hệ phương trình và mũ lôgarit
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (240.59 KB, 28 trang )
www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit
www.mathvn.com
1
Hệ phơng trình mũ và lôgarit
A. Phơng pháp biến đổi tơng đơng.
Phơng pháp:
Bớc 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa.
Bớc 2: Dùng các phép biến đổi để nhận đợc một phơng
trình một ẩn.
Bớc 3: Giải phơng trình một ẩn nhận đợc từ hệ.
Bớc 4: Kết luận.
Bài tập
: Giải các hệ sau:
1. Bài 1.
)1(
1)1(
2
2
2
=+
=
+
++xx
y
yx
Giải.
Điều kiện y > 1.
=
=
=
=+
=++
>+
=+
=+
0
2
0
2
02
01
11
2
)1(
2
y
x
y
yx
xx
y
y
yx
2. Bài 2.
=
=
>
=
=
+
+
)2(
)0,:(
1
2
)1()(2
2
22
xy
xx
yx
yx
yx
xxxx
yxyx
KĐ
=
=
=+
=
=+
=
)(1
1
033
1
)(2
1
)1(
322
loạix
x
x
x
xxxx
x
Thay x = 1 vào (2) ta có cặp nghiệm (1,1).
3. Bài 3.
=
=+
=
=+
=+
=+
xyxyyx
xxxxyx
1
022.32
1
322
1
322
21
www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit
www.mathvn.com
2
=
=
=
xy
x
x
1
22
12
=
=
=
=
0
1
1
0
y
x
y
x
4. Bài 4.
=+
=+
1
1)44(2
22
yx
yx
5. Bài 5.
)1(
1
2
99
=
=
+
yx
yx
yxyx
Điều kiện: x, y > 0.
=
=
=
=
+
+
)3(
)2(
)1(
2
)9(29
2
99
22
xy
xx
xy
yx
xxxx
yxyx
=
=
=+
=
3/1
1
)9(29
1
)2(
22
x
x
xxxx
x
.
Thay vào (3) ta đợc các cặp nghiệm: (1,1); (1/3,9).
6. Bài 6.
+=+
+=+
=
=
=
=
3log213log.
3log23log
18log)2.3(log
12log)3.2(log
182.3
123.2
22
22
22
22
yx
yx
yx
yx
yx
yx
Giải hệ trên bằng phơng pháp định thức ta có cặp nghiêm: (2,1).
7. Bài 7 (HVNH 99).
+=
+=
=
=
=
=
=
=+
+
312
312
222
2)22(2
222
22
222
1
y
x
xy
xx
yx
yx
yx
yx
+=
+=
)31(log
)31(log
2
2
y
x
www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit
www.mathvn.com
3
8. Bài 8 (ĐHSP II 98).
+=++
=+
++
)2(113
)1(2.322
2
3213
xxyx
xyyx
=
=
=+
+=++
+
xy
x
x
yxx
x
xxyx
x
31
1
0
0)13(
1
113
01
)2(
2
Với x = 0 thay vào (1) ta có cặp nghiệm: )
11
8
log,0(
2
Với
=
xy
x
31
1
, thay vào (1) ta có:
31)31(3113
2
.
3
2
2
+
+
=
+
xxx
Giải ra ta đợc cặp nghiệm:
))83(log2,1)83([log
3
1
(
22
++
9. Bài 9 (ĐHKTQD 99).
=
=
+
)2(
)1(
13
)
3
(5
4
yx
yx
x
y
xy
Điều kiện: x, y > 0.
Từ (2) ta có: y = x
3
, thế vào (1) ta đợc:
=
=
=+
=
=
+
2
1
)
3
(154
1
33
)
3
(15
4
3
3
x
x
x
xxx
x
xx
x
x
xx
Thay vào (2) ta đợc các cặp nghiệm: (1, 1) và (2, 1/8).
10. Bài 10 (ĐHQG 95).
=+
+=
)2(2
)1()2)((22
22
yx
xyyx
yx
Tháy (2) vào (1) ta đợc:
333322
2222))((22 yxyxxyyxyx
yxyxyx
==++=
Nhân xét: x = y thoả mãn phơng trình trên.
Nếu x > y có:
33
22 yx
yx
+>+
www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit
www.mathvn.com
4
Nếu x < y có:
33
22 yx
yx
+<+
Nh vậy, từ phơng trình trên ta có x = y.
Thay vào (2) ta có
==
=
=
1
1
yx
yx
11. Bài 11.
=
=+
=
=+
=+
=+
4
17
2).(log
17
2loglog
17
22
2
22
22
22
xy
yx
yx
yx
yx
yx
Giải ra ta đợc các cặp nghiệm (1, 4); (4, 1).
12. Bài 12.
)1(
loglog
2
42
=
=
x
y
x
yx
y
Điều kiện: x > 0, 0 < y 1.
=
=
=
=
y
y
yy
yx
y
x
yx
yx
2
2
22
22
2
2
22
4
2
2
2
log
log2
loglog2
log2log
log
log
loglog
loglog
)1(
=
=
=
=
=
=
=
=
=
4
16
1
1
4
1
log2log
0log2log
log2log
22
2
2
2
22
y
x
y
x
y
y
yx
yy
yx
13. Bài 13.
)1(
1)2(log)2(log
24
22
22
=+
=
yxyx
yx
Điều kiện: 2x+y > 0, 2x
y > 0.
=+
=++
1)2(log)2(log
1)2(log)2(log
)1(
22
22
yxyx
yxyx
=
=
=
=+
=
=+
2/1
4/3
12
22
0)2(log.2
2)2(log.2
2
2
y
x
yx
yx
yx
yx
www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit
www.mathvn.com
5
14. Bµi 14 (§HM§C 99).
)1(
1log)4224(log)1(log
)3(log1)2(log)(log
4
2
44
44
22
4
−=+−+−+
+=+−+
y
x
xyyxy
yxxyx
§iÒu kiÖn:
(*)
0
04224
01
03
0
2
>
>+−+
>+
>+
>
y
xyy
xy
yx
x
=
+−+
+
+=
+
⇔
=
+−+
+
+=
+
⇔
y
x
xyy
xy
yx
x
yx
y
x
xyy
xy
yx
x
yx
4
4224
1
3
2
)(4
4
log
4224
1
log
)3(log
2
)(4
log
)1(
2
22
4
2
4
4
22
4
=
=
=
⇔
=
=
=
⇔
=−−
=−−
⇔
=−+−
=+−
⇔
1
2
2
2
0)2)((
0)2)((
0442
023
2
22
y
x
yx
x
yx
yx
xyx
yxyx
xyxyx
yxyx
KiÓm tra l¹i ®iÒu kiÖn (*) ta cã nghiÖm:
=
=
∈=
1
2
y
x
Ryx
15. Bµi 15 (§HQG Khèi −
−−
−D 95).
)1(
)(log1)(log
324
33
+−=−
=
+
yxyx
x
y
y
x
§iÒu kiÖn:
≠
>+
>−
0
0
0
xy
yx
yx
www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit
www.mathvn.com
6
=−
=−−
⇔
=−
=+
⇔
=−
=+
⇔
3
0)2)(2(
3
5)(2
1)(log
5)(2
)1(
22
22
22
3
yx
xyyx
yx
x
y
y
x
yx
x
y
y
x
(*))(
1
2
33
2
33
2
2
2
do
y
x
y
xy
y
yx
=
=
⇔
=−
=
=
=
⇔
nghiÖm)(V«
16. Bµi 16 (§HBK 94).
)1(
813).122(
3log
2
3
=+−
=+
yyy
yx
x
§iÒu kiÖn: y > 0.
=−+
+−=
⇔
=+−
+−=
⇔
−
012
3log
81.27).122(
3log
)1(
2
3
12
3
yy
yx
yyyy
yx
=
=
⇔
<−=
=
+−=
⇔
3
2
)(04
3
3log
3
y
x
y
y
yx
lo¹i
17. Bµi 17 (§HTL 2000).
)1(
3
2
loglog2log.
2
3
loglog3log.
333
222
+=+
+=+
y
yxx
x
yyx
§iÒu kiÖn: x, y > 0.
=
=
⇔
=
=
⇔
=
=
⇔
−− xyyx
yx
xy
yx
yx
yx
xy
xy
xy
y
x
x
y
23
2.33.2
2.33.2
2.33.2
3.
3
2
2.
2.
2
3
3.
)1(
www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit
www.mathvn.com
7
=
=
⇔
=
=
⇔
=
=
⇔
−
1
1
2
3
2
3
16
2.33.2
y
x
yx
xy
x
yx
yx
18. Bµi 18 (§HTCKT 2000).
)1(
1loglog
4
44
loglog
88
=−
=+
yx
yx
xy
§iÒu kiÖn: x, y > 0.
=
=+
⇔
=
=+
⇔
yx
yx
y
x
yx
xy
xy
4
4
1log
4
)1(
88
88
loglog
4
loglog
=
=
⇔
=
=
⇔
=
=
⇔
−23
3
2
log
2
2
4
2loglog
3
1
4
2
8
y
x
yx
x
yx
x
x
x
( do x = 1 kh«ng lµ nghiÖm)
19. Bµi 19.
−
−
=
−
−
=
⇔
−=
=
−
⇔
−=
=
⇔
−=
+
=
−
5
)1(2
1
3
1
5
2
3
1
5
2
3
33
4
2
3
9
3
9
2
1
1
2
x
x
x
x
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
x
y
x
x
y
y
x
x
yx
y
x
x
y
x
x
20. Bµi 20 (§HXD 94). Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph−¬ng tr×nh:
=+
−
=
⇔
=+
−
=
⇔
=+
−
=
⇔
=+
=
+
−−
)2(1222
)1(2
122
2
122
2
142
2
2 xaxxaxyxyx
xayxayxayayx
§Æt
x
t
2
=
,
t
> 0 thay vµo (2) ta cã:
0
2
2
=
+
−
a
t
t
(3)
a
2
.
4
1
∆
−
=
.
NÕu
2
0
2
.
4
1
0
∆
−
>
⇔
<
−
⇔
<
a
a
: Ph−¬ng tr×nh(3) v« nghiªm ⇔ hÖ v«
nghiÖm.
www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit
www.mathvn.com
8
Nếu
2
0
2
.
4
1
0
=
=
=
a
a
: Phơng trình (3) có nghiệm t = 1/2, suy ra
x = 1, y= 1/2.
Nếu
2
0
2
.
4
1
0
>
>
>
a
a
: Phơng trình (3) có 2 nghiệm:
+
=
=
+
=
=
+
=
=
2
2.411
log
2
2.411
log
2
2.411
2
2
2.411
2
2
2.411
2
2.411
2
2
a
a
a
x
a
x
a
a
x
x
t
t
Thay vào (1) ta tính đợc y.
21. Bài 21 (ĐHMĐC 2000). Giải và biện luận hệ phơng trình:
=
=
=
=++
++
22
1))1(1(2
22
1
24.2
1
axaxxaxxyyxa
xayayx
=+
=
)2(
2
1))1(1(2
)1(1
axaxxax
xay
22. Bài 22 (Đề 135). Cho hệ phơng trình:
)1(
0
0loglog
2
1
2
3
3
2
3
=+
=
myyx
yx
a) Giải hệ với m = 2.
b) Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm.
Điều kiện:
(*)
0
0
>
y
x
=+=
=
=+
=
)3((*))(0)(
)2(
0
loglog
)1(
2
2
3
33
domyyyf
yx
myyx
yx
a) Với m = 2, giải ra ta có các cặp nghiệm (1, 1); (1, 1).
b) (1) có nghiệm khi và chỉ khi (3) có nghiệm y > 0. Do (3) có b/a= 1 nên
(3) có nghiệm dơng khi và chỉ khi f(0) < 0 m < 0 m > 0.
www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit
www.mathvn.com
9
23. Bài 23.
)1(
2)3(log
2)3(log
=+
=+
kxy
kyx
y
x
Điều kiện:0 <x, y 1, 3x + ky > 0, 3y + kx > 0 (*).
=
=+
=+
=+
0)3)((
)1(
yxkyx
2
2
2
x ky 3x
y kx 3y
x ky 3x
=
=+
=
=+
=
=
=+
)3(
3
)2(
3
xky
yx
xky
yx
2
2
2
x ky 3x
x ky 3x
x ky 3x
a) Với k = 2.
=
=
=
=
5
5
05
)2(
2
y
x
yx
xx
=
=
=
=
=
xy
x
x
yy
xx
1
2
1
1
02
)3(
2
(loại)
b) Biện luận:
=
+=
=
=
=
yx
kx
x
yx
kxx
3
)(0
0)3(
)2(
loại
=
+
=
yx
kx 3
là nghiệm của hệ khi và chỉ khi thoả mãn (*), hay 0 < 3+k
1
3 < k
2.
=
=++
)5(3
)4(0)3()3(
)3(
2
xky
kkxkx
Xét phơng trình (4)
0)3()3()(
2
=++= kkxkxxf
có:
=
3(k
3)(k + 1).
+ Nếu
< 0
k > 3 hoăc k <
1: (4) vô nghiệm
(3) vô nghiệm.
+ Nếu
= 0
k = 3 hoăc k =
1:
+ k = 3: (4) có nghiệm x = 0 không thoả mãn (*)
(3) vô nghiệm.
+ k =
1: (4) có nghiệm x = 2, thay vào (5) có y = 2
(2,2) là
nghiệm của (3).
www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit
www.mathvn.com
10
+ Nếu > 0 1 < k < 3 (**): (4) có 2:
+
==
++
==
2
)1)(3(33
2
)1)(3(33
2
1
kkk
xx
kkk
xx
Với x = x
1
, thay vào (5) ta có y
1
= x
2
.
Với x = x
2
, thay vào (5) ta có y
1
= x
1
.
Do đó, (3) có nghiệm thoả mãn 0 < x, y
1 khi và chỉ khi:
<
++
>
>
>+
>
31
0
0)3(31
03
0)3(
0)1(
0
0
21
21
k
k
kkk
k
kk
f
xx
xx
Kết hợp (**) ta có
<<
31
01
k
k
Kết luận:
+ Với k
3 hoặc k =
2 hệ vô nghiệm.
+ Với
}2{\),0[}31{]1,3( +k
hệ có nghiệm x=y=3+k.
+ Với
}31{\)0,1( k
hệ có 3 nghiệm:
=
=
=
=
+=
+=
1
2
2
1
;
3
3
xy
xx
xy
xx
ky
kx
và
www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit
www.mathvn.com
11
B. Phơng pháp đặt ẩn phụ
I. Phơng pháp:
Bớc 1: Đặt điệu kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa.
Bớc 2: Lựa chọn ẩn phụ để biến đổi hệ ban đầu về hệ đại số
đã biết (hệ đối xứng, hệ đẳng cấp, ).
Bớc 3: Giải hệ.
Bớc 4: Kết luận.
II. Bài tập. Giải các hệ phơng trình sau:
24. Bài 24.
)1(
82.33.2
1723
1
2222
=+
=+
+
++
yx
yx
Đặt:
)2(0,,
2
3
>
=
=
vu
v
u
y
x
,thay vào (1) ta có:
=+
=+
836
1749
22
vu
vu
, giải ra ta đợc:
=
=
=
=
1
1
2
3/1
y
x
v
u
25. Bài 25.
=
=
+
2232
22.32
2
2
2
12
x
xx
yy
y
Đặt
1,2 = uu
x
, thay vào hệ ta có:
=
=
232
232
22
22
uyy
yuu
, giải ra ta đợc y =
u
= 2, suy ra hệ có các cặp
nghiệm: (0, 1); (1, 2); (1, 2).
26. Bài 26.
)1(
42.4.32
122.4.44
162.32
1424
12
21)1(2
222
222
2
22
2
22
=
=+
=
=+
++
+
yxy
yyxx
yxy
yyxx
www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit
www.mathvn.com
12
§Æt:
(*)0,,
2
4
1
2
>
=
=
−
vu
v
u
y
x
, thay vµo (1) ta cã:
−
=
=−+−−−
⇔
=−
=+−
v
v
u
vvvvv
uvv
vuvu
3
4
099)4(12)4(
43
14
2
242222
2
22
=
=
⇔
−
=
=
⇔
−
=
=−−
⇔
1
4
3
4
16
3
4
016312
2
2
2
24
u
v
v
v
u
v
v
v
u
vv
Thay vµo (*) ta ®−îc c¸c cÆp nghiÖm: (1, 2); (−1, 2).
27. Bµi 27.
=+++
=−
)2(1)1()1(
)1()(239
22
3log)(log
22
yx
xy
xy
§iÒu kiªn: xy > 0.
§Æt:
t
xytxy 2)(log
2
=⇒=
, thay vµo (1) ta cã:
2133033.23)2.(239
2
3log
2
=⇒=⇔=⇔=−−⇔=− xyt
ttttt
(3)
03)(2)(012)(2)()2(
22
=−+++⇔=+−+++⇔ yxyxxyyxyx
−=+
=
+
⇔
3
1
yx
yx
(4)
KÕt hîp (3) vµ (4) ta cã c¸c cÆp nghiÖm: 1, 2); (2, 1).
28. Bµi 28.
=−−+
+=
)2(233
)1()(24
22
2log)(log
33
yxyx
xy
xy
§iÒu kiªn: xy > 0.
§Æt:
t
xytxy 3)(log
3
=⇒=
, thay vµo (1) ta cã:
)3(31220222)3(24
2
2log
3
=⇒=⇔=⇔=−−⇔+= xyt
ttttt
018)(3)(0122)(3)()2(
22
=−+−+⇔=−−+−+⇔ yxyxxyyxyx
)4(
3
6
−=+
=
+
⇔
yx
yx
Tõ (3) vµ (4) ta cã c¸c cÆp nghiÖm
)63,63( −+
,
)63,63( +−
.
www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit
www.mathvn.com
13
29. Bài 29.
=
=
723
723
22
2
2
y
x
yx
30. Bài 30.
)1(
299
39.9
2819
39
cot2sin
sincot2
cotsin
sincot2
=
=
=
=
+
gxy
ygx
gxy
ygx
Đặt:
0,,
9
9
sin
cot2
>
=
=
vu
v
u
y
gx
, thay vào (1) ta có:
=
=
=
=
+=
=
+
=
=
2/1sin
0cot
3
1
2
3)2(
2
3.
y
gx
v
u
uv
uu
uv
vu
31. Bài 21 (ĐHDL TL 98).
)1(
1lg6
3lg2
1lg3
3lg2
2
=
=+
=
=+
yx
yx
yx
yx
điều kiện:x 0, y > 0.
Đặt ẩn phụ, giải ra ta đợc cặp nghiệm:
)10,4(
.
32. Bài 32 (ĐHNN I 98).
)1(
)3()4(
43
lg4lg
lglg
=
=
y
yx
yx
Điều kiện: x, y > 0.
)2(
4lg3lg3lg.lg4lg.lg
04lg.lg3lg.lg
)3lg()4lg(
)4lg()3lg(
)1(
22
3lg4lg
lglg
=
=
=
=
yx
yx
yx
yx
Đặt:
=
=
yv
xu
lg
lg
, thay vào (2) ta có:
=
=
4lg3lg3lg.4lg.
04lg.3lg.
22
vu
vu
.
Giải ra bằng phơng pháp định thức ta đợc:
=
=
=
=
3/1
4/1
3lg
4lg
y
x
v
u
www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit
www.mathvn.com
14
33. Bµi 33 (§HQG TPHCM 97).
=+++
=++++−
−+
−+
)2(2)21(log)21(log
)1(4)21(log)21(log
11
2
1
2
1
xy
xxyy
yx
yx
§iÒu kiÖn:x > −1/2, x ≠ 0, −1/2 < y < 1, y ≠ 0.
2
)1(log
1
)1(log2)1(log)1(log)1(
1
111
=
−
+−⇔=++−⇔
+
+−+
y
yxy
x
xyx
yxyxy
x
−
=
⇔
−
=
+
⇔
=
−
⇔
+
111)1(log
1
. Thay vµo (2) ta cã:
5
2
5
2
)1(412)41(log
222
1
=⇒
−
=⇔+=−⇔=−
+
yxxxx
x
34. Bµi 34 (§HTCKT 2000).
)1(
1loglog
4
44
loglog
88
=−
=+
yx
yx
xy
§iÒu kiÖn:x, y > 0.
)2(
2
1
loglog
4
)1(
22
log
3
1
log
3
1
22
=−
=+
⇔
yx
yx
xy
§Æt:
=
=
⇒
=
=
v
u
y
x
yv
xu
2
2
log
log
2
2
, thay vµo (2) ta cã:
=−
=
⇔
=−
=
⇔
=−
=+
2
1
3
2
1
22
2
1
4)2()2(
33
1
3
1
vu
uv
vuvu
uv
u
v
v
u
=
=
=
=
⇒
−
=
−=
−=
−
=
⇔
8
1
2
1
2
1
8
1
2
3
2
2
2
3
y
x
y
x
v
u
v
u
www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit
www.mathvn.com
15
35. Bµi 35 (§Ò 56). Cho hÖ ph−¬ng tr×nh:
)1(
4)(log).(log
4)(log)(log
=++
=
+
+
+
bxaybyax
bxaybyax
yx
yx
a) Gi¶i hÖ khi a = 3, b = 5.
b) Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ khi a, b > 0.
§iÒu kiÖn: 0 < x, y ≠ 1, ax + by > 0, ay + bx > 0.
§Æt:
+=
+
=
)(log
)(log
bxayv
byaxu
y
x
, thay vµo (1) ta cã:
)2(
2)(log
2)(log
2
2
4.
4
=+
=
+
⇒
=
=
⇔
=
=+
bxay
byax
v
u
vu
vu
y
x
a) Víi a = 3, b = 5:
§iÒu kiÖn: §iÒu kiÖn: 0 < x, y
≠
1.
Tõ (2) ta cã:
=++−
=+
⇔
=+
=+
⇔
=+
=+
0)2)((
53
53
53
2)53(log
2)53(log
2
2
2
yxyx
xyx
yxy
xyx
xy
yx
y
x
=
=
⇔
=++
−−=
=−
=
⇔
8
8
)(
0108
2
08
2
2
y
x
VN
xx
xy
xx
yx
b) Víi a, b > 0:
§iÒu kiÖn: §iÒu kiÖn: 0 < x, y ≠ 1 (*).
Tõ (2) ta cã:
=+−+−
=+
⇔
=+
=+
⇔
=+
=+
0))((
2)(log
2)(log
2
2
2
bayxyx
xbyax
ybxay
xbyax
bxay
byax
y
x
=+−+
=+
=
=+
⇔
=+−+
=
=+
)4(
0
)3(
0
2
2
2
bayx
xbyax
yx
xbyax
bayx
yx
xbyax
www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit
www.mathvn.com
16
+=
+=
=
+=
=
=+
=
bay
bax
x
bax
yx
xbax
yx
)(0
0)(
)3(
2
loại
Nghiệm của (3) là nghiệm của (1) khi và chỉ khi thoả mãn (*), hay
a
+
b
1
=++
=
)5(0)(
)4(
22
babxabx
xbay
Do 0 <
x
,
y
1 nên
a
b
>
x
> 0. Khi đó nếu (5) có:
0))(3()(4)(
22
>+=+= babababab
,
0
2
<
+
b
ab
, nên (5) có
hai nghiệm trái dấu:
0
)ạ(0
2
))(3(
0
2
))(3(
21
2
1
<=
<
+
=
>
++
=
xy
ilo
bababa
x
bababa
x
.
Vậy hệ (4) không có nghiệm thoả mãn (*).
Kết luận: + Với
a
+
b
= 1 hệ vô nghiệm.
+ Với
a
+
b
1, hệ có nghiệm duy nhất
x
=
y
=
a
+
b
.
36. Bài 36.
Giải và biện luận hệ phơng trình:
)1(
1232.
33.2
+=+
=+
mm
mm
yx
yx
Đặt:
(*)0,,
3
2
>
=
=
vu
v
u
y
x
.Thay vào (1) ta có:
)2(
12
3
+=+
=
+
mvmu
mmvu
123,22,1
222
++=+== mmmmm
vu
DDD
+ Nếu D
0
m
1 và m
1: Hệ (2) có nghiệm duy nhất:
+
+
=
+
=
++
=
+
=
m
m
v
m
m
u
m
mm
v
m
mm
u
1
13
1
2
1
123
1
22
2
2
2
2
Vì điều kiện (*) nên để u, v là nghiệm của (2) ta phải có:
www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit
www.mathvn.com
17
>
<
>
<
>
<
>
+
+
>
+
0
1
3/1
1
0
1
0
1
13
0
1
2
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
. Khi đó (1) có nghiệm:
+
+
=
+
=
m
m
y
m
m
x
1
13
log
1
2
log
2
2
+ Nếu
=
=
==
1
1
010
2
m
m
mD
+ Với m = 1: D
x
0 nên hệ (2) vô nghiệm.
+ Với m = 1: D = D
u
= D
v
= 0: Mọi cặp (
u
,
v
) thoả mãn
u
+
v
= 3 là
nghiệm của (2), suy ra mọi cặp (
x
,
y
) thoả mãn
x
+
y
= 3 là nghiệm của (1).
Kết luận:
Với
>
<
0
1
m
m
, hệ có nghiêm duy nhất:
+
+
=
+
=
m
m
y
m
m
x
1
13
log
1
2
log
2
2
Với m = 1: mọi cặp (
x
,
y
) thoả mãn
x
+
y
= 3 là nghiệm của (1).
Với 1 < m < 0: hệ (1) vô nghiệm.
37. Bài 37. Cho hệ phơng trình:
)1(
12.3
223.
1
1
+=+
=+
+
+
mm
mm
yx
yx
a) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. (
2
m <
1)
b) Tìm m nguyên để nghiệm duy nhất của hệ là nghiệm nguyên. (m =
2)
38. Bài 38. Giải và biên luận hệ phơng trình:
)1(
22.2
2.2.22
22.
2.2.2
2
2
12
12
+=+
+=+
+=+
+=+
+
+
xx
xxx
xx
xxx
myyy
ymy
myyy
ymy
Đặt:
0,2 >= tt
x
(*). Thay vào (1) ta có:
www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit
www.mathvn.com
18
=+−+−
+=+
⇔
+=+
+=+
0)1)((
2
2
2
2
2
2
mytyt
ymtytt
tmyyty
ymtytt
−+−=
+=+
=
+=+
⇔
−+−=
=
+=+
⇔
)3(
1
2
)2(
2
1
2
2
2
2
mty
ymtytt
yt
ymtytt
mty
yt
ymtytt
+
=
=
=
⇔
=+−
=
⇔
3
1
)(0
0)1(3
)2(
2
m
t
t
yt
tmt
yt
lo¹i
Do
t
> 0 nªn:
10
3
1
−>⇔>
+
m
m
, khi ®ã
3
1
log
2
+
=
m
x
=−+−−
−
+
−
=
⇔
)4(01)1(
1
)3(
2
mtmt
mty
Gi¶i ph−¬ng tr×nh (4):
)5)(1(56)1(4)1(∆
22
−−=+−=−−−= mmmmmm
+ NÕu
<
>
⇔>−−⇔>
1
5
0)5)(1(0∆
m
m
mm
, ph−¬ng tr×nh (4) cã 2 nghiªm
ph©n biÖt:
=
=
⇒
+−−−
=
+−+−
=
12
21
2
2
2
1
2
561
2
561
ty
ty
mmm
t
mmm
t
Víi m < 1, ph−¬ng tr×nh (4) cã hai nghiªm tr¸i dÊu, nªn
t
1
> 0,
t
2
< 0. Do ®ã
hÖ (3) cã nghiÖm duy nhÊt:
+−−−
=
+−+−
=
⇒
+−−−
=
+−+−
=
2
561
2
561
log
2
561
2
561
2
2
2
2
2
mmm
y
mmm
x
mmm
y
mmm
t
Víi
m
> 5, ph−¬ng tr×nh (4) cã hai nghiÖm
t
1
,
t
2
tho¶ m·n:
www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit
www.mathvn.com
19
>
>
>=
>
=
+
0
0
01.
01
2
1
21
21
t
t
mtt
mtt
, nên hệ (3) có các cặp nghiệm:
=
=
=
=
1
2
2
1
ty
tt
ty
tt
và
+ Nếu
=
=
==
1
5
0)5)(1(0
m
m
mm
Với m = 5, phơng trình (4) có nghiệm duy nhất t = 4 y = 4 hệ (3) có
nghiêm duy nhất
4,24log
2
=
=
=
yx
.
Với m = 1, phơng trình (4) có nghiệm duy nhất t = 0 (không thoả mãn (*))
hệ (3) vô nghiệm.
+ Nếu
5
1
0
)
5
)(
1
(
0
<
<
<
<
m
m
m
, phơng trình (4) vô nghiệm
hệ (3) vô nghiệm.
Kết luận:
Nếu m 1, hệ có nghiệm duy nhất:
+
=
++
=
2
561
2
561
log
2
2
2
mmm
y
mmm
x
Nếu
1 < m < 1 hệ có 2 nghiệm:
+
=
+
=
3
1
3
1
log
2
m
y
m
x
và
+
=
++
=
2
561
2
561
log
2
2
2
mmm
y
mmm
x
Nếu 1 < m < 5, hệ có nghiệm duy nhất:
+
=
+
=
3
1
3
1
log
2
m
y
m
x
Nếu m = 5, hệ có hai nghiệm:
=
=
=
=
4
2
2
1
y
x
y
x
và
www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit
www.mathvn.com
20
Nếu m > 5, hệ phơng trình có 3 nghiệm:
+
=
+
=
3
1
3
1
log
2
m
y
m
x
++
=
+
=
+
=
++
=
2
561
2
561
log
2
561
2
561
log
2
2
2
2
2
2
mmm
y
mmm
x
mmm
y
mmm
x
và
39. Bài 39. Giải và biên luận hệ phơng trình:
)1(
2
63
2
42
=
=
++
nnnn
mmmm
yxyx
yxyx
Xét với
m, n
> 0.
Đặt:
=
=
+
6
4
yx
yx
nv
mu
(*). Thay vào (1) ta có:
)2(
22
22
=
=
nnvv
mmuu
Xét hàm số:
xxxf =
2
)(
là hàm đồng biến trên (0, +), nên với xy thì
)
(
)
(
y
f
x
f
. Do đó
=
=
nv
mu
)2(
. Thay vào (*) ta có:
=
=
=
=
=
=
=
+
=
=
=
R
yx
n
m
nm
yx
nm
yx
nm
yx
yx
nn
mm
yx
yx
,
1
1
1,1
1
6
1,1
1
4
1,1
1
6
1
4
6
4
hoặchoặchoặc
www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit
www.mathvn.com
21
=
=
=
=
=
=
=
=
r
yx
n
m
nm
yx
nm
yx
nm
y
x
,
1
1
1,1
6
1,1
4
1,1
1
5
hoặchoặchoặc
Kết luận: Xét với
m
,
n
> 0
+
Với
m
=
n
= 1:
Mọi
x
,
y
R
là nghiệm của hệ
.
+
Với
m
= 1,
n
1:
Mọi
(
x
,
y
)
thoả mãn
x
y
= 6 l
à nghiệm của hệ.
+
Với
m
1,
n
= 1:
Mọi
(
x
,
y
)
thoả mãn
x
y
= 4
là nghiệm của hệ
.
+
Với
0 <
m
,
n
1:
Hệ có nghiêm duy nhất
(5,1).
40. Bài 40.
Cho hệ phơng trình:
)1(
221
112
122
1
+=
++=
++
+
my
myy
xx
x
a)
Giải hệ phơng trình với
m
= 0.
b)
Tìm
m
để hệ có nghiêm.
c)
Tìm
m
để hệ coa nghiêm duy nhất.
Giải.
Đặt:
0,2,
1
2
1
=
=
+
vu
yv
u
x
(*), thay vào (1) ta có:
++=
+=
+=
+=
)())((
2
2
2
vuvuvuvu
mvvu
muuv
mvvu
=
+=
=
+=
=+
+=
(*))(
)2(
0))((
2
2
2
t/mnghiệmcókhông
vu
mvvu
vu
mvvu
vuvu
mvvu
a)
Với
m
= 0, (2) trở thành:
==
==
=
=
=
=
2
)(0
0)2(
2
vu
vu
uu
vu
vvu
vu
loại
Thay u = v = 2 vào (*) ta có:
www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit
www.mathvn.com
22
=
=
=
=
=
=
=
=
+
5
1
5
1
1,0
41
1
1,0
21
22
1
y
x
y
x
yx
y
x
yx
y
x
b)
=+=
=
=+
=
)3(02)(
)2(
22
mvvvf
vu
vmvv
vu
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi (3) có nghiệm v 2
0
)(
21
2
0)2(
0'
0)2(
>=
>
m
VN
a
b
f
f
Vậy với
m
0 thì hệ có nghiệm.
c)
=+=
=
=+
=
)4(02)(
)2(
22
mvvvf
vu
vmvv
vu
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) chỉ có 1 nghiệm v 2
0
0)2(
21
2
0)2(
<
=
=
m
f
a
b
f
Vậy với
m
0 thì hệ có nghiệm duy nhất.
41. Bài 41. Cho hệ phơng trình:
)1(
4.242
4.2.2)42(
242
42
2
2
22
=++
=+
=++
=+
+
m
m
m
m
yxyx
yxyx
yxyx
yx
a) Giải hệ với m = 1.
b) Tìm m để hệ có nghiệm.
Giải.
Đặt:
0,,
4.2
42
>
=
+=
uu
v
u
yx
yx
(*).Thay vào (1) ta có:
www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit
www.mathvn.com
23
+=
=+
+=
=
=+
=+
mvu
mmmvv
mvu
mmuv
mvu
muvvu
222
)(222)(
+=
=+=
mvu
mmmvvvf )2(022)(
22
a) Với m = 1 ta có:
)(
0
1
1
1
)(0
1
022
2
loại
loại
=
=
+=
=
=
+=
=
u
v
vu
v
v
vu
vv
Vậy với
m
= 1, hệ vô nghiệm.
b)
Nhận xét: Với
m
0, phơng trình thứ hai của (1) vô nghiệm nên hệ vô
nghiệm. Ta xét với
m
> 0. Khi đó hệ (1) có nghiêm khi và chỉ khi phơng
trình (2) có nghiêm
v
thoả mãn 0 <
v
<
m
)(
2/1
0
0
2/1
0
0)(2
0)(
2
1
2
0
0)(
0)0(
0'
0)().0(
2
2
2
22
22
vn
m
mm
mm
m
mm
mmm
mm
m
a
b
mf
f
mff
>
>
<
>
>
>
<
<=
<
>
>
>
<
Vậy không có giá trị của
m
để phơng trình có nghiệm.
42. Bài 42.
Giải và biên luận hệ phơng trình:
)1(
3lg2lg)6(
1lglg4
+=++
=
myxm
mymx
Giải bằng phơng pháp định thức.
43. Bài 43.
Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất:
)1(
lglg
1lglg
lg
1lglg
2
2
=
=+
=
=+
myx
x
m
y
x
x
y
y
Điều kiện:
x
,
y
> 0.
Đặt:
=
=
yv
xu
lg
lg
, thay vào (1) ta có:
www.MATHVN.com Hệ phương trình mũ và logarit
www.mathvn.com
24
+−=
=−+−
⇔
+−=
=++−
⇔
=−
=+
mvu
mvv
mvu
vmv
mvu
vu )2(01221)(1
222222
HÖ cã nghiÖm duy nhÊt khi vµ chØ khi ph−¬ng tr×nh (2) cã nghiªm duy nhÊt
220240)1(20'∆
222
±−=⇔=−+−⇔=−−⇔=⇔ mmmmm
Bµi 43.T×m m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm:
)1(
lnlnln
lnlnln
ln)ln(
ln)ln(
2
2
2
2
+=+
+=+
⇔
+=
+=
myyx
mxyx
myxy
mxxy
§iÒu kiÖn: x, y > 0
§Æt:
=
=
yv
xu
lg
lg
, thay vµo (1) ta cã:
−=
−=
=+−
=
⇔
−=
=
+=+
⇔
+=+
+=+
)(
)3(
)(
)2(02
2
2
2
2
2
II
I
mu
vu
muu
vu
vu
vu
muvu
mvvu
muvu
HÖ (1) cã nghiªm khi vµ chØ khi
⇔
nghiÖmcã)(
nghiÖmcã(2)
nghiÖmcã)(I
nghiÖmcã)(
3i
i
1
0
1
0
01
0
0'∆
)2(
≤⇔
≤
≤
⇔
≤
≥−
⇔
≤
≥
⇔ m
m
m
m
m
m
44. Bµi 44.T×m
m
®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh sau cã 2 nghiÖm:
)1(
)(
1)(log
2
22
)(2
=+
=+
+
myx
yx
yx
§iÒu kiÖn:
>+
≠
+
<
0
2/10
22
yx
yx
)2(
)(
0)(22)(
)(
)(2
)1(
2
2
2
22
=+
=+−−+
⇔
=+
+=+
⇔
myx
yxxyyx
myx
yxyx
+ Víi m ≤ 0, (2) v« nghiÖm, suy ra (1) v« nghiÖm.
+ Víi m > 0:
www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit
www.mathvn.com
25
)3(
2
2
)2(
=+
=
myx
mm
xy
(1) có nghiêm khi và chỉ khi (3) có nghiệm
9
16
0
043
0
24
0
2)(
2
>
>
>
>
+
m
m
mm
m
mmm
m
xyyx
C. Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp hàm số.
Phơng pháp:
Bớc 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa.
Bớc 2: Rút ra từ hệ một phơng trình dạng f(x) = f(y).
Bớc 3: Sử dụng phơng pháp hàm số: Nếu f(x) là hàm số luôn
đồng biến hoặc nghịch biến thì từ phơng trình f(x) = f(y) ta có
x = y.
Bớc 4: Sử dụng kết quả trên để giải hệ.
Bài tập: Giải hệ phơng trình:
45. Bài 45.
)(
)2(3232
322
2222
322
322
322
I
yx
yx
yxyx
yx
xy
yx
yx
x
yx
x
y
x
+=+
+=+
+=+
+=+
+=+
+=+
Xét hàm số:
xxf
x
32)( +=
là hàm số đồng biến trên R, nên từ phơng
trình (2) ta có:
f
(
x
) =
f
(
y
)
x
=
y
.
Khi đó hệ (I) trở thành:
)(
)3(32322
322
II
+=
=
+=+
=
=
+=+
x
yx
xx
yx
yx
yx
xx
x
Giải phơng trình (3):
Nhận xét: +
x
= 1 là nghiêm của (3).
+ Với
x
> 1: VT(3) > 2, TP(3) < 2 nên phơng trình (3) không có
nghiệm
x
> 1.
+ Với
x
< 1: VT(3) < 2, TP(3) > 2 nên phơng trình (3) không có
nghiệm
x
< 1.
Vậy phơng trình (3) có nghiệm duy nhất
x
= 1, do đó từ hệ phơng trình (II)
ta có (1, 1) là nghiêm của hệ (1).
