giúp học sinh có kiến thức, có kĩ năng giải thành thạo các dạng toán giải phương trình vô tỉ

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LỜI MỞ ĐẦU:
Lớp 9 là lớp cuối cấp của bậc THCS, học hết lớp 9, các em
có kĩ năng giải thành thạo các dạng toán đại số và hình học cơ
bản như: Tính tỉ lệ, tính diện tích, tính thể tích, giải phương trình
bậc nhất một ẩn, phương trình bậc hai một ẩn, thực hành tính toán
trong đời sống Nhưng học sinh lại rất lúng túng khi giải phương
trình vô tỉ.
Trong chương trình toán THCS, SGK không đưa ra lí thuyết
cụ thể về phương pháp giải phương trình vô tỉ, nhưng trong hệ
thống bài tập lại có đề cập đến. Các bài toán dạng này có nhiều
trong các loại sách phát triển, nâng cao, đề thi học sinh giỏi, đề thi
vào trường chuyên và PTTH Do đó cần phải hướng dẫn cho học
sinh Lớp 9 biết cách giải các bài tập dạng này.
Do vậy trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần thông qua hệ
thống bài tập để học sinh nắm được khái niệm về phương trình vô
tỉ, có kỹ năng thành thạo, vận dụng những kiến thức đã học khi
giải chúng, đặc biệt giúp các em tránh được sai lầm trong khi
giải toán loại này.
1
Để giúp học sinh có kiến thức, có kĩ năng giải thành thạo các
dạng toán giải phương trình vô tỉ, trong quá trình giảng dạy bản
thân tôi đã hệ thống lại các phương pháp và bài tập để vận dụng.
Rất mong được sự quan tâm, đóng góp ý của đồng nghiệp để đề
tài mang lại hiệu quả cao trong việc ứng dụng vào thực tế giảng
dạy.
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU:
1, Thực trạng:
- Đa số HS trong lớp là con em gia đình thuần nông, ngoài giờ
học trên lớp các em còn phải lao động phụ giúp gia đình. Do đó
các em rất ít thời gian tự học ở nhà.

- Một số học sinh coi nhẹ việc học, lười học dẫn đến hổng kiến
thức ở các lớp dưới và không nắm vững kiến thức trên lớp.
- Một số phụ huynh chưa quan tâm đúng mức đến việc học của
con em mình.
- Một số em gia đình có hoàn cảnh kinh tế khó khăn, không có tài
liệu, sách nâng cao để nghiên cứu. Do đó có ảnh hưởng rất nhiều
đến việc học của các em.
2
- Đa số học sinh chưa nắm vững khái niệm và kiến thức để giải
phương trình vô tỉ. Học sinh vận dụng các kiến thức đã học vào
giải phương trình vô tỉ còn hạn chế, chưa nắm vững các phương
pháp giải phương trình vô tỉ.
- Với mỗi bài toán giải phương trình vô tỉ, nhiều học sinh không
xác định được cách làm, không biết áp dụng phương pháp nào.
- Một số ít học sinh nắm được phương pháp giải một vài dạng
bài tập về phương trình vô tỉ nhưng trong quá trình thực hiện còn
hay nhầm dấu, sai điều kiện hoặc không có điều kiện Dẫn đến
bài giải chưa hoàn chỉnh.
2, Kết quả của thực trạng trên:.
Qua khảo sát 34 học sinh lớp 9A trường THCS Phúc Thịnh -
Ngọc Lặc về giải phương trình vô tỉ, thu được kết quả như sau:
Tổng
số
Giỏi Khá Trung bình Yếu
SL % SL % SL % SL %
34 0 0 2 5,88 11 32,35 21 61,77
Từ những thực trạng trên, để việc giảng dạy đạt kết quả tốt hơn,
tôi đã mạnh dạn hệ thống lại các dạng bài tập phương trình vô tỉ
và phương pháp giải từng dạng để học sinh tiếp thu dễ dàng hơn.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

3
I. CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN:
- Sử dụng từng phương pháp để giải quyết trong từng bài toán cụ
thể.
- Kết hợp giữa SGK, SBT, SGV và tài liệu tham khảo để giải
quyết tiết dạy.
- Thông qua các tài liệu giảng dạy, tài liệu tham khảo, phân tích
so sánh, vận dụng và thực nghiệm trong các tiết dạy. Từ đó rút ra
phương pháp dạy phù hợp với việc đổi mới SGK hiện nay.
II. CÁC BIỆN PHÁP ĐỂ TỔ CHỨC THỰC HIỆN:
Có nhiều phương pháp giải phương trình vô tỉ, mỗi phương
pháp thường phù hợp với một dạng bài nhất định. Tuy nhiên
không loại trừ khả năng một phương trình chứa căn thức có thể
giải theo nhiều cách khác nhau.
Để giúp học sinh nắm vững kiến thức về giải phương trình vô
tỉ, trong quá trình giảng dạy, tôi đã cho học sinh nắm được một số
phương pháp giải phương trình vô tỉ thông qua nhiều dạng bài tập.
Để phù hợp với mọi đối tượng học sinh trong lớp tôi giới thiệu các
phương pháp giải thông qua hệ thống bài tập đã được sắp xếp từ
4
dễ đến khó và đặc biệt phải cho học sinh nắm vững các kiến thức
cơ bản sau:
-
A
có nghĩa
⇔
A
≥
0
- Hằng đẳng thức

2
A
=
A

-
( )
2
A
= A với mọi A
≥

-
A
= A nếu A
≥
0
- A Nếu A < 0
- Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
(A + B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2
(1)
(A - B)
2
= A
2

+ 2AB + B
2
(2)
A
2
- B
2
= (A -B)(A + B) (3)
(A + B)
3
= A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3
(4)
(A - B
3
= A
3
- 3A
2
B + 3AB
2
- B
3
(5)

A
3
+ B
3
= (A + B)(A
2
- AB + B
2
) (6)
A
3
- B
3
= (A - B)(A
2
+ AB + B
2
) (7)
1, Phương trình dạng
( )
2
)(xf
= g(x) và
( )
2
)(xf
+
( )
2
)(xh

= g(x):
Cách giải: Đưa phương trình về dạng chứa ẩn trong dấu giá
trị tuyệt đối.
*
( )
=
2
)(xf
g(x)
⇔
)(xf
= g(x) (Phương trình này đã học ở lớp 8).
5
*
( )
2
)(xf
+
( )
2
)(xh
= g(x)
⇔
)()( xhxf +
= g(x)
Ví dụ 1:
Giải phương trình:
( )
2
2−x

= 4 (1)
Giải:
( )
2
2−x
= 4
⇔
2−x
= 4




−=−
=−
⇔
42
42
x
x




−=
=
⇔
2
6
x

x
Tập nghiệm của phương trình (1) là: S =
{ }
6;2−
Hình thành cho học sinh phương pháp giải các phương trình
chứa căn thức mà biểu thức dưới dấu căn có dạng của hằng đẳng
thức
2
A
thì đưa về phương trình có ẩn trong giá trị tuyệt đối và
giải tiếp như đã làm ở các lớp dưới.
Để học sinh giỏi có thể phát huy khả năng của mình, tôi ra
thêm các bài tập sau:
Ví dụ 2:
Giải phương trình:
96
2
++ xx
= 3x - 1 (2)
Trong bài này đòi hỏi học sinh phải biến đổi biểu thức trong
dấu căn thành dạng bình phương của một nhị thức rồi mới tiếp
tục giải như các bài tập trước.
Giải:
6

96
2
++ xx
= 3x - 1
⇔

2
)3( +x
= 3x - 1
⇔
3+x
= 3x - 1
* Nếu x + 3
≥
0
⇔
x
≥
- 3, ta được: x + 3 = 3x - 1
⇔
x = 2
(TMĐK)
* Nếu x + 3 < 0
⇔
x < - 3, ta được: - x - 3 = 3x -1
⇔
x = - 0,5
không thoã mãn x < - 3 nên không phải là nghiệm.
Tập nghiệm của phương trình (2) là: S =
{ }
2
Ví dụ 3:
Giải phuơng trình :
12 −− xx
= 2

1−x
. (3)
Giải:
ĐK x
1≥


12 −− xx
= 2
1−x

⇔
( )
2
11 −−x
= 2
1−x
⇔
11 −−x
= 2
1−x
(3’)
* Nếu
11 −−x

≥
0
⇔
x > 2 thì phương trình (3’) trở thành:
1211 −=−− xx

⇔
-1 =
1−x
phương trình vô nghiệm.
* Nếu 1
2≤≤ x
thì phương trình (3’) trở thành :
7
1211 −=−− xx

⇔

3
1
1 =−x
. Hai vế đều không âm, bình
phương hai vế ta được: x - 1 =
9
1

⇔
x =
9
10
. Thoã mãn 1
2
≤≤
x
.

Tập nghiệm của phương trình (3) là: S =






9
10
Để giải được phương trình (3) này đòi hỏi học sinh phải sáng
tạo trong việc biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng bình
phương một biểu thức đó là thêm bớt cùng một lượng. Cũng qua
bài tập lưu ý học sinh việc đặt điều kiện cho các biểu thức có
nghĩa.
Ví dụ 4:
Giải phương trình :
27522522 =−−−+−+− xxxx
(4)
Yêu cầu học sinh nhận xét về phương trình (4), nó có gì giống
và khác với phương trình (3). Có thể áp dụng cách giải phương
trình (3) để giải được không ? Việc biến đổi biểu thức dưới dấu
căn về dạng bình phương có gì khó khăn ?
Nếu học sinh không tự giải được giáo viên giúp đỡ các em
bằng gợi ý. Nhân hai vế của phương trình (2 ) với
2
.
Giải: Với x
2
5
≥

ta có (3)
⇔
145224252242 =−−−+−+− xxxx
8
14152152 =−−++−⇔ xx
(4
'
)
* Nếu x > 3 thì phương trình (3
'
)
14522 =−⇔ x
27
=⇔
x
thoả mãn x > 3
* Nếu
3
2
5
≤≤ x
thì (3' )
12520 =−⇔ x

⇒
Vô nghiệm
Tập nghiệm của phương trình (4) là: S = {27}
Qua ví dụ này lưu ý học sinh cần linh hoạt trong quá trình biến
đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng bình phương một biểu thức
đôi khi phải thêm bớt hoặc nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.

Ví dụ 5:
Giải phương trình:
24444
2
=++++− xxxx
. ĐK : x
0
≥
(5)

222 =++−⇔ xx

222 =++−⇔ xx
(5’)
* Nếu x
2≥
thì (5’)
02 =+−⇔ xx
Đến đây học sinh có thể giải phương trình này bằng cách đặt ẩn
phụ
0≥= Xx
để đưa về phương trình bậc hai hoặc phân tích vế
trái thành tích đưa về phương trình tích và giải được x = 1 ( loại ).
* Nếu 0
x≤
< 2 thì (5’ )
402 =⇔=+−⇔ xxx
(loại).
9
Vậy phương trình (5) vô nghiệm.

2, Phương trình dạng
)(xf
= g(x);
)(xf
+
)(xg
= h(x) và
)(xf
+
)(xg
=
)(xh
:
Cách giải: Nâng lên luỹ thừa.
*
)(xf
= g(x)
⇔
[ ]



=
≥
2
)()(
0)(
xgxf
xg
*

)(xf
+
)(xg
= h(x) và
)(xf
+
)(xg
=
)(xh
. Tìm điều có nghĩa
của phương trình:





≥
≥
≥
0)(
0)(
0)(
xh
xg
xf
.
Giải phương trình rồi đối chiếu với điều kiện để loại nghiệm
không thích hợp. Nghiệm thích hợp là nghiệm của phương
trình đã cho.
Ví dụ 6:

Giải phương trình:
)2(2 +x
= 6 (6)
Giải:
ĐK: x
≥
- 2.
)2(2 +x
= 6
⇔
2(x + 2) = 6
2

⇔
x = 16 TMĐK
Tập nghiệm của phương trình (6) là: S = {16}
10
Đây là phương trình có chứa căn thức dưới dấu căn, không
có dạng bình phương một biểu thức nên ta biến đổi chúng bằng
cách bình phương hai vế của phương trình. Khi bình phương hai
vế cần chú ý đặt điều kiện để căn thức có nghĩa và điều kiện để
bình phương hai vế không âm. Có thể khắc sâu điều này bằng ví
dụ sau:
Ví dụ 7:
Giải phương trình:
53 −=− xx
(7)
Nếu chỉ đặt điều kiện cho căn thức có nghĩa tức x
≥
3. Sau khi

bình phương hai vế và giải ta được : x - 3 = ( x - 5 )
2
02811
2
=+−⇔ xx
4;7
21
==⇔ xx
. Nhưng x
2
= 4 không phải là nghiệm của phương
trình (7)
Thật vậy : Với x = 4 , vế trái bằng 1 còn vế phải bằng -1.
Do vậy để tránh sai lầm trên ta có thể làm theo hai cách. Thử
lại các kết quả tìm được hoặc đặt điều kiện để hai vế không âm rồi
mới bình phương.
11
Đối với học sinh khá nên cho học sinh tìm hiểu vì sao xuất
hiện nghiệm ngoại lai x
2
= 4 ? Phương trình nào là phương trình
hệ quả ? Bài tập trên nên giải như sau :

53 −=− xx
(7)
Điều kiện để căn thức có nghĩa với x
5
≥
thì phương trình (7)
2

)5()3( −=−⇔ xx
giải ra ta được:
x
1
= 7 thoả mãn ĐK x
5
≥
. `
x
2
= 4 không thoả mãn ĐK x
5
≥
nên bị loại.
Tập nghiệm của phương trình là: S =
{ }
7
Sau khi khắc sâu cho học sinh những vấn đề trên, cho học sinh
luyện tập bằng những ví dụ khác ở mức độ khó hơn.
Ví dụ 8:
Giải phương trình
1132 =+−+ xx
. ĐK x
1−≥
(8)
Nếu tiến hành bình phương 2 vế ngay thì học sinh sẽ vấp phải
khó khăn đó là đặt điều kiện cho 2 vế không âm tương đối phức
tạp để đơn giản nên chuyển
1+− x
sang vế phải, lúc bấy giờ ta có

phương trình với hai vế đều không âm:
(8)
1132 ++=+⇔ xx

112132 ++++=+⇔ xxx
12

121 +=+⇔ xx
đk: x
1−≥

)1(412
2
+=++⇔ xxx
x
2
- 2x - 3 = 0



=
−=
⇔
3
1
1
x
x
.
Tập nghiệm của phương trình là: S = {-1; 3}

Ví dụ 9:
Giải phương trình:
xxx =−−+ 7212
. (9)
Giải:
ĐK:
2
7
0
072
012
≥⇔





≥
≥−
≥+
x
x
x
x
xxx =−−+ 7212
xxx +−=+⇔ 7212
⇔
2x + 1 = 2x - 7 + x + 2
)72(2 −x
⇔

8 - x = 2
)72(2 −x
(9’)
* Nếu 8 - x < 0 hay x > 8 phương trình vô nghiệm.
* Nếu 7/2
≤
x
≤
8 thì cả hai vế của (9’) đều không âm, bình
phương hai vế ta có: 64 - 16x + x
2
= 4x(2x - 7)
⇔
7x
2
- 12x - 64
= 0
Giải phương trình này ta được:
13
x
1
= 4 thoả mãn đk x
2
7
≥
.
x
2
= -
7

16
không thoả mãn đk

x
2
7
≥
(loại).
Vậy phương trình (9) có nghiệm duy nhất: x = 4.
Qua hai bài tập trên học sinh thấy, đôi khi nâng lên luỹ thừa
hai lần mới khử hết căn. Cần lưu ý nâng luỹ thừa bao giờ cũng
phải đặt điều kiện để hai vế phương trình không âm.
Cần lưu ý học sinh có những bài đặt điều kiện cho các căn
thức có nghĩa tương đối phức tạp, trong những trường hợp đó ta
cần giải từng điều kiện rồi kết hợp chúng trên trục số.
Ví dụ 10:
Giải phương trình:
221682
22
+=−+++ xxxx
(10)
Điều kiện là các giá trị của x thoả mãn hệ :






≥+
≥−

≥++
022
01
0682
2
2
x
x
xx












−≥



≥
−≤




−≥
−≤
⇔
1
1
1
3
1
x
x
x
x
x

1
≥⇔
x
hoặc x = -1
Bình phương hai vế đưa phương trình về :

( ) ( )( )
113122
2
2
−=−++ xxxx
14

( ) ( )( ) ( ) ( )
222
111318 +−=−++⇔ xxxxx

⇔
( x + 1)
2
(x - 1)(7x + 25) = 0

⇔







−=
−=
=
7
25
1
1
x
x
x
; x = -
7
25
loại vì không thoả mãn x
1;1 −=≥ x
(loại)

Tập nghiệm của phương trình (10) là: S = {-1; 1}
3, Một số dạng phương trình vô tỉ khác thường gặp:
Cách giải: Đặt ẩn phụ hoặc đưa về dạng giải hệ phương
trình hoặc kết hợp cả hai cách.
Ví dụ 11:
Giải phương trình:
( )
6555
22
=−−− yy
(11)
Giải:
Điều kiện :




≥
−≤
⇔≥
5
5
5
y
y
y
Nếu đặt
05
2
≥=− xy

thì phương trình (11) có dạng :
x
2
- 5x - 6 = 0



=
−=
⇔
6
1
x
x
; x = - 1 loại vì ĐK x
0
≥
15
Với x = 6 ta có




−=
=
⇔=−
41
41
65
2

y
y
y
Tập nghiệm của phương trình (11) là: S = {
41
; -
41
}
Trên cơ sở học sinh có khái niệm về phương pháp đặt ẩn phụ,
cần cho học sinh làm một số bài tập khác đòi hỏi sự sáng tạo
trong qua trình đặt ẩn phụ.
Ví dụ 12:
Giải phương trình: 2x
2
- 8x - 3
54
2
−− xx
= 12 (12)
Giải:
Ta viết phương trình (12) dưới dạng: 2(x
2
- 4x - 5) - 3
54
2
−− xx
- 2 = 0
Đặt t =
54
2

−− xx

≥
0. Ta có phương trình: 2t
2

- 3t - 2 = 0
Giải phương trình ta được: t
1
= 2 (TMĐK), t
2
= - 1/2 (loại)
Với t
1
= 2, ta giải phương trình:
54
2
−− xx
= 2
⇔
x
2
- 4x - 9 = 0
Phương trình có hai nghiệm: x
1
= 2 +
13
, x
2
= 2 -

13
Ví dụ 13:
Giải phương trình:
277218213
22
=+++++ xxxx
(13)
Giải:
ĐK :
077
2
≥++ xx
.
16
Đặt
077
2
≥=++ yxx
77
22
++=⇒ xxy
.
Phương trình (12) trở thành 3y
2
+ 2y - 5 = 0






−=
=
⇔
3
5
1
y
y
; y
3
5
−=
< 0 loại
Với y = 1 ta có



−=
−=
⇔=++⇔=++
6
1
067177
22
x
x
xxxx
Bây giờ ta phải kiểm tra xem các giá trị x = - 1 ; x = - 6 có thoả
mãn đk căn thức có nghĩa hay không. Cách kiểm tra :
* Với x = - 1 ta có x

2
+ 7x +7 = (-1)
2
+ 7(-1) + 7 = 1 > 0
(TMĐK)
* Với x = - 6 ta có x
2
+ 7x +7 = 1 > 0
(TMĐK)
Tập nghiệm của phương trình (13) là: S = {- 6; -1}
Ví dụ 14:
Giải phương trình:
312
3
=++− xx
(14)
Giải:
Điều kiện :
1
≥
x
Đặt
01;2
3
≥=+=− YxXx
17

3
2 Xx =−⇔
và x + 1 = Y

2

321
32
=+−+=−⇒ xxXY
Phương trình (13) trở thành hệ phương trình:






≥
=−
−=
⇔





≥
=−
=+
0
3
3
0
3
3

3232
Y
XY
XY
Y
XY
YX

066
23
=−+−⇒ XXX

( )
( )
061
2
=+−⇔ XX
Do X
2
+ 6 > 0 với mọi x, nên X = 1
2
=⇒
Y
thoả mãn ĐK Y
0
≥
.
* Với Y = 2 ta có
321 =⇔=+ xx
thoả mãn

1
−≥
x
Tập nghiệm của phương trình (14) là: S = {3}.
Ngoài cách giải như trên bài tập này còn có cách giải bằng
phương pháp bất đẳng thức tức là sử dụng tính đối nghịch ở hai vế
của phương trình.
Cụ thể : Ta nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình. Bây
giờ ta chứng minh x > 3 và -1
3
<≤
x
đều không phải là nghiệm
của phương trình.
Thật vậy : Với x > 3 thì
12
3
>−x
và
21 >+x
suy ra vế trái lớn
hơn 3 còn vế phải bằng 3 suy ra phương trình vô nghiệm.
Với -1
3
<≤
x
thì
12
3
<−x

và
22 <+x
suy ra vế trái nhỏ hơn
3; vế phải bằng 3 . Vậy phương trình vô nghiệm.
18
Do đó x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình (14).
Phương pháp này tương đối khó đối với học sinh, do đó ta có thể
cho các em làm thêm một vài bài tập tương tự để giúp học sinh
hiểu rõ hơn về phương pháp này.
Phương pháp đặt ẩn phụ và phương pháp hệ phương trình
dùng để giải được nhiều dạng phương trình vô tỉ như dạng 1 và
dạng 2 đã nêu ở trên. Vì vậy, khi giảng dạy, giáo viên nên
khuyến khích học sinh lựa chọn cách giải nhanh gọn nhất.
Ví dụ 15:
Giải phương trình:
5121 =−+− xx
(15)
Ngoài cách giải nâng lên luỹ thừa như ở dạng 2, ta giải như sau:
Giải:
Đặt u =
≥−1x
0 và v =
≥−12x
0
Phương trình (14) trở thành: u + v = 5. Ta lại có: v
2
- 2u
2
= 1.
Vậy ta có hệ phương trình:




=−
=+
12
5
22
uv
vu
Giải hệ, ta được: u
1
= 2 (TMĐK), u
2
= - 12 (loại).
Với u
1
= 2 ta giải phương trình:
1−x
= 2 (x
≥
1)
⇔
x = 5
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x = 5.
19
C. KẾT LUẬN
I. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU:
Với những kinh nghiệm như vừa trình bày ở trên, sau khi
nghiên cứu và áp dụng giảng dạy ở bộ môn Toán 9, bản thân và

đồng nghiệp thấy trình độ học sinh được nâng lên rõ rệt. Học sinh
đã nhận dạng thành thạo phương trình chứa căn thức và đứng
trước một phương trình chứa căn thức các em đã biết lựa chọn
phương pháp giải phù hợp. Mức độ đạt được cụ thể là:
Tổng
số
Giỏi Khá Trung bình Yếu
SL % SL % SL % SL %
34 3 8,8 7 20,6 20 58,8 4 11,8
II. KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT:
Với những kiến thức về phương trình vô tỉ được đề cập trong
SGK Toán 9 không đáp ứng được đầy đủ nhu cầu của các em.
Vì vậy, để HS học tốt phần này, cần phải kết hợp các tài liệu,
sách báo tham khảo. Đặc biệt là hình thành cho HS thói quen nhìn
20
nhận bài toán, từ đó có phương pháp giải phù hợp. Do đó, bản
thân tôi có một số kiến nghị đề xuất sau:
- Thư viện cần tăng cường bổ sung thêm sách tham khảo, sách
nâng cao để đáp ứng nhu cầu học tập của HS .
- Cung cấp đầy đủ tranh ảnh, đồ dùng trực quan, dụng cụ đo đạc
đối với bộ môn toán nói riêng và các bộ môn khác nói chung.
- Lắp đặt hệ thống máy chiếu sử dụng trong các tiết dạy để đạt
hiệu quả tốt hơn.
Do năng lực bản thân có hạn và do một số khó khăn mang lại,
chắc chắn đề tài tôi nghiên cứu còn nhiều thiếu xót và hạn chế.
Rất mong được sự đóng góp ý kiến chân thành của đồng nghiệp
và các cấp lãnh đạo.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
21
22