Đường thẳng mặt phẳng trong không gian Oxyz docx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (438.72 KB, 21 trang )
PH
ƯƠ
NG TRÌNH M
Ặ
T PH
Ẳ
NG TRONG KHÔNG GIAN
I. VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỦA MẶT PHẲNG:
1.
Hai véct
ơ
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
, , ; ; ;
u a a a v b b b
= =
là m
ộ
t c
ặ
p véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng (VTCP)
c
ủ
a m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
)
⇔
, 0
u v
≠
; không cùng ph
ươ
ng và các giá c
ủ
a chúng
song song ho
ặ
c n
ằ
m trên m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
)
2.
Véct
ơ
( )
; ;
n a b c
=
là véc t
ơ
pháp tuy
ế
n (VTPT) c
ủ
a m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
)
⇔
(
α
)
⊥
giá c
ủ
a
n
3.
Nh
ậ
n xét
: M
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
) có vô s
ố
c
ặ
p véct
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng và vô s
ố
véct
ơ
pháp
tuy
ế
n
đồ
ng th
ờ
i
[
]
// ,
n u v
.
N
ế
u
(
)
( )
1 2 3
1 2 3
, ,
; ;
u a a a
v b b b
=
=
là m
ộ
t c
ặ
p VTCP c
ủ
a mp(
α
) thì VTPT là:
[ ]
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1
1 2
, ; ;
a a a a
a a
n u v
b b b b
b b
= =
II. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG
2. Ph
ươ
ng trình t
ổ
ng quát:
2.1. Ph
ươ
ng trình chính t
ắ
c:
0
Ax By Cz D
+ + + =
v
ớ
i
2 2 2
0
A B C
+ + >
.
N
ế
u D
=
0 thì
0
Ax By Cz
+ + =
⇔
(
α
)
đ
i qua g
ố
c t
ọ
a
độ
.
N
ế
u A
=
0, B
≠
0, C
≠
0 thì (
α
):
0
By Cz D
+ + =
s
ẽ
song song ho
ặ
c ch
ứ
a v
ớ
i tr
ụ
c
x
’O
x
.
N
ếu A
≠
0, B
=
0, C
≠
0 thì (
α
):
0Ax Cz D+ + =
sẽ song song ho
ặc ch
ứa vớ
i trục
y
’O
y
.
N
ế
u A
≠
0, B
≠
0, C
=
0 thì (
α
):
0Ax By D
+ + =
sẽ
song song hoặ
c ch
ứa vớ
i trụ
c
z
’O
z
.
www.
laisac.
pag
e.
tl
Đ
Đ
Đ
Ư
Ư
Ư
Ờ
Ờ
Ờ
N
N
N
G
G
G
T
T
T
H
H
H
Ẳ
Ẳ
Ẳ
N
N
N
G
G
G
V
V
V
À
À
À
M
M
M
Ặ
Ặ
Ặ
T
T
T
P
P
P
H
H
H
Ẳ
Ẳ
Ẳ
N
N
N
G
G
G
T
T
T
R
R
R
O
O
O
N
N
N
G
G
G
K
K
K
H
H
H
Ô
Ô
Ô
N
N
N
G
G
G
G
G
G
I
I
I
A
A
A
N
N
N
O
O
O
X
X
X
Y
Y
Y
Z
Z
Z
T
S.T
rần
P
h
ươ
ng
2.2.
Ph
ươ
ng trình t
ổ
ng quát c
ủ
a mp(
α
)
đ
i qua M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
) v
ớ
i c
ặ
p VTCP
(
)
( )
1 2 3
1 2 3
, ,
; ;
u a a a
v b b b
=
=
hay VTPT
[ ]
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1
1 2
, ; ;
a a a a
a a
n u v
b b b b
b b
= =
là:
( ) ( ) ( )
2 3 3 1
1 2
0 0 0
2 3 3 1 1 2
0
a a a a a a
x x y y z z
b b b b b b
− + − + − =
2.3.
Ph
ươ
ng trình t
ổ
ng quát c
ủ
a mp(
α
)
đ
i qua 3
đ
i
ể
m
(
)
(
)
(
)
1 1 1 2 2 2 3 3 3
, , ; , , ; , ,
A x y z B x y z C x y z
không th
ẳ
ng hàng có VTPT là:
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1
, , ,
y y z z z z x x x x y y
n AB AC
y y z z z z x x x x y y
− − − − − −
= =
− − − − − −
nên ph
ươ
ng trình là:
( ) ( ) ( )
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1
1
1
3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1
0
y y z z z z x x x x y y
x x y y z z
y y z z z z x x x x y y
− − − − − −
− + − + − =
− − − − − −
Đặ
c bi
ệ
t:
Ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng
đ
i qua
(
)
(
)
(
)
; 0;0 , 0; ;0 , 0;0;
A a B b C c
là:
( )
1 0
y
x
z
abc
a b c
+ + = ≠
3. Ph
ươ
ng trình chùm m
ặ
t ph
ẳ
ng:
Cho 2 m
ặ
t ph
ẳ
ng c
ắ
t nhau
(
)
(
)
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
: 0; : 0
a x b y c z d a x b y c z d
α + + + = α + + + =
v
ớ
i
(
)
(
)
(
)
1 2
∆ = α α
∩
.
M
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
) ch
ứ
a (
∆
) là
(
)
(
)
1 1 1 1 2 2 2 2
0
p a x b y c z d q a x b y c z d
+ + + + + + + =
v
ớ
i
2 2
0
p q
+ >
III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 MẶT PHẲNG
Cho 2 m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
1
):
1 1 1 1
0
A x B y C z D
+ + + =
có VTPT
(
)
1 1 1 1
, ,
n A B C
=
và (
α
2
):
2 2 2 2
0
A x B y C z D
+ + + =
có VTPT
( )
2 2 2 2
, ,
n A B C
=
.
N
ế
u
1 2
,
n n
không cùng ph
ươ
ng thì (
α
1
) c
ắ
t (
α
2
).
Nếu
1 2
,n n
cùng phương và (
α
1
), (
α
2
) không có điểm chung thì (
α
1
) // (
α
2
)
N
ế
u
1 2
,
n n
cùng ph
ươ
ng và (
α
1
), (
α
2
) có
đ
i
ể
m chung thì (
α
1
)
≡
(
α
2
)
IV. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Góc giữa 2 mặt phẳng (
α
1
):
1 1 1 1
0A x B y C z D+ + + =
và (
α
2
):
2 2 2 2
0
A x B y C z D
+ + + =
là
ϕ
(0
≤
ϕ
≤
90
°
) th
ỏ
a mãn:
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2
1 1 1 2 2 2
.
cos
n n A A B B C C
n n
A B C A B C
+ +
ϕ = =
+ + + +
với
1 2
,n n
là 2 VTPT của (
α
1
), (
α
2
).
V. KHOẢNG CÁCH
1.
Kho
ả
ng cách t
ừ
M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
):
0
Ax By Cz D
+ + + =
là:
( )
0 0 0
2 2 2
,
Ax By Cz D
d M
A B C
+ + +
α =
+ +
2.
Kho
ả
ng cách gi
ữ
a 2 m
ặ
t ph
ẳ
ng song song:
(
)
(
)
(
)
; ;
d d M M
α β = β ∀ ∈ α
( )
( )
( )
; ;d d M M
α β = α ∀ ∈ β
VI. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA
Bài 1.
L
ậ
p ph
ươ
ng trình t
ổ
ng quát c
ủ
a mp(
α
)
đ
i qua A(2; 1;
−
1) và vuông góc
v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng xác
đị
nh b
ở
i 2
đ
i
ể
m B(
−
1; 0;
−
4), C(0;
−
2;
−
1).
Mp(
α
)
đ
i qua A nh
ậ
n
( )
1; 2;3
BC
= −
làm VTPT nên ph
ươ
ng trình mp(
α
) là:
(
)
(
)
(
)
1 2 2 1 3 1 0
x y z
− − − + + =
⇔
2 3 3 0
x y z
− + + =
Bài 2.
L
ậ
p ph
ương trình tham s
ố
và ph
ươ
ng trình tổ
ng quát c
ủ
a mp(
α
)
đ
i qua
(
)
2; 1;4
A
−
,
(
)
3; 2; 1
B
−
và vuông góc v
ớ
i
(
)
: 2 3 0
x y z
β + + − =
HD:
( )
1;3; 5
AB
= −
,
(
)
1;1;2
n
β
=
. Do mp(
α
)
đ
i qua A, B và
(
)
(
)
α ⊥ β
nên (
α
)
nh
ậ
n
,
b
AB n
làm c
ặ
p VTCP. Suy ra VTPT c
ủ
a (
α
) là:
( )
3 5 5 1 1 3
; ; 11; 7; 2
1 2 2 1 1 1
n
− −
= = − −
. M
ặ
t khác (
α
)
đ
i qua
(
)
2; 1;4
A
−
nên
ph
ươ
ng trình mp(
α
):
( )
(
)
( )
11 2 7 1 2 4 0 11 7 2 21 0
x y z x y z
− − + − − = ⇔ − − − =
.
Bài 3.
L
ậ
p ph
ươ
ng trình mp(
α
)
đ
i qua A(1; 0; 5) và // mp(
γ
):
2 17 0
x y z
− + − =
.
L
ậ
p ph
ươ
ng trình mp(
β
)
đ
i qua 3
đ
i
ể
m B(1;
−
2; 1), C(1; 0; 0), D(0; 1; 0)
và tính góc nhọ
n
ϕ
tạ
o bở
i 2 mp(
α
) và (
β
).
HD:
mp(
α
) // (
γ
):
2 17 0
x y z
− + − =
có
(
)
2; 1;1
n
= −
⇒
(
α
):
2 0
x y z c
− + + =
(
α
)
đ
i qua A(1; 0; 5)
⇒
2 1 0 5 0 7
c c
⋅ − + + = ⇔ = −
⇒
PT (
α
):
2 7 0
x y z
− + − =
mp(
β
) nh
ậ
n 2 véc t
ơ
( ) ( )
0; 2; 1 , 1;3; 1
BC BD
= − = − −
làm c
ặ
p VTCP nên có
VTPT là:
( )
2 1 1 0 0 2
; ; 1;1; 2
3 1 1 1 1 3
n
β
− −
= =
− − − −
.
V
ậ
y ph
ươ
ng trình mp(
β
):
(
)
1 2 0 2 1 0
x y z x y z
+ − + = ⇔ + + − =
( )
2 2
2 1 1 1 1 2
3
1
cos cos ,
60
6 2 3
2 1 1 1 1 2
n n
β
⋅ − ⋅ + ⋅
π
ϕ = = = =
⇒
ϕ = = °
+ + + +
Bài 4.
Vi
ế
t PT m
ặ
t ph
ẳ
ng ch
ứ
a
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
):
2 0
3 2 3 0
x z
x y z
− =
− + − =
và vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (P):
2 5 0
x y z
− + + =
HD:
Ph
ươ
ng trình chùm m
ặ
t ph
ẳ
ng ch
ứ
a (
∆
) là:
( )
( )
(
)
2 2
2 3 2 3 0 , ; 0
m x z n x y z m n m n
− + − + − = ∈ + >
»
⇔
(
)
(
)
3 2 2 3 0
m n x ny n m z n
+ − + − − =
⇒
mp(
α
) ch
ứ
a (
∆
) có VTPT
(
)
3 ; 2 ; 2
u m n n n m
= + − −
M
ặ
t ph
ẳ
ng (P) có VPPT
(
)
1; 2;1
v
= −
nên
để
(
α
)
⊥
(P) thì
0
u v
⋅ =
(
)
(
)
(
)
1 3 2 2 1 2 0
m n n n m
⇔ ⋅ + − ⋅ − + ⋅ − =
8 0
n m
⇔ − =
.
Cho
1
n
=
suy ra
8
m
=
, khi
đ
ó ph
ươ
ng trình mp(
α
) là:
11 2 15 3 0
x y z
− − − =
Bài 5.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) ch
ứ
a O
z
và l
ậ
p v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
):
2 5 0
x y z
+ − =
m
ộ
t góc 60
°
.
HD:
M
ặ
t ph
ẳ
ng (P) ch
ứ
a O
z
⇒
(P) có d
ạ
ng:
0
mx ny
+ =
(
2 2
0
m n
+ >
)
⇒
VTPT
(
)
; ; 0
u m n
=
. M
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
) có VTPT
(
)
2;1; 5
v
= −
suy ra
( )
2 2 2 2
2. 1. 0. 5
1
cos , cos 60
2
2 1 5
m n
u v
m n
+ −
= ° ⇔ =
+ + +
( )
(
)
2
2 2
2 2 10
m n m n
⇔ + = +
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2
4 4 4 10 2 3 8 3 0
m mn n m n m mn n
⇔ + + = + ⇔ + − =
Cho
1
n
=
⇒
2
1
3 8 3 0 3
3
m m m m
+ − = ⇔ = − ∨ =
.
V
ậ
y
(
)
: 3 0
P x y
− =
ho
ặ
c
(
)
: 3 0
P x y
+ =
Bài 6.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình t
ổ
ng quát c
ủ
a mp(
α
) qua M(0; 0; 1), N(3; 0; 0) và t
ạ
o
v
ớ
i (O
xy
) m
ộ
t góc 60
°
.
HD:
(
α
):
0
Ax By Cz D
+ + + =
qua M, N suy ra:
0;3 0
C D A D
+ = + =
⇒
3 ; 3
C A D A
= = −
. M
ặ
t ph
ẳ
ng (O
xy
) có VTPT là
(
)
0;0;1
suy ra
2 2 2
2 2 2 2 2
3
1
cos 60 36 10
2
10
C A
A A B
A B C A B
= ° ⇔ = ⇔ = +
+ + +
2 2
26 26
A B B A
⇔ = ⇔ = ±
. Do
2 2 2
0
A B C
+ + ≠
⇒
0
A
≠
.
Cho
1
A
=
suy ra mp(
α
):
26 3 3 0
x y z
− + − =
ho
ặ
c
26 3 3 0
x y z
+ + − =
Bài 7.
Cho A(
a
; 0;
a
), B(0;
b
; 0), C(0; 0;
c
) v
ớ
i
a
,
b
,
c
là 3 s
ố
d
ươ
ng thay
đổ
i
luôn luôn th
ỏ
a mãn
2 2 2
3
a b c
+ + =
. Xác
đị
nh
a
,
b
,
c
sao cho kho
ả
ng cách t
ừ
O
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABC)
đạ
t Max.
HD:
(ABC):
1 0
y
x
z
a b c
+ + − =
. Suy ra
( )
2 2 2
1 1 1 1
;
d O ABC
a b c
= + +
⇒
2 2 2 2
1 1 1 1
d a b c
= + +
⇒
( )
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1
9 3
3 3
a b c
a b c
= + + + + ≥ ⋅ =
2
1 1
3
3
d d
⇒
≤
⇒
≤
. V
ớ
i
1
a b c
= = =
thì
1
Max
3
d
=
Bài 8.
Cho chùm mặt phẳng
( )
(
)
: 2 1 1 0
m
P x y z m x y z+ + + + + + + =
.
Chứng minh rằng: (P
m
) luôn đi qua (d) cố định
∀
m
Tính kho
ảng cách t
ừ O
đến (d). Tìm
m
để (P
m
)
⊥
( )
0
: 2 1 0P x y z
+ + + =
HD:
V
ớ
i m
ọ
i
m
, (P
m
) luôn
đ
i qua
đườ
ng th
ẳ
ng c
ố
đị
nh (d):
2 1 0
1 0
x y z
x y z
+ + + =
+ + + =
M
ặ
t ph
ẳ
ng
2 1 0
x y z
+ + + =
có VTPT:
(
)
2;1;1
u
=
và
1 0
x y z
+ + + =
có
VTPT
(
)
1;1;1
v
=
suy ra (d) có VTCP là:
[
]
(
)
; 0; 1;1
a u v
= = −
.
M
ặ
t khác (d)
đ
i qua
(
)
0;0; 1
M
−
⇒
( )
( )
[
]
2
2
1 0 0
1
,
2
0 1 1
OM a
d O d
a
⋅
+ +
= = =
+ +
(
)
(
)
(
)
(
)
: 2 1 1 1 0
m
P m x m y m z m
+ + + + + + + =
có VTPT
(
)
1
2; 1; 1
n m m m
= + + +
;
Tr
ườ
ng h
ợ
p
đặ
c bi
ệ
t m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
0
P
có VTPT
(
)
2
2;1;1
n
=
.
Để
(P
m
)
⊥
(P
0
) thì
( ) ( ) ( )
1 2
3
0 2 2 1 1 1 1 0 4 6 0
2
n n m m m m m
−
⋅ = ⇔ + + + + + = ⇔ + = ⇔ =
Bài 9.
Cho 3
đ
i
ể
m A(0; 1; 2), B(2; 3; 1), C(2; 2;
−
1). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t
ph
ẳ
ng (ABC). CMR: O
∈
(ABC) và OABC là m
ộ
t hình ch
ữ
nh
ậ
t.
Cho S(9; 0; 0). Tính th
ể
tích chóp S.OABC. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t
ph
ẳ
ng ch
ứ
a AB và
đ
i qua trung
đ
i
ể
m OS.
HD:
( ) ( )
2; 2; 1 , 2;1; 3
AB AC
= − = −
⇒
VTPT
( )
, 5; 4; 2
n AB AC
= = − −
Do (ABC)
đ
i qua A(0; 1; 2) nên ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABC) là:
(
)
(
)
(
)
5 0 4 1 2 2 0 5 4 2 0
x y z x y z
− − + − − − = ⇔ − + =
O(0; 0; 0) và
5.0 4.0 2.0 0
− + =
nên O
∈
(ABC).
Ta có:
( )
0;1;2
OA
=
,
( )
2; 2; 1
OC
= −
OC AB
⇒
=
0.2 1.2 2.1 0
OA OC
⋅ = + − =
suy ra OABC là hình ch
ữ
nh
ậ
t.
G
ọ
i H là hình chi
ề
u c
ủ
a S lên (OABC) suy ra
1 1
2 2.
3 3
OABC ABC SABC
V S SH S SH V
= ⋅ = ⋅ ⋅ =
1
2 ,
6
AB AC AS
= ⋅ ⋅
Ta có:
( )
9; 1; 2
AS
= − −
và
( )
, 5; 4; 2
AB AC
= − −
⇒
( )
( )
1 1
9 5 1 4 2 2 45 15
3 3
V
= − − ⋅ − − = − =
Trung
đ
i
ể
m c
ủ
a OS là
(
)
9
;0;0
2
M
⇒
(
)
9
; 1; 2
2
AM
= − −
⇒
M
ặt phẳng chứ
a AB và đi qua M có VTPT là:
[
]
(
)
1
. 5; ; 11
2
n AB AM= = − − −
⇒
Ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng:
10 22 45 0
x y z
+ + − =
.
Bài 10.
Lập phươ
ng trình của mặt ph
ẳng
(
)
α
thuộc chùm tạ
o bởi hai mặt
ph
ẳng
(
)
( )
: 3 7 36 0; :2 15 0
P x y z Q x y z− + + = + − − =
n
ếu bi
ết khoả
ng cách từ
g
ố
c t
ọ
a
độ
O
đế
n
α
b
ằ
ng 3.
Gi
ả
i
M
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
α
thu
ộ
c chùm t
ạ
o b
ở
i (P) và (Q) nên có ph
ươ
ng trình d
ạ
ng:
( ) ( )
(
)
2 2
3 7 36 2 15 0 0
m x y z n x y z m n
− + + + + − − = + >
(
)
(
)
(
)
2 3 7 36 15 0m n x n m y m n z m n⇔ + + − + − + − =
. Ta có
( )
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
36 15
, 3
3
2 3 7
m n
d O
m n n m m n
−
α = ⇔ =
+ + − + −
2 2 2 2
12 5 59 16 6 19 104 85 0
m n m mn n n mn m
⇔ − = − + ⇔ − + =
(
)
(
)
19 85 0 19 85
n m n m n m n m
⇔ − − = ⇔ = ∨ =
+ Cho
n
=
m
= 1 thì nhận được
( )
1
: 3 2 6 21 0x y zα − + + =
+ Cho
m
= 19,
n
= 85 ta có
(
)
2
: 189 28 48 591 0
x y z
α + + − =
.
Bài 11.
L
ậ
p ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
α
đ
i qua 2
đ
i
ể
m A(2; –1; 0), B(5; 1; 1)
và kho
ả
ng cách t
ừ
đ
i
ể
m
(
)
1
0; 0;
2
M
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
α
b
ằ
ng
6 3
.
Gi
ả
i
G
ọ
i ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng
( )
α
là:
( )
2 2 2
0 0
Ax By Cz D A B C
+ + + = + + >
Ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
2 0 1 ; 5 0 2
A A B D B A B C D
∈ α
⇒
− + = ∈ α
⇒
+ + + =
M
ặ
t khác:
( )
( )
2 2 2
7 7
1
,
2
6 3 6 3
d M C D A B C
α = ⇔ + = + +
( )
(
)
( )
2
2 2 2
27 2 49 3
C D A B C
⇔ + = + +
.
T
ừ
(1) và (2), ta có
(
)
3 2 , 2 4
C A B D B A
= − − = −
Th
ế
(4) vào (3), ta
đượ
c:
( )
2
2 2 2
27.49 49 3 2
A A B A B
= + + +
2 2
17
5 12 17 0
5
B AB A B A B A+ − = ⇔ = ∨ = −
+ Ch
ọ
n A = B = 1
⇒
C = –5, D = –1 thì nh
ậ
n
đượ
c
(
)
1
: 5 1 0
x y z
α + − − =
+ Ch
ọ
n A = 5, B = 17
⇒
C = 19, D = –27 thì
(
)
2
: 5 17 19 27 0
x y z
α − + − =
VII. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI
Bài 1.
Vi
ế
t PT mp(
α
) ch
ứ
a g
ố
c t
ọ
a
độ
O và vuông góc v
ớ
i
(
)
: 7 0
P x y z
− + − =
,
(
)
: 3 2 12 5 0
Q x y z
+ − + =
Bài 2.
Vi
ế
t PT mp(
α
)
đ
i qua M(1; 2;1) và ch
ứ
a giao tuy
ế
n c
ủ
a
( )
(
)
: 1 0, : 2 3 0
P x y z Q x y z
+ + − = − + =
Bài 3.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng ch
ứ
a
( )
3 0
:
3 2 1 0
x y z
x y z
− + − =
∆
+ + − =
và vuông góc vớ
i mặ
t phẳng (P):
2 3 0x y z+ + − =
Bài 4.
Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4). Vi
ế
t PT mp(ABC).
Tính kho
ả
ng cách t
ừ
g
ố
c O
đế
n (ABC). Vi
ế
t PT m
ặ
t ph
ẳ
ng:
a.
Qua O, A và // BC; Qua C, A và
⊥
(
α
):
2 3 1 0
x y z
− + + =
.
b.
Qua O và
⊥
(
α
), (ABC); Qua I(
−
1; 2; 3) và ch
ứ
a giao tuy
ế
n c
ủ
a (
α
), (ABC)
Bài 5.
Xác đị
nh các tham s
ố
m
,
n
để
m
ặ
t ph
ẳng
5 4 0x ny z m
+ + + =
thuộ
c
chùm m
ặ
t ph
ẳ
ng có ph
ươ
ng trình:
(
)
(
)
3 7 3 9 2 5 0
x y z x y z
α − + − + β − − + =
Bài 6.
Cho 2 m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
: 2 3 1 0
x y z
α − + + =
,
(
)
: 5 0
x y z
β + − + =
và
đ
i
ể
m
M(1; 0; 5). Tính kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n mp(
α
).
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (P)
đ
i qua giao tuy
ế
n (d) c
ủ
a (
α
) và (
β
)
đồ
ng th
ờ
i vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (Q):
3 1 0
x y
− + =
.
Bài 7.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (P)
đ
i qua 3
đ
i
ể
m A(1; 1; 3), B(
−
1; 3; 2),
C(
−
1; 2; 3). Tính kho
ả
ng cách t
ừ
g
ố
c O
đế
n (P).
Tính di
ệ
n tích tam giác ABC và th
ể
tích t
ứ
di
ệ
n OABC.
Bài 8.
Cho A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3). Các
đ
i
ể
m M, N l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a OA và BC; P, Q là 2
đ
i
ể
m trên OC và AB sao cho
2
3
OP
OC
=
và
2
đườ
ng th
ẳ
ng MN, PQ c
ắ
t nhau.
Viết phương trình mp(MNPQ) và tìm tỉ số
AQ
AB
.
Bài 9.
Cho A(
a
; 0; 0), B(0;
a
; 0), C(
a
;
a
; 0), D(0; 0;
d
) v
ớ
i
a
,
d
> 0. G
ọ
i A’, B’
là hình chi
ế
u c
ủ
a O lên DA, DB. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng ch
ứ
a 2
đườ
ng OA’, OB’. Ch
ứ
ng minh m
ặ
t ph
ẳ
ng
đ
ó vuông góc CD.
Tính
d
theo
a
để
s
ố
đ
o góc
45
A OB
′ ′
= °
.
Bài 10.
Tìm trên O
y
các
đ
i
ể
m cách
đề
u 2 m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
(
)
: 1 0, : 5 0
x y z x y z
α + − + = β − + − =
Bài 11.
Tính góc gi
ữ
a 2 m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) và (Q) cùng
đ
i qua
đ
i
ể
m I(2; 1;
−
3) bi
ế
t
(P) ch
ứ
a O
y
và (Q) ch
ứ
a O
z
.
Tìm t
ậ
p h
ợ
p các
đ
i
ể
m cách
đề
u 2 m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) và (Q).
Bài 12.
Cho
∆
OAB
đề
u c
ạ
nh
a
n
ằ
m trong m
ặ
t ph
ẳ
ng (O
xy
),
đườ
ng th
ẳ
ng AB // O
y
.
Điể
m A nằm trên phần tư
thứ nhất trong mp(O
xy
). Cho đ
iểm
(
)
0;0;
3
a
S
.
Xác
đị
nh A, B và trung
đ
i
ể
m E c
ủ
a OA. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng
(P) ch
ứ
a SE và song song v
ớ
i O
x
. Tính
(
)
,
d O P
t
ừ
đ
ó suy ra
(
)
;
d Ox SE
PH
ƯƠ
NG TRÌNH
ĐƯỜ
NG TH
Ẳ
NG TRONG KHÔNG GIAN
I. VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỬA ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
:
1.
Véct
ơ
(
)
1 2 3
; ;
a a a a
=
là véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng (VTCP) c
ủ
a (
∆
)
⇔
(
∆
) // giá c
ủ
a
a
2.
Nh
ậ
n xét:
N
ế
u
a
là m
ộ
t VTCP c
ủ
a (
∆
) thì
ka
(
k
≠
0) c
ũ
ng là VTCP c
ủ
a (
∆
)
t
ứ
c là (
∆
) có vô s
ố
VTCP.
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1.
Ph
ươ
ng trình tham s
ố
:
Ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
)
đ
i qua M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
và có VTCP
( )
1 2 3
; ;a a a a=
:
( )
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t t
z z a t
= +
= + ∈
= +
»
2.
Ph
ươ
ng trình chính t
ắ
c:
Ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
)
đ
i qua M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
và có VTCP
(
)
1 2 3
; ;
a a a a
=
:
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −
= =
3.
Phương trình tổng quát:
Phương trình đường thẳng (
∆
) tổng quát là giao
tuy
ế
n c
ủ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
A x B y C z D
A x B y C z D
+ + + =
+ + + =
v
ớ
i
1 1 1 2 2 2
: : : :
A B C A B C
≠
4.
Ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
)
đ
i qua 2
đ
i
ể
m M
1
(
x
1
,
y
1
,
z
1
), M
2
(
x
2
,
y
2
,
z
2
):
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z
x x y y z z
− − −
= =
− − −
5.
Chuy
ể
n d
ạ
ng ph
ươ
ng trình t
ổ
ng quát sang d
ạ
ng tham s
ố
, chính t
ắ
c:
Cho (
∆
):
(
)
( )
1 1 1 1
2 2 2 2
: 0
: 0
A x B y C z D
A x B y C z D
α + + + =
β + + + =
(
1 1 1 2 2 2
: : : :
A B C A B C
≠
)
⇒
VTPT c
ủ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng là
(
)
( )
1 1 1 1
2 2 2 2
, ,
, ,
n A B C
n A B C
=
=
⇒
VTCP
1 2
,
a n n
=
Tìm điể
m M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
∈
(
α
)
∩
(
β
)
⇒
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −
= =
.
Đặ
t t
ỉ
s
ố
này b
ằ
ng
t
suy ra d
ạ
ng tham s
ố
.
III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. V
ị
trí t
ươ
ng
đố
i c
ủ
a 2
đườ
ng th
ẳ
ng
:
Cho (
∆
1
)
đ
i qua M
1
(
x
1
;
y
1
, z
1
) v
ớ
i VTCP
(
)
1 2 3
, ,
u a a a
=
,
(
∆
2
)
đ
i qua M
2
(
x
2
;
y
2
, z
2
) v
ớ
i VTCP là
(
)
1 2 3
, ,
v b b b
=
N
ế
u
[
]
1 2
, 0
u v M M
⋅ ≠
thì
(
)
(
)
1 2
,
∆ ∆
chéo nhau.
N
ế
u
[
]
1 2
, 0
u v M M
⋅ =
và
1 2 3 1 2 3
: : : :
a a a b b b
≠
thì (
∆
1
), (
∆
2
) c
ắ
t nhau.
N
ế
u
[ ]
1 2
1 2 3 1 2 3
, 0
: : : :
u v M M
a a a b b b
⋅ =
=
và h
ệ
ph
ươ
ng trình c
ủ
a
(
)
( )
1
2
∆
∆
vô nghi
ệ
m
thì (
∆
1
), (
∆
2
) song song nhau.
N
ế
u
[ ]
1 2
1 2 3 1 2 3
, 0
: : : :
u v M M
a a a b b b
⋅ =
=
và h
ệ
ph
ươ
ng trình c
ủ
a
(
)
( )
1
2
∆
∆
có nghi
ệ
m
thì (
∆
1
), (
∆
2
) trùng nhau.
2. V
ị
trí t
ươ
ng
đố
i c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng và m
ặ
t ph
ẳ
ng:
Cho (
∆
)
đ
i qua M
0
(
x
0
;
y
0
, z
0
) v
ớ
i VTCP
(
)
, ,
u a b c
=
và mp(
α
):
0
Ax By Cz D
+ + + =
v
ớ
i VTPT
(
)
, ,
n A B C
=
N
ế
u
0
n u
⋅ ≠
0
Aa Bb Cc
⇔ + + ≠
thì (
∆
) c
ắ
t (
α
).
N
ế
u
//
n u
: : : :
a b c A B C
⇔ =
thì (
∆
)
⊥
(
α
).
N
ế
u
( )
0
0n u
M
⋅ =
∉ α
⇔
0 0 0
0
0
Aa Bb Cc
Ax By Cz D
+ + =
+ + + ≠
thì (
∆
) // (
α
).
Nếu
( )
0
0
n u
M
⋅ =
∈ α
⇔
0 0 0
0
0
Aa Bb Cc
Ax By Cz D
+ + =
+ + + =
thì (
∆
)
⊂
(
α
).
IV. GÓC GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Góc gi
ữ
a 2
đườ
ng th
ẳ
ng:
Cho (
∆
1
)
đ
i qua M
1
(
x
1
;
y
1
, z
1
) v
ớ
i VTCP
(
)
1 2 3
, ,
u a a a
=
,
(
∆
2
)
đ
i qua M
2
(
x
2
;
y
2
, z
2
) v
ớ
i VTCP là
(
)
1 2 3
, ,
v b b b
=
Góc gi
ữ
a
(
)
(
)
(
)
[
]
1 2
, 0,90
∆ ∆ = ϕ∈ °
xác
đị
nh b
ở
i:
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
cos
a b a b a b
u v
u v
a a a b b b
+ +
⋅
ϕ = =
⋅
+ + + +
2. Góc gi
ữ
a
đườ
ng th
ẳ
ng và m
ặ
t ph
ẳ
ng:
Cho (
∆
)
đ
i qua M
0
(
x
0
;
y
0
, z
0
) v
ớ
i VTCP
(
)
, ,
u a b c
=
và mp(
α
):
0
Ax By Cz D
+ + + =
v
ớ
i VTPT
(
)
, ,
n A B C
=
Góc gi
ữ
a
(
)
( )
( )
[
]
, 0,90
∆ α = ϕ∈ °
xác
định b
ở
i:
2 2 2 2 2 2
sin
u n aA bB cC
u n
a b c A B C
⋅ + +
ϕ = =
⋅
+ + + +
3. Góc gi
ữ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng:
Góc gi
ữ
a 2 m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
1
):
1 1 1 1
0
A x B y C z D
+ + + =
và (
α
2
):
2 2 2 2
0
A x B y C z D
+ + + =
là
ϕ
(0
≤
ϕ
≤
90
°
) th
ỏ
a mãn:
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2
1 1 1 2 2 2
.
cos
n n A A B B C C
n n
A B C A B C
+ +
ϕ = =
+ + + +
v
ớ
i
1 2
,
n n
là 2 VTPT c
ủ
a (
α
1
), (
α
2
).
V. KHOẢNG CÁCH
1. Kho
ả
ng cách t
ừ
1
đ
i
ể
m
đế
n 1
đườ
ng th
ẳ
ng:
Cho (
∆
)
đ
i qua M
0
(
x
0
;
y
0
, z
0
) v
ớ
i VTCP
(
)
, ,
u a b c
=
. Kho
ả
ng cách t
ừ
đ
i
ể
m
M
1
(
x
1
;
y
1
, z
1
) đến đường th
ẳng (
∆
) là:
( )
( )
0 1
1
,
u M M
d M
u
⋅
∆ =
2. Kho
ả
ng cách gi
ữ
a 2
đườ
ng th
ẳ
ng chéo nhau:
Cho (
∆
1
) đi qua M
1
(
x
1
;
y
1
, z
1
) với VTCP
(
)
1 2 3
, ,u a a a
=
,
(
∆
2
)
đ
i qua M
2
(
x
2
;
y
2
, z
2
) v
ớ
i VTCP là
(
)
1 2 3
, ,
v b b b
=
Gi
ả
s
ử
(
)
(
)
1 2
,
∆ ∆
chéo nhau, khi
đ
ó
( )
[ ]
[ ]
1 2
1 2
,
( ),( )
,
u v M M
d
u v
⋅
∆ ∆ =
3. Kho
ả
ng cách t
ừ
1
đ
i
ể
m
đế
n 1 m
ặ
t ph
ẳ
ng:
Kho
ả
ng cách t
ừ
M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
):
0
Ax By Cz D
+ + + =
là:
( )
0 0 0
2 2 2
,
Ax By Cz D
d M
A B C
+ + +
α =
+ +
VI. CÁC DẠNG BÀI TẬP
1. D
ạ
ng 1: Xác
đị
nh v
ị
trí t
ươ
ng
đố
i c
ủ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng và m
ặ
t ph
ẳ
ng
Ph
ươ
ng pháp:
Gi
ả
i h
ệ
PT t
ạ
o b
ở
i
(
)
( )
1
2
∆
∆
;
( )
( )
∆
α
ho
ặ
c s
ử
d
ụ
ng d
ấ
u hi
ệ
u nh
ậ
n
bi
ế
t qua h
ệ
th
ứ
c c
ủ
a các véct
ơ
Bài 1.
Xét v
ị
trí t
ươ
ng
đố
i b
ằ
ng 2 cách khác nhau:
( ) ( )
1 2
9
2 3 3 9 0
: 5 :
2 3 0
3
x t
x y z
y t
x y z
z t
=
− − − =
∆ = ∆
− + + =
= − +
;
( ) ( )
1 2
2 3 0 2 8 0
: :
2 3 0 8 0
x y y z
x y x z
− + = + − =
∆ ∆
+ = + − =
Bài 2.
Xác
đị
nh giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng
( )
( )
1 2
: 1
1
x t
y t t
z t
= +
∆ = − ∈
= +
»
v
ớ
i m
ặ
t
ph
ẳ
ng
(
)
: 2 2 0
x y z
α + − − =
Bài 3.
Xác
đị
nh giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng
( )
2 0
:
2 1 0
x y z
x y z
+ + − =
∆
+ − − =
v
ớ
i m
ặ
t
ph
ẳ
ng
(
)
: 2 1 0
x y z
α + + − =
Bài 4.
Cho 3
đườ
ng th
ẳ
ng:
( ) ( )
( )
1 2
3
3
3 3 0
2
1
2
: 1 , : , :
1 4 3
2 1 0
5
x t
x y z
y
x
z
y t
x y z
z t
=
− + − =
+
−
−
∆ = − ∆ = = ∆
− + + =
= +
a.
Xét v
ị
trí t
ươ
ng
đố
i c
ủ
a các c
ặ
p 2
đườ
ng th
ẳ
ng v
ớ
i nhau.
b.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
) song song v
ớ
i (
∆
1
), c
ắ
t (
∆
2
) và (
∆
3
)
2. D
ạ
ng 2: Xác
đị
nh hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a 1
đ
i
ể
m M lên m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
αα
α
)
Ph
ươ
ng pháp:
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình tham s
ố
c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
) qua M và (
∆
)
⊥
(
α
)
Giao
đ
i
ể
m H c
ủ
a (
∆
) và (
α
) là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a M lên (
α
)
Bài 1.
Tìm hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a M(1; 2;
−
3) lên
(
)
: 3 5 0
x y z
α + − + =
3. D
ạ
ng 3: Xác
đị
nh
đ
i
ể
m
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i
đ
i
ể
m M cho tr
ướ
c qua m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
αα
α
)
Phương pháp:
Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên (
α
).
Gi
ả
s
ử
M(x
1
, y
1
, z
1
), H(x
0
, y
0
, z
0
), khi
đ
ó
đ
i
ể
m M’
đố
i x
ứ
ng M qua (
α
) là
(
)
0 1 0 1 0 1
2 , 2 , 2
M x x y y z z
′
− − −
Bài 1.
Xác
đị
nh
đ
i
ể
m
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i
đ
i
ể
m M(13; 2; 3) qua m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
):
x
+
y
– 3
z
+
5
=
0
4. D
ạ
ng 4: Xác
đị
nh hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a 1
đ
i
ể
m M lên
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
∆∆
∆
)
Ph
ươ
ng pháp 1:
Vi
ế
t PT m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
) qua M và (
α
)
⊥
(
∆
).
Giao
đ
i
ể
m H c
ủ
a (
∆
) và (
α
) là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a M lên (
∆
)
Ph
ươ
ng pháp 2:
Vi
ế
t PT tham s
ố
c
ủ
a (
∆
)
⇒
T
ọ
a
độ
H theo tham s
ố
t.
MH u
⊥
là véct
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng c
ủ
a (
∆
). GPT
0
MH u
⋅ =
⇒
tham s
ố
t
⇒
T
ọ
a
độ
H
Bài 1.
Xác
đị
nh hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a M(
−
1;
−
1; 1) lên
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
):
{
}
1 ; 2 ; 3 3
x t y t z t
= + = + = − −
5. D
ạ
ng 5: Xác
đị
nh
đ
i
ể
m
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i
đ
i
ể
m M cho tr
ướ
c qua
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
∆∆
∆
)
Ph
ươ
ng pháp:
Tìm hình chi
ế
u vuông góc H c
ủ
a M lên (
∆
)
Giả
s
ử M(x
1
, y
1
, z
1
), H(x
0
, y
0
, z
0
), khi
đó
đ
iể
m M’ đố
i x
ứng M qua (
∆
) là
(
)
0 1 0 1 0 1
2 , 2 , 2
M x x y y z z
′
− − −
Bài 1.
Xác
đị
nh
đ
i
ể
m
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i
đ
i
ể
m M(0; 2;
−
1) lên
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
):
{
}
1 ; 2 ; 3 3
x t y t z t
= + = + = −
6. D
ạ
ng 6:
Xác
đị
nh hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
∆∆
∆
) lên m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
αα
α
)
Ph
ươ
ng pháp:
TH1: (
∆
)
⊥
(
α
)
⇒
Hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a (
∆
) lên (
α
) là
đ
i
ể
m H
≡
(
∆
)
∩
(
α
)
TH2: (
∆
)
⊂
(
α
)
⇒
Hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a (
∆
) lên (
α
) là
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
)
TH3: (
∆
) không vuông góc v
ớ
i (
α
), (
∆
)
⊄
(
α
):
C1: Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (
β
) ch
ứ
a (
∆
) và (
β
)
⊥
(
α
).
Hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a (
∆
) lên (
α
) là
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
’)
=
(
β
)
∩
(
α
).
C2: L
ấ
y 2
đ
i
ể
m A, B phân bi
ệ
t thu
ộ
c (
∆
).
Xác
đị
nh hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a A, B lên (
α
) là H
1
, H
2
.
Hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a (
∆
) lên (
α
) là
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
’)
≡
H
1
H
2
C3: N
ế
u (
∆
) c
ắ
t (
α
): Xác
đị
nh A
≡
(
∆
)
∩
(
α
). L
ấ
y M b
ấ
t kì
∉
(
∆
) và M
≠
A.
Xác
đị
nh hình chi
ế
u vuông góc H c
ủ
a M lên (
α
).
Hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a (
∆
) lên (
α
) là (
∆
’)
≡
AH
Bài 1.
Xác
đị
nh hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a (
∆
):
5 4 2 5 0
2 2 0
x y z
x z
− − − =
+ − =
lên m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
): 2
x
–
y
+
z
– 1
=
0
7. D
ạ
ng 7: Xác
đị
nh hình chi
ế
u song song c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
∆∆
∆
1
) lên (
α
αα
α
)
theo ph
ươ
ng (
∆
∆∆
∆
2
) c
ắ
t (
α
αα
α
)
Ph
ươ
ng pháp:
TH1: (
∆
1
) // (
∆
2
)
⇒
Hình chi
ế
u song song c
ủ
a (
∆
1
) lên (
α
) theo ph
ươ
ng (
∆
2
) là
đ
i
ể
m H
≡
(
∆
1
)
∩
(
α
)
TH2: (
∆
1
) và (
∆
2
) không song song:
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (
β
) ch
ứ
a (
∆
1
) và // (
∆
2
)
Hình chi
ế
u song song c
ủ
a (
∆
1
) lên (
α
) theo ph
ươ
ng (
∆
2
) là (
∆
)
=
(
β
)
∩
(
α
)
Bài 1.
Xác
đị
nh hình chi
ế
u song song c
ủ
a
đ
t (
∆
1
):
7 1 0
2 1 0
x y z
x y z
+ − − =
+ + + =
lên (
α
):
2 2 3 0
x y z
− + − =
theo ph
ươ
ng (
∆
2
):
1
1
2
2 1 3
y
x
z
+
−
+
= =
8. D
ạ
ng 8: VPT
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
∆∆
∆
) qua M và c
ắ
t (
∆
∆∆
∆
1
), (
∆
∆∆
∆
2
) v
ớ
i (
∆
∆∆
∆
1
), (
∆
∆∆
∆
2
) chéo
nhau và không
đ
i qua M
Ph
ươ
ng pháp 1:
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
) qua M ch
ứ
a (
∆
1
)
N
ế
u cho (
∆
1
) d
ướ
i d
ạ
ng t
ổ
ng quát thì nên vi
ế
t ph
ươ
ng trình (
α
) d
ướ
i d
ạ
ng chùm
N
ế
u (
∆
1
) d
ạ
ng tham s
ố
thì l
ấ
y 2
đ
i
ể
m A, B
∈
(
∆
1
)
⇒
Ph
ươ
ng trình (
α
) qua 3
đ
i
ể
m A, B, M.
N
ế
u (
α
) // (
∆
2
) thì bài toán vô nghi
ệ
m. N
ế
u (
α
) c
ắ
t (
∆
2
) thì tìm N
=
(
∆
2
)
∩
(
α
)
N
ế
u MN // (
∆
1
) thì bài toán vô nghi
ệ
m, n
ế
u MN c
ắ
t (
∆
1
) suy ra
đườ
ng th
ẳ
ng
c
ầ
n tìm là (
∆
)
≡
MN.
Ph
ươ
ng pháp 2:
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
) qua M ch
ứ
a (
∆
1
),
m
ặ
t ph
ẳ
ng (
β
) qua M ch
ứ
a (
∆
2
)
Xét (
∆
)
=
(
α
)
∩
(
β
). N
ế
u (
∆
) c
ắ
t (
∆
1
) và (
∆
2
) thì
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
) là
đườ
ng
th
ẳ
ng c
ầ
n tìm. N
ế
u (
∆
) // (
∆
1
) ho
ặ
c (
∆
2
) thì bài toán vô nghi
ệ
m.
Bài 1.
VPT
Đ
T (
∆
) qua M(1; 3; 0) và (
∆
) c
ắ
t (
∆
1
):
2 0
2 5 0
y
x z
− =
− − =
,
(
∆
2
):
{
}
1 2 , 3 , 4
x t y t z t
= + = − = +
9. D
ạ
ng 9: VPT
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
∆∆
∆
) c
ắ
t (
∆
∆∆
∆
1
), (
∆
∆∆
∆
2
) và song song v
ớ
i (
∆
∆∆
∆
3
)
Phươ
ng pháp 1:
Viế
t phươ
ng trình m
ặt ph
ẳng (
α
) chứ
a (
∆
1
) và // (
∆
3
),
m
ặ
t ph
ẳ
ng (
β
) ch
ứ
a (
∆
2
) và // (
∆
3
)
N
ế
u (
α
) // (
β
) thì bài toán vô nghi
ệ
m. N
ế
u (
α
) c
ắ
t (
β
) thì xét (
∆
)
=
(
α
)
∩
(
β
).
N
ế
u (
∆
) c
ắ
t (
∆
1
) và (
∆
2
) thì
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
) là
đườ
ng th
ẳ
ng c
ầ
n tìm.
N
ế
u (
∆
) // (
∆
1
) ho
ặ
c (
∆
2
) thì bài toán vô nghi
ệ
m.
Ph
ươ
ng pháp 2:
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình tham s
ố
c
ủ
a (
∆
1
) theo t
1
, c
ủ
a (
∆
2
) theo t
2
.
L
ấ
y M
∉
(
∆
1
), N
∉
(
∆
2
)
⇒
T
ọ
a
độ
M, N theo t
1
, t
2
.
⇒
MN
theo t
1
, t
2
.
Xác
đị
nh t
1
, t
2
sao cho MN // (
∆
3
)
⇒
Đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
) c
ắ
t (
∆
1
), (
∆
2
) và song
song v
ớ
i (
∆
3
) là (
∆
)
≡
MN
Ph
ươ
ng pháp 3:
G
ọ
i M(x
0
, y
0
, z
0
) là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a (
∆
) và (
∆
1
).
(
∆
) nh
ậ
n VTCP c
ủ
a (
∆
3
) làm VTCP
⇒
Ph
ươ
ng trình tham s
ố
c
ủ
a (
∆
) theo x
0
, y
0
, z
0
.
(
∆
) c
ắ
t (
∆
2
) suy ra h
ệ
( )
( )
2
∆
∆
có nghi
ệ
m
⇒
x
0
, y
0
, z
0
.
⇒
Ph
ươ
ng trình (
∆
)
Bài 1.
VPT đường thẳng (
∆
) cắt (
∆
1
):
2 0
2 5 0
y
x z
− =
− − =
, (
∆
2
):
{
}
1 2 , 3 , 4
x t y t z t
= + = − = +
và // v
ớ
i tr
ụ
c O
z
.
Bài 2.
VPT
Đ
T (
∆
) c
ắ
t (
∆
1
):
2
2
1
3 4 1
y
x
z
+
−
−
= =
, (
∆
2
):
3
7 9
1 2 1
y
x z
−
− −
= =
và // (
∆
3
):
3
1
2
3 2 1
y
x
z
+
+
−
= =
−
10. D
ạ
ng 10: VPT
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
∆∆
∆
) qua M và vuông góc (
∆
∆∆
∆
1
), c
ắ
t (
∆
∆∆
∆
2
) trong
đ
ó M
∉
∉∉
∉
(
∆
∆∆
∆
1
), (
∆
∆∆
∆
2
)
Ph
ươ
ng pháp:
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
) qua M và
⊥
(
∆
1
), m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
β
) qua M ch
ứ
a (
∆
2
)
N
ế
u (
α
) // (
β
) thì bài toán vô nghi
ệ
m. N
ế
u (
α
) c
ắ
t (
β
) thì xét (
∆
)
=
(
α
)
∩
(
β
).
N
ế
u (
∆
) c
ắ
t (
∆
2
) thì
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
) là
đườ
ng th
ẳ
ng c
ầ
n tìm.
N
ế
u (
∆
) // (
∆
2
) thì bài toán vô nghi
ệ
m.
Bài 1.
VPT
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
) qua M(1; 2; 0) và
⊥
(
∆
1
):
1
1
2
2 2 1
y
x
z
+
−
+
= =
,
c
ắ
t (
∆
2
):
7 1 0
2 1 0
x y z
x y z
+ − − =
+ + + =
11. D
ạ
ng 11: VPT
đườ
ng vuông góc chung c
ủ
a 2
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
∆∆
∆
1
), (
∆
∆∆
∆
2
)
chéo nhau
a. TH
đặ
c bi
ệ
t: (
∆
∆∆
∆
1
)
⊥
⊥⊥
⊥
(
∆
∆∆
∆
2
):
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
) ch
ứ
a (
∆
1
) và (
α
)
⊥
(
∆
2
)
Tìm
(
)
(
)
2
M
= ∆ α
∩
, H là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a M lên (
∆
1
)
⇒
MH là
đườ
ng vuông góc chung c
ủ
a (
∆
1
), (
∆
2
)
b. Ph
ươ
ng pháp 1:
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình (
∆
1
), (
∆
2
) d
ướ
i d
ạ
ng tham s
ố
L
ấ
y M
∈
(
∆
1
), N
∈
(
∆
2
)
⇒
T
ọ
a
độ
M, N theo
1 2
,
t t
⇒
MN
theo
1 2
,
t t
.
MN là
đường vuông góc chung của (
∆
1
), (
∆
2
)
⇒
(
)
(
)
1 2
,
MN MN
⊥ ∆ ⊥ ∆
⇒
1 2
,
t t
⇒
MN.
c. Ph
ươ
ng pháp 2:
G
ọ
i
1 2
,
a a
là VTCP c
ủ
a (
∆
1
) và (
∆
2
)
⇒
Đường vuông góc chung (
∆
) có VTCP
1 2
,a a a=
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
) ch
ứ
a (
∆
1
) và // (
∆
), m
ặ
t ph
ẳ
ng (
β
) ch
ứ
a (
∆
2
)
và // (
∆
)
⇒
(
∆
)
=
(
α
)
∩
(
β
).
Bài 1.
Cho A(6; 3; 0), B(
−
2; 9; 1), S(0; 5; 8).
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng vuông góc chung c
ủ
a SB, OA.
Bài 2.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng vuông góc chung c
ủ
a
( )
1
3 0
:
1 0
x y z
y z
+ + − =
∆
+ − =
và
( )
2
2 2 9 0
:
1 0
x y z
y z
− − + =
∆
− + =
Bài 3.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng vuông góc chung c
ủ
a
( )
1
1 1
1
1 2
: 2
3 3
x t
y t
z t
= +
∆ = +
= − +
và
( )
2
2 2
2
2
: 3 2
1 3
x t
y t
z t
= +
∆ = − +
= +
Bài 4.
VPT
đườ
ng vuông góc chung c
ủ
a
( )
1
3 2 8 0
:
5 2 12 0
x y
x z
− − =
∆
+ − =
và
(
)
{
}
2
: 1 3 ; 3 2 ; 2
x t y t z t
∆ = − + = − − = −
Bài 5.
Cho
( )
1
2
: 1
2
x t
y t
z t
= +
∆ = −
=
và
( )
2
2 2 0
:
3 0
x z
y
+ − =
∆
− =
.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng cách
đề
u (
∆
1
) và (
∆
2
).
12. D
ạ
ng 12: Các bài toán v
ề
kho
ả
ng cách
12.1. Tính kho
ả
ng cách:
Bài 1.
Tính kho
ả
ng cách t
ừ
M(1; 2; 3)
đế
n
( )
1
1
1
:
2 1 3
y
x
z
+
−
−
∆ = =
Bài 2.
Cho A(1; 2; 3), B(0; 1; 2), C(4;
−
1; 1). Tính kho
ả
ng cách t
ừ
A
đế
n BC.
Bài 3.
Tính kho
ả
ng cách gi
ữ
a 2
đườ
ng th
ẳ
ng
( ) ( )
{ }
1 2
0
: : 1 3 ; ; 2
4 0
x y
x t y t z t
x y z
+ =
∆ ∆ = + = − = +
− + − =
Bài 4.
Tính kho
ả
ng cách gi
ữ
a 2
đườ
ng th
ẳ
ng
( ) ( )
1 2
2 0
2
1 3
: , :
1 2 3
2 3 5 0
x y z
y
x z
x y z
+ − =
−
− −
∆ = = ∆
− + − =
Bài 5.
Tính kho
ả
ng cách gi
ữ
a 2
đườ
ng th
ẳ
ng
( ) ( )
1 2
8 23 0 2 3 0
: , :
4 10 0 2 2 0
x z x z
y z y z
+ + = − − =
∆ ∆
− + = + + =
Bài 6.
Tính kho
ả
ng cách gi
ữ
a 2 m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
): 2
x
+
y
+
z
– 1
=
0
và (
β
):2
x
+
y
+
z
+
10
=
0.
Bài 7.
Cho A(5; 7;
−
2), B(3;1;1), C(9; 4;
−
4).
Tính kho
ả
ng cách t
ừ
D(
−
1; 5; 0)
đế
n (ABC)
12.2. Tìm
đ
i
ể
m bi
ế
t kho
ả
ng cách cho tr
ướ
c:
Bài 1.
Cho (
α
):
x
+
2
y
– 2
z
– 2
=
0.
Tìm M
∈
O
y
sao cho kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n (
α
) b
ằ
ng 4.
Bài 2.
Cho A(1;
−
2; 0). Tìm M
∈
O
z
sao cho kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n
(
α
): 3
x
– 2
y
+
6
z
+
9
=
0 b
ằ
ng MA.
Bài 3.
Cho (
α
):
x
+
y
+
z
+
5
=
0.
Tìm M
∈
(
∆
):
2 1 0
2 3 0
x y z
x y z
+ + − =
+ + + =
sao cho
( )
(
)
, 3
d M
α =
.
Bài 4.
Cho (
α
): 12
x
– 16
y
+
15
z
+
1
=
0 và (
β
): 2
x
+
2
y
–
z
– 1
=
0.
Tìm M
∈
O
x
cách
đề
u (
α
) và (
β
)
12.3. Các bài toán v
ề
t
ổ
ng, hi
ệ
u kho
ả
ng cách l
ớ
n nh
ấ
t, nh
ỏ
nh
ấ
t:
a. D
ạ
ng 1:
Cho 2
đ
i
ể
m
(
)
(
)
1 1 1 2 2 2
, , ; , ,
A x y z B x y z
.
Tìm M
∈
(P):
0
ax by cz d+ + + =
để (MA
+
MB) min.
Ph
ươ
ng pháp:
Xác
đị
nh v
ị
trí t
ươ
ng
đố
i c
ủ
a A, B
đố
i v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) b
ằ
ng
cách tính các
đạ
i l
ượ
ng:
1 1 1 2 2 2
;
A B
t ax by cz d t ax by cz d
= + + + = + + +
N
ế
u
0
A B
t t
<
⇔
A, B khác phía
đố
i v
ớ
i (P). G
ọ
i M
0
≡
(AB)
∩
(P), khi
đ
ó
MA
+
MB
≥
AB
=
M
0
A
+
M
0
B.
N
ế
u
0
A B
t t
>
⇔
A, B cùng phía
đố
i v
ớ
i (P). L
ấ
y A
1
đố
i x
ứ
ng A qua (P).
G
ọ
i M
0
≡
(A
1
B)
∩
(P). Khi
đ
ó MA
+
MB
=
MA
1
+
MB
≥
A
1
B
=
M
0
A
1
+
M
0
B.
b. D
ạ
ng 2:
Cho 2
đ
i
ể
m
(
)
(
)
1 1 1 2 2 2
, , ; , ,
A x y z B x y z
.
Tìm M
∈
(P):
0
ax by cz d
+ + + =
để
|MA – MB| max.
Ph
ươ
ng pháp:
Xác
đị
nh v
ị
trí t
ươ
ng
đố
i c
ủ
a A, B
đố
i v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) b
ằ
ng
cách tính các
đạ
i l
ượ
ng:
1 1 1 2 2 2
;
A B
t ax by cz d t ax by cz d
= + + + = + + +
Nếu
0
A B
t t
>
⇔
A, B cùng phía đối với (P). Gọ
i M
0
≡
(AB)
∩
(P), khi đó
|MA – MB|
≤
AB
=
| M
0
A – M
0
B|.
N
ế
u
0
A B
t t
<
⇔
A, B khác phía
đố
i v
ớ
i (P) L
ấ
y A
1
đố
i x
ứ
ng A qua (P).
G
ọ
i M
0
≡
(A
1
B)
∩
(P).Khi
đ
ó |MA – MB|
=
|MA
1
– MB|
≤
A
1
B
=
| M
0
A
1
– M
0
B|
b. D
ạ
ng 3:
Cho 2
đ
i
ể
m
(
)
(
)
1 1 1 2 2 2
, , ; , ,
A x y z B x y z
.
Tìm M
∈
(
∆
) cho tr
ướ
c sao cho (MA
+
MB) min.
Ph
ươ
ng pháp:
Xác
đị
nh t
ọ
a
độ
các
đ
i
ể
m A’, B’ là hình chi
ế
u t
ươ
ng
ứ
ng c
ủ
a
các
đ
i
ể
m A, B lên (
∆
). G
ọ
i M
0
là
đ
i
ể
m chia
đ
o
ạ
n A’B’ theo t
ỉ
s
ố
0
0
'
'
'
'
M A
AA
k
M B
BB
= = −
. Ta ch
ứ
ng minh MA
+
MB
≥
M
0
A
+
M
0
B
Th
ậ
t v
ậ
y, g
ọ
i A
1
∈
(P)
=
((
∆
), B) sao cho A
1
khác phía B so v
ớ
i (
∆
) và th
ỏ
a mãn
( )
1
1
' '
'
A A AA
A A
=
⊥ ∆
⇒
0
1
1 0
M A
A A
B B M B
′
′
=
′ ′
⇒
A
1
, M
0
,B th
ẳ
ng hàng
⇒
MA
+
MB
=
MA
1
+
MB
≥
A
1
B
=
M
0
A
1
+
M
0
B
=
M
0
A
+
M
0
B
Bài 1.
Cho A(
−
7; 4; 4), B(
−
6; 2; 3).
Tìm M
∈
(P): 3
x
– y – 2
z
+
19
=
0
để
(MA
+
MB) min;|MA – MB| max.
Bài 2.
Cho A(1; 2; 3), B(4; 4; 5).
Tìm M
∈
m
ặ
t ph
ẳ
ng O
xy
sao cho: (MA
+
MB) min; |MA – MB| max.
Bài 3.
Cho A(1; 0; 2), B(2;
−
1; 3).
Tìm M
∈
(
)
: 2 4 0
P x y z
− + − =
để
(MA
+
MB) min; |MA – MB| max.
Bài 4.
Cho A(1; 3;
−
2), B(13; 7;
−
4).
Tìm M
∈
(
)
: 2 2 9 0
P x y z
− + − =
để
(MA
+
MB) min; |MA – MB| max.
Bài 5.
Cho A(1; 2;
−
1),
(
)
2 2; 2; 3
B
− −
.
Tìm M
∈
( )
3 0
:
5 0
x y z
y z
+ + − =
∆
+ − =
sao cho (MA
+
MB) min.
Bài 6.
Cho A(1; 1; 0), B(3;
−
1; 4).
Tìm M
∈
( )
1
1
2
:
1 1 2
y
x
z
−
+
+
∆ = =
−
sao cho (MA
+
MB) min.
Bài 7.
Cho
(
)
( )
1;2; 1
7; 2;3
A
B
−
−
Tìm M
∈
( )
2
1
2
:
3 2 2
y
x
z
−
+
−
∆ = =
−
sao cho (MA
+
MB) min.
Bài 8.
Cho A(2; 3; 0) và
( )
0; 2; 0B
−
.
Tìm M
∈
( )
2 0
:
2 0
x y z
x y z
+ + − =
∆
− + − =
sao cho (MA
+
MB) min.
13. D
ạ
ng 13: Các bài toán v
ề
góc
Bài 1.
Xác
đị
nh góc gi
ữ
a 2 m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
(
)
1 2
: 2 4 0, :2 1 0
P x y z P x y z
+ + + = + + + =
Bài 2.
Cho t
ứ
di
ệ
n ABCD v
ớ
i A(1; 0; 1), B(2; 1; 0), C(
−
1; 0;
−
2), D(
−
2; 1; 1).
Tính góc c
ủ
a m
ỗ
i c
ặ
p c
ạ
nh
đố
i c
ủ
a ABCD; Tính góc ((AB); (BCD)).
Bài 3.
Cho
(
)
1
: 3 2 0
P x y z
− − + =
,
(
)
2
: 2 3 0
P x y z
+ + − =
,
(
)
3
: 3 2 1 0
P x y z
− + − + =
. G
ọ
i (
∆
) là giao tuy
ế
n c
ủ
a (P
1
) và (P
2
).
Tính góc gi
ữ
a (
∆
) v
ớ
i giao tuy
ế
n c
ủ
a (P
1
), (P
3
) và v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (P
3
).
Bài 4.
Cho
( )
1
3 1 0
:
3 5 0
x y
z y
− − =
∆
− − =
và
( )
2
2
: 1
1
x t
y
z mt
= +
∆ = −
= +
. Tìm
m
để
:
a.
Góc gi
ữ
a (
∆
1
) và (
∆
2
) b
ằ
ng 45
°
b.
Góc gi
ữ
a (
∆
1
) và (
∆
2
) b
ằ
ng 60
°
.
Khi
đ
ó tính góc gi
ữ
a (P) v
ớ
i (
∆
2
) bi
ế
t r
ằ
ng (P)
⊥
(
∆
1
).
Bài 5.
Cho A(0;
−
2;
−
2), B(
−
1;
−
1; 0), C(
−
2;
−
2; 0),
(
)
1
D ; 1;0
2
− −
.
a.
Tính góc gi
ữ
a ((ABC); (ABD))
b.
Tính góc và kho
ả
ng cách gi
ữ
a 2
đườ
ng th
ẳ
ng (AD) và (BC).
14. Bài m
ẫ
u.
Trong h
ệ
Oxyz cho A(1; 4; 2); B(
−
1; 2; 4) và
( )
2
1
:
1 1 2
y
x
z
d
+
−
= =
−
1.
Tìm t
ọ
a
độ
đ
i
ể
m M thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng (
d
) sao cho:
a)
MA MB
+
nh
ỏ
nh
ấ
t; b)
2 2
MA MB
+
nh
ỏ
nh
ấ
t;
c)
MA MB
+
nh
ỏ
nh
ấ
t d) Di
ệ
n tích tam giác AMB nh
ỏ
nh
ấ
t
2.
VPT m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) ch
ứ
a (
d
) sao cho kho
ả
ng cách t
ừ
A
đế
n (P) là l
ớ
n nh
ấ
t.
3.
VPT m
ặ
t ph
ẳ
ng (Q) ch
ứ
a (
d
) và t
ạ
o v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (xOy) m
ộ
t góc nh
ỏ
nh
ấ
t.
4.
VPT m
ặ
t ph
ẳ
ng (R) ch
ứ
a
đườ
ng th
ẳ
ng (
d
) và t
ạ
o v
ớ
i tr
ụ
c Oy góc l
ớ
n nh
ấ
t.
5.
Trong s
ố
các
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua A và c
ắ
t
đườ
ng th
ẳ
ng (
d
), vi
ế
t ph
ươ
ng
trình các
đườ
ng th
ẳ
ng sao cho kho
ả
ng cách t
ừ
B
đế
n nó là l
ớ
n nh
ấ
t? nh
ỏ
nh
ấ
t?
Gi
ả
i
1.
(
)
1 ; 2 ; 2
M t t t d
− − + ∈
⇒
( ) ( )
; 6 ; 2 2 , 2 ;4 ; 4 2
MA t t t MB t t t
= − − = − + − −
a.
( )
2 2 ; 10 2 ; 6 4
MA MB t t t
+ = − + − −
. Suy ra
( )
2
24 2 44
MA MB t
+ = − +
Do đó
MA MB+
nhỏ
nhất khi
t
=
2 và lúc đ
ó
( )
1; 0; 4M
−
b.
Ta có
2 2
MA MB
+ =
( )
2
2
12 48 76 12 2 28
t t t
− + = − +
V
ậ
y
2 2
MA MB
+
nh
ỏ
nh
ấ
t khi
2
t
=
và khi
đ
ó
(
)
1; 0; 4
M
−
c.
Ta s
ẽ
xác
đị
nh hình chi
ế
u
1 1
,
A B
c
ủ
a hai
đ
i
ể
m A, B lên
đườ
ng th
ẳ
ng (
d
)
( )
(
)
2 2
1
5 10
2 1
2 3 10 20 min ; ;
3 3 3 3
MA t t t M A
= − + ⇔ = ⇔ ≡ − −
v
ớ
i
(
)
1
AA d
⊥
( )
(
)
2 2
1
7
4 1 14
2 3 14 18 min ; ;
3 3 3 3
MB t t t M B
= − + ⇔ = ⇔ ≡ −
v
ớ
i
(
)
1
BB d
⊥
1 1
1 1
210 ; 30
3 3
AA BB
= =
.
Đ
i
ể
m M c
ầ
n tìm là
đ
i
ể
m chia
đ
o
ạ
n
1 1
A B
theo t
ỉ
s
ố
1
1
7
AA
k
BB
= − = −
nên t
ọ
a
độ
c
ủ
a M là
(
)
( ) ( )
2 1 2 7
10 14 7
1
; ;
3
3 1 7 3 1 7
− +
−
−
+ +
d.
( ) ( ) ( )
; 6 ; 2 2 ; 2; 2; 2 ; ; 6 16; 2 4; 4 12
AM t t t AB AM AB t t t
− − + − + − − = − − + −
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
1 1 1
; 6 16 2 4 4 12 56 304 416
2 2 2
AMB
S AM AB t t t t t
= = − + − + + − = − +
D
ễ
th
ấ
y
AMB
S
nh
ỏ
nh
ấ
t khi
304 19
112 7
t
= =
, khi
đ
ó
(
)
5 38
12
; ;
7 7 7
M
−
.
2.
PT t
ổ
ng quát c
ủ
a (
d
) là
1 0
2 4 0
x y
y z
+ + =
− + =
. Vì m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) ch
ứ
a
đườ
ng th
ẳ
ng
(
d
) nên (P) có ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
1 2 4 0
a x y b y z
+ + + − + =
v
ớ
i
2 2
0
a b
+ ≠
•
N
ế
u
0
a
=
thì (P):
2 4 0
y z
− + =
. Khi
đ
ó
( )
( )
( )
2
2
2.4 2 4
10
; 2 5
5
2 1
d A P
− +
= = =
+ −
•
N
ế
u
0
a
≠
thì có th
ể
gi
ả
s
ử
1
a
=
. Khi
đ
ó
(
)
(
)
: 1 2 1 4 0
P x b y bz b
+ + − + + =
.
Suy ra
( )
( )
2
2 5 3
;
5 4 2
b
d A P
b b
+
=
+ +
. Xét hàm s
ố
( )
( )
2
2
5 3
5 4 2
b
f b
b b
+
=
+ +
.
Ta có
( )
( )
2
2
2
50 10 24 3
4
0
5 5
5 4 2
b b
f b b b
b b
− + +
′
= = ⇔ = ∨ = −
+ +
Do
(
)
(
)
( )
35 3
4
; 0 ; lim 5
5 6 5
b
f f f b
→∞
= − = =
nên
( )
( )
;d A P
lớn nhất b
ằng
35
2
6
.
K
ế
t lu
ậ
n:
So sánh hai tr
ườ
ng h
ợ
p ta có
( )
( )
35
Max ; 2
6
d A P
=
khi
4
5
b
=
, lúc
đ
ó
ph
ươ
ng trình (P) có d
ạ
ng
13
4 21
0
5 5 5
x y z
+ − + =
, hay
(
)
: 5 13 4 21 0
P x y z
+ − + =
3.
Do (Q) ch
ứ
a (
d
) nên PT (Q):
(
)
(
)
1 2 4 0
a x y b y z
+ + + − + =
v
ớ
i
2 2
0
a b
+ ≠
.
M
ặ
t ph
ẳ
ng (xOy) có ph
ươ
ng trình
0
z
=
•
N
ế
u
0
a
=
thì (Q):
2 4 0
y z
− + =
và khi
đ
ó
1
cos
5
α =
.
•
N
ế
u
0
a
≠
ta có th
ể
gi
ả
s
ử
1
a
=
. Khi
đ
ó (Q):
(
)
1 2 1 4 0
x b y bz b
+ + − + + =
.
T
ừ
đ
ó
2
cos
5 4 2
b
b b
α =
+ +
. Xét hàm s
ố
( )
2
2
2
cos
5 4 2
b
g b
b b
= = α
+ +
.
Ta có
( )
( )
2
2
2
4 4
0 0 1
5 4 2
b b
g b b b
b b
+
′
= = ⇔ = ∨ = −
+ +
Do
( )
( )
( )
1 1
0 0; 1 ; lim
3 5
b
g g g b
→∞
= − = =
nên
cos
α
l
ớ
n nh
ấ
t b
ằ
ng
1
3
khi
1
b
= −
K
ế
t lu
ậ
n:
So sánh hai tr
ườ
ng h
ợ
p trên ta th
ấ
y
cos
α
l
ớ
n nh
ấ
t hay (Q) t
ạ
o v
ớ
i
m
ặ
t ph
ẳ
ng (xOy) góc nh
ỏ
nh
ấ
t khi
1
b
= −
. Lúc
đ
ó (Q)
3 0
x y z
− + − =
4.
PT (R):
(
)
(
)
1 2 4 0
a x y b y z
+ + + − + =
. Tr
ụ
c Oz có VTCP là
( )
0; 1; 0
v
N
ế
u
0
a
=
thì (R):
2 4 0
y z
− + =
thì
β
= ((Q), Oy) th
ỏ
a mãn
2
sin
5
β =
.
N
ế
u
0
a
≠
ta có th
ể
gi
ả
s
ử
1
a
=
. Khi
đ
ó (R):
(
)
1 2 1 4 0
x b y bz b
+ + − + + =
Khi
đ
ó
2
1 2
sin
5 4 2
b
b b
+
β =
+ +
. Xét hàm s
ố
( )
2
2
2
4 4 1
sin
5 4 2
b b
h b
b b
+ +
= = β
+ +
.
Ta có
( )
( )
2
2
2
4 6 4
1
0 2
2
5 4 2
b b
h b b b
b b
− + +
′
= = ⇔ = ∨ = −
+ +
.
Do
( )
(
)
( )
5
1 4
2 ; 0 ; lim
6 2 5
b
h h h b
→±∞
= − = =
nên
sin
β
l
ớ
n nh
ấ
t b
ằ
ng
5
6
, khi
2
b
=
.
K
ế
t lu
ậ
n:
So sánh hai tr
ườ
ng h
ợ
p ta th
ấ
y
sin
β
l
ớ
n nh
ấ
t khi
2
b
=
. Khi
đ
ó m
ặ
t
ph
ẳ
ng (R) có ph
ươ
ng trình
5 2 9 0
x y z
+ − + =
.
5.
Gi
ả
s
ử
2
d
là
đườ
ng th
ẳ
ng b
ấ
t kì
đ
i qua A và c
ắ
t
d
t
ạ
i
(
)
1 ; 2 ; 2
M t t t
− − +
.
Khi
đ
ó
( )
2
2
2
2
2
;
56 304 416
28 152 208
;
3 10 20
6 20 40
AM AB
t t
t t
d B d
t t
AM
t t
− +
− +
= = =
− +
− +
Xét
( )
2
2
28 152 208
3 10 20
t t
u t
t t
− +
=
− +
. Ta có
( )
(
)
( )
2
2
2
16 11 8 60
0 2
3 10 20
t t
u t t
t t
− −
′
= = ⇔ = −
− +
;
30
11
t
=
.
Do
( )
(
)
( )
30 28
4
2 48; ; lim
11 35 3
b
u u u t
→∞
− = = =
nên kho
ả
ng cách t
ừ
B
đế
n
2
d
l
ớ
n
nhất bằng 48 khi
2t = −
và nhỏ nhấ
t bằng
4
35
khi
30
11
t =
. Khi đó
2
d
tương ứ
ng
có ph
ươ
ng trình là
2
4
1
2
:
1 4 3
y
x
z
d
−
−
−
= =
− −
và
2
4
1
2
:
15 18 19
y
x
z
d
−
−
−
= =
−
