Chuyên đề ôn thi đại học môn toán năm 2014 hay nhất

Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG NĂM
2014 MÔN TOÁN CÓ HƯỚNG DẪN CHI TIẾT
- Tài liệu được soạn theo nhu cầu của các bạn học sinh khối trường THPT (đặc
biệt là khối 12).
- Biên soạn theo cấu trúc câu hỏi trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng
của Bộ GD&ĐT.
- Tài liệu do tập thể tác giả biên soạn:
1. Cao Văn Tú – CN.Mảng Toán – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT
Thái Nguyên. (Chủ biên)
2. Cô Trần Thị Ngọc Loan – CLB Gia Sư Thái Nguyên.
3. Nguyễn Anh Tuấn – Khoa Toán – Trường ĐHSP Thái Nguyên.
4. Thầy Vũ Minh Đức – CLB gia sư Bắc Giang.
5. SV Hà Thị Tú Anh – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái
Nguyên.
- Tài liệu lưu hành nội bộ - Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
- Các bạn có thể gửi ý kiến phải hồi về địa chỉ email:
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2014
TM. Nhóm Biên soạn
Chủ biên
Cao Văn Tú
1
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!

PHẦN I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
ℑ1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Định nghĩa
Cho hàm số y=f(x) xác định trên (a,b)

1) f tăng trên (a,b) nếu với mọi x
1
, x
2
∈(a,b) mà x
1
<x
2
thì f(x
1
)<f(x
2
).
2) f giảm trên (a,b) nếu với mọi x
1
, x
2
∈(a,b) mà x
1
<x
2
thì f(x
1
)>f(x
2
).
3) x
0
∈(a,b) được gọi là điểm tới hạn của hàm số nếu tạ đó f’(x) không xác định hay
bằng 0.

II. Định lý:
1) Định lý Lagrăng: Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a,b]và có đạo hàm trên
khoảng (a,b) thì tồn tại một điểm c∈(a,b) sao cho
( ) ( )
( ) ( ) '( ).( ) '( )
f b f a
f b f a f c b a hay f c
b a
−
− = − =
−
2) Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a,b).
• Nếu f’(x)>0 ∀x∈(a,b) thì hàm số y=f(x) đồng biến trên (a,b).
• Nếu f’(x)<0 ∀x∈(a,b) thì hàm số y=f(x) nghịch biến trên (a,b).
(Nếu f’(x) =0 tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a,b) thì định lý vẫn còn đúng).
B. CÁC BÀI TẬP :
Bài 1: Cho hàm số
3 2
3 3(2 1) 1y x mx m x= − + − +
.
a) Khảo sát hàm số khi m=1.
b) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.
c) Định m để hàm số giảm trên (1,4).
Bài 2: Cho hàm số
2
2y x x= −
a) Tính y’’(1)
b) Xét tính đơn điệu của hàm số.
Bài 3: Cho hàm số
1

2
mx
y
x m
−
=
+
a) Khảo sát và vẽ đồ thị khi m=2.
b) Xác định m để đồ thi hàm số không cắt đường thẳng x=-1.
c) Chứng minh rằng với mỗi giá trị m hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định
của nó.
Bài 4: Chứng minh rằng
a) x > sinx ∀x ∈ (-π/2,π/2).
b)
1
2 x R
x
e x
+
≥ + ∀ ∈
.
c)
x>1
ln
x
e
x
≥ ∀
.
Bài 5 : Chứng minh phương trình sau có đúng một nghiệm :

5 3
2 1 0x x x− + − =

ℑ2. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1.Định nghĩa: Cho hàm số y= f(x) xác định trên (a,b) và điểm x
0
∈(a,b) .
2
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề 1 :
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!
• Điểm x
0
được gọi là điểm cực đại của hàm số y= f(x) nếu với mọi x thuộc một lân
cận của điểm x
0
ta có f(x) < f(x
0
) (x ≠ x
0
).
• Điểm x
0
được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu với mọi x thuộc một
lân cận của điểm x
0
ta có f(x)>f(x
0
) (x ≠ x

0
).
2. Điều kiện để hàm số có cực trị:
Định lý fermat: Nếu hàm số y=f(x) liên tục (a,b) có đạo hàm tại x
0
∈(a,b) và đạt cực trị
tại điểm đó thì f’(x) = 0.
Định lí 1:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x
0
(có thể trừ tại x
0
)
a) Nếu f’(x
0
) > 0 trên khoảng (x
0
; x
0
); f’(x) < 0 trên khoảng (x
0
; x
0
+ δ) thì x
0
là một
điểm cực đại của hàm số f(x).
b) Nếu f’(x) <0 trên khoảng (x
0
- δ; x

0
) ; f’(x) > 0 trên khoảng (x
0
; δ+ x
0
) thì x
0
là một
điểm cực tiểu của hàm số f(x).
Nói một cách vắn tắt: Nếu khi x đi qua x
0
, đạo hàm đổi dấu thì điểm x
0
là điểm cực trị.
Định lí 2. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại x
0
và f’(x
0
) = 0,
f''(x
o
) ≠ 0 thì x
o
là một điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa
1) Nếu f”(x
0
) > 0 thì x
0
là điểm cực tiểu.
2) Nếu f”(x

0
) < 0 thì x
0
là điểm cực đại.
Nói cách khác:
1) f’(x
0
) = 0, f”(x
0
) > 0 ⇒ x
0
là điểm cực tiểu.
2) f’(x
0
) = 0, f”(x
0
) < 0 ⇒ x
0
là điểm cực đại.
B . CÁC BÀI TẬP:
Bài 1: Cho hàm số
4 2
2 2 1y x mx m= − + − +
(1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m=1/3.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
c) Biện luận theo m số cực trị của hàm số (1).
Bài 2: Cho hàm số
2
2 4

2
x mx m
y
x
+ − −
=
+
a) Khảo sát hàm số khi m=-1.
b) Xác định m để hàm số có hai cực trị.
Bài 3: Cho hàm số
mmxxmxy 26)1(32
23
−++−=
a)Khảo sát hàm số khi m = 1 gọi đồ thị là (C). Chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến
của (C).
b) Xác định m để hàm số có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình
đường thẳng qua điểm cực trị đó.
c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;∞).
Bài 4: Cho hàm số
2 2
2 1x kx k
y
x k
− + +
=
−
với tham số k.
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi k=1
2)Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A(3;0) có hệ số góc a. Biện luận theo a số
giao điểm của (C) và (d). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A.

3)Chứng minh với mọi k đồ thị luôn có cực đại, cực tiểu và tổng tung độ của chúng
bằng 0.
Bài 5: Định m để hàm số
3 2 2
1
( 1) 1
3
y x mx m m x= − + − + +
đạt cực tiểu tại x = 1.
Bài 6: Cho hàm số
2
1
x x m
y
x
− +
=
+
Xác định m sao cho hàm số.
3
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!
a) Có cực trị.
b) Có hai cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu nhau.
Bài 7: Cho hàm số
3 2
( ) 3x 3 x+3m-4y f x x m= = − + −
a) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị lớn hơn m.
b) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất trong tất cả các tiếp
tuyến của đồ thị hàm số

ℑ3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1) Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trên D
Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu:
0 0
: ( )
: ( )
x D f x M
x D f x M
∀ ∈ ≤
∃ ∈ =
(ký hiệu M=maxf(x) )
Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu:
0 0
: ( )
: ( )
x D f x m
x D f x m
∀ ∈ ≥
∃ ∈ =
(ký hiệu m=minf(x) )
2) Cách tìm GTLN-GTNN trên (a,b)
+ Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a,b)
+ Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì giá
trị cực đại (cực tiểu) là GTLN(GTNN) của hàm số trên (a,b)
3) Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b].
+ Tìm các điểm tới hạn x
1
,x
2

, , x
n
của f(x) trên [a,b].
+ Tính f(a), f(x
1
), f(x
2
), , f(x
n
), f(b).
+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên
[ , ]
[ , ]
max ( ) ; min ( )
a b
a b
M f x m f x= =
B. CÁC BÀI TẬP:
Bài 1:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a)
3 2
2 3 1y x x= + −
trên [-2;-1/2] ; [1,3).
b)
2
4y x x= + −
.
c)
3
4

2sinx- sin
3
y x=
trên đoạn [0,π] (TN-THPT 03-04/1đ)
d)
2 os2x+4sinxy c=
x∈[0,π/2] (TN-THPT 01-02/1đ)
e)
2
3 2y x x= − +
trên đoạn [-10,10].
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
y= x 1 3x 6x 9 + + − + +
trên
đoạn[-1,3].
Bài 3: Chứng minh rằng
2
2
6 3
2
7 2
x
x x
+
≤ ≤
+ +
với mọi giá trị x.
góc bé nhất.
ℑ4. TIỆM CẬN

A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1) Tiệm cận đứng:
Nếu
0
lim ( )
x x
f x
→
= ∞
thì đường thẳng (d) có phương trình x= x
0
là tiệm cân đứng của
đồ thị (C).
2) Tiệm cận ngang:
4
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!
Nếu
0
lim ( )
x
f x y
→∞
=
thì đường thẳng (d) có phương trình y= x
0
là tiệm cân ngang của
đồ thị (C).
3) Tiệm cận xiên:
Điều kiện cần và đủ để đuờng thẳng (d) là một tiệm cận của đồ thị (C) là

lim [ ( ) (ax+b)] 0
x
f x
→+∞
− =

hoặc
lim [ ( ) (ax+b)] 0
x
f x
→−∞
− =
hoặc
lim[ ( ) (ax+b)] 0
x
f x
→∞
− =
.
4) Cách tìm các hệ số a, b của tiệm cận xiên y=ax+b.
x
( )
lim b= lim[ ( ) ax]
x
f x
a f x
x
→∞ →∞
= −
.

B. CÁC BÀI TẬP:
Bài 1:
1. Khảo sát hàm số .
2
4 5
2
x x
y
x
− + −
=
−
2. Xác định m để đồ thị hàm số
2 2
( 4) 4 5
2
x m x m m
y
x m
− − − + − −
=
+ −
có các tiệm cận trùng
với các tiệm cận của đồ thị hàm số khảo sát trên. (TN-THPT 02-03/3đ)
Bài 2: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số
a)
2
1y x= −
b)
3

2
1
1
x x
y
x
+ +
=
−
c)
2
3 1
1 2
x x
y
x
+ +
=
−
.d)
2
2
1
3 2 5
x x
y
x x
+ +
=
− −

PHẦN II: ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ
Các bước khảo sát hàm số :
Các bước khảo sát hàm đa thức Các bước khảo sát hàm hữu tỷ
1. Tập xác định
2. Sự biến thiên
- Chiều biến thiên, cực
- Tính lồi lõm, điểm uốn,
- Giới hạn
- Bảng biến thiên
3. Đồ thị - Giá trị đặt biệt - Đồ thị
1. Tập xác định
2. Sự biến thiên
- Chiều biến thiên, cực
- Giới hạn, tiệm cận
- Bảng biến thiên
3. Đồ thị
- Giá trị đặt biệt - Đồ thị
Sự khác biệt : Hàm đa thức không có tiệm cận, hàm hữu tỉ không cần xét đaọ hàm cấp hai.
 Các dạng đồ thị hàm số:
 Hàm số bậc 3: y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0)
5
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
x
y
O
•

I
x
y
O
•
I
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số không có cực trị ⇔ ?
x
y
O
•
I
x
y
O
•
I
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 2 cực trị ⇔ ?
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!
 Hàm số trùng phương: y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0)
 Hàm số nhất biến :
)bcad(

dcx
bax
y 0≠−
+
+
=
 Hàm số hữu tỷ (2/1) :
2
1 1
ax bx c
y
a x b
+ +
=
+
(tử, mẫu không có nghiệm chung, )
Phần III: ÔN TẬP CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN
Dạng 1: Dùng đồ thị biện luận phương trình:
f(x) = m hoặc f(x) = g(m) hoặc f(x) = f(m) (1)
+ Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát
+ Đường thẳng (d): y = m hoặc y = g(m) hoặc y = f(m) là một đường thẳng thay đổi luôn
cùng phương với trục Ox.
Các bước giải
Bước : Biến đổi phương trình đã cho về dạng pt (1) và dùng 1 trong 3 bảng sau:
Bước : Dựa vào đồ thị ta có bảng biện luận:
6
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
x
y
O

x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số có 1 cực trị ⇔ ?
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 3 cực trị ⇔ ?
y
I
x
y
O
Dạng 2: hsố nghịch biếnDạng 1: hsố đồng biến
x
O
I
x
y
O
•
I
x

y
O
•
I
Dạng 2: hàm số không có cực trị
x
y
O
•
I
x
y
O
•
I
Dạng 1: hàm số có cực trị
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!
Ví dụ 1:
1. Biện luận phương trình
3 2
1
3
x x
−
= m ( dùng bảng 1)
2. Biện luận phương trình
3 2
1
3
x x−

= 3m -2 ( dùng bảng 2)
3. Biện luận phương trình
3 2
1
3
x x
−
=
3 2
1
3
m m−
( dùng bảng 3)
Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng & thể tích vật thể tròn xoay.
Học sinh cần nhớ và vận dụng thành thạo các công thức:
• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
(C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b)
→ Ta sử dụng công thức
b
a
S f x dx=
∫
( )
(I)
• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
(C): y = f(x), y = g(x) / [a;b]
→ Ta sử dụng công thức
b
a
S f x g x dx

= −
∫
( ) ( )
(II)
• Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H) giới hạn bởi
(C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b), khi (H) quay quanh Ox.
→ Ta dùng công thức
[ ]
2
b
a
V f x dx
π
=
∫
( )
(III)
• Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H’) giới hạn bởi (C): x = g(y),
trục Oy và 2 đường thẳng y = a, y = b ( a < b), khi (H’) quay quanh Oy.
→ Ta dùng công thức
[ ]
2
=
∫
b
a
V g y dy( )
π
(IV)
Đặc biệt hóa trong các trường hợp khi cần thiết hoặc phù hợp với một đề bài cụ

thể, đồng thời nắm được các bước cơ bản khi giải dạng toán này:
 Khi cần tính diện tích 1 hình phẳng:
 Nắm các dấu hiệu để biết sử dụng công thức (I) hay (II) (có hay không có Ox).
 Xác định được cận dưới a và cận trên b (nếu chưa có thì biết đi tìm).
 Dựa vào đồ thị (hoặc xét dấu riêng), để biết dấu của biểu thức f(x)/[a;b]. (hay dấu của f(x)
– g(x) /[a;b]).
 Biết các bước trình bày bài giảivà tính đúng kết quả.
 Khi cần tính thể tích vật thể tròn xoay:
 Nắm các dấu hiệu để biết sử dụng công thức (III) hay (IV) (hình sinh quay quanh Ox hay
quay quanh Oy)
 Xác định các cận trên, cận dưới và tính đúng kết quả.
Ví dụ 4: (trích đáp án kì thi THPT không phân ban 2006 )
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hàm số y = e
x
, y = 2 và đường thẳng x = 1.
Giải: (0,75 đ)
Ta có: e
x
= 2 ⇔ x = ln2
7
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!
Diện tích hình phẳng cần tìm S =
( )
1 1
ln2 ln2
2 2
x x
e dx e dx− = −
∫ ∫

(0,25 đ)
=
( )
1
ln2
2 ( 2) (2 2ln 2) 2ln 2 4
x
e x e e− = − − − = + −
(đvdt) (0,25đ + 0,25đ)
Ví dụ 5: ( trích đáp án kì thi THPT phân ban 2006)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) : y = – x
3
– 3x
2

và trục Ox.

Giải:
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm.
Từ đồ thị ta có:
3 3
3 2 3 2
0 0
3 ( 3 )S x x dx x x dx= − + = − +
∫ ∫

3
4
3
0

4
x
x
 
= − +
 ÷
 
= 27/4 ( đvdt)
Bài tập : (cho dạng 1 và dạng 2)
Bài 1: Cho hàm số y = x
3
– mx + m + 2. có đồ thị là (Cm)
a) Khảo sát hàm số khi m = 3.
b) Dùng đồ thị (C3), biện luận theo k số nghiệm của phương trình:
x
3
– 3x – k +1 = 0
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (D): y = 3.
Bài 2: Cho hàm số y = x
3
– 2x
2
– (m - 1)x + m = 0
a) Xác định m để hàm số có cực trị.
b) Khảo sát hàm số trên. Gọi đồ thị là (C).
c) Tiếp tuyến của (C) tại O cắt lại (C) tại một điểm A. Tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi (C) và đoạn OA.
Bài 3: Cho hàm số y = (x +1)
2
(x –1)

2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo n số nghiệm của phương trình :
(x
2
– 1)
2
– 2n + 1 = 0
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
Bài 4: Cho hàm số
mx
mxm
y
−
+−
=
)1(
(m khác 0) và có đồ thị là (Cm)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C
2
).
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C
2
), tiệm cận ngang của nó và các
đường thẳng x = 3, x = 4.
Bài 5: Cho hàm số
1
2
+
+−

=
x
xx
y
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết pttt của (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành.
8
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
Bài 6: Cho hàm số
4
4
2
−
+−
=
mx
mxx
y
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C
2
).
b) Dùng đồ thị (C
2
) giải và biện luận phương trình :
x
2
– 2(k + 1)x + 4(k + 1) = 0.
c) Tính diện tích hình phẳng của hình (H) giới hạn bởi: (C

2
), trục Ox, trục Oy,
và đường thẳng x = 1.
d)* Tính thể tích hình tròn xoay do (H) quay 1 vòng xung quanh Ox tạo ra.
Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong :
y =
2
4
1
x
; y =
xx 3
2
1
2
+−
.
Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi 2 đường: x
2
+ y – 5 = 0; x + y – 3 = 0. Tính thể
tích vật thể tạo ra do D quay quanh Ox.
Bài 9: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi phần mặt phẳng bị giới hạn bởi các đường: y
= x
2
và y =
x
quay quanh Ox.
Dạng 3: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)
Số giao diểm của hai đường cong (C
1

) y= f(x) và (C
2
) y=g(x) là số nghiệm của
phương trình hoànhđộ giao điểm f(x) = g(x) (1)
Ví dụ Cho hàm số
1
1
−
+
=
x
x
y
và đường thẳng y= mx - 1 biện luận số giao điểm của hai đường
cong.
Giải : Số giao điểm của hai đường cong là số nghiệm của phương trình
1
1
1
−=
−
+
mx
x
x

(điều kiện x khác 1)
0)2(
2
=+−⇔ xmmx

0))2(( =+−⇔ mmxx
+Nếu m = 0 hay m = -2: Phương trình có một nghiệm x = 0 nên đường thẳng cắt
đường cong tại một điểm
+Nếu m ≠ 0 và m ≠ -2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = m và
x =
2m
m
+
. Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt
(chú ý cả hai nghiệm đều khác 1)
Kết luận: + m = 0 hay m = - 2 có một giao điểm.
+ m
≠
0 và m
≠
- 2 có hai giao điểm.
B ÀI TậP:
Bài 1: Biện luận số giao điểm của đồ thị (C):
3 2
2
3 2
x x
y x
= + −
và đường thẳng (T):
13 1
( )
12 2
y m x
− = +

. KQ: 1 giao điểm ( m ≤
27
12
−
), 3 giao điểm ( m >
27
12
−
)
Bài 2: Định a để đường thẳng (d): y = ax + 3 không cắt đồ thị hàm số
3 4
1
x
y
x
+
=
−
. KQ: -28 <
a ≤ 0
Dạng 4: Cực trị của hàm số
 Yêu cầu đối với học sinh :
9
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!

Biết số lượng cực trị của mỗi dạng hàm số được học trong chương trình:

Hàm số bậc 3 : y = ax
3

+ bx
2
+ cx + d (a
≠
0)
→
không có cực trị hoặc có 2 cực trị.

Hàm số bậc 4 dạng : y = ax
4
+ bx
2
+ c (a
≠
0)
→
có 1 cực trị hoặc 3 cưc trị.

Hàm số nhất biến dạng:
ax+b
cx+d
=y

→
chỉ tăng hoặc chỉ giảm và không có cực trị.

Hàm số hữu tỷ (2/1)dạng:
2
ax bx c
y

a 'x b'
+ +
=
+

→
không có cực trị hoặc có 2 cưc trị.

Tóm tắt: Cho hàm số y = f(x) xác định / (a;b) và x
0

∈
(a;b)
• Nếu f’(x
0
) = 0 và f’(x) đổi dấu khi x qua x
0
thì hàm số có cực trị tại x = x
0
• Nếu f’(x
0
) = 0 và f’(x) đổi dấu từ + → – khi x qua x
0
thì hàm số có cực tiểu tại x = x
0
.
• Nếu f’(x
0
) = 0 và f’(x) đổi dấu từ – → + khi x qua x
0

thì hàm số có cực đại tại x = x
0
.
(Điều này vẫn đúng khi hsố không có đạo hàm tại x
0
nhưng hàm số có xác định tại đó).
 Hoặc:
• Nếu f’(x
0
) = 0 và f’’(x) ≠ 0 thì hàm số có cực trị tại x = x
0
.
• Nếu f’(x
0
) = 0 và f’’(x) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x = x
0
.
• Nếu f’(x
0
) = 0 và f’’(x) < 0 thì hàm số có cực đại tại x = x
0
.
Bài tập:1 Định tham số m để:
i) Hàm số y =
3 2
1
( 6) 1
3
x mx m x
+ + + −

có cực đại và cực tiểu.Kết quả: m < - 2 hay m > 3
2i)Hsố y =
2
2
1
x mx
mx
+ −
−
có cực trị. Kết quả: - 1 < m < 1
3i) Hàm số y = 2x
3
– 3(2m + 1)x
2
+ 6m(m + 1)x + 1 có cực đại và cực tiểu tại x
1
, x
2
và khi đó
x
2
– x
1
không phụ thuộc tham số m. Kết quả : ∀m và x
2
– x
1
= 1
Bài 2: Hàm số y = x
3

– 3x
2
+ 3mx + 1 – m có cực đại và cực tiểu. Giả sử M
1
(x
1
;y
1
), M
2
(x
2
;y
2
)
là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số. Chứng minh rằng :
1 2
1 2 1 2
( )( 1)
y y
x x x x
−
− −
= 2. Kết quả : m < 1
Dạng 4: Viết PTTT của đồ thị hàm số?
Yêu cầu học sinh nắm được các bước trình bày bài giải các dạng bài toán sau:
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại M
0
(x
0

;y
0
) ∈ (C).
 Bước 1: Nêu dạng pttt : y – y
0
= f’(x
0
)
( )
0
x x−
hay y – y
0
= k(x – x
0
) (*)
 Bước 2: Tìm các thành phần chưa có x
0
, y
0
, f’(x
0
) thay vào (*). Rút gọn ta có kết quả
Bài toán 2: Viết pttt của (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua hay xuất phát từ A(x
A
;y
A
)
 Bước 1: Viết pt đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc k:
y – y

A
= k(x – x
A
) (1)
 Bước 2: (d) là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm:
( ) ( )
'( )
A A
f x k x x y
f x k
= − +


=

 Bước 3: Giải tìm k và thay vào (1). Ta có kết quả.
Bài toán 3: Viết pttt của (C): y = f(x) biết hệ số góc k của tiếp tuyến.
(hay: biết tiếp tuyến song song, vuông góc với 1 đường thẳng (D) )
C1:  Bước 1: Lập phương trình f’(x) = k ⇒ ⇒ x = x
0
( hoành độ tiếp điểm)
 Bước 2: Tìm y
0
và thay vào dạng y = k(x – x
0
) + y
0
. ta có kết quả
C2: Bước 1: Viết pt đường thẳng (d): y = kx + m (**) (trong đó m là tham số chưa biết)
10

Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!
 Bước 2: Lập và giải hệ pt:
( )
'( )
f x kx m
f x k
= +


=

⇒ k = ? thay vào (**). Ta có kết quả
Bài tập về PTTT của đồ thị (C ):
Bài 1: Cho hàm số y = x
2
– 2x + 3 có đồ thị là (C)và (d): 8x – 4y + 1 = 0
a) CMR (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm A và B
b) CMR các tiếp tuyến của (C) tại A,B vuông góc nhau.
Bài 2: Cho hàm số y = x
3
+ mx
2
– m – 1, có đồ thị (C).
a) Tìm các điểm cố định của (Cm).
b) Lập pttt tại các điểm cố định đó.
Bài 3: Cho hàm số y = -x
4
+ 2mx
2

– 2m + 1. Tìm m để các tiếp tuyến của đồ thị
hàm số tại A(1;0), B(-1;0) vuông góc nhau
Bài 4: Cho hàm số y =
2
2
x
x
+
−
. Lập pttt của đồ thị (C) của hàm số tại các giao điểm với
trục tung và trục hoành
Bài 5: Cho hàm số y =
2
ax -2
2
x
x
+
−
. Lập pttt của đồ thị (C) của hàm số tại các giao điểm
với trục tung và trục hoành.
Bài 6: Cho hàm số y =
2
2
x
x
+
−
. Viết pttt của (C) đi qua A(-6;5)
Bài 7: Viết pttt của đồ thị hàm số y =

2
2 2
1
x x
x
+ +
+
đi qua B(1;0)
Bài 8) Cho hàm số y = x
3
– 3x. Lập các Pttt kẻ từ điểm A(-1;2) tới đồ thị hàm số
Bài 9) Cho hàm số y = 2x
3
– 3x
2
+ 5. Lập Pttt kẻ từ A(
19
12
;4)
Bài 10) Cho hàm số y = 2x
3
+ 3x
2
– 12x – 1. Tìm M ∈ đồ thị (C) của hàm số đã cho sao
cho tiếp tuyến tại M đi qua gốc tọa độ O.
MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP
Bài 1) Cho hàm số
x
mx)m(x
y

+−+
=
2
2
, m là tham số, có đồ thị là (Cm)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Với giá trị nào của k thì (C) và đường thẳng (D): y = k có 2 giao điểm phân biệt A và
B. Trong trường hợp đó, tìm tập hợp trung điểm I của đoạn AB.
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Oy, y = 1, y = 3/2.
Bài 2) Cho hàm số
2
54
2
−
+−
=
x
mmxx
y
, có đồ thị là (Cm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
2) Tìm tất cả giá trị của tham số m để trên đồ thị (Cm) của hàm số có hai điểm phân biệt
đối xứng nhau qua O.
Bài 3) Cho các đường: y = x
2
– 2x + 2, y = x
2
+ 4x + 5 và y = 1.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường trên.
Bài 4) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =

)1x(2
3x4x2
2
−
−−
2. Định m để ptrình : 2x
2
– 4x – 3 + 2m|x - 1| = 0 có 2 nghiêm phân biệt.
11
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!
Bài 5 :Cho hàm số
1
3
+
+
=
x
x
y
gọi (C) là đồ thị hàm số đã cho
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm các điểm trên (C ) có tọa độ là những số nguyên
c) Chứng minh rằng đường thẳng D:y=2x+m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
MN ;xác định m để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất
d) Tìm những điểm trên trục hoành từ đó vẽ đúng hai tiếp tuyến với (C) trường hợp vẽ
được hai tiếp tuyến có tiếp điểm là P;Q viết phương trình đường thẳng PQ
e) Tìm tọa độ hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (C) sao cho khoảng cách giửa
chúng bé nhất
f) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm I;J

chứng minh rằng S là trung điểm của IJ
g) Với giá trị m nào thì đường thẳng y=-x+m là tiếp tuyến của đường cong (C)
Bài 6:Cho hàm số
)4()1(
2
xxy −−=
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Chứng tỏ rằng đồ thị có tâm đối xứng
c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) đi qua điểm A(3;5)
d) Tìm m để đường thẳng y=3/4.x +m cắt (C) theo hai đoạn bằng nhau
e) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt:
3 2
6 9 4 0x x x m− + − − =
Bài 7: Cho hàm số
mmxxmxy 26)1(32
23
−++−=
a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m=1 chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C)
b) Xác định m để hàm số có cực trị tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình
đường thẳng qua điểm cực trị đó
c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;∞)
Bài 8 : Cho hàm số
3 2
5
- 2
3
= + +y x x x
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3x
3

-6x
2
-5x+m=0.
c) Tiếp tuyến với (C) tại gốc tọa độ O cắt đồ thị (C) ở điểm M tìm tọa độ M.
d) Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thẳng d có phương trình y=kx.
e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
f) Chứng minh rằng đồ thị có tâm đối xứng.


§1. NGUYÊN HÀM:
Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ
( )
a,b a 0∈ & ≠¡
:
dx x C
= +
∫
1
ln
dx
ax b C
ax b a
= + +
+
∫
( )
1
1
1
,

x
x dx C
α
α
α
α
+
= + ≠ −
+
∫
x x
e dx e C
= +
∫
12
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề 2 :
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!
sin cosxdx x C
= − +
∫
1
ax ax
e dx e C
a
= +
∫
cos sinxdx x C
= +
∫

1
sin cosaxdx ax C
a
= − +
∫
2
2
,
cos
dx
tgx C x k
x
π
π
= + ≠ +
∫
1
cos sinaxdx ax C
a
= +
∫
2
cot ,
sin
dx
gx C x k
x
π
= − + ≠
∫

2
1
2
,
cos
dx
tgx C x k
ax a
π
π
= + ≠ +
∫
( )
0ln ,
dx
x C x
x
= + ≠
∫
2
1
cot ,
sin
dx
gax C x k
ax a
π
= − + ≠
∫
Bài tập:

Ghi nhớ:
− Nguyên hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chính là tổng (hiệu) của các
nguyên hàm của những hàm số thành phần.
− Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm số không bao giờ bằng tích
(thương) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần.
− Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng
hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm.
Áp Dụng: Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau bằng cách biến đổi và sử dụng bảng
nguyên hàm cơ bản
1.
4
x dx
∫
2.
(3 1)x dx−
∫
3.
2
(3 6 1)x x dx+ −
∫
4.
4 2
( 5)x x dx− −
∫
5.
2
3
2
(3 1)x dx
x

+ −
∫
6.
2
3
( 3 1)x x x dx+ − −
∫
7.
2
(3 6 )
x
x x e dx+ −
∫
8.
( 5.3 )
x x
e dx−
∫
9.
(3sinx-5cos 1)x dx−
∫
10.
2
7
(3sinx+2cos )
os
x dx
c x
−
∫

11.
2
(2 )
os
x
x
e
e dx
c x
−
+
∫
12.
2 5x dx+
∫
13.
3 8x
e dx
−
∫
14.
1
1 5
dx
x−
∫
15.
2
7
x

x
dx
∫
16.
1
7 5
dx
x −
∫
17.
sin 5xdx
∫
18.
cos(4 2 )x dx−
∫
19.
2
sin 3xdx
∫
20.
2
cos (1 7 )x dx−
∫
21.
sinx sin 5xdx
∫
22.
sinxcos3xdx
∫
23.

cos2xcos3xdx
∫
24.
7
sin .cosx xdx
∫
25.
tan5xdx
∫
26.
2
tan xdx
∫
27.
1
( 1)
dx
x x +
∫
28.
2
1
4
dx
x −
∫
29.
2
1
5 4

dx
x x− +
∫
30.
2
1
3 7 10
dx
x x+ −
∫
31.
2
1
9 7 2
dx
x x+ −
∫
32.
sin
1 5cos
x
dx
x+
∫
33.
sin
cos
x
e xdx
∫

13
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!
Bài 2. Tìm các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số:
1.
7
(2 )x x dx−
∫
(đặt t= 2-x) 2.
3 4x xdx−
∫
(đặt
4 3t x= −
) 3.
2
1 1
sin dx
x x
∫
(đặt
1
t
x
=
)
4.
2
ln x
dx
x

∫
(đặt
lnt x=
) 5.
2 3 3
3x x dx+
∫
( đặt t= 3+x
3
) 6.
1
x x
dx
e e
−
−
∫
(đặt
x
t e=
)
7.
2 2
(1 )
x
dx
x+
∫
(đặt t=1+x
2

) 8.
3 2
2x x dx+
∫
(đặt t=1+x
2
) 9.
sin(ln )x
dx
x
∫

(đặt t=lnx)
Bài 3. Tìm các nguyên hàm sau bằng phương pháp nguyên hàm từng phần:
i)
(3 1)sinx xdx+
∫
2i)
(2 3)cosx xdx+
∫
3i)
(3 5 )cos
2
x
x dx−
∫
4i)
2
(1 )sinx xdx−
∫

5i)
(2 3)
x
x e dx−
∫
6i)
2
( 4 1)
x
x x e dx− +
∫
7i)
(2 1)
x
x e dx
−
+
∫
8i)
sin
x
e xdx
∫
(2 3)
x
x e dx−
∫
9i)
2

( 4 1)
x
x x e dx− +
∫
10i)
(2 1)
x
x e dx
−
+
∫
11i)
sin
x
e xdx
∫
12i)
3
ln x
dx
x
∫
13i)
ln(1 )x x dx−
∫
14i)
2
lnx xdx
∫
15i)

2
1
sin
x
dx
x
+
∫
Bài 4: Cho hai hàm số
( )
1 1
2
2 4
sinF x x x
= +
;
( )
2
cosf x x=
.
a. Chứng minh rằng
( )
F x
là nguyên hàm của
( )
f x
.
b. Tìm nguyên hàm
( )
G x

biết rằng
0
4
G
π
 
=
 ÷
 
.
Bài 5: Cho hàm số
( )
4 4
2 3cos cos cos
cos sin
x x x
f x
x x
+ +
=
−
.
Tìm nguyên hàm
( )
F x
của hàm số
( )
f x
biết rằng
( )

F
π π
=
.
Bài 6: Cho hàm số
( )
2
2 4cos cosf x x x
=
. Tìm hàm số
( )
G x
biết rằng
( ) ( )
G x f x
′′
=
và
( )
29 1
0
144 12 32
;G G
π
 
= − = −
 ÷
 
.
Bài 7: Cho hàm số

( )
8 2 4sin cos cos cosf x x x x x=
.
a. Giải phương trình
( ) ( )
0f x f x
′′
+ =
.
b. Tìm nguyên hàm
( )
F x
của hàm số
( )
f x
biết rằng đồ thị của hàm số
( )
F x
đi
qua điểm
0
8
;M
π
 
−
 ÷
 
.
Bài 8: Biết rằng hàm số

( )
1
sin
cos
x
F x
x
=
+
là nguyên hàm của
( )
f x
. Hãy tìm các giá trị của
x

sao cho
( ) ( )
0f x f x
′
− =
.
Bài 9: Cho hàm số
x
y xe=
.
a. Tính
y
′
và
( )

2y
′
.
b. Tìm nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
2007
x
f x x e
= +
.
Bài 10: Cho hàm số
( )
sin
x
f x e x=
. Chứng minh rằng hàm số
( ) ( )
f x f x
′ ′′
−
là nguyên hàm của
hàm số
( )
2 f x
.
14
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!
Bài 11: Tìm nguyên hàm
( )

F x
của hàm số
( )
3 2
2
3 3 1
2 1
x x x
f x
x x
+ + −
=
+ +
,biết rằng
( )
1
1
3
F
=
. (Đề thi
tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2003)
§2. TÍCH PHÂN :
1). Định nghĩa :
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a

= = −
∫
2). Bài tập :
 Ghi nhớ:
− Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân
thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm.
− Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc của tử lớn hơn hoặc bằng
bậc của mẫu ta phải thực hiện phép chia tử cho mẫu.
− Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét
dấu biểu thức nằm trong dấu GTTĐ. Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành những
đoạn con sao cho trên mỗi đoạn con biểu thức nằm trong dấu GTTĐ không đổi dấu. Áp dụng
định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
a.
4
0
2cos cosx xdx
π
∫
b.
4
cos sinx x dx
π
π
+
∫
c.
21
1
2 3

2
x x
dx
x
−
+ +
+
∫
d.
2
2
1
lnx x
e
dx
x
+
∫
Bài 2: Cho hàm số
( )
2
1
x
f x
x
=
+
và hàm số
( )
2

1lnF x x
= +
.
a. Chứng minh rằng
( )
F x
là nguyên hàm của
( )
f x
. b. Áp dụng câu a. tính
1
2
0
1
xdx
x
+
∫
.
Bài 3: Cho hàm số
( )
2
2ln lnf x x x x x
= −
. a. Tính
( )
f x
′
. b. Áp dụng câu a. tính
2

1
ln
e
xdx
∫
.
Bài 4: Biết hàm số
( )
cos sin
cos sin
x x
F x
x x
−
=
+
là một nguyên hàm của
( )
f x
. Hãy tính :
( )
4
0
f x dx
π
′
∫
.
Bài 5: Tính các tích phân sau:
1.

∫
3
2
1
1
dx
x
. 2.
∫
+
2
1
2
3
2
dx
x
x
3.
∫
−
−
π
π
dxxx ).cos3sin2(
4.
∫
2
4
2

.
sin
1
π
π
dx
x
. 5.
4
4 4
0
(cos sin )x x dx
π
−
∫
6.
∫
6
0
.4sin.sin
π
dxxx
7.
∫
π
0
.3cos.2sin dxxx
. 8.
0
6

cos3 .cos5x xdx
π
−
∫
9.
∫
π
0
2
.sin dxx
.
15
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!
10.
4
6
cot xdx
π
π
∫
11.
3
2
0
tan xdx
π
∫
12.
2

0
1
3 7
dx
x +
∫
13.
2
1
1
( 4)
dx
x x −
∫
14.
0
2
1
1
2 5 3
dx
x x
−
− −
∫
15.
0
2
1
4 3

6 5
x
dx
x x
−
+
− +
∫
16.
2
1
3 1
1
x
dx
x
−
+
∫
17.
2
2
0
2 5 1
3
x x
dx
x
+ −
−

∫
18.
0
sin
6
x
dx
π
∫
19.
3
0
2x dx−
∫
20.
4
2
0
4 3x x dx− +
∫
21.
2
0
1 sin 2xdx
π
−
∫
22.
2
sin

3
x
dx
π
π
−
∫
§3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:
1). Công thức tổng quát :
( ) ( ) ( )
.
b
a
f x x dx f t dt
β
α
ϕ ϕ
′
= 
 
∫ ∫
Công thức trên, tích phân cần tính là tích phân ở vế trái. Hàm số dưới dấu tích phân có
dạng tích của
( )
f x
ϕ
 
 
(hàm số theo biến là
( )

x
ϕ
) với đạo hàm của hàm
( )
x
ϕ
. Áp dụng
công thức trên vào các trường hợp thường gặp, ta có cách đặt cụ thể như sau:
a). TH1:
( )
sin .cosf x xdx
β
α
∫
.
→ Đặt
sint x=

→ hoặc
sint p x q= +

( )
,p q∈¡

→ hoặc
sin
n
t p x q= +
nếu như biểu thức
sinp x q+

nằm trong
n
.
b). TH2:
( )
cos .sinf x xdx
β
α
∫
.
→ Đặt
cost x=

→ hoặc
cost p x q= +

( )
,p q∈¡

→ hoặc
cos
n
t p x q= +
nếu như biểu thức
cosp x q+
nằm trong
n
.
c). TH3:
( )

1
ln .f x dx
x
β
α
∫
.
→ Đặt
lnt x=

→ hoặc
lnt p x q= +

( )
,p q∈¡

→ hoặc
ln
n
t p x q= +
nếu như biểu thức
lnp x q+
nằm trong dấu
n
.
d). TH4:
( )
2
1
β

α
∫
tan .
cos
f x dx
x
.
→ Đặt
= tant x

→ hoặc
= +tant p x q

( )
,p q∈¡

→ hoặc
= +tan
n
t p x q
nếu như biểu thức
ptgx q+
nằm trong dấu
n
.
e). TH5:
( )
2
1
β

α
∫
.
sin
f cotx dx
x
.
16
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!
→ Đặt
=t cotx

→ hoặc
= +t pcotx q

( )
,p q∈¡

→ hoặc
= +
n
t pcotx q
nếu như biểu thức
pcotgx q+
nằm trong
n
.
2). Bài tập:
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:

a.
( )
6
3
0
2 1
cos
sin
xdx
x
π
+
∫
b.
2
3
6 1cos sinx xdx
π
π
+
∫
c.
( )
1
3 2ln
e
dx
x x
+
∫

d.
19
2
3
0
8
xdx
x +
∫
Bài 2: Tính các tích phân sau đây:
a.
( )
1
2
0
2
4 5
x dx
x x
−
− +
∫
b.
2
4
2
0
cos
tgx
e dx

x
π
∫
c.
( )
2
2
6
3 1cot sin
dx
gx x
π
π
+
∫
d.
4
2 1
1
x
dx
e x
+
∫
Bài 3: Tính các tích phân sau đây:
a.
3
3
0
cos

tgxdx
x
π
∫
b.
2
2 3
6
sin cosx xdx
π
π
∫
c.
6
4 4
0
2sin
cos sin
xdx
x x
π
−
∫
d.
( )
4
2
0
2cos
sin cos

xdx
x x
π
+
∫
Bài 4: Tính các tích phân sau đây:
a.
3
3
4
0
sin
cos
xdx
x
π
∫
b.
3
2 3
0
1x x dx
+
∫
c.
6
0
2
2 1
sin

sin
xdx
x
π
+
∫
d.
4
3
6
dx
tgx tg x
π
π
+
∫
Bài 5: Tính các tích phân sau đây: ( Tổng hợp)
1
dx
x
∫
+
3
3
0
2
1
1
(HD: x=tant) 2.
dx

x
∫
+
3
3
2
9
1
(HD: x=3tant) 3
dxx
∫
−
−
−
2
1
1
2
1

(HD: x=sint)
4.
dxx
∫
−
4
1
2
16
( HD: x=4sint) 5.

dxxx
∫
−
2
1
22
4
(HD: x=2sint) 6.
dx
xx
∫
−
++
0
1
2
22
1

(HD:đặt x+1=tant) 7.
)0(
1
3
0
22
>
−
∫
adx
xa

a
(HD: x=asint) 8.
0
sin 4
1 sin
x
dx
x
π
+
∫
(
x t
π
= −
)
Bài 6: Tính các tích phân sau đây: ( Tổng hợp)
1.
∫
−
1
0
2009
)1( dxxx
(t=1-x) 2.
∫
+
1
0
32 dxxx

( 2 3)t x= +
3.
∫
+
1
0
2
1dxxx
2
( 1)t x= +
4. 4.
dxxx
2
1
0
3
1−
∫

2
( 1 )t x= −
5.
∫
+
6
0
sin31cos
π
dxxx

( 1 3sin )t x= +
6.
dx
x
x
e
∫
+
1
ln1
(t=lnx) 7.
dx
x
x
e
∫
+
1
ln32
( 2 3ln )t x= +
8.
dxx
x
x
e
∫
+
1
ln

ln31

( 1 3ln )t x= +
9.
dx
x
x
∫
+
1
0
15

( 5 1)t x= +
10.
dx
x
x
∫
+
+
2
0
3
13
1

3
( 3 1)t x= +
11

∫
−
2
1
1
dx
e
e
x
x
.
( 1)
x
t e= −
17
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyờn ụn thi i hc Cao ng nm 2014 Ti liu lu hnh ni b!
12.
ln8
ln3
1
x
e dx+


( 1)
x
t e= +
` 13.
dx

x
e
x

+
4
1
2
2tan
cos

(t=tanx+2)
Đ4. TNH TCH PHN BNG PHNG PHP TNG PHN:
1). Cụng thc tng quỏt :
( )
b b
b
a
a a
uv dx uv vu dx

=

hay
( )
b b
b
a
a a
udv uv vdu

=

(1)
2). Cỏc bc thc hin:
Bc 1:
( ) ( ) ( )
ẹaởt
( ) ( ) (nguyeõn haứm)
u u x du u x dx ẹaùohaứm
dv v x dx v v x

= =




= =

Bc 2: Th vo cụng thc (1).
Bc 3: Tớnh
( )
b
a
uv
v suy ngh tỡm cỏch tớnh tip
b
a
vdu

(tớch phõn ny cú th tớnh bng nh ngha hoc i bin s hoc tớch phõn tng phn tựy tng
bi toỏn c th m ta phi xem xột).
3). Cỏc dng tớch phõn tớnh bng phng phỏp tng phn:
Tớch phõn tng phn thng c ỏp dng tớnh cỏc tớch phõn cú dng nh sau:
a). Dng 1:
( ) ( )
.
b
a
p x q x dx

Trong ú
( )
p x
l hm s a thc, cũn
( )
q x
l hm
sin ( )x

hoc
cos ( )x

.
Trong trng hp ny ta t:
( )
( )
u p x
dv q x dx
=

=

Ghi nh :
Trong trng hp ny nu t ngc li thỡ khi th vo cụng thc ta c
b
a
vdu

phc tp hn
b
a
udv

ban u.
b). Dng 2:
( ) ( )
.
b
a
p x q x dx

Trong ú
( )
p x
l hm s a thc, cũn
( )
q x
l hm logarit.
Trong trng hp ny ta t:

( )
( )
u q x
dv p x dx
=

=

Ghi nh: Trong trng hp ny nu t ngc li thỡ ta gp khú khn khi suy
ra
v
t
dv
.
4). Bi tp:
18
Ch biờn: Cao Vn Tỳ Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
a.
( )
0
2 1 sinx xdx
π
+
∫
b.
( )
2
0

2 cosx x xdx
π
+
∫
c.
4
2
0
cosx xdx
π
∫
d.
4
2
0
cos
xdx
x
π
∫
e.
( )
1
2
2
0
1
x
x e dx
+

∫
f.
1
0
3 2
x
x
dx
e
−
∫
g.
1
0
3 2( )
x
x dx−
∫
h.
( )
1
2
0
x
x e dx+
∫
Bài 2: Tính các tích phân sau đây:
a.
( )
3

2
1
3 1 lnx xdx+
∫
b.
( )
1
0
1lnx x dx
+
∫
c.
2
1
ln
e
xdx
∫
d.
( )
1
2
0
1lnx x dx
+
∫
Bài 3. Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần:
1.
xdxx sin)2(
2

0
∫
+
π
2.
xdxx cos)1(
2
0
∫
−
π
3.
xdxx 3sin
2
0
∫
π
4.
dx
x
x
2
cos)1(
∫
−
+
π
π
5.
dxex

x2
1
0
∫
6.
dxexx
2
1
0
2
)13(
∫
+−
7.
xdxe
x
cos
2
0
∫
π
8.
dxex
x2
0
sin
∫
π
9.
∫

e
xdx
1
ln
10.
∫
+
1
0
)3ln( dxx

11.
∫
e
xdx
1
ln
12.
∫
−
−
0
1
)31ln( dxx
13.
∫
e
dxx
1
2

)(ln
14.
∫
−
e
dxxx
1
)ln2(
15.
∫
+
2
0
2
cos
1
π
dx
x
x

16.
xdxe
x
2sin
2
sin
2
4
∫

π
π
17.
∫
e
dxxx
1
23
)(ln
18.
dxxcos
4
0
∫
19.
∫
+
e
e
dx
x
x
1
2
)1(
ln
20.
dxe
x
∫

4
0
.
§5. CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN:
Tính các tích phân sau đây:
a.
( )
2
2
6
1 cos
sin
x dx
x
π
π
−
∫
b.
( )
2
2
1
ln
x
x x e dx
x
+
∫
c.

( )
2
2
2
6
2cot sin
sin
g x x dx
x
π
π
+
∫
d.
2
0
2
3 1
sin
cos
x xdx
x
π
 
+
 ÷
+
 
∫

e.
2
0
1
sin cos
cos
x xdx
x
π
+
∫
f.
1
2
0
1 1
2
x
xdx
x e
 
−
 ÷
+
 
∫
g.
0
2
2 2

2 3
cos cos
sin
x xdx
x
π
 
+
 ÷
+
 
∫
h.
1
2
0
3 1lnx x dx
+
∫
§6. DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG:
1). Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi :
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
: ; : ; ;C y f x C y g x x a x b= = = =

(trong đó hai đường thẳng
;x a x b= =
có thể thiếu một hoặc cả hai).
a). Công thức:
( ) ( )

b
a
S f x g x dx
= −
∫
(2)
b). Các bước thực hiện:
• Bước1: Nếu hai đường
,x a x b= =
đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải
phương trình
( ) ( )
f x g x=
(PTHĐGĐ của
( )
1
C
và
( )
2
C
để tìm.
19
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!
• Bước 2: Áp dụng công thức (2).
• Bước 3: Rút gọn biểu thức
( ) ( )
f x g x−
, sau đó xét dấu của hiệu này.

• Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu
GTTĐ.
c). Chú ý: Nếu bài toán này được cho chung trong bài khảo sát hàm số thì ta dùng hình vẽ
để khử dấu GTTĐ sẽ dễ dàng hơn. Có nghĩa là, nếu trên một đoạn tích phân nào đó mà trên
hình vẽ,
( )
1
C
nằm trên
( )
2
C
thì hiệu
( ) ( )
0f x g x− ≥
, và
( )
1
C
nằm dưới
( )
2
C
thì hiệu
( ) ( )
0f x g x− ≤
.
2). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường không rơi vào trường hợp 1:
• Bước 1: Vẽ hình (không cần phải khảo sát).
• Bước 2: Chia hình cần tính thành các hình nhỏ sao cho mỗi hình nhỏ tính được diện

tích bằng công thức (2).
• Bước 3: Dùng công thức (2) tính diện tích các hình nhỏ sau đó tính tổng diện tích tất cả các
hình nhỏ.
3). Thể tích của hình tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh
trục Ox:

( ) ( )
: ; ; ;C y f x Ox x a x b
= = =
(trong đó hai đường thẳng
;x a x b= =
có thể thiếu một hoặc cả hai).
a). Công thức:
( )
2
b
a
V f x dx
π
=  
 
∫
(3)
b). Các bước thực hiện:
• Bước 1: Nếu hai đường
,x a x b= =
đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải
phương trình
( )
0f x

=
(PTHĐGĐ của
( )
C
và trục Ox) để tìm.
• Bước 2: Áp dụng công thức (3).
4). Bài tập:
ÁP Dụng 01:
Bài i. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau:
1.
1, 0, 0, 3y x y x x= − = = =
2.
2
3 4, 0, 1, 3y x x y x x= + − = = − =
3.
3 2
5 4 , 0, 1, 3y x x x y x x= − + = = − =
4.
3
sin , 0, 0,
2
y x y x x
π
= = = =
5.
x
os , 0, ,
2 2
y c y x x
π

π
= = = − =
6.
2 1
, 0, 0, 1
x
y e y x x
+
= = = =
7.
2
2
, 0, 0, 2
x
y xe y x x
+
= = = =
8.
2
1
ln , 0, ,y x y x x e
e
= = = =
9.
2 3
sin cos , 0, 0,
2
y x x y x x
π
= = = =

10.
2
ln , 0, 1,y x x y x x e= = = =
Bài 2i. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau:
1.
2
, 4 4 , 0, 3y x x y x x x= − = − = =
2.
2
, 2 0y x x y= − + + =
3.
2 2
5, 3 7y x x y x x= + − = − + +
4.
( 1)( 2)( 3), 0y x x x y= − + − =
5.
, 1, 2
x
y e y x= = =
6. (C):
2
2 2y x x= − +
và các tiếp tuyến của (C) đi qua
3
( , 1)
2
A −
20
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!

7. (C):
3 2
3 6 2y x x x= + − +
và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1; 8.
sin , cos , 0,y x y x x x
π
= = = =
Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( )
2
6 5
2 1
:
x x
C y
x
− +
=
−
và trục Ox.
Bài 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( ) ( )
2
3:C y x x= −
và trục Ox.
Bài 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( )
4 2
:C y x x
= −

và trục Ox.
Bài 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( )
3
3 1:C y x x
= − +
và đường
thẳng
3:d y =
.
Bài 5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
2
2 2
1
:
x x
C y
x
+ +
=
+
; đường
tiệm cận xiên của
( )
C
; Ox;
1x e= −
.
Bài 6: Cho đường cong

( )
3 2
3 4:C y x x x
= − +
. Viết phương trình tiếp tuyến
d
của
( )
C
tại
gốc tọa độ O. Từ đó tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi
( )
C
và
d
.
Bài 7: Cho parabol
( )
2
6 5:P y x x
= − +
.
a. Viết phương trình các tiếp tuyến của
( )
P
tại các giao điểm của
( )
P
với trục Ox.
b. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi

( )
P
và các tiếp tuyến nói ở câu a.
Bài 8: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
:C y x
=
;
2:d y x
= −
và trục Ox.
Bài 9: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol
( )
2
4:P y x
=
và đường thẳng
2 4:d y x= −
.
Bài 10: Cho parabol
( )
2
4:P y x=
.
a. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
P
tại điểm tung độ bằng 4.
b. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )

P
, trục Ox và tiếp tuyến nói ở
câu a.
Bài 11: Cho đường cong
( )
2 1
1
:
x
C y
x
+
=
+
. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
; ;C Ox Oy
. Tính thể tích của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox.
Bài 12: Cho đường cong
( )
4 2
:C y x x= −
. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi
( )
C
và trục
Ox. Tính thể tích của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox.
Bài 13. Tính thể tich của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D được tạo bởi các đường sau khi quay
xung quanh trục Ox.
1.

2
3 , 0y x x y= − =
2.
2
, 3y x y x= =
3.
3
1, 0, 0, 1y x y x x= + = = =
4.
4
5 ,y x y
x
= − =
5.
sin , 0, 0,
2
y x y x x
π
= = = =
6.
, 0, 0, 1
x
y xe y x x= = = =
7.
ln , 0, 1,y x x y x x e= = = =
8.
4 4
cos sin , 0, 0,
2
y x x y x x

π
= + = = =


21
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề 3 :
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!
A. HỆ THỐNG LÝ THUYẾT:
I. Qui tắc cộng – qui tắc nhân: (Phép đếm)
 Qui tắc cộng: Nếu có m
1
cách thực hiện công việc H
1
, m
2
cách thực hiện công việc H
2
, …,
m
n
cách thực hiện công việc H
n
(cách thực hiện H
i
không trùng với bất kỳ cách thực hiện công
việc H
j
nào, với i
≠

j; i, j = 1, 2, …, n) thì có m
1
+ m
2
+ … + m
n
cách thực hiện một trong các
công việc H
1
, H
2,
…, H
n
.
 Qui tắc nhân: Nếu có m
1
cách thực hiện công việc H
1
, m
2
cách thực hiện công việc H
2
, …,
m
n
cách thực hiện công việc H
n
(cách thực hiện H
i
không trùng với bất kỳ cách thực hiện công

việc H
j
nào, với i
≠
j; i, j = 1, 2, …, n) thì có m
1
.m
2
…m
n
cách thực hiện Tất cả các công việc
H
1
, H
2,
…, H
n
.
II. Hoán vị: Cho tập A có n phần tử (n
≥
1). Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập A
được gọi là một hoán vị của n phần tử của A.
Số các hoán vị của n phần tử là: P
n
= n!
 n! = 1.2…(n – 1).n
 Qui ước: 0! = 1
III. Chỉnh hợp: Cho tập A có n phần tử. Mỗi bộ gồm k (1
≤
k

≤
n) phần tử khác nhau,
sắp thứ tự của A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A.
Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là:
k
n
n
A
n k
=
−
!
( )!
Có thể tính
k
n
k thõa sè
A n n n n k( 1)( 2) ( 1)= − − − +
1 4 4 442 4 4 4 43

Ví dụ:
2
100
100.99 9900A = =
 Chú ý: Chỉnh hợp chập n của n phần tử là hoán vị của n phần tử.
III. Tổ hợp: Cho tập A có n phần tử. Mỗi bộ gồm k (0
≤
k
≤
n) phần tử khác nhau

(không chú ý đến tính thứ tự) của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (với
k = 0 ta qui ước bộ rỗng không có phần tử nào).
Số các tổ hợp chập k của n phần tử là:
k
k
n
n
A
n
C
k n k k
= =
−
!
!( )! !

k n k
n n
C C
−
=

o n
n n
C C 1= =

1 n 1
n n
C C n
−

= =
IV. Nhị thức NIUTƠN:
n n n k n k k n n
n n n n
a b C a C a b C a b C b
− −
+ = + + + + +
0 1 1
( )
n
n k n k k
n
k
a b C a b
−
=
+ =
∑
0
( )

 Dùng máy tính bỏ túi để tính bằng cách sử dụng các phím nPr, nCr.
♠ Một số chú ý:
 Số các số hạng của công thức bằng n + 1.
 Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng của nhị thức là n.
 Số hạng tổng quát là
k n k k
k n
T C a b
−

+
=
1
(số hạng thứ k + 1)

0 1
2
k n n
n n n n
C C C C
+ + + + + =
 Các nhị thức thường dùng:
22
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!

0 1
(1 )
n k k n n
n n n n
x C C x C x C x
+ = + + + + +
.

0 1
(1 ) ( 1) ( 1)
n k k k n n n
n n n n
x C C x C x C x
− = − + + − + + −

.
B. H ƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP :
I. Các bài toán dùng phép đếm, chỉnh hợp, tổ hợp:
 Hướng dẫn học sinh phân tích kỹ đề bài xem đối tượng cần tìm phải thực hiện theo
bao nhiêu bước, bộ gồm bao nhiêu phần tử, khác nhau hay không cần khác nhau, có thứ tự
hay không kể thứ tự, có ràng buộc thêm điều kiện đối với phần tử nào không?
 Một số ví dụ:
 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên (chữ số đầu
tiên khác 0)
a) Số tự nhiên có bốn chữ số?
b) Số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác nhau?
c) Số tự nhiên chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau?
 a) Muốn lập một số tự nhiên gồm bốn chữ số ta cần thực hiện tất cả bốn công việc
(chọn chữ số từ các chữ số đã cho xếp vào bốn vị trí
1 2 3 4
a a a a
), do số gồm bốn chữ số không
yêu cầu gì về điều kiện khác nhau nên ta dùng qui tắc nhân để giải.
 a) và b) phân tích theo phương pháp tương tự như trên. Phân tích thêm câu c) có thể
dùng phần bù để giải.
 Cho năm điểm (trong đó không có bộ ba điểm nào thẳng hàng). Từ năm điểm
đã cho có thể xác định được bao nhiêu:
a) Đoạn thẳng?
b) Vectơ khác vectơ – không?
 Mỗi đoạn thẳng được xác định bởi một bộ gồm hai phần tử khác nhau không kể thứ
tự nên mỗi tổ hợp chập 2 của 5 điểm đã cho xác định một đoạn thẳng.
 Mỗi vectơ được xác định bởi một bộ gồm hai phần tử khác nhau có thứ tự nên mỗi
chỉnh hợp chập 2 của 5 điểm đã cho xác định một véctơ.
 Phân tích sự giống nhau và khác nhau ở hai câu trong bài .
 Trong một chi đoàn có 25 đoàn viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một Ban chấp

hành gồm một bí thư, một phó bí thư và ba uỷ viên? (mỗi đoàn viên chỉ đảm nhiệm nhiều
nhất một chức vụ).
 Muốn chọn một Ban chấp hành ta phải thực hiện tất cả ba công việc: CV1–chọn một
bí thư, CV2–chọn một phó bí thư, CV3–chọn ba uỷ viên.
CV1: Chọn một đoàn viên trong 25 đoàn viên làm bí thư
→
có 25 cách thực hiện công
việc 1.
CV2: Chọn một đoàn viên trong 24 đoàn viên còn lại làm phó bí thư
→
có 24 cách
thực hiện công việc 2.
CV3: Chọn ba đoàn viên (không kể thứ tự) trong 23 đoàn viên còn lại làm ba uỷ viên
→
mỗi tổ hợp chập 3 của 23 phần tử là một cách chọn.
Do phải thực hiện tất cả các công việc CV1, CV2, CV3 nên ta dùng qui tắc nhân tìm đáp
số.(Có thể dùng chỉnh hợp để tìm số cách chọn bí thư và phó bí thư)
 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bảy chữ số trong
đó chữ số 2 có mặt ba lần, các chữ số khác có mặt nhiều nhất một lần?
 Có ba viên bi màu đỏ giống nhau và năm viên bi màu xanh có bán kính khác nhau.
người ta muốn xếp ba viên bi đỏ và bốn trong các viên bi xanh vào một hàng có bảy ô (mỗi ô
xếp một viên). Hỏi có bao nhiêu cách xếp?
23
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!
 Sau khi cho học sinh phân tích và giải bài toán  đến đáp số là
3 4
7 5
C A
, nêu thêm bài toán 

có cách giải hoàn toàn tương tự để rèn luyện thêm khả năng phân tích đề, xây dựng chương trình giải
cho học sinh.
 Trong một số bài toán có thể dùng phần bù để giải. Nhất là các bài toán có các từ “ít
nhất”, “nhiều nhất”…
II. Các bài toán về giai thừa:
Từ các ví dụ cụ thể như: 10! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10 = 8!9.10 hay
10! 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10 8!9.10
8! 1.2.3.4.5.6.7.8 8!
= =
tổng quát thành các công thức như: n! = (n – 1)!n (với n
≥
1); n! = (n – 2)!(n – 1)n (với n
≥
2) …
Cho học sinh giải các bài tập như:
 Giản ước
7 !4! 8! 9!
B
10! 3!5! 2!7 !
 
= −
 ÷
 
 Rút gọn:
2
6!( n 1 ) ( n 1 )!
A .
( n 2 )! ( n 1 )( n n )
+ −
=

− − +
III. Các bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình có chứa
k
n
A
và
k
n
C
:
 Hướng dẫn kỹ cách đặt điều kiện:
+ Đối với
k
n
A
điều kiện là:
k,n
1 k n
∈


≤ ≤

¥
+ Đối với
k
n
C
điều kiện là:
k,n

0 k n
∈


≤ ≤

¥
 Khai triển đúng công thức trong trường hợp cụ thể k là gì, n là gì.
IV. Các bài toán về nhị thức NIUTƠN:
 Bài toán về khai triển nhị thức (a + b)
n
:
 Yêu cầu học sinh viết nhị thức dưới dạng:
0 1 1
( )
n n n k n k k n n
n n n n
a b C a C a b C a b C b
− −
+ = + + + + +
 Hướng dẫn học sinh dùng máy tính bỏ túi để tính
k
n
C
từ đó đi đến kết quả.
 Các bài toán về tính số hạng, hệ số cần viết đúng số hạng tổng quát
k n k k
n
C a b
−

sau đó khai
thác giả thiết tìm k, n
→
kết quả.
 Tính tổng, chứng minh…:
 Qua các bài toán cần tập cho học sinh phát hiện ra các qui luật chung của các số hạng, kết
hợp với các kiến thức khác như đạo hàm, tích phân …tìm ra chương trình giải.
 Ví dụ: Tính tổng:
2 3 n 1
0 1 2 n
n n n n
2 1 2 1 2 1
S C C C C
2 3 n 1
+
− − −
= + + + +
+
(n nguyên dương)
 Hướng dẫn học sinh tìm ra qui luật với số hạng tổng quát là:
k 1 k 1
k
n
2 1
C
k 1 k 1
+ +
 
−
 ÷

+ +
 
=
2
k 1
k
n
1
x
C
k 1
+
+
từ đó dẫn đến tính S =
2
n
1
(1 x ) dx+
∫
.
Tuy nhiên, trong các đề thi thường kết hợp nhiều dạng, nhiều kiểu nên cần ghép các dạng toán,
nhiều kiến thức từ dễ đến khó trong một bài ôn tập giúp học sinh rèn tư duy, tìm ra qui luật, qui lạ
về quen…
C. M ỘT SỐ BÀI TẬ P :
24
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng năm 2014 Tài liệu lưu hành nội bộ!
1) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
(chữ số đầu tiên khác 0)
a) Gồm có năm chữ số.

b) Gồm năm chữ số khác nhau.
c) Gồm năm chữ số khác nhau và là số lẻ.
d) Gồm năm chữ số khác nhau và là số chẵn.
e) Gồm năm chữ số khác nhau bắt đầu bằng chữ số 2.
f) Gồm năm chữ số khác nhau và không bắt đầu bởi 23.
g) Gồm năm chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 1 và chữ số 3.
h) Gồm tám chữ số khác nhau trong đó chữ số 1 có mặt ba lần các chữ số khác có mặt đúng
một lần.
i) Tính tổng tất cả các số tự nhiên ở câu b).
2) Một tổ gồm 12 học sinh trong đó có 8 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Giáo viên muốn
chon bốn học sinh để trực lớp. Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách chon nhóm trực, biết rằng:
a) Số nam nữ trong nhóm là tuỳ ý.
b) Trong nhóm phải có hai nam và hai nữ.
c) Trong nhóm phải có ít nhất một nữ.
3) Cho đa giác lồi 12 cạnh. Hỏi:
a) Đa giác có bao nhiêu bao nhiêu đường chéo?
b) Có bao nhiêu véctơ khác véctơ–không được tạo thành từ các đỉnh của đa giác?
c) Có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ các đỉnh của đa giác?
d) Biết rằng ba đường chéo cùng không đi qua một đỉnh thì không đồng qui. Hãy tính số
giao điểm (không phải là đỉnh) của các đường chéo của đa giác.
4) Có năm tem thư khác nhau và sáu bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra ba
tem thư, ba bì thư và dán ba tem thư ấy lên ba bì thư đã chọn, mỗi bì thư chỉ dán một tem thư.
Hỏi có bao nhiêu cách thực hiện?
5) Một tổ gồm mười học sinh trong đó có hai học sinh A và B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp
tổ học sinh thành một hàng ngang để tập thể dục, biết rằng A và B phải đứng kề nhau?
6) Có năm quyển sách toán khác nhau, bốn quyển sách lý khác nhau và hai quyển sách hoá
khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các quyển sách đó lên kệ sách sao cho các quyển sách
cùng môn được xếp kề nhau?
7) Giải các phương trình sau:
a) P

2
.x
2
– P
3
.x = 8. b)
2 1
. 42
x
x x
A C x
−
=
c)
2 2
2
2 50
x x
A A
+ =
d)
4
x
3 4
x+1
A
24
A 23
x
x

C
−
=
−
8) Giải các bất phương trình:
a)
3 4
3 1 1
14 .
x
x x
P C A
−
− +
<
b)
3 2
4 5( 1)
x x
A C x
− ≤ −
c)
4 3 2
1 1 2
5
0
4
x x x
C C A
− − −

− − <
d)
1
105 105
8 3
x x
C C
+
<
9) Giải các hệ phương trình sau:
a)
2 5 90
5 2 80
y y
x x
y y
x x
A C
A C

+ =


− =


b)
1 1
1
: : 6 : 5 : 3

y y y
x x x
C C C
+ −
+
=
10) Cho khai triển nhị thức:

1
1
1 1 1 1
0 1 1
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
n n n
n n
x x x x
x x x x
n n
n n n n
C C C C
−
−
− − − −
− − − −
−
            
+ = + + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷ ÷  ÷  ÷

     
       
(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó
3 1
5
n n
C C
=
và số hạng thứ tư bằng 20n,
tìm n và x.
25
Chủ biên: Cao Văn Tú Email: