MỘT SỐ TÍNH CHẤT TOPO ĐƯỢC BẢO TOÀN TRÊN SIÊU KHÔNG GIAN

ĐẠIH Ọ C Đ À N Ẵ N G
TRƯỜNGĐ Ạ I H Ọ C S Ư P H Ạ M
——————————–

HỒQUỐCTRUNG

MỘTSỐTÍNHCHẤTTOPOĐƯỢCBẢO
TỒNT RÊ N S I Ê U K H Ô NG GI AN

KHÓALUẬNTỐTNGHIỆP

ĐàNẵng-2022


HỒQUỐCTRUNG

MỘTSỐTÍNHCHẤTTOPOĐƯỢCBẢO
TỒNT RÊ N S I Ê U K H Ơ NG GI AN

KHÓALUẬNTỐTNGHIỆP

Giảngviênhướngdẫn:
TS.LươngQuốcTuyển

ĐàNẵng-2022


LỜICẢMƠN

Lời đầu tiên, em xin được gửi lời cám ơn chân thành tới thầy giáo
TS.Lương Quốc Tuyển đã tận tình hướng dẫn và động viên em trong suốt

qtrìnhthựchiệnluậnvăn,nhờđóemcóthểhồnthànhđượcbàiluậnvăntốtnghiệpnày.
Tuygặpkhơngítkhókhănkhithựchiệnđềtàinhưngnhờsựgiúpđỡtừq u
ý t h ầ y c ô , g i a đ ì n h v à b ạ n b è , e m đ ã n ỗ l ự c t ì m t ị i h ọ c h ỏ i đ ư ợ c nhiều
kiến thức bổ ích cho bản thân và hoàn thành luận văn này. Đây
cũnglàc ộ t m ố c , s ả n p h ẩ m đ á n h d ấ u s ự t r ư ở n g t h à n h c ủ a b ả n t h â n e m t
r o n g suốtthờigianhọctậpcủaemtạiKhoaToán,TrườngĐạihọcSưphạm-ĐạihọcĐàNẵng.
Emxinchânthànhcảmơn!

HồQuốcTrung


MỤCLỤC
MỞĐẦU.....................................................................................1
CHƯƠNG1.CƠSỞLÝTHUYẾT...............................................4
1.1. Khơnggiantopo,tậphợpmởvàlâncậncủamộttậphợp..............4
1.2. Tậphợpđóng,baođóngvàphầntrongcủamộttậphợp...............9
1.3. Mộtsốtiênđềtách......................................................................15
1.4. Khơnggiancon,khơnggiancompact........................................16
CHƯƠNG2.Mộtsốb ả o t ồ n t r ê n s iê u k h ô n g gi a n ..............20
2.1. SiêukhơnggianF(X)......................................................20
2.2. Sựbảotồncủacáctậptrênsiêukhơnggian..............................31
2.3. Sựbảotồncủamộtsốtínhchấtmạngtrênsiêukhơnggian3 3
KẾTLUẬN...............................................................................41
TÀILIỆUTHAMKHẢO......................................................42


1

MỞĐẦU

1. Lýdo ch ọn đề tà i
Năm1931,K.BorsulkvàS.Ulamđãgiớithiệukháiniệmtíchđốixứngcấpncủak
hơnggiantopovàđãđưaramộtsốtínhchấtquantrọngcủanó([4]).Từ đó,
các siêu khơng gian khác được hình thành và thu hút đượcsựquantâmcủađơng
đảocác tác giả trênthế giới. Chínhnhờ điều đó,trong những năm gần đây, mơ hình về sự
bảo tồn của một số tính chấttopo từ một khơng gian lên tích đối xứng
cũng như các siêu không gianđược nghiên cứu một cách sôi nổi và thu về
khơng ít các kết quả thú vị(xem[4]-[14]).
Cụ thể, C. Good và S. Marcías đã chứng minh được sự bảo tồn
củahàng loạt tính chất topo như mạng, họ rời rạc, họ CP,... lên tích đối
xứngcấpncũngnhưsiêukhơnggiangồmcáctậpconhữuhạncủanó([6]).Gầnđây,
L . Q . T u y ể n v à O . V .T u y ê n đ ã đ ư a r a k ế t q u ả r ằ n g , n ế u l à k h ô n g giant o
p o c ó c n -mạng( ck-mạng)c ó t í n h c h ấ t σ -(P),t h ì t í c h đ ố i x ứ n g c ấ p ncủa
nó cũng cócn-mạng (tương ứng,ck-mạng) có tính chấtσ-(P)(xem[12]).
Bêncạ n h đ ó, các t á c g i ả đ ãđ ặ t ramộ t s ố b ài to án mở l i ê n q u a n đ ến tíc
hđ ố i x ứ n g c ấ p n vàs i ê u k h ô n g g i a n F(X).C á c b à i t o á n n à y đ ã t h u hú
tsựquantâmcủanhiềunhànghiêncứutopođạicươngvàđếnnayvẫnchưacólờigiảiđáp.
Nhận thấy xu hướng nghiên cứu cực kì mới mẻ và thú vị này, tơi
đãdànhthờigiannghiêncứuvàvớimongmuốncũngsẽchứngminhđượcsựbảo tồn
của một số tính chất topo khác lên siêu không gian gồm các tậpcon hữu hạn. Nhờ đó, dưới sự
hướng
dẫn
của
thầy
giáo
TS.
Lương
QuốcTuyển,t ơ i đ ã q u y ế t đ ị n h c h ọ n đ ề t à i : “ M ộ t s ố t í n h c h ấ t t o p o đ ư
ợcbảo

tồntrênsiêukhơnggian”l à m đềtàicholuậnvăntốtnghiệpcủamình.
2. Mụcđ í c h n g h i ê n c f í u
Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu các tính chất topo của
khơnggianto p o X đ ư ợ c b ả o t o à n t r ên t r ê n s i ê u k h ô n g g i a n F(X).Đ ư a r
a m ộ t sốkếtquảmớihoặcmởrộngmộtsốkếtquảcủacáctácgiảđitrước.
3. Đốit ư ợ n g n g h i ê n c f í u
Cáctínhchấtmạng,siêukhơnggianF(X).
4. Phạmv i n g h i ê n c f í u
Nghiên cứu sự bảo tồn của một số tính chất topo của không
giantopoXtrênsiêukhônggianF(X).
5. Phươngp h á p n g h i ê n c f í u
• Thamkhảotàiliệu,hệthốnglạimộtsốkiếnthứcvềtopođạicương.
• Thuthậpcácbàibáokhoahọccủacáctácgiảđitrướcliênquanđếnsiêukhơ
nggianF(X).
• Bằngcáchtươngtựhóa,kháiqthóanhằmđưaracáckếtquảmớicũngn
hưmởrộngmộtsốkếtquảcủacáctácgiảđitrước.
• Phântích,đánhgiá,tổnghợpvàtraođổivớithầyhướngdẫnkếtquảđangng
hiêncứuđểhồnchỉnhkhóaluậncủamình.
6. Cấutrúccủađềtài
Nộidungkhóaluậnđượctrìnhbàytronghaichương.Ngồira,đềtàicóLờicảmơn,
Mụclục,phầnMởđầu,phầnKếtluậnvàTàiliệuthamkhảo.
Chương 1, trình bày một số kiến thức cơ bản của topo đại cương
nhằmphụcvụchoviệcnghiêncứuChương2.


Chương 2, trình bày về tính chất topo trên siêu khơng gian được
chialàm2mục.
Mục2 . 1 , t r ì n h b à y v ề s i ê u k h ô n g g i a n . M ụ c n à y d à n h c h o v i ệ c t r ì n
h bày và chứng minh chi tiết lại một số khái niệm và kết quả liên quan

đếnsiêukhơnggiancủacáctácgiảđitrước.
Mục 2.2, trình bày một số tính chất mạng trên siêu khơng gian.
Trongmục này, chúng tơi chứng minh được sự bảo tồn của tập mở
(đóng, nửa-mởtươngứng)lênsiêukhơnggian.
Mục 2.3, trình bày sự bất biến của họ CF,T2-khơng gian và khơng
gianchínhquylênsiêukhơnggian.


CHƯƠNG1

CƠSỞLÝTHUYẾT

Chươngnàydànhchoviệctrìnhbàymộtsốkiếnthứcvềtopođạicương.Cáck h á i n i
ệ m v à c á c t í n h c h ấ t t r ì n h b à y t r o n g c h ư ơ n g n à y đ ư ợ c c h ú n g tôi
lấy
trong[5] nhằm phục vụ cho việc chứng minh các kết quả chính
củachươngsau.
1.1. Khơnggiantopo,tậphợpmởvàlâncậncủamộttậphợp
Địnhn g h ĩ a 1 . 1 . 1 . G i ả sử τl à họnàođógồmcác tậpconc ủatậphợp
Xt h ỏa mãncácđiềukiệnsau.
(a) ∅,X∈τ;
(b) NếuU,V∈ τ,thìU∩V∈ τ;
α∈
Λ

S
(c) Nếu{Uα}α∈Λ⊂τ,thì U α∈τ.
Khiđó,
(1) τđ ư ợ c gọilàmộttopot r ê n X.
(2) Cặp( X,τ)đ ư ợ c g ọ i l à m ộ t k h ô n g g i a n t o p o .

(3) Mỗiphầntửcủaτđược gọilàmộttậphợpmở.
(4) MỗiphầntửcủaXđượcgọilàmộtđiểmc ủ a nó.
Nhậnx é t 1 . 1 . 2 ( [ 5 ] ) .Đ ố i v ớ i k h ô n g g i a n t o p o X,c á c k h ẳ n g đ ị n h
s a u làđúng.


(1) ∅,Xlàcáctậphợpmở;
(2) Giaohữuhạntậphợpmởlàmộttậphợpmở;
(3) Hợptùyýcáctậphợpmởlàmộttậphợpmở.
Víd ụ 1 . 1 . 3 . ( 1 ) G i ả s ử X l à m ộ t t ậ p h ợ p t ù y ý , T = {∅,X}.K h i đ ó , Tlà
một topo trênt
topo trênXvà
nó
được
gọi
làtopo
thơtrênX,
(X,T)đượcgọilàkhơnggiantopothơ.
(2) Giảs ử X l à m ộ t t ậ p h ợ p t ù y ý , T = P (X).K h i đ ó , T l à m ộ t t o p o trên
XvànóđượcgọilàtoporờirạctrênX.
(3) GiảsửX=R.Kýhiệu
τ=

[∈

}

I(ai,bi):a i,bi∈R,ai≤b i .

i

Khiđó,τl à mộttopotrênXvà nólàtopotựnhiênh a y topothơngthư
ờngt r ê n R.
(4) GiảsửXlàtậphợpvôhạn.Tađặt
τ= {U⊂ X:U= ∅h o ặc c X\Uh ữ u hạn}.
Khiđó,τl à mộttopotrênXvàđượcgọilàtopoZariskihaylàtopo
đốihữuhạnt r ê n X.
Chứngminh.K h ẳ n g định(1),(2),
(3)làrõràng.Bâygiờtachứngminh khẳngđịnh(4).Thậtvậy,
đị n h n g h ĩ a c ủ a τ t a s u y r a ∅ ∈ τ .M ặ t k h á c , v ì X \
X= ∅l à t ậ p hữuhạnnênX∈τ.
S
G i ả sử { Ui:i ∈ I}⊂ τvàU=
Ui.Khiđó,nếuU=

ˆT ừ

ˆ

i∈I

,thìrõràng

∅
U∈τ.Bâygiờ,giảsửU̸
=∅,khiđótồntạii∈Isaocho U i̸ =∅.


BởivìU i∈τn ê n X\Uihữuhạn.Hơnnữa,vìU i⊂Un ê n tasuyra
X\U⊂X\Ui.

S
\ ∈
Dođó,XU hữuhạn.Bởivậy,U=

i∈I

Ui

τ.

s ử U 1,U2∈ τ ,k h i đ ó n ế u U 1∩U 2= ∅,t h ì r õ r à n g U 1∩U 2∈ τ .
Bâygiờ,giảsửU 1∩U2≠
∅.Khiđó,

ˆG i ả

U1̸ =∅v à U 2̸ =∅.
Bởiv ì U 1,U2∈ τ n ê n X \U1v à X \U2h ữ u h ạ n . H ơ n n ữ a , v ì
X\(U1∩U2)=(X\U1)∪(X\U2)
nênX\(U1∩U2)hữuhạn.Dovậy,(U1∩U2)∈τ.
Nhưvậy,τl à mộttopotrênX.
Định nghĩa 1.1.4.Giả sửAlà một tập con khác rỗng của không
giantopo(X, τ τ). Khi đó, tập conUcủaXđược gọi là mộtlân cận
củaAnếutồntạiV∈ τs a o cho
A⊂V⊂ U.
Ngồira,nếuU∈τ,thìtanóirằngU l à l â n c ậ n m ở củaA .Đ ặ c b i ệ t , nếuA={x
},thìtanóirằngUl à lâncậncủa x.
Nhậnx é t 1 . 1 . 5 ( [ 5 ] ) .L â n c ậ n c ủ a m ộ t đ i ể m k h ô n g n h ấ t t h i ế t
l à m ộ t tậphợpmở,nhưngmỗitậphợpmởlàlâncậncủamọiđiểmthuộcnó.

Chứngm i n h . T r ê n t ậ p h ợ p c á c s ố t h ự c R vớ i t o p o t h ô n g t h ư ờ n g τ ,g i ả s ử
U=[−1;1]vàV= (−1;1).Khiđó,V∈ τv à Ul à mộtlâncậncủađiểm
x=0vìx∈V⊂ Un h ư n g U ∈/τ .Dođó,lânc ậnc ủ a mộtđiểmkhơng
nhấtthiếtlàmộttậpmở.
Ngượcl ạ i , g i ả s ử U l à t ậ p m ở v à x ∈U.K h i đ ó , n ế u t a đ ặ t V = Ut h ì r õ ràng
V∈ τv à x∈V⊂ U.Nhưvậy,Ul àmộtlâncậncủax.


Bổ đề 1.1.6.Đối với không gian topo(X, τ τ), các khẳng định sau là
tươngđương.
(1) Ul à tậphợpmở;
(2) Ul à l â n c ậ n c ủ a m ọ i đ i ể m t h u ộ c n ó ;
(3) Vớim ọ i x ∈U,t ồ n t ạ i l â n c ậ n V xc ủ a x saoc h o x ∈V x⊂U.
Chứng minh.(1) =⇒(2). Giả sửUlà tập mở vàx∈U. Khi đó, nếu
tađặtV=U, thì rõ ràngV∈ τv à x∈V⊂ U. Như vậy,Ul à τ m ộ t τ l â n
c ậ n củaxtrongX.
(2) =⇒(3). Giả sửUlà lâncận của mọix∈U. Khi đó, với
mọix∈U,nếutađặtV x=U,thìV xlàlâncậncủaxvà
x∈V x=U⊂U.
Dođó,(3)thỏamãn.
(3)=⇒(1).Giảsửvớimọix∈U,tồntạilânc ậ n V xc ủ ax saoc h o
x∈V x⊂U .K h i d ó , v ì V xl à l â n c ậ n c ủ a x nênt ồ n t ạ i W x∈τs a o c h o
x∈W x⊂V x⊂U.
Dođó,tathuđược
U=
kéotheoU=

S
x∈U

S
x∈U

{x}⊂

S

Wx⊂U,

x∈
U

Wx.B ở i v ì W x∈τ v ớ i m ọ i x ∈U n ê n t a s u y r a U ∈ τ ,

nghĩalàUm ở trongX.Nhưvậy,(1)thỏamãn.
Định nghĩa 1.1.7.Giả sử(X, ττ)là một không gian topo vàB ⊂τ. Tanói
rằngBlàcơsởc ủ a (X, τ τ)(hay làcơ sởcủaτ) nếu mỗi phần tử
củaτl à hợpnàođócácphầntửcủaB.


Nhậnxét1.1.8. Giảsử(X,τ)làmộtkhơnggiantopovàmộthọB⊂ τ.Khiđ
ó,
(1) NếuB làc ơ s ở c ủ a τ ,t h ì m ỗ i p h ầ n t ử c ủ a B làm ộ t t ậ p h ợ p m ở tro
ngX.Tuynhiên,mỗitậphợpmởtrongXcóthểkhơngthuộcB.
(2) Bl à c ơ s ở c ủ a k h ô n g g i a n t o p o ( X,τ)k h i v à c h ỉ k h i v ớ i m ọ i U ∈ τ
vàvớimọix ∈U,t ồntạiV∈ Bs a o cho
x∈V⊂ U.
Chứngminh.( 1 ) BởivìB⊂τn ê n mọiphầntửcủaBđ ều u mởtrongX.
Bâygiờ,tachứngminhrằngcóthểtồntạinhữngtậpmởkhơngthuộccơsở.
Thậtvậy,giảsửRlàtậpsốthựcvớitopothơngthườngτ,talấy

B={(a,b):a,b∈R,a≤b},
U= (1,2)∪(3,4).
Khiđó,rõràngBlàmộtcơsởcủa(R,τ)vàU∈τnhưngU∈/B.
(2)♣Điềuukiệncần.GiảsửhọBlàmộtcơsởcủaτ,U∈τv
à x∈U.Khiđó,theo
S
Địnhnghĩa1.1.7,tồntại
B{i:i ∈ I }⊂B saochoU=
Bi.
i∈I

Bởivìx∈Unê n tồntạii 0∈Isaochox∈B i0⊂U.Nhưvậy,nếutađặt
V= B i0,t hì V ∈ Bv à x ∈V⊂ U.
♣Điều kiện đủ. Giả sửU∈τvàBlà họ nào đó gồm các tập con
mởtrongXthỏamãnrằngvớimỗix∈U,tồntạiVx∈Bsaochox∈V x⊂U.Khiđó,
tathuđược
U=
ĐiềunàychứngtỏrằngU=

S
x∈U

{x}⊂

S
x∈U

S

Vx⊂U .

x∈
U

Vx.Như vậ y, Bl à m ột cơsởcủa τ.


1.2. Tậphợpđóng,baođóngvàphầntrongcủamộttậphợp
Địnhnghĩa1.2.1.Tập conXcủa một khơng gian topo(X, ττ)được
gọilàtậphợpđóngt r o n g XnếuX\A∈τ.
Địnhlí1.2.2.Đốivớikhơnggiantopo(X,τ),cáckhẳngđịnhsaulàđúng.
(1) ∅,Xl à cáctậphợpđóng;
(2) Hợphữuhạntậphợpđónglà mộttậphợpđóng;
(3) Giaot ù y ý c á c t ậ p h ợ p đ ó n g l à m ộ t t ậ p h ợ p đ ó n g .
Chứngminh.( 1 ) BởivìX\∅=X∈τv à X\
X=∅∈τn ê n ∅v à Xl à cáctậpđóngtrongX.
(2) Giảs ử F 1,...,Fnl à c á c t ậ p đ ó n g . K h i đ ó , X \F 1,...,X\F nl à
Tn
cáctậpmở.TheoNhậnxét1.1.2,tacó
(X \ Fi) τ.Hơnnữa,
i=1

n
T

i=1

Sn
Dođó,X\

(X\Fi) =X\

F

i= i
1

Sn

Fi.

i=1

S

∈τ.Điềunàychứngtỏrằng

n

Filàmộttậpđóng.

i=

1
(3) Giảsử{Fα:α∈Λ}làmộthọgồmcáctậpconđóng.Khiđó,với
mỗiα∈Λ ,tacóX\Fαlàtậpmở.TheoNhậnxét1.1.2,tathuđược
αS

X

\Fα∈ τ.Hơnnữa,vì

∈Λ
αS∈Λ

nêntasuyrarằngX
tậpđóngtrongX.

X

T
\Fα=X\

T\ α∈Λ Fα

T∈

Fα
α∈
Λ

τ.Điềunàychứngtỏrằng

Fαlà
α∈Λ


Nhậnx é t 1 . 2 . 3 . H ợ p tùcáctậphợp đóngtrongkhơnggiantopo c
óthểkhơngđóng.Dođó,giaotùcáctậphợpmởcóthểkhơngmở.
Chứngminh.G i ả sửRlàtậphợpsốthựcvớitopoτt h ơ ng thườngvà

n

A= 0,1−

1 với
mọin∈N ∗.
n

Khiđó,
• AnlàtậphợpđóngtrongRvớimọin∈N ∗.
•

n∈S
N∗

An=[0,1).

Thậtvậy,giảsửx

Sn∈N∗ An.Suyratồntạin∈N ∗saocho
∈
1
x∈A
=0,1− ⊂[0,1).
n

n

Ngượclại,giảsửx ∈[0,1),kéotheo
0≤x<1.

Dođó,tồntạin∈N ∗saocho
1
0≤x≤1−
n.
Điềunàysuyrarằng
1=
x∈0,1−
A
n

n

⊂n

∈S

An.

N∗

• [0,1)khơnglàtậphợpđóngtrong(R,τ).
Từchứngminhtrêntasuyrarằnghợptùcáctậphợpđóngcóthểkhơngđóng.
Dođó,giaotùcáctậphợpmởcóthểkhơngmở.


Định nghĩa 1.2.4.Giả sửAlà một tập con của không gian topo(X,
τ).Khi đó, giao của tất cả các tập con đóng trongXchứaAđược gọi
làbaođóngc ủ a AvàkýhiệulàA.
Địnhl í 1.2.5.Giảs ử A ,B l à c á c t ậ p c o n c ủ a k h ô n g g i a n t o p o ( X,τ)
.Khiđó,cáckhẳngđịnhsaulàđúng.

(1) AlntồntạivàA⊂A;
(2) Alàt ậ p h ợ p đ ó n g n h ỏ nh ất c h ứ a A ;
(3) AđóngkhivàchỉkhiA=A;
(4) NếuA ⊂B,th ì A ⊂B;
(5) A∪B=A∪B;
(6) A∩B⊂A∩B,v à đ ẳ n g t h ứ c k h ô n g x ả y r a .
Chứng minh.(1) Từ Định nghĩa1.2.4và
raAlntồntạivàAlàmộttậpconđóngchứaA.

Định

lí1.2.2ta

suy

(2) Giả sửGlà tập đóng nhỏ nhất chứaA. Khi đó, vìAlà tập
đóngchứaAnênA⊂G. Như vậy,G=A, nghĩa làAlà tập con đóng nhỏ
nhấttrongXchứaA.
(3) Giả sửA⊂Xlà tập hợp đóng. Khi đó, vìAlà tập đóng nhỏ
nhấtchứaAvàAcũng là tập đóng chứaAnênA⊂A. Mặt khác, theo
khẳngđịnh(1),tacóA⊂A.Dovậy,A=A.
Bâygiờ,giảsử A=A,khiđótheokhẳngđ ịnh (1)tasuyra Alàtậpconđ
óng.
(4) GiảsửA⊂B,khiđótheokhẳngđịnh(1)tacó B⊂B,kéotheo A⊂B
. Như vậy, ta suy raBlà tập con đóng chứaA. Mặt khác, lại
theokhẳngđịnh(1),AlàtậpđóngnhỏnhấtchứaAnêntasuyraA⊂B.
(5) BởivìA⊂A∪BvàB⊂A∪Bnênnhờkhẳngđịnh(4),tasuyra


A⊂A∪BvàB⊂A∪B.

Dođó,tanhậnđược
A∪B⊂A ∪B. τ τ τ τ τ τ τ

(1.1)

Mặtkhác,lạitheokhẳngđịnh(1)tacóA⊂AvàB⊂Bnên
A∪B⊂A ∪B.
Hơnnữa,nhờĐịnhlí1.2.2vàkhẳngđịnh(1)tasuyraA∪BlàtậpđóngvàA∪B
⊂A∪B.Dođó,
A∪B⊂A∪B.

(1.2)

Dovậy,từ(1.1)và(1.2)tasuyrarằngA∪B=A∪B.
(6) BởivìA∩B⊂AvàA∩B⊂Bnêntheokhẳngđịnh(4),tasuyra
A∩B⊂AvàA∩B⊂B.Dođó,
A∩B⊂A∩B.
Bâygiờ,taxétRvớitopothơngthường.Giảsử
A=(0,1)và B=(1,2).
Khiđó,A∩B=∅=∅,A∩B={1}.Nhưvậy,A∩B̸ =A∩B.
Bổđ ề 1 . 2 . 6 . G i ả s ử ( X,τ)l à m ộ t k h ô n g g i a n t o p o , A ⊂ X.K h i đ ó ,
x∈Akhiv à c h ỉ k h i v ớ i m ọ i l â n c ậ n m ở U c ủ a x tađ ề u c ó U ∩A̸=∅.
Chứng minh.•Điều kiện cần. Giả sử rằngx∈AvàVlà một lân cận mởcủax.
Ta cần chứng minh rằngV∩A̸=∅. Thật vậy, giả sử ngược
lạirằngV∩ A=∅ ,k é o t h e o A ⊂X \V.B ở i v ì V ∈τ n ê n X \
Vđóngt r o n g X.Dođó,theoNhậnxét1.2.5tasuyrarằng
A⊂X\V= X\V,


kéot h e o A ∩V= ∅.Đ i ề u n à y m â u t h u ẫ n v ớ i x ∈A∩V.

• Điềukiệnđủ.GiảsửrằngvớimọilâncậnVc ủ a xtađềucóV∩A̸=∅.
Tacầnchứngminhx∈ A.Thậtvậy,giảsửngượclạirằngx∈/A,kéo
theox ∈X \A.B ở i v ì X \Alàt ậ p h ợ p m ở c h ứ a x nênV = X \Alàl â n
cậnmởcủaxtrongXthỏamãnV∩ A=∅.Điềunàymâuthuẫnvớigiảthiếtđi
ềukiệnđủ.
Định nghĩa 1.2.7.Giả sửAlà một tập con của khơng gian topo(X,
τ).Khi đó, hợp tất cả các tập mở nằm trongAđược gọi làphần
trongcủaA.KíhiệulàIntA.
Nhậnxét1.2.8.(1)I n t AlàtậpmởlớnnhấtnằmtrongA.
(2) A⊂XlàtậpmởkhivàchỉkhiIntA=A;
(3) NếuA⊂B,thìIntA⊂IntB.
Chứngminh.( 1 ) BởivìhợptùyýcáctậpmởlàmởnêntheoĐịnhnghĩa
1.2.7ta suyraIntAlà τtậphợp mởnằm trongA.
Bây giờ, giả sửGlà tập hợp mở lớn nhất nằm trongA. Khi đó, vìIntAlà
tập τ mở τ nằm τ trongAnênG⊂IntA. Mặt khác, vìGlà tập mở
nằmtrongAnênnhờĐịnhnghĩa1.2.7,IntA⊂G.Nhưvậy,IntA=Gvà
GlàtậphợpmởlớnnhấtnằmtrongA.
(2) GiảsửA⊂X,khiđó
(2.1)Điều kiện cần.Giả sửAlà tập mở. Khi đó, theo khẳng định
(1),IntAlàt ậ p m ở l ớ n n h ấ t n ằ m t r o n g A .M ặ t k h á c , v ì A cũng l à t ậ
p m ở nằm trongAnênA⊂IntA. Hơn nữa, lại theo khẳng định
(1),IntA⊂A.Dođó,A=IntA.
(2.2)Đ i ề u k i ệ n đ ủ .G i ả s ử A =I n t A,k h i đ ó t h e o k h ẳ n g đ ị n h ( 1 ) t a
suyrarằngAlàtậphợpmở.
(3) Giảs ử A ⊂B ,k h i đ ó t h e o k h ẳ n g đ ị n h ( 1 ) , I n t Alàt ậ p m ở n ằ m


trongA,kéotheoIntAlàtậpmởnằmtrongB.Mặtkhác,vìIntBlàtậpmởlớ
nnhấtnằmtrongBnênIntA⊂IntB.
Địnhlí1.2.9.G i ả sử(X,τ)làkhơnggiantopovàA⊂X.Khiđó,

IntA=X\X\A.
Chứngminh.T h e o Nhậnxét1.2.5,tacóX\Alàtậphợpđóng,kéotheo
X\X\A∈τ .N h ờ b a o h à m t h ứ c
X\X\A⊂X \(X\A)= A
ta suy raX\X\Alà tập hợp mở nằm trongX\A. Theo Nhận
xét1.2.8,tathuđược
X\X\A⊂IntA.

(1.3)

LạitheoNhậnxét1.2.8,X\IntAlàtậphợpđóngvà
X\A⊂X\IntA.
Dođó,nhờNhậnxét1.2.5tasuyrarằng
X\A⊂X\IntA=X\IntA.
Từđótathuđược
IntA⊂X\X\A.

(1.4)

Dovậy,từ(1.3)và(1.4)tasuyraIntA=X\X\A.
Địnhl í 1 . 2 . 1 0 ( [ 5 ] ) .Đốiv ớ i k h ô n g g i a n t o p o ( X,τ),c á c k h ẳ n g đ ị n h
s a u làtươngđương.
(1) x∈A ;
(2) U∩A̸=∅v ới i m ọ i l â n c ậ n U c ủ a x ;
(3) TồntạimộtcơsởB xcủaxsaochoU∩A̸=∅v ới i mọiU∈B x.


1.3. Mộtsốtiênđềtách
Địnhn g h ĩ a 1 . 3 . 1 . G i ả sử(X,τ)làmộtkhơnggiantopo.Khiđó,
(1) (X,τ)đượcgọilàT 1khơnggiannếuvớimọix,y∈Xmàx≠y ,tồntạicáclâncậnmởUc ủ a xvà

Vcủaysaochox∈/Vvày∈/U;
(2) (X, τ τ)được gọi làT2-không gianhay làkhông gian Hausdorffnếu
vớimọix ,y ∈X m à x ̸=y,t ồ n t ạ i c á c l â n c ậ n m ở U c ủ a x vàV củay s
aochoU∩V= ∅.
(3) (X,τ)đ ư ợ c g ọ i l à k h ô n g g i a n c h í n h q u y n ế u v ớ i m ọ i t ậ p F đ ó n g v à
x∈/F,tồntạilâncậnmởUc ủ a x,VcủaFsaochoU∩V=∅.
Địnhlí1.3.2.Giảsử(X,τ)làmộtkhơnggiantopo.Khiđó,
(1) T2-khơnggian=⇒T1-khơnggian;
(2) T1-khơngg i a n ̸ =⇒T 2-khơngg i a n .
Chứngminh.( 1 ) Giảsử(X,τ)làT 2-khơnggianvàx,y∈X.Khiđó,tồn
tạicáclâncậnUcủaxvàVcủay saochoU∩V=∅.Kéo theox∈/V
vày∈/U.Dođó,(X,τ)làT 1-khơnggian.
(2)GiảsửXlà tậphợpvơhạn,vàτl à topoZariski.Khiđó,
• (X,τ)làT 1-khơnggian.
Giảs ử x , y∈X s a o c h o x ̸=y.K h i đ ó , n ế u t a l ấ y
U=X\{x};V = X\{y},
thìX\U={x}vàX\V={y}là các tập hữu hạn. Do đó,Vlà lân
cậnmởcủaxkhơngchứayvàUlàlân cậnmởcủaykhơngchứax. Nhưvậy,
(X,τ)làT 1-khơnggian.
• (X,τ)khơnglàT 2-khơnggian.


Thậtvậy, giả sửU,Vlà hai tập hợp mở khác rỗng bất kỳ củaX.Khiđó,X\
UvàX\Vlà các tập con hữu hạn củaX.Như vậy, nếuU∩V=∅,thìU⊂X\
Vh ữ u hạn,kéotheoUh ữ u hạn.Bởivì
X=U∪(X\U)
nêntasuyraXhữuhạn.ĐiềumâuthuẫnnàychứngtỏrằngU∩V= ∅.Dođó,
(X,τ)khơnglàT 2-khơnggian.
1.4. Khơnggiancon,khơnggiancompact
Địnhnghĩa1.4.1.Giả sử(X, ττ)là một khơng gian topo vàUlà họ

cáctậpconnàođócủaX,A⊂X.Khiđó,
(1) Uđ ư ợc c gọilàmộtphủc ủ a AnếuA⊂∪ { U:I∈U}.
(2) Uđ ư ợc c gọi làmộtphủ m ở c ủ a AnếuU l à mộtphủcủa AvàU⊂ τ .
(3) Vđ ư ợc c g ọ i l à p h ủ c o n h ữ u h ạ n c ủ a U n ếu u V ⊂ U ,Vh ữ u h ạ n v à V
phủA.
Vídụ1.4.2.(
S1 ) C h o ( X,d)l à k h ô n g g i a n m e t r i c v à r > 0 .K h i đ ó ,
∈
vớimọix
X,v∈ì x
B(x,r)n ê n t a s u y r a X =
B(x,r).D o đ ó ,
{B(x,r):x∈X}l à m ộ t p h ủ m ở c ủ a X.

x∈x

(2) TaxétRvớitopothơngthường.Khiđó,
U= {(−n,n):n∈N}
làmộtphủmởcủaRnhưngkhơngcóphủconhữuhạn.Thậtvậy,rõràngrằngR=
S−
( n0,n0).D o đ ó ,
làmộtphủmởcủaR.
n∈N

Bâyg i ờ ,Ug i ả s ử U cóp h ủ c o n h ữ u h ạ n , n g h ĩ a l à t ồ n t ạ i n 1,...,nk∈N
Sk
saochoR=
(−ni,ni)= ( −n0,n0)v ớ i n 0= m a x {ni:i ≤k },đ â y l à
i=

1
mộtmâuthuẫn.