Chuyên đề 1 dao động cơ dđđh, con lắc lò xo

CHUYÊN ĐỀ : DAO ĐỘNG CƠ
I. Lý thuyết cơ bản
1. Đại cương về dao động điều hòa
* Dao động cơ: là chuyển động qua lại quanh một vị trí cân bằng (thường là vị trí của
vật khi đứng yên).
*Dao động tuần hoàn: Nếu sau những khoảng thời gian bằng nhau (gọi là chu kì) thì vật
trở lại vị trí cũ theo hướng cũ thì dao động của vật đó là tuần hồn. Trong 1 chu kì, vật
thực hiện được 1 dao động toàn phần. Dao động tuần hoàn đơn giản nhất là dao động điều
hịa.
*Dao động điều hồ:
- Định nghĩa: Dao động điều hồ là dao động trong
đó li độ của vật là một hàm côsin (hay sin) của thời gian.
- Phương trình dao động điều hồ: x = A.cos(ωt + φ)t + φ))
với x = OP: li độ của vật ( có thể dương hay
âm hoặc bằng 0) ( -A ≤ x ≤ A)
A: biên độ của dao động điều hịa (ln dương)
( A = bán kính đường trịn)
ωt + φ): tốc độ góc hay tần số góc (ln dương) (rad/s)
φ) : pha ban đầu ( - π ≤ φ) ≤ π)
ωt + φ)t + φ): pha dao động tại thời điểm t.
Một chất điểm P dao động điều hịa trên một đoạn thẳng được xem như hình chiếu của một
điểm M chuyển động tròn đều trên một đường trịn với đường kính chính là đoạn thẳng đó.
* Chu kì. Tần số. Tần số góc của dao động điều hịa.
Chu kì dao động là khoảng
Tần số: là số dao động
Tần số góc (tốc độ góc)
thời gian ngắn nhất, vật trở lại toàn phần thực hiện trong Đơn vị : rad/s
vị trí cũ theo hướng cũ. Đơn
1 giây. Đơn vị: Hz
vị: s
T = 2π/ω = t/Nπ/ωt + φ) = t/N

1 
2
f   = N/t
 2 f 
N số dao động thực hiện trong
T 2
T
t/gian t
Chú ý: + Các đại lượng T, f, ωt + φ) trong một dao động chỉ phụ thuộc vào cấu tạo của hệ (đặc
tính của hệ)
+T, f , ωt + φ) : luôn dương
* Vận tốc. Gia tốc trong dao động điều hòa.
Vận tốc
Gia tốc
Liên hệ
2
2
v = x’ = -Asin(t +)  v = Acos(t a v '   A cos  t      x 2 2 v2
A x  2
++)

2
 Ở biên: v = 0.
a
v2
 Gia tốc : Gia tốc ln
A2  4  2
 Ở vị trí cân bằng:
 
có chiều hướng vào

2
Tốc độ = [độ lớn vận tốc]max = v max=
x
v2
tâm quỹ đạo,

1
2
A2 vmax
 Ở biên: [Độ lớn gia
ωt + φ)A
tốc]max = ωt + φ)2π/ω = t/NA
 Vận tốc sớm pha hơn li độ góc π/2π/ω = t/N.
a2
v2

1
 Khi đi từ biên về VTCB → c/đ nhanh  Ở VTCB: a = 0.
a2
v2
max

1

max


dần.
 Khi đi từ VTCB đến biên → c/đ chậm
dần.

 Vận tốc đổi chiều ở vị trí biên

 Gia tốc ngược pha với
li độ và nhanh pha
hơn vận tốc góc π/2π/ω = t/N.
 Gia tốc đổi chiều ở
vtcb
Chú ý: Vận tốc và gia tốc là đại lượng biến thiên điều hịa theo thời gian (cùng với tần số
góc ωt + φ), tần số f, và chu kì T). Chúng cũng có thể âm ,hoặc dương hoặc bằng 0.
Học sinh cần phân biệt vận tốc trung bình và tốc độ trung bình.
x x2π/ω = t/N  x1

t
t
s
Tốc độ trung bình : vtb 
t

Vận tốc trung bình: vtb 

Li độ
Vận tốc
Giá
Max
Min
Max
Min
trị
+A
-A

+ωt + φ)A
-ωt + φ)A
(biên (biên -) (vật qua (vật qua
+)
vtcb,theo vtcb,theo
chiều +)
chiều -)
Độ
Max
Min
Max
Min
lớn
+A
0
+ωt + φ)A
0
(biên) (vtcb)
( vtcb)
(biên)
2π/ω = t/N. Con lắc lò xo
2.1 Cấu tạo:

Tốc độ
Gia tốc
Max
Min
Max
Min
2π/ω = t/N

+ωt + φ)A
0
+ωt + φ) A
- ωt + φ)2π/ω = t/NA
(vtcb)
(Biên) (Biên -) (Biên
+)
Max
+ωt + φ)A
(vtcb)

Min
0
(Biên)

Max
+ωt + φ)2π/ω = t/NA
(Biên )

Min
0
(vtcb)

- Con lắc lị xo gồm một là xo có độ cứng k (N/m) có khối lượng
khơng đáng kể, một đầu cố định, đầu cịn lại gắn vào vật có khối
lượng m.
- Điều kiện để con lắc lò xo dao động điều hòa là bỏ qua ma sát, lực cản và vật dao động
trong giới hạn đàn hồi.

2.2. Phương trình dao động của con lắc lò xo

x = Acos (ωt + φ)t + φ)) (cm)

Với:
- x: li độ dao động hay độ lệch khỏi vị trí cân bằng. (cm)
- A: Biên độ dao động hay li độ cực đại (cm)
- ωt + φ) : tần số góc của dao động (rad/s)
2π/ω = t/N


- φ) : pha ban đầu của dao động (t = 0)
-(ωt + φ)t + φ)) : pha dao động tại thời điểm t. (rad)

-Tần số góc của con lắc lị xo

(rad/s)

-Chu kì của con lắc

-Tần số dao động của con lắc lò xo
2.3 Các dạng dao động của con lắc lò xo
* Con lắc lò xo chuyển động trên mặt phẳng ngang.
Đặc điểm:- Tại vị trí cân bằng lị xo không bị biến dạng,

.

- Lực đàn hồi tác dụng lên lị xo chính là lực hồi phục với
* Con lắc lò xo chuyển động thẳng đứng.
Đặc điểm:
- Tại vị trí cân bằng lị xo biến dạng (giãn hoặc nén) một đoạn

được cho bởi biểu

thức
. Mà
nên
. Từ đó ta có cơng thức tính chu kỳ
tần số dao động của con lắc lò xo trong trường hợp này:

- Chiều dài tại vị trí cân bằng, chiều dài cực đại, cực tiểu của lị xo trong q trình vật dao
động:
• Chiều dài tại VTCB:
• Chiều dài cực đại :
3


• Chiều dài cực tiểu :

- Lực đàn hồi tác dụng lên lị xo trong q trình vật dao động (Fdh):
• Phương : cùng phương chuyển động của vật.
• Chiều : ln hướng về phía vị trí cân bằng.
• Độ lớn :

, với

là độ biến dạng của lò xo tại vị trí đang xét (lị xo có thể bị

dãn hoặc nén). Gọi x là vị trí đang xét

.

Chú ý :
Việc chọn dấu + hay – trong công thức trên phụ thuộc vào việc lò xo bị dãn hay nén và
chiều dương mà ta chọn như thế nào.
• Đơn vị : Fdh (N); k(N/m);

(m)

Các trường hợp đặc biệt:
- Lực đàn hồi cực đại :

- Lực đàn hồi cực tiểu :

Chú ý : Nếu đề bài cho biết tỉ số

thì ta hiểu là

.

* Con lắc lò xo chuyển động trên mặt phẳng nghiêng góc α so với phương ngang.
Đặc điểm :
- Tại vị trí cân bằng lị xo biến dạng (giãn hoặc nén) một đoạn
thức l0 


mg.sin 
. Mà
k

được cho bởi biểu

nên :

k
g

1
lo
2
m

2
, T  2
, f 
m
l0
2 2

k
g

k
1

m 2

g
lo

- Chiều dài của lị xo tại vị trí cân bằng cũng như chiều dài cực đại và cực tiểu tính tương

4


tự như trường hợp vật chuyển động thẳng đứng.

2.4. Năng lượng dao động của con lắc lò xo
- Động năng:

- Thế năng (thế năng đàn hồi của lò xo):

- Cơ năng:

Đơn vị : k (N.m); m (kg); x (m); A (m)
+ Cơ năng của con lắc tỉ lệ với bình phương biên độ dao động .
+ Cơ năng của con lắc được bảo toàn nếu bỏ qua ma sát.
II. Phân dạng bài tập
1. Các dạng bài tập về dao động điều hòa
1. 1: Xác định các đại lượng đặc trưng trong dao động điều hoà.
* Phương pháp giải:
- Vận dụng các phương trình:
+ Li độ (phương trình dao động): x = Acos(t + ).
+ Vận tốc: v = x’ = - Asin(t + ) = Acos(t +  +


).
2π/ω = t/N

+ Gia tốc: a = v’ = - 2π/ω = t/NAcos(t + ) = - 2π/ω = t/Nx= 2π/ω = t/NAcos(t +  +  ).
- Sử dụng các công thức:
+ Công thức độc lập: A2 x 2 

2π/ω = t/N

2π/ω = t/N

 x
 v 
  
 1
A
 
 A 

v=

v2
a2 v 2
2
A


;
2
4 2

A 2π/ω = t/N  x 2π/ω = t/N

x2
v2

; 2 2 1

A vmax

v

=

A 2π/ω = t/N  x 2π/ω = t/N

5

A=

x 2π/ω = t/N 

a2
v2

1
; 2
2
amax vmax
v 2π/ω = t/N
 2π/ω = t/N

=

a 2π/ω = t/N v 2π/ω = t/N

 4  2π/ω = t/N

2π/ω = t/N

*

 v
 x
   
 A
 vmax

2π/ω = t/N


 1 ;


2π/ω = t/N

 F 
 v

  
 Fmax 
 vmax

2π/ω = t/N


 1



1
T

+ Chu kỳ, tần số, tần số góc: T = 2π/ω = t/Nπ/ωt + φ) = t/N; f  


2
= N/t ;  2 f 
2
T

+ Ở vị trí cân bằng: x = 0 thì |v| = vmax = A; và a = 0.
vm2π/ω = t/N ax
+ Ở vị trí biên: x =  A thì v = 0; và |a| = amax =  A =
.
A
2π/ω = t/N

+ Quãng đường mà vật đi được trong 1 chu kỳ dao động là S = 4A.
+ Quãng đường mà vật đi được trong

chu kỳ dao động là S = 2π/ω = t/NA.

+ Quãng đường mà vật đi được trong

chu kỳ dao động là S = A.

+Chiều dài quỹ đạo: 2π/ω = t/NA.

x x2π/ω = t/N  x1

t
t
s
+ Tốc độ trung bình : vtb 
t

+ Vận tốc trung bình: vtb 

- Để tìm các đại lượng của dao động điều hòa tại một thời điểm t đã cho, ta thay giá trị của
t vào phương trình liên quan để tính đại lượng đó.
- Trường hợp đề bài chưa cho giá trị của t, để xác định các đại lượng li độ x, vận tốc v, gia
tốc a hay tần số góc  ta thường sử dụng cơng thức độc lập để xác định.
* Bài tốn ví dụ
Bài 1: Một vật dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ 2π/ω = t/N cm và với chu kì 0,2π/ω = t/N
s. Tính độ lớn của gia tốc của vật khi nó có vận tốc 10 10 cm/s.
A. 4 m/s2π/ω = t/N.
B. 10 m/s2π/ω = t/N.
C. 2π/ω = t/N m/s2π/ω = t/N.
D. 5 m/s2π/ω = t/N.
** Hướng dẫn giải:
2π/ω = t/N
= 10 rad/s;
T
v 2π/ω = t/N
v 2π/ω = t/N a 2π/ω = t/N
A2π/ω = t/N = x2π/ω = t/N + 2π/ω = t/N = 2π/ω = t/N  4  |a| =

 

Ta có:  =

2π/ω = t/N
 4 A2π/ω = t/N   2π/ω = t/Nv 2π/ω = t/N = 10 m/s

Bài 2: Một chất điểm dao động điều hồ với chu kì


10

.Đáp án B
s và biên độ 5 cm. Tính vận tốc

của chất điểm khi nó đi qua vị trí có li độ 3 cm?
A. ± 80 cm/s.
B. ± 80 m/s.
C. ± 40 m/s.
** Hướng dẫn giải :
Ta có:  =

2π/ω = t/N
2π/ω = t/N.10

T


= 2π/ω = t/N0 (rad/s).
6

D. ± 40 cm/s.


Khi x = 5 cm thì v = ±  A2π/ω = t/N  x 2π/ω = t/N = 2π/ω = t/N0 52π/ω = t/N  32π/ω = t/N = ± 80 cm/s.Đáp án A
Bài 3: Một vật dao động điều hịa có phương trình x = Acos(t + ). Gọi v và a lần lượt là
vận tốc và gia tốc của vật. Hệ thức đúng là :
A.

v 2π/ω = t/N a 2π/ω = t/N

A 2π/ω = t/N .
4 2π/ω = t/N

B.

v 2π/ω = t/N a 2π/ω = t/N

A 2π/ω = t/N
2π/ω = t/N 2π/ω = t/N

C.

v 2π/ω = t/N a 2π/ω = t/N

A 2π/ω = t/N .
2π/ω = t/N 4

D.

2π/ω = t/N a 2π/ω = t/N


A 2π/ω = t/N .
v 2π/ω = t/N 4

** Hướng dẫn giải :
Từ công thức : A2 x 2 

v2

2

v 2π/ω = t/N a 2π/ω = t/N

A 2π/ω = t/N  Đáp án C
2π/ω = t/N 4

Bài 4: Một chất điểm dao động điều hịa với chu kì 0,5π (s) và biên độ 2π/ω = t/N cm. Vận tốc của
chất điểm tại vị trí cân bằng có độ lớn bằng
A. 8 cm/s

B. 3 cm/s.

C. 4 cm/s.

D. 0,5 cm/s.

** Hướng dẫn giải :

2π/ω = t/N A

2π/ω = t/N .2π/ω = t/N

Ta có: v0 vmax  A  T  0,5 8  cm / s   Đáp án A
Bài 5: Một vật dao động điều hịa với biên độ 3cm, chu kì T= 2π/ω = t/Ns, lấy

 2π/ω = t/N 10 .

Lúc vật ở

một trong hai vị trí biên thì gia tốc của vật là
A. lớn nhất và bằng 2π/ω = t/N0 cm/s2π/ω = t/N.

B. lớn nhất và bằng 30 cm/s2π/ω = t/N.

C. nhỏ nhất và bằng 40 cm/s2π/ω = t/N.
** Hướng dẫn giải :

D. nhỏ nhất và bằng 0 cm/s2π/ω = t/N.
2π/ω = t/N

Ta có:

a   2π/ω = t/N x

tại biên

 2π/ω = t/N 
 A 30 cm s 2π/ω = t/N
a a max  2π/ω = t/N A 
 T 

 Đáp án B

Bài 6: Một con lắc lò xo gồm lò xo nhẹ và vật nhỏ khối lượng 100g đang dao động điều
hịa theo phương ngang, mốc tính thế năng tại vị trí cân bằng. Từ thời điểm t 1 = 0 đến t2π/ω = t/N =

s, động năng của con lắc tăng từ 0,096J đến giá trị cực đại rồi giảm về 0,064J. Ở thời
48

điểm t2π/ω = t/N, thế năng của con lắc bằng 0,064J. Biên độ dao động của con lắc là
A. 5,7 cm.
B. 7,0 cm.
** Hướng dẫn giải :

C. 8,0 cm.

D. 3,6 cm.

Tại t2π/ω = t/N Wđ = Wt = 0,064 J => W = 0,12π/ω = t/N8 J và |x2π/ω = t/N| = 0,5A
Tại t1 = 0 Wđ1 = 3Wt1 => |x1| = 0,5A
Vật đi từ x1 đến x2π/ω = t/N ứng với góc quét
Mà
Bài 7: Một dao động điều hịa có vận tốc và tọa độ tại thời điểm t 1 và t2π/ω = t/N tương ứng là: v1 =
7


2π/ω = t/N0cm/s; x1 = 8

3 cm

và v2π/ω = t/N = 2π/ω = t/N0

A. 40 2π/ω = t/N cm/s
** Hướng dẫn giải :
A2π/ω = t/N  x12π/ω = t/N 

cm/s ; x2π/ω = t/N = 8

2π/ω = t/N

B. 80cm/s

2π/ω = t/N
1
2π/ω = t/N

2π/ω = t/N
2π/ω = t/N
2π/ω = t/N

2π/ω = t/N

cm. Vận tốc cực đại của dao động là

C. 40cm/s

2π/ω = t/N
1
2π/ω = t/N
2π/ω = t/N

2π/ω = t/N
2π/ω = t/N
2π/ω = t/N
1

v
v
v v
x2π/ω = t/N2π/ω = t/N 




x  x



2π/ω = t/N02π/ω = t/N  2π/ω = t/N0 2π/ω = t/N



8 2π/ω = t/N

2π/ω = t/N

 



 8 3

D. 40

3

cm/s

2π/ω = t/N



2π/ω = t/N

2π/ω = t/N, 5  rad / s 

v12π/ω = t/N
A  x  2π/ω = t/N 16cm  vmax  A 40  cm / s   Đáp án C

2π/ω = t/N
1

1.2: Viết phương trình dao động của dao động điều hòa.
* Phương pháp giải:
- Phương trình dao động: x  Acos   t+ 
- Phương trình vận tốc: v   A sin   t+ 
Các bước lập phương trình dao động dao động điều hồ:
- Tìm A
A  x 2π/ω = t/N 

v 2π/ω = t/N
 2π/ω = t/N

;

A

2π/ω = t/NW
k

;

A

L
2π/ω = t/N

;

A

vmax
;


A

amax
 2π/ω = t/N

- Tìm 
*  2 f 

2
k
g
(rad / s);  

T
m
l

- Tìm 
 x Acos(t0   )

v   Asin(t0   )

+ Từ điều kiện ban đầu t = 0 : 
+ Lưu ý trường hợp đặc biệt:


+ Nếu chọn t = 0 khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương thì   2π/ω = t/N

+ Nếu chọn t = 0 khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm thì   2π/ω = t/N

+ Nếu chọn t = 0 khi vật ở biên dương thì  0
+ Nếu chọn t = 0 khi vật ở biên âm thì  
+ Vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0, ngược lại v < 0
+ Trước khi tính  cần xác định rõ  thuộc góc phần tư thứ mấy của đường tròn
lượng giác (thường lấy -π <  ≤ π)

* Bài tốn ví dụ
Bài 1: Một con lắc lị xo dao động điều hồ với chu kì T = 1s. Lúc t = 2π/ω = t/N,5s, vật qua li độ
x  5 2π/ω = t/Ncm với vận tốc v  10 2π/ω = t/Ncm / s . Phương trình dao động của vật là:



A. x 5cos   t+   cm 


4



B. x 8cos   t-   cm 


8

3




C. x 10cos  2π/ω = t/N t-   cm 



D. x 9cos  2π/ω = t/N t-   cm 

4





6

** Hướng dẫn giải :

Ta có:  

2π/ω = t/N
2π/ω = t/N  rad / s 
T

v 2π/ω = t/N
A  x  2π/ω = t/N 

2π/ω = t/N

  5 2π/ω = t/N 

2π/ω = t/N

  10 2π/ω = t/N 
 
 10cm
 2π/ω = t/N 

2π/ω = t/N

 x  5 2π/ω = t/Ncm

10cos 5 2π/ω = t/N

 
  
4
v  10 2π/ω = t/Ncm / s 2π/ω = t/N0 sin   10 2π/ω = t/N

Khi t = 2π/ω = t/N,5s thì 



Từ đó phương trình dao động của vật là: x 10cos  2π/ω = t/N t-   cm   Đáp án C


4

Bài 2: Phương trình nào dưới đây là phương trình dao động của một chất điểm dao động
điều hịa có tần số dao động là 1Hz. Biết rằng tại thời điểm ban đầu vật qua li độ x 0 = 5cm
theo chiều dương với vận tốc v0 = 10π cm/s.
A.



x 3 2π/ω = t/Ncos   t    cm 
6


C.



x 2π/ω = t/Ncos  4 t    cm 
3



B. x 5 2π/ω = t/Ncos  2π/ω = t/N t 


D.


  cm 
4



x 6cos  3 t    cm 
3


** Hướng dẫn giải :
Tần số góc

 2π/ω = t/Nf 2π/ω = t/N .1 2π/ω = t/N

rad/s.

2π/ω = t/N

A2π/ω = t/N  x 2π/ω = t/N 

10  52π/ω = t/N  52π/ω = t/N 2π/ω = t/N.52π/ω = t/N  A 5 2π/ω = t/Ncm
v 2π/ω = t/N
5 2π/ω = t/N 
2π/ω = t/N

 2π/ω = t/N  2π/ω = t/N
 x 5 2π/ω = t/Ncos(2π/ω = t/N t   )

Biểu thức của x và v có dạng: 

v  10 2π/ω = t/N sin(2π/ω = t/N t   )


2π/ω = t/N
sin  
 x 5 2π/ω = t/Ncos 5


2π/ω = t/N
tại t = 0, có: 
=> 
=>   rad
4
v  10 2π/ω = t/N sin  10
cos   2π/ω = t/N


2π/ω = t/N

 Phương trình x 5 2π/ω = t/Ncos( t 


)  cm 
4

 Đáp án B

Bài 3: Một con lắc lị xo được bố trí theo phương nằm ngang gồm 1 quả nặng nhỏ khối
lượng 400g và một lò xo độ cứng 40N/m. Kéo quả nặng ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn
8cm và thả nhẹ cho nó dao động điều hịa. Chọn hệ trục Ox nằm ngang, gốc O là vị trí cân
bằng, chiều dương là chiều kéo vật. Gốc thời gian là lúc bng vật. phương trình dao động
9


của vật là



A. x 6cos  10t 


  cm 
2π/ω = t/N 

B. x 8cos  10t   cm 


D. x 5cos  8t 

C. x 4cos10t  cm 




  cm 
3

** Hướng dẫn giải :
Gọi phương trình dao động có dạng : x  Acos  t    ; v  A sin  t   
Trong đó:



k
40
0 2π/ω = t/N

10 rad s , A 2π/ω = t/N 8 2π/ω = t/N  2π/ω = t/N 8 2π/ω = t/N  A 8cm
m
0,4
10

 x0 8cos 8

sin  0

  0 

Tại t = 0 có v  80sin  0  
cos  1
 0

Vậy x 8cos  10t  (cm)  Đáp án B

Bài 4 : Một chất điểm dao động điều hồ hàm cosin có gia tốc biểu diễn như hình vẽ.
Phương trình dao động của vật là:


A. x 10cos   t    cm 

a(

3




B. x 2π/ω = t/N0cos   t 



  cm 
2π/ω = t/N 

m
)
s 2π/ω = t/N

2π/ω = t/N
O

1

C. x 2π/ω = t/N0cos   t   cm 

2π/ω = t/N

t(s)



D. x 10cos   t    cm 
2π/ω = t/N 



** Hướng dẫn giải :
Từ đồ thị, ta có: T = 2π/ω = t/Ns


a
2π/ω = t/N
2π/ω = t/N00
 (rad / s) ; amax  A 2π/ω = t/N  A  max
 2π/ω = t/N 2π/ω = t/N0cm
2π/ω = t/N
T



 A 2π/ω = t/N cos 0 cos 0
a 0



  
2π/ω = t/N
v  0
sin   0
 A sin   0

Khi t = 0  


Vậy phương trình dao động của vật là: x 2π/ω = t/N0cos   t 



  cm   Đáp án B
2π/ω = t/N 

Bài 5 : Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Trong thời gian 31,4 s chất điểm
thực hiện được 100 dao động toàn phần. Gốc thời gian là lúc chất điểm đi qua vị trí có li
độ 2π/ω = t/N cm theo chiều âm với tốc độ là 40 3 cm/s. Lấy  = 3,14. Phương trình dao động của
chất điểm là

6

C. x 4 cos(2π/ω = t/N0t  ) (cm)

3

A. x 6 cos(2π/ω = t/N0t  ) (cm)


3

D. x 6 cos(2π/ω = t/N0t  ) (cm)
6

B. x 4 cos(2π/ω = t/N0t  ) (cm)

10


1.3: Tìm khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x1 đến x2
* Phương pháp giải:
Chúng ta sử dụng ứng dụng của hình chiếu dao động điều hòa vào chuyển động tròn đều.
Các bước thực hiện như sau :
- Xác định các vị trí x1 và x2π/ω = t/N trên trục quỹ đạo.

- Tính các góc φ)1, φ)2π/ω = t/N với

thỏa mãn (0 ≤ φ)1, φ)2π/ω = t/N ≤ π)

- Thời gian ngắn nhất cần tìm là:
- Cơng thức cần nhớ:
+Khi vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí x = A hoặc x = -A và ngược lại thì
+Khi vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí
+Khi vật đi từ vị trí

hoặc

đến vị trí x = A hoặc

và ngược lại thì

đến x = -A và ngược lại thì

* Bài tốn ví dụ :
Bài 1 : Một vật dao động điều hịa với chu kỳ T = 8s, tính thời gian ngắn nhất vật đi từ vị
trí

đến vị trí có li độ

**Hướng dẫn giải :
Ta có tần số góc:

Vậy thời gian ngắn nhất mà vật đi từ

đến
11

là

.


Bài 2: Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T và biên độ là A. Tìm thời gian ngắn nhất
mà vật đi từ vị trí:

a. x = 0 (vị trí cân bằng) đến vị trí x = A.
b. x = 0 (vị trí cân bằng) đến vị trí
c.

.

đến vị trí x = A.

**Hướng dẫn giải :
Thực hiện các thao tác như ví dụ 1 chúng ta có:

a.

b.

c.

1. 4: Tìm quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 đến t2.
* Phương pháp giải:
Xác định vị trí và chiều chuyển động của vật dựa vào việc giải các phương trình lượng
giác sau:

(v1 và v2π/ω = t/N chỉ cần xác định dấu)
Phân tích: Δt = t2π/ω = t/N – t1 = n.T + T/2π/ω = t/N + T/4 + t0 (n ЄN; 0 ≤ t0 < T/4)
- Quãng đường đi được trong thời gian n.T + T/2π/ω = t/N + T/4 là S1 = n.4A+ 2π/ω = t/NA + A
12π/ω = t/N


- Ta tính quãng đường vật đi được trong thời gian t0 là bằng cách sau:
• Tính li độ x1 và dấu của vận tốc v1 tại thời điểm

• Tính li độ x2π/ω = t/N và dấu của vận tốc v2π/ω = t/N tại thời điểm t2π/ω = t/N
• Nếu trong thời gian t0 mà vật không đổi chiều chuyển động (v 1 và v2π/ω = t/N cùng dấu) thì quãng
đường đi được trong thời gian cuối t0 là S2π/ω = t/N = |x2π/ω = t/N - x1|
• Nếu trong thời gian t0 mà vật đổi chiều chuyển động (v1 và v2π/ω = t/N trái dấu) thì để tính qng
đường đi được trong thời gian cuối t0 ta phải biểu diễn chúng trên trục tọa độ rồi tính S 2π/ω = t/N.
Từ đó quãng đường tổng cộng là S = S1 + S2π/ω = t/N
CHÚ Ý :
+ Nếu Δt = T/2π/ω = t/N thì S2π/ω = t/N = 2π/ω = t/NA
+ Tính S2π/ω = t/N bằng cách định vị trí x1, x2π/ω = t/N và chiều chuyển động của vật trên trục Ox
+ Trong một số trường hợp có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao
động điều hồ và chuyển động trịn đều sẽ đơn giản hơn.

+ Tốc độ trung bình của vật đi từ thời điểm t 1 đến t2π/ω = t/N:
như trên.

với S là qng đường tính

* Bài tốn ví dụ :

Bài 1: Một vật dao động điều hịa với phương trình
đường vật đi được trong 1,1s đầu tiên.

. Tính quãng

**Hướng dẫn giải :
Quãng đường vật đi được trong 1,1s đầu tiên tức là tính từ lúc vật bắt đầu chuyển
động. Như vậy chúng ta phải thay t = 0 vào phương trình li độ và phương trình vận tốc để
kiểm tra xem vật bắt đầu đi từ vị trí nào và theo chiều nào.

Ta có :

13


Tại t = 0
Vậy vật bắt đầu đi từ vị trí x = - 1cm theo chiều dương. Ta lại có

Quãng đường vật đi được là S = 5.4A+ 2π/ω = t/NA = 2π/ω = t/N2π/ω = t/NA = 44cm.

Bài 2: Một vật dao động điều hịa với phương trình
vật đi được trong 2π/ω = t/N,2π/ω = t/N5s đầu tiên.

. Tính quãng đường

**Hướng dẫn giải :
Cách 1 : (Sử dụng phân tích) Ta có :
vật đi được trong 2π/ω = t/Ns đầu tiên là S1 = 4A = 16cm.

;

(s) Quãng đường

- Tại thời điểm t = 2π/ω = t/Ns :

- Tại thời điểm t = 2π/ω = t/N,2π/ω = t/N5s :
Từ đó ta thấy trong 0,2π/ω = t/N5s cuối vật không đổi chiều chuyển động nên quãng đường vật đi
được trong 0,2π/ω = t/N5s cuối là S2π/ω = t/N =

.

Vậy quãng đường vật đi được trong 0,2π/ω = t/N5s là S =
Cách 2: (Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều).
Tương tự như trên ta phân tích được Δt = 2π/ω = t/N,2π/ω = t/N5s = T + 0,2π/ω = t/N5(s)
Trong một chu kỳ T vật đi được quãng đường S1 = 4A = 16cm
14


Xét quãng đường vật đi được trong 0,2π/ω = t/N5s cuối. Trong thời gian 0,2π/ω = t/N5s cuối thì góc mà vật
qt được trên đường trịn bán kính A = 4cm là

Độ dài hình chiếu

của vật chính là qng đường đi được. Độ dài hình chiếu này là

.

Từ đó ta cũng tìm được quãng đường mà vật đi được là S =
1. 5: Tính quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất vật đi được trong khoảng thời gian 0 <
Δt < T/2.t < T/2.
* Phương pháp giải

Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB, nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong cùng một
khoảng thời gian quãng đường đi được càng lớn khi vật ở càng gần VTCB và càng nhỏ khi
càng gần vị trí biên. Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển đường trịn để
để giải bài tốn. Góc qt Δφ) = ωt + φ)Δt.
• Quãng đường lớn nhất khi vật đi từ M1 đến M2π/ω = t/N đối xứng qua trục sin (hình 1)

• Qng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M1 đến M2π/ω = t/Nđối xứng qua trục cos (hình 2π/ω = t/N)

CHÚ Ý : + Trong trường hợp Δt > T/2π/ω = t/N

Tách:
Trong đó:
Trong thời gian

qng đường ln là n.2π/ω = t/NA

Trong thời gian Δt’ thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất tính như trên.
+ Tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất của trong khoảng thời gian Δt:
và

với Smax; Smin tính như trên.

15


* Bài tốn ví dụ
Bài 1: Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kỳ là T. Tìm quãng đường:
a. Nhỏ nhất mà vật đi được trong

.

b. Lớn nhất mà vật đi được trong

.

c. Nhỏ nhất mà vật đi được trong

.

**Hướng dẫn giải :

a. Góc mà vật qt được là :
Áp dụng cơng thức tính Smin ta có:

b. Góc mà vật qt được là:
Áp dụng cơng thức tính Smax ta có:
c. Do

Qng đường mà vật đi được trong

đường nhỏ nhất mà vật đi được trong
trong
là

luôn là 2π/ω = t/NA. Quãng

chính là quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được

. Theo câu a ta tìm được quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong
.

Vậy quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong

là

Bài 2 : Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kỳ T. Tìm tốc độ trung bình nhỏ
nhất và tốc độ trung bình lớn nhất của vật trong

16

.

**Hướng dẫn giải :

Góc quét

2. Các dạng bài tập về con lắc lò xo
2.1 : Xác định chu kỳ, tần số của con lắc lò xo
* Phương pháp giải
+ Tần số góc:  2 f 

mg
2
k
g
(rad / s);  

; l =
.
k
T
m
l

1
f

t
N

2
m
2

k

1
T

N
t


1

2 2

+ Chu kì: T   (s); T 

+ Tần số: f   (Hz); f 

k
m

Điều kiện dao động điều hoà: Bỏ qua ma sát, lực cản và vật dao động trong giới
hạn đàn hồi
1
2π/ω = t/N

1

2π/ω = t/N

+ Cơ năng: W  m 2π/ω = t/N A2π/ω = t/N  kA2π/ω = t/N
+ Độ biến dạng của lò xo thẳng đứng khi vật ở VTCB:

l 

mg
l
 T 2π/ω = t/N
k
g

+ Độ biến dạng của lò xo khi vật ở VTCB với con lắc lò xo nằm trên mặt phẳng
nghiêng có góc nghiêng α:
l 

mg sin 
l
 T 2π/ω = t/N
k
g sin 

* Bài tốn ví dụ
Bài 1: Một con lắc lò xo dao động điều hòa. Vật nặng có khối lượng 2π/ω = t/N00g và lị xo có
độ cứng là 80N/m. Xác định chu kì và tần số dao động của con lắc trên.
**Hướng dẫn giải:
Chu kì dao động của con lắc:
Tần số dao động của con lắc:

m
2π/ω = t/N
k
1 10
f   Hz
T 

T 2π/ω = t/N

0,2π/ω = t/N

 s.
80 10

Bài 2: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng. Quả cầu dao động điều hồ trên trục Ox
với phương trình x 6cos t  cm  . Trong quá trình dao động của quả cầu, tỷ số giữa
17


lực đàn hồi cực đại của lò xo và lực hồi phục cực đại là 2π/ω = t/N,5. Lấy g = 2π/ω = t/N m/s2π/ω = t/N. Tần số
dao động của quả cầu là:
A.

5
Hz
3

B.

3

Hz
5

C.

7
Hz
3

D.

3
Hz
7

** Hướng dẫn giải
Ta có:

Fdhmax k  l  A 

2π/ω = t/N, 5  l 1,5 A 9  cm 
Fmax
kA

Tần số dao động của quả cầu:

f 

1
2π/ω = t/N

g
1

l 2π/ω = t/N

 2π/ω = t/N
5
  Hz 
0, 09 3

 Đáp án A

Bài 3: Gắn một vật vào lò xo dược treo thẳng đứng làm lò xo dãn ra 6,4 cm khi vật
nặng ở vị trí cân bằng. Cho g 10m / s 2π/ω = t/N . Tần số dao động của vật nặng là:
A. 0,2π/ω = t/N Hz
B. 2π/ω = t/N Hz
C. 0,5 Hz
D. 5 Hz.
** Hướng dẫn giải
Ta có : T 2π/ω = t/N

l
= 0,5 (s) f = 1/T = 2π/ω = t/N ( HZ)  Đáp án B
g

Bài 4: Một lò xo có khối lượng khơng đáng kể và chiều dài
, được treo
thẳng đứng phía dưới treo một vật nặng khối lượng m. Kích thích cho vật dao động
điều hịa thì chiều dài của lò xo biến đổi từ 2π/ω = t/N9cm đến 35cm. Cho g = 10m/s 2π/ω = t/N. Tính

chu kỳ dao động của con lắc.
** Hướng dẫn giải
Theo bài ta có chiều dài cực đại và cực tiểu của lị xo trong q trình dao động là:

Mà

;

Độ biến dạng của lị xo tại ví trí cân bằng là :

2.2 : Viết phương trình dao động của con lắc lị xo
* Phương pháp giải
Phương trình có dạng: : x  A.cos (.t   ) hoặc x  A.sin(.t   ) .
18


1. Tìm biên độ dao động A:
1
2π/ω = t/N

+ vmax  A.; amax  A. 2π/ω = t/N ; Fmax m. 2π/ω = t/N . A k .A; E  .k . A2π/ω = t/N ; A2π/ω = t/N x 2π/ω = t/N 

v 2π/ω = t/N
(1)
 2π/ω = t/N

l
2π/ω = t/N

+ Nếu biết chiều dài quỹ đạo chuyển động: A  .

s
4

+ Nếu biết quãng đường đi được trong 1 chu kỳ A  .
Chú ý : A > 0.
2π/ω = t/N. Tìm vận tốc góc  :
3.

+  2π/ω = t/N. . f 

2π/ω = t/N.
k

.
T
m

Tìm pha ban đầu  : Dựa vào điều kiện ban đầu ( t = 0 ).

Giá trị của pha ban đầu (  ) phải thoả mãn 2π/ω = t/N phương trình :

x0  A.sin 
v0  A..cos

Chú ý : Một số trường hợp đặc biệt :
+ Vật qua VTCB : x0 = 0.
+ Vật ở vị trí biên : x0 = +A hoặc x0 = - A.
+ Buông tay ( thả nhẹ ), không vận tốc ban đầu : v0 = 0.
* Bài tốn ví dụ:
Bài 1. 2.68 Một con lắc lị xo gồm một quả nặng có khối lượng m = 400g và một lị xo có độ

cứng k = 40N/m. Người ta kéo quả nặng ra khỏi VTCB một đoạn bằng 8cm và thả cho nó dao động.
Phương trình dao động của quả nặng là
A. x = 8cos(0,1t)(cm).
B. x = 8cos(0,1πt)(cm).
C. x = 8cos(10πt)(cm).
D. x = 8cos(10t)(cm).

** Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động có dạng : x  A.sin(.t   ) .
Phương trình vận tốc có dạng : v x '  A..cos (.t   ) .
2π/ω = t/N. 2π/ω = t/N.

4 ( Rad / s ) .
T
0,5
0 5.sin 
x0  A.sin 

  0 . Vậy x 5.sin(4. .t ) (cm).
a) t = 0 ;
v0 5.4. .cos 0
v0  A..cos
5 5.sin 
x0  A.sin 


   (rad ) .
b) t = 0 ;
v0 5.4. .cos 0

v0  A..cos
2π/ω = t/N

x 5.sin(4. .t  ) (cm).
Vậy
2π/ω = t/N
2π/ω = t/N, 5 5.sin 
x0  A.sin 


   (rad ) .
c) t = 0 ;
v0 5.4. .cos 0
v0  A..cos
6

Vận tốc góc :



Vậy


x 5.sin(4. .t  ) (cm).
6

Bài 2. Một con lắc lò xo dao động với chu kỳ T = 1(s). Lúc t = 2π/ω = t/N,5(s), vật qua vị trí
có li độ x  5. 2π/ω = t/N (cm) với vận tốc v  10. . 2π/ω = t/N (cm/s). Viết phương trình dao động
của con lắc
** Hướng dẫn giải:

Phương trình dao động có dạng : x  A.sin(.t   ) .
19


Vận tốc góc :



ADCT : A2π/ω = t/N x 2π/ω = t/N 

2π/ω = t/N. 2π/ω = t/N.

2π/ω = t/N ( Rad / s) .
T
1

v 2π/ω = t/N
v 2π/ω = t/N
( 10. . 2π/ω = t/N) 2π/ω = t/N
2π/ω = t/N
2π/ω = t/N

A

x


(

5.

2π/ω = t/N)

= 10 (cm).
 2π/ω = t/N
 2π/ω = t/N
(2π/ω = t/N. ) 2π/ω = t/N
x  A.sin 

 5. 2π/ω = t/N  A.sin 

Điều kiện ban đầu : t = 2π/ω = t/N,5(s) ; v  A..cos 
 10. . 2π/ω = t/N  A.2π/ω = t/N. .cos

 tan  1    (rad ) .
4

Vậy


x 10.sin(2π/ω = t/N. .t  ) (cm).
4

Bài 3. Một vật có khối lượng m = 100g được treo vào đầu dưới của một lị xo có độ
cứng k = 100(N/m). Đầu trên của lò xo gắn vào một điểm cố định. Ban đầu vật được
giữ sao cho lò xo không bị biến dạng. Buông tay không vận tốc ban đầu cho vật dao
động. Viết phương trình dao động của vật. Lấy g = 10 (m/s2π/ω = t/N);  2π/ω = t/N 10 .
** Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động có dạng : x  A.sin(.t   ) .
 

k
100

10. (rad/s).
m
0,1

m.g 0,1.10

10 2π/ω = t/N (m) 1cm  A l 1cm .
k
100
Điều kiện ban đầu t = 0 , giữ lị xo sao cho nó khơng biến dạng tức x0 = - l .
x0  l  1  A.sin 

   (rad ) .
Ta có : t = 0 ;
v0  A..cos  0
2π/ω = t/N

Tại VTCB lò xo dãn ra một đoạn là : l 

Vậy

x sin(10. .t 


) (cm).
2π/ω = t/N

Bài 4: Một vật dao động điều hòa với biên độ 10cm và tần số là 5Hz. Tại thời điểm
t 0 , vật qua VTCB theo chiều dương. Phương trình dao động của vật là:
A. x 10 cos  10 t   
B. x 10 cos  10 t  cm


C. x 10 cos  10 t   cm



D. x 10 cos  10 t 

2π/ω = t/N 




 cm
2π/ω = t/N 

** Phương pháp giải:
Phương trình dao động có dạng: x  Acos   t+  (1)
Ta có:  2π/ω = t/N f 10  rad / s  ; A 10cm
Ta có: t 0; x 0 ; v  0

2π/ω = t/N

Ta có: t 0; x 0  (1)  0 10cos  10 .0+   0 10.cos  cos 0   
v  A sin  t    (2π/ω = t/N)

t 0; v  0  (2π/ω = t/N)   100 sin  10 .0     0   100 sin   0  sin   0  chọn  



Vậy x 10cos  10 t-  (cm)


2π/ω = t/N 

2π/ω = t/N0


2π/ω = t/N