Đề thi cuối kì Toán cao cấp 2 (có đáp án)

ĐÁP ÁN
ĐỀ 1
1C, 2A, 3A, 4A, 5D, 6C, 7C, 8C, 9A, 10A, 11B, 12A, 13B, 14D, 15D, 16B, 17C,18D, 19A, 20D
Câu 1:
Đa thức đặc trưng:

1
pA ( )

A

I3

2
0
2

2

1
0

(2

)( 1) 2

2

1

1

(2

2

1

)(

2

Câu 2: Xét phương trình đặc trưng của ma trận A:

1
|A

I3 | 0

1
0

0

a
0

(1

)( 1)3

1

1

3

(1

1

2

)(

1)

0

1
1
•

1:

Với

(A

I) x

0

1 1 a x1
1 1 0 x2
0 0 2 x3
x1
x3

•

Với

x2
0

Suy ra vector riêng: x

(

Chọn vector riêng: u1

( 1;1; 0)

1 (nghiệm kép):

; ; 0)

x1

0

0
0
x1
x2
x3

x2

ax 3

x1 x 2
2x 3 0

0
0

0

( 1;1; 0) (

\ {0})

2)


(A

I) x

1 a x1

1 0 x2
0 0 x3

1
1
0

0

0
0
0

x1

x2
x1

ax 3
x2 0

0

x1 x 2
ax 3 0
0 : Suy ra vector riêng: x

Nếu a

( ; ; 0)

Chọn vector riêng: u2

( ; ; )

Chọn vector riêng: u2
Vậy với a

\ {0})

(1;1; 0)

0 : Suy ra vector riêng: x

Nếu a

(1;1; 0) (

(1;1; 0)

(1;1; 0), u3

(0, 0,1) (

2

2

0)

(0; 0;1)

0 ma trận A có 3 vector riêng độc lập tuyến tính nên A chéo hóa được.

Câu 3:
Để vector u

2

2

1

2

2

2

3

x1

2

3

2
1

u

( x1 , x2 , x3 , x4 ) W

1

(0,1,1, 2)

2

(2, 2, 1, 1)

3

( 1,1,1,0)

x2
có nghiệm
x3

3

x4

2

Xét

A

( A | B)

0
1
1

2

2

1 x1
2 1 x2
1 1 x3
1 0 x4

1
2 1 x2
0 2
1 x1
0 0 1 2 x3
0 0
0 2 x1
Để hpt có nghiệm

r ( A)

r ( A)

1
2 1 x2

0 2
1 x1
0 1
0 x3
0
5 2 x4

1
2 1 x2
0 2
1 x1
0 0 1 2 x3 2 x2 x1
0 0
2 x4 3x2 5 x3

x2
2 x2

2 x2 x1
x2 x3 x4
2 x1

x2

x3

x4

0

Câu 4:

f

Ta có:

Vậy: f

F

E

1 1
2 2

PF

1
E

Suy ra: f ( x, y )

. f

.PF
F

(2 x

E

PE

2 y, x

y)

F

. f

.PE
F

0 1 1 1 0 1
1 0 2 2 1 0

1
F

1

2 2
1 1

Câu 5: Trình bày giống câu 1,2
Câu 7: Trình bày giống bài 1a trong đề tự luận
Câu 8:
Ta có: f (u ) B '

Vậy: f (u ) E

f

PE

B'
B

.u

2
0

B

1 1
m 1

1
m

1 0 1
1 1 m

B ' . f (u ) B '

1
1 m

f (u )

(1,1 m)

Câu 10:

u

u

(2,3,6)

B

PE 1 B . u

u

E

2
3
6

E

1 1 2
2 3 4
3 4 7

1

2
3
6

1
1
1

Câu 11:
Gọi A là ma trận dòng của các vector đã cho, ta có:

A

1 1
5
1
1
2
2 2 10
3 3 15

7
2
17
24

1 1

5
7
0
2
7
5
0 0
0
3
0 0
0
3

1 1
5
7
0
2
7
5
0 0
0
3
0 0
0
0

r ( A)

3

Vì hạng của hệ vector S bằng hạng của ma trận A nên hạng của S là r = 3
Câu 12:
Đặt u1 = (1;2), u2 = (1;3) và B = {u1 , u2 }

17 
Ta có: f (u1 ) = (17;13)  [f (u1 )]E =  
13 
 26 
f (u2 ) = (26;20)  [f (u2 )]E =  
 20 
17 26 
Suy ra: [f ]EB = 

 13 20 
E
E

−1
E →E

Vậy: [f ] = P

E
B

E
B

−1
E →B

.[f ] .PB → E = [f ] .P

17 26   1 1 
=


 13 20   2 3 

−1

 −1 9 
=

 −1 7 

Câu 15: Gọi A là ma trận dòng của các vector đã cho, ta có:

A

1
0
0
0

2
1
0

0

Vậy dimW

4
2
1
2

1
0
0
0

2
1
0
0

4
2
1
0

r ( A)

3

3 => Một cơ sở của W là {u1 , u2 , u3 }

r ( A)

x 2 y 3z 0
CÂu 16: 2 x y 3z 0
3x 3 y 0
1 2
2 1
3 3

Xét: A

hpt

x

3
3
0

2 y 3z 0
3y 9z 0

1
0
0

2
3
3
x

y

3
9
9
3z
3z

1
0
0

2
3
0

3
9
0

x 3
y
3 ,(
z

Suy ra nghiệm tổng quát của hpt đã cho là: X

)

(3 ; 3 ; )

(3; 3;1)


Vậy không gian nghiệm của hpt là: W

dimW

(3; 3;1)

1 và một cơ sở của W là {(3;-3;1)}

Câu 19: Để vector x khơng là một tổ hợp tuyến tính của các vector đã cho  không tồn tại các
số thực 1 , 2 , 3 sao cho: x
1u
2v
3w

2

1

2

2 1
2
4 1 5 2

Xét

( A | B)

3 3 1
6 3 m vô nghiệm
12 3 1
1 2 3 1
2 1 6 m
4 5 12 1

Để hpt vô nghiệm

r ( A)

1
0
0

2 3 1
3 0m 2
3 0 3

1
0
0

r ( A)

1 m

m

0

2 3 1
3 0 m 2
0 0 1 m
1

Câu 20:

Đặt

m 1 m m 1
2
m
1 d3
1
m m 1

m( m2

2m)

d3

m 1 m m 1
d1 2
m
1
m 0

0

m.( 1)3

1

m m 1
m
1

m2 (m 2)

Để 3 vector phụ thuộc tuyến tính thì

0

m2 (m

2)

0

m
m

0
2

ĐỀ 2
1C, 2A, 3A, 4B, 5A, 6A, 7D, 8C, 9D, 10C, 11C, 12C, 13A, 14A, 15C, 16A, 17D, 18D, 19C, 20C.

Hướng dẫn câu 16:
Gọi không gian nghiệm là: w = a1 , a2 , a3
Lấy x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) .Để x là nghiệm của hpt thì x  W  x là một tổ hợp tuyến tính của

a1 , a2 , a3


Xét

1 2
3

−1 0
3
A=
 −1 1
−3

 1 −4 −15

1 2
x1 
3


x2 
0 2
6
→
0 3

x3 
0


x4 
 0 −6 −18


1
x1


x1 + x2 
0
→
0
x1 + x3 


− x1 + x4 
0


2 3 x1

2 6 x1 + x2

0 −18 − x1 − 3x2 + 2x3 

0 0 2x1 + 3x2 + x4 

Để r ( A) = r ( A)  2 x1 + 3x2 + x4 = 0  A

ĐỀ 3
1B, 2C, 3A, 4B, 5D, 6C, 7B, 8D, 9A, 10C, 11C, 12D, 13A, 14B, 15C, 16B, 17A, 18A, 19C, 20B
Chú ý câu số 7, đáp án B sửa lại là: B. u

( ,5 ) với

\{0}