡
X)(7*2
"$?T
9
≡
(XT*
9
(7*(T
∈
b*
⇒
∃
T
∈
UNH)H9HOH
9
)−p
V'"T
9
≡
X)(7*2
G0G+'L
9
)−p
cac
⇒
a
≥
9
)+p
2\QTdeaH"$?
T
9
d(ea*
9
≡
a
9
≡
X)(7*0&NcT
≤
9
)−p
2"$?T
9
@)
0&
≥
9T@)S9T2[":6:;,"T
9
@):89T2^J$05''67@)(
∈
#
C
*
6405''678'"
9
@)$:6:892
Sau đây là các lời giải của bài toán 1
Lời giải thứ nhất của bài toán 1:fg'67@)(
∈
#
C
*
⇒
))*)(
)
9
)
−⇒=−=
−
−p
p
&'Y8(7*
⇒
∃
a
∈
UNH)H9HOX)V'"a
9
≡
X)(7*2
^Ja
9
≡
(Xa*
9
(7*(a
∈
b*
⇒
∃
a
∈
UNH)H9OH
9
)−p
V'"
a
9
≡
X)(7*2
⇒
∃
α
∈
UNH)H9HOH
9
)−p
V'"
−
−
α
9
)p
9
≡
X)(7*
\Qd
−
−
α
9
)p
⇒
∈
UNH)H9HOH
9
)−p
V0&
9
≡
X)(7*
D+'LS9N2#RN
≤
α
≤
⇒
−+
h) p
Nc9
α
@)
≤
⇒
−+
9
)) p
(9
α
@)*
9
cX^J
9
≡
X)(7*6
9
≡
X(7*
WQ
9
d(e)X9
α
*
9
≡
(9
α
@)*
9
(7*
⇒
(9
α
@)*
9
≡
X(7*
\B$&B05i0JNc(9
α
@)*
9
ce
^G
α
S
⇒
−+
h) p
S9@
m9
2^J
9
@)
6
9
≥
X)
⇒
≥
)−p
2^J405''
67@)(
∈
#
C
*6405''678'":6:;,"
9
@)
:8
9 9n n+
2
Lời giải thứ 2 của bài toán 1:D+'L&'6H
≥
92D+'L&:6,"(A*
9
@)2j=
6S2D+'La
∈
(NH
9
p
*&'7g"AQeA2-RNcaceac2"Ra
9
@)
"2G0G4
∈
b'"Ad@aQeAd@a2+"<"B$
(A*
9
@)d(@a*
9
@)
⇒
a
9
@)d(A*
9
@)e
9
9
e9a
⇒
a
9
@)
2>$'"&:,"
9
X9a@a
9
@
d(e9a*
9
@
⇒
≤
(e9a*
9
@
⇒
≥
9a@
−p
⇒
X
≥
9a@
−p
X
≥
9a@
9N
eS9a
⇒
≥
9a@
−p
S9a@
x9
> '"B+
Bài toán sau là bài toán tổng quát của bài toán 1
Bài toán 4:/3405''678'"
9
@)$:6:89@
9
n
Bài toán 5:/30:I'6
≥
hH4Q'678Z(a
H
*'"
n
nn
yx 9k
99
=+
(Đề thi Olympic Toán của Bungari năm 1996)
Lời giải:^:dhHEa
h
d
h
d)
D+'L0:
≥
hH4Q'678Z(a
H
*'"
n
nn
yx 9k
99
=+
2"3I
Q2
(fd
9
k
H
9
nn
nn
yx
Y
yx
−
=
+
*H(fd
9
k
H
9
nn
nn
yx
Y
yx
+
=
−
*+l
)99
9k
+
=+
n
YX
G0G
99
9
k
9
k
+
±
nnnn
yxyx
d9(
99
k
nn
yx +
*d929
d9
@)
^Ja
H
Z6a
d9@)H
d9@)(H
∈
b*
)
9
++=
+
⇒ lk
yx
nn
0&
lk
yx
nn
−=
−
9
2\B$P3m'
9
H
9
nn
nn
yx
yx
−
+
&Z2^J0G0:@)4
'n6Za
@)
0&
@)
+l
n
nn
yx 9k
9
)
9
)
=+
++
@)
Bài toán 6 : /30:I'678H8Ja
9
@)K
9
d
$Y;`
n6(aH*
(Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Quốc gia năm học 2009 – 2010)
Lời giải: :"30:I'6
≥
94Q'678Z(a
H
*'"
'"
n
nn
yx )K
99
=+
G0G0:d9HEa
9
d)H
9
d)
D+'L0:
≥
94Q'678Z(a
H
*'"'"
n
nn
yx )K
99
=+
2"
3IQ
(fd
9
H
9
)K
nn
nn
yx
Y
xy
+
=
−
*H(fd
9
H
9
)K
nn
nn
xy
Y
xy
−
=
+
*+l
)99
)K
+
=+
n
YX
G0G
99
9
)K
9
)K
±
+
nnnn
xyxy
d(
99
)K
nn
yx +
*d2
d
@)
^&a
H
Z6a
d9@)H
d9@)(H
∈
b*
)
9
++=
+
⇒ lk
yx
nn
0&
kl
klxy
nn
−=
+−+
=
−
9
*)9(*)9(
9
2\B$P3m'
9
H
9
nn
nn
xy
yx
−
+
&Z2^J
0G0:@)4'n6Za
@)
0&
@)
+l
)9
)
9
)
)K
+
++
=+
n
nn
yx
Trở lại bài toán 6:
^:d)H8o
n
yx )K
99
=+
$)`n6&(aH*d(9HN*
^:d9H8o
n
yx )K
99
=+
$9`n6&(aH*d(HN*p()H)*
D+'L0:
≥
9H8o
n
yx )K
99
=+
$`n6&(a
)
H
)
*H(a
9
H
9
*HOH(a
H
*$(aH*d
(9a
H9
*()
≤
≤
*&`n6,"8J
n
yx )K
99
=+
@)
2.68
J
n
yx )K
99
=+
@)
$)`n6Z2^G8o
n
yx )K
99
=+
@)
$Y;@)`n
62!&ql+T2
Bài toán 7:J;+Q'678(aH*'"
yx
yx
−
+
99
&'60&&:,")K2
(Đề thi Olympic toán Bungari năm 1995)
Lời giải ::"
!B?/'6dT@h(T
∈
#*2D+'LaH&'6'"a
9
@
9
"H-
$a0&"2G0Ga
J
2
D+'La5"
⇒
5"
.riPs.""$a
X)
≡
)(7*
⇒
a
T@9
≡
)(7*28n
T@9
≡
)(7*2"$a
9
@
9
⇒
a
9
≡
X
9
(7*
⇒
(a
9
*
9T@)
≡
(X
9
*
9T@)
(7*
⇒
a
T@9
≡
X
T@9
(7*
⇒
)
≡
X)(7*
⇒
d9(05Y*2!Bt
2
u7v%B0&%&k?D+'L4'678aH'"aSH
yx
yx
−
+
99
&'6
0&
yx
yx
−
+
99
&:,")K2\Qd
yx
yx
−
+
99
Ja
9
@
9
d(ae*0&&:,")Kdh2K2k2)2#R
h
w
dh
)
(
)
∈
#
C
*(
)
5"h*
⇒
a
9
@
9
h
⇒
a
h0&
h
⇒
adha
)
Hdh
)
(a
)
H
)
∈
#
C
Ha
)
S
)
*
⇒
*(
)))
9
)
9
)
yxkyx −=+
2#Rd)Ja
9
@
9
dae2\$&B05Y0Ja
9
@
9
≥
a@Sae(0JaH
≥
)*
#dKJa
9
@
9
dK(ae*
⇒
(9aXK*
9
@(9@K*
9
dKN
⇒
adhHd)Qad9Hd)
#dkH8n6H4
9
∈
#
C
'"dk
9
(
9
5"k*adka
9
Hdk
9
(a
9
H
9
∈
#
C
Ha
9
S
9
*0&
*(
999
9
9
9
9
yxkyx −=+
#
)J4
h
∈
#
C
'"d)
h
(
h
5")*Had)a
h
Hd)
h
(a
h
H
h
∈
#
C
H
a
h
S
h
*0&
*(
hhh
9
h
9
h
yxkyx −=+
^G;+Q'678(aH*J$7(hH*H(9H*H(H9*H(Hh*$
∈
U)HhHkH)H9)HKkH)hhHhV2
Bài toán 8:J;+Q'678(aH*'"'Fd
yx
yx
−
+
99
&'60&&:,"
9N)N2
(Đề thi Olympic Toán khu vực duyên hải đồng bằng Bắc Bộ năm học 2009 – 2010)
Lời giải: 68'x<+,"%&k"yJ`678,"8J?
*(
99
yxkyx −=+
0:
∈
U9HKH)NV2s8oa
9
@
9
d9(aX*5$`6782G0G
+'LaH
∈
#
C
HaS0&a
9
@
9
d9(aX*
⇒
a
9
@
9
≥
9a@
9
S9(ae*2\$&B05i2s8Ja
9
@
9
dK(aX*$`678&(aH*d(hH)*H(9H)*2s8Ja
9
@
9
d)N(aX*
⇔
(aXK*
9
@(@K*
9
dKN$`678&(aH*d(qH9*p(H9*2
^G;+Q'678(aH*+lB%&&(hH*H(9H*H(H9*H(Hh*H(qH9*H(H
9*H(9Hq*H(9H*$
∈
U)HhHqHkH9N)V
/z&m'%&7&=`G
Bài toán 9:/30:I'678H8o
ka
9
@
9
d9
@9
5$`6782
Bài toán 10:/30:I'678H8Ja
9
@)K
9
d
$_`
n62
Bài toán 11:/'6782DE[
&%J8,"`',""{(a*d
()@a*
2
/3[
9
@)5"h
(Đề thi chọn đội tuyển Việt Nam dự thi Olympic Toán Quốc tế năm 2010)
Bài toán 12:/3405''678'"
9
@9"2
Bài toán 13:/3405''678'";+:6,"
9
@
@)5:8
n
2
(Đề thi chọn đội tuyển Ukraina dự thi Olympic toán quốc tế năm 2007)
Bài toán 14:^:I'678S)HY`(*&:6:;,"2/
3405''6S)'"?
(*c(@)*c(@9*2
Bài toán 15:/'6"H%+l"S%SN2/3405''678
'""
@%
"2
Bài toán 16:/3405''6$Y;'"?405'678
'"e)5"0&A@)"2
(Đề thi chọn đội tuyển của Mônđôva dự thi Olympic toán Quốc tế năm 2007).
Bài toán 17:/3405''678'"K
X9
e)"2
(Đề thi Olympic toán của Braxin năm 2008)
