Vấn đề 1: Toạ độ phẳng – góc – khoảng cách docx

Vấn đề 1: Toạ độ phẳng – góc – khoảng cách
Dạng 1: Toạ độ điểm – véc tơ
A, lý thuyết và phương pháp giải:
Toạ độ phẳng:
Hai véc tơ đơn vị ji


, , M(x; y) hay M = (x; y) khi jyixMO




Véc tơ ));(();( yxuyxu




nếu jyixu




Hai véc tơ );(),;( yxvyxu






thì:



yyxxvu



 ;


,


kykxuk ;. 

,
22
,. yxuyyxxvu 









 
2222
.
,cos

yxyx
yyxx
vu










Hai điểm




2211
;,; yxByxA thì :


1212
; yyxxAB  và

   
2
12
2
12

yyxxAB 
M chia AB theo tỉ số k











k
kyy
k
kxx
Mk
1
;
1
:1
2121
:
Chú ý:
 Với A, B, C bất kì thì : ACABBCACAB 
 Với vu


, bất kì thì : vuvu






 Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi :
ACkAB .

 Ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự khi : AB + BC = AC.
 Cách tìm chân phân giác trong AD của tam giác ABC: Dùng tỉ lệ
AC
AB
DC
DB
 và hai véc tơ DCDB, ngược hướng nên D chia đoạn BC
theo tỉ số
AC
AB
k 
 Cách tìm hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d : Lập phương
trình đường thẳng
d

qua M và vuông góc với d, hình chiếu H là
giao điểm của d với
d

. Từ đó suy ra điểm
M


đối xứng của M
qua d, nhờ H là trung điểm của
M
M

. Ta có thể viết d dưới dạng
tham số , toạ độ H thuộc d, tính t nhờ quan hệ : 0. 
d
uMH
Phương pháp chung:
Để xác định 1 điểm là tìm công thức mô tả, tìm quan hệ véc tơ, quan
hệ góc, quan hệ khoảng cách và quan hệ tương giao.
Phương trình đường thẳng:
 Đường thẳng đi qua


000
; yxM và có VTPT


BAn ;

có phương
trình tổng quát:
Ax + By + C = 0, A
2
+ B
2
0


hay




0
00
 yyBxxA
 Đường thẳng đi qua


000
; yxM và có VTCP );( bau


có phương
trình tham số:
 
0
22
0
0






ba
btyy

atxx

Với điều kiện
0.

ba
thì đường thẳng có phương trình chính tắc:

b
yy
a
xx
00




Phương trình đường tròn: Đường tròn (C) tâm I(a; b) , bán kính R
có PTTQ là: (x - a)
2
+ (y - b)
2
= R
2

Hay : x
2
+y
2
– 2ax- 2by + c = 0 có tâm I(a; b) bán kính :

cbaR 
22
với điều kiện cba 
22
> 0.
Bài tập dạng 1:
Câu 1: Trong mp Oxy cho 3 điểm






3;3,1;1,5;2 CBA
a, Tìm toạ độ điểm D sao cho :
ACABAD 23 

b, Tìm toạ độ điểm E sao cho ABCE là hình bình hành. Tìm toạ độ tâm hình
bình hành đó.
ĐS:
a,


3;3 D
b,
 







4;
2
5
,7;4 IE
Câu 2: Cho đường thẳng






ty
tx
21
22
:
và điểm M (3 ; 1)
Tìm điểm B trên

sao cho MB ngắn nhất.
ĐS:








2
3
;
2
1
B
Câu 3: Cho tam giác ABC có




3;5,1;1  BA , đỉnh C thuộc Oy và trọng tâm
G thuộc Ox. Tìm toạ độ đỉnh C.
ĐS:
 
2;0,0;
3
4
CG







Câu 4: Tìm điểm A trên trục hoành, điểm B trên trục tung sao cho A và B
đối xứng với nhau qua đường thẳng d : x – 2y + 3 = 0.
ĐS:





2;0 , 0;4
A B
Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại A, trọng tâm






3
1
;
3
4
G và phương trình hai
cạnh BC, BG lần lượt là : 0847;042






yxyx . Tìm toạ độ A, B, C.
ĐS:







0;4,2;0,3;0 CBA
Câu 6: Cho tam giác ABC biết






2;2,4;0,2;2  CBA . Tìm toạ độ trực tâm
và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
HD: Tam giác vuông tại C
ĐS:


1;1; ICH 
Câu 7 : Trong mp Oxy cho




1;3,2;0 BA . Tìm toạ độ trực tâm và tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.
(Đề KA - 2007)
ĐS:





1;3,1;3  BH
Câu 8: Cho tam giác ABC biết phương trình 3 cạnh AB, BC,CA lần lượt là:
092;022;052









yxyxyx . Tìm toạ độ tâm đường tròn nội
tiếp tam giác ABC.
ĐS: I(-1 ; 2)
Câu 9: Trong mp Oxy cho tam giác ABC vuông tại A, phương trình cạnh
BC là: 033  yx . Điểm A, B thuộc trục hoành ; Bán kính đường tròn
nội tiếp r = 2.Tìm toạ độ trọng tâm tam giác ABC.
HD: ACABrpS .
2
1
. 
ĐS:



















3
326
;
3
134
;
3
326
;
3
347
GG
Câu 10: Cho tam giác ABC có
   








3
4
;1,3;2,2;1 GBA . Tìm toạ độ đỉnh C và
tâm đường trong ngoại tiếp tam giác ABC.
Câu 11: Ttrong mp Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 3) ; đường cao BH
có phương trình: 2x – 3y – 10 = 0 ; BC có phương trình : 5x – 3y – 34 = 0.
Xác định toạ độ B, C.
ĐS: B (8 ; 2); C( 5; -3).
Câu 12: Ttrong mp Oxy tìn toạ độ đỉnh C của tam giác ABC biết hình chiếu
C lên AB là H (-1 ; -1), đường phân giác trong của góc A là : x – y + 2 = 0;
đường cao kẻ từ B là: 4x + 3y – 1 = 0.
(Đề KB - 2008)
ĐS:







3
4
;
3
10
C
Câu 13: Cho tam giác ABC với







6;3,3;2,0;1  CBA và đường thẳng
032:




yx , Tìm điểm M trên MCMBMAsaocho  nhỏ nhất.
ĐS: M là hình chiếu vuông góc của G lên







15
13
;
15
19
M
Câu 14: Cho





012:;4;3,6;1  yxQP
a, Tìm toạ độ điểm M trên

sao cho MP + MQ nhỏ nhất.
b, Tìm toạ độ điểm N trên

sao cho NQNP  lớn nhất.
ĐS: M(0 ; -1) ; N (-9 ; -19)
Câu 15: Cho tam giác ABC có






2;2,4;2,1;4  CBA . Tìm trực tâm H và tâm
đường tròn ngoại tiếp O của tam giác ABC.
ĐS:














1;
4
1
;1;
2
1
OH
Câu 16: Cho 3 điểm






3;2,7;4,2;1 CBA tạo thành tam giác ABC. Tìm toạ
độ trọng tâm G và D để ABCD là hình bình hành.
ĐS:




2;5;4;1 DG
Câu 17: Cho tam giác ABC có







1;4,5;1,5;4  CBA . Tìm chân phân giác
trong BD và tâm đường tròn nội tiếp.
ĐS:
 
0;1;
2
5
;1 ID







Câu 18: cho 3 điểm






5;0,3;0,0;3 CBA . Tìm D để ABCD là hình thang cân.
ĐS: D(0 ; 5) hoặc (3; 5)
Câu 19: Cho hình bình hành ABCD tâm I có diện tích S = 2. Biết A(1; 0),
B(2 ; 0), tâm I thuộc phân giác y = x. Xác định toạ độ C, D.
ĐS: C(3; 4), D(2 ; 4) hoặc C(-5;- 4), D(-6 ;- 4)
Câu 20: Tìm 3 đỉnh tam giác ABC biết 3 trung điểm 3 cạnh là M(3; 0), N(0;

3) và P(0; 5).
HD: Sử dụng hình bình hành.
Câu 21: Cho tam giác ABC có






1;4,1;0,3;1 CBA . Tìm hình chiếu H của
A lên BC và điểm đối xứng M của A qua BC.
ĐS:












5
3
;
5
11
;

5
9
;
5
8
MH
Câu 22: cho tam giác ABC biết trọng tâm G(-2; -1) và phương trình hai
cạnh AB : 4x + y +15 = 0; AC: 2x + 5y + 3 = 0. Tìm đỉnh A và trung điểm I
của BC.
ĐS: A(-4; 1); I(-1; -2)