Một số nhóm con của nhóm s7

Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh
Khoa Tốn — Tin Học
CC)

Bộ mơn : Đại Số

Đề tài

Mộtsố nhóm c0n của
nhóm$7
Giáo viên hướng dẫn

:

TS. Trần Huyên

Sinh viên thực hiện

:

Lâm Hữu Phước

THƯ

VIÊN

Trưởng Đại-Học Su-Phạm
—

TP

H()-

Hi

MIN


Lời nói đầu
Trong lý thuyết nhóm đại số thì nhóm các phép thế đóng một vai trị quan trọng.
đặc biệt là trong lý thuyết các nhóm hữu hạn. Việc phãn tích các nhóm con của nhóm
các phép thế giúp hiểu rõ hơn lý thuyết nhóm hữu hạn, đồng thời cũng giúp ích phần

nào cho việc tìm hiểu sâu hơn phần lý thuyết đại số này.

Trong luận văn này, em dùng định lý Sylow, định lý Lagrange, và một số mệnh đề

về tác động của một nhóm lên một tập, đặc biệt là các mệnh đề về tác động liên hợp

của một nhóm lên chính nó và lên tập các nhóm con của nó để tìm hiểu một vài điều

về nhóm Š;. Trong đó, đã chứng minh được một số nhóm con không tổn tại trong S;,

xác định sự tồn tại và phân tích một số nhóm con khác.

Nhân dịp này, em xin chân thành cảm ơn thầy Trần Huyện đã tận tình giúp da,

động viên em hồn thành luận văn này.

TPHCM

ngày 28 tháng 4 năm2004
Lâm Hữu Phước


Mục

lục

Lời nói đầu

2

1 KIEN THUC CHUAN BI

5

121

CC ANH

sẽvýv

ve

cv

c<‹ S634

{SA

SẼ

k6

2 SŸ

Nhóm, nhóm abel cấp củanhóm

1.13
LER

Nhóm con cyclic, cắp của phần tử, nhóm cyclc .........
SENS CR TWIN
ee ý.) 2 (0/2/20) 2222.2041122.

112

1.1.5

.................-

Nhóm con, nhóm con sinh bởi một tập.............-

Nhóm con chuẩn tắc (ước chuẩn), cái chuẩn tắc hóa, cái tâm hóa

1.1.6

Tác động của nhóm lên một tập..................

1.1.8

Phép

1.17
Oe

vay

111

SS

Nhóm con đẳng hướng và quỹ đạo phần tử............
thế và nhóm

SE,

Sy

2 RAL

GOT Se

a

el BE

Oe

RLS Te

rE

%0 624 t$

eee

5

5
6

6

6

7
7

8

8
10

12.4

15

Các mệnh đề liên quan đến tác động của một nhóm lên một tập

Các mệnh đề liên quan đến ước chuẩn và cái chuẩn tắc hóa...

1.2.5 Dinh lý phân tích phép thế thành tích các vịng xích độc lập...

2 MỘT SỐ NHÓM CON CỦA NHÓM 5S;

Ce NN Oe SEI fo acaece-co; Wongengre: qureR eS

211

Các phằntửcấp2

Z13

‘Cho plinth chs)

21%

nee

S15 CC

214
215
13169
2.2

5

1.2.1 Các mệnh để cơ bản về cắp và số phẳửntửỬ ............

1.2.2 Dinh ly Sylow, các hệ quả và mệnh đề liên quan .........
1.2.3

BS)

5

S18

EMGAGE SKN

..........................

HÀ Gv.

ccaac2ia2c6
(ốc coi a(c C22

Che pin tR ele 8.5
‘Cin win
che Bic
:Cbs phn tk la 7

56 eee
CEL

OO

eck SSE
AGES REE

(222232)
/62/221/ GÌ cucc goyoa
(cố
c2
6L c7
SES

[sa cceadrrevaeseneg
cong: gượn

‘Che ONC Ob 1S. s cac

Cée nhém con cyclic. trome- Sy

oe

eee aia

c 6 cee

ee eee.

eee

eects

EK

pees

12

17

20

20

20

21
21

21
21
22

22

22

22


Luan van tốt nghiệp
201)
2239

NhệmconcÂDŸ.:::
cv

NHG GD (DO ¿(cai ca. va

c2
(c2 62 C222 gà
cv š
c2 Lá28476 tác

22
23

BIE
2.2.5

(COP MIC RET + vi xc
ca wearers teeecece Kreizuere erate
Nhóm con cycliccấp4..............-...-....
..

24
24

Rat
226

DOOD CROMER CEO IO:
Nhé con cyclie tip 12)

26
27

931
232

Nmecn£fpỦ+x:::
NhềnG0 6€ÊD1Ồ;::

cv vi c 22%
v2 10c4 to
cốc c ro c G2264)

28
28

2.4.1

Trong %; khơng có nhóm con cấp 15, 35, 45, 70,90, 315.... .

29

223

2.2.6
2.3
2.4

NG

OOOO Gece

{ca c{ cac

eevee

teersseiw aise

Nhóm con cycliccắp6............ th
656%
ei

Betis

FRG aetna
a BS

Các nhóm con SylowtrongŠ%;................-:....:

cccýa‹
crẽc(:

Một số nhóm con khơng tổn tại trong Š;.................

2.4.2

2.5

MỤC LỤC

Trong Š; khơng có nhóm con cấp 63, 84, 126, 140, 28, 280, 420
560, 1008, 1260 ©.
2

ee
ee ee es

2.4.3 Trong Š; khơng tổn tại nhóm con cấp §0.............
2.4.4 Trong Š; khơng có các nhóm con cấp 30, 105, 210, 840, 1680...
Một số nhóm con khác trong $;......................
28}
Nhâmconcf6p3BÀ (| ¿c:c-. SSN ESO RE
eS
259
HN
(ACID
say cv v‹ ca
poo ca dt c2
HỆ
“NGG OO
tr Na.
6
Ree
eS
BS
SG SON CEO SE cers ccapecee caceces sapere nearer
2.5.5 Nhémconcip 2]...
2.0.5 06 6c eee ee ee ee ee

Tai liéu tham khao

24

25

27

29
32

36
37
43
43
43
44
44
45
46


Chương

1

KIÊN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

Các định nghĩa

1.1.1

Nhóm, nhóm abel, cấp của nhóm

Một nhóm
Œ là tập hợp G cùng với phép tốn 2 ngơi có tính chất kết hợp, có đơn
vị e và mọi phần tử z € Œ đều có phần tử nghịch đảo z~! € G.
Nếu phép tốn của nhóm là giao hốn thì nhóm này gọi là nhóm giao hốn hoặc
nhóm aben.
Nếu tập G là hữu hạn thì ta nói nhóm Œ là hữu hạn và số phần tử của Œ gọi là

cấp của nhóm Œ, ký hiệu là |G|. Cịn nếu GŒ là tập vơ hạn thì ta nói nhóm Œ có cấp

vo han.

1.1.2

Nhóm

con, nhóm

con sinh bởi một tập

Giả sử Œ là một nhóm. Tập con khác rỗng A của Œ gọi là nhóm con của nhóm G

nếu A4 én định đối với phép toán trong Œ và Á cùng với phép tốn cảm sinh là một
nhóm. Nếu A là nhóm con của Œ thì ta viết A < G.

Giả sử Aí là tập con khác rỗng của G. Nhóm con nhỏ nhất của Œ chứa Äf gọi là
nhóm con sinh bởi M trong Œ (là giao của tất cả các nhóm con chứa M). Ký hiệu:

(M).

1.1.3

Nhóm con cyclic, cấp của phần tử, nhóm cyclic

Nhóm con của nhóm Œ sinh ra bởi tập gồm 1 phần tử {a}. gọi là nhóm con cyclic
sinh bởi phần tử a và ký hiệu đơn giản là (a). Khi đó, cắp của nhóm con (a) cũng được
gọi là cấp cia phan tit a.
Nhận xét. Cấp của một phần tử a của nhóm Œ là số nguyên dương bé nhat n cé tinh
chat a" = e


Luan van tốt nghiệp

CHƯƠNG |. KIEN THUC CHUAN BI

Mot nhém G goi lA cyclic néu G dude sinh ra bởi phan tit @ nào đó của Œ. Khi đó,
a goi la phan ti sinh cia nhém G, và ta có G = (a).

1.1.4

Đồng cấu (nhóm)

Một ánh xạ ƒ từ nhóm Œ¡ đến nhóm G¿ gọi là đồng cấu (nhóm) nếu ƒ bảo tồn

phép tốn, tức là

Một đồng cấu (nhóm)
Một đơng cấu đơn ánh
song ánh gọi là đẳng cấu,
Nếu tổn tại một đẳng

ƒ(z.w) = ƒ(z).ƒ(u),Yz, ụ € Gì
từ Œ đến Œ gọi là 1 tự đồng cấu của G.
gọi là đơn cắu, đồng cẫu toàn ánh gọi là toàn cấu, đồng cấu
một tự đồng cấu song ánh gọi là tự đẳng cấu.
cấu ƒ từ nhóm Œ¡ đến nhóm G¿ thì ta viết Œ % Œ¿ và nói

G, và G¿ là đẳng cấu nhau.

1.1.5

Nhóm con chuẩn tắc (ước chuẩn), cái chuẩn tắc hóa, cái
tâm

hóa

Một nhóm con A của một nhóm Œ được gọi là chuẩn tắc trong Œ nếu và chỉ nếu
#Az~! = A với mọi z € Œ. Khi đó, ta cũng nói A là ước chuẩn của Œ. Ký hiệu A «1 G.
Cho Š là tập con của Œ, tập tất cả các phần tử z € Œ sao cho zSz~Ì = Š là một

nhóm con của Œ và được gọi là cái chuẩn tắc hóa của tập con S trong Œ, ký hiệu là
Ns. Néu $ gồm một phan tit a thi Ns được gọi là cái chuẩn tắc hóa của phần tit a
trong Œ, ký hiệu
là C,.

Giả sử Zs là tập tất cả các phần tử z € G sao cho zyx

Khi đó, Zs gọi là cái tâm hóa của tập con S trong G.

= y đối với mọi

€ 8.

Cái tâm hóa của chính nhóm Œ gọi là cái tâm của nó. Đó là một tập con gồm tắt
cả những phần tử giao hoán được với những phần tử khác trong GŒ va đó 1A một ước

chuẩn của G.

1.1.6

"Tác động của nhóm lên một tập

Giả sử G là một nhóm và $ là một tập. Tác động của G lên Š là ánh xạ G x 9$ —- S,

sao cho nếu ký hiệu zs(z€ Œ,s€ S) là ảnh của cặp (z,s) đối với ánh xạ đó, thì đối
với mọi z,/ € G vas € S déu có
(ry)s = r(ys) vaes = 8

Trong trường hợp đó, ta nói rằng Œ tác động lên tập Š và cũng nói rằng Š là một
G—tap.


Luận văn tốt nghiệp

CHUONG I. KIEN THUC CHUAN BI

Nhận xét. Tác động trên là một song ánh.
Ví dụ 1. Cho Ở là một nhóm, xét ánh xạ
@:GxG-—-G

(,g)

—+

rạz"!

Với mọi z, , g € G, ta có

{ (zu)g(zy)~! = zuqw~'!z~! = z(ugu"')z"'
cạ=9

Do đó, ó là một tác động của G lén G va ta goi tác động này là tác động liên hợp của
nhóm G lên chính nó.

Ví dụ 2. Cho Œ là một nhóm, S là tập tất cả các nhóm con của Œ, xét tương ứng
©

:

GxS$

(z,A)

—

—>

S$

zAz”!
= {rar"Ì!:a€ 4}

Rõ ràng tương ứng trên là một ánh xạ và là tác động của
G lên S, tác động này gọi

là tác động liên hợp của Œ lên tập các nhóm con của nó. Khi đó, nếu nhóm
con A4 là

ảnh của nhóm con Ư qua tác động liên hợp thì ta gọi nhóm con A liên hợp với nhóm
con Ư, hay A và Ư là 2 nhóm con liên hợp với nhau.

Nhận xét. Trong ví dụ trên, ta có thể thay tập tất cả các nhóm con của G bởi tập
tất cả các nhóm con có cùng cấp trong G.

1.1.7

Nhóm con đẳng hướng và quỹ đạo phần tử

Giả sử nhóm Œ tác động lên tập S va s € S. Khi dé, tap hop G, = {r € G: zs = s}

là một nhóm con của GŒ, gọi là nhóm con đẳng hướng của phần tử s trong G.

Giả sử GŒ tác động lên tập Š, s là một phần tử cố định thuộc S. Khi đó, tập
Gs = {rs: xz € G} C 8 gọi là quỹ đạo của phần tử s đối với nhóm G.

1.1.8

Phép thế và nhóm 6;

Một phép thế trên một tập hợp X là một song ánh từ X lên chính nó. Khi X là

tập có n phần tử thì một phép thế trên X gọi là một phép thế bậc n. Để tiện lợi mà
vẫn khơng mắt tính tổng quát, ta thường lấy tập n phần tử là X = {1,2,3,...,n}.
Khi đó, mỗi phép thế bậc n thường được viết đưới dạng:

/={

—

1

\/()

2

/2)

...

---

n

f(n)

)

Vì ƒ là song ánh nên các phần tử ƒ(1), ƒ(2), /(3),....
ƒ(n) ở dòng dưới đều khác

nhau, do đó, chúng là một hốn vị của n phần tử 1,2,3,...,n. Như vậy, mỗi hoán vị

7


Luận uăn tốt nghiệp

CHƯƠNG 1. KIẾN THÚC CHUẨN BỊ

xác định một phép thế bậc n nên số các phép thế bac r‹ bằng số các hốn vị của tập
có phần tử và bằng n!. Tập hợp tất cả các phép thế bậc m ta sẽ ký hiệu là S„
Phép thé f bac n cịn có thể được viết đưới nhiều dạng khác bằng cách thay đổi

thứ tự các phần tử ở đồng trên và đồng thời thay đổi các phẫn tử tương ứng ở dịng
dưới. Tổng qt, ta có thể viết ƒ dưới dạng
=

(

ay

dạ

---

Qn

ƒ(m)

ƒ(œ)

---

f(aa)

)

trong đó, a¡,đạ,...,a„ là hốn vị của n phần tit 1,2,3,...,n.

Nếu ƒ,ø là các phép thế bậc n thì tích ƒ;ø, g„ƒ, ƒ~' và ánh xạ đồng nhất ìx cũng

là các phép thế bậc ø. Từ đó ta suy ra Š„ cùng với phép nhãn ánh xạ lập thành một
nhóm mà ta gọi là nhóm các phép thế bậc mở (cịn gọi là nhóm đối xứng bậc n).
Hàm siợn : S„ —— R xác định như sau

sign(f) =

ssl:

T7
f(t)

£0)

Ta c6, sign(f) € {1,—1} với moi f € S,, sign(f) goi la déu cha phép thé f.

Mot phép thé goi la phép thé chfn nếu dấu của nó bằng 1 và gọi là phép thế lẻ nếu

dấu của nó bằng -1.
Tập tất cả các phép thế chãn của Š„ cũng lập thành một nhóm gọi là nhóm các
phép thế chẫn bậc m hay cịn gọi là nhóm thay phiên bậc n. Ký hiệu là A„.
Với n = 7, ta có nhóm các phép thế bậc 7, ký hiệu là Š;. Như vậy, số phẳn tử trong

S; là 7! = 5040 (phần tử).

Sau đây, ta có một số mệnh đề trước khi tìm hiểu vài điều về S;.

1.2
1.2.1

Các định lý, mệnh đề
Các mệnh đề cơ bản về cấp và số phần tử

Quan hệ tương đương xác định bởi một nhóm con
Giả sử G là một nhóm và A4 là nhóm con của Œ. Ta định nghĩa quan hệ hai ngôi ~
trong tập hợp Œ như sau: với mọi z,
€ G,

z~Us“=rl/€A
Khi đó, quan hệ ~ là một quan hệ tương đương trong G.
Thật vây, vì z*Ìz = e € A nên ~ Ja phan xa.


Luận uấn tốt nghiệp

CHUONG 1. KIEN THUC CHUAN B]

1111

Ta lại có

Do vậy, ~ là đối xứng.

Cuối cùng, nếu z ~ và

rlụcA
(a~'y)~' € A (Vi A lA nhém con)

y'reA
Ụụ~#

~ z thì z~!z = (z~!w)(y~!z) € A nên ~ là bắc cầu.

Lớp ghép
Với mỗi z € G, ta ký hiệu lớp tương đương chứa z là # và ký hiệu

z#A = {ra:a€
A4} C G
Khi đó, ta có 7 = zA,Y+z
€ G.

Thật vậy, giả sử
A, cho nên

=

€ 7, khi đó

~ z tức là z~'y = a là một phần tử nào đó thuộc

ra € rA. Ngược lại, giả sử y € 2A khi đó

+“ =a€A. Vậy, z ~

và ụ € F.

=

1a với a € Á, nên

Vì rA là các lớp tương đương nên ta cú

tA=yA
ryÂA

=
ô=>

rỡ@A
rAnyA=ứ

Cỏc tp con zA gi l cỏc lp ghộp trái của nhóm con Á trong G. Tập hợp thương

của Œ theo quan hệ ~ gọi là tập hợp thương của nhóm Œ trên nhóm con Á và ký hiệu
G/A. Vậy
G/A={rA:2re€G}

Ta cũng có thể làm tương tự cho các lớp ghép phải.
Định lý Lagrange và hệ quả
Dinh ly 1.1 (Dinh ly Lagrange).

G. Khi dé ta có

Gid siG la nhém hitu han, A la nhém con của

|G| = |A|.|G/4|

Số |G/A| là số phần tử của tập G/A haw gọi là chỉ số của nhớm cơn A trong Œ còn

được ký hiệu là (Œ : A). Đôi lúc ta cũng viết |G| là (G : 1) và |A| là (A : 1), à do đó
cơng thức trên có thể tiết lại là

(G:1)=(G: A).(A: 1)


Luận văn tốt nghiệp

CHUONG 1. KIEN THUC CHUAN BI

Chứng tinh. Trước hết, nếu zA là một lớp ghép trái, thì ánh xa
Á —
aw

za
za

là một song ánh. Thật vậy, nó tồn ánh do định nghĩa của tập zA, nó đơn ánh vì nếu

ra, = raz thi a, = a¿ do luật giản ước trong nhóm. Như vậy, số phần tử của mỗi lớp

ghép đều bằng nhau và bằng [A], ma có tắt cả |Œ/A| lớp ghép, nên ta có

|G| = |G/AI.|A|

Từ định lý này, ta có một mệnh đề tổng quát hơn là
Mệnh

đề 1.1.

Giả sử Œ là nhóm hữu hạn; H,K là nhóm

con của Œ, K C HH. Khi đó

ta có

(G: K)=(G:

H).(H: K)

Hệ quả 1.1.

(¡) Cấp của một phần tit tùu ý của nhóm hữu hạn Œ là ước của cắpG
() Mọi nhóm hữu hạn cắp nguyên tố déu la cyclic va được stmh bởi một phần tử bắt
kù khác đơn tị.

Chứng trinh.

(i) Néu x € G thì theo định nghĩa, cấp của z bằng cấp của nhóm con (z), nên là ước
của cắp G.
(i) Nếu Œ có cấp nguyên tố. Khi đó, với mọi z € Œ,z # e, cấp của z là một số lớn
hơn 1 và là ước của cấp G.

O

Từ (ii) ta rút ra nhận xét sau

Nhận xét: 2 nhóm con có cùng cấp là một số nguyên tố thì hoặc trùng nhau hoặc
giao nhau bằng đơn vị.

1.2.2

Định lý Sylow, các hệ quả và mệnh đề liên quan

Định lý 1.2 (Định lý Sylow). Giả sửŒ là một nhóm hữu hạn, |G| = p".r, vớip là

số ngun tơ khơng là ước của r. Khi đó

(¡) Œ có nhóm con cấp ph. Một nhơm con nhu vay goi la p—nhém con Sylow của G.
10


Luận ăn tốt nghiệp

CHUONG 1. KIEN THUC CHUAN BỊ

(it) Méi p—nhém con cia G (nhém con cia G ma cap la lity thita nao dé ctia p) déu
ndm trong mét p—nhém con Sylow nao dé cia G.

(iii) Tat ca cdc p—nhớm con Sulou của G đều liên hợp wh nhau trong G.
(iv) Goin la sd p—nhém con Sylow ctia G thi
nir

{ n = 1(modp)
Hệ quả 1.2. Giả sử Œ là một nhóm hữu han, mét p—nhém con Sylow trong G là ước

chuẩn của Œ khi uà chỉ khi trong Œ chỉ có duy nhất một p—nhém con Sylow.
Chitng minh. Goi H là p—nhém con Sylow trong G.

Nếu H 4 GŒ. Cho Œ tác động bằng liên hợp lên tập các nhóm con của nó, theo

định lý Sylow thì các p—nhóm con Sylow đều liên hợp với nhau, mà do /#ƒ là ước chuẩn

của ŒG nên quỹ đạo GH chỉ gồm một phần tử #f. Do dé, trong G chi có duy nhất một

p—nhém con Sylow.
Ngược lại, do tác động của một nhóm lên một tập là song ánh nên khi Œ tác động
lên H thì cho ra p—nhóm con Sow trong Œ, nhưng trong G chỉ có một p—nhóm con
Sylow. Do vậy, ta được

xzHz"`' = H,YreŒ

hay

HAG

Ménh dé 1.2. Cho G la mét nhém, A, B là các nhớm con của G, va
AN B= {e}

A.B ={ab:ae
Abe B}=G
Néu mét trong 8 trường hợp sau rảy ru

(i) ab = ba,Va
€ A,Vb € B
() A4G,B4G

thì

G2AxB

11


Luận van tét nghiệp
Chitng minh.

CHUONG |. KIEN THUC CHUAN BỊ

Néu A 2G, BAG,

thi véi moi a € A, bE B, ta cé

aba“"b-!
aba“'b-'

=
=

(aba')b'€ B
alba 'b')EA

Do AN B = {e} nén aba~*b-' = e. Vi thé ab = ba, Va € A, Whe
Do vay, chi cin chimg minh ménh dé vdi diéu kién (7).
Xót

ƒ:

AxB

—

(Z, 1)

—+

F((zi,
i )(2,y2))

B.

G6
zy

= ƒ(Tt-Zz Vi.)
~=

TỊ.12.U/i-12

=

TỊ.UI.T2.1⁄2

ƒ(.
vì )-ƒ(a. ta)
Do đó, f là đồng cấu nhóm.
Do A.B = G nên ƒ là tồn cấu.

Mặt khác, A f1 = {e} nên ta có
r=e

=
<>

tức là

r=e

y=e
(z,y) = (e,e)

ker
f = {e}

Vậy, f la đẳng cấu.
1.2.3

D

Các mệnh đề liên quan đến tác động của một nhóm lên
một tập

Mệnh
đề 1.3. Giả sử nhóm Œ tác động lên tập S, s tà s” là các phần tử thuộc S và

ụ là phần tử thuộc G sao cho ys = s’. Khi đó, các nhóm đẳng hướng của các phần tử

ats dita how when.

Chitng minh. Xét tap yG,y™, ta cd: Wr € yG,y7' thi z = y#tW Ì,z¡ € G,. Do đó

rs’ = (yxyy™')s’ = yx,(y"'s’) = yris = y(z1s) = ys = 8
tức là „Œ„~! giữ s“ không đổi.
Tương tự, ”!Œ„ giữ s cơ định. Vì thế, ta có
G„~'
y'Gyy

cGy

C G, hay G„

Tir dé suy ra Gy = yG,y'

C ụG,"`

0
12


Luận văn tốt nghiệp

CHUONG I. KIEN THUC CHUAN BI

Hé qua 1.3. Cho G la nhém, H là nhớm con của Œ, r, a là các phần tử của Œ. Khi
đó ta có

(i) 20.27"
(22)

rNyz™'

Chitng minh.

=

Crse-'
=

í(YrHz-!

Ap dụng trực tiếp mệnh đề trên cho trường hợp Œ tác động liên hợp lên

chính nó và các nhóm con của nó, ta có điều phải chứng minh.

h

Hệ quả trên có thể phát biểu lại như sau: Cho Œ là một nhóm thế thì
(

Nếu hai phần tử liên hợp nhau trong G thì cái chuẩn tắc hóa của chúng cũng liên
hợp nhau trong G.

() Nếu hai nhóm con liên hợp nhau trong G thì cái chuẩn tắc hóa của chúng cũng
liên hợp nhau trong G.

Mệnh đề 1.4. Nếu Œ là một nhóm tác động lên tập S tà s € S, thì số phân tử của

quỹ đạo Œs trùng vớt chỉ số (G : G,)

Chitng minh. Xét tap thuong G/G,, ta 06

Nếu z và

cùng nằm trong một lớp ghép theo Œ, thì zs = ys và ngược lại, z và

không cùng nằm trong một lớp ghép thì zs z s. Thật vậy, ta có
+zŒ, =UG,

Vi thé ta được ánh xạ

=>

ụ”'z EG,

=

m=ys

=>
=>

(y'r)s=s
y'(rs)=s
(1.1)

ƒ:G/G,
—¬ Gs

cho bởi cơng thức ƒ(zŒ,) = zs

Từ (1.1) ta được ƒ là đơn ánh, và rõ ràng ƒ là tồn ánh. Do đó, ƒ là song ánh, vì thế,
số phần tử của Gs bằng
số lớp ghép theo G,. Ta có điều phải chứng minh.

đ

Hệ quả 1.4. Giả sử nhóm hữu hạn Œ tác động bằng hiên hợp lên tập các nhóm con
của nó, l{ là nhóm cơn của Œ, thì số các phần tử liên hợp với H là
n

JG|

|Nn|

13


Luận uăn tốt nghiệp

CHUONG 1. KIEN THUC CHUAN BI

Mệnh dé 1.5. Gid sv nhém Œ tác động lên tập S hữu hạn. Kht đó, ta có cơng thức
phân tích thành các quủ đạo sau

card(S) = 3 `(GΠ:G,)
ie!

uới card(S) là số phần tử của tap S va I là tập chỉ số nao dé.

Chứng tình, Giả sử Œ tác động lên tập S . Khi đó, hai quỹ đạo đối với nhóm G
hoặc khơng giao nhau hoặc trùng nhau. Thật vậy, nếu Œs; và Gs¿ là hai quỹ dao

với phần tử chung s, thì s = zs¡ đối với một phần tử z nào đó thuộc G, và do đó

Gs = Grs,

= Gs,. Tutong tu, ŒGs = Gs¿. Vì vậy, Š là hợp của các quỹ đạo đôi một

không giao nhau, và ta có thể viết
S=

Gs, (Gs, đơi một khơng giao nhau)
ie!

trong dé, J 1A tap chỉ số nào đó và s; là các phần tử của các quỹ đạo khác nhau. Do

Š hữu hạn, ta được sự phân tích cấp của tập Š thành tổng các cấp của các quỹ đạo,
tức là

card(S) = ˆ(G : G„)
ie!

0
Hệ quả 1.5. Giả sử nhóm hữu hạn Œ tác động bằng liên hợp lên tập các nhóm con

cắp rn của nó, H, là các đạt diện của các lớp liên hợp các nhóm con của Œ có cắp mm.
Got n là số nhóm cơn của Œ có cắp rm. Thế thì ta có

Hé qua 1.6. G la nhớm hữu hạn, G tác động lên chính nó bằng các liên hợp. Khi đó

(Œ:1)= 3 (G: G,)
reC

trong đó, C là tập các đạt diện của các lớp khác nhau của các phần tử liên hợp.
Công thức trên gọi là công thức các lớp.

Mệnh đề 1.6. Cho nhóm G tác động lên tập S, z, ự, z là các phần tử thuộcS. Nếu

+€G:z uà

€ Gz thì
r € Gy uà

€ Gr.

l4


Luận ăn tốt nghiệp

CHUONG 1. KIEN THUC CHUAN BI

Chitng minh, Ta cé x € Gz thiể = az với a € Œ nào đó, và tương tự,

ụ = bz với b€ Œ nào
đó. Do đó, a~'z
= z = by. Ti đó suy ra
zr

y

=

€ Gz thì

ab'ye Gy

= ba 'xtE€ Gz
n

Hệ quả 1.7. Giả sử một nhớn G tác động lên chính nó bằng các liên hop. Khi dé,
nếu hai phân từ cùng liên hợp uới rnột phần tử thứ ba thì chúng liên hợp uới nhau

1.2.4

Các mệnh đề liên quan đến ước chuẩn và cái chuẩn tắc
hóa

Mệnh dé 1.7. Cho G là một nhóm, H là nhóm con của Œ, K là ước chuẩn của H.
Khai đó, H là nhóm
con ctia Nx
Chitng minh. Ta cé

Nx ={r€G:z2Kr'
= K}

Lấy
z € H thì zXz”! = K, do đó,
z € Nx. va vi vay, HC Nx.

Mặt khác, do /ƒ có cấu trúc nhóm nên ta được
H
n

Mệnh để 1.8. Cho Œ là một nhóm hữu hạn. H, K là các nhóm con của Œ, H là
nhớm con của K, |H| = n, uà trong K chỉ có duy nhất một nhóm cơn cắp n là H. Khi

dé, Nx la nhém
con cia Ny.
Chiing minh. Ta có

Nx= {x€G:2Kr"' = K}
Ny ={x€G:rHxz'
=H}

Cho Œ tác động bằng các liên hợp lên tập các nhóm con của nó, thì

Wr € Nx, tHe! =H, Do tac dong nay la song Anh nén |H,| = |H| = n, ma trong

cắp n là H nên Hị = H. Từ đó ta có
Vr€

Ny.,+zHzrr

= H

Do vay, Nx C Ny. Mat khac, Nx có cấu trúc nhóm nên
Nw = Nu

15

chỉ có một nhóm con


Luan van tét nghiệp

CHUONG 1. KIEN THUC CHUAN B]

Ménh dé 1.9. Cho p la số nguyên tố bé nhất chia hết cấp của nhóm hữu hạn G, va

H là nhóm cơn chỉ số p. Khi đó, H là nhóm cơn chuẩn
tắc của GC.

Chiing minh, Ta cé H C Ny, vì vậy (G : Vụ) là ước của (GŒ : H) suy ra (G: Nụ) = ]
hoặc (G : Ny) = p. Néu (G: Ny) = 1 thì G = Đ„ và H là nhóm con chuẩn tắc của

G.

Giả sit (G : Ny) = p. Suy ra W„ = H. Cho G tác động bằng các liên hợp lên tập

các nhóm con của nó. Khi đó, theo hệ quả

1.4 thì GH có (G : Nụ} = p phan tit. Goi

S, la nhóm các phép thế của GH. Với mỗi z € GŒ, tương ứng
ƒ,

:

GH
a!\Ha

—
——+

GH
r~'lq~ÌHar

là song ánh. Thật vậy, ta có

a['Hay =as`Hay

=>
=>
=>
=>

|

<=>

aa;'Haay' =H
aa;'e€ Ny
array! € Ny

(a;r)(az)”' € Nụ

(a;¿z)”`H(a;z) = (ayz)~'!H(az)

z~!ax! Haạz = +*Ìar! Hayz

Suy ra tương ứng trên là ánh xạ và là đơn ánh, do đó nó là song ánh (do GH là tập
hữu hạn), hay nói khác di, f, € S,, Vz € G.
Xét ánh xạ

f:G—
ar

5&,

fa

Vi fas = fa-f, nén ta 06 ngay f la đồng cấu nhóm. Nếu a € ker ƒ thi f,(H) = H, suy

ra a~'Ha= H, cho nén a € Ny = H. Béi vay, ta c6 ker f C H. Bay gid ta chứng
mình (H : ker ƒ) = 1 (tức là H = ker f).

That vậy, giả sử (H : ker ƒ) > 1, khi đó gọi g là ước nguyên tố của (H : ker ƒ), theo

mệnh đề 1.1, ta có (Œ : ker ƒ) = (GŒ : H)(H : kerƒ) = p{(H : kerƒ). Do đó, p.q là ước

ctia (G : kerf).

Mat khac, G/ ker f = Imf C S, nén (G: ker f) lA uéc cia pl.
Bởi vậy, ta có pạ|p!. Suy ra g|Íp — 1)!, do đó, q < p, trái với giả thiết
bé nhất của p.
Vậy, phải có Ư# = ker ƒ, tức là nhóm con chuẩn tắc của Œ, cho nên ẤW„ = GŒ. Thế
nhưng điều này trái với giả sử ban đầu của ta la (G : Ny) = p.

Tóm lại, ta ln có (G : N„) = 1 tức là H là nhóm con chuẩn tắc của G.

16

0


Luận văn tốt nghiệp
1.2.5

CHƯƠNG 1. KIÊN THỨC CHUẨN BỊ

Dinh ly phan tích phép thế thành tích các vịng xích độc

lập

Vịng xích và chuyển trí
Cho ƒ là một phép thế bặc n. Nếu ƒ viết dưới dang
f=

@

@2

***

Qm-1

Gm

Om+r

“**

On

42

Q@3

***

đm

CO

Omer

***

Oy

thì ƒ được gọi là vịng xích độ dài m và ta viết đơn giản
ƒ = (aid¿.... dạ} = (aga3.-. Ama) =...

Vịng xích độ dài 1 là phép thế đồng nhat ls, = (1) = (2) =... = (n).

Vịng xích độ đài 2 gọi là phép chuyển trí.

Hai vịng xích ƒ = (dd... am) và g = (bb)... by) goi la déc lap nếu
{an, đa, -. ., đm } f1 {by, bạ,...

0y}

=Ø

Dễ thấy rằng phép nhãn các vịng xích độc lập có tính chất giao hoán.

Định lý 1.3. Mọi phép thế bậc n khác phép thế đồng nhất đều phân tích được duy
nhất (khơng kể thứ tự) thành tích các uờng zích độc lập độ dài lên hơn hoặc bằng 2.
Từ định lý này ta có nhận xét sau
Nhận xét: Nếu ta có các phần tử a¡, đạ,..., am(tn < n) thì chúng sẽ tạo ra (rn — L)I

phép thế khác nhau có dạng vịng xích độ dài rn. Thật vậy, rn phần tử ay, đạ.....
đự,
tạo ra rn! vịng xích. Tuy nhiên,
ta có

(1903
- + : đ„ ) = (đạ0g
- - : đại)

= - + + = (đmđi + - © đự—2đ—1)

tức là ta sẽ có các bộ rn vịng xích bằng nhau, hay một phép thế được thể hiện bởi rn
vịng xích. Từ đó, suy ra số phép thế khác nhau có dạng vịng xích là (m — 1)!

Nêu một phép thế được biểu diễn bởi tích & vịng xích độc lập, thì do tính giao

hốn trong phép tích các vịng xích độc lập nên một phép thế như thế sẽ có k! cách

biểu diễn.

Hệ quả 1.8. Mọi phép thá đều phân tích được thành tích các chuyển trí
Định lý 1.4.

(li) Dấu của một phép chuyển trí bằng -I.
(ii) Ham siạn có tính chất nhân, tức là

sign( f.g) = sign( f).sign(g)
17


Luận uăn tốt nghiệp

CHUONG 1. KIEN THUC CHUAN BI

Hé qua 1.9.
e ƒ là uòng rich dé dai m

thi sign(f) = (-1)""'

Nêu f cé svt phan tich thanh tich cc vong rich f = fy...f, thi
sign( f) = sign(f;)... sign(f,)
Tích của 9 phép thế cùng tính chẵn lẻ là phép thế chan, khác tính chẵn lẻ là phép
thế lẻ.

Khi phân tích một phép thế thành tích các chuyển trí thì số các chuyển trí là chẵn
hay lẻ tùu theo phép thé đó là chan hay lẻ.

sign(ly) = 1, sign(f-') = sign(f) vdi moi f € Sa, nói cách khác, phép thê đồng
nhất là phép thê chẵn, phép thế ƒ uà phép thế ngược ƒ~Ì có cùng tính chẵn lẻ.
e Số các phép thê chân bậc‹ bằng số các phép thế lẻ bậc n uà bằng >
Mệnh đề 1.10. Tit cd cic phép thé chdn déu phan tích được thành tích các ng rich
dé dai 3.

Chứng tình. Ta áp dụng hệ quả 1.8, tất cả các phép thế chin déu phan tich duge

thành tích các chuyển trí, và số các chuyển trí là số chẵn. Ta xét 2 trường
hợp sau
(a@3)(a@;a2)
(@,42)(@3a4)

=
=

(aia¿aa)
(asazai)(aiasa4)

Từ đây ta suy ra các phép thế chẵn đều có thể phân tích thành tích các vịng xích độc

lập độ dài 3.

n

Từ mệnh để 1.10 và các hệ quả trên, ta suy ra mệnh để sau

Mệnh đề 1.11. Với n > 3, S, có duy nhất một nhớm con chỉ số 9 là A,.
Chitng minh. Ta có
ƒ

:

(Sa-)

ơ

—

+

({—1,1),.)

là một đồng cấu có ker f = A,, nén (S, : A,) = 2.
Gia stt H < S,,(S,
: H) = 2.
Vin > 3 nên S„ có phần tử ø = (abc) ¥ e.

18

sign(a)


Luận văn tốt nghiệp

CHUONG 1. KIEN THUC CHUAN B]

Néuo ¢ H thi H # Ho. Khi nay, do (S, : H) = 2 nénS, = H\) Ho. Suy ra
ơ? € H hoặc o? € Ha. Nhimg ta cd

eeH

=

a=(e*EH

océHo

=

céeH

ta gặp mâu thuẫn.
Vậy, H chứa tất cả vịng xích độ dài 3 của S, va do dé H = A,

19

~ THU VIEN

Trưởng Đại-Học Su-Phạm

TP. HO-CHI-MINH

B

;


Chương

2

MOT SO NHOM CON CUA
NHOM
2.1

S7

Các phần tử trong S;
%; có 7! = 5040 phần tử, tập tất cả các ước nguyên dương của 5040 là

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45,
48, 56, 60, 63, 70, 72, 80, 84, 90, 105, 112, 120, 126, 140, 144, 168, 180, 210, 240, 252,
280, 315, 336, 360, 420, 504, 560, 630, 720, 840, 1008, 1260, 1680, 2520, 5040 }

A có 60 phần tử. Theo định ly Lagrange, néu H 1A nhém con cia S; thi
|H|eA

Từ nhận xét của định lý 1.3, ta xác định được các dạng của các phần tử và số lượng

của chúng như sau

2.1.1

Các phần tử cấp 2

Các phần tử cắp 2 có 3 dạng: (44a), (aas)(4sa4), (a,a2)(a3a4)(agag).

Số phần tử có dạng (aa;) là

mị = 1I.CŸ = aa

= 21 (phan ti)

Số phần tử có dạng (ayaa)(asa¿) là
1

ng = sị:1!⁄C?.H.C§

iT.

Số phần tit cé dang (a)a2)(a3a4)(asag) 1a

Ls

n3y = aị:1!C?-11.0ý.11:03

8

= Di Dist 214i

17!215! 213!51 2113!

tr 31

20

s

= 105 (phan tir)

= 105 (phần tử)