chuyên đề bất đẳng thức và bất phương trình
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (715.9 KB, 16 trang )
1
Chuyên Đề Bấc Đẳng Thức Và Bất Phương Trình
I. Bất đẳng thức Côsi
a/ Định lý: Nếu a
0, b
0 thì
ab
ba
2
hay
a+b
ab2 Dấu '=' xảy ra a=b
b/ Các hệ quả:
- Nếu a
0,b
0 có a+b=const (hằng số) thì a.b
max a = b
- Nếu a
0,b
0 có a.b = const thì a + b là min
a = b
- Nếu a
1
, a
2
, a
3
,… ,a
n
0 thì:
n
n
n
aaaa
n
aaa
3.21
21
-
1
2
a
a
, a > 0
* Ý nghĩa hình học:
+ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi,
hình vuông có diện tích lớn nhất.
+ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện
tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
II. Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối
Định nghĩa: |x| =
0x neáu x-
0x neáu x
; Rba
,
baba , dấu '=' xảy ra a.b
0
baba
, dấu '=' xảy ra khi a.b 0
baba
a.b
0
baba
a.b
0
III. Bất đẳng thức Bunhiacopxki
Cho 4 số thực a, b, c, d bất kỳ thì:
(ab+cd)
2
(a
2
+c
2
)(b
2
+d
2
)
))((
2222
dbcacdab
CM: Ta có (ab+cd)
2
(a
2
+c
2
)(b
2
+d
2
)
a
2
b
2
+c
2
d
2
+2abcd
a
2
b
2
+a
2
d
2
+b
2
c
2
+c
2
d
2
a
2
d
2
+b
2
c
2
-2abcd
0
(ad-bc)
2
0 đúng Rdcba
,,, => đpcm
Bài Tập:
A. Chứng minh các bất đẳng thức sau.
1. chứng minh rằng | x-y | + | y-z |
| x- z|
HD: |x-y|+|y-z|
|x-y+y-z|=|x-z| => đpcm
2. Cho x
2
+y
2
=1,CMR:
22 yx
HD: Bunhiacopxki 4 số a = 1, b = x, c = 1, d = y
(1.x+1.y)
2
(1
2
+1
2
)(x
2
+y
2
)
(x+y)
2
2
22 yx
3.Cho x+2y = 2 , CMR: x
2
+y
2
5
4
HD: Bunhiacopxki 4 số a = 1, b = x, c = 2, d = y
4. Với mọi số thực x, y, z . Chứng minh rằng:
2 2 2
2 y
xyz x z
HD: Đưa về hằng đẳng thức
5.Chứng minh rằng:
1
1 1 , a 1
a a
a
HD: bình phương
6.Tìm Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=
1 1
1
x x
với 0<x<1 HD: AD Côsi
7.Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là
những số thực tùy ý. CMR : a.
4 4 3 3
y y
x x y x
HD: Chuyển vế sau đó đặt nhân tử chung.
b.
2 2 2
4y 3 14 2 12 6
x z x y z
HD: Chuyển vế sau đó đặt nhân tử chung.
c.*
a b
a b
b a
HD:Quy đồg chuyển vế
d.
1 1 4
a b a b
HD: Cô si cho 2 số a,b và 1/a ,
1/b sau đó nhân vào
e.*
4
4
a b c d
abcd
(bđt Cô-si cho 4 số)
f.
1 1 1 1 16
a b c d a b c d
HD: Cô-si 4 số dương a, b, c, d và
1 1 1 1
, , ,
a b c d
g.
2
1
a 2
b a
b
HD: Cô-si 2 số dương a
2
b, 1/b
h.( )( )( ) 8
a b b c c a abc
HD: Cô-si cho a, b và b, c và c, a.
i.
2
2 2( )
a b a b ab
Hd: Khai triển rồi Cô-si
( )
a b
và 2
ab
2
j.
1 1 1 9
a b c a b c
HD: Cô-si 3 số dương a, b, c và
1 1 1
, ,
a b c
B.Chứng minh các bất đẳng thức sau.
1. Với x>3. Chứng minh
4
2
3
x
x
HD:
4 2 3
x x
Cô-si cho 1 và x+3
2.Với
2 2
y
1
4 9
x
. Chứng minh |x.y|≤3
HD: Cô-si cho
2
4
x
,
2
y
9
3.* Với a, b, c0 và a+b+c=1. CM: b+c 16abc
HD: b+c 2
bc
(b+c)
2
4bc (1)
a+(b+c)
2 ( )
a b c
1 4a(b+c) (2)
(1)x(2) ta được đpcm
4. Cho a, b, c, d 0.
CM: (abc+2)(bc+2)(a+d)(d+1) 32abcd
HD: Cô-si cho: abc và 2; bc và 2; a và d; d và 1
5. Cho a,b,c >0. CMR :
8)1)(1)(1(
a
c
c
b
b
a
HD: Cô-si cho
1, ; 1, ; 1,
a b c
b c a
6. Với a,b,c,d không âm.
CMR : (a+b)(b+c)(c+d)(d+a)
16abcd.
7.Cho a,b,c > 0. CMR : 2
b
ca ab
c
8. Cho a,b,c > 0. CMR : (a+b+c)(
c
b
a
111
)
9
9.Cho a,b > 0. CMR : (a+b)(
1 1
a b
)
4
10.Cho a,b,c > 0. CMR :
4
2
2
a bc
ab
c
HD:
4
2
2 2
2 2
a bc a
ab bc ab
c c
11.Cho a,b,c > 0 và a+b+c =1.
CMR : 64)
1
1)(
1
1)(
1
1(
c
b
a
13.Cho a > 1 . CMR :
2
1
a
a
HD: bình phương 2 vế
14.Cho a,b,c >0 . CMR :
1 1 1 1 1 1
a b c
ab bc ac
15.Chứng minh rằng nếu a > b > 0 thì
1 1
b a
16.
2 2 2
a , a,b,cb c ab bc ca
. Khi
nào dấu "=" (đẳng thức) xảy ra?
17.
2 2
a 0, ,b ab a b
. Khi nào dấu "="
(đẳng thức) xảy ra.?
18. i. (a+b+c)
2
3(a
2
+b
2
+c
2
) với mọi a,b,c
.
ii. a
2
b+ab
2
a
3
+b
3
, với a, b dương. Đẳng
thức xảy xảy ra khi nào ?
19. Cho hàm số f(x) = (x+3)(5-x) với
53
x
.
Xác định x sao cho f(x) đạt giá trị lớn nhất?
20. Tìm già trị nhỏ nhất của các hàm số sau
a. f(x)= 0x vôùi
x
3
x b.f(x)=
1
1
x
x với x > 1
21. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
y=
4 9
1
x x
với 0<x<1
HD:
4 9 4( 1 ) 9( 1 )
1 1
4(1 ) 9 4(1 ) 9
4 9 13 2 . 25
1 1
25 , x (0;1)
x x x x
y
x x x x
x x x x
x x x x
y
Đẳng thức xảy ra
4(1 ) 9
6
5
1
2
(0;1)
x x
x
x x
x
22.Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y= 4x
3
x
4
với 0≤ x ≤ 4
HD:
12 3
27 3
2 12 2
0 4
x x
x x
y x
x x
x
23.a
2
– 3a + 3 > 0 , aR
24.a
2
+ b
2
2ab , a, bR a
2
+3a +3 > 0 aR
25.a
2
+ b
2
+ 4 ab + 2(a +b) , a, bR
26.a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2
a(b +c + d + e) , a, b,
c, d, eR
27.
2
4
1
1 2
a
a R
a
, . Suy ra
2 2
4 4
1
1 1
a b
a b
, a, bR
28.
2
2 2 2
3 3
a b c a b c
, a, b, cR
29.a
3
+ b
3
ab(a+b) , a, b 0
30. a
3
b + ab
3
a
4
+ b
4
, a, bR
31. a
4
+ 16 2a
3
+ 8a , aR
32. ( )( )
a b c d ac bd
, a, b, c, d > 0
33.
a b
a b
b a
, a, b > 0
3
34.
2 2
3
2
a ab b a b
, a, bR
35.
1
1 1
a a
a
, a 1
36.
2 2 2
a b c
a b c
b c a
, a, b, c > 0
37. a
4
+ 2a
3
+3a
2
-12a +19 > 0 , aR
38.x
8
– x
5
+ x
2
– x + 1 > 0 , xR. Hd: BĐT
5 3
2 3
( 1) ( 1) 1 0
(1 ) (1 )
x x x x
x x x
8
neáu x 1
x neáu x <1
39. a/ Cho a > 0, b > 0, c > 0 . CMR:
i. Nếu 1
a a c
b b c
a
thì
b
ii. Nếu
1
a a c
b b c
a
thì
b
b/ Cho a > 0, b > 0, c > 0 . CMR:
1 2
a b c
a b b c c a
40.Cho a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam
giác. CMR:
a. a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab +bc +ca)
b. abc (a + b – c).(b + c – a).(c + a – b) > 0
41.Cho a + b = 1. CMR: a
2
+ b
2
1
2
42.Cho x + y + z = 1. CMR:
2 2 2
1
3
x y z
43.CMR: a.
2 5 7
x x
, xR
b.
1 2 3 6
x y x y
, x, yR
44.
4
4
a b c d
abcd
. (a, b , c, d 0)
45.
3
3
a b c
abc
. (a, b , c 0)
46.
1 1 1 9
a b c a b c
(a, b , c > 0)
47.
1 1 1
a b c
bc ca ab a b c
(a, b , c > 0)
48.
ab bc ca
a b c
c a b
(a, b , c > 0)
49.
2 2
1 1
2( )
x y x y
x y
(x , y > 0)
50.(a + b)(b+c)(c+a) 8abc (a, b , c 0)
51.
1 1 1 8
a b c
b c a
(a, b , c > 0)
52.(a + 2)(b + 8) (a + b) 32ab (a, b 0)
53.(1 –a)(1 – b)(1 – c) 8abc với a + b + c = 1 và
a, b, c 0
54.
1 1
1 1 9
x y
với x+y =1 và x , y > 0.
55. (a + 2) (b + 8) 36 với ab = 4 và a, b > 0
56. 1 1
a b b a ab
a, b 1
57.
4 1 4 1 4 1 5
a b c
với a + b + c = 1 và a, b, c -
1
4
58. (ab +by)
2
(a
2
+ b
2
)(x
2
+y
2
) ,a, b, x, yR.
Dấu bằng xảy ra khi nào?
59.
2 3 13
x y với x
2
+ y
2
= 1
60. 3 2
x y
2 với 9x
2
+ 4y
2
= 1
61.
2 3 35
x y với 2x
2
+ 3y
2
= 7
62.
2 2
1
4 9
8
x y
biết 4x + 6y = 1.
Dấu bằng xảy ra khi nào?
63.
2 2
9
4 3
7
x y
biết 4x - 3y = 3.
Dấu bằng xảy ra khi nào?
64.Tìm GTLN của hàm số sau:
1. y = (x + 5)(7 – x) với -5 x 7
(maxy = 36 khi x = 1)
2. y = (2x - 3)(10 – 3x) với
3 10
2 3
x
3. y =
4
2
x
x
với x 4 (maxy =
1
8
khi x = 8)
4. y = x +
2
8
x
(maxy = 4 khi x = 2)
5.y =
5 8
2 5
x
x
với x > -5(miny = 4 khi x = -1)
6. y =
9
2
x
x
với x > 2 (miny = 8 khi x = 5)
7. y =
2
2
9
x
x
với x 0 (miny = 6 khi x =
3
)
8. y =
4
2
1
x
x
với x 0 (miny = 2 khi x = 1)
9. y =
(4 )(1 )
x x
x
với x > 0(miny = 9 khi x = 2)
10. y =
2 4
x x
(miny = 2 khi 2 < x < 4)
11. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
S = xy + yz + zx biết x
2
+ y
2
+ z
2
= 1
4
BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC NÂNG CAO ( Ôn Thi ĐHCĐ)
1. Cho a,b,c,d > 0
a. nếu a < b thì
a
b
<
a + c
b + c
b. nếu a > b thì
a
b
>
a + c
b + c
c. 1 <
a
a + b
+
b
b + c
+
c
c + a
< 2
d. 2 <
a + b
a + b + c
+
b + c
b + c + d
+
c + d
c + d + a
+
d + a
d + a + b
< 3
2. Cho
a
b
<
c
d
và b,d > 0,CM:
a
b
<
a + c
b + d
<
c
d
3. Chứng minh rằng a , b ,c
a) a
2
– ab + b
2
≥ ab b) a
2
+ 9 ≥ 6a c) a
2
+ 1 > a
d) (a
3
– 1)(a – 1) ≥ 0 e) 2abc a
2
+ b
2
c
2
f) (a + b)
2
≥ 4ab g) a
2
+ ab + b
2
≥ 0
h) a
4
+ b
4
≥ a
3
b + ab
3
i) 4ab(a – b)
2
(a
2
– b
2
)
2
j) a
2
+ 2b
2
+ 2ab + b + 1 > 0
k)
a
b
+
b
a
≥ a + b m)
a
2
1 + a
4
1
2
l) 2 + a
2
(1 + b
2
) ≥ 2a(1 + b)
n) (
a + b
2
)
2
a
2
+ b
2
2
o)
a
2
+ b
2
+ c
2
3
≥ (
a + b + c
3
)
2
p)
a
2
4
+ b
2
+ c
2
≥ ab – ac + 2bc
q) a
4
+ b
4
+ c
2
+ 1 ≥ 2a(ab
2
– a + c + 1)
r) a
4
+ b
4
+ c
2
+ 1 ≥ 2a(ab
2
– a + c + 1)
s) 2a
2
+ 4b
2
+ c
2
≥ 4ab + 2ac
t) a
2
+ ab + b
2
≥
3
4
(a + b)
2
u) a + b + 2a
2
+ 2b
2
≥ 2ab + 2b a + 2a b
v) (a + b + c)
2
≤ 3(a
2
+ b
2
+ c
2
)
4.Cho a ,b [– 1;1] . CM : |a + b| |1 + ab|
a)CM: nếu x ≥ y ≥ 0 thì
x
1 + x
≥
y
1 + y
b)CM: với hai số a và b tùy ý ta có
|a – b|
1 + |a – b|
≤
|a|
1 + |a|
+
|b|
1 + |b|
5.Cho a ≥ 2 , b ≥ 2. CM : ab ≥ a + b
6.Cho x ≥ 0,CM: x
4
– x
5
+ x – x + 1 > 0
7. Cho ba số a ,b ,c [0;1],
CM : a + b + c – ab – bc – ca 1
8.Cho 0 < a b c .
CM : b(
1
a
+
1
c
) +
1
b
(a + c) (
1
a
+
1
c
)(a + c)
9. Cho a > b > 0 và c ≥ ab .
CM:
c + a
c
2
+ a
2
≥
c + b
c
2
+ b
2
10. Cho a + b + c 0. CM:
a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc
a + b + c
≥ 0
11. Cho ba số dương a ,b ,c CMR:
1
a
3
+ b
3
+ abc
+
1
b
3
+ c
3
+ abc
+
1
c
3
+ a
3
+ abc
1
abc
12. Cho các số a,b,c,d thoả a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0.
CM: a) a
2
– b
2
+ c
2
≥ (a – b + c)
2
b) a
2
– b
2
+ c
2
– d
2
≥ (a – b + c – d)
2
13.a) Cho a.b ≥ 1,CMR
1
1 + a
2
+
1
1 + b
2
≥
2
1 + ab
b) Cho a ≥ 1, b ≥ 1 .
CMR:
1
1 + a
3
+
1
1 + b
3
+
1
1 + c
3
≥
3
1 + abc
c) Cho hai số x ,y thoả x + y ≥ 0.
CMR:
1
1 + 4
x
+
1
1 + 4
y
≥
2
1 + 2
x+y
14. a,b,c,d CMR:
a) a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
≥ (a + c)
2
+ (b + d)
2
b.
1<
a
a + b + c
+
b
a + b + d
+
c
b + c + d
+
d
a + c + d
<2
15. Cho a ,b ,c là độ dài các cạnh của một tam
giác ,CMR:
a)
a
b
+
b
c
+
c
a
–
a
c
–
c
b
–
b
a
< 1
b) abc < a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca)
c) a(b – c)
2
+ b(c – a)
2
+ c(a – b)
2
> a
3
+ b
3
+ c
3
*d) a
3
(b
2
– c
2
) + b
3
(c
2
– a
2
) + c
3
(a
2
– b
2
) < 0
*e) (a + b + c)
2
9bc với a b c
*f) (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc
16. Cho hai số a ,b thoả a + b ≥ 2
CMR : a
4
+ b
4
≥ a
3
+ b
3
17. Cho a ,b ,c ≥ 0 CMR:
a) a
3
+ b
3
+ c
3
≥ 3abc
b) a
3
b + b
3
c + c
3
a ≥ a
2
bc + b
2
ca + c
2
ab
c) a
3
(b
2
– c
2
) + b
3
(c
2
– a
2
) + c
3
(a
2
– b
2
) < 0
18*. Cho a ,b ,c là độ dài 3 cạnh một tam giác,với
a b c
CMR: (a + b + c)
2
9bc
19*. Cho tam giác ABCCMR:
aA + bB + cC
a + b + c
≥
3
20*. Cho a ,b ,c [0;2] .
CMR: 2(a + b + c) – (ab + bc + ca) 4
21.CMR :
1
1.2
+
1
2.3
+
1
3.4
+ …+
1
n(n + 1)
< 1
n N
22.CMR :
1
2!
+
2
3!
+
3
4!
+ …+
n – 1
n!
< 1
n N n ≥ 2
5
23.Cho ba số dương a ,b ,c thoả mãn: ab + bc +
ca = 1 . CMR: 3 a + b + c
1
abc
24.Cho 3 số a, b, c thoả mãn a + b + c = 3. CMR:
a) a
2
+ b
2
+ c
2
≥ 3
b) a
4
+ b
4
+ c
4
≥ a
3
+ b
3
+ c
3
Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si)
1.Cho hai số a ≥ 0 , b ≥ 0 CMR:
a)
a
b
+
b
a
≥ 2 a , b > 0 b) a
2
b +
1
b
≥ 2a b > 0
c)
2a
2
+ 1
4a
2
+ 1
≥ 1 d) a
3
+ b
3
≥ ab(a + b)
e) a
4
+ a
3
b +ab+ b
2
≥ 4a
2
b f) (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab
g) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + ab )
2
h)
a
2
a
4
+ 1
1
2
i)
1
a
+
1
b
≥
4
a + b
j) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + ab )
2
k)
1
a
+
1
b
+
1
c
≥
2
a + b
+
2
b + c
+
2
c + a
l)
a
2
+ 2
a
2
+ 1
≥ 2 m)
a
6
+ b
9
4
≥ 3a
2
b
3
– 16
o)
a
2
+ 6
a
2
+ 2
≥ 4 p)
a
2
b
2
+
b
2
c
2
+
c
2
a
2
≥
a
c
+
c
b
+
b
a
2/ Cho a > 0 CMR : (1 + a)
2
1
a
2
+
2
a
+ 1 ≥ 16
3/ Cho 3 số a ,b ,c > 0 tùy ý . CMR:
a) a
2
b +
1
b
≥ 2a
b) a + b + c ≤
1
2
( a
2
b + b
2
c + c
2
a +
1
a
+
1
b
+
1
c
)
4/ Cho 0 < a < b CMR: a <
2
1
a
+
1
b
< ab <
a +b
2
5/ Cho hai số a ≥ 1, b ≥ 1
CMR: a b – 1 + b a – 1 ab
6/ Cho các số a,b,c ≥ 0 Chứng minh rằng :
a) ab +
c
b
≥ 2 ac (b 0)
b) a + b + c ≥ ab + bc + ca
c) (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) ≥ 16abc
d) ( a + b )
2
≥ 2 2(a + b) ab
e) a
2
+ b
2
+ c
2
≥ ab + bc + ac
f) a
2
+ b
2
+ c
2
≥
1
3
(a + b + c)
2
g) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(a + c) ≥ 6abc
h) a
2
+ b
2
+ 1 ≥ ab + a + b
i) a
2
+ b
2
+ c
2
≥ 2(a + b + c) – 3
i) (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 +
3
abc )
3
7/ CMR: x (0; /2) ta có:
cosx + sinx + tgx + cotgx +
1
sinx
+
1
cosx
> 6
8/ Cho 3 số a ,b ,c thoả a + b + c = 1.
CMR : a
4
+ b
4
+ c
4
≥ abc
9/ Cho 3 số a,b,c không âm,CMR:
a)(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc
b)
bc
a
+
ac
b
+
ab
c
≥ a + b + c
c) (
a
b
+
b
a
)(
a
c
+
c
a
)(
c
b
+
b
c
) ≥ 8
d) (1 +
a
b
)(1+
b
c
)(1+
c
a
) ≥ 8
e) (a + b + c)(
1
a
+
1
b
+
1
c
) ≥ 9
f) (a + b + c)(
1
a + b
+
1
b + c
+
1
c + a
) ≥
9
2
g)
a + b
c
+
b + c
a
+
c + a
b
≥ 6
h)
a
b+ c
+
b
c + a
+
c
a + b
≥
3
2
i) 3a
3
+ 7b
3
≥ 9ab
2
j) 3a + 2b + 4c ≥ ab + 3 bc + 5 ac
k)
a + b + c + 6
2
≥ a + b + 1 + c + 2
10/ Cho 4 số dương a ,b ,c ,d ,CMR:
a) (ab + cd)(
1
ac
+
1
bd
) ≥ 4
b) a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
≥ (a + b)(c + d)
c)
1
ab
+
1
cd
≥
8
(a + b)(c + d)
d)
(a
2
+ 1)(b
2
+ 2)(c
2
+ 4)(d
2
+ 8) ≥ (ac + 2)
2
(bd + 4)
2
e)
1
a
+
1
b
+
1
c
≥
9
a + b + c
f)
1
a
+
1
b
+
1
c
+
1
d
≥
16
a + b + c + d
g)
a
6
+ b
9
4
≥ 3a
2
b
3
– 16 h)
(abc + 1)(
1
a
+
1
b
+
1
c
)(
a
c
+
c
b
+
b
a
) ≥ a + b + c + 6
11/ Cho hai số dương a và b. CMR:
(1 +
a
b
)
n
+ (1 +
b
a
)
n
≥ 2
n+1
n N
12/ Cho a + b = 1,Chứng minh rằng :
a. ab
1
4
b. a
2
+ b
2
≥
1
2
c. a
4
+ b
4
≥
1
8
d. a
3
+b
3
≥
1
4
13/*.Cho a > b và ab = 1 CMR:
a
2
+ b
2
a – b
≥ 2 2
14/*. CMR: –
1
2
(a + b)(1 – ab)
(1 + a
2
)(1 + b
2
)
1
2
6
15/ a) CMR: nếu b > 0 , c > 0 thì :
b + c
bc
≥
4
b + c
b)Sử dụng kết quả trên CMR nếu a ,b ,c là ba
số không âm có tổng
a + b + c = 1 thì b + c ≥ 16abc
16/ Cho a + b = 1,CMR: (1 +
1
a
)(1+
1
b
) ≥ 9
17/ Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1 . CMR:
a) (1 +
1
a
)(1+
1
b
)(1+
1
c
) ≥ 64
b) (a + b)(b + c)(c + a)abc
8
729
18*.Cho 4 số a ,b ,c ,d > 0 thoả mãn
1
1 + a
+
1
1 + b
+
1
1 + c
+
1
1 + d
≥ 3
CMR: abcd
1
81
19/ Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
a) ab + bc + ca < a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca)
b) abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)
c) (p – a)(p – b)(p – c)
abc
8
d)
1
p – a
+
1
p – b
+
1
p – c
≥ 2(
1
a
+
1
b
+
1
c
)
e) p < p – a + p – b + p – c < 3p
20/.Cho 3 số a ,b ,c ≥ 0 ,thoả mãn a.b.c = 1.
CMR : (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8
21/. Cho 3 số x, y, z thoả mãn: x
2
+ y
2
+ z
2
= 1.
CMR: – 1 ≤ x + y + z + xy + yz + zx ≤ 1 + 3
23/ .Cho n số dương a
1
,a
2
,….,a
n
. CMR:
a)
a
1
a
2
+
a
2
a
3
+ … +
a
n
a
1
≥ n
b) (a
1
+ a
2
+ … + a
n
)(
1
a
1
+
1
a
2
+ …+
1
a
n
) ≥ n
2
c) (1+ a
1
)(1+ a
2
)…(1+ a
n
) ≥ 2
n
với a
1
.a
2
….a
n
= 1
24/ Cho n số a
1
,a
2
,….,a
n
[0;1] CMR:
(1 + a
1
+ a
2
+ …+ a
n
)
2
≥ 4(a
1
2
+ a
2
2
+ …+ a
n
2
)
25/ Cho a > b > 0 , CMR : a +
1
b(a – b)
≥ 3
26/ Cho hai số a ≥ 0 ; b ≥ 0 . CMR:
a) 2 a + 3
3
b ≥ 5
5
ab
b)
17125
ab17b12a5
c)
a
6
+ b
9
4
≥ 3a
2
b
3
– 16
27/ CMR: 1.3.5….(2n – 1) < n
n
28*.Cho ba số không âm a ,b ,c . CMR:
a + b + c ≥
knm
nmk
knm
mkn
knm
knm
cbacbacba
29*.Cho 2n số dương a
1
,a
2
,….,a
n
và b
1
,b
2
,….,b
n
. CMR:
n
a
1
.a
2
a
n
+
n
b
1
.b
2
b
n
n
(a
1
+ b
1
)(a
2
+ b
2
)….(a
n
+ b
n
)
30/ CMR:
4
(a + 1)(b + 4)(c – 2)(d – 3)
a + b + c + d
≤
1
4
a ≥ – 1 , b ≥ – 4 , c ≥ 2 ,d > 3
31/*. n N CMR:
a) 1
.
1
2
2
.
1
3
3
.
1
4
4
…
1
n
n
<
2
)1n(n
1n
2
b) 1.2
2
.3
3
.4
4
…n
n
<
2
)1n(n
3
1n2
32/*.Cho m,n N ;m > n . CMR :
( 1 +
1
m
)
m
> ( 1 +
1
n
)
n
33/*.Cho x
1
,x
2
,…x
n
> 0 và x
1
+ x
2
+ ….+ x
n
= 1
CMR: (1 +
1
x
1
)(1+
1
x
2
)…(1+
1
x
n
) ≥ (n + 1)
n
34/*.Cho các số x
1
,
x
2
,y
1
,
y
2
,
z
1
,
z
2
thoả mãn x
1
.x
2
> 0 ; x
1
.z
1
≥ y
1
2
; x
2
.z
2
≥ y
2
2
CMR : (x
1
+ x
2
)(z
1
+ z
2
) ≥ (y
1
+ y
2
)
2
35/*.Cho 3 số a ,b ,c (0;1). CMR: trong 3 bất
đẳng thức sau phải có một bất đẳng thức sai.
a(1 – b) > 1/4 (1) ; b(1 – c) > 1/4 (2) ;
c(1 – a) > 1/4 (3)
36/*.Cho 3 số a,b,c > 0. CMR:
2 a
a
3
+ b
2
+
2 b
b
3
+ c
2
+
2 c
c
3
+ a
2
1
a
2
+
1
b
2
+
1
c
2
37/** Cho x ,y ,z [0;1] ,CMR :
(2
x
+ 2
y
+ 2
z
)(2
– x
+ 2
– y
+ 2
– z
)
81
8
38/*.Cho a , b , c > 1. CMR:
a) log
2
a + log
2
b 2 log
2
a + b
2
b) 2
log
b
a
a + b
+
log
c
b
b + c
+
log
a
c
c + a
≥
9
a + b + c
39/ Cho a ,b ,c > 0. CMR:
a)
a
b + c
+
b
c + a
+
c
a + b
≥
3
2
b)
a
2
b + c
+
b
2
c + a
+
c
2
a + b
≥
a + b + c
2
c)
a + b
c
+
b + c
a
+
c + a
b
≥ 6
d)
a
3
b
+
b
3
c
+
c
3
a
≥ ab + bc + ca
e) (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
) ≥ 9abc
f)
bc
a
+
ac
b
+
ab
c
≥ a + b + c
7
g)
a
2
b + c
+
b
2
c + a
+
c
2
a + b
≥
a + b + c
2
≥
ab
a + b
+
bc
b + c
+
ca
c + a
40/ Cho ba số a ,b ,c tuỳ ý . CMR:
a
2
(1 + b
2
) + b
2
(1 + c
2
) + c
2
(1 +ab
2
) ≥ 6abc
41/ Cho a ,b ,c > 0 thoả :
1
a
+
1
c
=
2
b
.
CMR:
a + b
2a – b
+
c + b
2c – b
≥ 4
42/ Cho 3 số a, b, c thoả a + b + c ≤ 1.
CMR: a)
1
a
+
1
b
+
1
c
≥ 9
b)
1
a
2
+ 2bc
+
1
b
2
+ 2ac
+
1
c
2
+ 2ab
≥ 9
43/ Cho a ,b ,c > 0 thoả a + b + c k. CMR:
(1 +
1
a
)(1 +
1
b
)(1 +
1
c
) ≥ (1 +
3
k
)
3
44/ Cho ba số a ,b ,c 0. CMR:
a
2
b
2
+
b
2
c
2
+
c
2
a
2
≥
a
b
+
b
c
+
c
a
45/ Cho tam giác ABC, CMR:
a) h
a
+ h
b
+ h
c
≥ 9r
b)
a – b
a + b
+
b – c
b + c
+
c – a
c + a
<
1
8
Dùng tam thức bậc hai
1/ x , y R CMR:
a. x
2
+ 5y
2
– 4xy + 2x – 6y + 3 > 0
b. x
2
+ 4y
2
+ 3z
2
+ 14 > 2x + 12y + 6z
c. 5x
2
+ 3y
2
+ 4xy – 2x + 8y + 9 ≥ 0
d. 3y
2
+ x
2
+ 2xy + 2x + 6y + 3 ≥ 0
e. x
2
y
4
+ 2(x
2
+ 2)y
2
+ 4xy + x
2
≥ 4xy
3
f. (x + y)
2
– xy + 1 ≥ 3 (x + y)
g. 3
x
2
y
2
+
y
2
x
2
– 8
x
y
+
y
x
+ 10 ≥ 0
h. (xy + yz + zx)
2
≥ 3xyz(x + y + z)
2/ Cho 4 số a ,b ,c ,d thoả b< c < d .
CMR: (a + b + c + d)
2
> 8(ac + bd)
3/ CMR: (1 + 2
x
+ 3
x
)
2
< 3 + 3.4
x
+ 3
2x+1
4/ Cho ax + by ≥ xy , x,y > 0. CMR: ab ≥ 1/4
5*/ Cho – 1 x
1
2
và –
5
6
< y <
2
3
,
CMR: x
2
+ 3xy + 1 > 0
6**/ Cho a
3
> 36 và abc = 1.
Xét tam thức f(x) = x
2
– ax – 3bc +
a
2
3
a) CMR: f(x) > 0 x
b) CMR:
a
2
3
+ b
2
+ c
2
> ab + bc + ca
7/ Cho hai số x , y thoả mãn: x y .
CMR: x
3
– 3x y
3
– 3y + 4
Tìm Giá trị nhỏ nhất của các hàm số :
a) y = x
2
+
4
x
2
b) y = x + 2 +
1
x + 2
với x > – 2
c) y = x +
1
x – 1
với x > 1
d) y =
x
3
+
1
x + 2
với x > – 2
e) y =
x
2
+ x + 1
x
với x > 0
f) y =
4
x
+
9
1 – x
với x (0;1)
8/ Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau:
a. y = x(2 – x) 0 x 2
b. y = (2x – 3)(5 – 2x)
3
2
x
5
2
c. y = (3x – 2)(1 – x)
2
3
x 1
d. y = (2x – 1)(4 – 3x)
1
2
x
4
3
e. y = 4x
3
– x
4
với x [0;4]
11/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,trên các tia Ox
và Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao
cho đường thẳng AB luôn luôn tiếp xúc với đường
tròn tâm O bán kính R = 1. Xác định tọa độ của A
và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất
12/*.Cho a ≥ 3 ; b ≥ 4 ; c ≥ 2 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A =
ab c – 2 + bc a – 3 + ca b – 4
abc
13/* Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số y = x – 1 + 5 – x
8
Bất phương trình bậc nhất
A. Lý thuyết.
Các dạng cơ bản của bất phương trình căn thức:
BA
A
BA
0
;
BA
A
BA
0
2
0
0
BA
B
A
BA ;
2
0
0
BA
B
A
BA
2
0
0
0
BA
B
B
A
BA ;
2
0
0
0
BA
B
B
A
BA
BABA
33
Bất phương trình ax+b > 0
Từ bất phương trình ax+b > 0 ax > -b (1)
Biện luận:
+ Nếu a = 0 => (1) 0x > -b
. nếu b > 0 => bpt VSN
. nếu b
0 => bpt VN
+ Nếu a > 0 => bpt có nghiệm x >
a
b
+ Nếu a < 0 => bpt có nghiệm x <
a
b
VD: giải và biện luận bpt: (m-1)x -2+3m > 0 (1)
HD: (1) (m-1)x > 2-3m (2)
Nếu m-1= 0 m=1 (2) 0x > -1 => bptVSN
. Nếu m-1> 0 m > 1 => bpt có ng x >
1
32
m
m
. Nếu m-1 < 0 m < 1 => bpt có ng x <
1
32
m
m
KL. m =1 bpt VN
. m > 1 bpt có nghiệm x >
1
32
m
m
. m < 1 bpt có nghiệm x <
1
32
m
m
B. BÀI TẬP
1. Giải btp sau:
a)
(2 3)( 1)
x x x x
b)
( 1 3)(2 1 5) 1 3
x x x
c)
2
( 4) ( 1) 0
x x
d)
2
( 2) ( 3) 0
x x
e) 2(x1)+x >
3
3
3
x
f)
2 2
( 2) ( 2) 2
x x
g) x(7x)+6(x1)<x(2x)
h)
2 2 1
3
2 3 4 2
x x x x
k)
( 2) 3 4 0
x x x
l)
( 2) 3 4 0
x x x
m)
2
( 1) ( 2) 0
x x
n)
2 8 4 21 0
x x
2.Giải các hệ bất phương trình sau.
a)
3 5 2 1
4 1 3 2
x x
x x
b)
4 7 8
2 3 12
x x
x x
c)
5 2 4 5
5 4 2
x x
x x
d)
2 1 3 4
5 3 8 9
x x
x x
e)
8 3 15
8 5 6 7
2 4 5 3
x x
x x
x x
f)
1 2
2
2 3 6
4 3 2 5
x x x
x x
g)
6 5 2 4
6 2 4 3
3 2
x x
x x
h)
3 3(2 7)
2
5 3
1 5(3 1)
2 2
x
x
x
x
i)
3 1 3 1 2 1
2 3 4 3
2 1 4
3
5 3
x x x x
x
x
3. Tìm điều kiện của các bpt sau: a.
2 2
1 2 1
4 ( 1)
x x
x x
b.
3
2
2
5 3
3 4
x
x
x x
4. CMR các bpt sau vô nghiệm:
a/
2
1 1
x x
b/
2 7 2
x x
c/
4 2
8 ( 1)( 3)
x x
x x x
d/
1
1 2
1
x
x
9
5/Giải các bpt sau: a.
( 3) 1
5
1
x x
x
b. x
2
> x c.
4 2
x x
d.
1
1
x
6/ Giải và biện luận bất phương trình sau:
a. mx + 4 > 2x – m b. m(x-1) ≤ x + 3m
7/ Tìm k để hai bất phương trình sau tương đương:
a/ 3x + 2 > x – 5 và 4x + k > 2x – 5 b/ 2x +3 ≤ x + 6 và 5x – 1 ≤ 3x + 2
8/ Tìm m để hệ bpt sau có nghiệm:
2 4
(1 ) 4
x x
m x m
(ĐS: m<1)
9/ Tìm m để hệ bpt sau vô nghiệm:
a.
4
3 1 5 2
x m
x x
b.
2 5 2
2 3
x x
mx m
10/ Tìm m để hệ bpt sau có nghiệm duy nhất :
5 3 1
3 2 3
x m x
x x m
(ĐS: m=
1
7
)
Dấu của nhị thức bậc nhất f(x) = ax+b (a
0)
x -
-b/a +
f(x) Trái dấu a 0 Cùng dấu a
Chú ý : Xét biểu thức dạng tích hoặc thương các
nhị thức bậc nhất:
(ax+b)(cx+d)…(fx+k);
))((
)) ()((
mkxhgx
fexdcxbax
ta xét dấu tất cả các nhị thứ bậc nhất trên cùng
một bảng xét dấu.
Các bước xét dấu biểu thức :
B1 : Đưa biểu thức đã cho về dạng ax+b hoặc
dạng tích hoặc thương các nhị thức bậc nhất.
B2 : Tìm nghiệm các nhị thức bậc nhất.
B3 : Xét dấu tất cả các nhị thức trên cùng một
bảng xét dấu.
B4 : Tổng hợp => kết luận.
Giải bất phương trình bậc nhất
B1 : Đưa bất phương trình về dạng f(x)>0 hoặc
f(x)<0 hoặc f(x)
0 hoặc f(x)
0.
B2 : Xét dấu biểu thức f(x).
B3 : Kết hợp với chiều của bất phương trình =>
tập nghiệm.
Giải hệ gồm 2 bất phương trình bậc nhất dạng
(2) pt Baát
(1) pt Baát
(I)
B1 : Giải bất phương trình (1) => Tập nghiệm S
1
.
B2 : Giải bất phương trình (2) => Tập nghiệm S
2
.
B3 : Tập nghiệm S của hệ (I) là S = S
1
S
2
.
BÀI TẬP
A. Xét dấu các biểu thức sau:
1. f(x)= (2x1)(x+3) 2. f(x)= (3x3)(x+2)(x+3) 3. f(x)=
4 3
3 1 2
x x
4. f(x)= 4x
2
1 5. f(x)=
2 1
( 1)( 2)
x
x x
6. f(x)=(2x+3)(x2)(x+4) 7. f(x)=
3 1
2 1 2
x x
8. f(x)=(4x1)(x+2)(3x5)(2x+7) 9. G=(3x1)(x+2)
10. H=
2 3
5 1
x
x
11. K= (x+1)(x+2)(3x+1) 12. L=
2
2
3 2
x
x
13. M= 9x
2
1 14. N= x
3
+7x6
15. O= x
3
+x
2
5x+3 16. P=x
2
x
2 2
17. Q=
1 1
3 3
x x
18. R=
2
2
6 8
8 9
x x
x x
19. S=
2
4 2
4 4
2
x x
x x
20. T=
2
| 1 | 1
1
x
x x
B. Giải các bất phương trình sau
10
1. |5x4| 6 2.
5 10
2 1
x x
3. |2x1|≤ x+2 4. |x1|≤ 2+x4|+x2 5.
3
1
2
x
6.
2
2
3
1
4
x x
x
7.
1 1 1
1 2 2
x x x
8. |x3| > 1 9. |58x|≤ 11 10. |x+2|+|2x+1| ≤ x+1 11. (
2
x+2)(x+1)(2x3)>0
12.
4 1
3
3 1
x
x
13. |x+1|+|x1|=4 14.
| 2 1| 1
( 1)( 2) 2
x
x x
15. |5+x|+|x3|=8 16. |x
2
5x+6|=x
2
5x+6
17. |2x1|= x+2 18. |x+2|+|x1|=5 19. |3x5|<2 20.
2
2
1
x
x
21. |x2|>2x3 22. |x+1|≤ |x|x+2
23. 021
2
xx 24.
xx 4752
25.
;1245 xx
26. 62634
2
xxxx
27.
1
23
4
2
2
xx
xx
28. xx 218 29. xx 524 30. xx 23131
2
31. 25
2
xx
32. 4223
2
xxx 33. 132
2
xxx 34. 1
2
43
x
x
35. 1
2
52
x
x
36.
1
2
5
1
2
x
x
37.
x
x
2
3
1
3
4
38. | 2x-5 |
x+1 39. | 2x+1 | < x 40. | x-2 | > x+1 41. | x+2 |
x+1
43.
4
3
5)32(2
2
815
58
xx
x
44.
5
4
83
3
7
54
x
x
x
x
45.
19234
7213
xx
xx
46.
0
1
)42)(2(
1
1
32
x
xx
x
x
47.
4
1
2
0
12
1
2
xxx
x
x
48.
22
)23()195(
2
1
2
1
xx
xx
49.
52
23
23
52
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
50.
0
2
)2)(23)(1(
0)5)(3)(2(
2
x
xxx
xxx
51.
0
9
)23)(4(
0
12
)31)(4(
2
2
x
xx
x
xxx
52.
0
12
)1(3
1
21
1
2
1
1
2
32
x
xx
x
x
xx
x
53.
)1(2
1
23
0)259)(15(
2
2
x
x
xx
xx
54.
0132
0)3()2(
2
2
xx
xx
55.
0)2)(1(
0)1(
2
xx
x
56.
52
3
12
2
2
1
12
2
x
x
x
x
x
x
x
x
57.
12
2
13
2
3
1
52
2
x
x
x
x
x
x
xx
58.
0
)2()7(
)6()2()1(
2
13
23
23
2
xx
xxx
x
x
xx
59.
4
2
9
3
2
4
x
x
x
x
60.
12
4
32
2
4
1
42
2
x
x
x
x
x
x
xx
61. 1
4
45
2
2
x
xx
62. 2x
2
- 5x + 2 > 0 63. (x-2)
2
(x-4) < 0 64. -4 + x
2
0 65. 25(x+10)(-x+1)
0 66. 16x
2
+ 40x + 25 < 0
67. 0
)1(
10
xx
68.
9
15
3
4
3
2
2
x
x
x
x
69. 1
9
12
18
1
xx
70. 0
)23)(2(
25
xx
71.
1
2
2
1
1
x
x
72. 0
1
3
2
2
3
2
1
x
x
73. 1
2
3
2
1
x
x
x
74.
1
1
2
1
2
x
xx
x
11
C. Giải và biện luận bất phương trình
1. mx+4>2x+m
2
2. 2mx+1 x+4m
2
3. x(m
2
1) < m
4
1 4. 2(m+1)x ≤ (m+1)
2
(x1) 5. (2x
2
)(xm)>0
6.
3
0
2 1
x
x m
7.
( 5)( 7 2 ) 0
0
x x
x m
8.
2 5
1 2 1
0
x x
x m
9. m(x-m)
x-1 10. mx+6 > 2x+3m
11. (m+1)x + m < 3x+4 12. | 2x-1 | = x+m 13. | x-1 | =x+m 14. (m +1)
2
x > 2mx + m 15. m
2
x-1 > x+m
16. (m
2
+m)x - m
2
- 2m
0 17. (m+1)x
2m(x+1)+2+x. 18.
1m
1mx
1-m
1mx
m
1
19.
2)x(m
1m
1x
1m
1-x
x
m
-1.
D. Các Dạng Khác.
1. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm:
a) m
2
x+4m-3 < x+m
2
b) m
2
x+1
m+(3m-2)x
2. Tìm các nghiệm nguyên của hệ các bất phương trình sau:
a)
252
2
38
74
7
5
6
x
x
xx
b)
2
143
)4(2
3
1
2215
x
x
xx
3. Tìm số nguyên lớn nhất thoả mãn hệ bất phương trình:
9
54
12
1
18
14
3
2
35
1
8
)2(3
4
13
xxx
xxx
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
I/ Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Định nghĩa: là những bất phương trình có dạng
ax+by+c > 0 ; ax+by+c < 0 ,trong đó a,b,c
R
,
a
2
+b
2
0
.
2. Cách giải : để giải bpt ax+by+c > 0 ta vẽ đồ thị
của đường thẳng ax+by+c = 0. Khi đó:
+ Nếu đường thẳng không đi qua gốc toạ độ thì
ta thay góc toạ độ (0;0) vào vế trái bất phương
trình để xác định miền nghiệm.
+ Nếu đường thẳng đi qua góc toạ độ thì ta lấy
một điểm bất kì trong mặt phẳng thay vào vế trái
bất phương trình để xác định miền nghiệm.
VD: Giải các bất phưng trình sau:
a) x-3y < -3 x-3y+3 < 0 (1)
Vẽ đường thẳng x-3y+3= 0
Thay O(0;0) vào (1) 3<0 O(0;0) không thỏa
(1) ta gạch bỏ phần chứa gốc toạ độ. Miền
không gạch là miền nghiệm .
b) x-2y > 0
vẽ đồ thị đường thẳ x-2y = 0 , thay (0;1) vào vế
trái ta được
VT= -2 > 0 (!) => miền chứa (0;1) không phải là
miền nghiệm.
12
II. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Định nghĩa: là hệ có từ hai bất phương trình
bậc nhất hai ẩn trở lên.
2. Cách giải: để giải hệ bất phương trình bậc
nhất hai ẩn ta giải từng bất phương trình trong hệ
rồi biểu diễn
chúng lên
cùng một hệ
trục toạ độ, miền còn trống là miền nghiệm của
hệ bất phương trình.
VD1: giải hệ
(3) 5
(2) 33
(1) 0
yx
yx
yx
HD: Ta vẽ các đường
thẳng (d1): x-y= 0
(d2): x-3y+3= 0 (d3): x+y-5= 0
Miền I là miền nghiệm.
VD2: Giải hệ
0
0
0
x
y
x y
Vẽ các đường thẳng :
(d1): x= 0 (d2): y= 0 (d3): x+y= 0
Bài Tập 1: Giải các bất phương trình bậc nhất hai ẩn
1. x+3 +2(2y+5) < 2(1-x) 2. 4(x-1) + 5(y-3) > 2x-9 3. 2x-y≤ 3 4. 3+2y >0 5. 2x-1<0 6. x-5y < 2
7. 2x+y> 1 8. -3x+y+2 ≤ 0 9. 2x-3y+5 ≥ 0
Bài tập 2: Giải các hệ bất phương trình hai ẩn
1.
5
33
0
yx
yx
yx
2.
0
4
2
3
)1(2
01
32
x
y
x
yx
3.
6
82
3
93
y
xy
yx
yx
5.
3 0
2 3 1 0
y
x y
Bài Tập 3: Gọi S là tập hợp các điểm trong mặt phẳng toạ độ Oxy có toạ độ thoả mãn hệ bất phương trình:
0
5
22
22
x
yx
yx
yx
.Tìm các điểm của S làm cho biểu thức F = y-x đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài Tập 4: Gọi S là tập hợp các điểm trong mặt phẳng toạ độ Oxy có toạ độ thoả mãn hệ bất phương trình:
2 0
1 0
2 1 0
x y
x y
x y
.Tìm các điểm của S làm cho biểu thức F =2x+3y đạt giá trị max, min.
13
DẤU TAM THỨC BẬC HAI
I/ Tam thức bậc hai
1. Định nghĩa: Tam thức bậc hai là biểu thức
có dạng f(x) = ax
2
+bx+c (a
0).
2. Định lý (về dấu tam thức bậc hai)
Cho tam thức bậc hai f(x)= ax
2
+bx+c (a
0) và
= b
2
-4ac
+ Nếu
< 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a
x.
+ Nếu
= 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với
a
b
2
.
+ Nếu
> 0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x
1
,x
2
( giả sử x
1
< x
2
) :
x
0
Cùng dấu
hệ số a
-
x1 x2 +
Dấu của
f(x)
Cùng dấu
hệ số a
Trái dấu
hệ số a
0
* Chú ý : ta có thể thay
bởi
'
Bài Tập 1: xét dấu các tam thức sau
a) f(x) = 3x
2
-2x+1 b) f(x) = -4x
2
+12x-9
c) f(x) = x
2
-4x-5
Giải
a) cho f(x) = 0 3x
2
-2x+1 = 0. tính
'
= -2 < 0
vậy f(x) > 0
x.
b) cho f(x) = 0 -4x
2
+12x-9 = 0. tính
'
= 0
vậy f(x) < 0
2
3
x .
c) cho f(x)= 0 x
2
-4x-5 = 0. tính
'
= 9
=> x
1
=-1 ;x
2
= 5
x
0
+
-
-1 5 +
f(x)
+
_
0
vậy f(x) > 0
);5()1;(
x
f(x) < 0
)5;1(
x
f(x) = 0 khi x= -1 , x = 5
Bài Tập 2: Xét dấu các biểu thức sau
a) A = (2x
2
+9x+7)(x
2
+x-6) b) B =
2
2
2 5 7
3 10
x x
x x
Giải a) Đặt 2x
2
+9x+7 = 0
2
7
1
2
1
x
x
x
2
+x-6 = 0
3
2
2
1
x
x
+ - + - +
A
x
2
+9x+7 + 0 - - + +
x
0
- -
2
7
-3 -1 2 +
0
0
0
0
0
0
x
2
+x-6 + + - - +
II/ Bất phương trình bậc hai
1. Định nghĩa: Bất phương trình bậc hai là bất
phương trình có một trong các dạng sau:
ax
2
+bx+c > 0 ; ax
2
+bx+c < 0 ; ax
2
+bx+c
0
ax
2
+bx+c
0 ( a
0).
2 .Cách giải: Để giải bất phương trình bậc hai ta
xét dấu tam thức bậc hai đó , kết hợp với chiều
của bất phương trình ta sẽ tìm được nghiệm của
bất phương trình.
1: Giải các bất phương trình sau
a) 3x
2
+2x+5 > 0 S=R
b) -2x
2
+3x+5> 0 S=(-1;5/2)
c) -3x
2
+7x-4 < 0 S=(-;1) (4/3;+)
d) 4x
2
-3x+1<0 Vơ nghiệm
e) 9x
2
-24x+16 < 0 S=R\{4/3}
2 . Giải các bất phương trình sau
a) A = (2x
2
+9x+7)(x
2
+x-6) > 0 b) B =
2
2
2 5 7
3 10
x x
x x
< 0
3. Xác định m để phương trình x
2
+2(m+2)x-2m-1=0 có nghiệm
14
HD:
'
=m
2
+6m+5 0 m≤5 hoặc m1
* Chú ý: Bài toán tìm m để f(x)= ax
2
+bx+c không đổi dấu (>0, <0, 0, ≤0) trên R
+ Xét trường hợp a=0 (nếu a chứa tham số)
+ Nếu a0 thì:
0 0
( ) 0, ; ( ) 0,
0 0
a a
f x x R f x x R
III/ Hệ bất phương trình bậc hai
1. Định nghĩa : Là hệ gồm từ hai bất
phương trình bậc hai trở lên.
2. Cách giải:
- Giải bất phương trình (1) tìm được S
1
- Giải bất phương trình (2) tìm được S
2
- Giải bất phương trình (n) tìm được S
n
Khi đó tập nghiệm của hệ là:
S = S
1
S
2
…
S
n
1. Giải các hệ bất phương trình sau
a)
06
0792
2
2
xx
xx
HD: Giải bpt(1) được S1 = );1()
2
7
;( ; Giải bpt(2) dược S2 = (-3;2)
Vậy nghiệm của hệ là S = S1
S2= (-1;2)
b)
01811
0452
2
2
xx
xx
2. Tìm m thì bpt phương trình sau (2m+1)x
2
+3(m+1)x+m+1 < 0 (*) vô nghiệm.
HD: + với a = 0 m=
2
1
(*)
3
1
0
2
1
2
3
xx . vậy m =
2
1
không thoả
+ với a
0 m
2
1
khi đó phương trình đã cho vô nghiệm
0)1)(12(4)1(9
012
0
0
2
mmm
m
a
S
m
m
15
2
1
vậy không có giá trị nào của m để phương trình vô nghiệm.
* Chú ý: Bài toán tìm m để f(x)= ax
2
+bx+c không
đổi dấu (>0, <0, 0, ≤0) trên R
+ Xét trường hợp a=0 (nếu a chứa tham số)
+ Nếu a0 thì:
0
( ) 0,
0
0
( ) 0,
0
a
f x x R
a
f x x R
* Xét dấu các nghiệm phương trình bậc hai
Giả sử pt bậc hai có hai nghiệm x
1
,x
2
thì:
x
1
< 0 < x
2
P < 0 (hai nghiệm trái dấu)
x
1
x
2
< 0
0
0
0
S
P
( hai cùng âm)
0 < x
1
x
2
0
0
0
S
P
(hai cùng dương)
BÀI TẬP
1/ Xét dấu các tam thức bậc hai sau
a) 2x
2
+5x+2 b) 4x
2
3x1 c) 3x
2
+5x+1 d) 3x
2
+x+5 d) 3x
2
-2x+1 e) -x
2
+4x+5 f) -4x
2
+12x-9
g) 3x
2
-2x-8.
2/ Giải các bất phương trình sau
a) x
2
2x+3>0 b) x
2
+9>6x c) 6x
2
x20 d)
1
3
x
2
+3x+6<0 e)
2
2
9 14
0
9 14
x x
x x
15
f)
2
2
1
0
3 10
x
x x
g)
2
10 1
2
5
x
x
h)
1 1
2
1
x x
x x
i)
1 2 3
1 3 2
x x x
j) 2x
2
-5x+2 < 0
k) -5x
2
+4x+12 < 0 l) 16x
2
+40x+25 > 0 m) -2x
2
+3x-7 > 0 n) 3x
2
-4x+4
0 o) x
2
-x-6
0.
3/ Cho phương trình mx
2
2(m1)x+4m1=0. Tìm m để phương trình có:
a) Hai nghiệm phân biệt. b) Hai nghiệm trái dấu. c) Hai nghiệm dương. d) Hai nghiệm âm.
HD: ' =
12
m
2
4
m
4
=0
1 13
3
m
4/ Tìm m để các phương trình sau nghiệm đúng với mọi x
a) mx
2
4(m1)x+m5≤ 0 =
12
m
2
12
m
16
b) 5x
2
x+m> 0 = 20m+1
c) mx
2
10x5<0 = 5m+25
d)
2
2
2
1
3 4
x mx
x x
Vì
2
3 4
x x
>0 với mọi x nên qui dồng bỏ mẫu
=
m
2
6
m
7
e) m(m+2)x
2
+2mx+2>0 = 4m
2
16m
Đáp số: a) không có m b) m> 1/20 c) m< 5 d) 7<m<1 e) m<4 hoặc m0
5/ Tìm m để các phương trình sau vô nghiệm
a) 5x
2
x+m ≤0 b. mx
2
10x50
6/ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt
a) (m
2
+m+1)x
2
+(2m3)x+m5=0 b) x
2
6mx+22m+9m
2
=0
Đáp số: a) không có m b) 0<m<1
7. Tìm các giá trị của m để các phương trình sau có nghiệm
a) (m-5)x
2
-4mx+m-2 = 0 b) (m-2)x
2
+2(2m-3)x+5m-6 = 0 c) (3-m)x
2
-2(m+3)x+m+2 = 0.
8. Xác định m để các tam thức sau dương với mọi x
a) 3x
2
+2(m-1)x+m+4 =
4
m
2
20
m
44
=0 m=
,
5
2
69
2
5
2
69
2
b) x
2
+(m+1)x+2m+7 =
m
2
6
m
27
=0 m=9;3
c) 2x
2
+(m-2)x-m+4. =
m
2
4
m
28
=0m=
,
2 4 2
2 4 2
9. Giải các bất phương trình sau
a)
1 5
1
2 2
x x
; Kq
2
: 2<x<2 b)
2
3
1
1
x x
; Kq
2
: 1≤x≤2
10. Tìm m để a) (m+2)x
2
2(m1)x+m2<0, x R = 8m+20
b) (m
2
m6)x
2
+2(m+2)x+1>0, x R = 20m+40
BÀI TẬP THÊM
Bài 1 : Giải các phương trình sau :
1. x
2
- 011 x ; x = 1 ; -2. 2. | -3x
2
+ 4x + 4 | = | 4 -x
2
| ; x = -1; 0 ; 2.
3.| -2x + 3| - |-4x + 3 | = 3 - | 2x + 3 | ; x = 0 hoặc x
3/2. 4. | x-1 | + | x - 2 | = 3 ; x = 0 ; 3.
5.| 3x - 2 | + x = 11 ; x = 13/4 ; -9/2. 6.| x | - | x - 2 | = 2 ; x
2. 7.| x - 3 | + 2| x - 1 | = 4 ; x = 3 ; 1/3.
8. 3 | x
2
- 4x + 2 | = 5x +16 ; x =
6
40917
9. xx 3632 ; x = 3.10. xxx 242
2
;x = -1;-2.
11. 2
2
24 xxx ; x = 3. 12. 6315 xx ; x = -1. 13. 265123 xx ; x = -1.
14. 16244 xxx ; x = -4 ; 0. 15. 4462 xxx ; x = 5.
16. 1413 xx ; x = 5. 17. 2111 xx ; x = 2.
Bài 2 : Giải các bất phương trình sau :
1. | 1 - x
2
|
(1+x)
2
; x = -1 hoặc x
0 . 2. | x
2
- x +1 |
| 3x - 4 - x
2
| ; x
3/2.
16
3.| x
2
-3x+2 | > | x
2
+ 3x + 2 | ; x < 0. 4. | x
2
+ 6x -7 | < x + 6; S = (
2
775
;
2
537
).
5. 2 | x+1 | > x + 4; x < -2 hoặc x > 2. 6. | x
2
+ x | - 5 < 0 ; S =(
2
211
;
2
211
).
7. x
2
- | 5x + 8 | > 0; S=
);
2
575
()
2
575
;(
. 8. 126
2
xxx ; x < 1/8.
9. x
2
+ 4
| 3x + 2 | - 7x; S =
);22[]195;(
. 10. 2103
2
xxx ; S = R.
11. 1
2
|3|
x
xx
; S = (-5 ; -2 )
(-1 ; +
) . 12. | x +1 | + | x - 4 | > 7 ; x < -2 hoặc x > 5.
13. 112
2
xxx ; S = (-169/25 ; -1]
[0;+
). 14. 1241 xx ; 0 < x < 1/4 .
15. xxx 712
2
; x
-3 hoặc 4 < x < 61/13. 16. 322
2
xxx ; x > 3 .
17. 2
2
12 xx ;
5/41
x
hoặc 0 < x
1. 18. 211 xxx ; S = (
;
3
722
).
19. xxx 2237 ; x < -2. 20. 195 xx ; 9
2
714
x .
Bài 3 : Giải các phương trình,bất phương trình sau ( Đặt ẩn số phụ )
1. x
2
- 4x = 6128
2
2 xx ; x = 2 . 2. 782
2
3152
2
3 xxxx ; x = 1 ; -1/3.
3. 193
2
32
2
7
2
xxxxxx ; x = -2;1. 4. (x + 1)(x + 4) - 3 25
2
xx = 6; x = -7 ; 2.
5. x
2
+ 2 43113
2
xxx ; x
[1;2]. 6. (x + 5)(x - 2) + 3
)3( xx
> 0; x < -4 hoặc x >1.
7. 125
2
375
2
3 xxxx ; x
[-2;-1]
[-2/3;1/3].
