Nguyên lý Dirichlet và Nhị Thức Newton (toán rời rạc)

NHỊ THỨC NEWTON VÀ NGUYÊN LÝ CHUỒNG BỒ CÂU
GVHD: BÙI THỊ THIỆN MỸ
Nhóm 3
NHỊ THỨC NEWTON VÀ NGUYÊN LÝ CHUỒNG BỒ CÂU
NHỊ THỨC NEWTON
1
NGUYÊN LÝ CHUỒNG BỒ CÂU
2
Nhóm 3
NHỊ THỨC NEWTON

CÔNG THỨC

Trong đó:
là tổ hợp chập k của 1 tập của n phần tử
( )
0 1 1 1 1
0
.a . C . C . .
n
n
n n k n k k n n n n k n n k
n n n n n n
k
a b C C a b a b a b C b C a b
− − − − −
=
+ = + + + + + + =
∑
!
!( )!

k
n
n
C
k n k
=
−
k
n
C
NHỊ THỨC NEWTON

MỘT SỐ TÍNH CHẤT

Số hạng tử là

Tổng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng .Trong đó mũ của giảm
dần từ n  0 , b tăng từ 0  n.Với tổng số mũ của a và b phải bằng nhau n- k
+k =n ( a
0
=b
0
=1).

Các cặp hệ số cách đều biên thì bằng nhau :

Nhóm 3
k n k
n n
C C

−
=
1n +
n a
NHỊ THỨC NEWTON

Số hạng tổng quát thứ k +1,kí hiệu : với k = 0,1,2,…n và có dạng :

Hệ số trong khai triển có tính chất đối xứng

Chú ý : và
•
a = b = 1 
•
a =1,b=-1
Nhóm 3
k n k
n n
C C
−
=
0
1
n
n n
C C= =
( )
0 1 1
2
n

n k n n
n n n n n
a b C C C C C
−
+ = = + + + + +
( )
0 1
0 ( 1) ( 1)
n
k k n n
n n n n
a b C C C C+ = = + + + − + + −
1k
T
+
1
k n k k
k n
T C a b
−
+
=
BÀI TẬP

VD : KHAI TRIỂN
Nhóm 3
1
1
n
x

 
+
 ÷
 
BÀI TẬP

BÀI 1: KHAI TRIỂN
Nhóm 3
(
)
3 2
3
2
3
.
n
x x x
x
 
+ +
 ÷
 
BÀI TẬP

Bài 2: CHỨNG MINH RẰNG
Nhóm 3
1 2 3 1
2 3 .2
n n
n n n n

C C C nC n
−
+ + + + =
BÀI TẬP

LỜI GiẢI
Ta có
Đạo hàm 2 vế ta được
với x=1
Ta suy ra được điều cần chứng minh.
Nhóm 3
0 1 2 2 3 3
(1 )
n n n
n n n n n
x C C x C x C x C x+ = + + + + +
1 1 2 3 2 1
(1 ) 2 3
n n n
n n n n
n x C x C x C x nC x
− −
+ = + + + +
BÀI TẬP

Bài 3:Tìm hệ số của x
8
trong khai triển:
Nhóm 3
8

2
1 (1 )x x
 
+ −
 
BÀI TẬP

LỜI GIẢI
Ta có
Vậy, chỉ có trong các số hạng thứ 4, 5, với hệ số tương ứng là
Nhóm 3
( )
8
8
2 2
8
0
1 (1 ) 1
k
k
k
x x C x x
=
   
+ − = −
   
∑
0 1 2 2 4 2 3 6 3 4 8 4
8 8 8 8 8
5 10 5 6 12 6 7 7 8 16 8

8 8 8 8
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
C C x x C x x C x x C x x
C x x C x x C x C x x
= + − + − + − + −
+ − + − + − + −
8
x
3 2 4 0
8 3 8 4
C C C C+
BÀI TẬP

BÀI 4: NẾU TẬP HỢP A CÓ N PHẦN TỬ THÌ TẬP HỢP A CÓ 2
n
TẬP CON

LỜI GIẢI:

A có n phần tử khi đó số tập con sẽ có k phần tử: (là số cách chọn k phần tử
không kể thứ tự từ n phần tử)

Với n = 0:

Với n = 1:

Với n = 2:
… Với n = n :
Nhóm 3

k
n
C
0
n
C
1
n
C
2
n
C
n
n
C
BÀI TẬP

Vậy tổng số tập con của A là:

Ta xét:

Chọn n = 1, ta được:

Vậy tổng số tập con của A là 2
n
phần tử
Nhóm 3
0 1 2

n

n n n n
A C C C C= + + + +
0 1 2 2
(1 )
n n n
n n n n
x C C x C x C x+ = + + + +
0 1 2 2
2
n n n
n n n n
C C x C x C x= + + + +
NGUYÊN LÝ CHUỒNG BỒ CÂU
Nhóm 3
NGUYÊN LÝ CHUỒNG BỒ CÂU

NGUYÊN LÝ CHUỒNG BỒ CÂU (DIRICHLET):
Nhóm 3
Nếu đặt con bồ câu vào cái chuồng thì sẽ tồn tại 1 chuồng
chứa 2 con bồ câu.
1. Nguyên lý đơn giản
n
1n +
NGUYÊN LÝ CHUỒNG BỒ CÂU
•
Mở rộng hơn nếu bồ câu được đặt vào chuồng , thì tồn tại ít nhất một chuồng
chứa
con bồ câu,

Trong đó ta chú ý kí hiệu

là phần nguyên của số
Nhóm 3
Nguyên lý Dirichlet mở rộng
1n m
m
 + − 
 
 ÷
 
 
 
n
m
[ ]
α
α
*
,m n ∈¥
BÀI TẬP

BÀI 1: Trong một sở thú có 9 con hổ nhưng chỉ có 6 cái chuồng. Hỏi tồn tại ít
nhất 1 chuồng chứa bao nhiêu con hổ.

LỜI GiẢI:

Áp dụng nguyên lí Dirichlet

Tồn tại ít nhất một chuồng chứa con hổ
Nhóm 3
9 6 1

6
+ −
 
 
 
BÀI TẬP

BÀI 2:
Chứng minh rằng một đường thẳng chỉ có thể nhiều lắm hai cạnh
của một tam giác ở phần trong của các cạnh này.
Nhóm 3
BÀI TẬP
Lời giải:
Một đường thẳng d bất kì luôn chia mặt phẳng ra làm hai miền, cho
nên theo nguyên tắc Dirichlet, tồn tại một miền chứa ít nhất hai đỉnh,
không mất tổng quát ta giả sử đó là hai đỉnh A và B. Khi đó cạnh AB
nằm hoàn toàn trong nửa mặt phẳng này và không thể cắt d được.
Company Logo
BÀI TẬP

BÀI 3: Trong tam giác đều, cạnh 1. Cho 5 điểm phân biệt.
Chứng minh rằng : tồn tại ít nhất 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng không
quá
Nhóm 3
1
2
BÀI TẬP

BÀI 4: Trong 100 người, có ít nhất bao nhiêu người có cùng tháng sinh?


LỜI GIẢI:

Có tổng cộng 12 tháng sinh, vậy trong 100 người có người có cùng
tháng sinh
Nhóm 3
100 12 1
12
+ −
 
 
 
BÀI TẬP

LỜI GiẢI

Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm AC,BC,AB

Ta có: là các tam giác đều có cạnh

Mặt khác:

M là trung điểm AC

N là trung điểm BC

Suy ra:
Nhóm 3
, ,ANP BNQ NQPV V V
1
2

1
2
MN
MN AB

=




P
BÀI TẬP

Hoàn toàn tương tự, ta có:
và

Theo nguyên lý Dirichlet, ta có

Trong 4 tam giác đều, sẽ có ít nhất 1 tam giác chứa 2 điểm và khoảng cách
giữa 2 điểm luôn nhỏ hơn
Nhóm 3
1
2
PN
PN AC

=





P
1
2
PN
PN AC

=




P
1
2
BÀI TẬP

BÀI 5
Chứng minh rằng trong 8 số tự nhiên có 3 chữ số, bao giờ cũng chọn được 2
số mà khi viết liền nhau ta được một số có 6 chữ số và chia hết cho 7.
Nhóm 3
BÀI TẬP

LỜI GIẢI

Khi chia 1 một số bất kỳ cho 7, ta luôn có 7 loại số dư là 0,1,2, ,6.

Theo nguyên lý Diriclet, trong 8 số đã cho, luôn có số chia hết cho 7 (có cùng
số dư)


Gọi 2 số đó là và

Ta có
Nhóm 3
8 7 1
2
7
+ −
 
=
 
 
abc
xyz
7(1)abc xyz− M
7abc xyz k− =