Thiết kế mô phỏng sợi tinh thể quang cấu trúc 6 cạnh với 400nm băng thông tán sắc phẳng ứng dụng trong hệ thống FTTH

Sợi quang tinh thể
13

CHƢƠNG
1
SỢI QUANG TINH THỂ (PHOTONIC CRYSTAL
FIBER)
1.1 Mở đầu
Trong chương này ta sẽ tìm hiểu về sợi quang tinh thể, một loại sợi mới trong lĩnh
vực quang học. Sợi quang thông thường đã được ứng dụng phổ biến trong viễn thông,
tuy nhiên sợi này vẫn tồn tại những giới hạn cơ bản phụ thuộc nhiều vào cấu trúc của
nó, nhằm thỏa mãn tốt những tính năng truyền dẫn yêu cầu. Do đó, sự ra đời của sợi
quang tinh thể làm thay đổi các tính chất truyền dẫn sóng ánh sáng trong sợi, tạo nên
cuộc cách mạng trong truyền dẫn quang. Chương này trình bày khái niệm về sợi quang
tinh thể, phân loại sợi quang dựa trên nguyên lý dẫn truyền ánh sáng, các tính chất của
sợi và PCFs lõi chiết suất cao.
1.2 Giới thiệu về sợi quang tinh thể
Tinh thể quang là các cấu trúc nano quang học có tính chu kỳ ảnh hưởng đến sự lan
truyền của các hạt photon trong nó tương tự như cách mà các tinh thể bán dẫn tác động
lên chuyển động của các electron.
Sợi quang tinh thể (PCF - Photonic Crystal Fiber) là sợi quang được chế tạo dựa
trên tính chất của các tinh thể quang và sợi có khả năng giam ánh sáng bên trong vùng
lõi (điều này là không thể đối với sợi quang thông thường). PCFs cơ bản là sợi hợp
chất silica mà trong nó có các lỗ trống hay các lỗ khí (air hole) chạy song song với trục
của sợi (như là ống mao dẫn). PCFs khác với sợi quang thông thường ở đặc điểm lõi và
Sợi quang tinh thể
14

vỏ (cladding) của sợi đều được làm từ một vật liệu và các tính chất đặc biệt của sợi
quang PCFs đều được bắt nguồn từ sự có mặt của các lỗ khí.

(a) (b)
Hình 1.1 Mô tả về sợi quang tinh thể. (a) Sợi PCFs có cấu trúc lõi rỗng. (b) Sợi
PCFs có cấu trúc lõi đặc
[1]

Ý tưởng về sợi quang tinh thể được đưa ra bởi Yeh và các cộng sự vào năm 1978.
Họ đã bọc lõi của sợi bằng lưới Bragg, tương tự như tinh thể quang một chiều. Khái
niệm về vùng cấm quang (PBG – Photonic Bangap) được đưa ra lần đầu tiên bởi giáo
sư Sajeev John vào năm 1987 đã trở thành đề tài được thu hút trong giới quang học
những năm 1990. Cùng với nhiều thành tựu trong quá trình nghiên cứu và phát triển,
đến năm 1991 giáo sư Philip Russell đã phát hiện ra ánh sáng có thể bị giam lại trong
lõi rỗng của sợi quang. Ý tưởng này được được bắt nguồn từ sự bố trí màu sắc trên
cánh bướm và trên đuôi con công.
Năm 1999, giáo sư Philip Russell và các cộng sự công bố sợi đơn mode lõi rỗng
đầu tiên, trong đó việc giam giữ ánh sáng là do một vùng cấm quang hai chiều. Họ
nhận ra rằng vùng cấm quang có cơ chế dẫn sóng rất mạnh, ánh sáng vẫn bị giới hạn
trong lõi ngay cả khi bị uốn cong.


Sợi quang tinh thể
15

Hình 1.2 Mặt cắt PCFs lõi rỗng với Λ = 4.9μm và đường kình lõi d = 14.8μm
Sự đa dạng trong việc sắp xếp các lỗ khí đã mang lại cho sợi quang tinh thể nhiều
tính chất độc đáo và hữu ích mà không có ở sợi quang thường. Bảng 1.1 tóm tắt quá
trình phát triển của sợi quang tinh thể.
Bảng 1.1 Thành tựu đạt đƣợc trong quá trình phát triển PCFs

1.3 Phân loại sợi quang
PCFs được thiết kế theo hai dạng cơ bản, PCFs dẫn sóng theo chiết suất (index
guiding) và dẫn sóng theo hiệu ứng dải cấm quang (PBG – Photonic Bangap). Hai kiểu
Năm
Thành tựu
1978
Ý tưởng về sợi Bragg
1992
Ý tưởng về sợi tinh thể quang tử với lõi không khí
1996
Chế tạo sợi đơn mode bọc bằng quang tử (photonic)
1997
Ra đời sợi tinh thể đơn mode liên tục
1999
Sợi tinh thể quang tử với quang tử có dải vùng cấm và lõi
không khí
2000
Sợi tinh thể quang tử khúc xạ kép ở mức độ cao.
Thế hệ sợi tinh thể siêu liên tục.
2001
Chế tạo thành công sợi Bragg.
Sợi tinh thể laser với hai lớp sơn phủ.
2002

Sợi tinh thể với sự tán sắc siêu phẳng
2003
Sợi Bragg với silica và lõi không khí
Sợi quang tinh thể
16

này có nguyên lý dẫn sóng khác nhau: kiểu thứ nhất dựa trên hiện tượng phản xạ toàn
phần giống như sợi quang thường và kiểu thứ hai dựa trên hiệu ứng dải cấm.

Hình 1.3 Sơ đồ phân loại các loại sợi quang tinh thể
Hai loại sợi trên được chia thành các loại nhỏ hơn dựa trên kích thước cấu trúc sợi
và các đặc tính đặc trưng của chúng. Hình 1.3 biểu diễn sơ đồ phân loại sợi quang.
Sợi quang tinh thể
17

Sợi dẫn sóng theo chiết suất hay sợi quang có lõi chiết suất cao (High Index Core
Fibers) được phân làm các loại: sợi có khẩu độ số lớn (High number Aperture - HNA),
sợi có diện tích mode lớn (Lagre Mode Area - LMA) và sợi có tính phi tuyến cao (High
Nonlinear - HNL). Sợi dẫn sóng theo hiệu ứng dải cấm được phân làm các loại: sợi có
lõi chiết suất thấp (Low Index Core - LIC), sợi lõi rỗng (Hollow Core - HC) hay ống
dẫn không khí (Air Guiding - AG) và sợi Brag (Brag Fiber - BF).
Trong đồ án, em xin phép trình bày về sợi quang có lõi chiết suất cao vì đây là loại
PCFs mà em nghiên cứu, thiết kế và mô phỏng.
1.4 Tính chất của PCFs
1.4.1 Tán sắc đơn sắc
Tán sắc đơn sắc hiện tượng dãn xung ánh sáng phía đầu ra do vận tốc truyền
khác nhau tại các bước sóng khác nhau khi truyền trong sợi. Tán sắc đơn sắc là tổng
của tán sắc vật liệu và tán sắc ống dẫn sóng.
Tán sắc vật liệu là sự dãn xung do các tính chất phân tán của vật liệu, chiết suất
là khác nhau cho mỗi bước sóng khác nhau. Chiết suất thay đổi dẫn đến vận tốc truyền

ánh sáng trong sợi cũng khác nhau.
Tán sắc ống dẫn sóng xảy ra do vận tốc nhóm dẫn xung ánh sáng trong sợi phụ
thuộc vào bước sóng khi bỏ qua tán sắc vật liệu.
Tán sắc đơn sắc được tính theo công thức

2
2
Re[ ]
()
eff
dn
D
cd




(1.1)
Đơn vị của tán sắc là [ps/(km.nm)]. Trong đó, n
eff
là chỉ số chiết suất hiệu dụng.

Sợi quang tinh thể
18

1.4.2 Suy hao giam giữ (Confinement Loss - L
C
)
Một số lý do dẫn đến suy hao năng lượng truyền dẫn trong PCFs được đưa ra là
do suy hao hấp thụ vật liệu, cấu trúc không hoàn hảo khi thiết kế, tán sắc Rayleigh, suy

hao giam giữ… PCFs thường được cấu tạo từ silica tinh khiết, chiết suất lõi và vỏ ở
phía ngoài là giống nhau. Số lượng lỗ khí trong lớp vỏ là hạn chế, do vậy mode dẫn
bên trong lõi sẽ bị rò ra phía ngoài. Vì vậy, suy hao giam giữ luôn được tính đến ngay
cả khi có thể bỏ qua các loại suy hao khác.
Hình 1.4 minh họa về suy hao giam giữ trong PCFs. Tham số suy hao giam giữ
đánh giá khả năng giam giữ ánh sáng trong vùng lõi PCFs. Là thông số phải được chú
ý đến khi thiết kế. Khi giá trị Λ (khoảng cách của hai lỗ khí liên kề nhau) nhỏ thì suy
hao sợi đóng vai trò lớn trong suy hao của PCFs, kích thước vùng lõi tăng suy hao sẽ
giảm. Khi tăng số lượng các vòng lỗ khí hoặc tăng kích thước các lỗ khí sẽ giam ánh
sáng trong lõi tốt hơn, nói cách khác là sẽ giảm được suy hao giam giữ.
Công thức tính suy hao giam giữ
(1.2)

Hình 1.4 Minh họa suy hao giam giữ của ánh sáng khi truyền dẫn trong PCFs

Sợi quang tinh thể
19

Đơn vị của suy hao giam giữ là [dB/m] với là hằng số sóng trong
không gian tự do, là bước sóng hoạt động. PCFs có sự chênh lệch chiết suất giữa
vùng lõi và vỏ lớn (do sự khác nhau giữa chiết suất của silic và không khí) sẽ có hệ số
suy hao giam giữ nhỏ.
1.4.3 Diện tích hiệu dụng (Effective Area – A
eff
)
Diện tích hiệu dụng là diện tích mặt cắt ngang của trường mode như trên hình 1.5.

Hình 1.5 Diện tích hiệu dụng
Khi tăng kích thước của các lỗ khí, mode ánh sáng sẽ bị giam trong lõi tốt hơn,
diện tích hiệu dụng sẽ giảm. Diện tích hiệu dụng hầu như không phụ thuộc vào số vòng

lỗ khí. Tại một bước sóng cho trước, diện tích hiệu dụng có thể rất lớn tùy vào khoảng
cách Λ, kích thước của lỗ khí và số vòng lỗ khí. Diện tích hiệu dụng được xác định
theo công thức
 
 
2
2
4
,
,
eff
E x y dxdy
A
E x y dxdy

 

 






(1.3)
Đơn vị của A
eff
là [μm
2
], trong đó E là thành phần điện trường.

Sợi quang tinh thể
20


1.4.4 Suy hao hàn nối (Splicing Loss – L
S
)
Khi thực hiện nối hai sợi quang với nhau, do không đối xứng về mặt hình học
khi ghép nối dẫn đến xuất hiện suy hao tại mối nối. Kể cả khi hai sợi quang đối xứng
tuyệt đối về mặt hình học thì vẫn có sự khác nhau đường kính trường mode trong hai
sợi. Nó được gọi là suy hao hàn nối và được tính theo công thức
10
22
2
20
SMF PCF
S
SMF PCF
WW
L Log
WW


(1.4)
Trong đó, là đường kính trường mode (MFD – Mode Field
Diameter) của sợi đơn mode và PCFs.
1.4.5 Hiện tƣợng phi tuyến
Ánh sáng truyền trong một môi trường bất kỳ đều có tương tác giữa các photon với
các nguyên tử của môi trường. Các nguyên tử hấp thụ năng lượng từ photon và chuyển
lên mức năng lượng cao hơn. Ở mức năng lượng cao, các nguyên tử không bền và có

xu hướng chuyển xuống các mức năng lượng thấp hơn và giải phóng năng lượng dưới
dạng photon mới. Ngoài tương tác giữa các phân tử và photon còn có các tương tác
photon-photon, photon-nguyên tử-photon, các tương tác này được gọi là hiện tượng phi
tuyến. Trong các hệ thống quang thì hiện tượng phi tuyến vừa có lợi vừa có hại. Hiện
tượng này là cơ sở của laser, khuếch đại quang học, nhưng nó cũng là nguyên nhân gây
lên suy hao, nhiễu, xuyên âm. Hiện tượng phi tuyến được đặc trưng bởi hệ số phi tuyến
xác định như sau
(1.5)
Sợi quang tinh thể
21

Đơn vị của là [(Wkm)
-1
]. Trong đó, là hệ số góc, là chiết suất phi tuyến,
( ) là hằng số phi tuyến.

1.5 Tính chất PCFs lõi chiết suất cao
PCFs lõi chiết suất cao có chiết suất của vùng lõi cao hơn chiết suất của vật liệu
vùng bao quanh (hay là vỏ). Tuy nhiên, những tính chất ảnh hưởng tới sự phản xạ của
sợi chủ yếu là do các lỗ khí, các lỗ khí thường được sắp xếp theo rất nhiều cấu trúc
(theo những hình khác nhau như lục giác, bát giác, thập nhị giác hoặc theo nhiều chiều
khác nhau). Mỗi sự sắp xếp khác nhau (khác nhau về hình, kích thước đường kính lỗ
khí, khoảng cách giữa các lỗ khí…) của các lỗ khí sẽ làm sợi có các tính chất khác
nhau, với một sự sắp xếp hợp lý có thể mang lại cho sợi quang tinh thể các tính chất
đặc biệt.
PCFs lõi chiết suất cao hầu hết đều có lõi đặc và thường sử dụng các vật liệu chưa
pha tạp. Bao quanh lõi này là vùng vỏ có các lỗ khí sắp xếp theo cấu trúc, những lỗ khí
này có chiết suất nhỏ hơn chiết suất của vùng lõi vì thế ánh sáng sẽ bị giới hạn trong
vùng lõi đặc chiết suất cao hơn. Điều này đã cho thấy rằng sợi quang tinh thể lõi chiết
suất cao có thể được chế khi số lượng các lỗ khí là đủ lớn. Thông thường vật liệu hay

được sử dụng là silica tinh khiết, ngoài ra sợi quang tinh thể có lõi chiết suất cao còn có
thể được chế tạo từ thủy tinh chalcogenide (là loại thủy tinh có pha thêm chalcogenide
– chalcogenide là nhóm nguyên tố oxy, lưu huỳnh, selenium, tellurium, polonium và
ununhexium) và polime.
Hình 1.6 là cấu trúc PCFs lõi đặc với các lỗ khí theo cấu trúc ngũ giác dùng silica.
Trong đó có các thông số cần quan tâm là d, Λ và Λ
1
tương ứng là đường kính của các
lỗ khí, khoảng cách giữa 2 lỗ khí liền kề nhau ở hai vòng và giữa 2 lỗ khí liền kề nhau
trên cùng một vòng.
Sợi quang tinh thể
22

Mặc dù sợi quang tinh thể có cấu tạo hoàn toàn khác với sợi quang thông thường,
nhưng sợi quang tinh thể vẫn có đầy đủ các tính chất của sợi quang thông thường và
thêm vào đó là các tính chất đặc biệt do sự xuất hiện của các lỗ khí.

Λ1
Λ
d
Air hole
Silica

Hình 1.6 PCFs cấu trúc ngũ giác
1.5.1 Tính chất của PCFs lõi chiết suất cao với các lỗ khí sắp xếp có cấu trúc
Để điều khiển tính chất của PCFs cần sắp xếp vị trí các lỗ khí sao cho thích hợp.
Thông thường sự sắp xếp này là có cấu trúc, tức là các lỗ khí thường được xếp thành
các vòng, thành các dạng hình đa giác…Khi đó sợi quang có khả năng chế tạo cao, có
nhiều tính chất đặc biệt và có thể kiểm soát được quang phổ cũng như các đặc tính
quang khác.

Để nghiên cứu tính chất của PCFs lõi chiết suất cao ta nghiên cứu tính chất của
một dạng PCFs điển hình, đó là PCF có các lỗ khí sắp xếp theo các hình lục giác, đây
là dạng sắp xếp phổ biến nhất của PCFs. Sở dĩ cấu trúc lục giác được sử dụng rất nhiều
Sợi quang tinh thể
23

là do lục giác là một hình đặc biệt, khi sắp xếp các lỗ khí theo cấu trúc lục giác thì
khoảng cách giữa 2 lỗ khí trên cùng 1 vòng bằng với khoảng cách giữa 2 lỗ khí trên hai
vòng liền kề nhau, do đó sợi theo cấu trúc này thường dễ chế tạo và có nhiều tính chất
đặc biệt.

Hình 1.7 PCFs có lỗ khí sắp xếp theo hình lục giác
[1]

1.5.2 Đƣờng đặc tính d/Λ
Trong kỹ thuật công nghệ chế tạo sợi quang hiện nay, có một thông số rất quan
trọng trong thiết kế PCFs đó là tỷ lệ kích thước của vùng vỏ (clading) d/Λ (trong đó d
là đường kính của lỗ khí, Λ là khoảng cách giữa 2 lỗ khí liền kề trong cùng 1 vòng). Tỷ
lệ này dao động trong khoảng từ 0 tới 0.9. Λ có thể lấy giá trị bất kì trong khoảng từ
1µm tới 20µm.
Để có thể hiểu rõ tính chất của sợi quang tinh thể có lõi chiết suất cao, chúng ta
sẽ nghiên cứu đặc tính của đường tần số định mức Λ/λ. Ở đây, ta giả thiết rằng chiết
suất phản xạ của vật liệu cơ bản là không đổi với hàm của bước sóng. Điều này giúp
chúng ta hiểu được sự ảnh hưởng của các lỗ khí, độc lập với tính chất của vật liệu. Các
kết quả và phân tích sau đó sẽ được chỉnh sửa để có thể phản ánh được một cách đầy
đủ sự tác động của vật liệu đã sử dụng bằng cách sử dụng phương pháp nhiễu loạn
hoặc phương pháp lặp.
Sợi quang tinh thể
24

Đồ thị hình 1.8 cho thấy rằng sự biến thiên của đường tần số định mức do ảnh
hưởng của chiết suất hiệu dụng của lớp vỏ và chiết suất lõi.

Hình 1.8 Đường tần số định mức Λ/λ với PCFs có các tinh thể quang sắp xếp
theo hình lục giác và lõi chiết suất cao với tỉ lệ d/Λ = 0.23
[1]

Chiết suất hiệu dụng của lớp vỏ được tính theo β
fsm
/k (ở đây là hằng số
truyền của mode cho phép thấp nhất trong cấu trúc của lớp vỏ và k là hằng số sóng
trong không gian tự do). Chiết suất của lớp vỏ phụ thuộc mạnh vào bước sóng, trong
khi đó chiết suất phản xạ của lõi vẫn được giữ cố định và bằng chiết suất khúc xạ của
silica. Đồ thị cho thấy rằng lõi chiết suất cao cho phép giới hạn ánh sáng với tỉ lệ β/k
tuân theo mối quan hệ:
,cl eff co
nn
k


(1.6)
Trong đó, là chiết suất phản xạ hiệu dụng của cấu trúc lớp vỏ và β là
hằng số truyền của mode dẫn. Mối quan hệ này giống hệt với sợi quang thường. Tuy
nhiên, những mẫu PCFs đã được nghiên cứu thì điều này không chỉ đúng trong dải
Sợi quang tinh thể
25

bước sóng đã nghiên cứu, mà còn cho phép sợi đơn mode mở rộng dải bước sóng bất
thường từ 337 nm tới 1550 nm.
Nguyên nhân dẫn đến PCFs không là sợi đa mode ở bước sóng ngắn là do chiết

suất của lớp vỏ phụ thuộc mạnh vào bước sóng. Chúng ta nhận thấy rằng với PCFs lõi
chiết suất cao, giá trị của chiết suất mode dẫn được xấp xỉ theo công thức
 
 
2
22
,
4
co cl eff
PCF
k n n
N




(1.7)
Trong đó, ρ là bán kính lõi, n
co
là chiết suất lõi, n
cl,eff
là chiết suất vỏ.
Những trình bày ở trên cho thấy PCFs không chỉ giới hạn ánh sáng trong lõi ở
dải bước sóng thông thường mà PCFs còn là đơn mode trong dải tần số trải rộng. Tuy
vậy, khả năng này liên quan tới sự sắp xếp các lỗ khí trong PCFs, điều này sẽ trình bày
trong phần tính chất ngưỡng.
1.5.3 Tính chất ngƣỡng

Hình 1.9 Đường tần số định mức Λ/λ với PCFs có các tinh thể quang sắp xếp theo
hình lục giác và lõi chiết suất cao với tỉ lệ d/Λ = 0.6

[1]

Sợi quang tinh thể
26

Xem xét mẫu PCFs có các lỗ khí vùng lớp vỏ phân bố theo tỉ lệ d/Λ=0.6 tương
ứng với tỉ lệ điền đầy là 33%. Đồ thị cho thấy mẫu PCFs hỗ trợ 2 mode có ngưỡng tần
số định mức trong khoảng 1.5. Hai mode này được biểu diễn như trong đồ thị dưới ở
tần số định mức 4.0. Tuy nhiên, ngoài 2 mode này không có thêm mode nào nữa. Đây
chính là một minh chứng về đặc tính ngưỡng của PCFs lõi chiết suất cao. Để có một
phương pháp tiếp cận tổng quát trong việc phân tích các tính chất của nó, PCFs sẽ được
đồng hóa với sợi quang chiết suất nhảy bậc (step-index fibres – SIFs).
Trong lý thuyết sợi quang thông thường, tần số chuẩn hóa V thường được sử dụng
để phân tích đặc tính ngưỡng của SIFs
22
co cl
V k n n



(1.8)
Trong đó,
co
n
và
cl
n
là các chiết suất bước sóng rộng độc lập của lõi đặc và lớp
vỏ;


là bán kính sợi quang. Mặt khác ta có:
2
2
V
N 
(1.9)

Hình 1.10 Hai mode của PCFs có các tinh thể quang sắp xếp theo hình lục giác và lõi
chiết suất cao với tỉ lệ d/Λ = 0.6 ở đường định mức tần số Λ/λ = 0.4
[1]

Ta áp dụng phương trình (1.7) cho PCFs, đồng thời thay thế chiết suất phản xạ
lớp vỏ bằng β
fsm
/k ta được công thức tính V dành cho PCFs
Sợi quang tinh thể
27

2 2 2
eff co fsm
V k n


(1.10)

Hình 1.11 Giá trị V của PCFs có các tinh thể quang sắp xếp theo hình lục giác và lõi
chiết suất cao
[1]

PCFs có lỗ khí sắp xếp theo các hình lục giác, ảnh hưởng của tần số chuẩn hóa

V như là một hàm của đường tần số định mức. Một tính chất bất thường của PCFs khi
so sánh với SIFs có thể quan sát thấy ngay từ đồ thị là tác động của V tới PCFs có xu
hướng không đổi khi tần số tăng tới vô hạn (hay λ ->0). Theo đó, PCFs lõi chiết suất
cao với bất kì giá trị d/Λ nào (bao gồm cả đường d/Λ=0.95) đều có thể tìm ra một giá
trị dừng V
eff
khi tần số đạt tới hạn.
Như vậy, giá trị V
eff
của PCFs lõi chiết suất cao có các lỗ khí theo hình lục giác
với cùng chiết suất lỗ khí và vật liệu chỉ phụ thuộc vào tỉ lệ giữa đường kính lỗ d và
khoảng cách nút mạng Λ, V
eff
tỉ lệ thuận với d/Λ. Vì vậy khi thiết kế căn cứ vào tỉ lệ
d/Λ ta có thể biết được sợi là đơn mode hay không.
Để tìm hiểu sâu về đặc tính ngưỡng, người ta định nghĩa một thông số lõi định
mức U
eff
tương đương với thông số U trong sợi quang thường
2 2 2
eff co
U k n


(1.11)
Sợi quang tinh thể
28

Với β là hằng số truyền trong mode dẫn. Sử dụng ρ=Λ là bán kính lõi hiệu dụng,
mối quan hệ giữa V

eff
và U
eff
được minh họa trong hình 1.12.

Hình 1.12 Mối quan hệ của U
eff
và V
eff
của PCFs lõi chiết suất cao
[1]

1.5.4 Suy hao do uốn cong của PCFs lõi chiết suất cao
Suy hao do uốn cong của sợi quang đóng vai trò trung tâm trong việc xác định
cửa sổ quang phổ trong khi sợi được hoạt động. PCFs, đặc tính uốn cong được biểu
diễn bởi bán kính giới hạn. Hệ số năng lượng suy hao do uốn cong được xác định theo
3
2
2
2
4W
.exp
3
W
4
2W
e
AR
V
RV

PW












(1.12)
Trong đó, Δ là độ chênh lệch chiết suất giữa chiết suất phản xạ lớn nhất của lõi
và của lớp vỏ; ρ là bán kính lõi; V là tần số định mức; W là thông số phân rã định mức
của lớp vỏ; R là bán kính cong; A
e
là hệ số biên độ của trường điện lớp vỏ; còn P là
năng lượng của mode cơ bản.
Sợi quang tinh thể
29


Hình 1.13 Suy hao do uốn cong của PCFs có các tinh thể quang sắp xếp theo hình
lục giác và lõi chiết suất cao khi cố định Λ = 2.3 µm
[1]

Từ đồ thị hình 1.13 ta rút ra nhận xét, đều có biên uốn cong ở 2 phía bước sóng
cao và thấp. Nguyên nhân của tính chất này là do không có sự chênh lệch về chiết suất

giữa lõi và lớp vỏ ở tần số cao (là nguyên nhân xuất hiện biên uốn cong dưới) và sự mở
rộng trường trong vùng tần số thấp (là nguyên nhân của biên uốn cong trên). Trong khi
biên uốn cong trên đã được biết đến, đã được phát hiện trong tất cả sợi quang thường
thì biên uốn cong dưới là tính chất chỉ có trong PCFs.
Đồ thị chỉ ra rằng, PCFs có kích thước lỗ khí rất bé d/Λ ≤ 0.2 thì suy hao do uốn
cong là lớn, giá trị định mức của d/Λ nên trên là 0.25. Hình 1.14 cho thấy suy hao do
uốn cong của PCFs giá trị cố định d/Λ = 0.25 và Λ chạy trong khoảng từ 1 tới 5 µm.
Từ hai đồ thị hình 1.13 và hình 1.14 có thể kết luận rằng, PCFs có các lỗ khí sắp
xếp theo cấu trúc đáp ứng vùng cửa sổ hoạt động rộng ở bước sóng vùng nhìn thấy và
cận hồng ngoại (là vùng hoạt động của thông tin quang).

Sợi quang tinh thể
30


Hình 1.14 Suy hao do uốn cong của PCFs có các tinh thể quang sắp xếp theo hình
lục giác và lõi chiết suất cao khi Λ chạy từ 1 tới 5 µm
[1]

1.6 Kết luận
Chương này trình bày cơ bản về sợi quang tinh thể. Nêu ra khái niệm về tinh thể
quang và sợi quang tinh thể, phân loại PCFs thành 2 loại: PCFs dẫn sóng theo chiết
suất và PCFs dẫn sóng theo hiệu ứng dải cấm quang. Trình bày về các tính chất của
PCFs như tán sắc đơn sắc, suy hao giam giữ, diện tích hiệu dụng, suy hao hàn nối và
hiện tượng phi tuyến. Cuối cùng là trình bày về tính chất của PCFs lõi chiết suất cao
như sự sắp xếp các lỗ khí, đường đặc tính d/Λ, tính chất ngưỡng, suy hao uốn cong.
Chương tiếp theo sẽ đưa ra các phương pháp toán học để mô hình hóa sợi quang, tạo
cơ sở thực hiện tính toán mô phỏng.

Các phương pháp mô hình hóa sợi quang tinh thể

31

CHƢƠNG
2
CÁC PHƢƠNG PHÁP MÔ HÌNH HÓA SỢI QUANG
TINH THỂ
2.1 Mở đầu
Trong chương này ta sẽ tìm hiểu một số phương pháp dùng để mô hình hóa sợi
quang. Các phương pháp này đưa ra cơ sở lý thuyết để thực hiện tính toán mô phỏng.
Thực tế cho thấy, các phương pháp phức tạp sẽ mang lại kết quả tính toán mô phỏng
với độ chính xác cao. Dưới đây là nội dung trình bày về một số phương pháp mô hình
hóa sợi quang tinh thể.
2.2 Phƣơng pháp chiết suất hiệu dụng (Effective Index Approach Method - EIM)
Phương pháp này dựa vào đánh giá cấu trúc sắp xếp của các lỗ khí ở lớp vỏ, sau
đó dựa vào các đặc tính dẫn sóng của nó để đưa ra một giá trị chiết suất hiệu dụng cho
toàn bộ thành phần vỏ của sợi.

Hình 2.1 Mô tả mặt cắt ngang của sợi sử dụng phương pháp chiết suất hiệu dụng
[1]

Các phương pháp mô hình hóa sợi quang tinh thể
32

Chiết suất hiệu dụng ở vùng lõi được tính theo tỷ số của hằng số truyền dẫn
mode bậc thấp nhất truyền trong vỏ sợi (β
fsm
) và hằng số truyền dẫn ánh sáng trong
không gian tự do (k=2π/λ)
(2.1)
Dựa vào công thức (2.1) ta có thể tính toán gần đúng các tính chất truyền dẫn

PCFs. Nhược điểm của phương pháp này là khó xác định bán kính lõi của sợi. Đối với
sợi có cấu trúc dạng tổ ong, bán kính lõi được tính theo r = 0.62Λ (Λ là khoảng cách
giữa các lỗ khí). Tuy nhiên, với những cấu trúc khác giá trị r lại thay đổi. Do đó,
phương pháp bị giới hạn về khả năng áp dụng của nó.
Thực tế, phương pháp chiết suất hiệu dụng chỉ được sử dụng để đánh giá một số
đặc tính cơ bản như tính gần đúng tán sắc, ảnh hưởng của sự uốn cong, không áp dụng
được khi cần tính toán đến các tính chất khác liên quan đến tính chất của phần lõi hay
phần vỏ như lưỡng chiết, các đặc tính phân cực.
2.3 Phƣơng pháp định vị hàm cơ bản (Localized Basis Funtions Method - LBF)
Phương pháp này ban đầu được sử dụng để mô hình hóa PCFs cấu trúc dạng tổ
ong, nhưng sau đó được các nhà nghiên cứu phát triển và ứng dụng vào PCFs với
những cấu trúc khác.
Các mode truyền dẫn trong PCFs nằm cố định lân cận vùng lõi. Có thể mô hình
hóa các mode dẫn đó thông qua một trường là tổng các hàm định vị cơ sở của các
mode. Ưu điểm của phương pháp này là khi ta lựa chọn một cách phù hợp các hàm
định vị cơ bản, thì ta chỉ cần một số hàm là có thể mô tả một cách chính xác các mode,
từ đó có thể giảm đáng kể khối lượng tính toán.
Phương pháp này là cơ sở cho việc giải phương trình Maxwell, phương trình
Maxwell sẽ được viết lại cho môi trường tịnh tiến bất biến dọc trục z như sau

Các phương pháp mô hình hóa sợi quang tinh thể
33

(2.2)
Trong đó, ; là các thành phần ngang của từ
trường H
i
, được xác định theo công thức
, i = x,y (2.3)
Hàm cơ sở được biểu diễn thông qua hệ hàm Hermite-Gaussian

(2.4)
Trong đó, H
m
là đa thức Hermite. Hàm trực giao và tạo ra một hàm cơ sở
đầy đủ, định vị quanh vị trí (x,y) = (0,0). Phương trình (2.2) được viết lại dưới dạng đại
số như sau
(2.5)
là hệ số ma trận của các thành phần vế trái phương trình (2.2) và là
thành phần từ trường ngang trong hệ cơ sở Hermite-Gaussian. Từ đây, ta tìm được hệ
số truyền dẫn β và phân bố trường.

Hình 2.2 Minh họa quá trình xác định phân bố chiết suất bằng cách kết hợp hai
hàm
[1]

Các phương pháp mô hình hóa sợi quang tinh thể
34


Phương pháp này được sử dụng khi PCFs có phân bố mode dẫn đơn giản. Tuy
nhiên, độ chính xác của phương pháp này phụ thuộc vào việc xác định chỉ số chiết suất
do sự khác biệt giữa lõi và võ của sợi. Vì thế, người ta chỉ sử dụng hệ hàm Hermite-
Gauss với phần lõi, trong khi phần vỏ sẽ sử dụng các hàm điều hòa để xác định phân
bố chiết suất.
2.4 Phƣơng pháp mở rộng sóng bề mặt (Plane Wave Expansion Method - PWE)
Phương pháp mở rộng sóng bề mặt cho phép ta tiếp cận một cách hiệu quả và
gần với mô hình của PCFs. Phương pháp này được áp dụng đối với các PCFs có cấu
trúc mang tính lặp lại, tức là các PCFs hoạt động theo nguyên lý dải cấm.
Phương pháp cho phép phân tích chính xác tinh thể quang và có thể áp dụng
trong tất cả các phương pháp khác. Phương pháp cung cấp một công cụ phân tích

nhanh trong miền tần số đối với các tinh thể quang có cấu trúc lặp.
Từ hệ phương trình Maxwell, trong môi trường điện môi của sợi quang, ta viết
lại dạng phương trình sóng theo cường độ điện trường và từ trường
(2.6)
(2.7)
Do sự lặp lại của tinh thể quang, nghiệm của các phương trình sóng ở trên có thể
được biểu diễn như là một sóng phẳng điều chế bởi một hàm có chu kỳ tương ứng với
cấu trúc tinh thể quang
(2.8)
(2.9)
Các phương pháp mô hình hóa sợi quang tinh thể
35

Phương trình sóng được viết lại

(2.10)
(2.11)
Trong đó, là biến đổi Fourier của , là biến đổi Fourier của
. Ta có thể viết lại hai phương trình (2.10) và (2.11) dưới dạng ma trận để giải
theo đại số. Do, , có thể viết dưới dạng tổng của hai vec-tơ trực giao
(2.12)
Với là các vec-tơ đơn vị của k + G. Phương trình (2.9) trở thành
(2.13)
Phương trình ma trận của H viết lại
(2.14)
Với được tính theo
(2.15)
Sau khi giải được trường từ, ta có thể xác định trường điện thông qua mối quan
hệ được rút ra từ hệ phương trình Maxwell ban đầu
Các phương pháp mô hình hóa sợi quang tinh thể

36

(2.16)
Phương pháp mở rộng sóng phẳng bề mặt có ưu điểm là cho phép xác định được
độ tán sắc tương đối và dải vùng cấm của quang tử trong những cấu trúc điện môi tuần
hoàn. Nó có thể được ứng dụng với bất cứ cấu trúc tinh thể nào, gồm cả những tinh thể
bất thường. Đây là phương pháp tương đối nhanh và chính xác. Tuy nhiên, cũng có
một số nhược điểm như không thể sử dụng tính toán cấu trúc của những vật liệu có tính
hoạt chất (hấp thụ hay khuếch đại). Ngoài ra nó không mang lại thông tin về tổn hao do
tán xạ, sự phản xạ ánh sáng trong PCFs.
2.5 Phƣơng pháp đa cực (Multipole Method)
Các phương pháp đã trình bày ở trên cho phép xác định phân bố chiết suất bên
trong sợi với độ chính xác cao và tính toán các thành phần có hướng của các mode
truyền dẫn trong sợi. Tuy nhiên, do sử dụng các điều kiện biên tuần hoàn vô hạn, nên
không thể dùng chúng để đánh giá mức độ giam giữ ánh sáng do cấu trúc sợi mang lại.
Phương pháp đa cực cho phép thực hiện điều này. Bản thân nó cũng bắt nguồn từ việc
xem xét từng phần nhỏ, sau đó kết hợp lại và thay đổi để phù hợp với các điều kiện
biên. Phương pháp này cung cấp cách tính toán hệ số truyền dẫn phức, vì vậy cho phép
tính toán sự mất mát ánh sáng giam giữ. Điều này là cần thiết trong PCFs.
Các lỗ khí có dạng hình tròn, được khai triển theo hàm điều hòa trong hệ tọa độ
trụ. Xét trong vùng Brilounin, thành phần điện trường theo phương z được biểu diễn
như sau
(2.17)
Trong đó, là số sóng ngang trong lớp thủy tinh nền, có chiết
suất . Thành phần điện trường theo phương z bên trong lỗ khí được biểu diễn theo
dạng hàm Bessel như sau
Các phương pháp mô hình hóa sợi quang tinh thể
37

(2.18)

Trong đó, . Áp dụng tương tự với , áp dụng điều kiện biên
ta xác định được các hệ số . Tuần tự như vậy với các vùng khác. Người ta
có thể xác định được giá trị của các hệ số này bằng phương pháp Graf, thông qua mối
liên hệ giữa các hệ số của các vùng khác nhau. Từ đó, thu được các phương trình đại số
đồng nhất, phụ thuộc và có thể giới hạn giá trị m trong khoảng cố định đối với các
phương trình (2.17) và (2.18).
Để mô tả ảnh hưởng của một mode bị rò rỉ, lớp vỏ được bao bởi một lớp ngoài
có chiết suất phức , với , để đảm bảo rằng trường và năng lượng
của nó không bị phân tán ra quá xa khỏi lõi. Các tính toán được thực hiện hoàn toàn
trong phần vỏ.
2.6 Phƣơng pháp sai phân hữu hạn (Finite Differen Method - FDM)
Phương pháp sai phân hữu hạn là phương pháp toán học dùng để giải gần đúng
các phương trình vi phân bằng cách sử dụng các phương trình sai phân hữu hạn để tính
xấp xỉ các đạo hàm. Nó là phương pháp dùng để giải quyết các vấn đề mô hình hóa
PCFs được sử dụng rộng rãi nhất. Phương pháp sai phân hữu hạn sử dụng nguyên lý
chia phân bố hàm thành lưới các điểm, sau đó được lấy xấp xỉ bằng tổng tuyến tính của
các giá trị hàm tại các điểm. Trong mục này, ta sẽ lần lượt tìm hiểu phương pháp sai
phân hữu hạn trong miền thời gian và miền tần số.
2.6.1 Phương pháp sai phân hữu hạn miền thời gian (Finite Fifference Time
Domain Method - FDTD)
FDTD sử dụng các phương trình sai phân để rời rạc các phương trình Maxwell
(ở dạng vi phân), sau đó thực hiện tính toán bằng máy tính. Giả sử hằng số truyền dẫn