các nguyên lý cơ bản của lý thuyết ánh xạ bảo giác

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH






Lê Thị Mỹ Hạnh






CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CỦA LÝ
THUYẾT ÁNH XẠ BẢO GIÁC







LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC





NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG





Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH



Lê Thị Mỹ Hạnh



CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CỦA LÝ
THUYẾT ÁNH XẠ BẢO GIÁC


Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 604601




LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG


Thành phố Hồ Chí Minh - 2011
LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Lê thị Thiên Hương
về sự hướng dẫn tận tình của cô trong suốt quá trình tôi thực hiện luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn quí thầy cô thuộc khoa Toán – Tin trường đại học sư
phạm TP. Hồ Chí Minh đã truyền đạt những kiến thức và kinh nghiệm quí báu cho
tôi trong suốt thời gian học tập tại trường.
Xin cảm ơn các anh ch
ị và các bạn trong lớp cao học K19 đã hỗ trợ tôi nhiều
mặt trong thời gian học tập và nghiên cứu.
Và cuối cùng, lời thân thương nhất tôi xin được gửi đến gia đình tôi, nơi đã
tạo cho tôi mọi điều kiện thuận lợi để học tập và hoàn thành luận văn này.

MỤC LỤC
Trang
LỜI CẢM ƠN
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
Chương 0. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2
Chương 1. ÁNH XẠ BẢO GIÁC 8
1.1. Khái niệm ánh xạ bảo giác 8
1.1.1. Ý nghĩa hình học của argument đạo hàm 8
1.1.2. Ý nghĩa hình học của môđun đạo hàm 10
1.1.3. Ánh xạ bảo giác 11
1.1.4. Ánh xạ bảo giác loại hai 12
1.2. Điều kiện xác định ánh xạ bảo giác 15
1.2.1. Ánh xạ hình tròn
đơn vị lên chính nó 15
1.2.2. Điều kiện xác định duy nhất của ánh xạ bảo giác 18
Chương 2. CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CỦA ÁNH XẠ BẢO GIÁC 20
2.1. Nguyên lí bảo toàn miền 20
2.2. Nguyên lí ánh xạ một-một 26
2.3. Nguyên lí đối xứng Riemann-Schwars 27
2.4. Tổng quát hóa nguyên lí đối xứng 33
2.5. Nguyên lý thác triển giải tích Schwars 34
2.6. Nguyên lí đối xứng đối với hàm điều hòa 36
2.7. Ứng dụng nguyên lí đối xứng 40
Chương 3. ÁNH XẠ BẢO GIÁC TỪ CÁC MIỀN GI

ỚI HẠN BỞI ĐƯỜNG
CONG BẬC HAI LÊN NỬA MẶT PHẲNG TRÊN 42
3.1. Miền giới hạn bởi hyperbol 42
3.2. Miền giới hạn bởi parabol 44
3.3. Miền giới hạn bởi parabol và ellip 50
3.4. Ánh xạ miền trong ellip lên nửa mặt phẳng 58
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO


1


MỞ ĐẦU

Trong lĩnh vực lý thuyết hàm biến phức, việc xác định ánh xạ bảo giác biến
miền này thành miền khác là một công việc rất hữu ích. Nó giúp cho việc tính toán
một số đại lượng hay khảo sát tính chất một số miền cho trước trở nên linh hoạt và
dễ dàng hơn. Tuy nhiên, để việc xác định ánh xạ bảo giác biến miền này thành miền
kia thực hiện được đơn giản hơn thì ngoài việc nắm được khái niệm, ta cần nắm
vững các nguyên lý của nó trong quá trình thực hiện ánh xạ.
Chính vì vậy, trong luận văn này, sau khi nêu khái niệm và điều kiện xác
định duy nhất của ánh xạ bảo giác, chúng tôi tập trung vào hệ thống sáu nguyên lý
cơ bản của ánh xạ bảo giác (có kèm theo chứng minh cụ thể từng nguyên lý). Đồng
thời, để người đọc thấy rõ hơn vai trò của các nguyên lý khi xác định ánh xạ bảo
giác biến miền này thành miền khác, chúng tôi đã đưa ra m
ột số ví dụ minh họa.
Luận văn gồm bốn chương:
- Chương 0 trình bày các kiến thức chuẩn bị cho các chương sau.
- Chương 1 nêu ý nghĩa hình học của argument và môđun đạo hàm, từ đó đưa ra

khái niệm ánh xạ bảo giác và điều kiện để ánh xạ bảo giác tồn tại và xác định
duy nhất.
- Chương 2 phát biểu các nguyên lý cơ bản của lý thuyết ánh xạ bảo giác và
chứng minh các nguyên lý
đó.
- Chương 3 đưa ra một số ví dụ về ứng dụng các nguyên lý trên để xây dựng ánh
xạ bảo giác từ các miền giới hạn bởi các đường: parabol, ellip, lên nửa mặt
phẳng trên.
Cuối cùng là phần kết luận và tài liệu tham khảo.




2


Chương 0. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
0.1. Các khái niệm
0.1.1. Một số khái niệm của số phức
- Cho số phức
zxiy=+ .Trong mặt phẳng Oxy, ta xác định được điểm M
()
,
x
y
gọi
là tọa vị của số phức
z .
- Cho số phức
z

có tọa vị là M. Khi đó, độ dài của
OM
J
JJJG
gọi là môđun của số phức
z
,
ký hiệu
zOMr==
JJJJG
.
- Trong mặt phẳng
Oxy , cho số phức
z
có tọa vị là
M
. Khi đó argument của số
phức
z là góc tạo nên giữa hướng dương của trục thực và OM
J
JJJG
, nhận hướng ngược
chiều kim đồng hồ làm hướng dương.
Ký hiệu
A
rgz

(
)
,2Ox OM k

ϕ
π
==+
JJJG JJJJG
.
Đặc biệt, trị số của Arg
(
]
,z
π
π
∈−
gọi là giá trị chính của Argument, ký hiệu arg z .
Trường hợp
0z
=
thì Arg
z
không xác định.
- Cho 2 số phức
12
,zz
(
)
()
12 1 2
1
12 2
2
*. 2

*20
Arg z z Argz Argz k
z
Arg Argz Argz k z
z
π
π
=++
⎛⎞
=
−+ ≠
⎜⎟
⎝⎠

0.1.2. Dạng mũ và dạng lượng giác của số phức
Mọi số phức
zxiy
=
+ đều có thể biểu diễn dưới dạng lượng giác
(
)
cos sinzr i
ϕ
ϕ
=+
trong đó ,rz Argz
ϕ
=∈.
Dạng mũ của số phức đó là
i

zre
ϕ
=
.
0.1.3. Tập liên thông
Tập
X
là tập liên thông nếu không tồn tại hai tập mở ,AB sao cho
,; ;
X
AXBXABXAB
φ
φφ
∩≠ ∩≠ ∩∩= ⊂∪.



3


0.1.4. Miền
- Miền là tập hợp con
X
của ^ có hai tính chất
i. Với mỗi điểm thuộc
X
luôn tồn tại hình tròn đủ bé nhận điểm đó làm tâm và nằm
hoàn toàn trong
X
(tập mở).

ii. Có thể nối hai điểm bất kỳ thuộc
X
bằng một đường cong nằm hoàn toàn trong
X
(tập liên thông).
- Miền
X
có biên là một tập liên thông được gọi là miền đơn liên. Ngược lại, miền
X
có biên không phải tập liên thông là miền đa liên.
0.1.5. Một số khái niệm liên quan đến đường cong
- Một đường cong có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là đường cong đóng.
Đường cong không có điểm tự cắt gọi là đường cong Jordan. Đường cong Jordan
đóng gọi là chu tuyến.
- Giả sử
()
t
ϕ
và
()
t
µ
là các hàm thực trên đoạn
[
]
,ab
của đường thẳng thực. Khi
đó phương trình
()
(

)
(
)
,zzt t itatb
ϕµ
==+ ≤≤ biểu diễn tham số một đường cong
[
]
()
,Lzab= trong mặt phẳng phức ^ . Đường cong L gọi là trơn nếu các hàm
() ()
,tt
ϕ
µ
có đạo hàm liên tục và các đạo hàm đó không đồng thời bằng không với
mọi
[
]
,tab∈
. Đường cong liên tục tạo bởi một số hữu hạn các đường cong trơn
được gọi là trơn từng khúc.
0.1.6. Cung giải tích
- Một cung của đường cong được gọi là giải tích nếu tọa độ chạy
,
x
y
của nó là hàm
số của tham số
t trong khoảng atb
<

< và khai triển được thành chuỗi lũy thừa ở
lân cận của mỗi điểm
t .
- Ta lại gọi một cung là giải tích đều nếu nó không có điểm bội mà tại đó
', '
x
y triệt
tiêu đồng thời.
0.1.7. Hàm đơn trị
Xét hàm số
(
)
wfz= , nếu mỗi giá trị của đối số có một giá trị duy nhất của hàm số
thì hàm số đó được gọi là hàm đơn trị. Ngược lại, với mỗi giá trị của đối số ta nhận
được nhiều giá trị của hàm số thì hàm số được gọi là hàm đa trị.


4


0.1.8. Hàm đơn diệp
Một hàm số
:
f
DD
∗
→ được gọi là đơn trị một đối một, hay đơn diệp, nếu với hai
điểm bất kỳ
12 1 2
,,zz Dz z∈≠ thì ảnh

(
)
(
)
12
f
zfz≠ .
0.1.9. Hàm chỉnh hình (hàm giải tích)
- Cho
D là tập mở khác rỗng trong
^
. Hàm số
:fD→ ^
được gọi là khả vi phức
(
^ -khả vi) tại
0
zD∈ nếu tồn tại hàm
1
:fD→ ^ liên tục tại
0
z và
()
(
)
(
)
(
)
001

,
f
zfz zzfzzD
=
+− ∀∈

- Cho
D là tập mở khác rỗng trong ^ . Hàm số
:fD→ ^
được gọi là chỉnh hình
trên
D nếu nó khả vi phức tại mọi điểm thuộc D .
- Hàm
f
được gọi là chỉnh hình tại điểm
0
zD
∈
, nếu tồn tại một lân cận mở
U
của
0
z nằm trong D sao cho hàm
f
U
chỉnh hình trên
U
.
0.1.10. Hàm điều hòa
-Hàm

()
,vxy được gọi là điều hòa trong một miền nếu nó đơn trị trong miền đó, có
đạo hàm liên tục đến cấp hai và thỏa mãn phương trình
22
22
0
vv
v
xy
∂∂
∆
=+=
∂∂

- Phần thực, phần ảo của một hàm giải tích là những hàm điều hòa.
0.1.11. Không điểm và cực điểm
- Điểm
za= gọi là điểm không (hay không điểm) của hàm
()
f
z
nếu
(
)
lim 0
za
fz
→
=
.

- Điểm
za=
gọi là cực điểm (
∞
-điểm) của hàm
(
)
f
z nếu
()
lim
za
fz
→
=∞
.
0.1.12. Yếu tố
Ta quy ước yếu tố là tập hợp gồm một điểm và một hướng qua nó.
0.2. Một số định lý sử dụng trong luận văn
0.2.1. Định lý 1 (tính chất của phép biến đổi tuyến tính)
Mọi ánh xạ tuyến tính có tính chất biến vòng tròn này thành vòng tròn kia.
(Coi đường thẳng là đường tròn với bán kính vô cùng lớn).



5


0.2.2. Định lý 2
Ánh xạ tuyến tính biến hình tròn đơn vị trong mặt phẳng

z thành hình tròn
đơn vị trong mặt phẳng
w
có dạng:
1
i
z
we
z
θ
α
α
−
=
−
, trong đó: 1,
α
θ
< là số thực bất
kỳ.
0.2.3. Định lý 3 ( định lý tích phân Cauchy)
Nếu hàm
f
giải tích trong miền đơn liên D ⊂ ^ thì tích phân của nó theo
chu tuyến đóng :
I
D
γ
→ bất kỳ là bằng không, tức là
(

)
0fzdz
γ
=
∫

0.2.4. Định lý 4 ( công thức tích phân Cauchy)
Cho hàm
f
giải tích trên miền D và
γ
là một chu tuyến trong D sao cho
miền D
γ
hữu hạn giới hạn bởi
γ
nằm trong D . Khi đó,
0
zD
γ
∀
∈ ta có
- Công thức tích phân Cauchy
()
(
)
0
0
1
2

fz
f
zdz
izz
γ
π
=
−
∫

- Công thức tích phân Cauchy đối với đạo hàm
()
(
)
()
0
1
0
!
; 0,1,2,
2
n
n
fz
n
fz dzn
i
zz
γ
π

+
==
−
∫

0.2.5. Định lý 5 (công thức tích phân cơ bản thứ hai của Cauchy)
Giả sử
f
giải tích trên miền D và D
∗
là miền giới nội thuộc D cùng với
biên gồm một số hữu hạn đường cong đóng Jordan đo được. Khi đó
()
()
1
,
2
0,
D
f
f
zzD
d
iz
zD
ζ
ζ
πζ
∗
∗

∗
∂
⎧
∈
⎪
=
⎨
−
⎪
∉
⎩
∫
D

0.2.6. Định lý 6
Giả sử
γ
là đường cong đóng Jordan đo được và
γ
→ ^:
f
là hàm liên tục
trên
γ
. Khi đó tích phân


6

()
(
)
1
2
f
Fz d
iz
γ
ζ
ζ
πζ
=
−
∫

sẽ xác định những hàm chỉnh hình trên các thành phần liên thông của phần bù
\
γ
^ .
0.2.7. Định lý 7 (bất đẳng thức Cauchy đối với hệ số của chuỗi lũy thừa)
Nếu chuỗi lũy thừa
(
)
01

n
n
fz a az az
=

+++ +
hội tụ trong hình tròn
zR<
và biểu diễn hàm số
(
)
f
z
có môđun nhỏ hơn
M
thì
( 0,1,2, )
n
n
M
an
R
≤=
.
0.2.8. Định lý 8 (nguyên lý môđun cực đại)
Môđun của hàm số chỉnh hình trong miền mở
G không đạt được cực đại tại
mọi điểm của miền này, ngoại trừ hàm đồng nhất là hằng số.
0.2.9. Định lý 9 (tính duy nhất của hàm giải tích)
Nếu hai hàm số
()
f
z và
(
)

z
ϕ
chỉnh hình trong miền G nào đó và nhận các
giá trị bằng nhau trên mọi tập hợp
E
gồm vô hạn các điểm của G , trong đó
E
có ít
nhất một điểm giới hạn nằm bên trong
G
, thì hai hàm số này bằng nhau khắp nơi
trên
G .
0.2.10. Định lý 10
Nếu hàm số đơn trị không có điểm bất thường nào khác cực điểm trên mặt
phẳng “mở rộng” thì nó là hàm hữu tỷ.
0.2.11. Định lý 11 (bổ đề Hay-nơ-Boren)

A là tập compắc khi và chỉ khi từ mọi phủ mở của A đều có thể trích một
phủ con hữu hạn, tức là có một số hữu hạn chỉ số
12 n
i ,i , ,i sao cho
{
}
12 nk
ii ii
A U U U , U U ,k 1,2, ,n⊂∪∪∪ ∈ = với
{
}
U là một phủ mở của A .

0.2.12. Định lý 12 (định lý thặng dư lôga)
Nếu
()
f
z giải tích tại mọi điểm trong chu tuyến
Γ
(đóng kín và trơn từng


7


khúc) không trừ điểm nào, thì tích phân
(
)
()
'
1
2
Γ
−
∫
fz
dz
ifz a
π
cho ta số nghiệm của
phương trình
(
)

=
f
za ở trong chu tuyến
Γ
.


8


Chương 1. ÁNH XẠ BẢO GIÁC
1.1. Khái niệm ánh xạ bảo giác
1.1.1. Ý nghĩa hình học của argument đạo hàm
Giả sử hàm
(
)
wfz= là hàm số giải tích trên miền G . Ta sẽ biểu diễn gía trị
của hàm số
wuiv
=
+ bởi điểm trên mặt phẳng w . Mỗi diểm zxiy=+ trên mặt
phẳng của biến số độc lập
z sẽ tương ứng với một điểm wuiv
=
+ trên mặt phẳng
w (hình 1.1 và 1.2). Khi điểm
z
chuyển động trên mặt phẳng
z
theo một đường

cong
C nào đó thì điểm tương ứng w nó sẽ chạy trên đường cong Γ trong mặt
phẳng
w , là ảnh của đường cong C .

u
v
0
Φ
Ψ
w
0
w
0
+
w
∆
0
z
0
y
x
0
C’
C
z
0
+z
∆
0

ϕ
ψ

Hình 1.1 Hình 1.2

Gọi
0
z là điểm bất kỳ trên miền G và C là đường cong cho trước có hướng
xác định,
C đi qua
0
z và có tiếp tuyến xác định tại
0
z . Giả sử
()
'
0
0fz≠ .
Trên mặt phẳng
w , ảnh của C là
Γ
đi qua điểm
()
00
wfz=
. Nếu phương
trình của
C là
()
(0 1)zzt t=≤≤ thì phương trình của

Γ
sẽ là
(
)
(
)
(
)
(0 1)wfz fzt wt t
⎡⎤
=
==≤≤
⎣⎦
.
Để giải thích ý nghĩa hình học của đạo hàm
(
)
0
'
f
z , ta sẽ biểu diễn số phức
()
0
'
f
z
ở dạng lượng giác
(
)
'

0
(cos sin )fz r i
α
α
=+
và nêu ý nghĩa hình học của
argument
α
và môđun r của đạo hàm.


9


Lấy điểm bất kỳ
00
zz+∆ trên đường cong C và ký hiệu
00
ww+∆ là điểm
tương ứng với nó trên mặt phẳng
w
thuộc đường cong
Γ
. Khi điểm
00
zz+∆ tiến về
điểm
0
z trên đường cong C thì điểm tương ứng
00

ww
+
∆ sẽ tiến về điểm
0
w trên
đường cong
Γ , trong đó
00
,zw∆∆ cùng tiến về 0.
Từ đẳng thức
() ()
0
'
0
0
0
0
lim cos sin
z
w
fz r i
z
α
α
∆→
∆
==+
∆
, ta có
0

0
0
0
lim
z
w
r
z
∆→
∆
=
∆
(1.1)

0
0
0
0
lim arg
z
w
z
α
∆→
⎛⎞
∆
=
⎜⎟
∆
⎝⎠

(1.2)
(chính xác đến bội của
2
π
). Lưu ý rằng ở đây phải thỏa mãn điều kiện
()
'
0
0fz
≠
vì
nếu trái lại thì góc
α
không có giá trị xác định. Xét đẳng thức (1.2), ta có
000
0
00
000
0
limarg limarg limarg
zzz
w
wz
z
α
∆→ ∆→ ∆→
∆
=∆−∆=
∆
(1.2’)

Ta giải thích ý nghĩa hình học của (1.2’) sử dụng các hình 1, hình 2. Rõ ràng,
()
0000
zzzz∆= +∆ − được biểu diễn bởi vecto nối điểm
0
z với điểm
00
zz+∆ , còn
0
w∆ là vecto nối từ điểm
0
w
đến điểm
00
ww
+
∆ . Suy ra,
0
arg z
∆
là góc
ϕ
nằm giữa
hướng dương của trục
Ox và vecto
0
z
∆
tương ứng, còn
0

arg w
∆
là góc
φ
giữa trục
Ou và vecto
0
w∆ . Vậy (1.2’) sẽ có dạng
00
00
lim lim
zz
φϕ
α
∆→ ∆→
−
=
(1.2’’)
Ở vị trí giới hạn, hướng của vecto
0
z
∆
sẽ trùng với hướng của tiếp tuyến với
đường cong
C tại điểm
0
z (hình 1.1), còn hướng của vecto
0
w∆ trùng với hướng
của tiếp tuyến với

Γ tại điểm
0
w
(hình 1.2), tiếp tuyến này tồn tại theo đẳng thức
(1.2’). Ký hiệu
ψ
và Ψ là các góc của trục Ox và Ou với các tiếp tuyến tương ứng
của
C và Γ tại
0
z và
0
w
. Ta có thể viết (1.2’’) dưới dạng
ψ
α
Ψ
−= hay
ψ
α
Ψ
=+ (1.3)


10


Ta quy ước hướng dương của các trục
Ox và Ou trùng nhau. Khi đó, từ
(1.3) ta có

α
là góc mà tiếp tuyến với
C
tại điểm
0
z đã quay trong ánh xạ
()
wfz= . Nói một cách khác,
α
là góc giữa hướng ban đầu với hướng sau ánh xạ.
Để ý rằng đường cong
C được chọn tùy ý, khi hướng của C thay đổi thì
ψ
và
Ψ

đều thay đổi nhưng góc
α
không đổi. Do đó, nếu tại
0
z ta có đường cong
'C
khác
và gọi đường cong tương ứng với nó tại
0
w
là '
Γ
(hình 1.1 và 1.2) thì (1.3) có dạng
''

ψ
α
Ψ
=+
trong đó
', '
ψ
Ψ là các giá trị ,
ψ
Ψ
tương ứng đối với 'C và 'Γ . Từ (1.3) và (1.3’)
suy ra
''
ψ
ψ
Ψ
−Ψ= − (1.4)
Để ý rằng góc
'
ψ
ψ
−
là góc giữa các tiếp tuyến tại điểm
0
z với các đường
cong
C và 'C , còn 'Ψ−Ψlà góc tương ứng với
Γ
và '
Γ

. Từ (1.4) ta có hai đường
cong bất kỳ xuất phát từ
0
z ánh xạ tương ứng vào hai đường đi qua điểm
()
00
wfz= sao cho góc giữa hai tiếp tuyến của hai đường cong ban đầu và góc giữa
hai tiếp tuyến của hai đường cong ảnh bằng nhau cả về độ lớn và hướng . Điều đó
có nghĩa là nếu hướng dương của đường cong
C tại điểm
0
z quay một góc
α
(có
hướng xác định) đến hướng dương của đường cong
'C , thì hướng tương ứng của
đường cong
Γ cũng quay một góc
α
đến hướng của '
Γ
với cùng hướng đó.
Vậy ánh xạ bởi hàm giải tích có tính chất bảo toàn góc giữa tất cả các điểm
mà tại đó
()
'0fz
≠
.
1.1.2. Ý nghĩa hình học của môđun đạo hàm
Xét đẳng thức (1.1) ta có

()
0
0
0
0
0
'lim
z
w
f
zr
z
∆→
∆
=
=
∆
(1.1’)
Về mặt hình học,
0
z∆ là độ dài vecto
0
z
∆
, tức là khoảng cách giữa
0
z và
00
zz+∆ (hình 1.1); tương tự,
0

∆
w là khoảng cách giữa các điểm
0
w và
00
ww
+
∆
tương ứng (hình 1.2). Đẳng thức (1.1’) chỉ ra rằng tỷ số giữa khoảng cách vô cùng


11


bé giữa các điểm ảnh và điểm ban đầu khi lấy giới hạn sẽ là
()
0
'rfz= không phụ
thuộc vào hướng của
C . Do đó có thể xem
(
)
0
'rfz= là đại lượng đo tỷ lệ tại điểm
0
z trong ánh xạ bởi hàm số
(
)
wfz= . Nếu 1r > thì tỷ lệ tăng, nghĩa là có sự giãn
của phần tử vô cùng bé tại

0
z ; nếu
1r
<
thì ngược lại có sự co; nếu
1r =
thì tỷ lệ
này không đổi, nghĩa là phần tử vô cùng bé tại
0
z được thay thế bởi phần tử vô cùng
bé tương đương với nó tại điểm
0
w .
Vì
()
0
'rfz= chỉ phụ thuộc vào
0
z mà không phụ thuộc vào hướng của C
nên tỷ lệ này thường được gọi là sự biến dạng tại điểm
0
z và nó sẽ không phụ thuộc
vào hướng. Vậy có thể nói rằng ánh xạ bởi hàm số giải tích
(
)
wfz= có độ co giãn
không phụ thuộc vào hướng tại mọi điểm
0
z sao cho
(

)
0
'0fz
≠
.
1.1.3. Ánh xạ bảo giác
1.1.3.1. Khái niệm
Ánh xạ có tính chất bảo toàn góc và có độ co giãn không đổi được gọi là ánh
xạ bảo giác.
1.1.3.2. Mối quan hệ giữa ánh xạ bảo giác và ánh xạ giải tích
Ta đã biết mọi ánh xạ giải tích, tức là ánh xạ cho bởi hàm số giải tích
()
wfz= tại mọi điểm
0
z mà tại đó
(
)
0
'0fz
≠
đều có hai tính chất
1. Bảo toàn góc;
2. Độ co giãn không đổi.
Nếu trên mặt phẳng của biến số phức
z
, ta lấy một tam giác vô cùng bé sao
cho
0
z là một trong các đỉnh của nó thì trên mặt phẳng của biến w sẽ có tam giác
cong vô cùng bé với một đỉnh là

0
w (hình 1.3 và 1.4). Các góc tương ứng của hai
tam giác này sẽ bằng nhau theo tính chất bảo toàn góc; tỷ số các cạnh tương ứng
chính xác đến vô cùng bé sẽ bằng số cố định
0r
≠
. Hai tam giác vô cùng bé như
vậy được gọi là đồng dạng với nhau. Vậy ánh xạ giải tích là ánh xạ đồng dạng trong
vô cùng bé (tại lân cận mỗi điểm
z sao cho
(
)
'0fz
≠
).


12


z
0
0
x
y
u
v
0
w
0

Hình 1.3 Hình 1.4

Từ các lập luận ở mục 1.1.1 và 1.1.2 trên đây ta có thể khẳng định rằng: mọi
ánh xạ được cho bởi hàm số giải tích
(
)
wfz= là ánh xạ bảo giác tại mọi điểm mà
tại đó đạo hàm của hàm số này khác không. Ngược lại, nếu hàm đơn trị
(
)
wfz=
xác định ánh xạ bảo giác thì hàm số
(
)
f
z
là hàm giải tích với đạo hàm khác không.
1.1.4. Ánh xạ bảo giác loại II
1.1.4.1. Khái niệm
Mọi ánh xạ từ mặt phẳng của biến số phức
z (hay một phần của nó) lên mặt
phẳng
w trong đó góc được bảo tồn về độ lớn, còn hướng quy chiếu thay đổi thành
hướng ngược lại và có độ co giãn không đổi được gọi là ánh xạ bảo giác loại II.
Cần phân biệt, ánh xạ bảo giác loại II với ánh xạ giải tích được gọi là ánh xạ
bảo giác loại I. Cả hai loại ánh xạ này đều được cho bởi hàm số có liên quan chặt
chẽ với hàm giải tích.
1.1.4.2. Ví dụ
Cho ánh xạ

wz= . Ta sẽ biểu diễn số w trên cùng một mặt phẳng với z , khi
đó ta thấy rằng mọi điểm của
z sẽ ánh xạ vào điểm đối xứng với nó qua trục thực.
Rõ ràng trong ánh xạ này, hai hướng bất kỳ xuất phát từ
z
và tạo thành góc
α
nào
đó sẽ biến thành hai hướng tương ứng đối xứng với hai hướng ban đầu, góc giữa
chúng sẽ là
α
− , nghĩa là độ lớn của góc được bảo toàn nhưng hướng quy chiếu
được thay đổi thành hướng ngược lại (hình 1.5). Ngoài ra, ánh xạ này có độ co giãn
không đổi vì không có sự thay đổi nào về tỷ lệ xích trong ánh xạ này.


13


Vậy ánh xạ
wz= đã cho là ánh xạ bảo giác loại II.
0
y
x
z
z

Hình 1.5

1.1.4.3. Tính chất

Định lý 1
Mọi ánh xạ được cho bởi hàm số có giá trị là số phức liên hợp của giá trị của
hàm giải tích, đều là ánh xạ bảo giác loại II.
Chứng minh
Giả sử
()
f
z
là hàm giải tích, ta sẽ chứng minh rằng ánh xạ
(
)
wfz= là ánh
xạ bảo giác loại II.
Thật vậy, phép biến đổi này có thể tách thành hai ánh xạ liên tiếp:
(
)
f
z
ζ
=
và
w
ζ
=
. Trong ánh xạ thứ nhất, góc được bảo toàn về hướng và độ lớn. Trong ánh
xạ thứ hai, hướng quy chiếu thay đổi thành hướng ngược lại. Do đó sau hai ánh xạ,
góc được bảo toàn về độ lớn nhưng hướng quy chiếu biến đổi thành hướng ngược
lại. Ngoài ra, ánh xạ này có độ co giãn không đổi vì cả hai ánh xạ thành phần đều có
tính chất này.
Vậy ta có điều phải chứng minh.

Định lý 2
Mọi ánh x
ạ bảo giác loại II đều được cho bởi hàm số liên hợp với một hàm
giải tích nào đó.



14


Chứng minh
Thật vậy, nếu
(
)
wFz= là ánh xạ bảo giác loại II thì
()
wFz= sẽ xác định
ánh xạ bảo giác loại I, suy ra
(
)
Fz là hàm số giải tích trên miền đang xét:
() ()
Fz f z= , suy ra
()
(
)
Fz f z= .
Vậy định lý đã được chứng minh.
Ta đã thấy rằng ánh xạ giải tích có hai tính chất đặc trưng: bảo tồn góc và
độ co giãn khơng đổi. Vấn đề đặt ra là: phải chăng mọi ánh xạ liên tục có tính chất

bảo tồn góc đều là ánh xạ giải tích, nghĩa là tính chất bảo tồn góc có kéo theo tính
chất độ co giãn khơng đổi? Nói cách khác, phải chăng mọi ánh xạ liên tục có độ co
giãn khơng đổi ln là ánh xạ bảo giác lọai I hoặc loại II. Khơng đ
i sâu vào việc
giải quyết hai vấn đề này, ta chỉ nhận xét rằng cả hai vấn đề này đều đã được giải
quyết bởi câu trả lời khẳng định bằng các phương pháp sơ cấp. Ta có giả thiết với
wuiv=+ thì
u
và
v
đều có các đạo hàm riêng liên tục. Vấn đề sẽ khó giải quyết
hơn nếu ta chỉ xét các ánh xạ liên tục bất kỳ mà khơng có điều kiện các đạo hàm
riêng của
u và v liên tục. Tuy nhiên gần đây người ta đã giải quyết được hai bài
tốn trên trong trường hợp tổng qt.
Cụ thể, người ta đã chứng minh được rằng: mọi ánh xạ liên tục và là song
ánh mà bảo tồn góc đều là ánh xạ giải tích. Câu hỏi: “Liệu điều kiện ánh xạ song
ánh có thể bỏ qua được khơng?” đến giờ vẫn chưa giải quyết được triệt để.
Ngồi ra, người ta cũng chứng minh được rằ
ng: mọi ánh xạ song ánh liên tục
có độ co giãn khơng đổi đều là ánh xạ bảo giác loại I hoặc loại II. Ở đây điều kiện
ánh xạ là song ánh là bắt buột vì ta có thể xét một ví dụ sau đây.
Cho ánh xạ
z,nếu điểm thuộc z nằm nửa mặt pha
ú
ng trên
w
z,nếiểm thuộcznằm nửamặt phẳngdưới
⎧
⎪

=
⎨
⎪
⎩

Lưu ý: trên trục thực
zz=


15


Rõ ràng ánh xạ này liên tục trên toàn bộ mặt phẳng của biến số phức
z và có
độ co giãn không đổi nhưng nó không là ánh xạ giải tích trên cả mặt phẳng cũng
không là ánh xạ liên hợp của ánh xạ giải tích.
1.2.Điều kiện xác định ánh xạ bảo giác
1.2.1. Ánh xạ hình tròn đơn vị lên chính nó
Theo định lý 1, mọi phép biến đổi tuyến tính đều có tính chất biến vòng tròn
thành vòng tròn. Bây giờ ta chứng minh tính chất đó đặc trưng cho ánh xạ tuyến
tính. Thật vậy, giả sử
(
)
wfz=
là ánh xạ song ánh và bảo giác biến mặt tròn thành
mặt tròn khác. Ta sẽ chứng minh nó là ánh xạ tuyến tính.
Đầu tiên, ta gọi
Γ là ánh xạ tuyến tính biến mặt tròn đã cho của mặt phẳng z
thành mặt tròn đơn vị của mặt phẳng
τ

, và
1
Γ
là ánh xạ tuyến tính biến mặt tròn đã
cho của mặt phẳng
w
thành mặt tròn đơn vị đó của mặt phẳng
τ
. Vậy thì ánh xạ
1
1
Sf
−
=Γ Γ sẽ biến mặt tròn đơn vị trên mặt phẳng
τ
thành chính nó. Nếu chứng
minh được
S là tuyến tính thì ta kết luận
1
1
f
S
−
=
ΓΓ cũng là tuyến tính.
Thế thì, vấn đề được đưa về xét tính đặc trưng của ánh xạ song ánh và bảo
giác biến mặt tròn đơn vị thành chính nó.
Ánh xạ tuyến tính biến mặt tròn đơn vị thành chính nó như đã biết ở định lý
2 có dạng
1

i
z
we
z
θ
α
α
−
=
−
(2.1)
trong đó
1
α
< và
θ
là số thực bất kỳ. Nó chứa ba tham số thực tùy ý, nên được xác
định duy nhất bởi ba điều kiện.
Cho trước một yếu tố gồm điểm
α
và hướng
θ
đi qua điểm đó, thì ánh xạ
tuyến tính biến yếu tố đó thành yếu tố gồm gốc tọa độ và hướng dương trục thực,
được xác định duy nhất bởi công thức (2.1). Về giải tích, dữ kiện cho trước có thể
viết là
(
)
(
)

'
0,argww
α
αθ
=
= (2.2)


16


Để chứng minh rằng phép biến đổi (2.1) là ánh xạ song ánh và bảo giác duy
nhất biến mặt tròn đơn vị thành chính nó, thỏa mãn điều kiện đầu (2.2) thì chỉ cần
chứng minh ánh xạ song ánh và bảo giác
(
)
wfz= biến mặt tròn đơn vị thành
chính nó với điều kiện đầu
(
)
(
)
'
00, 00ff
=
> (2.3)
là phép biến đổi đồng nhất.
Thật vậy, giả sử
(
)

wFz= là ánh xạ song ánh và bảo giác biến mặt tròn đơn
vị thành chính nó thỏa mãn (2.2). Bằng cách ký hiệu
L là phép biến đổi tuyến tính
(2.1), ta xét phép biến đổi bổ trợ
1
FL
−
thỏa mãn điều kiện (2.3) và biến mặt tròn đơn
vị thành chính nó. Nếu chứng minh được
1
FL
−
là phép biến đổi đồng nhất thì từ đó
ta có được
(
)
(
)
Fz Lz=
nên khi đó
L là duy nhất.
Vậy tóm lại, ta phải chứng minh rằng ánh xạ song ánh và bảo giác
(
)
wfz=
biến mặt tròn đơn vị thành chính nó với điều kiện (2.3) là phép đồng nhất.
Ta chứng minh mệnh đề tổng quát hơn sau đây
Mệnh đề
“Nếu hàm số
()

f
z thỏa mãn điều kiện
(
)
(
)
'
,0ff
αα α
=
> và là song ánh
bảo giác, biến miền
G nằm trong phần hữu hạn của mặt phẳng có chứa điểm
α

thành chính nó thì
()
f
zz≡ ”.
Chứng minh
Ta có thể xem
0
α
=
(điều này luôn có được bằng phép biến đổi
() ( )
,zf
ξ
α
ϕξ ξ

αα
=− = + −).
Ngoài ra, có thể xem
(
)
'
01f
α
=
≥ vì nếu
(
)
'
01f
<
thì ta xét hàm ngược của
()
f
z thay cho
()
f
z . Và ta hãy chú ý rằng cùng với hàm số
() ()
1
f
zfz= , các phép
lặp của nó


17

(
)
(
)
(
)
(
)
2132
, , fz ffz fz ffz
⎡
⎤⎡⎤
==
⎣
⎦⎣⎦

cũng biến miền
G thành chính nó và ta luôn có
(
)
(
)
'
00, 01
nn
ff
=
≥

Tại lân cận điểm gốc, hàm số
(
)
f
z có khai triển
(
)

v
f z az bz
=
++
trong đó
2v ≥
và
1a ≥
. Tất nhiên ở lân cận điểm
0z
=
khai triển thành chuỗi lũy
thừa của hàm số
()
n
f
z sẽ có dạng
(
)

n
n

fz az
=
+
Đầu tiên, ta giả thiết rằng
1a > . Điều đó có nghĩa là
()
'
0
n
n
f
a=

với
n
khá lớn thì
()
'
0
n
f có thể lớn hơn một số dương A tùy ý cho trước. Ta ký
hiệu
M
là bán kính mặt tròn tâm tại gốc tọa độ và chứa trọn vẹn miền G , thế thì
trong miền
G sẽ có
()
n
f
zM

<
. Tiếp theo, giả sử
ρ
là bán kính mặt tròn tâm tại
không điểm và nằm hoàn toàn trong miền
G , kể cả biên của nó. Khi đó theo định lý
7, ta có
()
'
0
n
n
M
af
ρ
=≤
Vì bất đẳng thức đó phải đúng với mọi giá trị
n và 1a > nên điều đó không
thể có được. Vậy phải công nhận rằng
1a
=
.
Vậy từ khai triển
(
)

v
fz z bz
=
++

suy ra
(
)
2
2
v
fz z bz
=
++
và tổng quát
(
)

v
n
fz znbz
=
++
Mà ta có
v
M
nb
ρ
≤



18

và vế phải của bất đẳng thức đó có số không phụ thuộc
n , vậy 0b = . Như vậy,
()
f
zz= .
Vậy ta có điều phải chứng minh.
1.2.2. Điều kiện xác định duy nhất của ánh xạ bảo giác
Giả sử cho miền đơn liên
G
nào đó trong mặt phẳng số phức z .Vấn đề đặt
ra là có chăng một hàm số
(
)
wfz= chỉnh hình trong miền G , và ánh xạ một đối
một
G
thành mặt tròn đã cho trong mặt phẳng
w
.
Đây là vấn đề cơ bản của lý thuyết ánh xạ bảo giác được Riemann đưa ra và
đã được giải quyết triệt để đối với miền có biên chứa nhiều hơn một điểm.
Với giả thiết tồn tại một hàm
(
)
wfz= như vậy, thì ta thấy rằng tập hợp các
hàm số đó là vô số.
Thật vậy, ta đã biết có vô số các hàm tuyến tính biến mặt tròn thành chính
nó. Chẳng hạn, nếu
()
wfz= là hàm số ánh xạ miền G thành mặt tròn 1w

<
thì
hàm số
1
i
wwe
θ
= cũng sẽ ánh xạ miền G thành mặt tròn
1w
<
với
θ
bất kỳ.
Mệnh đề:
“Nếu cho hai yếu tố tương ứng: một trong miền
G và một trong mặt tròn
1w < thì có chỉ một hàm số
(
)
wfz= ánh xạ đơn trị hai chiều và bảo giác biến
miền
G thành mặt tròn 1w < trong đó các yếu tố đã cho biến cái này thành cái kia
(hình 1.6)”.
Chứng minh:
Giả sử
(
)
wfz=
và
(

)
wFz=


Hình 1.6 Hình 1.7


19


đều là ánh xạ bảo giác biến miền
G thành mặt tròn sao cho một yếu tố của miền G
với cả hai ánh xạ đều biến thành cùng một yếu tố của mặt tròn. Vậy thì,
() ()
1
wfFw
ϕ
−
= biến mặt tròn thành chính nó. Ký hiệu
α
là tọa vị của điểm của yếu
tố đó, ta có
(
)
ϕ
αα
=
và
(
)

'
0
ϕα
>
Vì theo mục 1.2.1,
()
(
)
1
wfFww
ϕ
−
==

Do đó, thay
()
wFz= , thì cuối cùng ta có
(
)
(
)
f
zFz= .
Mệnh đề đã được chứng minh.
Vậy tất cả những tính chất trên của ánh xạ miền đơn liên
G thành mặt tròn
đều đúng với ánh xạ miền
G thành miền đơn liên bất kỳ
∆
(hình 1.7).

Thật vậy, ta dùng phép ánh xạ từ miền
G lên mặt tròn làm trung gian: đầu
tiên ánh xạ miền
G thành mặt tròn và sau đó ánh xạ mặt tròn thành ∆ .


20


Chương 2. CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT
ÁNH XẠ BẢO GIÁC
2.1. Nguyên lý bảo toàn miền
2.1.1. Nguyên lý
“Một hàm số giải tích đơn trị ánh xạ một miền xác định của nó thành một
miền mới (đơn diệp hay đa diệp).”
2.1.2. Chứng minh
Ở định lý 13, ta đã thấy rằng hàm số
(
)
wfz= đơn diệp trong miền G của
mặt phẳng
z , luôn ánh xạ miền đó lên một miền
E
trong mặt phẳng w và giữa các
điểm của hai miền có sự tương ứng đơn trị hai chiều. Để mở rộng mệnh đề đó cho
một hàm số giải tích tùy ý thì cần phải mở rộng khái niệm miền. Nên cần có một sự
mở rộng như vậy khi xét các hàm số
,
nz
ze và sin z . Để tượng trưng cho ảnh của mặt

phẳng
z trong phép ánh xạ thực hiện nhờ các hàm số đó, ta lập diện Riman nhiều tờ
tạo nên bằng cách dán các nửa mặt phẳng dọc theo phần trục thực tương ứng.
Phương pháp đó biểu diễn bằng những nửa mặt phẳng, các miền biến thiên của hàm
số giải tích là không thích hợp trong trường hợp tổng quát và cần phải thay đổi bằng
cách lập miền nhờ những mặt tròn một tờ và nhiều tờ. Để đơn giản, giới hạn vào
những hàm số đơn trị, ta xét hàm số
(
)
f
z giải tích trong miền
G
nào đó và giả sử
a là một điểm hữu hạn nào đó của miền.
Nếu
(
)
'
0fa≠ thì có thể lấy một lân cận khá bé của điểm
a
để trong nó
hàm số
()
f
z
là đơn diệp.
Thật vậy,
()
(
)

(
)
2
01 2 1
( 0)fz a az a a z a a
=
+−+−+≠
ta chọn
ρ
khá bé để
2
12 3
2 3 0aa a
ρρ
−
−−>
Khi đó, với hai điểm bất kỳ
121 2
,( )zz z z
≠
nằm trong mặt tròn za
ρ
−
< .
Bằng cách đặt
11
za
ζ
−= và
22

za
ζ
−
= , ta có