Giải vở bài tập toán 7 tập 2

GL̫i vͧ bàiW̵p

TOÁN 7

TẬP 2






THỐNG KÊ

§1. THU THẬP SỐ LIỆU THỐNG KÊ TẦN SỐ
Bài 1.
a. Dấu hiệu mà An quan tâm là : Thời gian cần thiết. An đi từ nhà
đến trường.
Có tất cả 10 giá trị của dấu hiệu đó là: 21, 18, 17, 20, 19, 18, 19,
20, 18, 19.
b. Trong dãy trên có 5 giá trị khác nhau là: 17, 18, 19, 20, 21.
c. Số lần xuất hiện của một giá trị trong dãy giá trị của dấu hiệu
được gọi là tần số của giá trị đó. Tần số của giá trị 17 là 1, của
giá trị 18 là 3, của giá trị 19 là 3, của giá trị 20 là 2, của giá trị 21
là 1.
Bài 2.
a. Dấu hiệu ở đây là lượng mưa trung bình.
Có tất cả tám giá trị dấu hiệu, đó là: 40, 50, 70, 100, 70, 120, 80,
50.
b. Trong dãy giá trị trên có sáu giá trị khác nhau là: 40, 50, 70, 80,
100, 120.
c. Tần số của 40 là 1, của 50 là 2, của 70 là 2, của 80 là 1, của 100

là 1, của 120 là 1.
Bài 3.
Vì phải làm hóa đơn thu tiền cho từng hộ nên bảng số liệu này có
thiếu sót là không có danh sách của 20 hộ kèm theo, đó là hộ 1, hộ
2, hộ 3, hộ 4 , hoä 5, hoä 6, hoä 7, hoä 8, hoä 9, hoä 10, hoä 11, hoä 12, hoä
13 , hoä 14, hoä 15, hoä 16, hoä 17, hoä 18, hoä 19, hộ 20. Do đó phải lậâp
bảng gồm hai cột để:
– Số thứ tự của các hộ là cột thứ nhất.
– Số điện năng (tính theo Kw/h) là cột thứ hai.
5


LUYỆN TẬP
Bài 1.
a. Dấu hiệu chung cần tìm ở cả hai bảng là thời gian chạy 50 mét
của học sinh nam nữ (giây).
b. Số các giá trị của dấu hiệu ở bảng học sinh nam là: 20
Các giá trị khác nhau ở bảng học sinh nam là: 5
Số các giá trị của dấu hiệu ở bản học sinh nữ là: 20
Các giá trị khác nhau ở bảng học sinh nữ là: 4
c. Ở bảng học sinh nam các giá trị khác nhau là: 8,3; 8,4; 8,5; 8,7; 8,8.
Tần số tương ứng của chúng theo thứ tự là: Tần số của giá trị 8,3 là
2, của giá trị 8,4 là 3, của giá trị 8,5 là 8, của giá trị 8,7 là 5, của giá
trị 8,8 là 2.
Ở bảng học sinh nữ có các giá trị khác nhau là: 8,7; 9,0; 9,2; 9,3
Tần số tương ứng của chúng theo thứ tự là: Tần số của giá trị 8,7 là
3, của giá trị 9,0 là 5, của giá trị 9,2 là 7, của giá trị 9,3 là 5.
Bài 2.
a. Dấu hiệu cần tìm hiểu là khối lượng chè trong từng hộp. Số các
giá trị của dấu hiệu là 30.

b. Số các giá trị khác nhau của dấu hiệu là 5.
c. Các giá trị khác nhau của dấu hiệu là: 98, 99, 100, 102, 102.
Tần số của các giá trị theo thứ tự trên là: 3, 4, 16, 4, 3.

6


§2. BẢNG “TẦN SỐ” CÁC GIÁ TRỊ CỦA DẤU HIỆU
Bài 1.
a. Dấu hiệu cần tìm hiểu là số con của 30 gia đình. Theo bảng trên số
con của mỗi gia đình là 0, 1, 2, 3, 4 nên ta có bảng tần số sau đây:
Số con của mỗi gia đình (x)

0

1

2

3

4

Tần số (n)

2

4

17

5

2

N = 30

b. Số con của mỗi gia đình dao động trong khoảng từ 0 đến 4.
Số gia đình có 2 con chiếm tỉ lệ cao nhất: có 17 gia đình.
Số gia đình đông con (từ 3 con trở lên) chỉ chiếm một tỉ lệ xấp xỉ là 23,3%.
Bài 2.
a. Dấu hiệu ở đây là tỉ lệ nữ sinh so với toàn bộ số học sinh trong
30 trường THCS. Số các giá trị là: 30
b. Số các giá trị khác nhau là: 12.
Ta lập bảng tần số sau:
Các giá trị
khác nhau 27 32 35 37 42 43 47 54 56 59 64
của dấu hiệu

69

Tần số

2

2

2

2

3

2

3

4

1

5

2

2

Bài 3.
a. Dấu hiệu ở đây là tuổi nghề của mỗi công nhân trong một phân xưởng.
Số các giá trị là 25. Số các giá trị khác nhau là 10.
b. Ta lập bảng tần số sau:
Tuổi nghề của mỗi
1
công nhân (x)

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tần số (n)

3

1

6

3

1

5

2

1

2

1

N = 25

– Số các giá trị khác nhau là tuổi nghề của mỗi công nhân là 10.
– Giá trị lớn nhất là tuổi nghề cao nhất, đó là 10.
– Giá trị nhỏ nhất là tuổi nghề thấp nhất, đó là 1.
– Giá trị có tần số lớn nhất là 4 (ứng với tần số) tức là có 6 công
7


nhân có tuổi nghề là 4 năm.
Tuổi nghề số đông công nhân nằm trong khoảng từ 4 o 7 tuổi nghề
6  31 5
. 100% = 60%
chiếm:
25
a. Dấu hiệu ở đây là số lượng cuốn lịch mỗi ngày công ty bán.
b. Bảng tần số:
Giá trị (x)

25

26 30 32 35 36 37 38 40 42 43 45

Tần số n

2

2

1

2

3

1

4

2

5

3

3

1

N = 30

Nhận xét:
– Các giá trị khác nhau là 12.
– Giá trị cao nhất là 45.
– Giá trị nhỏ nhất là 25.

– Giá trị có tần số lớn nhất là 40 tức là công ty bán ra số lượng lịch
nhiều nhất.
– Không thể nói số lượng lịch bán ra với số lượng lớn “chụm” vào
khoảng nào vì số lượng bán ra không đồng đều.

LUYỆN TẬP
Bài 1.
a. Dấu hiệu ở đây là số điểm đạt được sau mỗi lần bắn.
Xạ thủ đã bắn được 30 phát (30 lần bắn).
b. Bảng tần số:
Số điểm (x)

7

8

9

10

Tần số (n)

3

9

10

8

Nhận xét:
– Số các giá trị khác nhau là 4.
– Số điểm cao nhất là 10.

N = 30

– Số điểm thấp nhất là 7.
– Số điểm 8 và 9 chiếm tỉ lệ cao.

Bài 2.
a. Dấu hiệu ở đây là thời gian giải một bài toán của 35 học sinh
(tính bằng phút)
Số các giá trị là 35.
8


b. Số các giá trị thời gian khác nhau là 8.
Ta có bảng tần số:
Thời gian

3

4

5

6

7

8

9

10

Tần số

1

3

3

4

5

11

3

5

N = 35

Nhận xét:
– Thời gian giải một bài toán nhanh nhất là 3 phút.
– Thời gian giải một bài toán chậm nhất là 10 phút.
– Số bạn giải một bài toán từ 7 ủeỏn 10 phuựt chieỏm tổ leọ cao.

Đ 24
Ã
ă .100% | 69% á
â 35
ạ
Baứi 3.
a. Daỏu hieọu ụỷ ủaõy laứ soỏ lỗi chính tả trong một bài tập làm văn.
Số các giá trị (số học sinh làm bài tập làm văn đó) là 40.
b. Số các lỗi khác nhau là 9.
Lập bảng tần số dạng ngang:
Số lỗi khác nhau

1

2

3

4

5

6

7

9

10

Tần số (n)

1

4

6

12

6

8

1

1

1

N = 40

Lập bảng tần số dạng dọc:

Số lỗi khác nhau

Tần số

1

1

2

4

3

6

4

12

5

6

6

8

7

1

9

1

10

1

Nhận xét:
– Tất cả các học sinh đều mắc lỗi.
– Số lỗi ít nhất là 1.
– Số lỗi nhiều nhất 0.
– Số bài có từ 3 đến 6 lỗi chiếm tỉ
32
.100% 80%)
lệ cao (chiếm
40

N = 40
9


§3. BIỂU ĐỒ
Bài 1.
a. Dấu hiệu ở đây là điểm kiểm tra Toán học kỳ I của học sinh lớp
7C. Số các giá trị là 50.
b. Dựng biểu đồ đoạn thẳng:
12
10
8
7
6
4
2

1

O
Bài 2.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12
10
8
7
6
4
2
1

O

10


LUYỆN TẬP

Bài 1.
a. Lập bảng tần số:
Giá trị khác nhau
17 18 20 25 28 30 31 32
của nhiệt độ
Tần số (n)

1

3

1

1

2

1

2

1

N = 12

b. Biểu đồ đoạn thẳng
Tần số
(n)
3
2

1
10

17 18 20

25

28 30 31 32

Bài 2.
a. Năm 1921 dân số nước ta là 16 triệu người.
b. Sau 78 năm dân số nước ta tăng 60 triệu người.
c. Từ 1980 đến 1999 dân số nước ta tăng thêm 22 triệu.
Bài 3.
300

200

100

1990 1991 1992

1993 1994 1995 1996

11

1997 1998

Nhiệt
độ (x)

§4. SỐ TRUNG BÌNH CỘNG
Bài 1.
a. Dấu hiệu cần tìm hiểu ở đây là tuổi thọ của mỗi bóng đèn.
b. Áp dụng công thức:
x n  x 2 n 2  x 3 n 3  ...  x k n k
X= 1 1
N
Ta coù: x1n1 = 1150 . 5;
x2n2 = 1160 . 8;
x3n3 = 1170 . 12
x4n4 = 1180 . 18;

x5n5 = 1190 . 7

N = 50
1150.5  1160.8  1170.12  1180.18  1190.7
Vaäy X =
50
5750  9280  14040  21240  8330 58640
=
=
= 1172,8.
50
50
Số trung bình cộng là: 1172,8 (giờ)
c. Mốt là M0 = 1180 (giá trị có tần số lớn nhất)
Bài 2.
Lập bảng tần số :

Giá trị (x)

3

4

5

6

7

8

9

Tần số (n)

3

2

8

7

4

4

2

Tính các tích x1n1 = 3 . 3;

x2n2 = 4 . 2;

x3n3 = 5 . 8

x4n4 = 6 . 7;

x5n5 = 7 . 4;

x6n6 = 8 . 4

x7n7 = 9 . 2
Áp dụng công thức:
x n  ....  x 7 n 7
X= 1 1
30
9  8  40  42  28  32  18
=
= 5,9
30
Vậy điểm trung bình môn văn của lớp 7B laø X = 5,9

12

N = 30

LUYỆN TẬP
Bài 1. Không nên dùng số trung bình cộng làm đại diện vì các giá trị
có khoảng chênh lệch lớn.
Bài 2.
x1n1  x 2n 2  x 3n 3  ...  x k n k
N
3  12  20  42  56  72  72  50  33  24 384
=
= 7,68.
X =
50
50
b. Mốt của dấu hiệu là Mo = 8.

a. Số trung bình cộng là X =

Bài 3.
a. Đây là bảng phân phối ghép khoảng (người ta ghép các giá trị
của dấu hiệu theo từng khoảng, ví dụ:110 – 120 (cm), có 7 học
sinh có chiều cao rơi vào khoảng này và 7 được gọi là tần số của
khoảng đó.
b. Cách tính số trung bình cộng trong trường hợp này được thực hiện như
sau:
– Tính giá trị trung bình của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của từng
khoảng. Ta lần lượt có số trung bình cộng của khoảng 110 – 120
110  120
là
= 115, khoảng 121 – 131 là 126, khoảng 132 – 142
2
là 137, khoảng 143 – 153 là 148.

– Nhân số trung bình của mỗi khoảng với các tần số tương ứng. Ta
lần lượt được các tích 105 . 1 = 105, 115 . 7 = 805, 126 . 35 = 4410,
137 . 45 = 6165, 148 . 11 = 1628, 155 . 1 = 155.
x n  ....x k n k
– Áp dụng công thức X = 1 1
N
105  805  4410  6165  1628  155
= 132,68 (cm).
X=
100

13


ÔN TẬP CHƯƠNG III
Bài 1.
a. Đội thứ nhất đá với 9 đội còn lại lượt đi và lượt về trong 18 trận,
vì số trận đội thứ 2 đá với đội thứ nhất là 2 trận đã được tính nên
đội này chỉ còn đá 16 trận, tương tự đội thứ 3 đá với đội thứ nhất
và đội thứ 2 nên chỉ còn đá 14 trận, đội thứ 4 đá 12 tận, đội thứ 5
đá 10 trận, đội thứ 6 đá 8 trận, đội thứ 7 đá 6 trận, đội thứ 8 đá 4
trận, đội thứ 9 đá 2 trận, đội thứ 10 đã đá hết với tất cả các đội cả
lượt đi và lượt về nên không tính.
Vậy có tất cả 18 + 16 + 14 + 12 + 10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 90 traän trong
toàn giải.
b. Vẽ biểu đồ đoạn thẳng
Số trận
20
18
16

14
12
10
8
6
4
2
1

2

3

4

5

6

7

8

Số bàn thắng

Nhận xét:
– Số trận có bàn thắng nhiều nhất là 2 trận.
– Số trận có bàn thắng ít nhất là 12 trận.
c. Có 10 trận không có bàn thắng.
d. Số bàn thắng trung bình trong một trận của cả giải là:

1 . 12  2 . 16  3 . 20  4 . 12  5 . 8  6 . 6  7 . 4  8 . 2
X=
80
273
=
| 3,4 (bàn thắng)
80
14


= 3 (bàn thắng)
Chú thích: thường số bàn thắng trong 1 giải có thể lấy số thực.
e. Mốt là Mo = 3
Bài 2.
a. Lập bảng tần số:
Năng suất khác nhau (x) 20 25 30 35

40

45 50

Tần số (n)

6

4

1

3

7

9

1

N = 31

b. Dựng biểu đồ đoạn thẳng:
n
9
7
6
4
3
1
20

25

30

35

40

45

50

c. Số trung bình cộng là:
Áp dụng công thức:
x n  x 2 n 2  ...  x k n k
= 35 (tạ/ha)
X= 1 1
N

ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG III
Đề bài
1) Dấu hiệu cần tìm hiểu ở đây là số cân nặng của mỗi bạn.
2) Bảng tần số:
Số cân (x)

28

30

31

32

36

45

Tần số (n)

3

3

5

6

2

1

15

N = 20

x


Nhận xét:
– Người nhẹ nhất: 28kg
– Người nặng nhất: 45kg
– Nhìn chung số cân nặng của các bạn chủ yếu thuộc vào khoảng từ
30 đến 32kg.
3) Số trung bình cộng và mốt của dấu hiệu:
28 . 3  30 . 3  31 . 5  32 . 6  36 . 2  45 . 1
= 31,9kg
X =
20
Mo = 32
4) Vẽ biểu đồ đoạn thẳng:
n

6
5
4
3
2
1
O

28

30 31 32

36

40

x

5) Nếu chọn một trong số các bạn còn lại của lớp thì số cân nặng
của các bạn đó có khả năng từ 30 đến 32kg.

16




BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

§1. KHÁI NIỆM VỀ BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
Bài 1.

Nối 2) với b), 3) với a), 4) với c), 5) với d)
Bài 2.
1.
a. x + y2
2.

b. m2 + n2

c. (p – q)2

a. – Một số tự nhiên chẵn: 2k (k  N)
– Một số tự nhiên lẻ: 2k + 1
b. – Hai số chẵn liên tiếp: 2k; 2(k + 1)
– Hai số lẻ liên tiếp: 2k – 1; 2k + 1.
Bài 3.
– Nhiệt độ buổi trưa là t + x (độ).
– Nhiệt độ buổi chiều lúc mặt trời lặn là t + x – y (độ).
Bài 4.
a. 1 quý lao động bằng 3 tháng lao động.
Số tiền mà người đó nhận được trong một quý lao động cộng với m
đồng tiền thưởng là: 3.a + m (đồng).
b. Số tiền mà người đó nhận được trong 2 quý lao động trừ đi n đồng là:
6.a – n (đồng).

17


§2. GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
Bài 1.
– Tại a = 5, b = –7 giá trị của biểu thức đại số là:

5[(7) 2  1]
240
=
| 5,71
 42
5(7)  (7)
– Taïi a = – 3, b = 4 giá trị của biểu thức đại số là:

 45
 3(4 2  1)
=
= 5,625
(3)4  4
8
Baøi 2.
N = 32 = 9;

T = 42 = 16;

L = 32 – 42 = –7

EÂ = 2 . 52 + 1 = 51

1
(3 . 4 + 5) = 8,5
2
H = 32 + 42 = 25

V = 52– 1 = 24

M = 32  4 2 = 5

I = (4 + 5)2 = 18

AÊ =

Ta được kết quả sau đây:
–7

51

24

8,5

9

16

25

18

51

5

L

Ê

V

Ă

N

T

H

I

Ê

M

Vậy giải thưởng toán học Việt Nam mang tên nhà toán học nổi tiếng
Lê Văn Thiêm (ông quê ở làng Trung Lễ, huyện Đức Thị, tỉnh Hà
Tónh).
Bài 3.
3
1
1
5
2 §1·
Tại x = 1 và y =
giá trị cuỷa bieồu thửực laứ: 1 . ă á + 1 =
2

8
2
â2ạ

Baứi 4.
Taùi m = 4, n = p = –1 giá trị của biểu thức là: 4 – 2.(–1)2 + (–1)3 = 1

18


§3. ĐƠN THỨC
Bài 1.
1.

7
là một đơn thức.
9
1 2 3
1
x yz là một đơn thức có phần hệ số là và phần biến là x, y, z.
5
5

9x 3
là một đơn thức.
y2
2. Ba ví dụ về đơn thức bậc bốn:
4 2 2
x3y
xy ;

;
5
7

1 3
xy
6

Baứi 2.
2
Ã
Đ 1
a. ă  x 2 y á .2xy3 =  x 3 y 4 . Đơn thức thu ủửụùc coự baọc 7.
3
â 3
ạ
1
1
b. x 3 y .(2x3y5) =  x 6 y 6 . Đơn thức có bậc 12.
4
2
Bài 3.
a. –x4(yx)2.(–x)2.(–y)3 = –x8y5. Hệ số là –1, phần biến là x, y.
1
1
1
b. ax .(–xy).(–y)2 =  ax 2 y 3 . Hệ số là  và phần bieỏn laứ x, y.
2
2
2

4

6
4 Đ3
6
Ã
c.  y ă x 2 y ¸ =  x 8 y 5 . Hệ soỏ laứ  vaứ phan bieỏn laứ x, y.
5
5 â2
5
ạ

Baứi 4.
Các đơn thức có thể là: –9xy; 9x2y; 9x4y3; 9x2y5

19


§4. ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG
Bài 1.
Trước hết ta tính tổng của 3 đơn thức đồng dạng đã cho:
1
3
3
Ta có: A = x5y  x5y  x5y = x 5 y
4
2
4
3
3

Taïi x = 1 và y = –1, giá trị của đơn thức x 5 y là: 
4
4
Bài 2.
1 2
1
x y.9x2 y 2 .y 4  x( 8x 3 y 3 ).y 4  x 4 y 7  18
3
2
4 7
4 7
18x y  24x y  6x 4 y 7
=
+ 18
6
= 0 + 18 = 18
Vậy biểu thức luôn có giá trị 18 với bất kỳ giá trị nào của x, y.

Ta có:

Bài 3.
V=

9 2
x
2

N=

1 2

x
2

Ư=

17
xy
3

U = –12x2y

H = 3xy

Ă = 0

Ê = 6xy2

L= 

2 2
x
5

Ta được kết quả sau đây:

2 2
x
5

6xy2

9 2
x
2

0

1 2
x
2

3xy

17
xy
3

–12x2y

L

Ê

V

Ă

N

H

Ư

U

Vậy tên của tác giả Đại Việt sử kí là Lê Văn Hưu, người chép sử
đầu tiên của dân tộc, quê ở Phủ Lý, huyện Đông Sơn, phủ lộ Thanh
Hóa, nay là làng Rị, xã Thiệu Trung, huyện Thiệu Hóa, Thanh Hóa.

20


LUYỆN TẬP
Bài 1.
Bài này có nhiều đáp số. Sau đây là một đáp số, chẳng hạn: 5x 2y;
–7x2y; 11x2y. Tổng của ba đơn thức là:
5x2y – 7x2y + 11x2y = 9x2y
Baứi 2.
105 3 2
Đ
Ã Đ 105 3 2
Ã
x3y2 ă 4x 3 y 2 
x y  x3y2 ¸ + ă 
x y  7x 3 y 2 á
2
â
ạ â 2
ạ

Đ 95
Ã
= x3y2 ă  x 3 y 2 á +
â 2
ạ

Đ 91 3 2 Ã
ă x y á
â 2
ạ

= 3x3y2
Baứi 3.
Đ 12
à Đ5 à 4
a. ă x 4 y 2 á ă xy á = x 5 y 3 . ẹụn thửực coự baọc laứ 8
â 15
ạ â9 ạ 9

Đ 1
Ã Đ 2
à 2 3 5
b. ă  x 2 y á ă  xy 4 ¸ =
x y . Đơn thức có bậc là 8
¹ © 5
¹ 35
© 7
Bài 4.
a. Đơn thức điền vào ô trống phải đồng dạng với các đơn thức 3x2y
và 5x2y. Từ đó suy ra ngay đơn thức phải điền vào ô trống là 2x2y.

b. Đơn thức phải điền vào ô trống là –5x2.
c. Câu này có nhiều đáp số. Sau đây là một đáp số , chẳng hạn
3x2; – 9x2; 5x2.
Baøi 5.
a. 15x3y = 5xy.3x2
1
1
b. x 4 y 2 = 5xy. x 3 y
25
5
c. –10x5y3z = 5xy(–2x4y2z)
4
§ 4 ·
d.  xyz3 = 5xy. ă  z 3 á
7
â 35 ạ

21


§5. ĐA THỨC
Bài 1.
a. Trước hết ta thu gọn đa thức:
1
3
3x2 – x + 1 +2x – x2 = 2x2 + x + 1
2
2
3
Hạng tử 2x2 có bậc 2, hạng tử  x có bậc 1, hạng tử 1 có bậc 0.

2
Bậc cao nhất trong các bậc đó là bậc 2. Vậy đa thức đã cho có bậc 2.
b. Thu gọn đa thức:
3x2 + 7x3 – 3x3 + 6x3 – 3x2 = 10x3
Ta được một đa thức bậc 3.
Bài 2.
Thu gọn đa thức P:
3
P = xy 2  6xy
2
Tại x = 0,5 và y = 1, giá trị của đa thức P là:
3 1
1
9
P = . .12  6. .1 = 
2 2
2
4
Bài 3.
a. Đa thức đã được viết dưới dạng thu gọn.
Hạng tử x3y có bậc 4, hạng tử – 2x2y4z có bậc 7, hạng tử – xz8 có bậc
9, hạng tử 3y5 có bậc 5, hạng tử – 1 có bậc 0. Vậy đa thức đã cho có
bậc 9.
b. Đa thức đã được viết dưới dạng thu gọn.
Hạng tử x2y có bậc 3, hạng tử y2z có bậc 3, hạng tử z2x có bậc 3.
Vậy đa thức đã cho có bậc 3.
Bài 4.
a. Thu gọn đa thức:
2 3
2

2
1
1
xz  xz 2  yz  5xy 2  yz  xz 3 = xz 3  xz 2  5xy 2
5
5
3
3
5
22


Bậc của đa thức là 4 (bậc của hạng tử

1 3
xz là bậc cao nhất trong số
5

ba hạng tử).
b. Thu gọn đa thức:
1 2
2
1
xy z  3xyz 2  xy 2 z  xy 2 z 2  xyz 2  2xy 2 z 2
5
3
2
1
2
1

= xy 2 z  xy 2 z  xy 2 z 2  2xy 2 z 2  3xyz2  xyz2
5
3
2
7
7
= – xy 2 z  xy 2 z 2  xyz2
2
2
Vậy bậc của đa thức là bậc 5.
Bài 5.
Hạng tử x6 có bậc 6, hạng tử –x5 có bậc 5, hạng tử x 4y4 có bậc 8,
hạng tử 1 có bậc 0. Bậc cao nhất trong các bậc đó là bậc 8. Vậy
đa thức M có bậc 8. Do đó cả hai bạn Thọ và Hương đều sai,
nhận xét của bạn Sơn là Đúng.

§6. CỘNG, TRỪ ĐA THỨC
Bài 1.
M + N = 3xyz – 3x2 + 5xy –1 + 5x2 + xyz – 5xy + 3 – y
= 4xyz + 2x2 – y + 2
M – N = (3xyz – 3x2 + 5xy –1) – (5x2 + xyz – 5xy + 3 – y)
= 3xyz – 3x2 + 5xy –1 – 5x2 – xyz + 5xy – 3 + y
= 2xyz – 8x2 + 10xy + y – 4
N –M = (5x2 + xyz – 5xy + 3 – y) – (3xyz – 3x2 + 5xy –1)
= 5x2 + xyz – 5xy + 3 – y – 3xyz + 3x2 – 5xy +1
= 8x2 – 2xyz – 10xy – y + 4
Baøi 2.
a. P = (x2 – y2 + 3y2 –1) – (x2 – 2y2)
= x2 – y2 + 3y2 –1 – x2 + 2y2
= 4y2 – 1

23


b. Q = (xy + 2x2 – 3xyz + 5) + (5x2–xyz)
= xy + 7x2 – 4xyz + 5
Baøi 3.
a. Bỏ dấu ngoặc
M =x–y+y–z–x+z
M =0
b. Bỏ dấu ngoặc
N = x2 + y2 – z2– y2 + z2 – x2 + y2 + x2 + z2
N = y2 + x2 + z2
Baøi 4.
a. M + N = x2y + 0,5xy3 – 7,5x3y2 + x3 + 3xy3 – x2y + 5,5x3y2
= 3,5 xy3 – 2 x3y2 + x3
b. P + Q = x5 + xy + 0,3y2 – x2y3 – 2 + x2y3 + 5 – 1,3 y2
= x5 + xy – y2 + 3

LUYỆN TẬP
Bài 1.
a. M + N = x2 –2xy + y2 + y2 + 2xy + x2 + 1
= 2 x2 + 2 y2 + 1
b. M – N = (x2 – 2xy + y2 + y2) – (2xy + x2 + 1)
= x2 – 2xy + y2 + y2 – 2xy – x2 – 1
= 2y2 – 1
Bài 2.
a. Trước hết ta thu gọn đa thức:
Ta có: x2 + 2xy – 3x3 + 2y3 + 3x3 – y3 = x2 + 2xy + y3
Taïi x = 5, y = 4, giá trị của đa thức là:
52 + 2 . 5 . 4 + 43 = 25 + 40 + 64 = 129

b. Từ đa thức trên ta rút ra được công thức chung của đa thức là xnyn.
Với giá trị x = –1, y = –1 thì xnyn = (xy)n có tích xy = 1.
Vậy đa thức đã cho có kết quả bằng 1.
24


Bài 3.
Bài này có nhiều đáp số, chẳng hạn x2y + xy + 9; x3 + xy + y; . . .
Baøi 4.
a) C = A + B
= x2 – 2y + xy + 1 + x2 + y – x2y2 – 1
= 2 x2+ xy – y – x2y2
b) C = B – A
= (x2 + y – x2y2 – 1) – (x2 – 2y + xy + 1)
= x2 + y – x2y2 – 1– x2 + 2y – xy – 1
= 3y – xy – x2y2 – 2
Bài 5.
a. M + N không chứa biến x là M + N = 7y2 + 4
Vậy với M = 3x2 – 5xy + 7y2 + 4 thì đa thức N cần tìm để thỏa mãn
điều kiện trên là: N = – 3x2 + 5xy
b. M + N không chứa biến y nghóa là M + N = 3x2 + 4
Vậy với M = 3x2 – 5xy + 7y2 + 4 thì đa thức N cần tìm để thỏa mãn
điều kiện trên là: N = 5xy – 7y2
c. M + N không chứa cả biến x và y nghóa là M + N = 4
Vậy với M = 3x2 – 5xy + 7y2 + 4 thì đa thức N cần tìm để thỏa mãn
điều kiện trên là: N = – 3x2 + 5xy – 7y2

25

§7. ĐA THỨC MỘÂT BIẾN
Bài 1.
a. Sắp xếp theo lũy thừa giảm của biến x:
Q(x) = – 5x6+ 2x4+ 4x3 + 4x2 – 4x – 1
b. Các hệ số khác 0 của Q(x) theo thứ tự là: –5; 2; 4; 4; –4; –1
Hệ số bằng 0 là hệ số của lũy thừa 5.
Bài 2.
a. Trước hết ta thu gọn đa thức:
M(x) = 5x5 – 4x2 + 7x + 15
Sắp xếp theo lũy thừa tăng dần của biến x:
M(x) = 15 + 7x – 4x2 + 5x5
b. Viết đầy đủ từ lũy thừa 0 đến lũy thừa cao nhất:
M(x) = 15x0 + 7x – 4x2 + 0.x3 + 0.x4 + 5x5
Caùc hệ số theo thứ tự là: 15; 7; 4; 0; 0; 5.
Bài 3.
1) Sắp xếp theo lũy thừa tăng dần của biến y:
Q(y) = – 9 – 7y + 3y2 + 11y3 + 2y5 – 4y7
Hệ số cao nhất là 11 và hệ số tự do là –9.
2) Tại y = – 1, giá trị của đa thức S(y) là:
S(–1) = (–1)100 + (–1)98 + (–1)96 + …+(–1)4 + (–1)2
S(–1) = 1 (Vì lũy thừa chẵn của một số âm là một số dương)
Bài 4.
Bài này có nhiều đáp số, chẳng hạn 5x5 – 1 hoặc 5x3 + 2x – 1 . . .
Bài 5.
a. Số 4 là bậc của đa thức.
b. Số 1 là bậc của đa thức.
c. Số 3 là bậc của đa thức.
d. Số 0 là bậc của đa thức.

26

§8. CỘNG, TRỪ ĐA THỨC MỘT BIẾN
Bài 1.
1
1
a. M(1) =  ˜1  0,5 . 1  ˜1  7
4
8
= – 6,625
1
4
N(–1) =  (1)  0,75.1  5(1) 
4
9
1
4 58
=  0,75  5  =
| 73,1
4
9
9
1
1
1
4
b. M(x) + N(x) = x 5  0,5x 4  x  7  x 5  0,75x 4  5x 3 
4
8
4

9
1
59
= 0,25x4 + x – 5x3 
9
8

M(x) – N(x), đặt và thực hiện phép trừ như sau (có hai cách):
1 5
1
+ x7
M(x) =
x  0,5x 4
4
8
–
1
4
+
N(x) =  x 5  0,75x 4  5x 3
9
4
1 5
1
67
M(x) – N(x) =
x  0,25x 4  5x 3  x 
2
8
9

Baøi 2.
a. Q(x) = x5 –2x2 +1 – P(x)
= x5 –2x2 +1 – x4 + 3x2 
= x5 + x2 – x4 + x +

1
+x
2

1
2

b. R(x) = P(x) – x3
1
– x – x3
2
1
= x4 – 3x2– x3– x +
2

= x4 – 3x2 +

27


Bài 3.
Bài này có nhiều đáp số. Sau đây là một đáp số, chẳng hạn:
a. (7x3 – 2x2 + 4x – 2) + (–2x3 – 2x2 + 3x)
b. (7x3 – 2x2 + 4x – 2) – (2x3 + 2x2 – 3x)
Bạn Vinh nhận xét đúng. Chẳng hạn ta có :

5x3 – 4x2 + 7x – 2 = (x4 + 4x3 – 3x2 + 7x – 2) + (–x4 + x3 – x2)
Bài 4.
Sắp xếp các hạng tử của ba đa thức theo lũy thừa giảm của biến rồi
đặt phép tính theo cột dọc (các đơn thức đồng dạng ở cùng moät
coät) :
a.

2x4 – 2x3

P(x) =

– x3 + 5x2

+ Q(x) =
H(x) = – 2x
P(x) + Q(x) + H(x)
b.

4

+

2x4

P(x) + [–Q(x)] + [–H(x)] =

x

– 3x + 6x

+ 3x

+ 6

– 2x3

–

+ 1

4

4x

2

+
4

+ 5

2

– x + 5x

H(x) = – 2x

+ 1

+ 4x

3

Q(x) =

x

2

3

=

P(x) =
–

–

3

– x – 6x

+ 4x
x

2

x

2

+ 5
– 5x

– 4

LUYỆN TẬP
Bài 1.
b. 15x2y – 7xy2 – 6x2 + 2y3 – 12x2y + 76xy2
= 3x2y + 69 xy2 – 6x2 + 2y3
Đa thức tổng có bậc bằng 3.
b. 2,3x4 + 5,1x2y2 – y4 – 7,2xy3 + y4 – 7,2xy3 + y4 – 5,1x2y2 – 3,3x2
= 2,3x4 – 14,4xy3 + 2y4– 3,3x2
Đa thức hiệu có bậc bằng 4.
Bài 2.
a. Thu gọn các đa thức và sắp xếp các lũy thừa giảm dần của biến:
N = – y5 +11y3 – 2y

M = 8y5 – 3y + 1
28