Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình - hệ phương trình Toán 9

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH
LẬP PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỐN 9”

Quảng Bình, tháng 11 năm 2017

Trang 1


CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH
LẬP PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN 9”

Họ và tên: Phạm Thị Thà
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị cơng tác: Trường THCS Mỹ Thủy

Quảng Bình, tháng 11 năm 2017
1. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
Trang 2


Tốn học là mơn khoa học cơ bản, đã rất quen thuộc với các em học sinh ngay
từ tiểu học, song việc dạy tốt và học tốt mơn Tốn học đang là yêu cầu và mong

muốn của toàn xã hội, nó góp phần hình thành nhân cách và là cơ sở khoa học để học
tập, lao động và tạo ra của cải vật chất cho xã hội. Như chúng ta đã biết, Tốn học là
một ngành, một mơn học địi hỏi tính suy luận và trí thơng minh cao, nó nghiên cứu
về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Do khả năng ứng dụng rộng rãi
trong nhiều khoa học, Tốn học được mệnh danh là “ngơn ngữ của vũ trụ” hay như
nhà bác học Carl Friedrich Gauβ đã nói, “Tốn học là nữ hồng của các mơn khoa
học”. Tốn học là nền tảng cho tất cả các ngành khoa học tự nhiên khác. Có thể nói
rằng khơng có Tốn học, sẽ khơng có ngành khoa học nào cả. Do đó mơn Tốn có vị
trí đặc biệt quan trọng trong việc phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ cho học
sinh. Tuy nhiên, qua quan sát việc học mơn Tốn của học sinh nhìn chung vẫn cịn bị
hạn chế, khơng ít em sợ Tốn, coi việc học Tốn là một cơng việc nặng nhọc, căng
thẳng. Nguyên nhân dẫn đến hiện trạng trên có thể do các em chưa nhận biết tầm
quan trọng và ý nghĩa của việc học Tốn, chưa được kích thích hành động tích cực,
sáng tạo trong q trình giải tốn; cũng có thể do nội dung mơn Tốn khơ khan,
phương pháp dạy của giáo viên chưa thật sự hấp dẫn, cũng như chưa tạo ra bầu khơng
khí tích cực trong các nhóm học sinh khi học Tốn.
Đặc biệt trong chương trình Tốn lớp 9 có dạng tốn “Giải bài tốn bằng cách
lập phương trình - hệ phương trình”. Đây là một loại tốn có rất nhiều dạng, phong
phú về bài tập và địi hỏi học sinh phải tư duy nhiều. Ngồi ra, cịn phải biết tìm mối
liên hệ, gắn kết các dữ kiện đưa ra trong bài để đưa ra cách giải hợp lý, ngắn gọn và
chính xác nhất. Dung lượng bài tập nhiều và phức tạp vì vậy việc vận dụng lý thuyết
vào việc giải các bài tập của học sinh phải ở mức độ cao hơn. Do đó cần phải tìm ra
một phương pháp giải bài tập phù hợp với trình độ năng lực của học sinh.
Là giáo viên dạy Tốn, tơi thấy việc giúp học sinh đi từ lý thuyết đến thực hành
rất quan trọng, sẽ giúp ích cho học sinh áp dụng vào cuộc sống. Ngoài ra, trong quá
trình dạy học nên tìm cách tạo ra hứng thú cho học sinh lĩnh hội kiến thức và vận
dụng vào từng dạng bài tập một cách tích cực và hiệu quả nhất để giúp học sinh
không chỉ học tốt phần này mà nó cịn kích thích tính hứng thú học tập để các em học
tốt các phần tiếp theo.
Hiện nay đã có các tài liệu đưa ra được phương pháp giải bài tốn bằng cách lập

phương trình hay hệ phương trình. Tuy nhiên để phù hợp với trình độ và năng lực của
học sinh cần triển khai áp dụng một cách cụ thể chi tiết hơn.
Từ những lí do đó tôi mạnh dạn đưa ra những ý kiến, kinh nghiệm của bản thân
mình về “Phương pháp giải bài tốn bằng cách lập phương trình - hệ phương trình
Tốn 9”.
1.2. Điểm mới của đề tài:
Trang 3


- Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi chú trọng đến phần kỹ năng giải bài toán
bằng cách lập phương trình - hệ phương trình. Một mặt xây dựng được cơ sở lý
thuyết cơ bản, bổ sung các kiến thức liên quan. Mặt khác tôi hướng dẫn các em học
sinh cách nhận biết, phân loại các dạng bài tập và vận dụng phương pháp giải một
cách nhanh chóng, hiệu quả. Biết cách chọn ẩn trực tiếp hay chọn ẩn gián tiếp.
- Với phương pháp này sẽ giúp các em học sinh có hứng thú với mơn học, nhất
là học sinh yếu, rèn luyện tính tư duy, lập luận lơ gic cho các em.
1.3. Phạm vi áp dụng của đề tài:
- Dạng tốn “Giải bài tốn bằng cách lập phương trình - hệ phương trình” trong
chương trình mơn Tốn 9.
- Học sinh lớp 9 bậc trung học cơ sở tại đơn vị tơi đang cơng tác.
- Giáo viên dạy Tốn 9 THCS.

2. NỘI DUNG
Trang 4


2.1. Thực trạng nội dung cần nghiên cứu:
“Giải bài toán bằng cách lập phương trình”, đây là một trong những dạng tốn
lập phương trình cơ bản mà ở lớp 8 là tiền đề để các em được làm quen những dạng
đơn giản, là cơ sở cho những bài toán phức tạp ở lớp 9. Thế nhưng hầu hết các em

học sinh ở lớp 9 đều rất ngại khi giải các dạng tốn bằng cách lập phương trình - hệ
phương trình vì các em thấy khó mặc dù các em đã nắm được quy tắc chung. Có
nhiều em nắm được rất rõ các bước giải nhưng lại không biết vận dụng vào giải bài
tập. Vì các em khơng biết xuất phát từ đâu để tìm lời giải hoặc khơng biết tìm sự liên
quan giữa các đại lượng để lập phương trình - hệ phương trình. Mà đây là một dạng
tốn cơ bản, thường xuất hiện trong các bài kiểm tra 1 tiết, kiểm tra học kỳ II của lớp
9. Nhưng đại đa số học sinh không làm được bài này do khơng nắm chắc cách giải,
cũng có những học sinh biết cách làm nhưng khơng đạt điểm tối đa vì thiếu nhiều ý.
Có những em chỉ biết giải những bài tập mà giáo viên đã giải trên lớp, khi gặp những
đề tốn khác thì lại khơng giải được. Đó cũng là do một số giáo viên chỉ sửa bài tập
cho học sinh trong những giờ học trên lớp mà chưa chú ý đến việc giảng dạy cho học
sinh các kỹ năng giải bài tốn bằng cách lập phương trình.
Giải bài tốn bằng cách lập phương trình là biến bài tốn bằng lời thành phương
trình ứng với bài tốn đã cho. Muốn vậy học sinh phải biết phiên dịch từ ngôn ngữ
thông thường hay ngôn ngữ thực tế sang ngôn ngữ đại số. Ngơn ngữ đại số đó là thứ
ngơn ngữ khơng dùng đến lời mà chỉ sử dụng các kí hiệu tốn học. Vì nội dung của
các bài tốn này, hầu hết đều gắn bó với các hoạt động thực tế của con người, xã hội
hoặc tự nhiên,… Chính vì vậy mà việc chọn ẩn số thường là những số liệu có liên
quan đến thực tế. Do đó trong q trình giải học sinh thường quên, không quan tâm
đến yếu tố thực tiễn dẫn đến đáp số vô lý. Từ những lý do đó mà học sinh rất ngại
làm loại tốn này. Mặc khác, cũng có thể trong q trình giảng dạy do năng lực, trình
độ của giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh ở mức độ truyền thụ tinh thần của sách
giáo khoa mà chưa biết phân loại toán, chưa khái quát được cách giải cho mỗi dạng.
Kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinh cịn yếu, cách chọn ẩn số, mối liên hệ giữa
các dữ liệu trong bài toán, dẫn đến việc học sinh rất lúng túng và gặp rất nhiều khó
khăn trong vấn đề giải loại toán này. Đối với việc giải bài toán bằng cách lập phương
trình – hệ phương trình các em mới được học nên chưa quen với dạng tốn tự mình
làm ra phương trình. Xuất phát từ thực tế đó nên kết quả học tập của các em chưa
cao. Nhiều em nắm được lý thuyết rất chắc chắn nhưng khi áp dụng giải bài tập thì lại
khơng làm được. Do vậy việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng lập phương trình để

giải tốn, ngồi việc nắm lý thuyết, thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó
phát triển khả năng tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng
cao chất lượng học tập bộ mơn Tốn 9.
Trước khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm “Phương pháp giải bài tốn bằng
cách lập phương trình – hệ phương trình Tốn 9”, tơi tiến hành khảo sát 2 lớp 9A,
Trang 5


9B của Trường THCS nơi bản thân tôi đang công tác trong năm học 2015 – 2016
dạng giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình.
Kết quả như sau:
Số bài
Giỏi
Khá
T. Bình
Yếu
Kém
Lớp
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
KT
9A

35
4 11,4
6
17,1 14 40,0 10 28,6
1
2,9
9B
35
3
8,6
7
20,0 13 37,1 10 28,6
2
5,7
Qua kết quả kiểm tra cho thấy tỉ lệ học sinh đạt điểm khá, giỏi còn thấp. Học
sinh đạt điểm từ trung bình trở lên chưa cao. Trong lúc đó tỉ lệ học sinh điểm yếu,
kém cịn nhiều.
Qua thực tế giảng dạy và kết quả kiểm tra của học sinh tôi thấy kỹ năng làm bài
của học sinh cịn sai sót nhiều dẫn đến kết quả làm bài điểm còn thấp.
Do vậy để các em học sinh nắm bắt được kiến thức, kỹ năng cơ bản của chương
trình và vận dụng vào giải bài tập. Tôi đã đưa ra một số dạng bài tập cơ bản ứng với lí
thuyết đã học, để rèn kỹ năng giải bài tốn bằng cách lập phương trình – hệ
phương trình Tốn 9. Tạo cho các em có thêm hứng thú với mơn học.
2.2. Các giải pháp thực hiện:
2.2.1. Yêu cầu về giải một bài tốn bằng cách lập phương trình - hệ phương
trình.
Khi giải bài tốn bằng cách lập phương trình tất cả đều phải dựa vào một quy tắc
chung: Đó là các bước giải bài tốn bằng cách lập phương trình. Cụ thể như sau:
* Bước 1: Lập phương trình (hoặc hệ phương trình):
- Chọn ẩn số (đơn vị) và đặt điều kiện cho ẩn;

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
- Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
* Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình).
* Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình (hệ phương
trình) nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận.
Ở các bước trên thì bước 1 là quan trọng nhất vì có lập được phương trình (hệ
phương trình) chính xác thì mới có được kết quả của bài tốn đã ra.
Để có thể giải đúng, nhanh bài tốn giải bài tốn bằng cách lập phương trình cả
giáo viên và học sinh cần chú ý :
+ Đọc kĩ đề bài, nhận dạng và tóm tắt bài tốn (sơ đồ, lập bảng) để hiểu rõ: đại
lượng phải tìm, các đại lượng và số liệu đã cho, mơ tả bằng hình vẽ nếu cần, chuyển
đổi đơn vị nếu cần.
+ Thông thường chọn ẩn trực tiếp, đặt điều kiện của ẩn phù hợp với yêu cầu của
bài toán và với thực tế.
Trang 6


+ Xem xét các tình huống xảy ra và các đại lượng nào mà số liệu chưa biết ngay
được.
+ Khi đã lập phương trình (hệ phương trình) cần vận dụng tốt kỹ năng giải các
dạng phương trình (hệ phương trình) đã học để tìm nghiệm của phương trình (hệ
phương trình).
+ Cần chú ý so sánh nghiệm tìm được của phương trình (hệ phương trình) với
điều kiện của ẩn để trả lời.
2.2.2. Phân loại dạng toán và bổ sung kiến thức cần thiết cho các dạng tốn đó.
2.2.2.1. Có thể phân loại thành 6 dạng toán thường gặp như sau:
- Dạng tốn về chuyển động.
- Dạng tốn về cơng việc làm chung, làm riêng.
- Dạng toán về năng suất lao động.
- Dạng tốn tìm số.

- Dạng tốn có liên quan hình học.
- Dạng tốn có nội dung vật lí, hố học.
2.2.2.2. Các kiến thức cần thiết:
a. Dạng toán về chuyển động:
+ Vận tốc chuyển động của một vật là v, thời gian chuyển động là t, quãng
S
S
đường là S. Công thức biểu thị: S = v.t ; v  ; t  .
t
v
+ Đối với chuyển động trên sơng có dịng nước chảy:
vxi = vThực + v dịng nước
vngược = vThực - v dịng nước
v dịng nước = (vxi - vngược ) : 2
b. Dạng toán về năng suất, làm chung, làm riêng:
+ Các đại lượng tham gia: Năng suất, công việc và thời gian.
+ Năng suất lao động là n, thời gian làm việc là t, khối lượng công việc được
hồn thành là A. Cơng thức biểu thị: A = n.t ; t 

A
A
; n= .
n
t

+ Tồn bộ cơng việc được coi là 1.
c. Dạng tốn tìm số:
+ Cơng thức mối liên hệ phụ thuộc giữa số bị chia a, số chia b, thương q và số
dư r là: a = b.q + r (0  r < b);
+ Dạng tổng quát của số có hai chữ số: ab ( a  0 9;0 b 9;a,b  N) .

d. Dạng tốn liên quan hình học:

Trang 7


+ Cơng thức tính diện tích các hình cơ bản như: hình chữ nhật, tam giác, hình
1
2
2
2
a.h (a cạnh đáy, h là chiều cao tương ứng), S tron = π .r (r là bán kính), Svuong = a (a là
cạnh hình vng).
e. Dạng tốn có nội dung vật lí, hố học.
+ Công suất của một động cơ là P, thời gian làm việc là t, công là A. Công thức
A
A
biểu thị: A = P.t; P  ; t = .
t
P
+ Một vật có khối lượng là m, thể tích là V và khối lượng riêng là D. Công thức
m
m
biểu thị: m = D.V ; D  ; V= .
V
D
trịn, hình vuông ...: Shcn = a.b (a chiều dài; b chiều rộng hình chữ nhật), Stamgiac =

2.2.3. Rèn luyện kỹ năng giải tốn bằng cách lập phương trình (hệ phương
trình) cho học sinh thơng qua các dạng tốn.
2.2.3.1. Dạng tốn chuyển động:

a/Hướng dẫn học sinh tìm lời giải:
- Với dạng tốn này cần khai thác ở các đại lượng: Vận tốc, thời gian, quãng
đường. (Lưu ý phải thống nhất đơn vị).
- Chọn ẩn và điều kiện thích hợp cho ẩn.
- Hướng dẫn học sinh phân tích bài tốn theo bảng sau:
Đại lượng
Các đối tượng

Vận tốc
(km/h)

Thời gian
(h)

Quãng đường
(km)

Đối tượng 1
Đối tượng 2
b/ Bài tốn minh hoạ:
Bài tốn 1: Đường sơng từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đường bộ 10 km.
Để đi từ A đến B, một ca nô đi hết 3 giờ 20 phút, một xe khách đi hết 2 giờ. Biết vận
tốc của ca nô kém vận tốc của xe khách là 17km/h. Tính vận tốc của ca nô?.
* Hướng dẫn giải :
Cách 1: Hướng dẫn học sinh phân tích bài tốn:
Đại lượng
Phương tiện
Ca nơ
Xe khách

Vận tốc
(km/h)

Thời gian
(h)

Quãng đường
(km)

x

1 10
3 
3 3

10
x
3

x + 17

2

2.(x + 17)

Phương trình lập được: 2(x  17) 

10
10
3

Trang 8


* Giải:
1 10
Đổi 3 
3 3
Gọi vận tốc của ca nô là: x (km/h), x > 0
Vận tốc của xe khách là: x +17 (km/h)
10
Đường sông từ A đến B dài là:
x (km)
3
Đường bộ từ A đến B dài là:
2.(x+17) (km)
Theo bài ra ta có phương trình:
10
2(x  17) 
10
3
 6(x  17)  10x 30
  4x  72
 x 18
x = 18 (thoả mãn điều kiện).
Vậy vận tốc của ca nô là 18 km/h.
Cách 2: Gọi quãng đường sơng dài là: x (km), x > 0
Ta có bảng sau:
Đại lượng
Phương tiện

Ca nô
Xe khách

Vận tốc
(km/h)
x:

10 3x

3 10
x  10
2

Thời gian
(h)

Qng đường
(km)

10
3

x

2

x + 10

Ta có phương trình:
x  10 3x


17  x 60 (thoả mãn điều kiện)
2
10
3.60
18 (km/h)
Vậy vận tốc của ca nơ là:
10
Cách 3: Lập hệ phương trình:
- Gọi vận tốc của ca nô là x (km), x > 0
- Vận tốc của xe khách là y(km), y > 0
- Ta hướng dẫn học sinh theo bảng sau:
Đại lượng
Phương tiện
Ca nô
Xe khách

Vận tốc
(km/h)

Thời gian
(h)

Quãng đường
(km)

x

10
3

2

10
x
3
2y

y
Trang 9


 y  x 17

- Từ đó có hệ phương trình: 
10
2y  3 x 10
- Giải hệ phương trình và chọn câu trả lời.
Bài toán 2: (Bài 47. SGK Tốn 9/Trang 58)
Bác Hiệp và cơ Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30km, khởi
hành cùng một lúc. Vận tốc xe bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe cô Liên là 3km nên bác
Hiệp đến sớm hơn cơ Liên nửa giờ. Tính vận tốc xe của mỗi người?
* Hướng dẫn giải.
Cách 1:
+ Nếu gọi vận tốc xe của bác Hiệp là x (km/h), ta có thể hướng dẫn học theo
bảng sau:
Đại lượng
Đối tượng

Vận tốc
(km/h)

Bác Hiệp

x

Cô Liên

x–3

Phương trình lập được:

Thời gian
(h)
30
x
30
x 3

30
30 1


x 3 x 2

* Giải :
Gọi vận tốc xe của bác Hiệp là x(km/h), x > 3.
Khi đó, vận tốc xe của cơ Liên là: x – 3 (km/h).
30
Thời gian bác Hiệp đi từ làng lên tỉnh là:
(giờ)

x
30
Thời gian cô Liên đi từ làng lên tỉnh là:
(giờ)
x 3
Vì bác Hiệp đến trước cơ Liên nửa giờ nên ta có phương trình:
30
30 1


x 3 x 2
Giải phương trình:
x(x-3) =60x – 60x + 180 hay x2 – 3x – 180 = 0
Δ = 9 + 720 = 729 > 0;

Δ  729 27
Nên phương trình có hai nghiệm:
3  27
3  27
x1 
15 (TMĐK), x1 
 12 (loại).
2
2
Vậy: Vận tốc xe của bác Hiệp là 15km/h.
Vận tốc xe của cô Liên là 15 – 3 = 12 (km/h).
Trang 10

Quãng đường
(km)

30
30


Cách 2: Lập hệ phương trình:
- Gọi vận tốc xe của bác Hiệp là x (km/h), x > 3
- Vận tốc xe của cô Liên là y(km/h), y > 0
- Ta hướng dẫn học sinh theo bảng sau:
Đại lượng
Đối tượng

Vận tốc
(km/h)

Bác Hiệp

x

Cô Liên

y

Thời gian
(h)
30
x
30
y

Quãng đường

(km)
30
30

 x  y 3

- Từ đó có hệ phương trình:  30 30 1
 y  x 2

- Giải hệ phương trình và chọn câu trả lời.
Bài tốn 3: (Bài 3. Tài liệu ơn thi vào lớp 10 mơn Tốn/Tr62 – Trần Lưu Thịnh)
Một ơ tô đi quãng đường AB dài 80km trong một thời gian đã dự định, ba phần
tư quãng đường đầu ô tơ chạy nhanh hơn dự định 10km/h, qng đường cịn lại ô tô
chạy chậm hơn 15km/h. Biết rằng ô tô đến B đúng giờ quy định. Tính thời gian ơ tô
đi hết quãng đường AB?
* Hướng dẫn giải.
Cách 1: Chọn ẩn gián tiếp
+ Nếu gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h).
- GV hướng dẫn học sinh phân tích bài tốn theo bảng sau :
Đại lượng
Vận tốc
Thời gian
Quãng đường
Đối tượng
(km/h)
(h)
(km)
x
80
Dự định

80
x
¾ quãng đường
x + 10
60
60
x  10
Thực hiện
¼ qng đường
x – 15
20
20
x  15
60
20
80


Phương trình lập được:
x  10 x  15 x
* Giải:
Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h), x > 15.
80
Thời gian ô tô dự định đi là:
(giờ)
x
3
Đoạn đường ô tô đi với vận tốc x + 10 (km/h) là: 80. 60 (km)
4
Trang 11

60
(giờ)
x  10
Đoạn đường cịn lại ơ tơ đi với vận tốc x – 15 (km/h) là: 80 – 60 = 20 (km)
20
Thời gian ô tô đi với vận tốc x - 15 (km/h) là:
(km).
x  15
Theo bài ra, ta có phương trình:
60
20
80


x  10 x  15 x
3
1
4



x  10 x  15 x
 3x 2  45x  x 2  10x 4x 2  20x  600
  15x  600
 x 40
x = 40 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy vận tốc dự định của ô tô là: 40 (km/h).
80

2 (giờ).
Do đó thời gian để ơ tơ đi hết quãng đường là:
40
Cách 2: Chọn ẩn trực tiếp
+ Nếu gọi thời gian của ô tô đi hết quãng đường AB là t (giờ).
Thì thời gian của ơ tơ dự định đi hết quãng đường AB là t (giờ).
- GV hướng dẫn học sinh phân tích bài tốn theo bảng sau:
Đại lượng
Vận tốc
Thời gian
Quãng đường
Đối tượng
(km/h)
(h)
(km)
80
Dự định
t
80
t
60
80
80
¾ quãng đường
+ 10
60
 10
t
t
Thực hiện

20
80
80
¼ qng đường
– 15
20
 15
t
t
Thời gian ơ tơ đi với vận tốc x + 10 (km/h) là:

* Giải:
Gọi thời gian của ô tô đi hết quãng đường AB là t (giờ), t >0.
Khi đó, thời gian ơ tơ dự định đi là: t (giờ)
80
Vận tốc ô tô dự định đi là:
(km/h)
t
80
3
Đoạn đường ô tô đi với vận tốc
+ 10 (km/h) là: 80. 60 (km)
t
4
60
80
Thời gian ô tô đi với vận tốc
+ 10 (km/h) là: 80
(giờ)
 10

t
t
Trang 12


80
– 15 (km/h) là: 80 – 60 = 20 (km)
t
20
80
Thời gian ô tô đi với vận tốc
– 15 (km/h) là: 80
(km).
 15
t
t
Theo bài ra, ta có phương trình:
60
20

t
80
80
 10
 15
t
t
60
20



t
80
80
 10
 15
t
t
60t
20t


t
80  10t 80  15t
60
20
16


1 (t  )
80  10t 80  15t
3
 60(80  15t)  20(80  10t) (80  10t)(80  15t)
Đoạn đường còn lại ô tô đi với vận tốc

 4800  900t  1600  200t 6400  12000t  800t  150t 2
 150t 2  300t 0
 150t(t  2) 0
 t 0


 t 2
Với t = 0 (không thỏa mãn điều kiện); t = 2 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy thời gian để ô tô đi hết quãng đường là 2 giờ.
* Như vậy, qua bài toán trên ta thấy: Khi giải bài tốn bằng cách lập phương
trình - hệ phương trình đa số chúng ta thường chọn trực tiếp đại lượng chưa biết làm
ẩn. Nhưng đôi khi việc chọn đại lượng chưa biết làm ẩn làm cho việc giải bài tốn trở
nên phức tạp hơn. Vì vậy, tùy theo bài tốn đưa ra ta có thể chọn ẩn một cách gián
tiếp thơng qua một đại lượng khác.
2.2.3.2. Dạng tốn về công việc làm chung, làm riêng:
“ làm chung - làm riêng ”, “vịi nước chảy” (tốn quy về đơn vị)
a/ Hướng dẫn học sinh tìm lời giải:
- Hướng dẫn học sinh có thể lập bảng như sau:p bảng như sau:ng như sau: sau:
Đại lượng
Thời gian làm
Năng suất
xong 1 công việc
Đối tượng
Đội I (Vòi 1) ...
Đội II (Vòi 2) ...
Cả 2 đội (2 vịi) ...
b/ Bài tốn minh hoạ:
Trang 13

Cơng việc


Bài tốn 1: (Bài 33. SGK Tốn 9/Trang 24)
Hai cơng nhân cùng làm một cơng việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ
nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ chỉ hồn thành được 25% cơng việc. Hỏi
nếu làm riêng thì mỗi người hồn thành cơng việc đó trong bao lâu?

* Hướng dẫn giải:
Đại lượng
Số giờ để hồn
Tổng khối lượng
Năng suất
Đối tượng
thành cơng việc
cơng việc
1
Người 1
x
1
x
1
Người 2.
y
1
y
1
Cả 2 người
16
1
16
* Giải:
Gọi thời gian để người thứ nhất làm một mình xong cơng việc là: x giờ (x >16)
Thời gian để người thứ hai làm một mình xong công việc là: y giờ (y >16)
1
Trong 1 giờ người thứ nhất làm được:
(công việc)
x

1
Trong 1 giờ người thứ hai làm được: (công việc)
y
1
Trong 1 giờ cả hai người làm được:
(cơng việc)
16
Vì hai người cùng làm chung trong 16 giờ thì xong việc nên ta có phương trình:
1 1 1
 
(1)
x y 16
Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì chỉ
hồn thành 25% cơng việc nên ta có phương trình:
3 6 1
1
 
(2)
(25% = )
x y 4
4
1 1 1
 x  y 16
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: 
(I)
 3  6 1
 x y 4
Giải hệ phương trình (I):
1 1
 x  24

 x 24
(I)  

 y 48
1  1
 y 48
Ta thấy x = 24 (TMĐK) và y = 48 (TMĐK).
Trang 14


Vậy thời gian để người thứ nhất làm một mình xong công việc là 24 giờ.
Thời gian để người thứ hai làm một mình xong cơng việc là 48 giờ.
Bài tốn 2: (Bài 32. SGK Tốn 9/Trang 23)
4
giờ
5
thì đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vì thứ hai thì
Hai vịi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (khơng có nước) thì sau 4

6
giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vịi thứ hai thì sau bao lâu
5
mới đầy bể?
* Hướng dẫn giải :
Gọi thời gian để một mình vịi thứ nhất chảy đầy bể là: x giờ (x >0)
Thời gian để một mình vịi thứ hai chảy đầy bể là: y giờ (y >0)
Ta có bảng sau:
sau

Đại lượng

Đối tượng

Số giờ để nước
chảy đầy bể

Vòi 1

x

Vòi 2

y

Cả 2 vòi

Lượng nước
trong 1 giờ
1
x
1
y

4 24
4 
5 5

1
5

24 24

5

Tổng khối lượng
công việc
1
1
1

4 24
Đổi 4 
5 5
Gọi thời gian để một mình vịi thứ nhất chảy đầy bể là: x giờ (x >0)
Thời gian để một mình vịi thứ hai chảy đầy bể là: y giờ (y >0)
1
Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được: (bể)
x
1
Trong 1 giờ vòi thứ hai chảy được: (bể)
y
1
5

Trong 1 giờ cả hai vòi chảy được: 24 24 (bể).
5
4
Vì hai vịi cùng chảy thì bể đầy trong 4 giờ nên ta có phương trình:
5
1 1 5
 
(1)

x y 24

* Giải:

Trang 15


Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vì thứ hai thì sau

6
5

giờ nữa mới đầy bể nên ta có phương trình:
9 6 1 1
 (  ) 1
(2)
x 5 x y
 1 1 5
 x  y  24
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: 
(I)
9
6
1
1
  (  ) 1
 x 5 x y
Giải hệ phương trình (I):
 1 1 5
1 1 5

 
 x  y  24
 x 12
 x y 24
(I)  


 y 8
 9  6 . 5 1  9  1 1
 x 5 24
 x 4
Ta thấy x = 12 (TMĐK) và y = 8 (TMĐK).
Vậy thời gian để một mình vòi thứ hai chảy đầy bể là 8 giờ.
2.2.3.3. Dạng tốn về năng suất lao động:
a/ Hướng dẫn tìm lời giải:
+ Tiến hành chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn:
+ Đ i v i dạng tốn thơng thường khác hướng dẫn học sinh theo bảng sau:ng tốn thơng thư sau:ờng khác hướng dẫn học sinh theo bảng sau:ng khác hư sau: ng dẫn học sinh theo bảng sau:n học sinh theo bảng sau:c sinh theo bảng như sau:ng sau:
Các đại lượng
Thời gian thực
Khối lượng cơng
Năng suất
hiện tồn bộ công
việc
Các trường hợp
việc
Đội 1
Trường hợp 1
Đội 2
Đội 1
Trường hợp 2

Đội 2
b/ Bài tốn minh hoạ:
(Bài 2. Ơn tập mơn Tốn lớp 9/T50- Bùi Văn Tuyên)
Một tổ công nhân theo kế hoạch phải làm 120 sản phẩm trong một thời gian nhất
định. Do cải tiến kỹ thuật nên khi thực hiện năng suất của tổ đã vượt năng suất dự
định là 15 sản phẩm/ngày, do đó chẳng những tổ đã hồn thành cơng việc sớm hơn 1
ngày mà cịn làm thêm được 15 sản phẩm nữa. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày tổ phải
làm bao nhiêu sản phẩm ?
* Hướng dẫn giải:
+ Chọn ẩn: x là số sản phẩm phải làm mỗi ngày theo kế hoạch (x < 120, x  N* )
+ Lập bảng như sau:p m i liên hệ của ẩn theo bảng sau: của ẩn theo bảng sau:a ẩn theo bảng sau:n theo bảng như sau:ng sau:
Đại lượng
Năng suất cơng việc
Tồn bộ sản
Thời gian thực
Các trường hợp
(Số sp/ngày)
phẩm
hiện
Trang 16


Kế hoạch
Thực tế
Phương trình lập được:

x

120

x + 15

120+15=135

120
x
135
x  15

120 135
=
+1
x x  15

* Giải:
Gọi số sản phẩm mỗi ngày tổ phải làm theo kế hoạch là: x (sản phẩm)
(x < 120, x  N* ).
Thực tế mỗi ngày tổ làm được: x + 15 (sản phẩm)
120
Thời gian làm theo kế hoạch là:
(ngày)
x
Số sản phẩm thực tế làm được là: 120 + 15 = 135 (sản phẩm)
135
Thời gian thực tế làm số sản phẩm là:
(ngày)
x  15
Theo bài ra ta có phương trình:
120 135
=

+1  x 2  30x  1800 0
x x  15
Giải phương trình:
Δ' = 225 + 1800 = 2025 >0;

Δ'  2025 45 .
Nên phương trình có hai nghiệm:
 15  45
 15  45
x1 
30 (TMĐK); x 2 
 60 (loại).
1
1
Vậy số sản phẩm mỗi ngày tổ phải làm theo kế hoạch là 30 sản phẩm.
2.2.3.4. Dạng toán liên quan tới số học:
a/Hướng dẫn học sinh tìm lời giải:
- Những lưu ý khi giải các bài tâp:
+ Viết chữ số tự nhiên đã cho dưới dạng lũy thừa của 10:
a n a n  1...a1a 0 10n a n  10n  1 a n  1  ...  101 a1  100 a 0
+ Số chính phương: Nếu a là số chính phương thì a = b2 ( b  N )
b/ Bài tốn minh hoạ:
Bài tốn 1: (Ví dụ 1. SGK Tốn 9/Trang 20)
Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn
chữ số hàng chục 1 đơn vị, và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được
một số mới (có hai chữ số) bé hơn số cũ 27 đơn vị.
* Hướng dẫn giải:
- Bài tốn tìm số có hai chữ số thực chất là bài tốn tìm hai chữ số (chữ số hàng chục
và chữ số hàng đơn vị).
Trang 17

- Biểu diễn số có hai chữ số dưới dạng: ab 10a  b
- Biết chữ số hàng chục tìm chữ số hàng đơn vị.
- Khi đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta được số ba , tìm mối liên hệ giữa số mới và số
cũ. Chú ý điều kiện của các chữ số.
* Giải:
Gọi chữ số hàng chục của số phải tìm là: a (0 < a  9, a  N ),
chữ số hàng đơn vị là: b ( 0 < b  9, b N ).
Số phải tìm có dạng: ab 10a  b
Sau khi đổi chỗ hai chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị cho nhau ta được số
mới là: ba 10b  a
Theo bài ra, hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 1 đơn vị nên ta
có: 2b – a = 1 <=> –a + 2b = 1
(1)
Mặt khác, số mới bé hơn số đã cho là 27 đơn vị, nên ta có:
(2)
ab  ba 27  9a  9b 27  a  b 3
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
 a  2b 1 a 4


 a  b 3
b 7
Ta thấy a = 7 (TMĐK) và b = 4 (TMĐK).
Vậy chữ số hàng chục là 7, chữ số hàng đơn vị là 4
Do đó số phải tìm là 74.
Bài tốn 2: (Bài 45. SGK Tốn 9/Trang 59)
Tích của hai số tự nhiên liên tiếp hơn tổng của chúng là 109. Tìm hai số đó?
*Hướng dẫn giải :

- Hai số tự nhiên liên tiếp hơn kém nhau 1 đơn vị.
- Gọi số thứ nhất là x, tìm mối liên hệ giữa số thứ nhất và số thứ hai.
- Chú ý điều kiện của các số.
* Giải:
Gọi số thứ nhất là: x ( x > 0, x N ).
Số tự nhiên thứ hai là: x +1.
Tích của hai số này là: x(x+1) = x2 + x
Tổng của chúng là: x + (x+1) = 2x + 1
Vì tích của chúng lớn hơn tổng của chúng là 109 nên ta có phương trình:
x2 + x – (2x + 1) =109  x 2  x  110 0
Giải phương trình: Δ = 1 + 440 = 441 > 0 ;

Δ  441 21 .

Nên phương trình có hai nghiệm:
1  21
1  21
x1 
11 (TMĐK), x1 
 10 (loại).
2
2
Trang 18


Vậy hai số tự nhiên liên tiếp phải tìm là: 11 và 12.
2.2.3.5. Dạng tốn liên quan đến hình học.
a/ Hướng dẫn tìm lời giải:
+ Chọn ẩn và điều kiện cho ẩn.
+ Hướng dẫn học sinh có thể tìm lời giảng như sau:i thông qua bảng như sau:ng sau:

Đại lượng
Đại lượng 1

Đại lượng 2

Mối liên hệ giữa
các đại lượng

Các trường hợp
(Các đối tượng)
Ban đầu
Về sau
b/ Bài toán minh hoạ:
Bài toán 1:
(Câu 3. Đề KT HKII - Năm học: 2014 - 2015 của Sở GD&ĐT Quảng Bình)
Tìm chiều dài của hình chữ nhật? Biết độ dài đường chéo của hình chữ nhật là
10 cm và chiều dài hơn chiều rộng là 2 cm.
* Hướng dẫn học sinh giải:
- Cần cho học sinh hiểu độ dài đường chéo của hình chữ nhật chính là cạnh huyền
của tam giác vng có hai cạnh góc vng là chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật.
- Nhắc lại định lý Py – ta – go ?
- Tìm mối liên hệ giữa chiều dài, chiều rộng và đường chéo của hình chữ nhật để lập
phương trình.
+ Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x (m), 2< x < 10.
+ Chiều rộng của hình chữ nhật là gì?
+ Tìm mối liên hệ để lập phương trình?
* Giải:
Gọi độ lớn chiều dài của hình chữ nhật là x (cm, 2< x <10)
Thì độ lớn chiều rộng của hình chữ nhật là x – 2 (cm)
Nửa hình chữ nhật chia theo cạnh huyền là tam giác vuông, theo bài ra ta có

phương trình:
x2 + ( x – 2 )2 = 102
 x2 + x2 – 4x + 4 = 100
 2x2 – 4x – 96 = 0
 x2 – 2x – 48 = 0
Giải phương trình:
= (-1 )2 + 48 = 49 > 0;

 '  49 7

Nên phương trình có hai nghiệm:

Trang 19


1 7
8 (TMĐK ); x2 = (Không TMĐK)
1
Vậy chiều dài của hình chữ nhật là 8 cm.
x1 =

Bài tốn 2: (Bài 31. SGK Tốn 9/Trang 23)
Tính độ dài hai cạnh góc vng của một tam giác vng, biết rằng nếu tăng mỗi
cạnh lên 3 cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36 cm 2, và nếu một cạnh giảm đi
2cm, cạnh kia giảm đi 4 cm thì diện tích tam giác đó sẽ giảm đi 26 cm2.
*Hướng dẫn học sinh giải:
- Nếu gọi độ dài hai cạnh góc vng của tam giác vng là x, y (cm), x > 2; y > 4.
- Diện tích của tam giác vuông ban đầu?
- Nếu mỗi cạnh tăng thêm 3cm thì diện tích tam giác lúc đó như thế nào?
- Nếu một cạnh giảm đi 2cm, cạnh kia giảm đi 4 cm thì diện tích tam giác lúc đó như

thế nào?
- Tìm mối liên hệ giữa các đại lượng để lập phương trình. lập bảng như sau:p phư sau:ơng trình.ng trình.
Đại lượng
Cạnh góc vng
Cạnh góc
Diện tích
thứ nhất
vng thứ hai
Các trường hợp
1
xy
Ban đầu
x
y
2
Thay đổi 1

x+3

y+3

1
(x  3)(y  3)
2

Thay đổi 2

x–2

y–4

1
(x  2)(y  4)
2

1
1
(x

3)(y

3)

xy  36
 2
2
Hệ phương trình lập được: 
 1 (x  2)(y  4)  1 xy  26
 2
2
* Giải:
Gọi độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông lần lượt là: x, y (cm),
( x> 2; y > 4).
1
xy
Diện tích của tam giác vuông ban đầu là: 2
(cm2)
Nếu mỗi cạnh tăng thêm 3 cm thì diện tích tam giác vng là:

1

(x  3)(y  3)
2

(cm2)
Vì mỗi cạnh tăng thêm 3 cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36 cm 2 nên ta
có phương trình:

1
1
(x  3)(y  3)  xy  36
2
2
Trang 20

(1)