Giải vở bài tập toán 8 tập 1

GL̫i vͧ bàiW̵p

TOÁN 8

TẬP 1


PHẦN ĐẠI SỐ
Chương I

PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
1. NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC
Bài 1.
1·
§
§ 1·
a) x2 ¨ 5x3  x  ¸ = x2.5x3 + x2.(–x) + x2. ă  á = 5x5 x3
2ạ
â
â 2¹
1 2
x
2
2
2
2
2
b) (3xy – x2 + y). x 2 y = 3xy. x 2 y + (–x2). x 2 y + y. x 2 y
3
3
3

3
2
2
= 2x3y2 – x 4 y + x4 y 2
3
3
§ 1 ·
c) (4x3 – 5xy + 2x) ă  xy á
â 2 ạ
Đ 1 Ã
Đ 1 Ã
Đ 1 Ã
= 4x3. ă  xy á + (5xy). ă  xy á + 2x. ă  xy á
â 2 ạ
â 2 ạ
â 2 ạ
5
= x4y + x 2 y 2 – x2y
2

Baøi 2.
a) x(x – y) + y(x + y) = x.x + x(–y) + y.x + y.y = x2 – xy + xy + y2
= x2 – y2 = (–6)2 + 82 = 100
b) x(x2 – y) – x2(x + y) + y (x2 – x)
= x.x2 + x(–y) + (–x2).x + (–x2).y + y.x2 + y.(–x)
= x3 – xy – x3 – x2y + x2y – xy
= –2xy
1
= –2. .(–100) = 100
2

Baøi 3.
a) 3x(12x – 4) – 9x(4x – 3) = 30
3x.12x + 3x.(–4) + (–9x).4x + (–9x)(–3) = 30
5


36x2 – 12x – 26x2 + 27x = 30
15x = 30
x =2
b) x(5 – 2x) + 2x(x – 1) = 15
x.5 + x.(–2x) + 2x.x + 2x.(–1) = 15
5x – 2x2 + 2x2 – 2x = 15
3x

= 15

x

=5

Baøi 4.
a) x(x – y) + y(x – y) = (x – y)(x + y) = x2 – y2
b) xn – 1(x + y) – y(xn – 1 + yn – 1) = xn + xn – 1.y – xn – 1.y – yn = xn – yn
Bài 5.
Ta có :
3
P = (–3xy).(–x) + (–3xy).5y + 5y2.3x + 5y2.(–2y) + 2.5y3 – 2. x2y +
2
14

= 3x2y – 15xy2 + 15xy2 – 10y3 + 10y3 – 3x2y + 14
= 14
Vậy giá trị của biểu thức P không phụ thuộc giá trị của biến.

2. NHÂN ẹA THệC VễI ẹA THệC
Baứi 1.
1
Đ
Ã
a) ă x2 y 2  xy  2y á (x  2y)
2
â
ạ
1
1
= x2y2.x + x2y2.(–2y) – xy .x + xy .2y + 2y.x – 2y.2y
2
2
Đ 1
Ã
= x3y2 + (2x2y3) + ă  x2 y á + xy2 + 2xy + (4y2)
2
â
ạ

= x3y2 2x2y3 –

1 2
x y + xy2 + 2xy – 4y2
2

b) (x2 – xy + y2)(x + y) = x3 + x2.y + (–x2y) + (–xy2) + y2.x + y3
= x3 + y3
6


Bài 2.
Ta có : P = 2x(4x2 + 6x + 9) – 3(4x2 + 6x + 9)
= 8x3 + 12x2 + 18x – 12x2 – 18x – 27
= 8x3 – 27
Vậy giá trị của biểu thức P tại x =

1
là :
2

3

Đ1Ã
P = 8. ă á  27 = 1 27 = 26
â2ạ

Baứi 3.
Ta coự : x(x + 1)(x + 2) = (x2 + x)(x + 2) = x2(x + 2) + x(x + 2)
= x3 + 2x2 + x2 + 2x = x3 + 3x2 + 2x
Baøi 4.
(3x – 2)(4x – 5) – (2x – 1)(6x + 2) = 0
3x(4x – 5) – 2(4x – 5) – [2x(6x + 2) – (6x + 2)] = 0
12x2 – 15x – 8x + 10 – (12x2 + 4x – 6x – 2) = 0
–21x + 12 = 0

21x – 12

=0

21x = 12
12
4
x =
=
21
7

LUYỆN TẬP
Bài 1.
5x(12x + 7) – (3x + 1)(20x – 5)
= 5x.12x + 35x – [3x(20x – 5) + (20x – 5)]
= 60x2 + 35x – (60x2 – 15x + 20x – 5)
= 60x2 + 35x – (60x2 + 5x – 5)
= 30x + 5
7


Baøi 2.
(x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + 7
= x(2x + 3) – 5(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + 7
= x.2x + 3x + (–5).2x + (–5).3 + (–2x).x + (–2x).(–3) + x + 7
= 2x2 + 3x – 10x – 15 – 2x2 + 6x + x + 7
= –8
Vaäy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến x.
Bài 3.

Ta có : P(x) = x2(x + 3) – 5(x + 3) + x(x – x2) + 4(x – x2)
= x2.x + x2.3 + (–5).x + (–5).3 + x.x + x(–x2) + 4x + 4(–x2)
= x3 + 3x2 – 5x – 15 + x2 – x3 + 4x – 4x2
= –x – 15
Vaäy :

P(x) = –x – 15

a) P(0) = 0 – 15 = –15
b) P(15) = –15 – 15 = –30
c) P(–15) = –15 – (–15) = –15 + 15 = 0
d) P(0,15) = –0,15 – 15 = –15,15
Baøi 4.
(12x – 5)(4x – 1) + (3x – 7)(1 – 16x) = 81
12x(4x – 1) – 5(4x – 1) + 3x(1 – 16x) – 7(1 – 16x) = 81
12x.4x + 12x.(–1) + (–5).4x + (–5).(–1) + 3x + 3x.(–16x) + (–7) +
+ (–7).(–16x) = 81
48x2 – 12x – 20x + 5 + 3x – 48x2 – 7 + 112x = 81
83x – 2 = 81
83x = 81 + 2
83x = 83
x =1
Bài 5.
Gọi ba số tự nhiên chẵn liên tiếp là 2a, 2a + 2, 2a + 4 với a 
. Ta coù :
(2a + 2)(2a + 4) – 2a(2a + 2)

= 192

2

2a(2a + 4) + 2(2a + 4) – 4a – 4a = 192
4a2 + 8a + 4a + 8 – 4a2 – 4a
8

= 192


8a + 8

= 192

8a = 192 – 8
8a = 184
184
a =
8
a = 23
Vậy ba số đó là 46, 48, 50.

3. NHỮNG HẰNG THỨC ĐÁNG NHỚ
Bài 1.
a) (x2y + xy2)2 = (x2y)2 + 2(x2y)(xy2) + (xy2)2
= x4y2 + 2x3y3 + x2y4
b) (x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)][(x + y) + (x – y)]
= (x + y – x + y)(x + y + x – y)
= 2y.2x
= 4xy
Bài 2.
2

1
§1
·
§1·
a)
+ 3x + 9x2 = ă á + 3x + (3x)2 = ă  3x á
4
â2
ạ
â2ạ

2

b) 25x2 70xy + 49y2 = (5x)2 2.5x.7y + (7y)2 = (5x – 7y)2
Bài 3.
Ta có : (10a + 5)2 = (10a)2 + 2.10a.5 + (5)2 = 100a2 + 100a + 25
= 100a(a + 1) + 25
Goïi a là số chục của số tự nhiên có tận cùng bằng 5. Khi đó số
đã cho có dạng 10a + 5.
Để tính bình phương của số tự nhiên có tận cùng là chữ số 5, ta
tính tích a(a + 1) rồi viết 25 vào bên phải.
Chẳng hạn, để tính 252, ta tính 2(2 + 1) = 6 rồi viết tiếp 25 vào
bên phải. Do đó ta có 252 = 625. Tương tự, ta có :
352 = 1225 ;

652 = 14225 ;

752 = 15625
9

Baøi 4.
(x + 1)2 + (x – 1)2 – 2(x + 1)(x – 1) = [(x + 1) – (x – 1)]2 = 22 = 4
Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến x.
Bài 5.
a) P = (x + y)2 (x + y)(x – y) = (69 + 31)2 + (69 + 31)(69 – 31)
= 10000 + 3800 = 13800
b) Q = 4x2 – 9y2 = (2x)2 – (3y)2
§ 1
·§ 1
·
= (2x + 3y)(2x – 3y) = ă 2.  3.33 á ă 2.  3.33 á
â 2
ạâ 2
ạ

= 100.(98)
= 9800

4. NHệếNG HAẩNG ẹANG THệC ẹANG NHễ
Baứi 1.
a) (2x2 + 3y)3 = (2x2)3 + 3(2x2)2.3y + 3.2x2.(3y)2 + (3y)3
= 8x6 + 36x4y + 54x2y2 + 27y3
3

3

2

§1
·
§1 ·
§1 Ã
Đ1 Ã
b) ă x  3 á = ă x á 3 ă x á .3 + 3. ă x á .(3)2 33
â2 ạ
â2
ạ
â2 ạ
â2 ạ
1
9
27
= x3 x2 +
x – 27
2
8
4

Baøi 2.
a) –x3 + 3x2 – 3x + 1 = 1 – 3x + 3x2 – x3 = (1 – x)3
b) 8 – 12x + 6x2 – x3 = 23 – 3.22.x + 3.2.x2 – x3 = (2 – x)3
Baøi 3.
a) x3 + 12x2 + 48x + 64 = x3 + 3.x2.4 + 3.x.42 + 43
= (x + 4)3 = (6 + 4)3 = 103 = 1000
b) x3 – 6x2 + 12x – 8 = x3 – 3.2.x2 + 3.x.22 – 23
= (x – 2)3 = (22 – 2)3 = 203 = 8000
Baøi 4.
1013 – 993 + 1 = (100 + 1)3 – (100 – 1)3 + 1

= 1003 + 3.1002 + 3.100 + 1 – (1003 – 3.1002 + 3.100 – 1) + 1
= 1003 + 3.1002 + 300 + 1 – 1003 + 3.1002 – 300 + 1 + 1
= 6.1003 + 3 = 6000003
10


5. NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ (TIẾP)
Bài 1.
a) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3) = x3 + 27 – 54 + x3 = –27
b) (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)
= 8x3 + y3 – 8x3 + y3 = 2y3
Baøi 2.
a) a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
= (a + b)[(a + b)2 – 3ab]
= (a + b)3 – 3ab(a + b)
b) a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
= (a – b)[(a – b)2 + 3ab
= (a – b)3 + 3ab(a – b)
Vaäy a3 + b3 = (–5)3 – 3.6.(–5) = –125 + 90 = –35
Bài 3.
a) Biến đổi vế phải, ta có :
27x3 + y3 = (3x)3 + y3 = (3x + y)[(3x)2 – 3xy + y2]
= (3x + y)(9x2 – 3xy + y2)
Vậy các ô trống cần điền theo thứ tự là :

9x2 , 3xy , y2

b) Tương tự, ta có :
8x3 – 125 = (2x)3 – 53 = (2x – 5)[(2x)2 + 10x + 52]
= (2x – 5)(4x2 + 10x + 25)

Vậy các ô trống cần điền lần lượt là 4x2 , 10x , 25.
Bài 4.
3

§ 3·
a) P = x y + 1 = 5 . ă á + 1 = 27 + 1 = 28
â5ạ
3 3

3

3

Đ1Ã
b) Q = x y 1 = 2 . ă á 1 = 8 1 = 7
â2ạ
6 3

6

11


LUYỆN TẬP
Bài 1.
a) (2 + xy)2 = 22 + 2.2xy + (xy)2 = 4 + 4xy + x2y2
b) (5 – 3x)2 = 52 – 2.5.3x + (3x)2 = 25 – 30x + 9x
c) (5 – x2)(5 + x2) = (5)2 – (x2)2 = 25 – x4
d) (5x – 1)3

= (5x)3 – 3(5x)2 + 3.5x – 1
= 125x3 – 75x2 + 15x – 1

e) (2x – y)(4x2 + 2xy + y2) = (2x – y)[(2x – y)2 + 6xy]
= (2x – y)3 + 6xy(2x – y) = 8x3 – y3
f) (x + 3)(x2 – 3x + 9) = (x + 3)[(x + 3)2 – 9x]
= (x + 3)3 – 9x(x + 3) = x3 + 27
Baøi 2.
a) (a + b)2 – (a – b)2 = a2 + 2ab + b2 – (a2 – 2ab + b2)
= a2 + 2ab + b2 – a2 + 2ab – b2
= 4ab
3

3

b) (a + b) – (a – b) – 2b3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3) – 2b3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3 – 2b3 = 6a2b
c) (x + y + z)2 – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)2
= [(x + y + z) – (x + y)]2
= (x + y + x – x – y)2 = z2
Baøi 3.
a) 342 + 662 + 68.66 = 342 + 2.34.66 + 662 = (34 + 66)2
= 1002 = 10000
b) 742 + 242 – 48.74 = 742 – 2.74.24 + 242 = (74 – 24)2
= 502 = 2500
Baøi 4.
a) x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 = (98 + 2)2 = (100)2 = 1000
b) x3 + 3x2 + 3x + 1 = (x + 1)3 = (99 + 1)3 = 1003 = 1000000
12

6. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG
Bài 1.
2
§2
·
b) x2 + 5x3 + x2y = x2 ă  5x  y á
5
5
â
ạ
c) 14x2y 21xy2 + 28x2y2 = 7xy(2x – 3y + 4xy)
2
2
2
d) x(y – 1) – y(y – 1) = (y – 1)(x – y)
5
5
5
e) 10x(x – y) – 8y(y – x) = 2(x – y)(5x + 4y)
Baøi 2.
a) 15.91,5 + 150.0,85 = 15.91,5 + 15.10.0,85
= 15(91,5 + 8,5)
= 15.100 = 1500
b) x(x – 1) – y(1 – x) = (x – 1)(x + y). Thay số ta được :
= (2001 – 1)(2001 + 1999)
= 2000.4000
= 8000000

Baøi 3.
a) 5x(x – 2000) – x + 2000

=0

5x(x – 2000) – (x – 2000) = 0
(x – 200)(5x – 1)

=0
1
Từ đó, ta có x = 2000 hoaëc x =
5
b) x3 – 13x = 0
x(x2 – 13) = 0
x(x –

13 )(x +

13 ) = 0

Từ đó, ta có x = 0 hoặc x =

13 hoặc x = – 13

Baøi 4.
a) x2y2 + 2x2 + y2 + 2 = x2(y2 + 2) + y2 + 2 = (y2 + 2)(x2 + 1)
b) a2 – b2 + a – b = (a – b)(a + b) + (a – b) = (a – b)(a + b + 1)
Baøi 5.
55n + 1 – 55n = 55n(55 – 1) = 54.55n
Vaäy biểu thức đã cho chia hết cho 54 với n là số tự nhiên.

13


7. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC
Bài 1.
a) x2 + 6x + 9 = x2 + 2.3x + 32 = (x + 3)2
b) 10x – 25 – x2 = –(x2 + 2.5x + 52) = (x + 5)2
c) 8x3

3

1ÃĐ
1Ã
1
Đ1Ã
Đ
= (2x)3 ă á = ă 2x  á ă 4x2  x  á
2ạâ
4ạ
8
â
â2ạ
2

1 à êĐ
1Ã
Đ
= ă 2x  á ôă 2x  á  3x ằ
2 ạ ôơâ

2ạ
â
ằẳ

d)

2

1 2
2
Đ1 Ã
Đ1
ÃĐ1
Ã
x  64y 2 = ă x á   8y
= ă x  8y á ă x  8y á
25
â5
ạâ5
ạ
â5 ạ

Baứi 2.
3

1ÃĐ
1
1Ã
1
Đ1Ã

Đ
= x3 + ă á = ă x  á ă x 2  x  á
a) x +
3ạâ
3
9ạ
27
â
â 3ạ
3

2

1 à êĐ
1Ã
Đ
= ă x  á ôă x
á  xằ
3 ạ ôơâ
3ạ
â
ằẳ

b) (a + b)3 (a – b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – (a3 – 3a2b + 3ab2 –
b3)
= 2b3 + 6a2b = 2b(b2 + 3a2)
c) (a + b)3 + (a – b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + a3 – 3a2b + 3ab2 –
b3
= 2a3 + 6ab2 = 2a(a2 + 3b2)
d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.2x.y2 + y3

= (2x + y)3
e) –x3 + 9x2 – 27x + 27 = –[x3 – 3.x2.3 + 3.x.32 – 33] = –(x – 3)3
Baøi 3.
a) 732 – 272 = (73 – 27)(73 + 27) = 46.100 = 4600
b) 372 – 132 = (37 – 13)(37 + 13) = 24.50 = 1200
c) 20022 – 22 = (2002 – 2)(2002 + 2) = 2000.2004 = 4008000
14


8. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÓM HẠNG TỬ
Bài 1.
a) x2 – xy + x – y = x(x – y) + (x – y) = (x – y)(x + 1)
b) xz + yz – 5(x + y) = z(x + y) – 5(x + y) = (x + y)(z – 5)
c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y = 3x(x – y) – 5(x – y) = (x – y)(3x – 5)
Baøi 2.
a) x2 + 4x – y2 + 4 = (x2 + 4x + 4) – y2 = (x + 2)2 – y2
= (x + 2 + y)(x + 2 – y)
2

2

b) 3x + 6xy + 3y – 3z2 = 3(x2 + 2xy + y2 – z2) = 3[(x + y)2 – z2]
= 3(x + y + z)(x + y – z)
2

2

2

c) x – 2xy + y – z + 2zt – t2 = x2 – 2xy + y2 – (z2 – 2zt + t2)
= (x – y)2 – (z – t)2
= [(x – y) + (z – t)][(x – y) – (z – t)]
= (x – y + z – t)(x – y – z + t)
Baøi 3.
a) 37,5.6,5 – 7,5.3,4 – 6,6.7,5 + 3,5.37,5
= 37,5(6,5 + 3,5) – 7,5(3,4 + 6,6)
= 37,5.10 – 7,5.10 = 10(37,5 – 7,5)
= 10.30 = 300
b) 452 + 402 – 152 + 80.45 = 452 + 2.40.45 + 402 – 152
= (45 + 40)2 – 152 = 852 – 152 = (85 – 15)(85 + 15) = 7000
Baøi 4.
a) x(x – 2) + x – 2 = 0
(x – 2)(x + 1) = 0
Vaäy x = 2 ; x = –1
b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0
5x(x – 3) – (x – 3) = 0
(x – 3)(5x – 1) = 0
1
Vaäy x = 3 ; x =
5
15


9. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
BẰNG CÁCH PHỐI HP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP
Bài 1.
a) x3 – 2x2 + x = x(x2 – 2x + 1) = x(x – 1)2
b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2 = 2[x2 + 2x + 1 – y2]
= 2[(x + 1)2 – y2] = 2(x + 1 – y)(x + 1 + y)

c) 2xy – x2 – y2 + 16 = 16 – (x2 – 2xy + y2) = 42 – (x – y)2
= [4 – (x – y)][4 + (x – y)]
= (4 – x + y)(4 + x – y)
Baøi 2.
(5n + 2)2 – 4 = (5x + 2 – 2)(5x + 2 + 2) = 5n(5n + 4)
Vậy biểu thức đã cho luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.
Bài 3.
a) Tách –3x = –x – 2x ta được : x2 – 3x + 2 = x2 – x – 2x + 2
= x(x – 1) – 2(x – 1) = (x – 1)x – 2)
b) Taùch x = 3x – 2x ta được : x2 + x – 6 = x2 + 3x – 2x – 6
= x(x + 3) – 2(x + 3) = (x + 3)(x – 2)
c) Taùch 5x = 2x + 3x ta được : x2 + 5x + 6 = x2 + 2x + 3x + 6
= x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3)
Baøi 4.
0,25x3 + x2 + x = 0

êĐ 1 à 2

x ôă x á  x  1ằ = 0
ằẳ
ơôâ 2 ạ
Đ1
Ã
x ă x  1á
â2
ạ

2

Suy ra x = 0 hoaởc

16

=0
1
x  1 = 0. Vaäy x = 0 ; x = –2
2


Baøi 5.
a) P = x(x3 – 3x2 + 3x – 1) = x(x – 1)3
P(101) = 101(101 – 1)3 = 101.1003
= 101000000
b) Q = y2 – 2y + 1 – [(3x)2 + 6x + 1]
= (y – 1)2 – (3x + 1)2
= (11 – 1)2 – (3.33 + 1)2
= 102 – 1002 = 100 – 10000
= –9900

LUYỆN TẬP
Bài 1.
a) x3 + 2x2y + xy2 – 9x = x(x2 + 2xy + y2 – 9) = x[(x + y)2 – 32]
= x(x + y – 3)(x + y + 3)
2

b) 2x – 2y – x + 2xy – y2 = 2(x – y) – (x2 – 2xy + y2)
= 2(x – y) – (x – y)2
= (x – y)[2 – (x – y)] = (x – y)(2 – x + y)
4

2

2

2

2

c) x – 2x = x (x – 2) = x (x

2 )(x +

2)

Baứi 2.
1
x=0
4
1Ã
Đ
x ă x2  á = 0
4ạ
â

a) x3

1ÃĐ
1Ã
Đ
xăx  áăx  á = 0

2ạâ
2ạ
â

Vaọy coự ba giá trị của x là x = 0 ; x =

1
1
;x=–
2
2

b) (2x – 1)2 – (x + 3)2 = 0
(2x – 1 – x – 3)(2x – 1 + x + 3) = 0
(x – 4)(3x + 2) = 0

17


Vậy có hai giá trị của x là x = 4 ; x = –

2
3

c) x2(x – 3) + 12 – 4x = 0
x2(x – 3) – 4(x – 3) = 0
(x – 3)(x2 – 4) = 0
(x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0
Vậy có ba giá trị của x là x = 3 ; x = 2 ; x = 2
Baứi 3.

2

1Ã
1
1
Đ
a) x + x +
= ă x  ¸ = (49,75 + 0,25)2 = 502 = 2500
4ạ
2
16
â
2

b) x2 y2 2y 1 = x2 – (y2 + 2y + 1) = x2 – (y + 1)2
= [x – (y + 1)][x + (y + 1)]
= (x – y – 1)(x + y + 1)
= (93 – 6 – 1)(93 + 6 + 1)
= 86.100 = 8600
Baøi 4.
a) x2 – 4x + 3 = x2 – x – 3x + 3 = x(x – 1) – 3(x – 1)
= (x – 1)(x – 3)
2

b) x + 5x + 4 = x2 + x + 4x + 4 = x(x + 1) + 4(x + 1)
= (x + 1)(x + 4)
2

c) x – x – 6 = x2 + 2x – 3x – 6 = x(x + 2) – 3(x + 2)
= (x + 2)(x – 3)

4

d) x + 4

= x4 + 4x2 + 4 – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2
= (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)

Baøi 5.
n3 – n = n(n2 – 1) = n(n – 1)(n + 1)
vì n là số nguyên nên (n – 1), n(n + 1) là các số nguyên liên tiếp.
Do đó, nó luôn chia heát cho 6.

18


10. CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC
Bài 1.
a) 53 : (–5)2 = 53 : 52
= 53–2 = 5
5

3

2

9
§ 3·
§ 3·
§ 3Ã
b) ă á : ă á = ă á =

16
â4ạ
â4ạ
â4ạ

c) (–12)3 : 83 = –(43.33) : (43.23)
§ 3·
= –(33 : 23) = ă á
â2ạ
27
=
8

3

Baứi 2.
a) x10 : (x)8 = x10 : x8 = x10 – 8 = x2
b) (–x)5 : (–x)3 = (–x)5 – 3 = (–x)2 = x2
c) (–y)5 : (–y)4 = (–y)5 – 4 = –y
Baøi 3.
a) 5x2y4 : 10x2y =
b)

5 2
1
1
(x : x2)(y4 : y) = x 2 – 2.y4 – 1 = y3
2
2
10

3 3 3 § 1 2 2·
3
ª 3 § 1 ·º
x y : ă  x y á = ô : ă  ¸ » (x3 : x2)(y3 : y2) = – xy
2
4
© 2
ạ
ơ 4 â 2 ạẳ

c) (xy)10 : (xy)5 = [(xy)10 : (xy)5] = –[(xy)10 – 5] = –(xy)5
Baøi 4.
15x4y3z2 : 5xy2z2 = 3(x4 : x)(y3 : y2)(z2 : z2) = 3x3y
= 3.23.(–10) = 24.(–10) = –240

19


11. CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC
Bài 1.
a) (–2x5 + 3x2 – 4x3) : 2x2 = (–2x5 : 2x2) + (3x2 : 2x2) + (–4x3 :
2x2)
3
= –x3 +
– 2x
2
§ 1 Ã
b) (x3 2x2y + 3xy2) : ă  x á
â 2 ạ

ê
ê
ê
Đ 1 Ã
Đ 1 Ã
Đ 1 Ã
= ô x3 : ă  x á ằ + ô(2x 2 y) : ă  x á ằ + ô(3xy 2 ) : ă  x á ằ
â 2 ạẳ
â 2 ạẳ
â 2 ạẳ
ơ
ơ
ơ

= 2x2 + 4xy 6y2
c) (3x2y2 + 6x2y3 – 12xy) : 3xy
= (3x2y2 : 3xy) + (6x2y3 : 3xy) + [(–12xy) : 3xy]
= xy + 2xy2 – 4
Bài 2.
Đặt t = x – y, ta có :
(3t4 + 2t3 – 5t2) : (–t)2 = (3t4 : t2) + (2t3 : t2) + (–5t2 : t2)
= 3t2 + 2t – 5
Thay t = x – y ta được kết quả : 3(x – y)2 + 2(x – y) – 5
Bài 3.
a) Đa thức M chia hết cho đơn thức 2xy vì 4x 3y2, –3x2y và xy2
đều chia hết cho 2xy
3
1 Ã
Đ
b) Ta coự M = 2xy ă 2x2 y  x  y ¸ . Từ đó, suy ra

2
2 ạ
â
3
1
M : 2xy = 2x2 y  x  y
2
2
3
1
Vậy thương cần tìm là 2x2 y  x  y
2
2

20


12. CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP
Bài 1.
a) (x3 – 7x + 3 – x2) : (x – 3) = (x3 – x2 – 7x + 3) : (x – 3)
x 3  x 2  7x  3

x  3

x  3x

x 2  2x  1

3

2

0  2x 2  7x
2x 2  6x
0 x  3
x  3
0
Từ đó, ta có thương cần tìm là x2 + 2x – 1
Vaäy (x3 – x2 – 7x + 3) : (x – 3) = x2 + 2x – 1
b) Tương tự, ta có
(2x4 – 3x3 – 3x2 – 2 + 6x) : (x2 – 2) = (2x4 – 3x3 – 3x2 + 6x – 2) : (x2 – 2)

2x 4  3x 3  3x 2  6x  2

x2  2

2x 4

2x 2  3x  1

 4x 2
 3x3 

x 2  6x

 3x3

 6x
2

x

 2

x2

 2
0

Vaäy (2x4 – 3x3 – 3x2 + 6x – 2) : (x2 – 2) = 2x2 – 3x + 1
Baøi 2.
a) (x2 + 2xy + y2) : (x + y) = (x + y)2 : (x + y) = x + y
b) (125x3 + 1) : (5x + 1) = [(5x)3 + 13] : (5x + 1)
= (5x + 1)[(5x)2 – 5x + 1] : (5x + 1)
= 25x2 – 5x + 1
c) (x2 – 2xy + y2) : (y – x) = (x – y)2 : [–(x – y)
= –[(x- y)2 : (x – y) = –(x – y)

21


Bài 3.
Thực hiện phép chia A cho B, ta có :
3x 4  x 3 
3x 4

6x  5

 3x 2

x2  1
3x 2  x  3

x 3  3x 2  6x
x3

 x
 3x  5x  5
2

 3x2

 3
5x  2

Do đó, phép chia có thương và dư là Q = 3x2 + x – 3, R = 5x – 2
Vaäy, A = (x2 + 1)(3x2 + x – 3) + 5x – 2
Bài 4.
Thực hiện phép chia A cho B, ta coù :
2x5 

x4

 3x  a

2x5  2x 4  2x 3

x2  x  1
2x 3  x 2  x  2

x4  2x 3
x4 

x3  x2
 x3  x 2  3x
 x3  x2  x
 2x 2  4x  a
 2x 2  2x  2
2x  a  2

Vậy để phép chia có dư R = 2x + 3 thì cần có :
2x + a + 2 = 2x + 3 hay a = 1

22


LUYỆN TẬP
Bài 1.
a) (25x5 – 5x4 + 10x2) : 5x2 = (25x5 : 5x2) + (–5x4 : 5x2) + (10x2 : 5x2)
= 5x3 – x2 + 2
b) (15x3y2 – 6x2y – 3x2y2) : 6x2y
= (15x3y2 : 6x2y) + (–6x2y : 6x2y) + (–3x2y2 : 6x2y)
5
1
= xy – 1 – y
2
2
Baøi 2.
Thực hiện phép chia, ta có :
2x 4  x 3  3x 2  5x  2

x2  x  1

2x 4  2x 3  2x 2

2x 2  3x  2

3x 3  5x 2  5x
3x 3  3x 2  3x
 2x 2  2x  2
 2x 2  2x  2
0

Vaäy (2x4 + x3 – 3x2 + 5x – 2) : (x2 – x + 1) = 2x2 + 3x – 2
Baøi 3.
a) (4x2 – 9y2) : (2x – 3y) = (2x – 3y)(2x + 3y) : (2x – 3y) = 2x + 3y
b) (27x3 – 1) : (3x – 1)

= [(3x)3 – 13) : (3x – 1)
= (3x – 1)(9x2 + 3x + 1) : (3x – 1)
= 9x2 + 3x + 1

c) (8x3 + 1) : (4x2 – 2x + 1) = [(2x)3 + 1] : (4x2 – 2x + 1)
= (2x + 1)[(2x)2 – 2x + 1] : (4x2 – 2x + 1)
= 2x + 1
d) (x2 – 3x + xy – 3y) : (x + y) = [x(x – 3) + y(x – 3)] : (x + y)
= (x – 3)(x + y) : (x + y) = x – 3
Baøi 4.
23

Thực hiện phép chia, ta có :
2x3  3x 2 

x  a

2x3  4x 2

x  2
2x 2  7x  15

 7x2 

x

 7x  14x
2

15x  a
15x  30
a  30

Do đó, để có phép chia hết thì a – 30 = 0 hay a = 30

ÔN TẬP CHƯƠNG I
Bài 1.
a) (2x2 – 3x)(5x2 – 2x + 1) = 2x2(5x2 – 2x + 1) + (–3x)(5x2 – 2x + 1)
= 2x2.5x2 + 2x2.(–2x) + 2x2 + (–3x).5x2 + (–3x).(–2x) + (–3x)
= 10x4 – 4x3 + 2x2 – 15x3 + 6x2 – 3x
= 10x4 – 19x3 + 8x2 – 3x

b) (x – 2y)(3xy + 5y2 + x) = x(3xy + 5y2 + x) + (–2y)(3xy + 5y2 + x)
= x.3xy + x.5y2 + x.x + (–2y).3xy + (–2y).5y2 + (–2y).x
= 3x2y + 5xy2 + x2 – 6xy2 – 10y3 – 2xy
= 3x2y – xy2 + x2 – 10y3 – 2xy
Baøi 2.
a) (x + 2)(x – 2) – (x – 3)(x + 1) = x2 – 4 – [x2 + x – 3x – 3]
= x2 – 4 – [x2 – 2x – 3]
= x2 – 4 – x2 + 2x + 3 = 2x – 1
b) (2x + 1)2 + (3x – 1)2 + 2(2x + 1)(3x – 1) = [(2x + 1) + (3x – 1)]2
= (2x + 1 + 3x – 1)2
= (5x)2 = 25x2
Baøi 3.
(n – 1)2(n + 1) + (n2 – 1) = (n – 1)2(n + 1) + (n – 1)(n + 1)
= (n – 1)(n + 1)(n – 1 + 1)
24


= n(n – 1)(n + 1)
Vì n là số nguyên nên (n – 1)n(n + 1) là số chia hết cho 2.3 = 6.
Do đó, nó luôn chia hết cho 6.
Baøi 4.
a) M = x2 – 2.x.2y + (2y)2 = (x – 2y)2
Tại x = 18 và y = 4, biểu thức có giá trị là :
M = (18 – 2.4)2 = (12)2 = 144
b) N = (2x)3 – 3.(2x)2.y + 3.2x.y2 – y3 = (2x – y)3
Taïi x = 6 và y = –8, biểu thức có giá trị laø :
N = (2.5 + 8)3 = 203 = 8000
Baøi 5.
a) x2 – 4 + (x – 2)2 = (x – 2)(x + 2) + (x – 2)2
= (x – 2)(x + 2 + x – 2) = 2x(x – 2)

3

2

b) x – 2x + x – xy2 = x(x2 – 2x + 1 – y2)
= x[(x – 1)2 – y2] = x(x – 1 – y)(x – 1 + y)
c) x3 – 4x2 – 12x + 27 = x3 + 27 – 4x(x – 3)
= (x + 3)[(x2 – 3x + 9) – 4x]
= (x – 3)(x2 – 7x + 9)

ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG I
Câu 1.
a) x2(x + 1) – (x + 3)(x2 – 3x + 9) = x3 + x2 – (x3 + 27)
= x3 + x2 – x3 – 27 = x2 – 27
b) 2(x2 – 1) – (x – 1)2 – (x + 1)2 = 2(x2 – 1) – [(x – 1)2 + (x + 1)2]
= 2(x2 – 1) – (x2 – 2x + 1 + x2 + 2x + 1) = 2(x2 – 1) – (2x2 + 2)
= 2x2 – 2 – 2x2 – 2 = –4

25


Caâu 2.
a) x2 – x – 2 = x2 + x – 2x – 2 = x(x + 1) – 2(x + 1) = (x + 1)(x – 2)
b) 6xy – 9x2 – y2 = –[(3x)2 – 2.3x.y + y2] = –(3x – y)2
Câu 3.
a) Thực hiện phép chia, ta coù :
(x2 – 2x + x3 – 8) : (x – 2) = (x3 + x2 – 2x – 8) : (x – 2)
x3  x2  2x  8

x 2

x  2x

x2  3x  4

3

2

3x2  2x
3x2  6x
4x  8
4x  8
0

Vaäy (x2 – 2x + x3 – 8) : (x – 2) = x2 + 3x + 4
b) Thực hiện phép chia, ta có :
2x 3 

x2 

x 1

2x 3  2x 2  2x

x2  x  1
2x  1

x  x 1
2

x2  x  1
0

Vaäy (2x3 – x2 + x + 1) : (x2 – x + 1)

26


Chương II

PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
1. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
Bài 1: Hai phân thức sau có bằng nhau không?

x 2  5x  4
x 2  3x  4
vaø
2x 2  x  3
2 x 2  5x  3
Giải
Ta có :

2x4  5x3  14x2  5x  12



vaø 2x  x  3
2