0140 tính chuẩn tắc của họ hàm phân hình một biến và bài toán duy nhất đối với đa thức vi phân luận văn tốt nghiệp

ĐẠIHỌCTHÁINGUN
TRƯỜNGĐẠIHỌCSƯPHẠM

NGUYỄNVĂNTHÌN

TÍNHCHUẨNTẮCCỦAHỌHÀMPHÂN
HÌNHMỘTBIẾNVÀBÀITỐNDUY
NHẤTĐỐIVỚIĐATHỨCVIPHÂN

TĨMTẮTLUẬNÁNTIẾNSĨTỐNHỌC

THÁINGUN-2016


Cơngtrìnhđượchồnthànhtại:
TrườngĐạihọcSưphạm -ĐạihọcTháiNgun

Ngườihướngdẫnkhoahọc:1 . PGS.TSKHTrầnVănTấn
2.PGS.TS.HàTrầnPhương

Phảnbiện1:GS.TSKHĐỗĐứcTháiPhảnbiệ
n2:PGS.TSKHTạThịHồiAn

LuậnánđãđượcbảovệtrướcHộiđồngchấm luậnáncấpcơsởhọptại:
ĐạihọcSưphạm–ĐạihọcTháiNgun
Vàohồi8giờ30ngày10t h á n g 7năm 2016


i

Mửclửc

MƯ u
1 Hồc h u â n t c c Ă c h m p h Ơ n h ẳ n h

1
11

1.1 LỵthuyátNevanlinnachoh mphƠnhẳnh.........................................11
1.2 HồchuântccừacĂch mphƠnhẳnh.....................................................12

2 MởtsốnhlỵkiuLappanchoh m-chuântcv hồchuântc 18
2.1 H mphƠnhẳnh- chuântc....................................................................18
2.2 nhlỵkiuLappanchohồchuântc..................................................20

3 SỹduynhĐtcừacĂch mphƠnhẳnhvợiathựcÔoh m
v q- saiphƠnchungnhaumởth mnhọ

24

3.1 SỹduynhĐtcừacĂch mphƠnhẳnhvợia thựcÔ o h m
chungnhaumởth mnhọ.......................................................................24
3.2 SỹduynhĐtcừacĂch mphƠnhẳnhvợiathựcq- sai
phƠnchungnhaumởth mnhọ.............................................................27

Kátluênv à ngh

30


1

MƯu
1. LỵdochồnÃt i
ữủc hẳnh th nh tứ nhỳng nômƯ u c õ a t h ¸ k X X , v ợ i
n g u ỗ n g ố c tø nhúng cỉng tr¼nh cõa J. Hadamard, E.
Picard,
E.
Borel
v °c
bi»tcỉngt r ¼ n h n « m 1 9 2 5 c õ a R . N e v a n l i n n a , L ỵ t h u y ¸ t N e v a n l i n
n a l u æ n t h u hútữủcsỹquantƠmcừanhiÃunh toĂnhồctrongv ngo inữợc,
ng yc ngÔtữ ủ c n h i · u k ¸ t q u £ s ¥ u s c v c â n h i à u ự n g
dửng
trong
mởt
s ố lắnhvỹckhĂcnhaucừatoĂnhồcnhữhẳnhhồcphực,lỵthuyátsố.
CốtlóicừaLỵthuyátNevanlinnachừyáunơmhaidÔng n h lỵ,
ữủcgồil cĂc n h lỵcỡbÊnthựnhĐtv thựhai.Sỹkáthủpcừahai
nh lỵ n y cho ta thỉng tin v· sü ph¥n bè gi¡ trà cõa c¡c h m (Ănh
xÔ)phƠn hẳnh. Mội th nh tỹuÔ t ữ ñ c v · c ¡ c à n h l ỵ
n y
th ữớn g
k o
t h e o cĂcựngdửngtrongviằcnghiảncựuh m(ĂnhxÔ)phƠnhẳnh.N
gữủclÔi
giÊi quyát nhiÃu b i toĂn và h m (Ănh xÔ) phƠn hẳnh, ta cụng cƯn
xƠydỹng nhỳng dÔng n h l ỵ c ỡ b Ê n t ữ ì n g t h ½ c h . T r o n g
t h ü c t ¸ â , c h ó n g tỉic h å n · t i T ½ n h c h u â n t c

cừa hồ h m phƠn hẳnh mởt biánv bi
toĂn duy nhĐtối vợia thực vi phƠn n g h i ¶ n c ù u

h a i ựngdửngtiảubiuv à p cừaLỵthuyátNevanlinna. giÊiqu
yát
ữủc cĂc vĐnà trong luên Ăn, nhữ bẳnh luên trản, khổng
ch khaithĂc sỷ dửng cĂc kát quÊÂ biát cừa Lỵ thuyát Nevanlinna,
chúng


2

tổiphÊithiátlêpnhỳngdÔngnhlỵcỡbÊnthựhaiphũhủpvợitẳnhhuốngcừab i
toĂna n g tra.
SauƠychúngtổià cêpchitiáthỡnvÃbốicÊnhnÊysinhtứngvĐn
Ã.
VĐnà nghiảncựuvÃhồchuântcữ ủ c khinguỗntứnhỳngnôm


Ưu cừa thá kXX bơng cĂc cổng trẳnh cừa P. Montel, G. Julia,
P.Fatou. Nôm 1912, P. Montelữa ra khĂi niằm hồ chuân tc: Mởt
hồFcĂc h m phƠn hẳnh trản miÃnDCữủc gồi l chuân tc náu vợi mồidÂy{fn}
Fluổn
chựa
mởt
dÂy
con{fnk}hởi
tửÃu trản mội têp
concompactcừaDt h e o khoÊngcĂchcƯutợih mphƠnhẳnhfh o c .
Nôm 1931,F.Martyữ a ratiảuchuân quantrồngnhênbiáthồchuân
tc:MởthồFcĂch mphƠnhẳnhftrảnmởtmiÃnDCl chuântcnáuv
chnáutrảnmộitêpconcompactKc ừ a D,Ô o h mcƯu
|f(z)| cừafb chnbimởthơngsố C(K)p h ử thuởc K

#
f (z)=
1+|f(z)|
2

nhữngkhổngph ửthu ởcv o f .
Nguyản lỵ Bloch nõi rơng: Mội n h l ỵ k i u P i c a r d ( t i ¶ u
c h u © n c h o mët h m l hơng)Ãu tữỡng ựng vợi mởt tiảu chuân hồ
chuân tc. Nhơmtrin khai nguyản lỵ Bloch, nôm 1975, L. Zalcmanữa
ra kát quÊ chuynsỹkimtramởthồchuântcvÃviằcchrasỹkhổngtỗntÔicĂcdÂyconnhiạuhởitửÃu
trản cĂc têp con compact tợi mởt h m khĂc hơng. Nôm1998,ổngxemxt
lÔi vĐnà trản v Ôt ữủc kát quÊ quan trồng sau:Cho hồ FcĂc h m
phƠnhẳnhxĂc nh trản ắaỡn vàUsao cho måikhængi º m c õ a c ¡ c
h m
trong
h ồ Fcõ bởiẵtnhĐtpv
mồi cỹci m cõ
bởiẵtnhĐtq.Chol số thỹc thọa mÂnp < < q.Khiõ hồFkhổng
chuân tc tÔiz0Un ¸ u v c h ¿ n ¸ u t ỗ n t Ô i s ố t h ỹ c 0< r< 1,d¢y iºmzn:|zn|<
rv zn→z0,d¢y h mfn∈Fv d¢y sè thỹcdữỡngn0+sao chogn()
=fn(zn+n)hởi tửÃutheo khoÊng cĂchcƯu trản mội têp con
compact cừaCáng(),trong nõgl h m phƠnhẳnhkhĂchơngtrảnC,mồi khổngim
v cỹci m c ừ a gc â b ë i t ÷ ì n g ựngẵtnhĐt pv q.Hỡn nỳag#()g#(0)=1.

KátquÊtrảnthữớngữ ủ c gồil BờÃ Zalcman. ỵrơng,khiphừ
nh kát luên trong BờÃ Zalcman, ta thuữủc h m hởi tửgl
hơng.Trong khiõ mởt trong nhỳng ựng dửngàp cừa Lỵ thuyát
Nevan-linnal nõchotatiảuchuânkimtramởth ml
hơng,chnghÔntứ n h lỵcỡbÊnthựnhĐtv n h lỵcỡbÊnthựhai,tadạd
ngnhên

lÔinhlỵPicardb:Mởth mphƠnhẳnhtrảnmtphngphựcl h mhơngnáunõk
hổngnhênbagiĂtrphƠnbiằt.Nhữvêy, BờÃ Zalcmanl cƯu nối quan trồng
thuêntiằnchoviằcsỷdửngLỵthuyátNevanlinnav onghiảncựuLỵthuyáthồchuântc.
Theo quanim nảu trản cừa Bloch, nh lỵ Picard b ựng vợi
tiảuchuânchuântcsaucừaMontel:MởthồFcĂc h
mphƠnhẳnhtrảnmiÃnDl chuân tc náu mội h m trong hồ bọ qua ba
giĂ tr phƠn biằtchotrữợcn oõ .
Nhơm l m gi£m sè gi¡ trà m h m bä qua trongnh lỵ Picard
b,nôm 1959, W. Hayman c h ự n g m i n h m ë t à n h l ỵ k i u
P i c a r d c h o h m v Ôo h m: Mởt h m phƠn hẳnhfl h m hơng
náufkhổngƠu triằttiảu v f(k)khỉng nhªn gi¡ trà1,trongâ kl s è n g u y ả n d ữ ỡ n g
c h o trữợc. Dỹa theo nguyản lỵ Bloch, W. HaymanÂữa ra giÊ thuyát
vÃtẵnh chuân tc cừa hồ cĂc h m phƠn hẳnh tữỡng ựng vợi n h l ỵ
t r ả n . Kát hủp tiảu chuân Marty v Lỵ thuyát Nevanlinna, D.
DrasinÂ
trÊlớigiÊthuyátn ytrong trữớnghủphồcĂch mchnhhẳnh.Sau õ
, Y.
X. Gu trÊ lới giÊ thuyát cừa Hayman nhữ sau: Cho kl số
nguyảndữỡng, mởt hồFcĂc h m phƠn hẳnhftrản miÃnDtrong mt
phngphực, khổngƠ u t r i » t t i ¶ u s ³ c h u â n t c n á u f(k)/ =
1( Ôo h m cĐpkcừafk h ổ n g nhêngiĂtr1)vợimồif F.
Chúỵ rơng trong kátquÊ cừa Gu, h m cƯntrĂnh tỵi hai gi¡ trà(méi
fv f(k)tr¡nh mët gi¡ trà). Trong mët sỹ cố gng nhơm giÊm
sốimxuốngmởt,nôm1989,W.SchwickÔ t ữ ủ c kátquÊtữỡngtỹm

õ
iÃu kiằn trản vÃÔ o h m ữ ủ c t h a y t h ¸ b ð i (fn)(k)/ =
1,v ợ i n, kl sốtỹ nhiản cho trữợc thọa mÂnnk+ 3.Trong trữớng hủp hồ cĂc

h mchnh hẳnh, Schwick chựng minhi · u k i » n n≥ k + 3 c â t h º
g i £ m t h n h nk+ 1.Nôm 2010, J. M. Chang cụng tờng quĂt kát quÊ
cừa
Guv nhênữủckátquÊ:Hồ Fc Ă c h mphƠnhẳnhkhổngcõkhổngi m t
rảnmiÃnDs chuân tc náuf(k)1cõ nhiÃu nhĐtkkhổngi m p h Ơ n
b i ằ t vợi mộifF, trongõkl số nguyản dữỡng. NhiÃu cổng trẳnh cừa
cĂctĂcgiÊkhĂcnhữX.C.Pangv L.Zalcman,M.L.Fangv L.Zalcman,


P.C.Huv D.W.Meng,L.Yang,W.Bergweilerv J.K.Langleycụng
Ân g hiản cự ut i ảu ch u© nch o hå c hu ©nt c c¡ ch
m p hƠ n h ẳnh dữ ợ i iÃukiằnkhổngi m cừacĂcathựcÔ o h mcửth.
TrongbốicÊnhnhữvêy,chúngtổi t ravĐnà thựnhĐttrongluên
Ănl :Nghiảncựutiảuchuânchohồchuântcựngvợii à u kiằntrản
at h ự c Ô o h m t ê n g q u ¡ t . V§n ·n yữ ủ c giÊiquyáttrongChữỡn
g1cừaluênĂn.
Liản quan cht ch tợi khĂi niằm hồ chuân tc l khĂi niằm h m
chuântc, nõữủc btƯu nghiản cựu tứ cĂc cổng trẳnh cừa K. Noshiro,
O.Lehto v K. L. Virtanen. Mởt h m phƠn hẳnhft r ả n ắ a ỡ n
v Uữ ủ c gồi l chuân tc náuhồ{f : T } c h u â n t c
t r ả n U,t r o n g õ Tl têptĐtcÊcĂcĂnhxÔbÊogiĂccừa Uv o chẵnhn
õ.Lehtov Virtanenchrarơng:H mphƠnhẳnh ftrản ắaỡ n v UCl chuân
tckhiv chkhi sup zU(1|z|2)f# (z)<.Kẵhiằu N l têpcĂch
mphƠnhẳnhchuântctrản U. V Ã ỵnghắahẳnhhồc,vợimởth m
|z w|,
trong
chuântcf,taluổncõ(f(z),f(w))||f||N
su
p

[z,w]

1 ||2

õ||f||N= supzU(1|z|2)f# (z).
QuansĂtkátquÊtrảncừaL ehtov Virtanen,C.Pommerenke Â
ữa ra cƠu họi: Cho số thỹc M>0,liằu cõ tỗn tÔi têpEhỳu hÔn saocho vợi
mội h m phƠn hẳnhftrản ắa ỡn vUthọa mÂn iÃu kiằn(1|z|
2 #
)f (z)Mvợimồiz f1(E)thẳ fl h mchuântc?Nôm1974,P . L a p p a n
¢t r £ l í i m ¤ n h m ³ c h o c ¥ u h ä i t r ¶ n , ỉ n g c h r a t ỗ n t Ô i têpECgỗm5i
m phƠnbiằt.
Nôm1995,A.Hinkkanenv P.LappanÂở c lêpchựngminhkát
quÊtữỡngtỹchohồchuântc:Mởthồ F c Ă c h
mphƠnhẳnhtrảnmiÃn D Cl c h u â n t c k h i v c h ¿ k h i v ợ i m ộ i
t ê p c o m p a c t K D,tỗntÔi têp conECchựa5im phƠn biằt v hơng
số dữỡngMsao chosup{f#(z):fF,zf1(E)K}VĐnà nghiảncựuchẵnhthựhaitrongluênĂnl :Thiátl êp c Ăc d Ô ng
nhlỵLappanchotrữớnghủpẵthỡn 5i m . VĐnà n đ c
gi£i


quyáttrongChữỡng2cừaluênĂn.
ViằcnghiảncựusỹxĂcnhduynhĐth mphƠnhẳnhdữợii à u kiằnvÃ
nghch Ênh cừa mởt têp hủpimữủc khi nguỗn tứ cổng trẳnh
cừaNevanlinnanôm1926,ổngchựngminhrơng:Náuhaih mphƠnhẳnhtr
ản mt phng phực cõ cũng Ênh ngữủc khổng tẵnh bởi cừa 5
imphƠn biằt thẳ chúng trũng nhau v chúng l biu diạn phƠn tuyán
tẵnhcừanhaunáucõcũngÊnhngữủctẵnhcÊbởicừa4i m phƠnbiằt.
Ktứ õ, vĐnÃn y thu hút ữủc sỹ quan tƠm cừa nhiÃu nh toĂn

hồctrong v ngo i nữợc nhữ: H. H. KhoĂi, D. D. ThĂi, T. V. TĐn, T. T.
H.An,H.T.Phữỡng,S.. Quang,V.H.An,G.Gundersen,C.C.Yang,
M.Shirosaki,S.Mori.
Khi xt b i toĂn duy nhĐt h m phƠn hẳnh dữợii à u k i ằ n n g h c h
Ê n h cừaa thựcÔo h m dÔngf n f ,nôm 1997, C. C. Yang v X. H.
Huachựngminhrơng:Náuhaih mphƠnhẳnh fv gk h Ă c hơngsaochocĂc
a thựcÔ o h m f n f 1v gng1cõ cũng khỉngi º m t ½ n h c £ b ở i
( v ợ i nnguyản
dữỡng
n oõ,n11)thẳf=c1eczv g=c2eczhocf=tg,trongõcĂc hơng sốc1, c2,
cv tthọa mÂn4(c1c2)n+1c2=1, tn+1= 1.K tứƠy, nhiÃu nh toĂn hồc
Âthuữủc
cĂc
kát
quÊ
theo
hữợngnghiảncựun ychocĂcdÔnga thựcÔ o h mkhĂcnhau:K.Boussaf,
A. Escassut v J. Ojeda, R. S. Dyavanal, J. Grahl v S. Nevo, C. C.
Yangv H . X . Y i , M . L . F a n g , . ...C h ú ỵ r ¬ n g k h i x ² t n h ỳ n g d Ô n g a t h
ực
Ôo h m khĂc nhau, cĂc tĂc gi cụng t h i á t l ê p ữ ủ c c ¡ c
k i º u à n h l ỵ cỡbÊnthựhaitữỡngthẵch.
Nôm2007,LỵthuyátNevanlinna ữ ủ c nghiảncựuchotoĂntỷq
- saip h Ơ n t r o n g c æ n g t r ¼ n h c õ a R . G . H a l b u r d v c ¡ c c ë n g s ü . K t ứ
õ,viằcnghiảncựuựngdửngcừaLỵthuyátNevanlinnachotoĂntỷ q
- saiphƠn
ÂthuhútữủcsỹquantƠmcừanhiÃunh toĂnhồctrảnthágiợinhữJ.Zha
ngv R.K orhonen, A.Fletc her, J.K .Langley v
J.Meyer,T.B.Cao,K.Liuv N.Xu,K.Liuv X.Qi.Hiằnnay,cĂcnghiản cựu theo
hữợng n y têp trung v o cĂc vĐnÃ:

sỹ
duy
nhĐt
cừacĂch mphƠnhẳnhkáthủpvợia thựcq- saiphƠn,phƠnbốgiĂtrcừa


athực q -saiphƠn,phữỡngtrẳnh q saiphƠn.VÃvĐnà phƠnbốgiĂtrcừaa thực q saiphƠn,nôm2010,J.Zhangv R.KorhonenchựngminhmởtkátquÊphƠnb
ốgiĂtrkiuHaymanchoa thựcqn
saiphƠndÔngf (z)f(qz)ỗngt h ớ i c Ă c ổ n g c ô n g c h ù n g m i n h k ¸ t q u £ d u
y n h Đ t kiuYang-Huachoa thực q saiphƠn:Cho f(z)v g(z)l haih mphƠnhẳnh(nguyản)siảuviằtvợibêck
hổng.GiÊsỷrơng q l hơngsốphựckhĂckhổngv nl mởtsốnguyảndữỡ
ngthọamÂnn 8 ( n 6 ).Náufn(z)f(qz)1v gn(z)g(qz)
1cõcũngsốkhổngimvcỹcimkcÊbởithẳft g,trongõ t lhơngsốthọ
amÂn t n+1=1.Nôm2015,Q.Zhaov J.Zhangchựngminhrơng:
(fn(z)f(qz+c))(k)
1c õ vổhÔnkhổngi m náu f(z)l h mphƠnhẳnhsiảuviằtvợibêckh
ổng,trongõ q /
=0,cl c ¡ c s è p h ù c v n , kl c ¡ c s è n g u y ả n d ữ ỡ n g t h ä a m
¢nn > k +5.Hìnnúa,Q.Zhaov J.Zhangcơngchùngminhà n h lỵduynh
Đttữỡngựng:Náu haih mnguyảnsiảuviằt f(z)vg(z)vợibêckhổngth
ọamÂn (fn(z)f(qz+c))(k)1v (gn(z)g(qz+c))(k)
1cõ cũngsốkhổngimkcÊbởithẳftg, t ro ng õ q/
=0 ,cl cĂcsốphực, n,klcĂcsốnguyảndữỡngvtl hơngsốthọam
Ântn+1=1,n>2k+5.

VĐnà n g h i ¶ n c ù u t h ù b a t r o n g l u ª n ¡ n
l : Mðr ë n g k ¸ t q u £ c õ a Z h a o v Zhang khi thayf n bi mởta
thựcP(f).VĐnÃ
n yữ ủ c
giÊi

q u y á t trongChữỡng3cừaluênĂn.

2. Mửcẵ c h cừaà t iluênĂn

2.1.
Mửcẵ c h t h ự n h Đ t c õ a · t i l u ª n Ă n l
t h i á t l ê p t i ả u c h u â n c h u â n tc cho hồ cĂc
h m phƠn hẳnhối vợi trữớng hủpa
thựcÔo
h m
t ờ n g quĂt,thayvẳcĂca thựcÔ o h mcửthnhữcĂctĂcgiÊitrữợc.
2.2.
Mửcẵ c h t h ự hai cừaà t i luênĂn l thiát lêptiảu chuânchuân
tc cho h m phƠn hẳnh v cho hồ cĂc h m phƠn hẳnh dữợiiÃu
kiằnÔoh m cƯubchntrảntêptÔo ÊnhcừamởtsốgiĂtr.
2.3.
Mửcẵ c h thựbacừaà t iluênĂnl nghiảncựub ito¡nx¡cà n h


duy nhĐt h m phƠn hẳnh dữợii à u k i » n £ n h n g ÷ đ c
c ừ a a t h ự c Ô o h m v q- sai ph¥n, ph¥n bè gi¡ trà cừa a thựcq- sai phƠn kát
hủp vợiÔoh m.


3. ốitữủngv phÔmvinghiảncựu
Hồc h u â n t c c õ a c ¡ c h m p h ¥ n h ¼ n h , h m p h Ơ n h ẳ n h c h u â n t c , b i to¡n duy nh§t h m phƠn hẳnh vợia t h ự c Ô o h m v q- sai phƠn,
phƠnbốgiĂtrcừaathựcq- saiphƠnkáthủpÔ o h m.

4. PhữỡngphĂpv cổngcửnghiảncựu

Luên Ăn sỷ dửng cĂc phữỡng phĂp v k thuêt cừa GiÊi tẵch phực
mởtbián,LỵthuyátNevanlinna.

5. ịnghắakhoahồc

Luên Ăn gõp phƯn l m sƠu sc thảm nhỳng nghiản cựu và ựng dửngcừa
Lỵ thuyát Nevanlinna trong cĂc b i toĂn và hồ chuân tc, h m chuântc,b itoĂnduynhĐth mphƠnhẳnhv phƠnbốgiĂtrcừaathực
Ôo h m.

6. CĐutrúcv kátquÊluênĂn

Ngo i cĂc phƯn mƯu, kát luên, t i liằu tham khÊo, Luên
Ănữủcchial mbachữỡngtữỡngựngvợibavĐnà nghiảncựuchẵnh:
Chữỡng 1 d nh cho viằc nghiản cựu tiảu chuân chuân tc cho hồ
cĂch m phƠn hẳnh dữợiiÃu kiằn và têp khổngi m c ừ a a t h ự c Ô o
h m . Trong chữỡng n y, chúng tổi nghiản cựu hồ chuân tc theo
quani º m cõa Bloch. Bê· Zalcmanâ n g v a i t r á q u a n t r å n g
t r o n g c ¡ c k ¸ t q u £ cõa chóng tổi. chựng minh cĂc kát quÊ
cừa mẳnh, mởt mt chúngtổi thiát lêp cĂcnh lỵ kiu Picard, mt khĂc
chúng tổi phÊi sỷ lỵ khõkhôn gp phÊi trong viằc Ăp dửng BờÃ
Za lcman
trong
tẳnh
h u ố n g n h lỵ kiu
Picard cừa chúng tổi khổng cho tiảu chuân h m hơng.nh lỵ1.8,nh
lỵ 1.10 v nh lỵ 1.12 l cĂc tiảu chuân cho hồ chuân tc
cừacĂch mphƠnhẳnh,chnhhẳnhdữợii à u kiằnkhổngi m cừaa th
ực
Ôo h m tờng quĂt. Trong n h l þ 1 . 8 , c h o q= 1 v l1=
+ ,chúngtổi nhên ữủc Hằ quÊ 1.9. Khi n= 0,k= 1,Hằ quÊ 1.9

nhên
lÔi
kátquÊcừaSchwickchohồcĂch mphƠnhẳnh.Trongnhlỵ1.10,c
ho q= 1 v l1= + ,c h ú n g tổinhênữ ủ c HằquÊ1.11.HằquÊ1.11v
nhlỵ1.12l tờng qu ĂtkátquÊcừa Schwick chohồcĂ ch mn gu yản.
Nhữvêynhlỵ1.8,nhlỵ1.10v nhlỵ1.12l nhỳngmrởng


thỹcsỹcĂckátquÊcừaW.Schwicknôm1989.Tiáptheol nhlỵ
1.19và h ồ c h u â n tc c õ a c ¡ c h
m p h ¥ n h ¼ n h kh ỉ n g c â k h æ n g i º m . C h o n= 0, k= 1, n1= 1 , uI(z) =
0vợi
mồiI, khiõ n h
lỵ
1.19
nhên
l Ô i mởtkátquÊcừaJ.M.Chang.
NởidungChữỡng1ữ ủ c cổngbốtrongcĂccổngtrẳnh[1,2].Chữỡ
ng2nghiảncựuh mphƠnhẳnhchuântctheoquanimcừa
Lappan. Cử th, chúng tổi thiát lêp cĂc nh lỵ kiu Lappan cho
h mchuântcvợisối m ẵthỡnnôm.
Nôm2011,R.Aulaskariv J.Rattya ữ a rakhĂiniằmh mchuântcnhữsau:Choh mtông: [ 0 ,1) (0,)t họ a mÂn(r)(1
(|a+z/(|a|)|) hởitửÃ u trản
r) khir 1 v Ra
(z)=

(|a|)

mộitêpconcompactcừaCá n 1khi |a|1(tagồil h mtông
trỡn).Mởth mphƠnhẳnhft r ả n ắ a ỡ n vUữ ủ c gồil - chuân

#
tc náu sup f (z) < + . Kẵhiằu l
N têpcĂch mphƠnhẳnh
z (|z|)

U

- chuântctrảnU.V Ã mthẳnhhồc,vợimởth m- chuântc
f,taluổncõ (f(z),f(w))||f||Nsup[z,w](||)|z w|,trongõ
f#(z)
.
||f||N=supzU
(|z|)
KhĂi niằm- chuântc nhữtrản khổng baoh m khĂiniằmchuân
tc. Trong Chữỡng 2, chóng tỉi mð rëng kh¡i ni»m h mϕ- chu©n t-

cnâi trản tợi mởt lợp cĂc h m- chuân tc rởng hỡn v trong
trữớnghủpcbiằtcừa,chúng tổinhênlÔikhĂiniằmh mchuântcthổngthữớng. Sau õ, chúng tổi thiát lêp cĂc nh lỵ kiu Lappan cho cĂctrữớng hủp m
têpEc h ù a 1,3v 4i º m . à n h
lỵ
2.5
v nh
lỵ
2 . 6 l cĂcnhlỵkiuLappanchoh m- chuântcvợibaim,bốnim.
1,

Khichồn(|z|)= c h ú n g tổinhênữ ủ c cĂcHằquÊ2.7v 2.8
1|z|
choh m c h u © n t c t h e o n g h ¾ a t h ỉ n g t h ữ ớ n g .
ốivợihồchuântc,chúngtổithiátlêp n h lỵ2.9, n h lỵ2.10,

nhlỵ2.11v n h lỵ2.12,chúngl cĂckátquÊkiuLappanvợimởt,b
av bốni m . n h lỵ2.10v n h lỵ2.12ỗ n g thíitêngqu¡tti¶u


chuânchuântccừaMontel.
CĂc n h l ỵ k i u L a p p a n c h o c ¡ c t r ÷ í n g h đ p 3
v
4 i º m ÷ đ c t h i á t lêp dỹa trảni à u
k i ằ n
b
c h n
c ừ a Ôo h m cƯu cừa cĂc h mang
x t v nh lỵ cỡ bÊn thự hai cừa Nevanlinnaõng vai trỏ quan trồng
trongchựngminh(lữuỵrơng sỷdửng n h lỵn y,chúngtacƯnẵtnhĐt3
im).nh lỵ kiu Lappan cho trữớng hủp cõúng 1i m ữ ủ c
d ỹ a trảniÃu kiằn b chn cừaÔo h m cƯu cừa mởta thựcÔo
h m. chựng minh kát quÊ n y, chúng tổi cƯn sỷ dửng mởt dÔng
nh lỵ cỡbÊn thự hai kiu Hayman cho h m v Ôo h m. Kát quÊ kiu
Lappanvợiúng 1i º m ÷ đ c p h ¡ t b i º u n h ÷ s a u : V ỵ i c ¡ c
s è n g u y ả n d ữ ỡ n g n, kthọa mÂnn > k+ 3 +2,hồFcĂc h m phƠn hẳnhftrản
k
miÃnD,mồikhổngi m cừafc õ bởikhổngbhỡnks chuântcnáuvợimộitêp
compactKD,tỗn
tÔiaC\
{0}v
hơng
số
dữỡngM=M(K)saocho(fn f (k))#(z)M,vợimồifFv mồizK{fn f(
k)
=a}.Mëti·u thó và l m°c dị÷ đ c n h ¼ n n h ª n t h e o m ở t

h ữ ợ n g k h Ă c , k á t quÊ trảnỗng thới m rởng kát quÊ cừa PangZalcman tợi trữớng hủpf n f (k)ac õ khổngim.
NởidungChữỡng2ữủccổngbốtrongcổngtrẳnh[3].
ChữỡngcuốicũngcừaluênĂntêptrungv oviằcnghiảncựub itoĂnxĂc nh
duy nhĐt h m phƠn hẳnh dữợiiÃu kiằn và Ênh ngữủc cừaathựcÔo h m v a
thựcq- sai phƠn, phƠn bố giĂ tr cừaa thựcÔoh mkáthủpvợiqsaiphƠn.
Ưu tiản, chúng tổi nghiản cựu b i toĂn xĂcnh duy nhĐt h m
phƠnhẳnhd ữ ợ i i à u k i » n £ n h n g ÷ đ c c ừ a a t h ự c Ô o h m [f n P(f)]
(k)

,trong
õP(z)l a thựccõdÔng
P(z)=(zb1)m1. ..(zbv)mvQ(z),
v,mi,i=1,...,vl cĂcsốnguyảndữỡngv Q(z)l mởta thực.

Tiáp theo, chúng tổi nghiản cựu ựng dửng cừa Lỵ thuyát
Nevanlinnacho toĂn tỷq- sai phƠn trong cĂc b i toĂn: xĂcnh duy nhĐt h m
phƠnhẳnhdữợiiÃukiằnÊnhngữủccừaathựcÔoh mkáthủpvợiq- sai


phƠn dÔng[P(f(z))f(qz+c)](k),phƠn bố giĂ tr kiu Hayman choathựcÔ o
h m
kát
h ủ p qsai
phƠn
d Ô n g [P(f(z))f(qz+ c)]
(k )
,t r o n g õ P(f)l athựckhĂchơngv q/ =0,c l cĂchơngsốphực.
KátquÊƯ u tiảncừachữỡngn yl n h lỵ3.10vÃsỹduynhĐtcừa
cĂc h m phƠn hẳnh vợia t h ự c Ô o h m c h u n g n h a u m ë t
h m n h ä . C ¡ c kát quÊ tiáp theo cừa Chữỡng 3 l nh lỵ 3.14

v nh
lỵ
3.14
vÃ
phƠnbốgiĂtrcừaa thực qsaiphƠnv Ô o h mcừacĂch mphƠnhẳnh,
nh lỵ 3.16 và sỹ duy nhĐt cừa cĂc h m phƠn hẳnh vợia thựcq- saiphƠn
v Ôo h m chung nhau mởt h m nhọ. Trongnh
l ỵ 3 . 1 4 , k h i m= 1, n2k+ 6,chúng tổi nhên lÔi kát quÊ cừa
Zhao
v
Zhang.
Khim= 1 ,n 5 , n h lỵ3.15l cÊitiánmởtkátquÊcừaZhaov Zhan
g.
nhlỵ3.16l mởtmrởngkátquÊduynhĐtchoa thựcÔ o h mkát
hủpq-saiphƠncừaZhaov Zhang.
NởidungcừaChữỡng3ữủccổngbốtrongcổngtrẳnh[4].
Kát quÊ nghiản cùu cõa luªn ¡nâ n g g â p m ë t p h ¦ n v o · t i
n g h i ả n cựu cỡ bÊn NafostedLỵ thuyát Nevanlinna v hồ chuân tc
cĂc Ănh xÔphƠn hẳnh cừa PGS. TSKH TrƯn Vôn TĐn v à t i cĐp Ôi
hồc HồchuântccừacĂch mphƠnhẳnhv ựngdửngcừatĂcgiÊ.CĂckátquÊcừa
luên Ănữủc bĂo cĂo tÔi hởi ngh:Ôi số - tổpổ - hẳnh hồc, QuÊngNinh
2015, Seminar GiÊi tẵch -Ôi hồc Sữ phÔm ThĂi Nguyản 2012 2016,SeminarnhõmnghiảncựutÔiViằnToĂnhồc.


Chữỡng1

HồchuântccĂch mphƠnhẳnh
1.1 Lỵ thuyát Nevanlinna cho h m phƠn hẳnh
Chol mởtdivisortrản C.H m ám cừadivisorữ ủ c nhnghắabi
r

N(r,)=
1

n(t
) dt(r>1),t r o n g â n (t)=
t

zΣD(0,t
)

ν(z).

∈

Chofl mët h m ph¥n hẳnh khĂc hơng trảnC.Ta kẵ hiằufl
divisorcỹcimcừafv divisorfữủcnh
nghắa
bif(z)
=
min{f(z),1}.H mámtÔi cĂc cỹcim v cỹcimkhổng k bởi
cừafữủc nhnghắa bi
N(r,f)=N(r,f)vN(r,f)=N(r,f).
Choal mởtsốphực,khiõ divisor a- i m cừa fữ ủ c n h nghắabi
a
fa= 1/(fa).Divisor aữ ủ
f c n h nghắabi =f 1/(fa).H má m
tÔicĂc a- imv a- imkhổngkbởicừa fữ ủ c nhnghắatữỡngựngbi
1
)=N(r, a ).
1

N(r,
)=N(r, a ) v N(r,
f
f
fa
fa
H mxĐpx cừa fữ ủ c n h nghắabi
2
.
.
1
log+. f(rei).d
m(r,f)=
2
0 ,


trongõ log+x=max{logx , 0}vợimồix 0.
H m c trững cừa fữủc n h nghắabi
T(r,f)=m(r,f)+N(r,f).

BờÃ1.1.(BờÃ Ô o h mlogarithmic)Chof l h
m ph Ơ nh ẳ nh khĂchơngtrản C v kl sốnguyảndữỡng.Kh
iõ n g thực
f(k) )=o(T(r,f))
m(r,
f

úngvợimồi r[1,)n g o i mởttêpcõở o LebesguehỳuhÔn.
nhlỵ1.2. (nhlỵcỡbÊnthựnhĐt )Cho f l h m p h Ơ n h ẳ n h

trảnCv al mởtsốphực.Khiõ
1
T(r, fa )=T(r,f)+O(1).

nhlỵ1.3.(nhlỵcỡbÊnthựhai)Chof l h
mphƠnhẳnhkhĂchơngt r ¶ n C .C h o a 1,...,aql q s è p hù c p h ¥ n
b i » t t ro ng C .K hi â
(q−1)T(r,f)≤N(r,f)+

q
ΣN
i=
1

(r,

1
f−ai

)+S(r,f),

óngvỵimåi r∈[1,∞)ngo imởttêpcõở o LebesguehỳuhÔn,tron
g
õS(r,f) =o(T(r,f))khi r.

1.2 Hồc h u â n t c c õ a c ¡ c h m p h Ơ n h ẳ n h
1.2.1.Tiảuchuân chuân tcối vợi hồcĂc h m phƠnhẳnhdữợi
iÃukiằnkhổngimcừaa thựcÔ o h m
Trong phƯn n y chúng tổi trẳnh b y cĂc kát quÊữ ñ c c æ n g b è
t r o n g [1]. Mưc ½ch cõa chóng tỉi l chùng minh mởt số tiảu chuân

chuân tccho hồ cĂc h m phƠn hẳnh trong trữớng hủpa thực Ôo
h m dÔngtờng quĂt. M rởng kát quÊ cừa Schwick, chúng
tổiÔtữủc kát quÊnhữsau.


nhlỵ1.8Choq ( q 1)g i Ă t r p h ù c p h ¥ n b i » t k h ¡ c k h æ n g a
,...,aqv qsố nguyản dữỡng(hoc+)l1,. . . ,lq.Chonl mởt số
nguyảnkhổng Ơmv chon1,. . . ,nk, t1,. . . ,tkl cĂcsố nguyản
dữỡng(k1).ChoFl mởt hồcĂch m phƠn hẳnhxĂcnh
trản
miÃnDtrong
mtphngphựcsaochovợimồif Fv vợimồim{1,...,q},mồ
1

ikhổng
imcừa f n (f n 1 )(t1)ÃÃÃ(fnk)(tk)amc õ bởiẵtn h Đ t l m.GiÊsỷrơng
a)n jtjvợimồi 1jk,v l i2vợimồi 1iq;
b
)

q

k

qn2+
q(njtj)
1

j=1
k

i=1 <
n
(nj+tj
j=1
)
li
.
+
F
D

Khiõhồ l chuântctrản .
Choq=1 v l1=+,chúngtổinhênữ ủ c hằquÊsauƠy.
HằquÊ1.9Choa l m ở t s ố p h ù c k h ¡ c k h æ n g , c h o n l m ở t s ố n g u
yản
khổngƠm v n 1,...,nk,t1,...,tkl cĂc số nguyả n dữ ỡng. Cho F l mởt
hồcĂch mphƠnhẳnhtrảnmiÃnDsaochomồif F,f n (f n 1 )(t1)ÃÃÃ(fnk)(tk)
akhổngƠutriằttiảutrản D. GiÊsỷrơng
a) nj tjvợimồi 1jk;
k
k
b) n+ j= nj3+ j= tj.
1
Khiõhồ1Fl chuântctrản
D.
TrongHằquÊ1.9,chok=1,n= 0 ,c h ú n g tổinhênlÔikátquÊcừaSchwickchohồ

cĂch mphƠnhẳnh.
Trongnhlỵ1.8,khiFl hồcĂch mnguyản,chúngtổichựngminhcĂckát
quÊsau.

nh lỵ1.10.Choq(q1)giĂ tr phực phƠn biằt khĂc
khổnga1,
.
.
.
,
aqv qsố
nguyản
dữỡng(hoc+)l1,. . . ,lq.Chonl mởt số nguyảnkhổng
Ơmv chon1, . . . ,nk, t1,. . . ,tkl
cĂcsố nguyản
dữỡng(k1).ChoFl mởt hồcĂch m chnhhẳnhxĂcnh
trản miÃnDcừa mtphng phực sao chovợimồifFv
vợimồim{1,. . . ,q},måikhængiºm cõaf n (f n 1 )(t1)· · Ã(fnk)(tk)
amcõ bởiẵtn h Đ t lm.GiÊ sỷrơng
a)n jtjvợimồi 1jk,v li2vợimồi 1≤i≤q;
b
)

Σq

Σk

qn−1+
q(nj−tj)
1
Σ j=1k
i=1 <
n
n

j=1
j
li
+ .


KhiõhồFl chuântctrảnD.
HằquÊ1.11.Choa l sốph ực khĂc kh ổng, cho n l sốnguyản khổn g
Ơm
v n1,...,nk,t1,...,tkl cĂcsốnguyảndữỡng.ChoFl mởthồcĂc
h mchnhhẳnhxĂcnhtrảnDsaochomồif F,f n (f n 1 )(t1)ÃÃÃ(fnk)
(tk)
a khổngƠutriằttiảutrản D. GiÊsỷrơng
a) nj tjvợimồi 1jk;
k
k
b) n+ j= nj2+ j= tj.
1
Khiõhồ1Fl chuântctrản
D.
Trong Hằ quÊ 1.11, chok= 1, n= 0,chúng tổi nhên lÔi kátquÊ

cừaSchwick cho hồ cĂc h m chnh hẳnh ngoÔi trứ trữớng hủp n=k+
1.Tiáp theo, chúng tổiữa ra chựng minh mợiỡn gian hỡn kát quÊ
cừaSchwicktrongtrữớnghủpn=k+1.
nhlỵ1.12Chok l m ë t s è n g u y ¶ n d ÷ ì n g v a h ¬ n g s è k h ¡ c k h
ổng.
ChoFl mởt hồcĂch m chnh hẳnhxĂcnh trản
miÃnDcừa mtphng phực sao chovợimồifF,(fk+1)(k)(z)/
=atrảnD.Khiõ hồFchuântctrảnD.

Nhữ vêy Hằ quÊ 1.11 v nh lỵ 1.12 l m rởng kát quÊ cừa
SchwickchohồcĂch mchnhhẳnh.
Nhênxt1.7.nhlỵ1.8v nhlỵ1.10vănúngkhithay
f n (f n 1 )(t1)ÃÃÃ(fnk)(tk)

bia thựcÔ o h mtờngquĂt
H(f)=f n (f n 1 )(t1)···(fnk)(tk)+

Σ

c I f n I (fn1I)(t1I)···(fnkI)(tkI),

I

trongâ c Il c¡ch mchnhhẳnhtrản Dv n I,njI,tjIl cĂcsốnguyảnkhổngƠ
mthọamÂn
k

I=

t

j=1 jI
n I
j
k
+ n I <=
j=
1

k
j
j=1t

k
. j=
n+

n

j

1

1.2.2.HồchuântccừacĂch mphƠnhẳnhkhổngcõkhổng
im


Trong phƯn trữợc chúng tổi thiát lêp cĂc tiảu chuân chuân tc cho
hồcĂc h m phƠn hẳnh dữợiiÃu khổngim cừaa thựcÔ o h m c õ
b ở i lợn. Mởt vĐnà tỹ nhiảnữủct ra l : Náu cĂc khổngi m
c ừ a a thựcÔo h m khổng tẵnh bởi thẳ liằu rơng ta văn cõữủc tiảu
chuânchuân tc? Trong phƯn n y chúng tổi thiát lêp mởt kát quÊ và hồ
chuântc cừa cĂc h m phƠn hẳnh khổng cõ khổngim trản
miÃnDtrong mtphng phực v lữủng cĂc khổngi m c ừ a a
thựcÔo
h m
l
h ỳu
h Ô n . KátquÊn yữ ủ c cổngbốtrongb ibĂo[2].

Trữợchát,chúngtổigiợithiằumởtkátquÊnờitiángcừaHaymanvÃ
nhlỵkiuPicardchoh mv Ôoh m.
nhlỵ1.14.Chof l h m p h Ơ n h ẳ n h k h Ă c h ơ n g t r ả n m ° t p h ¯ n g
phùc
Cv k l sốnguyảndữỡng.Khiõ f h o c f (k)
1cõẵtnhĐtmởtkhổng
im.
Hỡn
nỳa
náufl
hm
(k)
phƠnhẳnhsiảuviằtthẳfh o c f
1cõvổhÔnkhổngim.
Vợimộih mphƠnhẳnhkhĂchơng ft r ả n miÃn D C v n∈
N,nv,tv,v= 1 ,...,kl c ¡ c s è n g u y ả n d ữ ỡ n g . K h i â c h ó n g t ổ i x t
athựcÔoh mcõdÔng
n 1 (t1)

H(f)=f (f )
n

nk ( t k )

···(f )

+

Σ

uI(z)fnI(fn1I) (t1I)· ··(fnkI) (tkI),

I

trongâuI(z)l c¡c h m chnh
sốnguyảnkhổngƠmthọamÂn
k

trảnDv nI,
k

tvI

I= nvI=1
k
+
v=
1

hẳnh

n

v <=
I



t

njI,

tjIl cĂc

v

v=1k
. v=
n+
1

n

v

SauƠy,chúngtổitờngquĂtkátquÊcừaHaymanchoathựcÔoh mf
(f n 1 )(t1)ÃÃÃ(fnk)(tk).
nhlỵ1.15.Chof l h mphƠnhẳnhsiảuviằttrảnmtphngphực.
Khiõ f h o c f n (f n 1 )(t1)ÃÃÃ(fnk)(tk)1c õ vổhÔnkhổngi m .
nhlỵ1.16.Choq s ố p h ự c p hƠ n b i » t k h ¡c k h æ n g a 1,...,aq,t r o n g â
n