0031 xác định quy luật biên phi tuyến và xác định nguồn trong các quá trình truyền nhiệt luận văn tốt nghiệp

BỘGIÁODỤCVÀCVÀĐÀOTẠOO
ĐẠIHỌCTHÁINGUYÊN

BÙIVIỆTHƯƠNG

XÁCĐỊNHQUYLUẬTBIÊNPHI
TUYẾNVÀXÁCĐỊNHNGUỒN
TRONGCÁCQUÁTRÌNHTRUYỀNNHIỆT

LUẬNÁ N T I Ế N S Ĩ T O Á N H Ọ C

THÁINGUYÊN–2015


ĐẠIHỌC THÁINGUN

BÙIVIỆTHƯƠNG

XÁCĐỊNHQUYLUẬTBIÊNPHI
TUYẾNVÀXÁCĐỊNHNGUỒN
TRONGCÁCQTRÌNHTRUYỀNNHIỆT

Chunngành:TốnGiảitích
Mãsố :6 24 6 0 10 2

LUẬNÁ N T I Ế N S Ĩ T O Á N H Ọ C

Ngườihướngdẫnkhoahọc:
GS.T S K H . Đ I N H N H O H À O

THÁINGUYÊN–2015

i
LỜIC A M ĐOA N
Tôi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của tơi, được hồnu của tơi, được hồna tơi, được hồnc hồn
thànhdướiis ựhướng h ư ới n g d ẫncủa n c ủa tơi, được hồn a G S . T S K H . Đ i n h N h o H à o . C á c k ết t q u ả v i ết t c
h u n g v ới i tácg i ả k h á c đ ã đ ư ợc hoàn c s ựhướng n h ất t t r í c ủa tơi, được hồn a đ ồng n g t á c g i ả k h i đ ư a v à
o l u ận n á n . C á c kếtt quả nêu trong luậnn án là những kết quả mới và chưa từng được ai côngng kếtt quả mớii và chưa từng được ai cơngng được hồnc ai cơng
bốtrongc á c c ôn g t r ì n h n ào k h á c .
Tácgiả

BùiViệtHương


ii
LỜIC Ả MƠ N
Luậnnánđ ược hoàn c hoànth àn h d ư ới i sựhướngh ưới ng d ẫncủa n khoa h ọc c t ận n tìn h , quýb
áu vàn g h i ê m k h ắc c c ủa tơi, được hồn a G S . T S K H . Đ i n h N h o H à o . T h ầy y đ ã đ ặt t b à i t o á
n v à d à n h nhiềuucôngs ứu của tơi, được hồn c, t ừng được ai cơng ng b ưới c d ẫncủa n d ắc t tôid ầy n làmquenv ới icông vi ệcng cng
hiênc ứu của tơi, được hồn u khoahọcc,độngngviênkhíchlệcngtơi
vược hồntlênnhững kết quả mới và chưa từng được ai cơngngkhókhăntronghọcctậnpvàcuộngcsống.Từng được ai cơngt ận nđáylịng, emxinbàytỏ
lòngbi ết t ơnchânthànhvàsâu nchânthànhvàsâu s ắc c nh ất t tớiiTh ầy y vàsẽcốg ắc ng ph ất nđ ất uh ơnchânthànhvàsâu nn
ững kết quả mới và chưa từng được ai cơng a đểx ứu của tơi, được hồn ngđáng v ới icơng laoc ủa tơi, được hồn a Th ầy y. Trongqtrìnhhọcctậnp,nghiêncứu của tơi, được hồnuvàh o à
n t h à n h l u ận n á n , t á c g i ả l u ô n nhậnnđ ư ợc hoàn c s ựhướng q u a n t â m , g i ú p đ ỡ c ủa tơi, được hồn
a G S . T S K H . H à H u y B ả n g , P G S . T S . H à TiếtnN g o ạn, n , G S . T S K H N g u y
ễn n M i n h T r í , T S . N g u y ễn n V ă n N g ọc c , T S . N g u y ễn n ThịT h u T h ủa tơi, được hồn y . T á c
g i ả x i n b à y t ỏ s ựhướng k í n h t r ọc n g v à b i ết t ơnchânthànhvàsâu n s â u s ắc c đ ết n T h ầy y
Cơ.
Tácgiả xinchânthànhcảmơnchânthànhvàsâun anhchịemtrongnhómnghiêncứu của tơi, được hồnucủa tơi, được hồnaThầyy
– GS. TSKH. Đinh Nho Hào đã có những kết quả mới và chưa từng được ai côngng trao đổi và ý kiến đóng góp hữui và ý ki ếtn đóng góp h ững kết quả mới và chưa từng được ai cơngu

íchthơngq u a c á c x ê m i n a n h ó m ; C h â n t h à n h c ả m ơnchânthànhvàsâu n T S . N g u y ễn n T r u n g T
h à n h , TS.

PhanXuân

Thành,

NCS.

NguyễnnThị

NgọccO a n h

đ ã h ư ới n g d ẫncủa n t á c g i ả
v ều kỹth u ận t l ận p trình kh i t h ử n gh i ệcng m vi ệcng c gi ả i s ố .
Tácgiả xin chânthànhcảmơnchânthànhvàsâun Banchủa tơi, được hồn nhiệcngmK h o a T o á n , K h o a s a u
đ ạn, i họcc trường Đại học Sư phạm; Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, Ban giámng Đạn,i họcc Sư phạn,m; Ban chủa tơi, được hồn nhiệcngm khoa Toán – Tin, Ban giám
hiệcngutrường Đại học Sư phạm; Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, Ban giámngĐ ạn, i h ọc c K h o a h ọc c –
Đ ạn, i h ọc c T h á i N g u y ê n đ ã t ạn, o đ i ều u k i ệcng n t h u ận n l ợc hoàn i chotácgi ả trongqu át
rìnhh ọc ct ận p, ngh iên c ứu của tơi, được hồn uvàhồn th àn h lu ận nán.
Xin chân thành cảm ơnchânthànhvàsâun các anh chị em NCS chun ngành Tốn Giải
tích,bạn,nbèđ ồng ngnghi ệcng pđãlnquan tâm,đ ộng ng viên,traođ ổi và ý kiến đóng góp hữu i vàđónggópnh
ững kết quả mới và chưa từng được ai cơng ng ýk i ết n qu ý b á u c h o t á c g i ả .
Luậnn án sẽ khơng thể hồn thành nếtu thiếtu sựhướng cảm thơng, giúp đỡ
của tơi, được hồnanhững kết quả mới và chưa từng được ai côngng ngường Đại học Sư phạm; Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, Ban giámi thân trong gia đình. Tác giả xin kính tặtng Gia đình thân yêu
niềumvinhh ạn, nh t o l ới n n ày.
Tácgiả
BùiViệtHương

Mụclục
Lờic a m đ o a n

i

Lờic ả m ơ n

ii

Mụclục

ii

Mộtsốkýh iệu

v

Mởđ ầ u

1

1 Xácđịnh quy luật trao đổi nhiệt phi tuyến từ quan sát
trênbiên

10

1.1. Mộngtsốki ết nth ứu của tơi, được hồn cb ổi và ý kiến đóng góp hữu tr ợc hoàn.........................................................................11
1.1.1. Nghiệcngmy ết u t r o n g k h ô n g g i a n H 1,0(Q).................................11
1.1.2. Nghiệcngmyếtutrongk h ô n g g i a n W (0,T).......................................15
1.2. Bàitoánx ácđ ị nh quylu ận t traođ ổi và ý kiến đóng góp hữu i nhi ệcng tphituy ết n từng được ai cơngquansát

tíchphântrênbiên.................................................................................17
1.2.1. Bàit o á n t h u ận n ..........................................................................17
1.2.2. Bàitoán bi ết n phân....................................................................23
1.2.3. Víd ụ s ố ........................................................................................27
1.3. Bàitốnx ácđ ị nh quylu ận t traođ ổi và ý kiến đóng góp hữu i nhi ệcng tphituy ết n từng được ai côngquansát
mộngtph ầy n trênbiên................................................................................39
1.4. Bàito án x á c đ ị n h hệcngs ố tru y ều n n h i ệcng t σ(u)từqu an s át tích p h â n 42
2 Xácđịnhnguồntrongbàitốntruyềnnhiệttừquansáttrênbiên
46

iii


iv
2.1. Phươnchânthànhvàsâungphápbi ết n phân.........................................................................48
2.2. Phươnchânthànhvàsâungphápph ầy n tửh ững kết quả mới và chưa từng được ai công u h ạn, n ..............................................................54
∗
2.2.1. Xấtpx ỉ p h ầy n t ử h ững kết quả mới và chưa từng được ai công u h ạn, n c ủa tôi, được hoàn a A k,A
,k = 1,...,N......................55
k
2.2.2. Sựhướngh ộng it ụ......................................................................................56
2.2.3. Víd ụ s ố ........................................................................................61
2.3. Rờng Đại học Sư phạm; Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, Ban giámir ạn, c h ó a b à i t o á n x á c đ ị n h t h à n h p h ầy n c h ỉ p h ụ t h u ộng c t h ờng Đại học Sư phạm; Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, Ban giám i
giantrongvếtph ả i ..................................................................................65
2.3.1. Rờng Đại học Sư phạm; Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, Ban giámir ạn, c h óa b à i t oá n t h u ận n b ằng n g ph ư ơnchânthànhvàsâu n g p h á p s a i ph ân
hững kết quả mới và chưa từng được ai cônguh ạn, n phânrã.........................................................................66
2.3.2. Rờng Đại học Sư phạm; Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, Ban giámir ạn, c hóabàitốnbi ết n phân................................................70
2.3.3. Phươnchânthànhvàsâungphápgradientliênhợc hồnp..................................................74
2.3.4. Víd ụ s ố ........................................................................................75
Kếtluậnchung

89

Danhmụccáccơngtrìnhđãcơngbốliênquanđếnluậnán

90

Tàiliệuthamkhảo

91


Mộtsốkýhiệu
R

tậnpcács ố th ựhướng c

Rn

khônggian véctơnchânthànhvàsâuE u clide th ựhướng c n −chiềuu

V∗

khônggianđ ố i ng ẫncủa u c ủa tơi, được hồn akhơng gianV
khơnggiancáchàmliêntụctrongΩ¯

C(Ω¯)
C([0,T],L2(Ω))

khơngg i a n c á c h à m l i ê n t ụ c t r ê n [ 0 ,T]n h ậ n g i á t r ị t r o n g L 2()C 1 (Q )

khụnggiancỏchmkhviliờntctrongQ
C ,/2

khụnggianH ăolderviism/2,(0,1)

Lp()

khụngg i a n c á c h à m k h ả t í c h b ận c p trongΩ ,1≤p<∞

L2I(Ω)

khơnggiancáchàmthuộngcL 2(Ω)cótậnpxácđ ị nh làI

H1(Ω)

khơnggiancáchàmthu ộng c L 2(Ω)cóđ ạn, ohàm riêngy ết uthu ộng c

H1(Ω)

L2(Ω)
baođóngcủa tơi, được hồnakhơnggianC∞(Ω)trongkhơnggianH1(Ω)

H1,0(Q)

khơnggiancáchàmy∈L2(Q)có đạohàm

0

0

riêngyếtucấtpmộngttheob i ết n x ithuộcL 2(Q)
H1,1(Q)

khơnggiancáchàmy∈L2(Q)có đạohàm
riêngyếtucấtpmộngttheobiếtnxivàđạn,ohàmsuyrộngngtheobiếtntt
huộcL2(Q)

H1,0
I (Q)
esssup x ∈E|y(x)|
L (Ω)
∞

khơnggiancáchàmthu ộng c H 1,0(Q)cót ận p xácđ ị nhlà I
:=inf( s u p |y(x)|)
|F|=0x ∈E\F


Mộtsốkýhiệu
khơnggiancáchàmbịch ặt n vàđođ ược hồn ctheo nghĩaLebesguev
ớiichu ẩnđược nđ ược hoàn c xácđ ị nh b ởi i ǁy(x)ǁL∞(Ω)Ω))= esssup x ∈E|y(x)|

v


Mởđ ầ u
Các quá trình truyềun nhiệcngt hay khuếtch tán thường Đại học Sư phạm; Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, Ban giámng được hồnc mơ hình hóa
bằngngbài tốn biên cho phươnchânthànhvàsâung trình parabolic: khi mi ềun v ậnt lý, h ệcng s ố c ủa tơi, được hồna
phươnchânthànhvàsâungtrình, điềuu kiệcngn ban đầyu và điềuu ki ệcngn biên đ ược hoànc bi ếtt, ng ường Đại học Sư phạm; Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, Ban giámi ta nghiên
cứu của tơi, được hồnu bàitốn biên này và dựhướnga vào nghiệcngm của tơi, được hồna bài tốn đ ưa ra m ộngt d ựhướng đốn v ều

hiệcngntược hồnng đang nghiên cứu của tơi, được hồnu. Đây là bàit o á n t h u ận n cho quá trình mà ta đang
xét.Tuy nhiên, trong thựhướngc tết, nhiềuu khi miềun vậnt lý, ho ặtc h ệcng s ố c ủa tơi, được hồna ph ươnchânthànhvàsâung
trình,hoặtc điềuu kiệcngn biên, điềuu kiệcngn ban đầyu khơng được hồnc bi ếtt c ụ th ể mà ta
phải xácđịnh chúng qua các đo đạn,c gián tiếtp, để qua đó nghiên c ứu của tơi, được hồnu l ạn,i q
trình. Đâychính là những kết quả mới và chưa từng được ai cơngng bài tốn ngượccvớii bài tốn thuậnn được hồnc nói ởi trên và
là chủa tơi, được hồn đềusơiđộngng trongmơ hình hóa tốnhọccvà lý thuy ếttphươnchânthànhvàsâungtrình
viphânh ơnchânthànhvàsâu n 100 năm qua [1], [5], [9], [33],[46], [46], [47], [70]. Hai điềuu kiệcngn
quan trọcng đểmơhìnhhóamộngtqtrìnhtruyềunnhiệcngtđólàquyluậnttraođổi và ý kiến đóng góp hữuinhiệcngttrênbiên và nguồngn. Cả
hai điềuu kiệcngn này đềuu do tác độngng ởi bên ngồi và khơng ph ải lúcnào cũng
được hồnc biếtt trướic, do đó trong những kết quả mới và chưa từng được ai côngng trường Đại học Sư phạm; Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, Ban giámng hợc hoànp này, ta phải xác đ ịnhchúng
qua các đo đạn,c gián tiếtp và đó là nộngi dung c ủa tơi, được hồna lu ậnn án này. Lu ậnn án g ồngmhai
phầyn, phầyn đầyu nghiên cứu của tôi, được hồnu bài tốn xác định quy lu ậnt trao đ ổi và ý kiến đóng góp hữui nhi ệcngt
(nóichung là phi tuyếtn) trên biên qua đo đạn,c trên biên và ph ầyn th ứu của tơi, được hồn hai nghiên
cứu của tơi, được hồnubàit o á n x á c đ ị n h n g u ồng n ( t ạn, o r a q u á t r ì n h t r u y ều n n h i ệcng t h a y k h u ết c
h t á n ) q u a cácqu an s á t k h á c n h a u .
Có rấtt nhiềuu các hiệcngn tược hồnng vậnt lý xảy ra trong điềuu kiệcngn nhi ệcngt đ ộng, áp
suấttcao hoặtctrongcác môitrường Đại học Sư phạm; Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, Ban giámngkhắccnghiệcngt như:các b u ồng n g đ ố t , c á c t u a
b i n khí,

cácq

trìnhlàmnóng,làmnguộngithépvà

trongqt r ì n h

d ận p t ắc t k h í trong lị,... mà ởi đó cả nguồngn nhiệcngt và khối lược hồnng nhiệcngt trao đ ổi và ý kiến đóng góp hữui
đềuu

chưa

biếtt,hoặtcqtrìnhtraođ ổi và ý kiến đóng góp hữu i nhi ệcng t trênbiênch ư a bi ết t tuântheoquylu ận t nà
o(quy


Mởđ ầ u
1


2

luậntt r u y ều n n h i ệcng t t u y ết n t í n h c ủa tơi, được hồn a N e w t o n h a y q u y l u ận t b ứu của tơi, được hồn c x ạn, n h i ệcng t
b ận c b ố n của tơi, được hồnaStefan-Boltzmannchẳng hạn). Khi đó, chúng ta mơ hình hóa các q trìnhnghạn,n).Khiđó,chúngtamơhìnhhóacácqtrình truyềun nhiệcngt này
như các bài tốn ngược hồnc xác định quy luậnt truy ềun nhi ệcngt khơngtuy ếtn tính ởi
trên biên hoặtc xác định nhiệcngt động phụ thu ộngc vào hệcng số truy ềun nhi ệcngt.Trong
mộngt số lĩnh vựhướngc ứu của tơi, được hồnng dụng khác,các bài tốn n à y c ó t h ể x e m n h ư
c á c dạn,ng mơ hình vều sựhướng khuếtch tán khí trong các ph ản ứu của tơi, được hồnng hóa h ọcc ch ưa
biếtt trênbều mặtt vậnt chấtt hay mậnt động dân số tạn,i vùng giáp ranh v ớii quy lu ậnt di
trú chưabiếtt[ 88] .
Năm1 9 8 9 , P i l a n t v à R u n d e l l [ 6 9 ] x é t b à i t o á n x á c đ ị n h q u y l u ận
t t r u y ều n nhiệcngtg(·)vàn h i ệcng t đ ộng u (x,t)trongb à i to án g i á trị b i ê n b a n đ ầy u m
ut−uxx=γ(x,t),
0ộng t c h i ều u

u(x,0)=u (x),
0< x<1,
0

ux(0,t)=g(u(0,t)),
0≤t≤T,


−ux(1,t) =g(u(1,t)), 0≤t≤T,

(0.1)


từng được ai côngđ i ều u ki ệcng n quansátbổi và ý kiến đóng góp hữu
s ung
(0.2)

u(0,t)=h(t),
trongđ ó γ,

u0vàh là

cách à m

c h o t r ư ới c , t ư ơnchânthànhvàsâu n g ứu của tơi, được hồn n g

v ới i n g u ồng n n h i ệcng t , n h i ệcng t đ ộng tạn,i thờng Đại học Sư phạm; Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, Ban giámi điểm ban đầyu và nhiệcngt động trên biên. Từng được ai cơng
phươnchânthànhvàsâung trình (0.1) ta thu được hồnc ux(0, t) =g(h(t))vớiit∈[0, T]. Vớii mộngt số điềuu
kiệcngn

nhấtt

định,

các

tác

giả

đãchứu của tôi, được hoànngminht ồng n t ạn, i d u y n h ất t c ặt p ( u,g)c ủ a p h ư ơnchânthànhvàsâu n g t r ì n h ( 0 . 1 ) t
r o n g k h o ả n g 0≤t≤t∗,vớiit∗∈(0,
T]nàođó.Cáctácg i ả c ũ n g đ ã đ ều x u ất t p h ư ơnchânthànhvàsâu n g p h á p lặtp để giải bài tốn ngược hồnc
nàyvàthửnghiệcngmthuậnttốntrênmáytính.Sauđó, vào năm 1990, Rundell và Yin [79] đã
nghiên

cứu của tơi, được hồnu

bài

tốn

tươnchânthànhvàsâung

tựhướng

nhưngtrongtrường Đại học Sư phạm; Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, Ban giámnghợc hồnpnhiềuuchiềuu.Cụthể,choT>0vàQ= Ω×(0,T]vớiiΩ làmiềun
giớii

nộngi

trongRn,

các

tác

giả

xét

bài

tốn

tìm

cặtp

hàm u(x,

t)vàg(s)xácđịnht ư ơnchânthànhvàsâu n g ứu của tơi, được hồn n g t r ê n Q v à [ A,B],t h ỏ a m ã n h ệcng p h ư ơnchânthànhvàsâu n g t r ì n h
ut−∆u=γ(x,t)

 u(x,0)=u (x)
0

∂
u


trongQ,
trongΩ,

∂ν=

g(u)+ϕ

3

trênS :=∂Ω×[0
,T],

(0.3)


vớiiquansátbổi và ý kiến đóng góp hữu s ungt ạn, i m ộng t đi ể m trênbiên
u(ξ0,t)=h(t),

(0.4)

t∈[0,T],

trongđócáchàmγ,

u0,

ϕvàhchotrướic,ξ 0l à m ộng t đ i ể m c ố đ ị n h t r ê n b i ê n ∂ ΩcủaΩ ,ν l à v é c t ơnchânthànhvàsâu p h á
p t u y ết n đ ơnchânthànhvàsâu n v ị n g o à i t r ê n b i ê n S ,A = m i n Qu (x,t)v à B= m a x Qu (x,t).V ới
i m ộng t s ố g i ả t h i ết t n h ất t đ ị n h , c á c t á c g i ả đ ã đ ư a r a đ á n h giá ổi và ý kiến đóng góp hữun đnh
ị cho
hàmgvà từng được ai cơng đó học thu được hồnc tính duy nhấtt nghiệcngm của tơi, được hồna bài tốn (0.3).Ta
thấty,hàmgchỉcóthểxácđịnh trongkhoảng[A, B]chứu của tơi, được hồnkhơngxácđịnh trên tồn
trục thựhướngcR. Vì thết vào năm 1999, Choulli [14] đã đ ặtt ra m ộngt câu hỏi rấtt tựhướng
nhiên: chúng ta phải cầyn đếtn bao nhiêu đo đạn,c đ ể tìm l ạn,i hàm g(s)vớis∈R?
Choulliđãchứu của tơi, được hồnngminhrằngng:(i)nếtutấttcảcácđođạn,ctrênbiênđềuuthựhướngchiệcngnđược hồncvàhàmg

bị

chặn

′

thì

bài

tốn

có

nghiệm

duy

nhất;

(ii)

nếucácđođ ạn, c trênbiênđ ược hồn c th ựhướng c hi ệcng n trongcáckhơnggianvectơnchânthànhvàsâum ộng t chiều
uthìtacũngcónghiệcngmduynhấtt,vàơngđãchứu của tơi, được hồnngminhhàmgbiểu diễnn được hồnc dướiidạn,ngg=g0+g1,
trongđóg0l à

hàm

đã

b i ết t

c ò n g1l à

hàm

c h ư a b i ết t v à

k h ơ n g có điểm tụ 0. Theo hướing nghiên cứu của tơi, được hồnu này, các tác giả của tơi, được hồna [18] đã ra
phươnchânthànhvàsâungpháp tuyếtn tính hóa tựhướng nhiên (natural linearization) đ ể xác định lạn,i
quy luậnttruyềun nhiệcngt khơng tuyếtn tính g(u)trong (0.3) vớii gi thitt l
nhicngt

ng

trờntonbngbiờnSoc honc,thayvỡcỏcon,ctn,itng c ai cụngngimnhtrong (0.4).
Trongmngtchuicỏcbibỏo([51],[80] [86]),TroăltzschvRăoschcngónghiờn
cu ca tơi, được hồnu bài tốn tươnchânthànhvàsâung tựhướng. Cụ thể, các tác giả xét bài toán xác định hệcng
sốtruyềunn h i ệcng t σ (u)trongb à i t o á n g i á t r ị b i ê n ban đ ầy u
trongQ,
trênΩ,

 ut−∆u=0

 u(x,0)=u0 (x)



(0.5)
∞

∂u

—u(ξ,t)) trênS=∂Ω×[0,T],
trong đóu∞lànhiệtσ(u(ξ,t))(u
độ mơi trường xung quanh, được biết là một hằng
∂ν=
số chotrướic,từng được ai côngcácđ i ều u k i ệcng n q u a n s á t b ổi và ý kiến đóng góp hữu s u n g k h á c n h a u n h ư : u(x,
t)được hoàncc h o t r ê n cảmiềunQ,hoặtcu(x, ti)được hồncchotạn,imộngtthờng Đại học Sư phạm; Ban chủ nhiệm khoa Tốn – Tin, Ban giámiđ i ể m c ố đ ị n h t i,
1,

i=

.

.

.

,

L,[80],

[86],hoặtcuchotrêntồnbộngbiênS[83].Cáctácgiảđãchuyểnbàitốnngược hồnc

vều

bài

vi

tốn

điềuu

khiển

tối

ưu,

rồngi

chứu của tơi, được hồnng

minh

tính

khả


Fréchetcủa tơi, được hồnaphiếtmhàmcầyncựhướngctiểuhóa,sauđóđãsửdụng ph ươnchânthànhvàsâung phápl ặtpđ ể
giảis ố


bàitốn.Chúngtacũnglưrằngng,trongqtrìnhtruyềunnhiệcngt,hệcngsốtruyềunnhiệcngtσt
rong bài tốn (0.5) có thể ph ụ thu ộngc cả vào nhi ệcngt đ ộnguvà thờng Đại học Sư phạm; Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, Ban giámi giant[28],
nhưng việc nghiên cứu bài tốn ngược khi đó rất phức tạp và không nằm trong
khuôn khổi và ý kiến đóng góp hữu của tơi, được hồna luậnn án này. Ngồi ta, chúng tơi cũng mu ốn b ổi và ý kiến đóng góp hữu sung
thêmrằngng,vàonăm2009,Lesnicvàcácđồngngtácgiả[58],[67],JanickivàKindermann

[50]

cũngnghiêncứu của tơi, được hồnucácphươnchânthànhvàsâungphápsốđểgiảibàitốn(0.1)vàbàitốn(0.5).

Trongph ầy n đ ầy u c ủa tơi, được hồn a lu ận n ánnày,cụthểtrongCh ươnchânthànhvàsâu ng 1,chúngtôinghiêncứu của tôi, được hoàn
ub à i t o á n n g ư ợc hoàn c x á c đ ị n h h à m g (·,·)t ro n g b à i t o á n g i á t r ị b i ê n b a n đ ầy u [ 8 7 ]
trongQ,
ut−∆u=0

 u(x,0)=u 0(x) trongΩ,
∂u

=g(u,f)
trênS,
∂ν
từng được ai côngđ i ều u ki ệcng n quansátbổi và ý kiến đóng góp hữusung(0.4). Ởđây,


(0.6)

g:I×I→R(vớiiIlà khoảng con của tơi, được hoànaR) được hoànc giả sử là hàmliên
tục Lipschitz địa phươnchânthànhvàsâung, đơnchânthànhvàsâun điệcngu giảm theo biếtn u, đơnchânthànhvàsâun
điệcngutăng theo biếtnfvà thỏa mãng(u, u) = 0,u0vàflà các hàm
chotrướiccómi ềungiá trịthu ộngc I,tươnchânthànhvàsâung ứu của tơi, được hồn ng thu ộngc L 2(Ω)vàL 2(S).
Chúng tôi cũng lưu ý r ằngng, để ch ứu của tơi, được hồnng minh bài tốn thu ậnn có nghi ệcngm ta
cầynđếtn giả thiếtth à m gđơnchânthànhvàsâun điệcngu giảm theob i ết n u, đơnchânthànhvàsâun điệcngu tăngt h e o b i ết n f.
Hơnchânthànhvàsâunnững kết quả mới và chưa từng được ai cơnga,vớiigiảthiếttnàytacóngunlýmaximum,điềuunàylàcầynthiếttchoviệcngcgiả
ibàitốnngược hồnc,cũngnhưđiềuukiệcngnquyluậntbiênđơnchânthànhvàsâunđiệcngulàcầynthiếttđểgiảibàitốnng ược hồn c.
Thơng thường Đại học Sư phạm; Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, Ban giámng, hệcng số truyềun nhiệcngt được hoànc xem như hàm của tơi, được hồna biếtn thờng Đại học Sư phạm; Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, Ban giámi gian
vàkhông gian [36], tuy nhiên trong luậnn án chúng tôi ch ỉ đ ều c ậnp đ ếtn nh ững kết quả mới và chưa từng được ai cơngng

ứu của tơi, được hồnngdụngmàh ệcng s ốtruy ều n nhi ệcng t chỉph ụ thu ộng c vàonhi ệcng tđ ộngtrênbiên.
Ta biếtt rằngng, bài tốn (0.6) mơ tả nhiềuu tình huống th ựhướngc t ết [4], [87]. Nó
baogồngmđiềuu kiệcngn biên tuyếtn tính dạn,ng g(u, f) =c(f−u)vớiiclà mộngt hằngng số
dươnchânthànhvàsâung.Nócũngbaogồngmđiềuukiệcngnbiênphituyếtndạn,ngg(u, f) =φ(f)−φ(u), vớiiφlàhàm Lipschitz,
đơnchânthànhvàsâun

điệcngu

tăng

trênI;gồngm

cả

điềuu

kiệcngn

bứu của tơi, được hồnc

xạn,

Stefan-

Boltzmannnhưφ (w)= w 4v ới i I = [ 0 ,∞),q u y l u ận t t r a o đ ổi và ý kiến đóng góp hữu i e n z i m c ủa tơi, được hồn a M i c
haelis-Menten


vớiiφ(u)=cu/(u+k),trongđócvàklàcáchằngngsốdươnchânthànhvàsâung.Điềuukiệcngn
biêndạn,ngnàycũngbaogồngmcảtrường Đại học Sư phạm; Ban chủ nhiệm khoa Tốn – Tin, Ban giámnghợc hoànpg (u,

f)

=ψ(f−u),v ới i ψ làh à m L i p s c h i t z , đơnchânthànhvàsâunđiệcngutăngtrongkhoảngI−I;vàđặtcbiệcngtl
àψ(w)=w 5/4vớiiw>0,vàψ(w)=0vớiw<0,mơtảhi ệcngn t ược hồn ng đ ố i l ư u tựhướngnhiê
nởitrênbiên.
Quan sát theo từng được ai côngng điểm (0.4) thường Đại học Sư phạm; Ban chủ nhiệm khoa Tốn – Tin, Ban giámng khơng có ý nghĩa khi nghiệcngm
của tơi, được hồna(0.6) được hồnc hiểu theo nghĩa nghiệcngm yếtu. Do đó, trong lu ậnn án chúng tôi sẽ
thaythếtqu an s át n à y b ởi i các qu an s á t s a u
1) Quansáttr ên m ộng t ph ầy n c ủa tơi, được hồn a biên
u|Σ= h(x,t),

(x,t)∈Σ,

(0.7)vớiiΣ =Γ×(0,T],Γ làm ộng t ph ầy n c ủa tơi, được hồn a ∂ Ωcóđ ộng đ o k h á c 0 ;
2) Quansátt í c h phânb i ê n
∫
ω(x)u(x,t)dS= h(t),
lu:=

(0.8)

t∈(0,T],

∂Ω)

trongđóωlàhàmkhơngâm,xácđịnhtrên∂Ω,ω∈L1(∂Ω)và

∫
∂Ω)

ω(x)dS> 0.

Chúng tôi lưu ý rằngng, nếtu ta chọcn hàmωnhư là xấtp xỉ của tơi, được hồna hàm Diracδthì
cácquans át ( 0 . 8) có th ểc o i là trungb ì n h c ủa tơi, được hồn a qu an s á t ( 0. 4) . Quans át tích
p h â n làl ựhướng ach ọc n t h a y t h ết c h o qu an s á t đ o đ ạn, c th eo t ừng được ai công n g đ i ể m ( kh i t h i ết t b
ị đo đ ạn, c có động dày khác 0) và bài tốn ngược hồnc sẽ được hồnc giải mộngt cách dễn dàng hơnchânthànhvàsâun
nhờng Đại học Sư phạm; Ban chủ nhiệm khoa Tốn – Tin, Ban giámphươnchânthànhvàsâungphápbi ết nphân. Ngồirav ới i cáchđ ặt t bàitoánnhưởitrên,tach ỉ c
ầy n đo đạn,c ởi mộngt phầyn của tơi, được hồna biên là có thể xác đnh
ị được hồnc quy luậnt truyềun nhiệcngt
trênbiên,đâylà m ộng t đi ều u qu an t r ọc n g t r on g t h ựhướng c t ết .
Chúng tôi tiếtn hành nghiên cứu của tơi, được hồnu bài tốn (0.6) vớii quan sát (0.8) và quan
sát(0.7),nghiênc ứu của tơi, được hồn u bàitốn(0.5)v ới i quansát(0.8).Trongm ỗ i bàitốn,chú
ngtơi trình bày mộngt vài kếtt quả đã biếtt vều bài toán thuậnn (0.6), sử dụng
phươnchânthànhvàsâungphápb i ết n phânđ ể g i ả i bài tốn n g ư ợc hồn c v à c h ứu của tơi, được hồn n gm in h sựhướng t ồng n t ạn, i n g
h i ệcng m c ủa tơi, được hồn a bài tốn tối ưu hóa, cũng như đưa ra cơng thứu của tơi, được hồnc tính gradient của tơi, được hồna phiếtm
hàmcầync ựhướng c ti ể u hóa;ph ầy ncu ố i cùngtrongm ỗ i m ụ c,chúng tơidànhđểtrìn
hbàyvàth ả olu ận nv ều ph ươnchânthànhvàsâu ng ph áp sốđểgi ả icác bài toántr ên .


Phầyn thứu của tơi, được hồn hai của tơi, được hồna luậnn án dành cho bài tốn xác định nguồngn trong q
trìnhtruyềunnhiệcngt.Bàitốn nàyđược hồnc nhiềuunhàkhoa họcc nghiêncứu của tơi, được hồnu trong vịng
hơnchânthànhvàsâun


50 năm qua. Mặtc dù có khá nhiềuu kếtt quả vều tính tồngn tạn,i, duy nhấtt và đánh
giáổi và ý kiến đóng góp hữunđ ị nh chobài tốn,n h ư n g do tínhđ ặt t khơn gch ỉ nh vàcó thểph i tuyết
nc ủa tơi, được hồn a bàit o á n , n ê n t r o n g t h ờng Đại học Sư phạm; Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, Ban giám i g i a n g ầy n đ â y đ ã c ó r ất t n h i ều u n h à t o á n h ọc c
v à k ỹ s ư đã đặtt lạn,i vấtn đều nghiên cứu của tơi, được hồnu chúng. Để minh họca cho nhậnn đnh
ị này, chúng

tơixintríchdẫncủa n cácsáchchunkhả o [9],[33],[46],[47],[70]vàbàibáom ớii đây
[75] vều tổi và ý kiến đóng góp hữung quan của tơi, được hồna bài tốn. Để cho cụ thể, giả sửΩ⊂Rnlà miền
Lipschitz,giớiin ộng i v ới i b i ê n Γ .K ý h i ệcng u Q :=Ω×(0,T],v ới i T > 0v à b i ờ n S =
ì(0,T].Gis
aij,

i,j{1,2,...,n},bL (Q),

aij=aji,

i,j{1,2,...,n},
n
2n
a(x,t)
R
i,j=1

R,nij

0b (x,t)à 1,

2
R

,

n

ij

hyukhcptrongQ,u0L2(),
,L 2(S),
λvàΛlàcách ằng ng sốdươnchânthànhvàsâu ng vൠ1≥0 .
Xétb à i t o á n g i á t r ị b a n đ ầy u
n ∂
∂u Σ
−
∂xi
∂t i,j=
1

∂u
aij(x,t )

j

∂x

+b(x,t)u=F,(x,t)∈Q,
u|t=0=u0(x), x∈Ω,

vớiiđi ều u ki ệcng n biênRobin
∂
+σu|S=ϕtrên S ,
u
∂N
hoặtcđi ềuu ki ệcngn biênDirichlet
u|S=ψtrênS.
Ởđây,

n

∂u
∂N

S

Σ
| :=
i,j=
1

i(a( x,t)u)cos(ν,x)|,
x
i S
j
j

νlàvectơnchânthànhvàsâu p háptuy ết n ngoàiđ ố i v ới i Svàσ∈L ∞(S),đ ược hoàn c gi ả thi ết t làkhôngâm
h ầy u kh ắc p n ơnchânthànhvàsâu i trênS.


Bàitoánthu ận n làbàitoánxácđ ị nh ukhicách ệcng s ốc ủa tơi, được hồn a ph ươnchânthànhvàsâu ngtrình(2.7) v
àc á c d ững kết quả mới và chưa từng được ai công k i ệcng n u 0,ϕ(hoặtcψ )cũngn h ư F đ ã c h o [ 3 3 ] , [9 4 ],
[97 ].B à i t o á n n g ư ợc hồn c làbàitốnxácđnh
ị vếtphảiFkhi mộngt số điềuu kiệcngn bổi và ý kiến đóng góp hữu sung lên lờng Đại học Sư phạm; Ban chủ nhiệm khoa Tốn – Tin, Ban giámi
giảiuđược hồncchothêmvào.Phụthu ộng c vàoc ất u trúcc ủa tơi, được hồn a Fv à cácquansátbổi và ý kiến đóng góp hữusung
c ủa tơi, được hồn a u,tacócácbài to án n g ư ợc hoàn c k h á c n h aun h ư s au :
• Bàit o á n n g ư ợc hoàn c I P 1 : F (x,t)= f (x,t)h(x,t)+g(x,t),t ì m f (x,t),k h i u
được hồncchotrênQ[57],[96].

• IP2:F(x, t) =f(x)h(x, t) +g(x, t),hvàgđã biếtt. Tìmf(x), khiu(x, T)được
cho, [41], [43], [48], [49], [52], [78]. Các bài toán ngược tương
tự

chophươnchânthànhvàsâungtrìnhphituy ết n đ ược hồn c Gol’dmannghiênc ứu của tơi, được hồn u [25],[26],

[27].
• IP2a:F(x,t)=f(x)h(x,t)+g(x,t),hv à gđãbi ết t. Tìmf(x),n ết u
∫ω
∞
1(t)u(x,t)dxđượcbi ết t. Ởđây,ω 1thu ộngc L (0,T)vàkhơngâm.Ngồi
Ω) ∫Tω
ra,
(t)dt>0.Cácquansátd
ạn, ng nàyđ ược hoàn c g ọc i làquans át tích phân
1
0
vàchúnglàmởir ộng ng c ủa tơi, được hồn aquan sátt ạn, i th ờng Đại học Sư phạm; Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, Ban giám iđi ể m cu ố i Tt r o n g IP2,khiω 1
làx ất p x ỉ h à m δ t ạ i t =T.B à i t o á n n à y đ ư ợc hoàn c n g h i ê n c ứu của tôi, được hoàn u t r o n g [ 2 3 ] ,
[ 5 3 ] , [65],[66],[73],[74],[75],[92].
• IP3:F (x,t)=f(t)h(x,t)+g(x,t),h vàg đ ã c h o . T ì m f (t),n ết u u (x0,t)
được hoàncbi ếtt. Ởđây,x0làmộngt đi ểm thuộngc Ω[6],[7],[24],[71],[72].
• IP3a:F (x,t)=f(t)h(x,t)+g(x,t),hvàgđ ãch o. T ìm f(t),n ết u
∫ω
∫
∞
(x)u(x,t)dxđ
ư
ợ
c

b
i
ết
t
.
Ở
đ
â
y
,
ω
∈
L
(Ω)với
ω Ω)2(x)dx>0,[ 5 4 ] ,
2
2
Ω)
[64],[66].
• IP4:F(x,

t)

=f(x)h(x,

t)

+g(x,

t),hvàgđãcho.Tìmf(x)nếtu

mộngtđiềuukiệcngnbổi và ý kiến đóng góp hữusungởitrênbiêncủa tơi, được hồnauđược
biết.Vídụ,nhưkhiđiềuukiệcngnDirichlet đã cho, ta có thể lấty dững kết quả mới và chưa từng được ai cơng kiệcngn bổi và ý kiến đóng góp hữu sung là điềuu kiệcngn
Neumannđược hoànc cho trên mộngt phầyn của tơi, được hồnaS[8], [10], [11], [12], [15], [16], [22],
[95],

[98],[99].Bàitốnt ươnchânthànhvàsâu ngt ựhướng khi xácđ ị nh f(t)vớiF(x,t)=f(t)h(x,t)

+g(x,t)đượcđềuc ận p trong[42].
• IP5: Tìm nguồngn điểm vớii quan sát trên biên [2], [3], [19], [20], [21], [31],
[32],[33],[39], [40],[59, 60].Mộngt bàitoán liênquan được hoàncxét trong[44].


Ta để ý rằngng, trongc á c b à i t o á n n g ư ợc hoàn c I P 1 , I P 2 , I P 2 a đ ể x á c
đ ị n h f(x, t)vàf(x)taphảiđòi hỏilờng Đại học Sư phạm; Ban chủ nhiệm khoa Tốn – Tin, Ban giámi giảiu được hồncb i ết t t r ê n t o à n m i ều n v ận t l ý Ωđ i ều u n à y k h ó có thể thựhướngc hiệcngn được hoànctrong thựhướngc tết. Để khắcc phục khiếtm
khuyếtt

này,

chúngtơitiếtpcậnnđếtnbàitốn

ngược hồncnàytừng được ai cơng

mộngtquanđiểmkhác:đođạn,cutạimộngtsố điểm trong (hoặtc điểm biên)x1, x2, . . . ,
xN∈Ω(hoặtc

trên∂Ω)

và

từng được ai công

các

dững kết quả mới và chưa từng được ai côngkiệcngnn à y xácđịnhv ết p h ả i F .V ì c á c đođạn,cb a o giờng Đại học Sư phạm; Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, Ban giámc ũ n g phảil ất y t r u n g bìn
∫ ết p c ận nnàytacócác dững kết quả mới và chưa từng được ai công k i ệcng n sau:
h,nênv ới i cáchti
ωi(x)u(x,t)dx=hi(t),

liu=

hi∈ L 2(0,T),

i=1,2,...,N,

Ω)

∫
vớiiωi∈L ∞(Ω)và ω Ω)i(x)dx>0,i =1,2,...,N,l à c á ch à m tr ọc n g , c ò n N l à
sốcácđođ ạn, c.Đ ể ý rằngng,n ết uta đặt t
1 ,

nếtux∈Ω,

i
ωi(x) |Ωi|0,
nếtux/∈Ω i
=
vớii|Ωi|làthểtíchc ủa tơi, được hoàn a Ω im ộng t lânc ận n c ủa tơi, được hồn a x i.Khiđól iuchotak ết t qu ả đo đạn,ct ạn, i x iv à c ó t h ể h i ể u l à g i á
t r ị t r u n g b ì n h c ủa tơi, được hồn a u (xi,t)n ế u n h ư n ó t ồng n t ạn, i . Nếtut a c h o | Ωi|

t i ết n t ới i k h ơ n g , t h ì l iusẽh ộng i t ụ đ ết n u (xi,t)nếug i á t r ị n à y t ồng n tạn,i. Tuy nhiên, do lờng Đại học Sư phạm; Ban chủ nhiệm khoa Tốn – Tin, Ban giámi
giải

được hồnc

hiểu

theo

nghĩa

yếtu,

nên

khơng

phải

lúc

nàou(xi,t)c ũ n g c ó n g h ĩ a . D o v ận y , g i ả t h i ết t l iuc ó t h ể đ o đ ư ợc hoàn c l à c ó ý n g h ĩ
a t h ựhướng c tiễnn. Ngoài ra, rõ ràng rằngng, nếtu ta chỉ có các dững kết quả mới và chưa từng được ai cơng kiệcngn liu,thì ta sẽ khơng cótính duy
nhấttnghiệcngm của tơi, được hồna bàitốn,trừng được ai cơngtrường Đại học Sư phạm; Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, Ban giámnghợc hoànp khit a x á c đ ị n h f(t)trongIP3, IP3a
[6], [7], [71]. Bởii vậny, để có tính duy nhấtt, ta gi ả thi ếtt r ằngng, ta có
mộngtdựhướngđốnf∗củafgiảthiếttthường Đại học Sư phạm; Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, Ban giámngđặttrakhigiảicácbàitốnthựhướngct ết . T ó m lạn,ibàitốnng ược hoàn c trongcá
cti ết p cận nm ới i c ủa tơi, được hồnachúngtơinh ưsau:
Giảs ử t a đ o đ ư ợc hoàn c c á c d ững kết quả mới và chưa từng được ai công k i ệcng n l iu=h i(t),i= 1,2,...,N,v ớ i m ộng t sais
ố n à o đ ó v à m ộng t ư ới c l ư ợc hoàn n g f ∗củ a f đãđ ư ợc hoàn c b i ết t . X á c đ ị n h f .
Ta sẽ giải bài toán ngược hồnc này bằngng phươnchânthànhvàsâung pháp bình phươnchânthànhvàsâung tối thiểu:

cựhướngctiểuh óa p h i ết m h àm
J( f)=
γ

N
1 Σǁ

2

lu−hǁ2

i=
1

i

i L2(Ω)0,T)

γǁ
+ 2 f−f∗ǁ2,

∗