Chuyên đề tích phân ôn thi đại học (Gia sư Thành Được)

Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 1
CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN

Bảng công thức tích phân bất định :


 Cdx0


 Cxdx

1
1
1





nC
n
x
dxx
n
n

Cxdx
x



ln
1


 Cedxe
xx


 C
a
a
dxa
x
x
ln


 Cxxdx cossin


 Cxxdx sincos


 Cxdx
x
tan
cos
1
2


 Cxdx
x
cot
sin
1
2




Cxudx
xu
xu
)(ln
)(
)(







C
ax
ax
a
dx
ax

ln
2
11
22


 Caxx
a
ax
x
dxax
222
ln
22


Phương pháp biến số phụ :

Cho hàm số
)(xf
liên tục trên đoạn
 
ba;
có nguyên hàm là
)(xF
.
Giả sử
)(xu
là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn
 


,
và có miền giá trị là
 
ba;

thì ta có :
   
CxuxFdxxuxuf 

)()()('.)(


BÀI TẬP

Tính các tích phân sau :
a)



1
0
2
1
1x
x dx
I
b)




1
0
2
1
x
x
e
dxe
I
c)



e
x
dxx
I
1
3
ln1


Bài làm :
a) Đặt
2
21
2
dt
xdxxdxdtxt 

Đổi cận :





21
10
tx
tx

Vậy :
2ln
2
1
ln
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1




 
t
t
dt
x
xdx
I

b) Đặt
dxedtet
xx
 1

Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 2
Đổi cận :





12
11
2
etx
etx

Vậy :
)1ln(ln
1
1
1
1
1
1
0
2
2
2








et
t
dt
e
dxe
I
e
e
e
e

x
x

c) Đặt
dx
x
tdtxt
1
ln1 

Đổi cận :





2
11
tex
tx






Tích phân lượng giác :
Dạng 1 :





n xdxmxI cos.sin

Cách làm: biến đổi tích sang tổng .
Dạng 2 :




dxxxI
nm
.cos.sin

Cách làm :
Nếu
nm,
chẵn . Đặt
xt tan

Nếu
m
chẵn
n
lẻ . Đặt
xt sin
(trường hợp còn lại thì ngược lại)
Dạng 3 :






cxbxa
dx
I
cos.sin.

Cách làm :
Đặt :













2
2
2
1
1
cos
1

2
sin
2
tan
t
t
x
t
t
x
x
t

Dạng 4 :






dx
xdxc
xbxa
I .
cos.sin.
cos.sin.

Cách làm :
Đặt :
xdxc

xdxcB
A
xdxc
xbxa
cos.sin.
)sin.cos.(
cos.sin.
cos.sin.






Sau đó dùng đồng nhất thức .
Dạng 5:






dx
nxdxc
mxbxa
I .
cos.sin.
cos.sin.

Cách làm :

)122(
3
2
3
2ln1
2
1
2
1
2
3
1
3




tdtt
x
dxx
I
e
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 3
Đặt :
nxdxc
C
nxdxc
xdxcB
A

nxdxc
mxbxa







cos.sin.cos.sin.
)sin.cos.(
cos.sin.
cos.sin.

Sau đó dùng đồng nhất thức.

BÀI TẬP

Tính tích phân :
a)



2
0
4
1
)1(sin
cos


x
xdx
I
b)


2
0
5
2
cos

x dxI
c)


4
0
6
3
tan

xdxI

Bài làm :

a) Đặt :
xdxdtxt cos1sin 

Đổi cận :








2
2
10
tx
tx


Vậy :
24
7
3
1
)1(sin
cos
2
1
3
2
1
4
2
0
4

1




tt
dt
x
xdx
I


b) Đặt :
xdxdtxt cossin 

Đổi cận :







1
2
00
tx
tx


Vậy :
   
15
8
3
2
5
211cos
1
0
1
0
3
5
1
0
1
0
24
2
2
2
0
5
2













 
tt
t
dtttdttxdxI


c) Đặt :
dxxdtxt )1(tantan
2


Đổi cận :







1
4
00
tx

tx


Vậy :
415
13
35
1
1
1
1
tan
4
0
1
0
35
1
0
1
0
2
24
2
6
4
0
6
3

























 
dut
tt
dt
t
tt
t

dtt
xdxI



Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 4

Tính các tích phân sau :
a)



2
0
2222
1
cos.sin.
cos.sin

dx
xbxa
xx
I
b)



3
0

2
2cos2
cos

dx
x
x
I


Bài làm :
a) Đặt :
xdxxabdtxbxat cos.sin)(2cos.sin.
222222


Đổi cận :







2
2
2
0
btx
atx



Nếu
ba 

Vậy :
 
ba
ab
ba
t
ab
t
dt
ab
dx
xbxa
xx
I
b
a
b
a












 
11
2
1
cos.sin.
cos.sin
2222
2
0
22
22
1
2
2
2
2


Nếu
ba 

Vậy :
a
x
a
xdx

a
a
xdxx
dx
xbxa
xx
I
2
1
2cos
4
1
2sin
2
1
cos.sin
cos.sin.
cos.sin
2
0
2
0
2
0
2
0
2222
1











b) Đặt :
xdxdtxt cossin 

Đổi cận :







2
3
3
00
tx
tx


Vậy :








2
3
0
2
2
3
0
2
3
0
2
2
32
1
23
2cos2
cos
t
dt
t
dt
dx
x
x
I



Đặt :
ududtut sin
2
3
cos
2
3


Đổi cận :









42
3
2
0


ut
ut

Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 5
Vậy :
 
242
1
2
1
cos1
2
3
sin
2
3
2
1
2
32
1
2
4
4
4
2
4
2
2
3
0
2

2














udu
u
udu
t
dt
I


Tính các tích phân sau :
a)



2
0

1
5cos3sin4
1

dx
xx
I
b)




2
0
2
5cos3sin4
6cos7sin

dx
xx
xx
I


Bài làm :
a) Đặt :
1
2
1
2

tan
2
tan
2
2









t
dt
dxdx
x
dt
x
t

Đổi cận :








1
2
00
tx
tx


Vậy :
 
6
1
2
1
1
5
1
1
3
1
2
4
1
2
1
0
1
0
2
1
0

2
2
2
2
1













t
t
dt
dt
t
t
t
t
t
I

b)Đặt :

5cos3sin45cos3sin4
sin3cos4
5cos3sin4
6cos7sin







xx
C
xx
xx
BA
xx
xx

Dùng đồng nhất thức ta được:
1,1,1  CBA

Vậy :
 
6
1
8
9
ln
2

5cos3sin4ln
5cos3sin4
1
5cos3sin4
sin3cos4
1
5cos3sin4
6cos7sin
1
2
0
2
0
2
0
2




















Ixxx
dx
xxxx
xx
dx
xx
xx
I


Bạn đọc tự làm :
a)


2
6
2
3
1
sin
cos


dx
x

x
I
b)


2
0
3
2
sin.cos

xdxxI
c)



2
0
3
2sin

x
dx
I

Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 6
c)




2
0
3
3
1cos
sin4

dx
x
x
I
d)



2
0
5
3cos2sin
1

dx
xx
I
d)





2
0
6
3cos2sin
1cossin

dx
xx
xx
I


Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ

Dạng 1 :
   
C
ax
n
ax
dx
I
nn









1
1
.
1
1
với
    
1,0,  NCna
ta có :
Nếu
Ran  ,1
ta có :
Cx
ax
dx
I 



ln

Dạng 2 :
 



 dx
cbxax
x

I
n
2

trong đó :





04
,,,,
2
acb
Rcba


* Giai đoạn 1 :
0

,làm xuất hiện ở tử thức đạo hàm của tam thức
cbxax 
2
,
sai khác một số :

     
















nnn
cbxax
dx
b
a
a
dx
cbxax
bax
a
dx
cbxax
b
a
bax
a
I
222

2
2
2
2
2
2
2






* Giai đoạn 2 :
Tính
   

















bax
t
n
n
n
t
dt
a
a
dx
cbxax
dx
I
2
22
1
2
.
4

* Giai đoạn 3 :
Tính
 


 dt
t
I

n
1
1
2
có thể tính bằng hai phương pháp , truy hồi hoặc đặt

tant

Dạng 3 :
 
 

 dx
xQ
xP
I
n
m

Ta có :
 
 
01
01


bxbxb
axaxa
xQ
xP

n
n
m
m
n
m




Nếu :
   
QP degdeg 
thì ta thực hiện phép chia
 
 
 
 
 
 
xQ
xR
xA
xQ
xP
n
r
nm
n
m



trong đó
phân số
 
 
xQ
xR
n
r
có
   
QR degdeg 

Nếu :
   
QP degdeg 
ta có các qui tắc sau :
*Qt 1:
 
 
 
   
n
n
n
n
n
xm
ax

A
ax
A
ax
A
ax
P









1
11


Vdụ 1a :
 
 
 








n
i
i
i
i
n
i
i
i
m
ax
A
ax
xP
1
1

Vdụ 1b :
 
 
2
2
))()((
cx
D
cx
C
bx
B

ax
A
cxbxax
xP
m










Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 7

*Qt 2':
 
 
 
   
n
nn
n
nn
n
m
cbxax

BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
xP












2
1
2
11
2
11
2

với
0

*Qt 3:
 
 
 
 
 
 
 






m
i
n
k
i
i
i
i
n
m
t
cbxax
BxA
x
A
cbxaxx

xP
1 1
2
1
2



Vdụ 1 :
 
   
cbxax
CBx
x
A
cbxaxx
xP
t






22
)(


Vdụ 2 :
 

 
 
 
 
 
2
2
22
2
11
2
2
cbxax
CxB
cbxax
CxB
x
A
cbxaxx
xP
t














BÀI TẬP

Tính các tích phân sau :
a)



1
0
2
1
23xx
dx
I
b)
 



1
0
2
2
2
23xx
dx

I


Bài làm :
a)
  















1
0
1
0
1
0
2
1
2

1
1
1
21
23
dx
xxxx
dx
xx
dx
I




b)
 
   
  
dx
xx
xx
dx
xx
dx
I
















1
0
22
1
0
2
2
2
21
2
2
1
1
1
23

 
OKxx
xx













1
0
2ln1ln2
2
1
1
1


Tính các tích phân sau :
a)



1
0
24
1

33xx
dx
I
b)
 
 




1
0
2
2
21
24
dx
xx
x
I


Bài làm :
a)* Bạn đọc dễ dàng chứng minh được



 C
a
x

aax
dx
I arctan
1
22
0
với
0a

  
dx
xxxx
dx
xx
dx
I
 















1
0
1
0
2222
1
0
24
1
3
1
1
1
2
1
3133

 
329
2
3
arctan
3
1
arctan
2
1
1
0










x
x

 
3
4
ln2ln1ln
1
0
 xx
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 8
b) Đặt :
 
 
   
 
 
12
22
1

2
12
24
2
2
22










xx
ACCBxBAx
x
CBx
x
A
xx
x

Do đó ta có hệ :


















0
2
2
02
42
0
C
B
A
AC
CB
BA

Vậy :
 
 
 














1
0
1
0
2
2
2
1
2
2
2
21
24
dx
x
x
x

dx
xx
x
I

 
9
4
ln1ln2ln2ln3ln21ln2ln2
1
0
2
 xx


Bạn đọc tự làm :
a)
 




3
2
2
1
1
1
dx
xx

x
I
b)



5
2
2
2
32xx
dx
I

c)
dx
xx
x
I




2
1
3
3
3
4
1

d)



2
3
24
3
23
dx
xx
x
I


HD:

a)
 
1
1
1
22




x
C
x

B
x
A
xx
x
b)
31
32
1
2





x
B
x
A
xx

c)
  














1212
4
1
4
1
4
1
3
3
xxx
x
xx
x
d)
22
11
23
24










x
D
x
C
x
B
x
A
xx
x


Đẳng thức tích phân :

Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận
xét một số đặc điểm sau .
* Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, ….
Chúng ta cần phải nhớ những đẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ đề áp dụng.

BÀI TẬP
Chứng minh rằng :
   
 

1
0
1

0
11 dxxxdxxx
m
n
n
m


Bài làm :
Xét
 


1
0
1 dxxxI
n
m

Đặt :
dtdxdxdtxt 1

Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 9
Đổi cận :






01
10
tx
tx

Vậy :
     
 

0
1
1
0
1
0
111 dtttdtttdxxxI
n
m
n
mn
m
(đpcm)

Chứng minh rằng nếu
)(xf
là hàm lẻ và liên tục trên đoạn
 
aa,
thì :

 



a
a
dxxfI 0


Bài làm :
     
1)(
0
0
  
 

a
a a
a
dxxfdxxfdxxfI

Xét
 


0
a
dxxf
. Đặt

dtdxdxdtxt 

Đổi cận :





00 tx
atax

V ậy :
     
 


a a
a
dttfdttfdxxf
0 0
0

Thế vào (1) ta được :
0I
(đpcm)
Tương tự bạn đọc có thể chứng minh : Nếu
)(xf
là hàm chẳn và liên tục trên đoạn
 
aa,

thì
   
 


a
a
a
dxxfdxxfI
0
2

Cho
0a
và
 
xf
là hàm chẵn , liên tục và xác định trên
R
.
Chứng minh rằng :
 
 
 







dxxfdx
a
xf
x
0
1


Bài làm :


Xét
 
dx
a
xf
x



0
1

. Đặt
dtdxdxdtxt 

Đổi cận :






00 tx
tx


Vậy :
     
 








 

0 0
0
111
t
t
tx
a
tfa
dt
a
tf

dx
a
xf

     
 
  
 






 

0
0
1
111
dx
a
xf
dx
a
xf
dx
a
xf
xxx

Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 10
Thế vào (1) ta được :
     
 
  






 

 

0
0
0
111
dxxfdx
a
xf
dx
a
xfa
dx
a
xf
xx

x
x
(đpcm)

Cho hàm số
 
xf
liên tục trên
 
1,0
. Chứng minh rằng :

   
 

 

0 0
sin
2
sin. dxxfdxxfx


Bài làm :
Xét
 


0
sin. dxxfx

. Đặt
dtdxdxdtxt 


Đổi cận :





0
0
tx
tx



Vậy :
     
 
   
 

 

0 00
sin.sin.sin. dttftdttftdxxfx


   

 

 

0 0
sin.sin dttftdttf


   
   
dxxfdxxfx
dxxfdxxfx








00
00
sin
2
sin.
sinsin.2

Từ bài toán trên , bạn đọc có thể mở rộng bài toán sau .
Nếu hàm số
 

xf
liên tục trên
 
ba,
và
   
xfxbaf 
. Thì ta luôn có :

   
 


b
a
dxxf
ba
dxxfx

0
2
.


Cho hàm số
 
xf
liên tục,xác định , tuần hoàn trên
R
và có chu kì

T
.
Chứng minh rằng :
   
 


Ta
a
T
dxxfdxxf
0


Bài làm :
           
 


Ta
T
T
a
Ta
T
Ta
a
T
a
dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf

0
0

Vậy ta cần chứng minh
   
 


a Ta
T
dxxfdxxf
0

Xét
 

a
dxxf
0
. Đặt
dxdtTxt 

Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 11
Đổi cận :






Tatax
Ttx 0

Vậy :
   
 
 

Ta
T
Ta
T
dttfdtTtf

Hay :
   
 


Ta
a
T
dxxfdxxf
0
(đpcm)
Từ bài toán trên , ta có hệ quả sau :
Nếu hàm số
 
xf
liên tục,xác định , tuần hoàn trên

R
và có chu kì
T
, thì ta luôn
có :
   
 


T
T
T
dxxfdxxf
0
2
2


Bạn đọc tự làm :
a)
 


1
0
6
1
1 dxxxI
b)






1
1
22
2
1lncos.sin dxxxxxI

c)




0
2
3
cos49
sin.
dx
x
xx
I
d)




0

2
4
cos1
sin.
dx
x
xx
I

e)




2
2
2
5
21
sin


dx
xx
I
x
f)






1
1
2
2
6
1
sin
dx
x
xx
I

g)






2
0
2
7
sin1sinln dxxxI
h)
dxxI





2009
0
8
2cos1


Tích phân từng phần :
Cho hai hàm số
u
và
v
có đạo hàm liên tục trên đoạn
 
ba,
, thì ta có :

 
 

b
a
b
a
b
a
vduuvu dv

Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :

*ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt
xu ln
hay
xu
a
log
.
*ưu tiên 2 : Đặt
??u
mà có thể hạ bậc.

BÀI TẬP


Tính các tích phân sau :
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 12
a)


1
0
1
. dxexI
x
b)


2
0

2
2
cos.

xdxxI
c)


e
xdxI
1
3
ln


Bài làm :
a) Đặt :





xx
evdxedv
dxduxu

Vậy :
 
11
1

0
1
0
1
0
1
0
1


eeeedxeexdxexI
xxxx

b) Đặt :





xvxdxdv
xdxduxu
sincos
2
2

Vậy :
 
1sin.2
4
sin.2cos

2
0
2
0
2
2
0
1
0
1





xdxxxdxxxxdxexI
x

Ta đi tính tích phân

2
0
sin.

xdxx

Đặt :






xvxdxdv
dxduxu
cossin

Vậy :
1sincos.coscos.sin.
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0






xxxdxxxxdxx

Thế vào (1) ta được :
4
8
.

2
1
0
1




dxexI
x

c) Đặt :







xvdxdv
dx
x
duxu
1
ln

Vậy :
1ln.ln.ln
01
1

1
1
3


ee
e
e
e
xxxdxxxxdxI

Tính các tích phân sau :
a)



0
1
sin. xdxeI
x
b)


4
0
2
2
cos

dx

x
x
I
c)
 



e
dxxI
1
3
lncos


Bài làm :
a) Đặt :





xvxdxdv
dxedueu
xx
cossin

Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 13
Vậy :

 






0
0
0
1
11cos.cos.sin. JexdxexexdxeI
xxx

Đặt :





xvxdxdv
dxedueu
xx
sincos

Vậy :
IxdxexexdxeJ
xxx






0
0
0
sin.sin.cos.

Thế vào (1) ta được :
2
1
12
11




e
IeI

b) Đặt :







xvdx
x

dv
dxduxu
tan
cos
1
2

Vậy :
 
2
2
ln
4
cosln
4
tantan.
cos
4
0
4
0
4
0
4
0
2
2








xxdxxxdx
x
x
I

c) Đặt :
   







xvdxdv
dxx
x
duxu lnsin
1
lncos

Vậy :
     
 
JedxxxxdxxI
e

e
e


1lnsinlncos.lncos
1
1
1
3





Đặt :
   







xvdxdv
dxx
x
duxu lncos
1
lnsin

Vậy :
     
3
1
1
1
3
0lncoslnsin.lnsin IdxxxxdxxI
e
e
e






Thế vào (1) ta được :
 
2
1
12
33




e
IeI

Bạn đọc tự làm :
a)



2ln
0
1
. dxexI
x
b)
 


e
dxxI
1
2
2
ln1

c)









2
2
3
ln
1
ln
1
e
dx
xx
I
d)




1
0
2
4
1ln dxxxI

e)
 


3
4
5
tanln.sin



dxxxI
f)
 


e
dxxI
1
2
6
lncos

g)



4
0
2
7
2cos

xxI
h)






2
0
7
cos1
sin1

dxe
x
x
I
x


Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 14
Tích phân hàm trị tuyệt đối, min , max :

Muốn tính
 


b
a
dxxfI
ta đi xét dấu
 
xf
trên đoạn
 

ba,
, khử trị tuyệt đối
Muốn tính
   
 


b
a
dxxgxfI ,max
ta đi xét dấu
   
xgxf 
trên đoạn
 
ba,

Muốn tính
   
 


b
a
dxxgxfI ,min
ta đi xét dấu
   
xgxf 
trên đoạn
 

ba,



Tính các tích phân sau :
a)


4
1
1
2dxxI
b)


2
0
2
1
32 dxxxI


Bài làm :
x 1 2 4
a)
x-2 - 0 +

Vậy :
   
4

2
2
2
1
2
4
2
2
1
4
1
1
2
22
2222
















x
xx
xdxxdxxdxxI

     
 
2
5
4288
2
1
224 














b) Lập bảng xét dấu
 
2,0,32
2

 xxx
tương tự ta được
   


2
1
2
1
0
2
2
0
2
1
323232 dxxxdxxxdxxxI

.


Tính


1
0
dxaxxI
a
với
a
là tham số :

Bài làm :
x

a


x-a - 0 +

(Từ bảng xét dấu trên ta có thể đánh giá ).
4
3
3
3
3
2
1
3
2
1
0
3
2
1
















x
xx
x
xxI
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 15
Nếu
0a
.

 









1

0
1
0
23
2
1
0
23
1
23
aaxx
dxaxxdxaxxI
a

Nếu
10  a
.

   
 

a
a
a
dxaxxdxaxxdxaxxI
0
1
22
1
0

223
1
3232
32
1
32
0
32
aaxaxxax
a
a
















Nếu

1a
.

 









1
0
1
0
23
2
1
0
23
1
23
aaxx
dxaxxdxaxxI
a


Tính : a)

 


2
0
2
1
,1min dxxI

 


3
0
2
2
,max dxxxI

Bài làm :
a) Xét hiệu số :
 
 
2,01
2
 xx

Vậy :
 
3
4

3
,1min
2
1
2
0
3
2
1
1
0
2
2
0
2
1


x
x
dxdxxdxxI

b) Xét hiệu số :
 
 
3,01  xxx
tương tự như trên ta có .
 
6
55

32
,max
3
1
3
1
0
2
3
1
2
1
0
3
0
2
2


xx
dxxxdxdxxxI


Bạn đọc tự làm :
a)
 



3

2
2
1
3,min dxxxI
b)
 


2
0
2
cos,sinmax

dxxxI
c)


4
3
0
3
cossin

dxxxI

d)
 




3
2
2
4
34,max dxxxI
d)









5
1
4
1212 dxxxxxI


Nguyên hàm , tích phân của hàm số vô tỷ :
Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp đơn giản của tích phân Abel

Dạng 1:



 dxcbxaxxR
2

,
ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ.
























2
2
2
1

4
0
0
bax
a
cbxax
a

Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 16




dtttSdxcbxaxxR
bax
t





2
22
1,,
Tới đây , đặt
ut tan
.
Dạng 2:

























2
2
2
1
4
0
0

bax
a
cbxax
a





dtttSdxcbxaxxR
bax
t





2
22
1,,
Tới đây , đặt
ut sin
.
Dạng 3:
























1
2
4
0
0
2
2
bax
a
cbxax
a





dtttSdxcbxaxxR
bax
t





2
22
1,,
Tới đây, đặt
u
t
sin
1

.
Dạng 4 (dạng đặc biệt) :
 









x
t
tt
dt
cbxaxx
dx
1
22


Một số cách đặt thường gặp :


dxxaxS


22
,
đặt

 ttax 0cos.



dxxaxS


22

,
đặt
22
tan.

 ttax



dxaxxS


22
,
đặt


kt
t
a
x 
2cos



dxcbxaxxS


2
,

đặt
 









0;.
0;
0;
2
000
2
2
atxacbxax
cbxaxxxtcbxax
ccxtcbxax













m
dcx
bax
xS ,
đặt
0; 


 cbad
dcx
bax
t
m


Tính :
 



3
2
74xx
dx
I

Bài làm :
   





2
3
2
3
2
374
xt
t
dt
xx
dx

Đặt :
 
duudtut 1tan3tan3
2


Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 17
Ta có
 
 






uu
udu
u
duu
I
tan3tan3
3
2
2
cos
3
1
1tan.33
1tan3

C
xx
x
C
t
t
Cu 






74
2
3
1
1
3
1
sin
3
1
22


Tính : a)



1
2
xx
xd x
I
b)



12
2

xxx
dx
I


Bài làm :
a)
















3
12
222
1
13
2
1

4
3
2
1
1
x
t
dt
t
t
x
xdx
xx
xdx



Cxxxxx
Ctttdt
t
t
I
x
t
















1
2
1
ln
2
1
1
1ln
2
1
1
2
3
1
13
2
1
22
22
3
12

2

b)Đặt :
2
1
t
dt
dx
t
x 

 
C
t
t
dt
xxx
dx
I
t
x










2
1
arcsin
12
12
1
22

C
x
C
x





2
1
arcsin
2
1
1
arcsin


Tìm các nguyên hàm sau
a)




3
11 xx
dx
I
b)



11 xx
dx
I


Bài làm :
a)Đặt :
dxdttxtxt 
56
6
611

Vậy :















66
1
2
1
23
5
3
1
1
166
11
xtxt
dt
t
tt
tt
dtt
xx
dx
I


Cxxxx
Ctttt



11ln6161312
1ln6632
663
23

b)
 
















dx
x
x
dxxdx
x

xx
xx
dx
I
1
2
1
1
2
1
2
11
11
2
1

Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 18

 
1
1
2
1
2
1
dx
x
x
xx





Xét
dx
x
x

1
Đặt :
 
dt
t
t
dx
t
x
x
x
t
2
2
2
1
2
1
11








Vậy :
 
OK
t
dtt
dx
x
x
x
x
t







1
2
2
1
2
1

Tìm các nguyên hàm sau :
a)

 dxxxI 9.
22
b)

 dxxxI 4.16
22


Bài làm :
a)Đặt :
dt
t
t
dx
t
t
xtxx
2
22
2
2
9
2
9
9






Vậy :
   




C
xx
xx
xx
C
t
t
t
dt
tt
t
dt
t
t
dt
t
t
t
t
t

t
I























































4
2
2
4

2
4
4
5
3
5
2
4
2
2
22
2
2
1
94
6561
9ln162
4
9
16
1
4
6561
ln162
416
16561162
16
1
81
16

1
4
9
.
2
9
.
2
9

b)Đặt :
dt
t
t
dx
t
t
xtxx
2
22
2
2
4
2
4
4





   




C
xx
xx
xx
C
t
t
t
dt
t
t
t
dt
t
t
dt
t
t
t
t
t
t
I
























































4
2
2
4
2
4
4

5
3
5
2
4
2
2
2
2
2
2
4
64
4ln36
4
4
64
ln36
4
25636
16
4
4
.
2
4
.
2
4
16

Tính các tích phân sau :
a)


1
2
1
2
1
dxxxI
b)





8
3
2
1
dx
xx
dx
I

Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 19

Bài làm :
 


1
2
1
2
1
2
1
2
1
121
2
1
dxxdxxxI

Đặt :
tdtdxtx cos
2
1
sin12 

Đổi cận :










2
1
0
2
1

tx
tx

Vậy :
 
2
0
2
0
2
0
2
1
2sin
2
1
1
8
1
2cos1

8
1
cos
4
1










tdtttdtI




b) Đặt :
dxtdtxt  21

Đổi cận :





38

23
tx
tx

Vậy :
 









3
2
2
3
2
2
8
3
2
1
2
1
2
1
t

dt
tt
tdt
dx
xx
dx
I






Bạn đọc tự làm :
a)



1
2
1
xx
dx
I
b)
dxxxI


2
2

4
c)
 



3
2
3
4x
dx
I

d)

 dxxI
2
4
1
d)





dx
x
x
I
11

11
2
2
5
d)
dx
x
I
11
1
2
6





Bất đẳng thức tích phân :

Nếu
 
 
 
0,0 

dxxfbaxxf
b
a

Nếu

   
 
   
dxxgdxxfbaxxgxf
b
a
b
a

 ,

 
16
000
28
1

















2ln1ln
2
1
ln
1
1
ln
3
2











t
t
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 20
Nếu
 
 
     

abMdxxfabmbaxxfm
b
a


,

Trong các trường hợp nầy ta thường dùng khảo sát , Bunhiacopxki, AM-GM
Và các bước chặn sinx,cosx
BÀI TẬP

Chứng minh các bất đẳng thức sau :
a)
 


1
0
4
1
1 dxxx
b)
2
1
15
2
2
1
2





dx
x
x
c)
 


1
0
211 dxxx


Bài làm:
a)Áp dụng AM-GM ta có :
 
 
 
1,0
4
1
2
1
1
2









 x
xx
xx

Vậy :
 
4
1
4
1
1
1
0
1
0

 
dxdxxx
(đpcm)
b) Xét hàm số :
 
 
2,1
1
2



 x
x
x
xf

Đạo hàm :

 
 
 











1
1
0
1
1
2
2

2
x
x
xf
x
x
xf

Ta có :
 
 









5
2
2
2
1
1
f
f

Vậy :

 
2
1
15
2
2
1
15
2
2,1
2
1
15
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2












dx
x
x
dxdx
x
x
dx
x
x
x

Áp dụng Bunhicopxki ta có :
 
1,02111111
22
 xxxxx

Vậy :
 
 
01211
1
0



dxxx

Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 21

 


1
0
211 dxxx
(đpcm)
Chứng minh rằng :
e
dx
x
xe
x
121
sin.
3
1
2






Bài làm :
 
e
exx
x
1
13,1 



 






3
1
2
3
1
2
1
1
1
sin.
dx
xe

dx
x
xe
x

Xét
 


3
1
2
1
1
dx
xe

Đặt :
 
dttdxtx 1tantan
2


Đổi cận :










3
3
4
1


tx
tx

Do đó :
 
 
12
1tan
1tan
3
4
3
4
2
2










e
dt
te
dtt

Từ đó ta được đpcm.

Bạn đọc tự làm :
Chứng minh rằng :
a)
10
cos35
16
2
0
2






x
dx
b)
2
1sin

4
3
3
6




dx
x
x
c)
8
2
4
6
3
6
32







xx
dx

d

*
) Cho 2 hàm số liên tục :
       
1,01,0:;1,01,0:  gf

Chứng minh rằng :
       








1
0
1
0
2
1
0
dxxgdxxfdxxgxf


Một số ứng dụng của tích phân thường gặp :

1)Tính diện tích :
Cho hai hàm số
   

xfxf &
liên tục trên đoạn
 
ba,
. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đường là :
 
1
1
1
sin.
22





xex
xe
x
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 22

   











xgy
bx
xfy
ax
;

Được tính như sau :

   


b
a
dxxgxfS


2)Tính thể tích :
Nếu diện tích
 
xS
của mặt cắt vật thể do mặt phẳng vuông góc với trục tọa độ , là
hàm số liên tục trên đoạn
 
ba,
thì thể tích vật thể được tính :

 
dxxfV
b
a



Nếu hàm số
 
xf
liên tục trên
 
ba,
và (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường:

 







Ox
xfy
bxax ,

Khi (H) quay quanh Ox ta được 1 vật thể tròn xoay . Lúc đó thể tích được tính :

 

 
dxxfV
b
a


2


Tương tự ta cũng có thể tính thể tích vật thể quay quanh oy

3)Tính giới hạn :
   
dxxfxf
b
a
n
i
ii
n





1
.lim

trong đó








1
1
iix
ii
xx
xx


Từ đó ta xây dựng bài toán giới hạn như sau :
Viết dãy số thành dạng :









n
i
n
n
i

f
n
S
1
1
sau đó lập phân hoạch đều trên
 
1,0
, chọn
n
i
x
ii


ta có
 











1
0

1
1
lim dxxf
n
i
f
n
n
i
n

4)Tính độ dài cung đường cong trơn:
Nếu đường cong trơn cho bởi phương trinh
 
xfy 
thì độ dài đường cung nó được tính
như sau :

 
dxyl
b
a



2
1
với
ba,
là hoành độ các điểm đầu cung .

4)Tính tổng trong khai triển nhị thức Newton.
Tìm công thức tổng quát , chọn số liệu thích hợp,sau đó dùng đồng nhất thức, bước cuối
cùng là tính tích phân .
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 23

Hình1a hình1b

hình1c hình1d

BÀI TẬP

Tính diện tích hình tròn , tâm O , bán kính R.

Bài làm : (hình 1a)
Phương trình đường tròn có dạng :

22222
xRyRyx 

Do tính đối xứng của đồ thị nên :
dxxRS
R


0
22
4

Đặt :

tdtRdxtRx cossin 

Đổi cận :







2
00

tRx
tx







2
00

tRx
tx

Vậy :
 

 
dvdtRtxR
dttRtdtRtRS
2
2
0
2
2
0
2
2
0
22
2sin
2
1
2
2cos12cossin4
















Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 24
Xét hình chắn phía dưới bởi Parabol
2
xy 
, phía trên bởi đường thẳng đi qua điểm
A(1,4) và hệ số góc là k . Xác định k để hình phẳng trên có diện tích nhỏ nhất .

Bài làm (hình 1b)
Phương trình đường thẳng có dạng.

 
41  xky

Phương trình hoành độ giao điểm .

 
0441
22
 kkxxxkx

Phương trình trên luôn có hai nghiệm , giả sử
21
xx 

Vậy diện tích là :

 
 
 
 
 
     
*4
2
1
3
1
4
23
41
12
2
121
2
212
2
3
2
2
1
2
1
















kxxkxxxxxx
xkx
kx
dxxxkS
x
x
x
x

Với :
 
 
 











44.4
4.
2
12
2
1
2
2
2
2
12
12
12
kkxxxxxx
kxx
kxx

Thế vào
 
*
ta được :

 
 
 
164164

6
1
4
2
1
44
3
1
164
22
222








kkkk
kkkkkkS


 
 
 
34122
6
1
164

6
1
3
2
3
2
 kkk

Vậy :
34min S
khi
2k

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :








2
2
xay
yax


Bài làm : (hình 1c)
Do tính chất đối xứng của đồ thị mà ta chỉ cần xét

0a

Xét :
  

















0
0
0
22
2
a
xay
ayxyx
a

xay
yax

Với
yx 
ta được :
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 25

 
 














lx
nax
a
xay
yx

0
0
2

Với
0 ayx
ta được :

 
 
























lx
nax
a
xay
aaxx
a
xay
ayx
0
0
0
0
0
2
22
2

Ta lại có :





















0
0
2
2
2
a
a
x
y
axy
a
xay
yax

Vậy diện tích cần tính là :

 
d vtta
a

x
xa
dx
a
x
xadx
a
x
axS
a
aa
2
0
3
2
3
0
2
2
1
0
2
3
1
32
3

























Bạn đọc tự làm :
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
a)









2
01
01
3
x
yx
yx
b)








4
4
2
y
xy
xy
c)
0
0
2









y
yx
yx
d)







0,
1
2
2
2
2
ba
b
y
a
x

Hình vẽ tương ứng ↓↓↓

hình a hình b