Bài tập Giải Tich Kinh Tế - GTVT
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (175.59 KB, 6 trang )
Bài tập môn Giải tích - Khoa VT-KT
Nguyễn Văn Kiên
1 Chương 1: Phép tính vi phân hàm một biến
1.1 Tính các giới hạn sau
1. lim
x→0
3
1 +
x
3
−
4
1 −
x
4
1 −
1 −
x
2
2. lim
x→π
sin mx
sin nx
3. lim
x→π
ln cos x
x sin 2x
4. lim
x→0
x
2
5
√
1 + 5x − x − 1
5. lim
x→0
√
1 + tg x −
√
1 + sin x
x
2
6. lim
x→0
m
√
1 + ax −
n
√
1 + bx
x
7. lim
x→0
sin(πx
α
)
sin(πx
β
)
8. lim
x→0
1 − cos x. cos 2x. cos 3x
x
2
9. lim
x→0
√
1 − cos x
2
1 − cos x
10. lim
x→0
e
x
2
− cos x
x
2
11. lim
x→0
e
x
−
√
1 + 2x
x
2
12. lim
x→0
3
√
8 + 3x − 2
4
√
16 + 5x − 2
13. lim
x→0
5
(1 + x)
3
− 1
(1 + x)
3
(1 + x)
2
− 1
14. lim
x→0
tg
πx
2
ln(1 − x)
15. lim
x→0
ln(1 + 3x sin x)
tg x
2
16. lim
x→0
8
x
− 7
x
6
x
− 5
x
17. lim
x→0
3
√
1 − x
2
− 1
xarctg5x
18. lim
x→0
5
(1 + x)
3
− 1
x
19. lim
x→0
ln tg (π/4 + 3x)
sin 2x
20. lim
x→+∞
ln(4 + e
3x
)
ln(3 + e
2x
)
21. lim
x→7
√
x + 2 −
3
√
x + 20
4
√
x + 9 − 2
22. lim
x→1
(x − 1) tg
πx
2
1.2 Xét tính liên tục của các hàm số
1. f(x) =
ax + 2 x < 0
a cos x + sin x x ≥ 0
2. f(x) =
5.2
x
x < 0
2a − x x ≥ 0
3. f(x) =
x
2
+ b x ≤ 0
√
1 + x −
3
√
1 + x
x
x > 0
1
4. f(x) =
2.e
x
x ≤ 0
a + 2x x > 0
5. f(x) =
x sin
1
x
x = 0
a x = 0
6. f(x) =
x ln x
2
x = 0
0 x = 0
7. f(x) =
ln(1 + 4x)
3x
x > 0
x
2
+ a x ≤ 0
8. f(x) =
3x + 2a x ≥ 1
ax
2
+ x + 1 x < 1
9. f(x) =
1 − cos
√
x
x
x > 0
a x ≤ 0
10. f(x) =
1
1 + e
1/(x−1)
x = 1
a x = 1
11. f(x) =
ln(1 + x) − x
2x
2
x > 0
a x ≤ 0
12. f(x) =
x ln x x > 0
a x ≤ 0
13. f(x) =
xarctg
1
x
x = 0
a x = 0
2 Chương 2: Tích phân hàm một biến
2.1 Tích phân bất định
1.
x + x
3
1 + x
2
− x
4
dx
2.
x
6
x
2
+ x − 2
dx
3.
x
2
+ 1
(x + 1)
2
(x − 1)
dx
4.
x
11
x
8
+ 3x
4
+ 2
.dx
5.
x
3
+ 1
x
3
− 5x
2
+ 6x
.dx
6.
2x
x
4
+ 3x
2
+ 2
dx
7.
x
x
8
− 1
dx
8.
x
x
3
− 1
.dx
9.
x.dx
x
3
− 3x + 2
10.
x
4
x
4
+ 5x
2
+ 4
.dx
11.
(x + 1)dx
√
x
2
+ x + 1
12.
(2x − 1)dx
√
x
2
+ 3x + 3
13.
xdx
√
x
2
+ 2x − 5
14.
x.arctgx
√
1 + x
2
. dx
15.
x ln(1 +
√
1 + x
2
)
√
1 + x
2
. dx
16.
dx
x
√
1 − x
3
17.
x
2a − x
dx; (0 ≤ x < 2a)
18.
dx
e
2x
+ e
x
− 2
19.
arctge
x
e
x
dx
20.
dx
(1 + e
x
)
2
21.
xe
arctgx
(1 + x
2
)
3/2
dx
22.
sin
4
x cos
5
xdx
23.
sin x cos x
a
2
sin
2
x + b
2
cos
2
x
dx
2
24.
sin
4
x
cos
6
x
dx
25.
sin
2
x cos
4
xdx
26.
sin x
sin
3
x + cos
3
x
dx
27.
dx
5 − 4 sin x + 3 cos x
28.
sin x cos x
sin
4
x + cos
4
x
dx
29.
sin x − sin
3
x
cos 2x
dx
30.
dx
(sin
2
x + 2 cos
2
x)
2
31.
sin
2
x − cos
2
x
sin
4
x + cos
4
x
dx
32.
sin
2
x
1 + sin
2
x
dx
33.
dx
sin
4
x + cos
4
x
34.
dx
sin
2
x. cos x
35.
dx
sin x. cos
3
x
2.2 Tích phân xác định
1.
ln 2
0
1
√
1 + e
x
dx
2.
1
0
(1 − x
2
)
3
dx
3.
a
0
dx
x +
√
a
2
− x
2
4.
1
0
arcsin
√
x
x(1 − x)
dx
5.
3
0
dx
(3 + x
2
)
5
2
6.
3
0
x
√
1 + x +
√
5x + 1
. dx
7.
2
√
2
dx
x
5
√
x
2
− 1
8.
1
0
√
e
x
√
e
x
+ e
−x
dx
9.
π
2
0
sin x cos x
a
2
cos
2
x + b
2
sin
2
x
dx
10.
16
1
arctg
√
x − 1dx
11.
3
0
arcsin
x
1 + x
. dx
12.
5π/4
π
sin 2x
sin
4
x + cos
4
x
. dx
13.
π/2
0
sin x. sin 2x. sin 3x. dx
14.
π/2
0
cos xdx
2 + cos x
3 Chương 3: Hàm nhiều biến
3.1 Tìm vi phân cấp 1, 2
1. z = arctg
y
x
2. z = arctg
x − y
x + y
3. z =
x
2
+ y
2
4. z = arcsin
x
x
2
+ y
2
5. z = x sin xy + y cos xy
6. z = arctg
x + y
1 − xy
7. z =
2x − y
x
2
+ y
2
8. z = (1 + xy)
y
9. z = ln
1
x
2
+ y
2
10. z = ln tg
y
x
3
3.2 Đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2
1. u = x
yz
2. u = ln
1
x
2
+ y
2
+ z
2
3. u =
x
y
z
4. u =
1
x
2
+ y
2
+ z
2
3.3 Tính y
(x), y
(x) của hàm ẩn
1. ln
x
2
+ y
2
= arctg
x
y
2. x
y
= y
x
3. x
2
+ y
2
= 1
4. e
xy
= x
2
+ y
2
5. 1 + xy = ln(e
xy
+ e
−xy
)
3.4 Tính dz, d
2
z của hàm ẩn
1.
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
= 1
2. cos
2
x + cos
2
y + cos
2
z = 1
3. x + y + z = e
z
4. x
2
+ y
2
+ z
2
= e
(x+y+z)
5. x
2
+ y
2
+ z
2
= 4xyz
3.5 Tính đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2
của hàm hợp
1. z = ϕ(x
2
+ y
2
)
2. z =
y
2
3x
+ ϕ(xy)
3. z = yϕ(x
2
− y
2
)
4. z = xϕ(x + y) + yψ(x + y)
5. z = ϕ(x − at) + ψ(x + at)
ϕ, ψ là hàm khả vi đến cấp 2
3.6 Tính dz của hàm cho dưới dạng
1. Φ(x, x + y, x + y + z) = 0
2. Φ(x − y, y − z, z −x) = 0
3. Φ(xyz, x + y + z,x
2
+ y
2
+ z
2
) = 0
4. Φ
x
z
,
y
z
= 0
3.7 Một số bài toán khác
1. Cho z = arctg
x
y
, x = u sin v, y = u cos v.
Tính z
u
, z
v
.
2. Cho z = (1 + xy)
y
, x = u + v, y = u
2
− v
2
.
Tính z
u
, z
v
.
3. Cho z = e
x
2
+y
2
, x = u + v, y = uv. Tính
z
u
, z
v
.
4. Cho y = y(x), z = z(x)
x + y + z = 0
x
2
+ y
2
+ z
2
= 1
. Tính y
(x), z
(x).
3.8 Tính gần đúng
1. A = ln(0.99
3
+ 0.09
3
)
2. B =
√
5e
0.02
+ 2.03
2
3. C =
(1, 02)
3
+ (1, 97)
3
4. D =
(1, 03)
2
3
0, 98
4
(1, 05)
3
5. E =
1
3, 02
2
+ 3, 98
2
3.9 Tìm cực trị của hàm số
1. z = 4x − x
3
− xy
2
2. z = x
2
+ y
2
− 6x + 8y
3. z = x
4
− 4x
2
− 4y
2
+ y
4
+ 8xy
4. z = x
3
+ y
3
− 3xy
5. z = 2x
4
+ y
4
− 4x
2
− 4y
6. z = xy +
50
x
+
20
y
, (x > 0, y > 0)
7. z = x
2
+ xy + y
2
− 4 ln x − 10 ln y
4
8. z = x + y −xe
y
9. z = e
2x
(x + y
2
+ 2y)
10. z = xy −
1
3
(x
3
+ y
3
)
3.10 Tìm cực trị có điều kiện
1. z = x
2
+ 12xy + 2y
2
nếu 4x
2
+ y
2
= 25
2. z =
x
a
+
y
b
nếu x
2
+ y
2
= 1
3. z = x
2
+ y
2
nếu
x
a
+
y
b
= 1
4. z = xy nếu
x
2
8
+
y
2
2
= 1
3.11 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
1. z = x
2
−xy+y
2
trên miền D = {|x|+|y| ≤ 1}
2. z = 2(x
2
+y
2
)+ (x −1)
2
+(y −1)
2
trên miền
OAB, O(0; 0), A(1; 0), B(0; 1)
3. z = x
2
+ y
2
− 6x + 8y trên miền D =
{x
2
+ y
2
≤ 1}
4. z = x
2
− y
2
trên miền D = {x
2
+ y
2
≤ 2}
5. z = x
2
+ y
2
− 2x − y trên miền D = {x ≥
0, y ≥ 0, x + y ≤ 2}
4 Chương 4: Phương trình vi phân
4.1 Phương trình vi phân cấp 1
4.1.1 Phương trình tách biến và đưa về
tách biến
1. y
= (4x + y − 3)
2
2. y
=
3
√
2x − y + 2
3. xy
+ x cos
y
x
− y + x = 0
4. y
=
x + y
x − y
4.1.2 Phương trình tuyến tính + Becnuli
1. 3y
2
y
+ y
3
+ x = 0
2. xy
− 2x
2
√
y = 4y
3. y
= y
4
cos x + y tg x
4. (x + 1)(y
+ y
2
) = −y
5. xy
2
y
= x
2
+ y
3
6. xy
− y
2
ln x + y = 0
7. y
+ x
3
√
y − 3y = 0
8. yy
+ xy
2
− 4x = 0
9. yy
+ y
2
cotg x = cos x
10. y
= y
4
cos x + y tg x
4.1.3 Phương trình vi phân toàn phần
1. (1 − x
2
y)dx + x
2
(y − x)dy = 0
2. (x − y
2
)dx + 2xydy = 0
3.
dx
y
−
x
y
2
dy = 0
4. 2xydx + (x
2
− y
2
)dy = 0
5. (2 − 9xy
2
)xdx + (4y
2
− 6x
3
)ydy = 0
6. e
−y
dx − (2y + xe
−y
)dy = 0
7.
y
x
dx + (y
3
+ ln x)dy = 0
8.
3x
2
+ y
2
y
2
dx −
2x
3
+ 5y
y
3
dy = 0
9. 2x(1 +
x
2
− y)dx −
x
2
− ydy = 0
10. (1 + y
2
sin 2x)dx − 2y cos
2
xdy = 0
4.1.4 Thừa số tích phân
1. (x
2
+ y)dx = xdy
2. (2xy
2
− y)dx + (y
2
+ x + y)dy = 0
3. (xy + 1)dx + (xy −1)dy = 0
4. (xy
2
+ y)dx − xdy = 0
5. (x
2
+ y
2
+ x)dx + ydy = 0
6. (x cos y−y sin y)dy+(x sin y+y cos y)dx = 0
7. (y + x
2
)dy + (x − xy)dx = 0
8. xydx = (y
2
+ x
2
y + x
2
)dy
9. (x
2
− sin
2
y)dx + x sin 2ydy = 0
10. (x
2
− y)dx + x(y + 1)dy = 0
5
4.2 Phương trình vi phân cấp 2
1. y
− 5y = −5x
2
+ 2x
2. y
− 4y
+ 4y = 2e
2x
3. y
− y = x
2
− x + 1
4. y
− 4y
= −12x
2
+ 6x − 4
5. y
+ y
= 3
6. y
− 2y
+ y = 4e
x
7. y
− y = 4e
x
8. y
− 2y
− 3y = e
4x
9. y
+ y = 4xe
x
10. y
+ y
− 2y = 3xe
x
11. y
− 3y
+ 2y = x cos x
12. y
+ y = x sin x
13. y
+ y = 2 sin x
14. y
− y = 2 sin x − 4 cos x
15. y
+ y = 6 sin 2x
16. y
+ y = 4e
x
, y(0) = 1, y
(0) = −3
17. y
− 2y
= 2e
x
, y(1) = −1, y
(1) = 0
18. y
+ 2y
+ 2y = xe
−x
, y(0) = y
(0) = 0
19. y
+ 4y = sin 2x, y(0) = y
(0) = 0
20. y
+ 4y
+ 4y = 3e
−2x
, y(2) = y
(2) = 0
5 Chương 5: Phương trình sai phân
5.1 Giải các phương trình sai phân sau
1. 5y
n+2
+ 6y
n+1
− 11y
n
= 2n − 1
2. 5y
n+2
− 6y
n+1
+ 5y
n
= 3
n
3. 5y
n+2
− 6y
n+1
+ 5y
n
= n
2
+ 1
4. y
n+2
+ y
n
= 2
n
5. y
n+2
+ 5y
n
= 5n
2
− 2n − 1
6. y
n+2
− 3y
n+1
+ 2y
n
= 2
−2n
7. y
n+2
− 3y
n+1
+ 2y
n
= n + 5
8. y
n+2
= 5y
n+1
− 6y
n
+ n
2
9. y
n+2
= 4y
n+1
− 5y
n
+ 3n
2
10. y
n+2
= 3y
n+1
− 4y
n
+ 3n
2
+ 2
11. y
n+2
+ y
n
= n + 1
12. y
n+2
+ y
n
= 3, y
0
= 0, y
1
= 1
13. y
n+2
−4y
n+1
+ 4y
n
= 2n +1, y
0
= 0, y
1
= 1
14. y
n+2
− y
n
= 0, y
0
= 0, y
1
= 1
15. y
n+2
+ y
n
= 2
n
, y
0
= 0, y
1
= 1
5.2 Giải các phương trình sau
1.
x
n+1
= 3x
n
+ y
n
y
n+1
= 5x
n
− y
n
, x
0
= 0, y
0
= 6
2.
x
n+1
= 2x
n
− 8y
n
y
n+1
= 2x
n
− 6y
n
, x
0
= −1, y
0
= 2
3.
x
n+1
= x
n
− y
n
y
n+1
= x
n
+ y
n
, x
0
= 1, y
0
= 1 −
1
√
2
4. x
n+1
=
1 − 4x
n
1 − 6x
n
, x
0
= 1
5. x
n+1
=
2x
n
− 3
3x
n
− 4
, x
0
= −1
6. x
n+1
=
x
n
+ 1
−x
n
+ 4
, x
0
= 0
6
