HÌNH HỌC TÓM TẮT LÝ THUYẾT ppt

HÌNH HỌC
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I) PHÉP CỘNG – TRỪ CÁC VÉC TƠ
1) Một số quy tắc – Tính chất áp dụng trong phép công trừ các véc tơ
 Quy tắc ba điểm : với ba điểm A, B, C bất kỳ ta có :
*
AB BC AC
 
  

*
ACBABC 

 Quy tắc hình bình hành : ABCD là hbh ta có :
AB AD AC
 
  

 Trung điểm của đoạn thẳng :
I là trung điểm của đoạn AB , với điểm M tuỳ ý ta luôn có :
*
0 IBIA

*
IM
MB
MA
2



 Trọng tâm của tam giác :
 G là trọng tâm của ABC 
0
GA GB GC
  
   

 G là trọng tâm của ABC với điểm M tuỳ ý ta luôn có :
3
MA MB MC MG
  
   

2) Tính chất : Cho ba véc tơ
a

,
b

và
c

ta có :

a

+
0

=

0

+
a

=
a

(Tính chất của véc tơ – không )

a

+
b

=
b

+
a

(Tính chất giao hoán )
 (
a

+
b

) +
c


=
a

+ (
b

+
c

) ( tính chất kết hợp )

II) PHÉP NHÂN MỘT VÉC TƠ VỚI MỘT SỐ
1) Định nghĩa : Tích số k với một véc tơ
a

là một véc tơ là một số thực
kí hiệu : k
a

thỏa :
 Cùng hướng với véc tơ
a

nếu k  0
 Ngược hướng với véc tơ
a

nếu k > 0
 Có độ dài bằng k

a


2) Tính chất : Với mọi véc tơ
a

và mọi số thực k. l ta có :
 k(l
a

) = (k.l)
a


 (k + l)
a

= k
a

+ l
a


 k(
a

+
b


) = k
a

+ k
b


 1.
a

=
a

; 0.
a

=
0

; k.
0

=
0


3) Véc tơ cùng phương : hai véc tơ
a

và

b

cùng phương (
a


0

) thì
có một số thực k duy nhất sao cho
b

= k
a


4) Ba điểm thẳng hàng :
Ba điểm A , B , C thẳng hàng  ACkABk  :
5) Phân tích 1 véc tơ theo hai véc tơ không cùng phương :
Cho
a

và
b

không cùng phương . luôn có duy nhất cặp số thực k , l sao cho
blakx 


III) HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐÊCAC VUÔNG GÓC

1) Tọa độ của véc tơ :
 Định nghĩa:
u

= (x ; y) 
u

= x
i

+ y
j


 Tính chất: Trong mp(Oxy) cho
u

= (x ; y) ,
v

= (x’; y’) ta có :







'
'

yy
xx
vu


u

+
v

= (x + x’ ; y + y’)

u

-
v

= (x – x’ ; y – y’)
 k
u

= (kx ; ky)
2) Tọa độ của một điểm :
 Định nghĩa: M(x ; y) 
OM

= x
i

+ y

j


 Tính chất:
Trong mp(Oxy) cho hai điểm A(x
A
; y
A
) và B(x
B
; y
B
) ta có :
 Véc tơ :
AB

= (x
B
– x
A
; y
B
– y
A
)
 Trung điểm I của đoạn AB :
2
2
A B
I

A B
I
x x
x
y y
y












 Toạ độ trọng tâm G của ABC :












3
3
CBA
G
CBA
G
yyy
y
xxx
x


IV).GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ
1) ĐỊNH NGHĨA :
 sin = y
0

 cos = x
0

 tg =
0
0
y
x
( x
0
 0 )
 cotg =
0

0
x
y
( y
0
 0 )
y
M(x
0
; y
0
) B
y
0


A’ x
0
O A
x

2) TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC MỘT SỐ GÓC THƯỜNG DÙNG :
Độ
HSLG
0
o
30
o
45
o

60
o
90
o
120
o
135
o
150
o
180
o
Sin 0
1
2

2
2

3
2

1
3
2

2
2

1

2

0
Cos 1
3
2

2
2

1
2

0
1
2


2
2


3
2


-1
Tg 0
1
3

1
3


-
3

-1
1
3


0
cotg

3

1
1
3

0
1
3


-1
-
3


3) CÁC HỆ THỨC GIỮA CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC
Tỉ số lượng giác của hai góc bù nhau : (180
o
- ) và 
 sin(180
o
- ) = sin  cos(180
o
- ) = - cos
 tg(180
o
- ) = - tg  cotg(180
o
- ) = - cotg
Bi tập:
A. Vecto cùng phương, hai vecto bằng nhau:

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O . Tìm các vectơ từ 5 điểm A,
B, C , D , O
a) Bằng vectơ
AB

;
OB


b) Có độ dài bằng 
OB



Bài 2 : Cho tam giác ABC. Ba điểm M,N và P lần lượt là trung điểm AB,
AC, BC. CMR:

MN BP

 
;
MA PN

 
.
Bài 3: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC,
CD, DA.
Chứng minh : MQNPQPMN  ; .
Bài 4: Cho tam giác ABC có trực tâm H và O tâm là đường tròn ngoại tiếp .
Gọi B’ là điểm đối xứng B qua O . Chứng minh : CBAH ' .
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD . Dựng
BCPQDCNPDAMNBAAM  ,,, . Chứng minh OAQ 

B. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTO:

Bài 1: Cho 4 điểm bất ḱ M,N,P,Q . Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
PQ NP MN MQ
  
   
; b)
NP MN QP MQ

  
   
;
c)
MN PQ MQ PN
  
   
;
Bài 2: Cho ngũ giác ABCDE. Chứng minh rằng:
a)
0
AD BA BC ED EC
    
     
;
b)
AD BC EC BD AE
   
    

Bài 3: Cho 6 điểm M, N, P, Q, R, S. Chứng minh:
a) PNMQPQMN  . b) RQNPMSRSNQMP  .
Bài 4: Cho 7 ñieåm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Chứng minh rằng :
a)
AB

+
CD

+

EA

=
CB

+
ED


b)
AD

+
BE

+
CF

=
AE

+
BF

+
CD


c)
AB


+
CD

+
EF

+
GA

=
CB

+
ED

+
GF


d)
AB

-
AF

+
CD

-

CB

+
EF

-
ED

=
0


Bài 5: Cho h́nh b́nh hành ABCD, có tâm O. CMR:
0
OA OB OC OD
   
    
.
Bài 6: Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O Chứng minh :
OOEODOCOBOA 
Bài 7: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm là O . CMR :
a)
OA

+
OB

+
OC


+
OD

+
OE

+
OF

=
0


b)
OA

+
OC

+
OE

=
0


c)
AB

+

AO

+
AF

=
AD


d)
MA

+
MC

+
ME

=
MB

+
MD

+
MF

( M tùy ý ).

Bài 8: Cho tam giác ABC ; vẽ bên ngoài các hình bình hành ABIF ; BCPQ ;

CARS
Chứng minh rằng :
RF

+
IQ

+
PS

=
0


Bài 9: cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AC và BD. Gọi E là
trung điểm I J . CMR:
0
EA EB EC ED
   
    
.
Bài 10: Cho tam giác ABC với M, N, P là trung điểm AB, BC, CA. CMR:
a)
0
AN BP CM
  
   
; b)
AN AM AP
 

  
;
c)
0
AM BN CP
  
   
.
Bài 11: Cho h́nh thang ABCD ( đáy lớn DC, đáy nhỏ AB) gọi E là trung
điểm DB. CMR:

EA EB EC ED DA BC
    
     
.
Bài 12: ( Hệ thức trung điểm) Cho 2 điểm A và B.
a) Cho M là trung điểm AB. CMR với điểm I bất ḱ :
2
IA IB IM
 
  

b) Với N sao cho
2
NA NB
 
 
. CMR với I bất ḱ :
2 3
IA IB IN

 
  

c) Với P sao cho
3
PA PB

 
. CMR với I bất ḱ :
3 2
IA IB IP
  
  

Bài 13: ( Hệ thức trọng tâm) Cho tam giác ABC có trọng tâm G:
a) CMR:
0
GA GB GC
  
   
. Với I bất ḱ :
3
IA IB IC IG
  
   
.
b) M thuộc đoạn AG và MG =
1
4
GA . CMR

2 0
MA MB MC
  
   

c) Cho tam giác DEF có trọng tâm là G’ CMR:
+
0
AD BE CF
  
   
.
+ T́m điều kiện để 2 tam giác có cùng trọng tâm.
Bài 14: ( Hệ thức h́nh b́nh hành) Cho h́nh b́nh hành ABCD tâm O. CMR:
a)
0
OA OB OC OD
   
    
;
b) với I bất ḱ :
4
IA IB IC ID IO
   
    
.


C. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI:

Bài 1: Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh 2a. Tính độ dài các vectơ
., CBCABCBA 
Bài 2: cho h́nh thoi ABCD cạnh a.

0
60
BAD 
, gọi O là giao điểm của 2
đường chéo. Tính:
|
AB AD

 
| ;
BA BC

 
;
OB DC

 
.
Bài 3: Cho h́nh vuông ABCD cạnh a. Tính:

AC BD

 
;
AB BC CD DA
  

   
.
Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J là trung điểm của AC và BD. Hăy tính :

IB ID JA JC
  
   
.

D. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng:

Bài 1. Cho tam giác ABC và M, N lần lượt là trung điểm AB, AC.
a) Gọi P, Q là trung điểm MN và BC. CMR : A, P , Q thẳng hàng.
b) Gọi E, F thoả mn :
1
3
ME MN

 
,
1
3
BF BC

 
. CMR : A, E, F thẳng hng.
Bài 2. Cho tam giác ABC, E là trung điểm AB và F thuộc thoả mn AF =
2FC.
a) Gọi M là trung điểm BC và I là điểm thoả mn 4EI = 3FI. CMR : A,
M, I thẳng hng.

b) Lấy N thuộc BC sao cho BN = 2 NC v J thuộc EF sao cho 2EJ = 3JF.
CMR A, J, N thẳng hng.
c) Lấy điểm K là trung điểm EF. Tìm P thuộc BC sao cho A, K, P thẳng
hng.
Bài 3. Cho tam giác ABC và M, N, P là các điểm thoả mn :
3
MB MC O
 
  
,
3
AN NC

 
,
PB PA O
 
  
. CMR : M, N, P thẳng hng.
(
1 1 1
,
2 2 4
MP CB CA MN CB CA
   
     
).
Bài 4. Cho tam giác ABC và L, M, N thoả mn
2 ,
LB LC


 
1
2
MC MA


 
,
NB NA O
 
  
. CM : L, M, N thẳng hng.
Bài 5. Cho tam gic ABC với G l trọng tm. I, J thoả mn :
2 3
IA IC O
 
  
,
2 5 3
JA JB JC O
  
   
.
a) CMR : M, N, J thẳng hàng với M, N là trung điểm AB và BC.
b) CMR J là trung điểm BI.
c) Gọi E là điểm thuộc AB và thoả mn
AE kAB

 

. Xác định k để C, E, J
thẳng hng.
Bài 6. Cho tam giác ABC. I, J thoả mn :
2 , 3 2 =
IA IB JA JC O
 
    
. CMR :
Đường thẳng IJ đi qua G.
Bài 7: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến. Gọi I là trung điểm AM và
K là một điểm trên cạnh AC sao cho AK =
3
1
AC. Chứng minh ba điểm B,
I, K thẳng hàng
Bài 8: Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi các hệ thức
OACNAABOMABC  3; . Chứng minh MN // AC.
E. Phân tích vecto theo các vecto khác phương. Xác định vị trí một
điểm thoả mn một đẳng thức Vectơ:
Bài 1: Cho 3 điểm A, B, C. Tìm vị trí điểm M sao cho :
a)
MB MC AB
 
  
b)
2
MA MB MC O
  
   

c)
2
MA MB MC O
  
   
d)
2
MA MB MC O
  
   

e)
MA MB MC O
  
   
f)
2
MA MB MC O
  
   

Bài 2: Cho tam giac ABC có I, J , K lần lượt là trung điểm BC , CA , AB .
G là trọng tâm tam giác ABC . D, E xác định bởi :
AD
= 2
AB
và
AE
=
5

2
AC
.
Tính
DE
và
DG
theo
AB
và
AC
. Suy ra 3 điểm D,G,E thẳng hàng
F. Hệ trục tọa độ
1.Trong mpOxy cho 4 điểm A (1 ;–2) B(0 ; 3) C(–3; 4) D(–1 ; 8) . Bộ ba
trong 4 điểm trên bộ nào thẳng hàng ĐS: A ; B ;D
2.Trong mpOxy cho 3 điểm A(1 ;–2) B(3 ; –1) C(–3 ; 5)
a.Chứng minh ABC l một tam gic .
b.Tìm tọa độ trọng tâm của tam gia1cABC .
c)Gọi I(0 ; 2) .Chứng minh A ; G; M thẳng hng.
d) Gọi D(-5;4) .Chứng minh ABCD l hình bình hnh.
3.Cho cc vecto
   
64
2
1
102 ;;; 







 cba . Tìm tọa độ vecto
);(: 3228542  uDScbau
4.Cho tam giác ABC , G là trọng tâm của tam giác . Tính tọa độ vecto
GBGCGAu 423  ĐS: (1 ; -14)
5.Cho
     
cba:ÑS c vaø b vecto 2 theo a vecto tíchPhaân.;c;b;a
10
7
5
3
241321 

6.Cho






721425  ;c;b;a
a.Chứng minh b;a không cùng phương. B.Phân tích vecto
bac:ÑSb;a vecto 2 theo c 32 
7.Cho 3 điểm A(2;1) B(2;–1) C(–2 ;–3) .
a.Chứng minh A,B,C không thẳng hàng . Tìm D sao cho ABCD là hình
bình hành . ĐS: D(–2;–1)
8.Cho tam giác ABC với A(–1;–2) B(3;2) C(4 ; -1) .
a.Tìm trung điểm I của AC .b.Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành

ĐS: I );(D; 50
2
3
2
3








9.Trong mpOxy cho 3 điểm M(-4 ; 1) N(2;4) P(2 ; –2) lần lượt là trung
điểm của 3 cạnh BC ; CA và AB của tam giác ABC.
a.Tìm A ; B ;C ĐS: A(8;1) B(-4;-5) C(-4;7)
b.Chứng minh 2 tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.
10.Cho tam giác ABC với A(–3;6) B(9;–10) C(-5;4) .
a.Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC . ĐS:
b.Tìm D sao cho BGCD là hình bình hành.
11.Cho 4 điểm A(-2 ; -3) B(3;7) C(0;3) và D(-4 ; -5) .
a.Chứng minh AB //CD b. Tìm giao điểm I của AD và BC ĐS (-12;-13)
Hướng dẫn:
I độ tọa tìm hệGiải - trình phương hệ raSuy-
BC phươngcùng BI vàAD phươngcùng AIBC;AD;BI;AITính 