MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN VỀ LOGARIT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THPT

ĐẠI HỌC ĐÀ
NẴNGTRƯỜNGĐẠIHỌCSƯPHẠM
KHOATỐNHỌC

KHĨA LUẬN TỐT
NGHIỆPNĂMHỌC2021-2022
Tênđềtài:
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TỐN
VỀLOGARITTRONG CHƯƠNGTRÌNH TỐNTHPT

Giảng viên hướng dẫn:ThS. Nguyễn Thị
SinhSinhviênthựchiện :Phan Nhật Thảo
VyLớp
:18ST

ĐàNẵng,tháng1 năm2022


LỜI CẢMƠN

Bàibáocáonàyđược

hồnthànhtạitrườngĐạihọcSưphạm-

ĐạihọcĐàNẵng,dướisựhướngdẫnkhoahọccủaThS.NguyễnThịSinh.Trướchết,emxinđượ
cgửilờicảmơnsâusắcđếncơcủamìnhlàThS.NguyễnThịSinh,ngườiđãđặtbàitốnvàđịnhhướngnghiêncứuchoem.Cơđã
tậntìnhchỉbảovàtạomọiđiềukiệnđểemhọctậpvàhồnthànhbáocáo.Cảmơncơđãlnchiasẻ,độngviênemtrongqtrình
học

tập

và

nghiên

cứu.

Em

cũng

xin

chân

thành

cảm

ơnkhoaTốnhọccủatrườngĐạihọcSưphạmĐàNẵngđãtạođiềukiệnđểemhồnthànhnhiệm
vụnghiêncứu.Cuốicùng,emxinbàytỏlịngbiếtơnsâusắcđếngiađìnhvànhữngngườibạnthânthiếtđã
lnchiasẻ,giúpđỡ,độngviênemtrongqtrìnhnghiêncứu.
PhanNhậtThảoVy -18ST

2


MỤCLỤC
LỜINĨIĐẦU........................................................................................................5
NỘIDUNG............................................................................................................7
CHƯƠNG 1.CƠSỞLÝLUẬN..............................................................................7

1. Kháiniệmlogarit..............................................................................................7
1.1. Địnhnghĩa.................................................................................................7
1.2. Tínhchất....................................................................................................7
2. Quytắctínhlogarit...........................................................................................8
2.1. Logaritcủamộttích....................................................................................8
2.2. Logaritcủamộtthương..............................................................................8
2.3. Logaritcủamộtlũythừa..............................................................................9
3. Đổicơsố........................................................................................................10
4. Logarit thậpphân.Logarittựnhiên................................................................10
4.1. Logaritthậpphân.....................................................................................10
4.2. Logarittựnhiên.......................................................................................10
5. Hàmsốlogarit...............................................................................................11
5.1. Địnhnghĩa...............................................................................................11
5.2. Đạo hàmcủahàmsốlogarit......................................................................11
5.3.Khảosáthàmsốlogarit𝑦=𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑥(𝑎>0,𝑎≠1)..........................................12
6. Phươngtrìnhlogarit.......................................................................................13
7. Bất phươngtrìnhlogarit.................................................................................14
CHƯƠNG2.MỘTSỐPHƯƠNGPHÁPGIẢI CÁC DẠNGTỐNVỀ
LOGARITTRONG CHƯƠNG TRÌNHTỐNTHPT........................................16
1. Cácbàitốnsửdụngcơngthứcbiếnđổilogarit.................................................16
2. Cácdạngtốnvềhàmsốlogarit......................................................................18
2.1. Dạng1:Phươngpháptìmtậpxácđịnhhàmsốlogarit....................................18
2.2. Dạng2:Tínhđạohàmlogarit.....................................................................19
2.3. Dạng3:Khảosáthàmsốlogarit.................................................................21
3. Phươngtrìnhlogarit.....................................................................................23
3.1. Phươngpháp1:Phươngphápđưavềcùngcơsố...........................................23
3.2. Phươngpháp2:Phươngphápđặt ẩnphụ.....................................................25
3.3. Phươngpháp 3:Phươngphápmũhóa.........................................................28

3.4. Phươngpháp4:Phươngphápsửtínhchấtcủahàmsố....................................30
3.5. Phươngpháp5:Phươngphápđánh giá.......................................................33
4. Bất phươngtrìnhlogarit...............................................................................36
4.1. Phươngpháp 1:Phươngpháp đưa vềcùngcơsố vàmũhóa.........................36
4.2. Phươngpháp2:Phươngphápđặt ẩnphụ.....................................................38
4.3. Phươngpháp 3:Phươngphápsửdụngtínhchất củahàmsố..........................40
KẾTLUẬN..........................................................................................................47
TÀILIỆUTHAMKHẢO.....................................................................................48


LỜINĨIĐẦU
1. Lýdochọnđề tài:
Các dạng tốn về logarit là một trong các chủ đề quan trọng trong
chươngtrình tốn bậc trung học phổ thơng. Các dạng tốn trên thường xun
xuất
hiệntrongcáckỳthitốtnghiệpvàtuyểnsinhđạihọcvàcómốiliênquanmậtthiếtvớinhau. Việc
dạyhọccácchủđềnàyđãđượcđưavàochươngtrìnhbậctrunghọcphổ thơng và đóng vai trị trọng tâm
trong

việc

trang

bị

kiến

thức

cho

học

sinh.Tuynhiêndothờigianhạnhẹpcủachươngtrìnhphổthơngnêndạngtốnvềhàmsố, phương
trìnhvàbấtphươngtrìnhlogaritchưađượctrìnhbàyđầyđủ,chitiết,vìvậyhọcsinhthườnggặpkhókhănkhigiảicácdạngtốnnâng
caovềhàmsố,phươngtrình,bấtphươngtrìnhlogarittrongcácđềthituyểnsinhĐạihọc,Caođẳng.
Do đó, để có điều kiện tìm hiểu thêm về chủ đề này và được sự gợi ý
củagiảng viên hướng dẫn, em đã chọn đề tài: “Một số phương phápg i ả i c á c
dạng
t o á n vềlogarittrongchươngtrìnhtốnTHPT”làmđềtàicholuậnvăncủamìnhnhằmhệ
thốngcáckiếnthứccơbảnvềhàmsố,phươngtrình,bấtphươngtrìnhlogaritkết hợp với các kiến thức về đại
số,

giải

tích

để

tổng

hợp,

chọn

lọc

và

phân

loạicácdạngtốnvềhàmsố,phươngtrình vàbấtphươngtrình logarit.
2. Mục tiêunghiêncứu
Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu và tìm hiểu các bài tốn về hàm
số,phương trình, bất phương trình logarit và vận dụng các phương pháp thích
hợptrong đại số, giải tích để giải các bài tốn nêu trên trong chương trình tốn
phổthơngtrunghọc.
3. Phươngphápnghiêncứu
Nghiên cứu tài liệu và tổng hợp các kiến thức liên quan, trao đổi với
nhữngngườiquantâmvàthamvấngiáo viênhướngdẫn.


4. Đốitượngnghiêncứu
Đốitượngnghiêncứucủađềtàilàcácbàitốnvềhàmsố,phươngtrình,bấtphươngtrìnhl
ogarit.
5. Phạmvinghiêncứu
Phạm vi nghiên cứu của đề tài là vận dụng các phương pháp giải tốn
thíchhợp trong đại số và giải tích để giải quyết các bài tốn về hàm số, phương
trình,bất phươngtrìnhlogarit.
6. Tổngquanvà cấutrúcluậnvăn
Chương1:Cơsởlýluận.
Chương 2: Một số phương pháp giải các dạng tốn về logarit trong chương
trìnhtốntrunghọcphổthơng.


NỘIDUNG
CHƯƠNG1. CƠSỞLÝLUẬN
1. Kháiniệmlogarit
1.1. Địnhnghĩa
Chohaisốdương𝑎,,𝑏với𝑎,≠ 1.Số𝛼thỏamãnđẳngthức𝑎,𝛼= 𝑏

đượcgọi làlogaritcơsốacủa bvàkíhiệu là𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏.
𝛼= 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏⟺ 𝑎 𝛼= 𝑏
Ví dụ1:
a)𝑙𝑜𝑔 327=3𝑣ì33=27
b)𝑙𝑜𝑔 116=−2𝑣ì(

1−2

4

4

)

=16

Chúý:Khơngcólogaritcủa số âmvàsố 0
1.2. Tínhchất
Chohaisố dương𝑎và𝑏,𝑎,≠1.Ta có cáctínhchấtsauđây.
𝑙𝑜𝑔𝑎1=0,𝑙𝑜𝑔𝑎𝑎= 1,
𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏=𝑏, 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑎𝛼)=𝛼
Chứngminh:
Tacó:𝑎, 0= 1⟺0=𝑙𝑜𝑔 𝑎1
𝑎1= 𝑎 ⟺ 1=𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑎
Đặt𝛼=𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏.Từđịnhnghĩalogarit tacó:
𝛼=𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏⟺𝑏 =𝑎 𝛼= 𝑎 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏⟹𝑏 =𝑎 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏
Đặt𝑙𝑜𝑔 𝑎(𝑎𝛼)= 𝑏
Theođịnhnghĩa:𝑎, 𝛼= 𝑎 𝑏⟹ 𝛼 = 𝑏
Vậy𝑙𝑜𝑔 𝑎(𝑎𝛼)=𝑏 = 𝛼
Vídụ:

a)9𝑙𝑜𝑔32= 3 2𝑙𝑜𝑔32= ( 3𝑙𝑜𝑔32)2= 2 2= 4
1

𝑙𝑜𝑔

b)(

1
36

)

65

=()1

6

2.𝑙𝑜𝑔

1
65

1

1

−2.𝑙𝑜𝑔

=6

6

𝑙𝑜𝑔 − 2

= (6

5

)

65

1− 2

=()

5

=25


2. Quytắctínhlogarit
2.1. LogaritcủamộttíchĐ
ịnhlý1:
Chobasố dương𝑎,,𝑏1,𝑏2v ớ i 𝑎,≠1,ta có
𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏1𝑏2)= 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏1+ 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏2
Logaritcủamộttíchbằngtổngcác logarit
Chứngminh:
Đặt:𝛼1= 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏1và𝛼 2=𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏2,tacó:

𝛼1+ 𝛼2= 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏1+ 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏2

(1)

Mặtkhác,vì𝑏 1= 𝑎 𝛼1,𝑏 2= 𝑎 𝛼2,suyra𝑏 1𝑏2= 𝑎 𝛼1.𝑎𝛼2= 𝑎 𝛼1+𝛼2.
Dođó𝛼 1+ 𝛼2= 𝑙𝑜𝑔 𝑎(𝑏1𝑏2)
Từ( 1),(2)suyra:

(2)

𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏1𝑏2)= 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏1+ 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏2

Vídụ:Tính
a)𝑙𝑜𝑔48+𝑙𝑜𝑔432=𝑙𝑜𝑔 4(8.32)= 𝑙𝑜𝑔 4256=𝑙𝑜𝑔 444= 4
b)𝑙𝑜𝑔 12+2𝑙𝑜𝑔 1
2

1
23

=𝑙𝑜𝑔 12+𝑙𝑜𝑔 1
2

2

+ 𝑙𝑜𝑔1

3

28

=𝑙𝑜𝑔 12+𝑙𝑜𝑔 1( )

12

23

2

+𝑙𝑜𝑔1

3
28

1
3
13
1
+𝑙𝑜𝑔 1 =𝑙𝑜𝑔 1(2. . )=𝑙𝑜𝑔 1
9
98
28
2
2 12

Chúý:
Địnhlý1cóthểmở rộngchocáctíchcủansốdương:
𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏1𝑏2… 𝑏𝑛)=𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏1+ 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏2+ ⋯+𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏𝑛(𝑎,𝑏1,𝑏2,…𝑏𝑛> 0,𝑎≠ 1)
2.2. LogaritcủamộtthươngĐị
nhlý2:

Cho ba số dương 𝑎,, 𝑏1, 𝑏2 với 𝑎, ≠ 1, ta có
𝑏1
𝑙𝑜𝑔𝑎, 𝑏= 𝑙𝑜𝑔𝑎,𝑏1 − 𝑙𝑜𝑔𝑎,𝑏2
2

Logaritcủamộtthương bằnghiệucáclogarit
Chứngminh:
Đặt:𝛼1= 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏1và𝛼 2=𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏2,tacó:
𝛼1− 𝛼2= 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏1+ 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏2
Mặtkhác, vì𝑏
1

=𝑎 𝛼1,𝑏

Dođó𝛼 −𝛼 =𝑙𝑜𝑔

2

𝑏1

=𝑎2,𝛼suyra

(1)
𝑏1
𝑏2

𝛼

= 𝑎1 =𝑎 1𝛼−𝛼 2.
𝑎𝛼2

(2)


1

2

𝑎𝑏
2

Từ( 1),(2)s u y ra:

𝑏1=

𝑙𝑜𝑔

𝑙𝑜𝑔 𝑏

𝑎𝑏
2

Đặcbiệt:

− 𝑙𝑜𝑔𝑏

𝑎1

𝑎2

1
𝑙𝑜𝑔𝑎
Chứngminh:
Ta có:

1=

𝑙𝑜𝑔

Vídụ:𝑙 𝑜 𝑔 7−𝑙𝑜𝑔
11

𝑏=

− 𝑙 𝑜 𝑔 𝑎𝑏(𝑎 > 0 , 𝑏> 0 , 𝑎≠ 1 )

𝑙𝑜𝑔
𝑎

𝑎𝑏

1 − 𝑙𝑜𝑔𝑏= 0 − 𝑙𝑜𝑔 𝑏=−𝑙𝑜𝑔 𝑏

165=𝑙𝑜𝑔

11

𝑎
7=

11165

𝑎

𝑎

1

𝑙𝑜𝑔

= −𝑙𝑜𝑔

1111

11=−1
11

2.3. LogaritcủamộtlũythừaĐị
nhlý3:
Cho basốdương𝑎,,𝑏;𝑎≠1.Vớimọ
i i ,tacó:
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏𝛼= 𝛼 𝑙 𝑜 𝑔 𝑎𝑏
Logaritcủamộtlũy thừabằngtíchcác sốmũ vớilogaritcủa cơ số
Chứngminh
Đặt𝛼= 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏thì𝑏= 𝑎 𝛽
Dođó𝑏 𝛼= (𝑎 𝛽)𝛼= 𝑎 𝛽.𝛼
Suyra𝛼𝛼 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏𝛼h a y 𝛼𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏= 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏𝛼
Đặcbiệt:
1
𝑛

𝑙𝑜𝑔𝑎, √𝑏 = 𝑛 𝑙𝑜𝑔𝑎,𝑏 (𝑎, > 0, 𝑏 > 0, 𝑎, ≠ 1)
Chứngminh:
Áp dụngđịnh lý3,tacó:
𝑙𝑜𝑔𝑎√𝑏= 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏𝑛=
Vídụ:
2
a)
𝑙𝑜𝑔3273= 𝑙𝑜𝑔 33
b)1

1

2 𝑙𝑜𝑔
3

=𝑙𝑜𝑔

7

7

2

= 𝑙𝑜𝑔 33

3

3

𝑙𝑜𝑔 721=

1

1

36−𝑙𝑜𝑔 7196)−3𝑙𝑜𝑔 7213

2(𝑙𝑜𝑔 7

2

−

𝑎

=2𝑙𝑜𝑔 33=2

𝑙𝑜𝑔196−3𝑙𝑜𝑔
√21=
7
7

36
7196

𝑛 𝑙𝑜𝑔 𝑏

2

1

2 𝑙𝑜𝑔736−

=

3.

1

1

𝑛

1
9
𝑙𝑜𝑔721=𝑙𝑜𝑔 7
7
2 𝑙𝑜𝑔 49 −
3
1=

−𝑙𝑜𝑔 721=𝑙𝑜𝑔 7(: 21)= 𝑙𝑜𝑔 7
7

=−𝑙𝑜𝑔 772= −2𝑙𝑜𝑔 77=−2

49

√9

49−

−𝑙𝑜𝑔 4 9
7

𝑙𝑜𝑔 721


3. Đổicơsố
Địnhlý 4:
Cho ba số dương 𝑎,, 𝑏, 𝑐 với 𝑎, ≠ 1, 𝑐 ≠ 1. Với mọi 𝛼, ta có:
𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏
𝑎,𝑙𝑜𝑔 𝑏 =

𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎,

Chứngminh
Theotínhchấtcủa logaritvà địnhlý3,ta có:
𝑙𝑜𝑔𝑐𝑏= 𝑙 𝑜 𝑔 𝑐(𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏)= 𝑙 𝑜 𝑔
Vì𝑎≠ 1nên𝑙𝑜𝑔𝑐

𝑎𝑏.𝑙𝑜𝑔𝑐𝑎

𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏= 𝑙 𝑜 𝑔

𝑎≠0.Dođó:

𝑐𝑏
𝑙𝑜𝑔𝑐𝑎

Đặcbiệt:
1
(𝑣ớ𝑖 𝑏 ≠ 1)
𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑎,
1
𝑙𝑜𝑔𝑎,𝛼𝑏 = 𝛼 𝑙𝑜𝑔𝑎,𝑏 (𝑣ớ𝑖 𝑎, ≠ 0)

𝑙𝑜𝑔𝑎, 𝑏 =

Vídụ:Tính

1

1

3

𝑙𝑜𝑔927=𝑙𝑜𝑔 3227= 𝑙𝑜𝑔327=
33
2.
2𝑙𝑜𝑔
4. Logaritthậpphân.Logarittựnhiên
4.1. Logaritthậpphân
Logaritthậpphânlàlogaritcơ số10.

3

3

= 𝑙𝑜𝑔33=

2.
2

𝑙𝑜𝑔10𝑏thườngđượcviếtlà𝑙𝑜𝑔𝑏hoặc𝑙𝑔𝑏.
Vídụ:𝑙𝑜𝑔105tacóthểviết𝑙𝑜𝑔5hoặc 𝑙𝑔5
4.2. Logarittựnhiên
Ngườitachứngminhđượcdãysố(𝑢𝑛)

=(1+)

1 𝑛
𝑛

giớihạnđólà𝑒,
𝑒=l i m

𝑛→+
∞

𝑛
(1+ 1 )
𝑛

Mộtgiátrịgầnđúngcủa𝑒là𝑒≈2,718281828459045
Logarittựnhiênlàlogaritcơ số𝑒.
𝑙𝑜𝑔𝑒𝑏đượcviếtlà𝑙𝑛𝑏 .
Vídụ:𝑙𝑜𝑔𝑒7tacóthểviết𝑙𝑛7
Chúý:

cógiớihạnlàmộtsốvơtỉvà

Muốntính𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏,với𝑎,≠10và𝑎,≠𝑒 ,bằngmáytínhbỏtúi,tacóthểsửdụngcơngthứcđổ
icơsố.
Vídụ:𝑙𝑜𝑔11

≈0,8115
7= 𝑙𝑜𝑔7
𝑙𝑜𝑔11

5. Hàmsốlogarit
5.1. Địnhnghĩa
Chosốthựcdương𝑎,khác1.
Hàmsố𝑦=𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑥đượcgọilàhàm sốlogaritcơsố𝑎,.
Vídụ:Cáchàmsốsauđây là những hàmsố logarit
 𝑦=𝑙𝑜𝑔 4𝑥vớicơsốlà4
3
 𝑦= 𝑙𝑜𝑔 3𝑥
√vớicơsốlà √5

5

 𝑦=𝑙𝑜𝑔𝑥 vớicơ số là10
 𝑦=𝑙𝑛𝑥 vớicơsố là𝑒
5.2. ĐạohàmcủahàmsốlogaritĐịn
hlý5:
Hàmsố𝑦=𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑥(𝑎>0,𝑎≠1)cóđạo hàmtại mọi𝑥>0và
1
(𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥)′=
Đặcbiệt:

𝑥𝑙𝑛𝑎

(𝑙𝑛𝑥)′)′ = 1
𝑥)′
Chúý:Đốivớihàmhợp𝑦=𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑢(𝑥),tacó:
(𝑙𝑜𝑔𝑎𝑢)′=

𝑢′
𝑢𝑙𝑛𝑎

Vídụ:Tínhđạo hàmcủahàmsố

=

2

a)𝑦= 𝑙𝑜𝑔 3(𝑥 +2𝑥+1)
(𝑥2+ 2𝑥+ 1)′
(𝑥2+2𝑥+1).𝑙𝑛3

𝑦′=(𝑙𝑜𝑔 3(𝑥2+2𝑥+1))′=
=

2(𝑥+ 1) =
2
(𝑥+1)2.𝑙𝑛3 (𝑥 +1).𝑙𝑛3

b)𝑦= ln(𝑥 +√1+𝑥 2)
𝑦′=(l n (𝑥+ √1+𝑥 ))′=

2

1+

(𝑥+√1+𝑥2)′
𝑥+√1+𝑥2

(1+𝑥 2)′
=

2√1+𝑥 2
=

2𝑥+2
( 𝑥+1)2.𝑙𝑛3


𝑥+√1+𝑥 2

2𝑥
1+ 2√1+𝑥 2
𝑥+√1+𝑥 2

𝑥
1+
√1+𝑥 2
= 𝑥+√1+𝑥 2 =

√1+𝑥 2+𝑥
1

√1+𝑥 2 =
√1+𝑥 2
𝑥+√1+𝑥 2

5.3.Khảosáthàm sốlogarit𝒚= 𝒍 𝒐 𝒈 𝒂𝒙(𝒂 > 𝟎 , 𝒂≠ 𝟏 )
𝑦=𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑥,𝑎>1

𝑦=𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑥,0<𝑎 <1


1. Tậpxácđịnh :( 0 ; +∞)

1. Tậpxácđ ịn h: ( 0 ; +∞)

2. Sự biếnthiên
1
𝑦′=
>0,∀ 𝑥 >0
𝑥𝑙𝑛𝑎
 Giới hạnđặcbiệt:
lim𝑙𝑜𝑔
𝑎𝑥=−∞
+

2. Sự biếnthiên
1
𝑦′=
<0,∀ 𝑥 >0
𝑥𝑙𝑛𝑎
 Giới hạnđặcbiệt:

lim𝑙𝑜𝑔
𝑎𝑥=+∞
+

𝑥→0

lim𝑙 𝑜 𝑔

𝑥→+∞

𝑥→0

𝑎𝑥= +∞

 Tiệmcận:
Trục Oylàtiệmcậnđứng

lim𝑙 𝑜 𝑔

𝑥→+∞

 Tiệmcận:
Trục Oylà tiệmcậnđứng

3. Bảngbiếnthiên

3. Bảngbiếnthiên

4. Đồthị:

4. Đồthị
𝑦=𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑥,𝑎>1

𝑎𝑥= −∞

𝑦=𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑥,0<𝑎 <1


Bảngtómtắtcáct í n h chấtcủahà msố𝒚 = 𝒍 𝒐 𝒈 𝒂𝒙(𝒂 > 𝟎 , 𝒂≠ 𝟏 )
Tậpxác định
Đạohàm
Chiềubiếnt
hiên
Tiệm cận
Đồthị

(0;+∞)
1
𝑦′=
𝑥𝑙𝑛𝑎
𝑎>1: hàmsốluônđồngbiến
0<𝑎<1: hàmsốln nghịchbiến
Trục𝑂𝑦là tiệmcậnđứng
Đi quacácđiểm(1; 0)và(𝑎,; 1);nằm phíabên phải trụctung

Vídụ:Đồthịcủahàmsố𝑦=𝑙𝑜𝑔 2𝑥và𝑦=2 𝑥
Nhậnxét:Đồthịcủahàmsố𝑦=𝑎 𝑥và𝑦=𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑥(𝑎>0,𝑎≠1)đốixứngnhauquađườngthẳn
g𝑦=𝑥 .
Bảngđạohàmcủahàmsốlogarit

Hàmsơ cấp
1
(𝑙𝑛|𝑥|)′=
𝑥
1
(𝑙𝑜𝑔𝑎|𝑥|)=
𝑥𝑙𝑛𝑎
6. Phươngtrìnhlogarit

Hàmhợp(( =𝒖(𝒙))
𝑢′
(𝑙𝑛|𝑢|)′=
𝑢
𝑢′
(𝑙𝑜𝑔𝑎|𝑢|)=
𝑢𝑙𝑛𝑎

Phươngtrìnhlogaritlàphươngtrìnhcóchứaẩnsốtrongbiểuthứcdư
ớidấulogarit.
Chẳnghạn,cácphươngtrình:𝑙𝑜𝑔 2𝑥=4𝑣à𝑙𝑜𝑔2𝑥−2𝑙𝑜𝑔
4
4𝑥+1=0l à những
phươngtrìnhlogarit.


Phươngtrìnhlogaritcơbảncódạng:
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥=𝑏 (𝑎> 0,𝑎≠ 1)
Theođịnhnghĩalogarit,tacó:
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥= 𝑏 ⟺ 𝑥 = 𝑎 𝑏
Minhhọabằngđồthị:

Vẽ đồ thị hàm số𝑦= 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥và đường thẳng𝑦= 𝑏trên cùng một hệ trục tọa độ(H.1
vàH.2)
𝑦=𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑥,𝑎> 1

𝑦=𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑥,0<𝑎 <1

(H.1)

(H.2)

Trongcảhaitrườnghợp,tađềuthấyđồthịcủahàmsố𝑦 = 𝑙 𝑜 𝑔
𝑦=𝑏 lncắtnhautại một điểmvới mọi𝑏∈𝑅 .

𝑎𝑥v à đườngthẳng

Kếtluận
Phươngtrình𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑥=𝑏 (𝑎>0,𝑎≠1)lncónghiệmdu
ynhất𝑥=𝑎 𝑏v ớ i mọi𝑏.
7. Bấtphươngtrìnhlogarit
Bấtphươngtrìnhlogaritcơbảncódạng𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑥>𝑏
(hoặc𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑥≥ 𝑏, 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥< 𝑏, 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥≤ 𝑏 với𝑎,>0,𝑎≠1)
Xétbấtphươngtrình𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑥>𝑏
 Trườnghợp𝑎>1,tacó:𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥> 𝑏 ⟺𝑥 > 𝑎 𝑏
 Trườnghợp0<𝑎 <1,tacó:𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥>𝑏 ⟺0<𝑥 <𝑎

𝑏

Chẳnghạn,cácphươngtrình:2𝑙𝑜𝑔 6𝑥>12𝑣à𝑙𝑜𝑔2𝑥−5𝑙𝑜𝑔
7
7𝑥<−6lànhững

bấtp h ư ơ n g trìnhlogarit.


Minhhọabằngđồthị:
Vẽ đồ thị hàm số𝑦= 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥và đường thẳng𝑦= 𝑏trên cùng một hệ trục tọa độ(H.3
vàH.4)

(H.3)

(H.4)

Quansátđồthị,tathấy:
 Trườnghợp𝑎>1:𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑥> 𝑏 khivàchỉkhi𝑥> 𝑎 𝑏.
 Trườnghợp0<𝑎 <1:𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑥> 𝑏 khivàchỉkhi0<𝑥 < 𝑎 𝑏.
Kếtluận:Nghiệmcủabấtphươngtrình𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑥>𝑏 đượcchotrongbảngsau:
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥> 𝑏
Nghiệm

𝑎>1

0<𝑎 <1

𝑥>𝑎 𝑏

0<𝑥 < 𝑎 𝑏

Tươngtự,tacó:
 Nghiệmcủabấtphươngtrình𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑥≥𝑏 được ược chotrongbảngsau:
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥< 𝑏
Nghiệm

𝑎>1

0<𝑎 <1

0<𝑥 < 𝑎 𝑏

𝑥>𝑎 𝑏

 Nghiệmcủabấtphươngtrình𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑥<𝑏 được ược chotrongbảngsau:
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥≥ 𝑏
Nghiệm

𝑎>1

0<𝑎 <1

𝑥≥𝑎 𝑏

0<𝑥 ≤ 𝑎 𝑏

 Nghiệmcủabấtphươngtrình𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑥≤ 𝑏 được ược chotrongbảngsau:
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥≤ 𝑏
Nghiệm

𝑎>1

0<𝑎 <1

0<𝑥 ≤ 𝑎 𝑏

𝑥≥𝑎 𝑏


CHƯƠNG 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG
TỐNVỀLOGARITTRONGCHƯƠNGTRÌNHTỐNTHPT
1. Cácbàitốnsử dụngcơngthứcbiếnđổilogarit
1.1. Phươngpháp
Tacócác cơng thức logaritcơ bảnsau
Chocácsố 𝑎, , 𝑏> 0 , 𝑎≠ 1 và 𝑚, , 𝑛∈ 𝑅
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏= 𝛼 ⟺ 𝑎 𝛼= 𝑏

𝑙𝑔𝑏= 𝑙𝑜𝑔𝑏 = 𝑙𝑜𝑔 10𝑏

𝑙𝑛𝑏= 𝑙𝑜𝑔 𝑒𝑏

𝑙𝑜𝑔𝑎1=0

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑎=1

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑎𝑛=𝑛

1
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑚𝑏=

𝑚 𝑙𝑜𝑔

𝑛

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 = 𝑛 𝑙 𝑜 𝑔

𝑎𝑏

𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏𝑐)= 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏+𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑐

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏

(𝑏≠1)

𝑎𝑏

𝑛

𝑎𝑚

𝑏
𝑙𝑜𝑔𝑎( )=𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏−𝑙𝑜𝑔𝑎𝑐
𝑐

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑐

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏.𝑙𝑜𝑔𝑏𝑐= 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑐

𝑏𝑛=

𝑙𝑜𝑔

=𝑙𝑜𝑔 𝑏𝑐,(𝑏≠ 1)

𝑙𝑜𝑔 𝑏

𝑎
𝑚

𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏=𝑏
{𝑎𝑙𝑜𝑔𝑏𝑐= 𝑐 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎
1
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏=
𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑏
(𝑏≠1)

1.2. Vídụ
 Ví dụ1
Biết𝑙𝑜𝑔 712=𝑎, 𝑙𝑜𝑔1224=𝑏 .Giá trịcủa𝑙𝑜𝑔 54168được tínhtheo𝑎,và𝑏là
𝑎𝑏+1

𝑎𝑏−1

A. 𝑎(8−5𝑏)

B. 𝑎(8−5𝑏)

+1
C.2𝑎,𝑏
8𝑎−5𝑏

+1
D.2𝑎,𝑏
8𝑎+5𝑏

Tacó:𝑙𝑜𝑔 712=𝑎 ⟺𝑙𝑜𝑔 7(22.3)=𝑎⟺2𝑙𝑜𝑔 72+ 𝑙𝑜𝑔 7= 𝑎

𝑙𝑜𝑔724
3𝑙𝑜𝑔72+𝑙𝑜𝑔 73
=𝑏⟺
=𝑏
𝑙𝑜𝑔1224 = 𝑏⟺
12
𝑎
7
𝑙𝑜𝑔
-3𝑙𝑜𝑔 72+𝑙𝑜𝑔73=𝑎𝑏
Từ(1)và(2)tacóhệ phươngtrình:
72=𝑎𝑏−𝑎

2𝑙𝑜𝑔72 +
𝑙𝑜𝑔
{ 73=𝑎3𝑙𝑜𝑔72 +
𝑙𝑜𝑔73= 𝑎𝑏

Tacó:

𝑙𝑜𝑔7168
𝑙𝑜𝑔54168=
=

=

-{𝑙 𝑜𝑙𝑜𝑔𝑔73=3𝑎 −2𝑎𝑏

𝑙𝑜𝑔7(23.3.7)
2

𝑙𝑜𝑔7(3 . 2)
𝑙𝑜𝑔754
3(𝑎𝑏− 𝑎)+3𝑎−2𝑎𝑏+1
𝑎𝑏−𝑎+3(3𝑎−𝑎𝑏)
𝑎(8−5𝑏)

Vậy𝑙𝑜𝑔54
168=

𝑎𝑏+1

=

3𝑙𝑜𝑔72+𝑙𝑜𝑔 73+1
𝑙𝑜𝑔72+3𝑙𝑜𝑔 73
𝑎𝑏+1
𝑎𝑏+1
=
=
8𝑎−5𝑎𝑏
𝑎(8−5𝑏)

(1)

(2)


.
Chọnđápá

nA


 Vídụ2:Gọi nlàsố ngundươngsao cho
1
1
1
190
1
+
+
=
+⋯+
𝑙𝑜𝑔3𝑥 𝑙𝑜𝑔 2𝑥
𝑙𝑜𝑔3𝑛𝑥 𝑙𝑜𝑔3𝑥
𝑙𝑜𝑔33𝑥
3
đúngvớimọi xdương,𝑥≠1.Tìmgiá trịcủabiểuthức𝑃=2𝑛 +3
A.𝑃=32

B.𝑃=23

C.𝑃=43

D.𝑃=41

Tacó:
1
1
1

190
1
+
+
=
+⋯+
𝑙𝑜𝑔3𝑥 𝑙𝑜𝑔 2𝑥
𝑙𝑜𝑔3𝑛𝑥 𝑙𝑜𝑔3𝑥
𝑙𝑜𝑔33𝑥
3
-𝑙 𝑜 𝑔

𝑥3+2𝑙𝑜𝑔 𝑥3+3𝑙𝑜𝑔 𝑥3+⋯+𝑛𝑙𝑜𝑔 𝑥3= 1 9 0 𝑙 𝑜 𝑔 𝑥3

-𝑙𝑜𝑔 𝑥3(1+2+3+⋯+𝑛)= 190𝑙𝑜𝑔 𝑥3
-1+2+3+⋯+𝑛=190
𝑛(𝑛+1)
⟺ =190
2
-𝑛2+𝑛−380=0
-[

𝑛=19(𝑡ℎỏ𝑎𝑚ã𝑛 )
𝑛=−20 (𝑙𝑜ạ𝑖) ⟺𝑛=19

⟹𝑃=2𝑛+3=2.19+3=41
Chọnđáp ánD
 Ví dụ3:
Cho𝑥,𝑦v à 𝑧 l à c á c s ố t h ự c l ớ n h ơ n 1 v à g ọ i 𝑤 l à s ố t h ự c d ư ơ n g s a o c
ho

𝑙𝑜𝑔𝑥𝑤= 24,𝑙𝑜𝑔 𝑦𝑤= 40và𝑙𝑜𝑔𝑥𝑦𝑧𝑤= 12.Tính𝑙𝑜𝑔 𝑧𝑤
A.52

B.−60

C.60

D.−52

Tacó:
1
𝑙𝑜𝑔𝑥𝑤=24⟺𝑙𝑜𝑔𝑤𝑥=
124
𝑙𝑜𝑔𝑦𝑤=40⟺𝑙𝑜𝑔𝑤𝑦=
1 40=
𝑙𝑜𝑔𝑥𝑦𝑧𝑤=12
(𝑥𝑦𝑧)
⟺
𝑤 12⟺𝑙𝑜𝑔
𝑙𝑜𝑔

1
𝑥+𝑙𝑜𝑔𝑤 𝑦+𝑙𝑜𝑔𝑤1 𝑧

=12

𝑤

1

1
1
=12⟺𝑙𝑜𝑔𝑤𝑧=
𝑙𝑜𝑔𝑧𝑤=60
60⟺
Chọnđáp ánC


24+40+

𝑙𝑜𝑔 𝑤𝑧