Giải vở bài tập toán 9 tập 2
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (840.18 KB, 139 trang )
GL̫i vͧ bàiW̵p
TOÁN 9
TẬP 2
PHẦN ĐẠI SỐ
YZ
Chương
LUYỆN TẬP
Bài 1.
a) Với a = –1, ta có hệ phương trình
x 3y = 1
x 3y = 1
hay ®
®
¯2x 6y = 2
¯ x 3y = 1
Từ đó ta thấy ngay 0x + 0y = 2 với a = –1 thì phương trình vô
nghiệm.
x 3y = 1
b) Với a = 0, ta có hệ phương trình ®
¯ x 6y = 0
Từ phương trình thứ nhất ta có x = 1 – 3y
Thế x trong phương trình thứ hai bởi x = 1 – 3y, ta được (1 – 3y)
1
+ 6y = 0, hay y = –
3
§ 1·
Từ ủoự, x = 1 3 ă á = 2
â 3ạ
Vaọy vụựi a = 0, heọ phửụng trỡnh coự nghieọm duy nhaỏt (x ; y) =
1Ã
Đ
ă2 ; á
3ạ
â
c) Với a = 1, ta có hệ phương trình
x 3y = 1
x 3y = 1
hay ®
®
¯2x 6y = 2
¯ x 3y = 1
Từ đó dễ thấy hệ phương trình này có vô số nghiệm. Hơn nữa, tập
nghiệm của nó chính là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
x + 3y = 1.
Do x + 3y = 1 x = 1 – 3y nên tập nghiệm của nó là
S = {1 – 3y, y }
Vậy với a = 1, hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm (x ; y) tính
theo công thức
x = 1 3y
®
¯y
5
Bài 2.
a) Từ phương trình thứ nhất ta có y = 3x – 5. Thế y trong
phương trình thứ hai bởi kết quả này ta được 5x + 2(3x – 5) = 23,
hay 11x = 33. Phương trình này cho x = 3. Từ đó
y=3.3–5=4
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x ; y) = (3 ; 4)
b) Từ phương trình thứ hai ta có y = 2x + 8. Thế kết quả này
cho y trong phương trình thứ nhất ta được 3x + 5(2x + 8) = 1,
hay 13x = –39. Phương trình này cho x = –3.
Từ đó y = 2 (–3) + 8 = 2
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x ; y) = (–3; 2)
c) Với điều kiện y z 0, ta đưa hệ phương trình đã cho về hệ
phương trình bậc nhất hai ẩn và giải như sau :
2
x
° =
3
®y
° x y 10 = 0
¯
3x = 2y
®
¯ y = 10 x
3x = 2(10 x)
®
¯ y = 10 x
5x = 20
®
¯ y = 10 x
x = 4
®
¯y = 6
Giá trị y = 6 thỏa mãn điều kiện y z 0. Vậy hệ phương trình đã
cho có nghiệm (x ; y) = (4 ; 6)
Bài 3.
a) Từ phương trình thứ hai ta có x =
2 – y 3 . Thế kết quả này vào x
trong phương trình (1) ta được ( 2 – y 3 ) 2 – y 3 = 1, hay
3 ( 2 + 1)y = 1. Phương trình này cho ta y =
1
3( 2 1)
=
2 1
.
3
Từ đó.
x=
2
2 1
3 =1
3
§
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm (x ; y) = ăă 1 ;
â
2 1Ã
á
3 áạ
b) Caựch 1 : Bieồu diển x theo y từ phương trình thứ nhất ta có x =
5 2 2y . Thế kết quả này cho x ở phương trình thứ hai ta được:
2( 5 2 2y) y = 1 10 hay 5y = 1 – 2 10
6
Phương trình này cho ta y =
x=
1 2 10
. Từ đó
5
§ 1 2 10 · 2 2 3 5
5 2 2 ăă
áá =
5
5
â
ạ
Vaọy phửụng trỡnh ủaừ cho có một nghiệm
§ 2 2 3 5 1 2 10 Ã
(x ; y) = ăă
;
áá
5
5
â
ạ
Caựch 2 : Biểu diễn y theo x từ phương trình thứ hai ta có
y = 1 10
2x
Thế kết quả này cho y ở phương trình thứ nhất ta được
x = 2 2(1 10
Phương trình này cho ta x
y= 1
10
5 hay 5x = 2 2 3 5
2x) =
2 2 3 5
. Từ đó
5
§2 2 3 5Ã
1 2 10
2 ăă
áá =
5
5
â
ạ
Vaọy phửụng trỡnh ủaừ cho có một nghiệm
§ 2 2 3 5 1 2 10 Ã
;
(x ; y) = ăă
áá
5
5
â
ạ
c) Caựch 1 : Biểu diễn x theo y từ phương trình thứ hai ta có
x = 1 ( 2 1)y
Thế kết quả này cho y trong phương trình thứ hai ta được
x ( 2 1)[( 2 1)x
Phương trình này cho ta x =
§3 2·
y = ( 2 1) ăă
á
2 áạ
â
2] = 1 2x = 3 +
2
3 2
. Tửứ ủoự
2
2
1
2
Đ3 2
1Ã
; áá
Vaọy phương trình đã cho có một nghiệm (x ; y) = ăă
2
2ạ
â
Caựch 2 : Bieồu ieón x theo y tửứ phương trình thứ hai ta có
x = 1 – ( 2 + 1)y
Thế kết quả này cho x trong phương trình thứ nhất ta được
( 2 1)[1 ( 2 1)y] y =
7
2 hay 2y = –1
Phương trình này cho ta y = –
1
. Từ đó
2
3 2
Đ 1Ã
x = 1 ( 2 + 1) ă á =
2
â 2ạ
Đ3 2
1Ã
Vaọy phửụng trỡnh ủaừ cho coự moọt nghieọm (x ; y) = ăă
; áá
2
2ạ
â
Baứi 4.
a) Hệ phương trình ẩn x và y đã cho có nghiệm (1 ; –2) khi và chỉ khi
2x by = 4
®
¯ bx ay = 5
Ta coi đây là một hệ phương
hệ phương trình này ta có :
2 2b = 4
®
¯ b 2a = 5
b = 3
®
¯3 2a = 5
trình bậc nhất hai ẩn là a, b và giải
2b = 6
®
¯ b 2a = 5
b = 3
®
¯a = 4
Trả lời : a = –4 và b = 3
b) hệ phương trình ẩn x và y đã cho có nghiệm ( 2 – 1 ;
và chỉ khi:
°2( 2 1)
®
°
¯ b( 2 1)
2 ) khi
2b = 4
2a = 5
Ta coi đây là một hệ phương trình bậc nhất với hai ẩn là a, b và
giải hệ phương trình này.
Từ phương trình thứ nhất ta có :
2 2 2
b=
2b = 4
2 2 2
2
2b = 2 2 2
b = ( 2 2)
Thế giá trị này của b vào phương trình thứ hai ta được :
( 2 2)( 2 1)
2
2 2 2 2
2a = 5
Trả lời : a =
2
2a = 5
2a = 5
a=
5
2
2
5 2 2
, b = ( 2 2)
2
8
=
5 2 2
2
Bài 5.
Ta có :
P(–1) = –m + (m – 2) + (3n – 5) – 4n = –n – 7
P(3) = 27m + 9(m – 2) – 3(3n – 5) – 4n = 36m – 13n – 7
Theo giả thiết, P(x) chia hết cho x + 1 nên P(–1) = 0, tức là –n – 7 = 0.
Tương tự , vì P(x) chia hế t cho x – 3 nê n P(3) = 0, tứ c là 36m
– 13n – 3 = 0.
Vậy ta phải giải hệ phương trình
n 7 = 0
®
¯36m 13n 3 = 0
Từ phương trình thứ nhất, ta có n = –7
Thế giá trị n = –7 vào phương trình thứ hai ta được
36m – 13(–7) – 3 = 0
88
22
.
Suy ra m =
=
36
9
22
Trả lời : m =
và n = –7.
9
4. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP
CỘNG ĐẠI SỐ
Bài 1.
a) Cộng từng vế hai phương trình của hệ đã cho ta được 5x = 10.
Do đó :
3x y = 3
5x = 10
x = 2
x = 2
®
®
®
®
¯2x y = 7
¯2x y = 7
¯2x y = 7
¯y = 3
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x ; y) = (2 ; –3).
b) Trừ từng vế hai phương trình của hệ đã cho ta được 8y = 8. Do đó :
y = 1
2x 5y = 8
8y = 8
y = 1
°
®
3
®
®
®
2x
3y
=
0
2x
3y
=
0
2x
3y
=
0
¯
¯
¯
°¯ x = 2
3·
§
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhaỏt (x ; y) = ă 1 ; á
2ạ
â
9
c) ta giải hệ phương trình bằng cách nhân hai vế của phương trình
thứ hai với 2 rồi trừ từng vế hai phương trình :
4x 3y = 6
4x 3y = 6
4x 3y = 6
x = 3
®
®
®
®
¯4x 2y = 8
¯2x y = 4
¯y = 2
¯y = 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x ; y) = (3 ; –2)
d) Ta giải hệ phương trình bằng cách nhân hai vế của phương
trình thứ nhất với 2, nhân hai vế của phương trình thứ hai với 3
rồi cộng từng vế hai phương trình :
2x 3y = 2
13x = 13
4x 6y = 4
x = 1
®
®
®
®
¯3x 2y = 3
¯9x 6y = 9
¯9x 6y = 9
¯y = 0
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x ; y) = (–1 ; 0)
e) Cách 1 : Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 4 rồi cộng
từng vế hai phương trình :
1, 2x 2y = 12
2, 7x = 13, 5
0, 3x 0, 5y = 3
®
®
®
¯1, 5x 2y = 1, 5
¯1, 5x 2y = 1, 5
¯1, 5x 2y = 1, 5
x = 5
x = 5
x = 5
°
®
®
1, 5 .5 1, 5 ®
¯1, 5x 2y = 1, 5
¯y = 3
°¯ y =
2
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x ; y) = (5 ; 3).
Cách 2 : Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 5 rồi trừ từng
vế hai phương trình ta được
4, 5y = 13, 5
0, 3x 0, 5y = 3
1, 5x 2, 5y = 15
®
®
®
¯1, 5x 2y = 1, 5
¯1, 5x 2y = 1, 5
¯1, 5x 2y = 1, 5
y = 3
y = 3
y = 3
°
®
®
1, 5 2y ®
¯1, 5x 2y = 1, 5
¯x = 5
°x =
1, 5
¯
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x ; y) = (5 ; 3).
Bài 2.
a) Ta giải bằng cách nhân hai vế của phương trình thứ nhất với
2 rồi trừ từng vế hai phương trình :
° x 2 3y = 1
°2x 3 2y = 2
°4 2y = 2 2
®
®
®
°
°2x y 2 = 2
°2x y 2 = 2
¯2x y 2 = 2
¯
¯
10
2 2 2
6 2
2 2
y =
°
°x =
°y =
°
°
8
8
®
®
®
4 2
2 y 2
1 2
°
°
°
y =
¯2x y 2 = 2
°¯ x =
°
2
4
¯
Vaäy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
§ 6 2
1 2Ã
(x ; y) = ăă
;
á
8
4 áạ
â
b) Ta giaỷi baống cách nhân hai vế của phương trình thứ nhất với
2 rồi cộng từng vế hai phương trình :
°5x 3 y = 2 2
°5x 6 y 2 = 4
°6 6x = 6
®
®
®
°
°
°
¯x 6 y 2 = 2
¯x 6 y 2 = 2
¯x 6 y 2 = 2
1
1
x =
6
x =
°
°
6
6
°
°x =
°
6 6
®
®
®
°x 6 y 2 = 2
°y = x 6 2
°y = 1
¯
°¯
°¯
2
2
1 ·
§ 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhaỏt (x ; y) = ă
;
á
2ạ
â 6
Baứi 3.
a) Vụựi a = 3, ta có hệ phương trình
5x 2y = 3
5x 2y = 3
hay ®
®
¯10x 4y = 6
¯5x 2y = 3
Ta thấy ngay hệ phương trình này vô nghiệm.
b) Với a = –3, ta có hệ phương trình
5x 2y = 3
5x 2y = 3
hay ®
®
¯5x 2y = 3
¯10x 4y = 6
Ta thấy ngay hệ phương trình này có vô số nghiệm và tập nghiệm
của nó chính là nghiệm của phương trình bậc nhất 2 ẩn. Mặt khác
5x 3
5x – 2y = –3 y =
2
nên tập nghiệm của phương trình cũng là tập nghiệm của hệ
phương trình laứ
ư 5x 3
; x
S= đ
2
ẵ
ắ
11
5x 2y = 3
c) Với a = 2, ta có hệ phương trình ®
. Cộng từng vế
¯5x 4y = 4
7
hai phương trình của hệ, ta được –2y = 7 hay y = –
2
Từ đó, thế giá trị này của y vào phương trình thứ nhất, ta có
10
§ 7·
–5x + 2 ă á = 3 5x = 10 x =
x = 2
5
â 2ạ
7Ã
Đ
Vaọy heọ phương trình có nghiệm duy nhất (x ; y) = ă 2 ; á
2ạ
â
Baứi 4.
Trửụực heỏt, ta xeựt tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1) và
(d2). Đó là nghiệm của hệ phương trình.
5x 3y = 5
®
¯2x 3y = 23
Cộng từng vế hai phương trình của hệ ta được 7x = 28, tức là x = 4.
Thế giá trị này của x vào phương trình thứ nhất ta có :
5 . 4 – 3y = 5 20 – 3y = 5 y = 5
Vậy hai đường thẳng (d1) và (d2) cắt nhau tại điểm A(4 ; 5)
– Tiếp theo, ta xác định các giá trị của m và n để (d3) và (d4) ñi
qua A. Ta coù :
(d3) ñi qua A(4 ; 5) khi và chỉ khi m.4 + n.5 = 1 hay 4m + 5n = 1
(d4) ñi qua A(4 ; 5) khi và chỉ khi 4n + 5m = 13
Bởi vậy, (m ; n) là nghiệm của hệ phương trình
4m 5n = 1
®
¯4n 5m = 13
Ta giải hệ phương trình này bằng phương pháp cộng đại số. Cụ thể là:
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 5 (được 25n + 20m = 5), hai
vế của phương trình thứ hai với 4 (được 16n + 20m = 52) rồi trừ từng vế
hai phương trình ấy (được 7b = 49). Do đó trừ hai vế phương trình:
47
+ 9n = –47 n =
9
235
1
1 5n
244 61
9
m=
4
4
36
9
61
47
Ta coù đáp số của bài toán là m =
và n =
9
9
12
LUYỆN TẬP
Bài 1.
a) Từ phương trình thứ hai, biểu diễn y theo x ta được y = 3x + 7.
Thế kết quả này vào y trong phương trình thứ nhất ta coù
–5x + 2(3x + 7) = 12 –5x + 6x + 14 = 12 x = –2
Do ñoù
5x 2y = 12
x = 2
x = 2
®
®
®
¯3x y = 7
¯ y = 3x 7
¯y = 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x ; y) = (–2 ; 1)
b) Biểu diễn y theo x từ phương trình thứ nhất ta được y = 12x – 10.
Thế kết quả này vào y trong phương trình thứ hai ta có
1
10
=4
–4x + (12x 10) = 4 0x –
3
3
22
Phương trình cuối cùng 0x =
, chứng tỏ hệ phương trình đã cho
3
vô nghiệm.
c) Biểu diễn x theo y từ phương trình thứ nhất ta được x = 6 + 2y.
Thế kết quả này vào x trong phương trình thứ hai ta có
1
6
(6 2y) y 2 = 3 2 0y +
=3 2
2
2
Phương trình cuối cùng 0y = 0, chứng tỏ hệ phương trình đã cho có
vô số nghiệm tính theo công thức
x = 6 2y
®
¯y
Bài 2.
a) Ta giải hệ phương trình bằng cách nhân hai vế của phương
trình thứ nhất với 3, hai vế của phương trình thứ hai với 2 rồi
cộng từng vế hai phương trình thu được :
5x 2y = 4
®
¯6x 3y = 7
3x = 2
®
¯6x 3y = 7
15x 6y = 12
®
¯12x 6y = 14
2
°° x = 3
®
° y = 11
°¯
3
13
§ 2 11 ·
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhaỏt (x ; y) = ă ;
á
â3 3 ạ
b) Ta giải hệ phương trình bằng cách nhân hai vế của phương
trình thứ nhất với 2 :
2x 3y = 11
4x 6y = 22
®
®
¯4x 6y = 5
¯4x 6y = 5
Đến đây, ta thấy ngay rằng hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
c) Ta giải hệ phương trình
thứ hai với 3 :
3x 2y = 10
°
2
1
®
°¯ x 3 y = 3 3
bằng cách nhân hai vế của phương trình
3x 2y = 10
®
¯3x 2y = 10
Đến đây, ta thấy ngay rằng hệ phương trình có vô số nghiệm.
Hơn nữa, tập nghiệm của hệ chính là nghiệm của phương trình 3x
– 2y = 10. Mặt khác,
3x 10
3x – 2y = 10 y =
2
Do đó hệ đã cho có các nghiệm (x ; y) tính theo công thức
x
°
®
3x 10
°¯ y =
2
Bài 3.
Trừ từng vế hai phương trình của hệ, ta có :
y(1
2 1
2) = 2 2 2y = 2 y =
1
2
Do đó
°(1
®
°
¯(1
2)x (1
2)x (1
(1 2)x (1
°
®
1
2)y = 3
°y =
2
¯
2)y = 5
2)y = 5
(1 2)
(1 2)
=5
°(1 2)x
°(1 2)x = 5
°
°
2
2
®
®
1
1
°y =
°y =
°¯
°¯
2
2
14
ư
4
x =
đ
y =
2 1
2 2
1
2
Đ4 2 1
1 ·
Hệ phương trình đã cho có nghiệm (x ; y) = ăă
;
á
2 áạ
â 2 2
Baứi 4.
a) Caựch 1 : Ta biến đổi hệ phương trình bằng cách bỏ các dấu ngoặc
như sau :
2(x y) 3(x y) = 4
®
¯(x y) 2(x y) = 5
2x 2y 3x 3y = 4
®
¯ x y 2x 2y = 5
5x y = 4
®
¯3x y = 5
Trừ từng vế hai phương trình trong hệ cuối, ta được 2x = –1. Do đó :
1
1
x =
x =
°
°
5x y = 4
2x = 1
2
°
°
2
®
®
®
®
¯3x y = 5
¯3x y = 5
° y = 13
°3 Đă 1 Ãá y = 5
â 2 ¹
2
13 ·
§ 1
Hệ phương trình đã cho có nghiệm (x ; y) = ă ;
á
2ạ
â 2
Caựch 2 : Đặt ẩn phụ u = x + y và v = x – y, ta có hệ phương trình
2u 3v = 4
®
¯u 2v = 5
Từ phương trình hai ta có : u = 5 – 2v. Thế u vào phương trình thứ
nhất, ta được
2(5 – 2v) + 3v = 4 10 – 4v + 3v = 4 –v = –6 v = 6
Từ đó u = 5 – 2 . 6 = –7
Cuối cùng ta coù :
2(x y) 3(x y) = 4
x y = 7
2x = 1
®
®
®
¯(x y) 2(x y) = 5
¯x y = 6
¯x y = 6
1
1
°° x = 2
°x =
®
®
2
°¯ y = x 6
° y = 13
°¯
2
15
13 ·
§ 1
Nghiệm của hệ phương trình là (x ; y) = ă ;
á
2ạ
â 2
b) Caựch 1 : Ta biến đổi hệ phương trình bằng cách bỏ các dấu ngoặc
như sau :
2(x 2) 3(1 y) = 2
2x 4 3 3y = 2
®
®
¯3(x 2) 2(1 y) = 3
¯3x 6 2 2y = 3
2x 3y = 1
®
¯3x 2y = 5
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2, của phương trình
thứ hai với 3, rồi cộng từng vế hai phương trình, ta được :
4x + 9x = 15 – 2 13x = 13 x = 1. Do đó
x = 1
4x 6y = 2
x = 1
x = 1
®
®
®
®
¯9x 6y = 15
¯9x 6y = 15
¯9 6y = 15
¯y = 1
Nghiệm của hệ phương trình là (x ; y) = (1 ; –1)
Cách 2 : Đặt ẩn phụ u = x – 2 vaø v = 1 + y, ta có hệ phương trình :
2u 3v = 2
¯3u 2v = 3
(I) ®
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2, của phương trình
thứ hai với 3 rồi cộng từng vế của 2 phương trình, ta được 13u = 13
u = 1, tức là x – 2 = 1 x = 3. Do đó
(I)
4u 6v = 4
®
¯9u 6v = 9
13u = 13
®
¯3u 2v = 3
u = 1
®
¯3u 2v = 3
u = 1
®
¯v = 0
Cuối cùng ta có :
2(x 2) 3(1 y) = 2
x 2 = 1
x = 1
®
®
®
¯3(x 2) 2(1 y) = 3
¯1 y = 0
¯y = 1
Vaäy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y) = (1 ; –1)
Bài 5.
Đa thức P(x) bằng đa thức 0 khi và chỉ khi các hệ số của nó bằng 0,
nghóa là m và n thỏa mãn hệ phương trình sau :
3m 5n 1 = 0
®
¯4m n 10 = 0
16
Ta coi đây là một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và giải nó bằng
phương pháp thế. Từ phương trình thứ hai ta có n = 4m – 10. Thế n
trong phương trình thứ nhất bởi n = 4m – 10, ta được m = 3. Do đó :
3m 5n 1 = 0
3m 5n 1 = 0
m = 3
®
®
®
¯n = 4m 10
¯4m n 10 = 0
¯n = 4 . 3 10
m = 3
®
¯n = 2
Vậy các giá trị cần tìm là m = 3 và n = 2.
Bài 6.
a) Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; –2) và B(–1 ; 3)
khi và chỉ khi a và b thỏa mãn hệ phương trình sau :
2a b = 2
®
¯ a b = 3
Dễ dàng giải hệ phương trình với hai ẩn a và b trên đây. Trừ từng vế
5
4
hai phương trình ta được 3a = –5, tức là a = – . Từ đó b =
3
3
5
4
Trả lời: a = – , b =
3
3
b) Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(–4 ; –2) và (2 ; 1) khi
và chỉ khi a và b thỏa mãn hệ phương trình sau :
4a b = 2
®
¯2a b = 1
Dễ dàng giải hệ phương trình với ẩn a và b trên đây. Trừ từng vế
1
hai phương trình ta được –6a = –3, tức là a = . Từ đó b = 0.
2
1
Trả lời : a = , b = 0
2
c) Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(3 ; –1) và B(–3 ; 2)
khi và chỉ khi a và b thỏa mãn hệ phương trình sau :
3a b = 1
®
¯3a b = 2
Dễ dàng giải hệ phương trình với hai ẩn a và b trên đây. Trừ từng
1
vế hai phương trình ta được 6a = –3, tức là a = – .
2
1
Từ đó b = .
2
17
Trả lời : a = –
1
1
,b= .
2
2
d) Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A( 3 ; 2) và B(0 ; 2)
khi và chỉ khi a và b thỏa mãn hệ phương trình sau :
3a b = 2
°
®
°
¯b = 2
Dễ dàng thấy ngay a = 0 vaø b = 2.
Baøi 7.
u v = 1
1
1
, v =
, ta có hệ phương trình ®
. Từ
y
x
¯3u 4v = 5
phương trình thứ nhất ta có u = 1 + v. Thế kết quả này vào u trong
phương trình thứ hai ta được
2
3(1 + v) + 4v = 5 7v = 2 v =
7
2
9
Từ đó u = 1 +
=
7
7
1
7
1
7
Vậy x =
=
và y =
=
9
2
u
v
a) Đặt u =
§7 7·
Phương trình đã cho có nghiệm là (x ; y) = ă ; á
â 9 2ạ
ưu v = 2
1
1
, v =
, ta có hệ phương trình ®
.
x 2
y 1
¯2u 3v = 1
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3 rồi cộng từng vế với
phương trình thứ hai, ta được :
7
3u + 2u = 6 + 1 5u = 7 u =
5
b) Đặt u =
7
u v = 2
°°u = 5
u v = 2
°
®
®
7
®
¯2u 3v = 1
°¯u = 5
°v 2 u
°¯
1
x=
x2
1
y=
v=
y 1
Vaäy u =
1
5
19
2 =
+2=
u
7
7
1
5
8
1= 1
v
3
3
18
2
7
5
3
5
19
ư
x = 7
đ
y = 8
3
4 Ã
Đ 19
Phửụng trỡnh ủaừ cho coự nghieọm laứ (x ; y) = ă
;
á
11 ¹
© 7
5. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1.
Gọi số lớn là x, số nhỏ là y. Điều kiện : x
và y
Theo giả thiết thứ nhất, tổng của hai số bằng 1006 nên ta có
phương trình x + y = 1006.
Theo giả thiết thứ hai, khi chia số lớn cho số nhỏ thì được thương
là 2 và số dư là 124 nên ta có phương trình x = 2y + 124 với điều
kiện x t 126; y t 1
Do đó ta có hệ phương trình
x y = 1006
®
¯ x = 2y 124
Giải hệ phương trình này bằng cách thế x trong phương trình đầu
bởi x = 2y + 124, ta được
(2y + 124) + y = 1006 y = 294
Từ đó x = 1006 – y = 1006 – 294 = 712
Caùc số tìm được thỏa mãn điều kiện đã nêu. Vậy số lớn là 712 và
số nhỏ là 294.
Bài 2.
Gọi x là số quýt, y là số cam (điều kiện : x và y nguyên dương)
Theo giả thiết thứ nhất, có 17 quả vừa cam vừa quýt nên ta có
phương trình x + y = 17
Theo giả thiết thứ hai, nếu chia 3 mỗi quả quýt, chia 10 mỗi quả
cam thì được 100 miếng, ta có phương trình 3x + 10y = 100.
Bài toán dẫn đến việc giải hệ phương trình
x y = 17
®
¯3x 10y = 100
19
Từ phương trình thứ nhất ta có x = 17 – y
Thế x trong phương trình thứ hai bởi x = 17 – y, ta được
3(17 – y) + 10y = 100 –3y + 10y = 100 – 51 7y = 49 y = 7
Từ đó, x = 17 – 7 = 10
Các giá trị tìm được của x và y thỏa mãn điều kiện.
Trả lời : có 7 quả quýt và 10 quả cam.
Bài 3.
Gọi x (km) là độ dài quãng đường AB và y (giờ) là thời gian đi theo
dự định để đến B đúng lúc 12 giờ trưa. Điều kiện : x > 0, y > 0
Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì thời gian đi từ A đến B là y
+ 2 (giờ). Khi đó, xe sẽ đến B chậm mất 2 giờ so với dự định nên
ta có phương trình
x
= (y + 2)
35
Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì thời gian đi từ A đến B là y
– 1 (giờ). Khi đó, xe sẽ đến B sớm 1 giờ so với dự định nên ta có
phương trình
x
= (y – 1)
50
Bài toán dẫn đến việc giải hệ phương trình
x
°° 35 = y 2
®
°x = y 1
°¯ 50
Trừ từng vế hai phương trình ta được
x
x
–
= 3. Giải phương
35
50
trình này ta coù :
50x 35x
= 3 15x = 5250 x = 350
1750
Thế giá trị này của x vào phương trình thứ hai, ta được
x
=y–1 7=y–1 y=8
50
Các giá trị tìm được của x và y thỏa mãn điều kiện x > 0 và y > 0
Trả lời : Quãng đường AB dài 350km. Thời gian dự định đi để
đến B đúng 12 giờ trưa là 8 giờ ; thời điểm xuất phát của xe là 4
giờ sáng.
20
Bài 4.
Gọi x là chữ số hà ng chục và y là chữ số hàng đơn vị của số
cần tìm. Điề u kiệ n : x và y là các số dương thỏa mã n 0 < x d 9
và 0 d y d 9.
Vì chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 nên ta có
phương trình thứ nhất là
x–y=2
Khi viết thêm chử số 0 vào chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn
vị thì ta được số mới là 100x + y. Số này lớn hơn số 10x + y là 630
nên ta có phương trình
100x + y – 10x – y = 630, hay 90x = 630
x y = 2
Bài toán dẫn đến giải hệ phương trình ®
¯90x = 630
Phương trình thứ hai cho ta x = 7.
Thay thế giá trị này của x vào phương trình đầu ta được y = 5
Các giá trị tìm được của x và y thỏa mãn điều kiện của ẩn.
Trả lời : số tự nhiên cần tìm là 75.
6. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ
PHƯƠNG TRÌNH (tiếp theo)
Bài 1.
Gọi độ dà i hai cạ nh gó c vuông củ a tam giác vuô ng là x (cm) và
y (cm). Điều kiệ n : x > 0 và y > 0. Khi đó diện tích của tam
1
giác là S = xy (cm2 )
2
1
Nếu tăng mỗi cạnh lên 3cm thì diện tích tam giác sẽ là S = (x
2
2
+ 3)(y + 3), tăng thêm 36cm so với S nên ta có phương trình
1
1
(x + 3)(y + 3) – xy = 36. thu gọn ta được
2
2
(x + 3)(y + 3) – xy = 72
3(x + y) = 63 x + y = 21
21
Nếu một cạnh (giả sử cạnh x) giảm 2cm, cạnh kia (cạnh y) giảm
1
4cm thì diện tích của tam giác là (x – 2)(y – 4), giảm 26cm2 so
2
với S nên ta có phương trình
1
1
(x – 2)(y – 4) – xy = –26
2
2
Thu gọn ta được
(x – 2)(y – 4) – xy = –52 –2(2x + y) = –60 2x + y = 30
Bài toán dẫn đến việc giải hệ phương trình
x y = 21
®
¯2x y = 30
Trừ từng vế hai phương trình ta được x = 9; từ đó y = 12
Các giá trị tìm được của x và y thỏa mãn điều kiện của ẩn
Trả lời : Độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác lần lượt là 9cm
và 12cm.
Bài 2.
Gọi x (giờ) là thời gian để riêng vòi thứ nhất chảy đầy bể ; y (giờ)
là thời gian để riêng vòi thứ hai chảy đầy bể. Điều kiện x > 0, y > 0.
Khi đó :
1
Riêng vòi thứ nhất chảy trong 1 giờ thì được
bể nước
x
1
Riêng vòi thứ hai chảy trong 1 giờ thì được
bể nước
y
Vậy hai vòi cùng chảy ngay từ đầu trong 4
được
4
24
giờ (tức
giờ) thì
5
5
1
1
+
bể nước và đầy bể theo giaỷ thieỏt, neõn coự phửụng trỡnh
y
x
24
24
24 Đ 1
1Ã
=5
ă á = 1 hay
x
y
5 âx
yạ
Giaỷ thieỏt thửự hai coự nghúa là vòi thứ nhất chảy trong
vòi thứ hai chảy trong
9
6
giờ,
x
5x
6
giờ thỡ ủay beồ nửụực. Tửứ ủoự ta coự phửụng
5y
trỡnh
51
6
9
6Đ1
1Ã
=5
ă á = 1 hay
x
y
x
5âx
yạ
22
Ta có hệ phương trình
24
24
°x y =5
°
®
° 51 6 = 5
°¯ x
y
Đặt : u =
1
1
, v = , ta được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn u và v.
y
x
24u 24v = 5
®
¯51u 6v = 5
Nhân hai vế của phương trình hai với 4 rồi trừ từng vế hai phương
trình ta được
15
1
180u = 15, hay u =
=
180 12
Thay thế giá trị này của u vào phương trình thứ nhất, ta có
1
1
24 .
24v = 5 , tức là v =
12
8
1
1
Các kết quả trên cho ta x =
= 12 và y =
=8
u
12
Các giá trị tìm được của x và y thỏa mãn điều kiện của ẩn.
Trả lời : Nếu ngay từ đầu, chỉ mở vòi thứ hai thì bể sẽ đầy trong 8 giờ.
Bài 3.
Giả sử nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc
trong x giờ, người thứ hai trong y giờ. Điều kiện : x > 0, y > 0. Khi
1
công việc, người thứ
đó, trong 1 giờ, người thứ nhất làm được
x
1
hai được
công việc.
y
Hai người cùng làm trong 16 giờ thì xong neõn ta coự phửụng trỡnh
Đ1
1Ã
16 ă á = 1
yạ
âx
Ngửụứi thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn
1
thành được 25%, tức
công việc. Điều đó dẫn đến phương trình
4
6
3
1
+
=
y
x
4
23
Ta coự heọ phửụng trỡnh
ư Đ1
1Ã
16 ă á = 1
yạ
âx
đ
3 6 = 1
x
y
4
ẹaởt : u =
1
1
, v = , ta được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn u và v
y
x
1
u v=
16(u v) = 1
°
°
°
16
®
1 hay ®
°¯3u 6v = 4
°u 2v = 1
°¯
12
1
1
1
–
=
; từ đó
48
12
16
1
1
1
1
1
–
=
. Vậy x =
= 24 và y =
= 48
u=
48
24
16
u
v
Các giá trị tìm được của x và y thỏa mãn điều kiện của ẩn.
Trừ từng vế hai phương trình, ta được v =
Trả lời : Nếu làm riêng thì người thứ nhất làm xong công việc
trong 24 giờ, người thứ hai trong 48 giờ.
Bài 4.
Gọi x (nghìn đồng) là số tiền mà mẹ em phải trả cho loại hàng thứ
nhất và y (nghìn đồng là số tiền phải trả cho loại hàng thứ hai
nếu chưa kể thuế VAT. Điều kiện : y > 0.
Nếu chưa kể thuế VAT thì tổng số tiền phải trả cho hai loại hàng
là x + y = 110 (nghìn đồng). Điều đó cho ta phương trình x + y =
110.
10
x (nghìn đồng)
Thuế VAT đối với loại hàng thứ nhất là
100
8
y (nghìn đồng)
Thuế VAT đối với loại hàng thứ hai là
100
Tổng số tiền thuế VAT của cả hai loại hàng là 10 nghìn đồng nên
ta có phương trình
10
8
x +
y = 10, hay 10x + 8y = 1000
100
100
Ta có hệ phương trình
24
x y = 110
®
¯10x 8y = 1000
Từ phương trình thứ nhất, ta có x = 110 – y
Thay thế x trong phương trình thứ hai bởi 110 – y, ta được
10(110 – y) + 8y = 1000 2y = 100 y = 50
Từ đó x = 110 – 50 = 60
Các giá trị tìm được của x và y thỏa mãn điều kiện của ẩn.
Trả lời : Nếu không kể thuế VAT thì mẹ em phải trả cho loại hàng
thứ nhất 60 nghìn đồng, cho loại hàng thứ hai 50 nghìn đồng.
LUYỆN TẬP
Bài 1.
Gọi x là số luố ng là và y là số câ y cả i bắp trê n mỗi luố ng.
Điề u kiệ n : x, y > 0, x, y nguyên. Khi đó số câ y cả i củ a cả vườn
là N = xy câ y.
Nếu tăng thêm 8 luống rau, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì
số cây rau cả vườn sẽ là (x + 8)( y – 3) (cây), ít hơn 54 cây so với N.
Điều đó được thể hiện bởi phương trình
xy – (x + 8)(y – 3) = 54
Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì
số cây rau cả vườn sẽ là (x – 4)(y + 2) (cây), nhiều hơn 32 cây so
với N. Điều đó được thể hiện bởi phương trình
(x – 4)(y + 2) – xy = 32
Ta có hệ phương trình
xy (x 8)(y 3) = 54
hay
®
¯(x 4)(y 2) xy = 32
3x 8y = 30
®
¯2x 4y = 40
Nhân phương trình thứ hai với 2, rồi trừ từng vế hai phương trình,
ta được x = 50. Thay thế giá trị này của x vào phương trình thứ
nhất, ta có 8y = 120, hay y = 15.
Các giá trị tìm được của x và y thỏa điều kiện. Vậy N = 50.15 = 750
Trả lời : Nhà Lan trồng 750 cây bắp cải.
25
Bài 2.
Gọi x (rupi) là giá mỗi quả thanh yên, y (rupi) là giá mỗi quả táo
rừng thơm. Điều kiện x, y > 0. Theo đầu bài, ta dễ dàng lập được
hệ phương trình sau :
9x 7y = 107
®
¯7x 7y = 91
Trừ hai phương trình ta có ngay 2x = 16 hay x = 8 ; từ đó 7.8 +
7y = 91 hay y = 5.
Các giá trị tìm được của x và y thỏa điều kiện của ẩn.
Trả lời : Giá mỗi quả thanh yên là 8 rupi và mỗi quả táo rừng
thơm là 5 rupi.
Bài 3.
Gọi hai số cần tìm lần lượt là x và y. Điều kiện : x và y là x, y > 0.
Do tổng số lần bắn là 100 nên ta có phương trình
25 + 42 + x + 15 + y = 100, hay x + y = 18
Do điểm số trung bình là 8,69 nên ta có phương trình
1
(10 . 25 + 9 . 42 + 8x + 7 . 15 + 6y) = 8,69
100
Rút gọn ta được 8x + 6y + 733 = 869 hay 8x + 6y = 869 – 733 hay
8x + 6y = 136
Bài toán dẫn đến hệ phương trình
x y = 18
®
¯8x 6y = 136
Từ phương trình thứ nhất ta có : x = 18 – y. Thay thế x trong
phương trình thứ hai bởi 18 – y, ta được
8(18 – y) + 6y = 136 y = 4
Từ đó, x = 18 – 4 = 14
Các giá trị tìm được của x và y thỏa điều kiện của ẩn
Trả lời : Số thứ nhất là 14 và số thứ hai là 4.
Bài 4.
Gọi vận tốc của hai vật là x (cm/s) và y (cm/s). Điều kiện : x, y > 0.
Giả sử x > y.
Khi chuyển động cùng chiều, cứ 20 giây chúng lại gặp nhau. Nghóa
là quãng đường mà vật đi nhanh hơn đi được trong 20 giây hơn
26
quãng đường vật kia cũng đi trong 20 giây là 20(x – y). ta có
phương trình 20(x – y) = 20 S .
Khi chuyển động ngược chiều, cứ 4 giây chúng lại gặp nhau, nghóa là
tổng quãng đường hai vật đi được trong 4 giây là 4(x + y). Ta có
phương trình 4(x + y) = 20 S .
Bài toán dẫn đến hệ phương trình
20(x y) = 20S
®
¯4(x y) = 20S
Giải hệ phương trình trên, ta có :
20(x y) = 20S
x y = S
x = 3S
®
®
®
¯4(x y) = 20S
¯ x y = 5S
¯ y = 2S
Các giá trị tìm được của x và y thỏa mãn điều kiện của ẩn
Trả lời : Vận tốc của hai vật lần lượt là 3S (cm/s) và 2S (cm/s)
Bài 5.
Giả sử khi chảy riêng thì vòi thứ nhất đầy bể trong x phút, vòi thứ
hai trong y phút. Điều kiện : x, y > 0
1
Khi đó vòi thứ nhất chảy trong 1 phút chỉ được
bể; vòi thứ hai
x
1
chảy trong 1 phút chỉ được
bể nước.
y
Nếu hai vòi nước cùng chảy thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút, tức
§1
1·
là trong 80 phút. Ta có phương trỡnh 80 ă á = 1.
yạ
âx
Neỏu mụỷ voứi thửự nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút
10 12
2
2
=
thì chỉ được
bể nước nên ta có phương trình
x
y
15
15
Bài toaựn daón ủeỏn heọ phửụng trỡnh :
ư Đ1
1Ã
80 ă á = 1
yạ
âx
đ
10 12 = 2
x
y
15
ẹaởt aồn phụ u =
1
1
và v = , ta có hệ phương trình ẩn u và v
y
x
27
80(u v) = 1
°
2
®
°¯10u 12v = 15
Giải hệ phương trình này, ta có
1
u v=
80(u v) = 1
°
°
°
80
2 ®
®
°10u 12v = 2
°¯10u 12v = 15
°¯
15
1
°°u = 80 v
®
°10u 12v = 2
°¯
15
1
°°u = 80 v
đ
10 Đă 1 v Ãá 12v = 2
â 80
15
ạ
1
ư
u = 80 v
®
° 1 10v 12v = 2
°¯ 8
15
1
°°u = 80 v
®
°2v = 2 1
°¯
15
8
1
°°u = 80 v
®
°2v = 16 15
°¯
120
1
°°u = 120
®
°v = 1
°¯
240
1
1
= 120 và y =
= 240
u
v
Các giá trị tìm được của x và y thỏa mãn điều kiện của ẩn
Từ đó ta được x =
Trả lời : Để đầy bể, riêng vòi thứ nhất chảy trong 120 phút, vòi
thứ hai trong 240 phút.
Bài 6.
Giả sử không kể thuế VAT, người đó phải trả x triệu đồng cho
loại hàng thứ nhất, y triệu đồng cho loại hàng thứ hai (điều kiện
là x, y > 0). Khi đó số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất, kể cả
110
thuế VAT 10% là
x triệu đồng, số tiền phải trả cho loại hàng
100
108
y triệu đồng. Ta có phương trình
thứ hai, kể cả thuế VAT 8% laø
100
110
108
x +
y = 2,17, hay 1,1x + 1,08y = 2,17
100
100
Khi thuế VAT là 9% cho cả hai loại hàng thì số tiền phãi trả là
28
