On thi HKI Nam hoc 2011 2012 Truonhf THPT Van TuongBinh son Quang Ngai pptx

Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường

Đề cương ôn tập họ c kì I. Năm

họ c 2011 - 2012

PHẦN I. ĐẠI SỐ
Chương I. MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP
I. Kiến thức, kĩ năng cần đạt được:
1. Viết được tập hợp từ dạng đặc trưng phần tử sang liệt kê phần tử và ngược lại.
2. Thực hiện được các phép toán tập hợp: Giao, hợp, hiệu của hai tập hợp, nhiều tập hợp.
3. Viết được tập hợp bằng kí hiệu khoảng, nửa khoảng, đoạn và biểu diễn trên trục số.
4. Thực hiện được các phép toán tập hợp trên trục số.
5. Xác định các tập con của một tập hợp
II. Một số ví dụ :
Ví dụ 1: Cho các tập hợp:

{

}

A = x ∈ R |( x2 + 7 x + 6) ( x2 − 4) = 0

B = { x ∈ N |2 x ≤ 8}

C = { 2 x + 1| x ∈ Z , − 2 ≤ x ≤ 4}

a. Hãy viết lại các tập hợp A, B, C dưới dạng liệt kê các phần tử
b. Tìm A ∪ B, A ∩ B, B \ C .
c. Tìm ( A ∪ C ) \ B.
Hướng dẫn:

a. Ta có:
 x2 + 7 x + 6 = 0
 x = −1 ∨ x = − 6
x2 + 7 x + 6) ( x2 − 4) = 0 ⇔  2
⇔
•(
. Vậy A = { −6; −2; −1; 2}
x −4=0
 x = −2 ∨ x = 2

x∈N
x∈ N


⇔
⇔ x ∈ { 0,1, 2,3, 4} . Vậy B = { 0;1; 2;3; 4}
•
2 x ≤ 8
x ≤ 4
x ∈ Z
⇔ x ∈ { −2, −1, 0,1, 2,3, 4} . Thay lần lượt x vào 2x + 1 ta được C = { −3; −1;1;3;5;7;9}
•
 −2 ≤ x ≤ 4

b. Ta có:

A ∪ B = { −6; −2; −1;0;1; 2;3; 4}
A ∩ B = { 2}

B \ C = { 0; 2; 4}

c. Ta có: A ∪ C = { −6; −3; −2; −1;1; 2;3;5;7;9}
Ví dụ 2: Cho các tập hợp:
A = { x ∈ R | x < 3}

Suy ra ( A ∪ C ) \ B = { −6; −3; −2; −1;5;7;9}

B = { x ∈ R |1 < x ≤ 5}

C = { x ∈ R | − 2 ≤ x ≤ 4}

a. Hãy viết lại các tập hợp A, B, C dưới kí hiệu khoảng, nửa khoảng, đoạn.
b. Tìm A ∪ B, B ∩ C , A \ C .
Hướng dẫn:
B = ( 1;5]
C = [ −2; 4 ] .
a. Ta có: A = ( −∞;3)
b. A ∪ B = ( −∞;5]
B ∩ C = ( 1; 4]

A \ C = ( −∞; −2 )

Lớp 10 (cơ bản)

Trang 1

Lưu hành nội bộ


Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường

Đề cương ôn tập họ c kì I. Năm

họ c 2011 - 2012

Ví dụ 3: Xác định các tập số sau:
a. ( −4; 2] ∩ [ 0; 4 )

c. [ −4;3] \ [ −2;1]

b.
d.

( 0;3) ∪ [ 1; 4]
R \ [ 1;3]

Hướng dẫn:
Ta có

a. ( −4; 2] ∩[ 0; 4 ) = [ 0; 2 ]

( 0;3) ∪[ 1; 4] = ( 0; 4]
c. [ −4;3] \ [ −2;1] = [ −4; −2 ) ∪ ( 1;3]
d . R \ [ 1;3] = ( −∞;1) ∪ ( 3; +∞)

b.

III. Bài tập luyện tập:
Bài 1. Viết lại các tập hợp sau dưới dạng liệt kê các phần tử
a) A = {x ∈ N / (x + 2)(x2 + 2x - 3) = 0}

KQ

A = { 1}

B = { 0,1, 4}

b) B = {x2 / x ∈ Z , x ≤ 2 }

KQ

c) C = {x ∈ ¥ / x là ước của 30}

KQ

d) D = {x ∈ ¥ / x là số nguyên tố chẵn}.
Bài 2. Cho các tập hợp sau :
A = { x ∈ ¥ * / x ≤ 4}

KQ

D = { 2}

KQ

A ∩ C = { 1, 2,3}

B = { x ∈ ¡ / 2x( 3x2 – 2x – 1) = 0}

KQ

C = { x ∈ ¢ / -2 ≤ x < 4}

KQ

KQ
a) Hãy viết lại các tập hợp dưới dạng liệt kê các phần tử
b) Hãy xác định các tập hợp sau : A ∩ C, A ∪ B, C\B, (C\A) ∩ B
Bài 3. Hãy tìm các tập hợp con của tập hợp.
KQ
a) A = { a, b}
b) B = { 1, 2,3, 4}

C = { 1, 2,3,5, 6,10,15,30}

 1

A ∪ B = − , 0,1, 2,3, 4 
 3

C \ B = { −2, −1, 2,3}

( C \ A ) ∩ B = { 0}

a) ∅, { a} , { b} , { a, b}

Bài 4. Cho A = { x ∈ ¡ | −3 ≤ x ≤ 5} và B = { x ∈ ¡ | x > 2}
a. Hãy viết lại các tập hợp dưới dạng kí hiệu khoảng, nửa khoảng, đoạn.
B
B

A∪ B
A\ B
CR
KQ CR = ( −∞; 2]
b. Tìm A ∩ B
Bài 5. Xác định các tập hợp sau:
a ) [ −4; 2 ) ∪ ( 0;5]
b) ( −3; 2 ) \ ( 1;5 )
c) R \ ( −∞;3]
d ) [ −4;9 ) \ ( 0; 2 ]
Bài 6.
1) Cho A = [m;m + 2] và B = [n;n + 1] .Tìm điều kiện của các số m và n để A ∩ B = ∅
2) Cho A = (0;2] và B = [1;4). Tìm CR(A ∪ B) và CR(A ∩ B)
3) Xác định các tập A và B biết rằng A ∩ B = {3,6,9} ; A\B = {1,5,7,8} ; B\A = {2,10}
 m − n < −2

KQ 1) 
m − n > 1
2) CR(A ∪ B) = (0, 4); CR(A ∩ B) = [1, 2].
3) A = {1,3,5,6,7,8,9}, B = {2,3,6,9,10}
Lớp 10 (cơ bản)

Trang 2

Lưu hành nội bộ


Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường

Đề cương ôn tập họ c kì I. Năm

họ c 2011 - 2012

Bài 7. Mỗi học sinh trong lớp 10A đều chơi bóng đá, bóng chuyền. Biết rằng có 25 bạn chơi bóng đá
khơng chơi bóng chuyền, 20 bạn chơi bóng chuyền khơng chơi bóng đá và 10 bạn chơi cả 2 mơn.Hỏi
lớp 10A có bao nhiêu học sinh

Chương II. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI.
I . Kiến thức, kĩ năng cần đạt được:
1. Xác định được tập xác định, xét tính chẵn lẻ của một số hàm số cơ bản.
2. Hàm số bậc hai: y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0)
Bài toán lập bảng biến thiên và vẽ Parabol y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0)
+ TXĐ: D = R


∆ 

b

+ Toạ độ đỉnh I  − ; − ÷
 2a 4a 
+ Trục đối xứng x = −

b
2a

+ Lập bảng biến thiên
+ Tìm các điểm đặc biệt (giao điểm của parabol với trục tung, trục hồnh (nếu có)) .
+ Vẽ đồ thị.
3. Xác định được phương trình Parabol khi biết được một số yếu tố liên quan

II. Một số ví dụ :
Ví dụ 1: Tìm tập xác định và xét tính chẵn lẽ của hàm số
a ) f ( x) = 2 x 3 − 5 x

b) f ( x) =

2x +1
x −1

c) f ( x ) = 2 x − 1 +

2x − 3
x−4

Hướng dẫn:
a)

TXĐ: D = R
∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D

nên f(x) là hàm số lẻ.
3
3
3
∀x ∈ D, f ( − x ) = 2 ( − x ) − 5 ( − x ) = − ( 2 x − 5 x ) = − f ( x )


Vì 
b)

c)

Hàm số xác định khi x − 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1 . TXĐ: D = R\{1}
Vì −1∈ D nhưng1 ∉ D nên f(x) là hàm số không chẵn, không lẻ.

x ≠ 4
x − 4 ≠ 0

1

⇔
Hàm số xác định khi 
1 . TXĐ: D =  ; +∞ ÷\ { 4}
2

2 x − 1 ≥ 0
x ≥ 2

Vì 1 ∈ D nhưng −1∉ D nên f(x) là hàm số khơng chẵn, khơng lẻ.

Ví dụ 2: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x2 - 2x - 3
Hướng dẫn:
TXĐ: D = R
Tọa độ đỉnh I(1;-4)
Trục đối xứng là đường thẳng x = 1
Bảng biến thiên:
−∞
x
y
+∞

Lớp 10 (cơ bản)

Trang 3

1

+∞
+∞
Lưu hành nội bộ


Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường

Đề cương ôn tập họ c kì I. Năm

họ c 2011 - 2012

4
Tọa độ các giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ.
* Giao điểm với trục tung: A(0;-3)
* Giao điểm với trục hoành:
 x = −1
. Suy ra giao điểm B(-1;0); C(3;0)
x = 3

2
Ta có: x − 2 x − 3 = 0 ⇔ 

y

Đồ thị
5

x
-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

-5

f(x)=x^2-2x-3

Ví dụ 3: Xác định phương trình của Parabol (P): y = x2 + bx + c trong các trường hợp sau:
a) (P) đi qua điểm A(1; 0) và B(-2; -6)
b) (P) có đỉnh I(1; 4)
Hướng dẫn:
x(t)=1 , y(t)=t

0 = 1 + b + c
b + c = −1
b = 3
⇔
⇔
. Vậy (P): y = x2 + 3x – 4.
−6 = 4 − 2b + c
2b − c = 10
c = −4




a) Vì (P) đi qua A, B nên 

 −b
 2 =1
b = −2

⇔
b) Vì (P) có đỉnh I(1; 4) nên  2
. Vậy (P): y = x2 – 2x + 5.
c=5
b − 4c

−
=4


4

III .Bài tập luyện tập
Bài 1. Tìm TXĐ của các hàm số sau:
x +1
x − 2x + 5
2x +1
d. y =
(3 x − 6)(− x 2 − 3 x + 4)

a. y =

2

b.

6 − 2x
x−2

c. y =

2x − 4 + 6 − x
3x − 1
2
+ 5 − 10 x +
2
x −4
x +1

e. y = 3 x − 6 + 9 − 3 x

f. y =

e. D = [2;3]

f. D = [-1; ]

Đáp số:
d. D = R \ {2,1,-4}

Bài 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a. y = x2 + 4
b. y = x3 + x
Đáp số:
a. Hàm số chẵn
b. Hàm số lẻ
Bài 3. Lập BBT và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
Lớp 10 (cơ bản)

Trang 4

1
2

c. y = 2x2 + 3x +1
c. Hàm số khơng chẵn, khơng lẻ
Lưu hành nội bộ


Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường

Đề cương ôn tập họ c kì I. Năm

họ c 2011 - 2012

a. y = x2 - 2x + 5

b. y = - x2 + 2x +3

c. y = 6 − 4 x − 2 x 2

d. y = -x2 - 2x

e. y = x2 +3

f. y = x 2 + 4 x + 5

Bài 4. Cho hàm số y = x2 – 4x + 3 có đồ thị là Parabol (P).
a. Lập bảng biến thiên và vẽ (P).
b. Biện luận theo m số giao điểm của đường thẳng y = m với (P).
c. Từ đồ thị hàm số ở câu a) suy ra đồ thị hàm số y = x2 - 4 |x| +3
Hướng dẫn

y

5

x
-8

-6

-4

y= m 2

-2

4

6

8

b) m < -1: Có 0 giao điểm
m = -1: Có 1 giao điểm

-5

m > -1: Có 2 giao điểm
Bài 5. Tìm Parabol y = ax2 + 3x − 2, biết rằng Parabol đó :

f(x)=x^2-4x+3
x(t)=2 , y(t)=t

a. Qua điểm A(1; 5)

x(t)=t , y(t)=-2

ĐS y = 4 x 2 + 3x − 2

b. Cắt trục Ox tại điểm có hồnh độ bằng 2

ĐS y = − x 2 + 3x − 2

c. Có trục đối xứng x = −3

2
ĐS y = x + 3x − 2

1
2

d. Có đỉnh I(− ; −

1
2

11
)
4

ĐS y = 3x 2 + 3 x − 2

Bài 6. Xác định phương trình Parabol:
a) y = ax2 + bx + 2 qua A(1 ; 0) và trục đối xứng x =

3
2

ĐS y = x 2 − 3x + 2

b) y = ax2 + bx + 3 qua A(-1 ; 9) và trục đối xứng x = - 2

ĐS y = −2 x 2 − 8 x + 3

c) y = ax2 + bx + c qua A(0 ; 5) và đỉnh I ( 3; - 4)

2
ĐS y = x − 2 x + 5

1
3

d) y = x2 + bx + c biết rằng qua diểm A(1 ; 0) và đỉnh I có tung độ đỉnh yI = -1
ĐS y = x 2 − 1 ; y = x 2 − 4 x + 3
Bài 7. Xác định parabol y = ax2 + bx + c biết rằng:
a. Parabol trên đi qua 3 điểm A(0; -1); B(1;-2); C(2;-1)
ĐS y = x 2 − 2 x − 1
b. Đi qua điểm A(-2;0); B(2;-4) và nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng.ĐS y = 2 x 2 − 4 x − 4
Bài 8. Cho parabol (p): y = x2 + 4x - 2 và đường thẳng d: y = - x +2m. Tìm m để:
a. (d) cắt (p) tại 2 điểm
b. (d) không cắt (p)
Hướng dẫn
Phương trình hồnh độ giao điểm: x2 + 4x – 2 = -x + 2m
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của (p) với d
ĐS: a) m >
Lớp 10 (cơ bản)

33
8

b) m <
Trang 5

33
8
Lưu hành nội bộ


Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường
họ c 2011 - 2012

Đề cương ôn tập họ c kì I. Naêm

Bài 9: Cho hàm số: y = 4 x 2 − 4mx + m 2 − 2m
a)Tìm m để hàm số đồng biến trên [ −2; +∞ )
b) Tìm quỹ tích đỉnh I của parabol

Chương III. PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I.Kiến thức, kĩ năng cần đạt được:
1. Nắm được điều kiện xác định của mỗi phương trình.
2. Biết qui đồng mẫu thức để giải phương trình chứa ẩn dưới mẫu dạng cơ bản.
3. Biết giải và biện luận phương trình dạng ax = b.
4. Nắm được phương trình hệ quả, phương trình tương đương
5. Biết giải một số phương trình căn thức cơ bản.
6. Vận dụng được định lí viet trong một số bài tốn tham số.
II.
Một số ví dụ :
Ví dụ 1: Giải và biện luận theo m số nghiệm phương trình: m ( x + 1) = x + m (1)
Hướng dẫn:

2
2
2
2
2
2
2
Ta có m ( x + 1) = x + m ⇔ m x + m = x + m ⇔ m x − x = m − m ⇔ ( m − 1) x = m − m
TH1: m 2 − 1 = 0 ⇔ m = ±1
Với m = 1: PTTT 0.x = 0, ∀x ∈ ¡ là nghiệm của phương trình.
Với m= -1:PTTT 0.x= -2: vô nghiệm.
m − m2
−m
TH2: m 2 − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±1 : phương trình có nghiệm duy nhất: x = 2
=
m −1 m +1
Kết luận:
• m = -1, PT vơ nghiệm
• m = 1, ∀x ∈ ¡ là nghiệm của phương trình.
−m
• m ≠ ±1 , phương trình có nghiệm duy nhất: x =
m +1
2
2
Ví dụ 2: Cho ptrình x − 2 ( m − 2 ) x + m − 5 = 0 . (*)
a. Tìm m để ptrình có nghiệm x = 1. Tính nghiệm cịn lại.
b. Tìm m để ptrình có hai nghiệm x1, x2 thoả : x12+x22 = 26.
Hướng dẫn:
a) Vì x = 1 là nghiệm của phương trình (*) nên thay x =1 vào phương trình (*) ta được
2

m = 0
1 − 2 ( m − 2 ) + m 2 − 5 = 0 ⇔ m 2 − 2m = 0 ⇔ 
m = 2

x = 1
 x = −5
x =1
2
+ với m = 2 phương trình (2) trở thành: x − 1 = 0 ⇔ 
 x = −1
2
+ Với m = 0 phương trình (2) trở thành: x + 4 x − 5 = 0 ⇔ 

'
2
b) Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm là: ∆ ≥ 0 ⇔ ( m − 2 ) − m + 5 ≥ 0 ⇔ m ≤
2

Lớp 10 (cơ bản)

Trang 6

9
4

Lưu hành nội bộ


Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường

họ c 2011 - 2012

Đề cương ôn tập họ c kì I. Năm

 x1 + x2 = 2m − 4

Khi đó theo định lí viet 

2
 x1 x2 = m − 5

Suy ra
2
x12 + x2 = 26

⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 26
2

⇔ ( 2m − 4 ) − 2 ( m 2 − 5 ) = 26
2

⇔ 2m 2 − 16m = 0
m = 0
⇔
m = 8

( loai )

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3: Giải ptrình sau: x 2 − 3 x + 1 = x − 2 (**)

Hướng dẫn:
Cách 1: Dùng phương trình hệ quả
x 2 − 3x + 1 = x − 2
⇒ x 2 − 3x + 1 = ( x − 2 )

2

⇒ x 2 − 3x + 1 = x 2 − 4 x + 4
⇒ x=3

Thử lại ta thấy x = 3 thoả mãn phương trình (**) .
Vậy phương trình (**) có một nghiệm x = 3.
 Chú ý, với cách giải trên ta không cần đặt điều kiện x 2 − 3 x + 1 ≥ 0
Cách 2: Dùng phép biến đổi tương tương
x 2 − 3x + 1 = x − 2
x − 2 ≥ 0

⇔ 2
2
 x − 3x + 1 = ( x − 2 )

x ≥ 2
⇔ 2
2
 x − 3x + 1 = x − 4 x + 4
x ≥ 2
⇔
x = 3
⇔ x=3

Vậy phương trình (**) có một nghiệm x = 3.
 Học sinh cần chú ý một số phép biến bổi tương đương để khử căn bậc hai
B ≥ 0
A=B⇔
2
A = B

B ≥ 0
A= B⇔
A = B

III. Bài tập luyện tập
Bài 1. Giải các phương trình sau:

a.

x −3 +2 = x −3 + 4

ĐS: PTVN

b. x 2 − x − 4 − x = x − 4 + 12
Lớp 10 (cơ bản)

ĐS: x=4
Trang 7

Lưu hành nội bộ


Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường

họ c 2011 - 2012

c. 2 x + 3 − 2 = 2 x + 3 + x
Bài 2. Giải các phương trình sau:

a.

2x
=
x−2

Đề cương ôn tập họ c kì I. Năm

ĐS: x=2

3
x−2

ĐS: PTVN

x2
9
b.
=
x +1
x +1
2
3x + 1
c. x −
=

x +1 x +1
2
x −2
−5 x − 4
d.
− x −1 =
x −1
x −1
2
e. x + 1 ( 2 x + 5 x + 3) = 0

ĐS: x=3
ĐS: x=3
ĐS: PTVN
ĐS: x=-1

Bài 3. Giải các phương trình sau:

a)

2x +1 = 5

ĐS: x=12
ĐS: x =

b) 2 x + 1 = 2 x − 3

7 + 17
2

c)

x 2 − 7 x + 10 = 8 − x

ĐS: x=6

d)

x2 + x − 2 = 2 x + 4

ĐS: x=-2

e)

2x +1 − 2 = x + 3

ĐS: x=14 + 208
ĐS: x=-6+ 2

f ) 2 x + 14 − x + 7 = x + 5
g) x + 3 + 6 − x −
h)

x+2+

( x + 3) ( 6 − x )

x +1 + 2x − 3 + 2

i)

3 − 2x = x + 2

l)

=0

4 x 2 + 2 x + 1 - 1 = 3x

k)

( x + 2 ) ( x + 1)

ĐS: x=-3 v x=6

3x − 2 = 2x − 1

j)

=3

3x 2 − 9 x + 7 + x - 2 = 0

m)

ĐS: x=1 v x=

x 2 − 4 x − 1 - 2x - 4 = 0

ĐS: x = 0 v x=

x +1

p)

3x 2 − 9 x + 1 =

q)

3
2

ĐS: x=9
ĐS: x =-1

2x + 7 - x + 4 = 0

n)

−7
16
7 + 97
ĐS: x=
8
ĐS: x=0
1
ĐS: x=
3
ĐS: x=

3x + 7 − x + 1 = 2

10
3

ĐS: x=-1

Bài 4. Cho phương trình x + 2 ( m + 2 ) x + m + 2 = 0 .Xác định m để ptrình có hai nghiệm phân thực
2

2

2
2
biệt x1, x2 thoả điều kiện: x1 + x2 − x1 x2 = 46 .
Bài 5. Cho phương trình (m-1)x2+2mx+1=0

Lớp 10 (cơ bản)

ĐS: m=2

Trang 8

Lưu hành nội bộ


Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường
họ c 2011 - 2012

Đề cương ôn tập họ c kì I. Năm

3
8
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm thực trái dấu.
ĐS: m<1
2
Bài 6. Cho phương trình 12 x + 2mx − 3 = 0 .Xác định m để ptrình có hai nghiệm thực phân biệt x1, x2
9
thoả điều kiện: x1 = −4x 2 .
ĐS: m= ±
2
2
Bài 7. Cho phương trình x − x − 2 − m = 0 . Xác định m để ptrình có hai nghiệm thực phân biệt x1, x2
1
3± 2 2
2
2
thoả điều kiện: x 1 − 1 x 2 − 1 = − .
ĐS: m=
9
3
Bài 8: Giải các phương trình
−3 ± 5
2
x+5
=
a) x + 1 +
ĐS x =
x+3 x+3
2

a) Tìm m để phương trình có một nghiệm x=2. Tính nghiệm cịn lại.

(

)(

)

x+3
3 2−x
+ =
x(x − 1) x x − 1
x
x
2x
−
=
c)
2 x − 6 2 x + 2 ( x + 1)( x − 3)

ĐS x = −2

b)

d) 5 +

ĐS: m=

ĐS x ∈ R, x ≠ −1, x ≠ 3

96
2 x − 1 3x − 1
=
+
x − 16 x + 4 x − 4

ĐS PTVN

2

Bài 9: Giải các phương trình sau
15 ± 209
4
ĐS x = 1; x = -4
ĐS x =

a) 2 x 2 − 15 x + 5 − 2 x 2 − 15 x + 11 = 0
b) ( x + 5)(2 − x) = 3 x 2 + 3 x

Chương IV. BẤT ĐẲNG THỨC- BẤT PHƯƠNG TRÌNH
I . Kiến thức, kĩ năng cần đạt được
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
a. Biến đổi tương đương: a>b ⇔ a – b > 0 (tương ứng ≤, ≥, < ).
b. Áp dụng bất đẳng thức cơ bản:
+Bất đẳng thức cơ bản: A 2 ≥ 0 .
Dấu “=” xảy ra ⇔ A = 0
+Bất đẳng thức Cô Si: ∀a, b ≥ 0 , ta ln có

a+b
≥ ab ⇔ a + b ≥ 2 ab

2

Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b
c. Sử dụng tính chất các cạnh trong tam giác.
II . Một số ví dụ:
Ví dụ 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a. a 2 + a > b 2 + b

∀a > b > 0

b. ( a + b + c ) ≤ 3 ( a 2 + b 2 + c 2 )

∀a, b, c ∈ R

c. ( a + b + c ) ≥ 3 ( ab + bc + ca )

∀a, b, c ∈ R

2

2

Lớp 10 (cơ bản)

Trang 9

Lưu hành nội bộ


Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường

Đề cương ôn tập họ c kì I. Năm

họ c 2011 - 2012

Hướng dẫn:
a. Theo giả thiết a > b > 0 nên a – b > 0 và a + b + 1 > 0
2
2
2
2
Do đó ta có: a + a > b + b ⇔ a − b + ( a − b ) > 0 ⇔ ( a − b ) ( a + b + 1) > 0 luôn đúng.

(

)

Vậy a 2 + a > b 2 + b;
∀a > b > 0 .
b. Ta có :
2
3 ( a 2 + b 2 + c 2 ) − ( a + b + c ) = 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 − 2ab − 2bc − 2ca
= ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ 0;
2

2

2

∀a, b, c ∈ ¡

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
c. Ta có

( a + b + c)
=

2

− 3 ( ab + bc + ca ) = a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca

1
1
1
2
2
2
( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ 0 ∀a, b, c ∈ R
2
2
2

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
Ví dụ 2. CMR
a. ( a + b ) ( a.b + 1) ≥ 4a.b ∀a ≥ 0, b ≥ 0
 a  b  c 
b. 1 + ÷1 + ÷1 + ÷ ≥ 8, ∀a, b, c > 0
 b  c  a 
Hướng dẫn:
 a + b ≥ 2 ab


⇒ ( a + b ) (ab + 1) ≥ 4 ab . ab = 4ab; ∀a, b ≥ 0
a. . Ta có: 
 ab + 1 ≥ 2 ab

Dấu “=” xảy ra khi a=b=1.
b. Ta có :
 a
a
1 + ≥ 2 ;
b
 b

b
b
a b c

 a  b   c 
 1 + ≥ 2 ; ⇒ 1 + ÷1 + ÷1 + ÷ ≥ 8 . . = 8
c
c
b c a
 b  c   a 

 c
c
1 + ≥ 2
a
 a


Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
1
a

Ví dụ 3 : Cho a ≥ 2 . Chứng minh rằng a + ≥

5
2

Hướng dẫn:
1

a

1  3a

a 1

3a

3.2

5

= .
Ta có a + =  + ÷+ ≥ 2 . + ≥ 1 +
a 4 a 4
4 a 4
4
2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=2.
III. Bài tập luyện tập:

Lớp 10 (cơ bản)

Trang 10

Lưu hành nội bộ


Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường

Đề cương ôn tập họ c kì I. Năm

họ c 2011 - 2012

Bài 1 : Cho hai số thực dương a,b. Chứng minh rằng

1 1
4
+ ≥
.
a b a+b

(HD : Áp dụng Bất đẳng thức Cô Si)

Bài 2 : Cho ba số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng

1 1 1
8

+ + ≥
.
a b c a +b+c

(HD : Áp dụng Bất đẳng thức Cô Si)

1
1
1
1
1
1
+
+
≥
+
+
Bài 3 : Cho ba số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng
4a 4b 4c 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c

.
(HD : Áp dụng Bất đẳng thức Cô Si)
2
2
2
2
2
Bài 4 : Cho 5 số thực a, b, c, d, e .Chứng minh rằng: a + b + c + d + e ≥ a ( b + c + d + e )
.
(HD : Áp dụng Bất đẳng thức cơ bản)

Bài 5. Cho hai số thực a, b .Chứng minh rằng:
a ) ( 1 + a 2 ) ( 1 + b 2 ) ≥ ( 1 + ab )

2

b) 2a 2 + b 2 + 1 ≥ 2a ( 1 + b )
c ) a 2 + ab + b 2 ≥ 0

Hướng Dẫn

a ) ( 1 + a 2 ) ( 1 + b 2 ) = 1 + a 2b 2 + a 2 + b 2 ≥ ( 1 + ab )

2

b) 2a 2 + b2 + 1 = ( a 2 + b 2 ) + ( a 2 + 1) ≥ 2a ( 1 + b )

c) Sử dụng bất đẳng thức cở bản.
Bài 6. Chứng minh các bất đẳng thức sau và xét xem khi nào đẳng thức xảy ra?
bc ca ab
a)
+ +
≥ a +b+c
∀a , b, c > 0
a
b
c
b) a b − 1 + b a − 1 ≤ ab
∀a , b ≥ 1
a2
1

≤
4
a +1 2
Hướng Dẫn
a) Sử dụng bất đẳng thức côsi
b) Sử dụng bất đẳng thức côsi
c) Sử dụng bất đẳng thức côsi
c)

Bài 7 . Chứng minh bất đẳng thức:
∀a , b, c, d ∈ R , ( ac + bd ) 2 ≤ ( a 2 + b 2 ).( c 2 + d 2 )

(BĐT Bunhiacopxki)

HD: Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa bất đẳng thức về ( ad − bc ) 2 ≥ 0 .
Bài 8 . Chứng minh bất đẳng thức:
a
b
+
≥ a + b , a > 0; b > 0
b
a

HD: Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa bất đẳng thức về:

(

a+ b

)(

a− b

)

2

≥ 0,

Bài 9 . Cho 4 x − 3 y = 15. Chứng minh: x 2 + y 2 ≥ 9
Lớp 10 (cơ bản)

Trang 11

Lưu hành nội bộ


Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường

Đề cương ôn tập họ c kì I. Năm

họ c 2011 - 2012

HD: Rút x hoặc y từ 4 x − 3 y = 15, thế vào x 2 + y 2 .

Bài 10 . Chứng minh: a + b + c ≥ ab + bc + ca với a , b, c ≥ 0
HD: Dùng bất đẳng thức Cô-si đối với 3 cặp (a và b); (b và c); (c và a).
Bài 11 . Chứng minh: ( a + 1)( b + 1)( a + c )( b + c ) ≥ 16abc với a, b, c dương.
Bài 12. Với a bất kì, chứng minh:

a2 + 6
a2 + 2

≥ 4.

PHẦN II. HÌNH HỌC
Vấn đề I. VECTƠ VÀ CÁC PHÁP TỐN CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN VỚI MỘT
SỐ THỰC
I .Kiến thức, kĩ năng cần đạt được
1. Nắm vững các yếu tố liên quan đến vectơ như: giá, độ lớn của vectơ, hai vectơ cùng phương,
cùng hướng, bằng nhau, đối nhau.
2. Nắm vững các qui tắc sau
+) Quy tắc ba điểm: Cho A, B, C là ba điểm bất kỳ, ta có:
uu u u uu
ur ur ur
AB = AC + CB
u u u u uu
ur ur u
r
AB = CB − CA
uu uu uu
ur ur ur
+) Quy tắc hình bình hành: cho hình bình hành ABCD ta có: AB + AD = AC
ur ur r
u u
uu uu
ur ur
uu
ur
+) Nếu I là trung điểm đoạn AB ta có: IA + IB = 0 ⇔ ∀M , MA + MB = 2MI

uu uu uu r
ur ur ur
uu uu uu
ur ur uu u u
r
uu
r
+) Nếu G là trọng tâm ∆ ABC ta có: GA + GB + GC = 0 ⇔ ∀M , MA + MB + MC = 3MG
3. Vận dụng các qui tắc trên để giải một số dạng toán thường gặp:
+ Chứng minh một đẳng thức vec tơ.
+ Xăc định điểm M thoả mãn một đẳng thức vec tơ cho trước.
+ Tính một vec tơ theo hai vec tơ không cùng phương .
+ Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
II. Một số ví dụ:
uu uu
ur ur

uu uu
ur ur

Ví dụ 1: Cho bốn điểm A, B, C, D bất kỳ. Chứng minh rằng: AB − CD = AC − BD
Hướng dẫn:
Cách 1 : Dùng phép biếnrđổiur u u u u u u u u u u u u u u
tương đươngr ur ur ur
u u u u u u ur
ur u
u
ur ur
Ta có : AB − CD = AC − BD ⇔ AB + BD = AC + CD ⇔ AD = AD (Đpcm)
Cách 2 : Biến đổi vế trái thành vế phải

uu u u u u uu uu uu u u uu
ur ur ur ur
ur ur
ur ur
Ta có VT = AB − CD = AC + CB − CB + BD = AC − BD =VP (Đpcm)
Cách 3 : Biến đổi vế phải thành vế trái
uu uu uu uu uu uu uu uu
ur ur ur ur
ur ur
ur ur
Ta có VP = AC − BD = AB + BC − BC + CD = AB − CD =VT (Đpcm)

(

)

(

)

Ví dụ 2: Cho sáu điểm A, B,rC, u u E,uF. Chứng u u urằng:
D,
minh u
u u ur ur u u ur ur
u
u ur
AD + BE + CF = AE + BF + CD

Hướng dẫn:
Cách 1 : Dùng phépr biếnuđổiur u u u u u u

tương đương
u u u r u u ur ur ur
u
u
Ta có : AD + BE + CF = AE + BF + CD
Lớp 10 (cơ bản)

Trang 12

Lưu hành nội bộ


Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường
họ c 2011 - 2012

Đề cương ôn tập họ c kì I. Naêm

uu uu
ur ur
uu uu
ur ur
uu uu r
ur ur
⇔ ( AD − AE ) + ( BE − BF ) + (CF − CD ) = 0
uu uu uu r
ur ur ur
⇔ ED + FE + DF = 0
uu uu uu r
ur ur ur
⇔ u u + DF + FE = 0

ED r
ur
⇔ EE = 0 (Đpcm)

Cách 2 : Biến đổi vế trái thành vế phải
Ta có :
uu uu uu
ur ur ur

AD + BE + CF
uu uu uu uu uu uu
ur ur ur ur ur ur
= AE + ED + BF + FE + CD + DF
uu uu uu uu uu uu
ur ur ur ur ur ur
= AE + BF + CD + ED + DF + FE
uu uu uu uu
ur ur ur ur
= AE + BF + CD + EE
uu uu uu
ur ur ur
= AE + BF + CD

Cách 3 : Biến đổi vế phải thành vế trái
(Học sinh tự làm)
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC . Hãy xácu u u u u thoả điều kiện:
định điểm M
u r ur uu r
u
r

MA − MB + MC = 0

Hướng dẫn:

uu uu uu r
ur ur uu
r
uu u u r
u uu
r
r
u ur u u
uu u
r
Từ MA − MB + MC = 0 ⇔ BA + MC = 0 ⇔ CM = BA

A

B

M
C
Vậy M là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM.
uu uu uu uu r
ur ur uu u u
r
r
Ví dụ 4: Cho tứ giác ABCD . Hãy xác định điểm M thoả điều kiện: MA + MB + MC + MD = 0
Hướng dẫn:
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Tau : ur u u u u r
u r u u uu u u
ucó
r
r
MA2 MB + MC2 43 = 0
14 + 4
3 14 + MD
uu
ur
uu r
ur
⇔ 2ME + 2 MF = 0
uu uu r
ur u r
⇔ ME + MF = 0

Vậy M là trung điểm EF.
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC. Gọiu là trung điểm của cạnh AC.
D
ur
u
Hãy biểu diễn vec tơ BD theo các vec tơ :
u u uu
ur u
r
a ) BC , CA

uu u u
u ur

r
b) BA, AC

Hướng dẫn:

u u 1 uu u u 1 u u uu u u u u 1 uu
ur
u ur
r
ur u ur
r
ur
u
r
a. Ta có BD = BA + BC = BC + CA + BC = BC + CA .
2
2
2
u u 1 u u u u 1 u u u u u u uu 1 u u
ur
u ur
r
u u ur
r
r
u
r
ur
b. Ta có BD = BA + BC = BA + BA + AC = BA + AC
2

2
2

(

)

(

(

)

A

)

(

)

D
B

C

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC trọng tâm G. Gọi D và E là các điểm xác định bởi
uu
ur

uu
ur

uu
ur

uu
ur

uu
ur
uu uu 2 uu
ur
ur
ur
AD = 2 AB, AE = AC .
5

a) Tính DE và DG theo AB và AC .
b) CMR ba điểm D, G, E thẳng hàng.
Lớp 10 (cơ bản)

Trang 13

Lưu hành nội boä


Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường

Đề cương ôn tập họ c kì I. Năm

họ c 2011 - 2012

Hướng dẫn:

uu uu uu 2 uu uu 2 uu
ur ur ur
ur
ur
ur
uu
ur
a. DE = AE − AD = AC − 2 AB = AC − 5 AB ( 1)
5
5
uu uu uu 1 uu uu
u r ur ur
ur ur
uu 1 uu 5 uu 1 uu uu
ur
ur
ur
ur
ur
DG = AG − AD = AB + AC − 2 AB = AC − AB = AC − 5 AB
3
3
3
3
uu 5 uu

ur
ur
b. Từ (1) và (2) suy ra: DG = DE
6
uu
ur
uu
ur
Vậy DE và DG cùng phương nên ba điểm D, G, E thẳng hàng.

(

(

)

)

(

)

( 2)

III. Bài tập luyện tập:
Bài 1. Cho bốnrđiểm A,u u C,ur Chứng minh rằng :
B, D.
u u u u ur u u
u
ur

AB − CD = AC + DB
a)
uu uu uu uu
ur ur ur ur
b) AB + CD = AD + CB
Bài 2. Cho u ugiácu u u Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD. I là trung điểm của EF. CMR
tứr u r
ABCD.
u
u
ur
a) AC + BD = 2 EF
ur ur ur ur r
u u u u
b) IA + IB + IC + ID = 0 .
uu uu uu uu
ur ur ur ur
ur
u
c) OA + OB + OC + OD = 4OI với điểm O tuỳ ý.
Hướng dẫn u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u
u u u u ur ur ur ur ur ur
ur ur
ur ur ur ur ur
a) AC + BD = AE + EF + FC + BE + EF + FD = 2EF + AE + BE + FC + FD = ...
b) Sửng dụng qui tắc trung điểm.
c) Sử dụng kết quả câu b)
Bài 3. Cho tam giác ABC . ur I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB.
Gọi
u r uu u u r

u u
r
a) CMR AI + BJ + CK = 0
uu uu uu r
ur ur ur
uu u u u u
u ur ur
r
uu
ur
b) Gọi O là trung điểm AI. CMR 2OA + OB + OC = 0 và 2 EA + EB + EC = 4 EO với E là điểm
bất kỳ.
Bài 4. Chou uđiểmrA,u u C, ur E ur F.ur
6 r u u ur uD, uvà u u
B,
Chứng minh rằng
u
u
u
u
a) AD + BE + CF = AE + BF + CD
uu uu uu uu uu uu
ur ur ur ur ur ur
b) AB + CD + EF = AD + CF + EB
uu uu uu uu uu uu
ur ur ur ur ur ur
c) AE + BC + DF = AC + BF + DE
uu u u u u u u
u
r ur ur ur

d) AB + DC = AC + DB
uu uu uu uu uu uu
ur uu u r ur u u u r
r
r
Bài 5. Cho lục giác đều ABCDEF. CMR: MA + MC + ME = MB + MD + MF ∀M
Bài 6. Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M là trung điểm BC, I là trung điểm AG
CMR :
ur ur ur r
u u u
a) 4 IA + IB + IC = 0
uu uu uu
ur ur ur
ur
u
b) Với điểm O bất kỳ ta có 4OA + OB + OC = 6OI
Hướng dẫn ur ur u u ur u r
ur ur u
u u
u
ur
u
u
a) 4 IA + IB + IC = 4 IA + 2 IM = 4 IA + 4 AI
b) Sử dụng câu a)
Bài 7.uCho hình bình hành ABCD, N là trung điểm CD, M là điểm trên đoạn AB sao cho AB = 3AM.
ur
u
u ur
uu

uu
ur
Tính AN theo các vec tơ AM và AD .
Hướng dẫn
uu 1 uu uu
ur
ur ur
u u 3 u ur
ur
uu
AN = AD + AC = ... = AD + AM
2
2

(

Lớp 10 (cơ bản)

)

Trang 14

Lưu hành nội bộ


Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường

Đề cương ôn tập họ c kì I. Năm

họ c 2011 - 2012

u ur
uu

uu uu
ur ur

uu uu
ur ur

uu
ur

Bài 8. Cho tứ giác ABCD . Dựng các điểm M, N, P thoả AM = 2 AB , AN = 2 AC , AP = 2 AD.
u ur
uu
uu uu
ur
ur
uu
ur
a) Tính MN theo BC , NP theo CD
b) CMR: M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi B, C, D thẳng hàng.
Hướng dẫnu u u u
u ur
uu
ur
ur
uu
ur

a) MN = 2 BC , NP = 2 CD
b) Sử dụng câu a).
ur
u
uu
ur
Bài 9. Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên AB sao cho AI = 2 AB , J là điểm trên AC sao cho
u u uu
ur
u
r
3 AJ = 2 JC .
ur
u

a) CMR : IJ =

ur
ur
2 uu uu
AC − 5 AB .
5

(

)

uu uu
ur ur

ur
u

b) G là trọng tâm tam giác ABC . Tính IG theo AB, AC .
c) CMR : ba điểm I, J, G thẳng hàng.
Hướng dẫn
uu
ur

uu
u
r

uu
ur

ur
2 uu
5

a) Sử dụng 3 AJ = 2 JC ⇔ AJ = AC
ur
ur
5 uu 1 uu
AC
3
3

ur
u

b) IG = − AB +

Vấn đề 2: HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ VÀ TÍCH VƠ HƯỚNG
I. Kiến thức, kĩ năng cần đạt được:
1. Nắm vững tọa độ của các phép toán, các công thức liên quan đến tọa độ sau

r

r

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho vectơ a = ( a1 ; a2 ) ; b = ( b1 ; b2 ) ; và các điểm

A ( x A ; y A ) ; B ( xB ; y B ) ; C ( xC ; yC ) , khi đó:

r r
a1 = b1
a=b⇔
a2 = b2
r r
a ± b = ( a1 ± b1 ; a2 ± b2 )
r
u u
r u
r
k .a = k .a1 ; k .a2
rr
a.b = a1.b1 + a2 .b2
r r
a ⊥ b ⇔ a1.b1 + a2 .b2 = 0

r
2
a = a12 + a2
uu
ur
AB = ( xB − x A ; y B − y A )

(

)

AB = ( xB − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2
r r
a1.b1 + a2 .b2
cos a, b =
2
2
a12 + a2 . b12 + b2

( )

Lớp 10 (cơ bản)

Trang 15

Lưu hành nội bộ


Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường

Đề cương ôn tập họ c kì I. Năm

họ c 2011 - 2012

x +x +x

xG = A B C


3

 y = y A + yB + yC
 G
3


Trọng tâm tam giác ABC là G ( xG ; yG ) , khi đó

x +x

xI = A B


2
Trung điểm đoạn thẳng AB là I ( xI ; yI ) , khi đó 
 y = y A + yB
 I

2
2. Vận dụng thành thạo các cơng thức trên vào giải tốn.

II. Một số ví dụ

(

rr

)

r

r

r r r r r

r

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng O, i, j cho a = 2i − 3 j , b = i + j , c = −i

r

r r r

a. Xác định toạ độ các vec tơ: a, b, c .
r
r r
r r
c. Tìm tọa độ của vectơ v thỏa v + b = 2a − 3c
Hướng dẫn
r
r

r

r r

b. Tìm tọa độ của vectơ u = 2a − b
r
r r
d. Phân tích vec tơ c theo a, b

a. a = ( 2, −3) , b = ( 1,1) , c = ( −1, 0 )

r
2a = ( 4, −6 )  r

b. Ta có r
 ⇒ u = ( 3, −7 )
b = ( 1,1) 

r r
r r
r
r r r r r
c. Ta có: v + b = 2a − 3c ⇔ v = 2a − b − 3c = u − 3c = ( 6, −8 )
−1

r
r
r
α = 5

2α + β = −1 
⇔
d. Giả sử c = α a + β b ⇔ 
−3α + β = 0
 β = −3

5

r −1 r 3 r
Vậy c = a − b
5
5

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho A(1;1),uB(5;2), C(4;4).
u u u r uu
ur u u
r
a. Xác định toạ độ các vec tơ: AB, BC , CA .
b. Chứng minh A, B, C là ba đỉnh một tam giác.
c. Tính chu vi tam giác ABC.
r
uu uu
ur ur
d. Tìm toạ độ u = 2 AB − BC
e. Tìm toạ độ trung điểmr Mur đoạn AB và trọng tâm G của tam giác ABC.
của
uu uu
u
f. Tính tích vơ hướng AB. BC
Hướng dẫn:

uu
ur
uu
ur
uu
u
r
a. Ta có: AB = ( 4;1) , BC = ( −1; 2 ) , CA = ( −3; −3)
b. Vì

uu uu
ur ur
4 1
≠ nên hai vec tơ AB, BC không cùng phương
−1 2

Suy ra A, B, C không thẳng hàng hay A, B, C là ba đỉnh một tam giác.
uu
ur
uu
ur
uu
ur
c. Ta có: AB = 17, BC = 5, AC = 3 2 nên chu vi tam giác ABC là: 17 + 5 + 3 2
Lớp 10 (cơ bản)

Trang 16

Lưu hành nội bộ

Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường

Đề cương ôn tập họ c kì I. Năm

họ c 2011 - 2012
r
uu uu
ur ur
d. Ta có u = 2 AB − BC = ( 2.4 − ( −1) ; 2.1 − 2 ) = ( 9;0 )


3

 10 7 

e. Ta có : M  3; ÷, G  ; ÷
 2
 3 3
uu uu
ur ur
f. Ta có: AB. BC = 4.(-1) + 1.2 = -2
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A(2;1), B(-1; 2), C(1;-3).
a. Tìm tọa độ điểm E thuộc trục Ox sao cho A, B, E thẳng hàng.
b. Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
c. Tìm tọa độ điểm F là điểm đối xứng của A qua B.
d. Tìm tọa độ điểm K sao cho A là trọng tâm tam giác BCK
e. Tính góc A của tam giác ABC.
Hướng dẫn:
a. Giả sử E(xE ; 0).

uu
ur
uu
ur
Ta có: AB = ( −3;1) , AE = ( xE − 2; −1)
uu
ur

uu
ur

Khi đó A, B, E thẳng hàng khi AB cùng phương với vectơ AE ⇔
Vậy E(5; 0).
b. Giả sử D(xD ; yD). u u
uu
ur
ur
Ta có: AB = ( −3;1) , DC = ( 1 − xD ; −3 − yD )
uu
ur

uu
ur

xE − 2 −1
=
⇔ xE = 5
−3
1

1 − xD = −3
x = 4
⇔ D
−3 − yD = 1  y D = −4

Khi đó ABCD là hình bình hành khi AB = DC ⇔ 
Vậy D(4; -4).
c. Giả sử F(xF ; yF).

 xF = 2 xB − x A = −4
 yF = 2 yB − y A = 3

Theo giả thiết, B là trung điểm của FA nên 
Vậy F(-4; 3)
d. Giả sử K(xK ; yK).

 xK = 3 xA − xB − xC = 6
 yF = 3 y A − y B − yC = 4

A là trọng tâm tam giác BCK nên 
Vậy K(6; 4).
uu
ur
uu
ur
e. Ta có AB = ( −3;1) , AC = ( −1; −4 )

uu uu
ur ur
uu uu

ur ur
AB. AC
−1
ur ur
Khi đó cos A = cos AB, AC = u u u u =
10. 17
AB AC

(

)

Vậy µ ≈ 94023’55’’
A
III. Bài tập luyện tập

r
r
u
u
r
Bài 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho u = ( 1; 2 ) , v = ( −2;3) , w = ( −1;1) .
r r

r r

r

r

a) Tìm toạ độ của các vec tơ: u + v , u − v, 3u + 2v
r

r

b) Tìm m để c = ( m;6 ) cùng phương với u .
r
r r
r u
u
r
c) Tìm toạ độ a sao cho a + u = −2v + w .
Lớp 10 (cơ bản)

Trang 17

ĐS: m = 3
Lưu hành nội bộ


Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường
họ c 2011 - 2012

r

Đề cương ôn tập họ c kì I. Năm

r u
u
r

d) Phân tích u theo hai vec tơ v, w .
r
r
Bài 2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho a = ( 1; 2 ) , b = ( 3; 4 ) . Tìm toạ độ vec tơ
u
r

r

r

r

r r

a) m = 2a − 3b
b) n = 3a + b .
Bài 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A(-5;6), B(-4;-1), C(4;3).
a) Tìm tọa độ điểm M sao cho u u trung điểm BM.
A rlà u u r
u
ur
b) Tìm toạ độ điểm N sao cho NA + 2 NB = 0 .
c) Cho P(2x + 1, x - 2). Tìm x để 3 điểm A, B, P thẳng hàng.
d) Đường thẳng BC cắt 2 trục tọa độ tại E, F. Tìm tọa độ E, F
e) Chứng tỏ A, B, C là ba đỉnh một tam giác. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
f) Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
g) Tìm tọa độ điểm Q sao cho B là trọng tâm tam giác ABQ.
h) Tính các góc của tam giác.




3

Bài 4. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A ( 1; 2 ) , B  3; ÷Tìm toạ độ điểm C đối xứng với A qua B.
2


Hướng dẫn:
 xC = 2 xB − x A
 yC = 2 yB − y A

C đối xứng với A qua B ⇔ B là trung điểm AC ⇔ 

Bài 5. Trong mặt phẳng u ur độ Oxy chor A(1;-2), B(0;4), C(3;2). Tìm toạ độ của :
toạ
uu uu u u
ur
u
a) Điểm M biết CM = 2 AB − 3 AC .
uu
ur u u u u r
ur
ur
b) Điểm N biết AN + 2 BN − 4CN = 0 .
Bài 6. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A(-3;6), B(9;-10), C(-5;4).
a) Tính chu vi tam giác ABC.
b) Tìm toạ độ trọng tâm G, tâm đường trịn ngoại tiếp I, và trực tâm H của tam giác ABC.
c) Chứng minh I, G, H thẳng hàng và IH = 3IG.

Hướng dẫn
b) Gọi I(xI; yI). I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC ⇔ IA = IB =IC
uu uu
ur ur
 HA.BC = 0

ur ur
Gọi H(xH; yH). H là trực tâm ∆ ABC ⇔  u u u u
 HB. AC = 0


Bài 7. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A(1;-1), B(5;-3), đỉnh C trên trục Oy và trọng tâm G trên trục
Ox. Tính toạ độ của C, G.
Hướng dẫn
Vì C ∈ Oy nên C(0; c); Vì G ∈ Ox nên G(g, 0)
Vì G là trọng tâm ∆ ABC nên 1 + 5 + 0 = 3g => g. Từ đó ta có c
Bài 8. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A(1;2), B(0;3), C(-1;1).
a) Chứng tỏ A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
b) Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
c) Tìm điểm M trên Oy sao cho A, B, M thẳng hàng.
Bài 9. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A(1;1), B(2;4), C(10;-2).
a) CMR tam giác ABC vuông tại A.
b) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
c) Tìm M thuộc trục Ox cách đều A, B
d) Tính cosB và cosC.
Hướng dẫn
Lớp 10 (cơ bản)

Trang 18

Lưu hành nội bộ


Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường

Đề cương ôn tập họ c kì I. Năm

họ c 2011 - 2012
uu uu
ur ur
a) Tính AB. AC = 0 suy ra tam giác ABC vng tại A.
1
b) Tính AB, AC suy ra diện tích S = AB.AC
2
c) M ∈ Ox nên M(m, 0). M cách đều A, B nên MA = MB
Bài 11.Cho A(2;-3) B(5;1) C(8;5)
a) Xét xem ba điểm đó có thẳng hàng khơng ?
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tam giác ABD nhận gốc O làm trọng tâm
c) Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AC
Bài 12. Cho ∆ABC : A(1;1), B(-3;1), C(0;3). Giải sử A, B, C lần lượt là trung điểm của MN, NP, PM.
Tìm tọa độ các điểm M, N, P và chứng minh rằng 2 tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.
Hướng dẫn
Sử dụng hình bình hành ABCM tìm được M, từ đó tìm các điểm N, P
= = = = = = = = = = = = = = Hết = = = = = = = = = = = = = =

Trường THPT Vạn Tường
Tổ Toán -Tin

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I . NĂM HỌC 2010 -2011
Mơn : Tốn khối 10 (Chương trình chuẩn)

Thời gian : 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu I (1 điểm)
Hãy xác định tập hợp sau dưới dạng liệt kê các phần tử:
2
A = { x ∈ Z /( x + 1)( x − 5 x + 4) = 0}

Câu II (2 điểm)
Cho hàm số : y = x 2 − 4 x + 3
1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
2. Tìm m để phương trình x 2 − 4 x + 3 = m có hai nghiệm phân biệt.
Câu III.(3 điểm)
1. Giải các phương trình sau:
2
a) x + 1 = x − 3x + 5

b) 2 x + 1 = x − 1
2. Cho ba số thực dương a, b, c.
Chứng minh rằng

a b
c 1 1 1
+ +
≥ + +
bc ac ab a b c

Câu IV (4 điểm):
→

1. Cho hình bình hành ABCD có tâm I. Gọi M là trung điểm của AI. Hãy phân tích AM theo

→
→
AB và AD .
Lớp 10 (cơ bản)

Trang 19

Lưu hành nội bộ


Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường

Đề cương ôn tập họ c kì I. Năm

họ c 2011 - 2012

2. Trong mặt phẳng Oxy cho A(-5;1), B(-2;3), C(2;-3)
a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
b) Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB, tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.
c) Chứng minh tam giác ABC vng. Tính diện tích tam giác ABC.

…………………………..Hết…………………………..
(Giáo viên coi thi khơng giải thích gì thêm)

Họ và tên……………………………..Lớp …………. Phòng thi …………………………
Câu
Câu I

Lời giải gợi ý
A = {-1;1;4}

1. (1.5 điểm)
• Tập xác định :D=R
• Đỉnh:I(2;-1)
• Trục đối xứng x = 2
• Bảng biến thiên:
x
-∞
y
+∞

Điểm
1.0
0.25
0.25
0.25
+∞
+∞

2

-1

0.25

• Đồ thị:
 Giao điểm của (P) với trục Oy (0;3)
 Giao điểm của (P) với trục Ox là (1;0) , (3;0)
y

Câu II

(2
điểm)

f(x)=x^2-4x+3
x(t)=2 , y(t)=t

5

x
-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

0.5
-5

2. (0.5 điểm)
Số nghiệm của phương trình x 2 − 4 x + 3 = m là số giao điểm của (P) và

đường thẳng y=m.
Lớp 10 (cơ bản)

Trang 20

0.25

Lưu hành nội bộ


Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường

Đề cương ôn tập họ c kì I. Năm

họ c 2011 - 2012

Dựa vào đồ thị (P) ta thấy phương trình x 2 − 4 x + 3 = m có 2 nghiệm
phân biệt khi m>-1.
2
1. x + 1 = x − 3x + 5

(1)
x + 1 = x 2 − 3x + 5

0.25

• Với x ≥ -1 ,phương trình (1) trở thành ⇔ x 2 − 4 x + 4 = 0
⇔x=2

0.25

Ta thấy x =2 thỏa x ≥ -1 nên x=2 là nghiệm phương trình.
• Với x<-1 , phương trình (1) trở thành

0.25

− x − 1 = x − 3x + 5 ⇔ x − 2 x + 6 = 0
2

2

0.25

Phương trình này vơ nghiệm
Vậy phương trình (1) có nghiệm x=2.
2. 2 x + 1 = x − 1 (2)

( 2 ) ⇒ 2 x + 1 = ( x − 1)

2

⇒ 2 x + 1 = x2 − 2 x + 1

Câu III
(3
điểm)

0.25

0.25

⇒ x2 − 4x = 0
x = 0
⇒
x = 4

0.25

• Thử lại chỉ có x = 4 thỏa mãn phương trình.
Vậy nghiệm của phương trình (2) là x = 4.

0.25
0.25

2. (1 điểm).Vì a, b,c >0 nên ta có:
a b
a b
a b
1
+
≥2
. ⇒ +
≥2
bc ac
bc ac
bc ac
c

0.25

a
c
a c
a
c
1
+
≥2
.
⇒ +
≥2
bc ab
bc ab
bc ab
b

0.25

b
c
b c
b
c
1
+
≥2
.
⇒
+
≥2

ac ab
ac ab
ac ab
a
a
b
c
1 1 1
( ∀a, b, c > 0) .Dấu “=” xãy ra khi a=b=c.
+
+
≥ + +
Suy ra
bc ac ab a b c
→
→
1 → 1 → 1 →
 1 → 1 →
AM = AI = AC =  AB + AD ÷ = AB + AD
2
4
4
4
 4

0.25

→

AB = ( 3; 2 ) ;

Ta có

1.0
0.5

→

AC = ( 7; −4 )

3 2
→
→
≠
nên AB và AC không cùng phương
7 −4

Suy ra 3 điểm A, B ,C không thẳng hàng.
Vậy A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
−7
a. Tọa độ trung điểm I của AB:I( ;2)
2
Lớp 10 (cơ bản)

0.25

Trang 21

0.25
0.25

0.5
Lưu hành nội bộ


Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường
họ c 2011 - 2012

Đề cương ôn tập họ c kì I. Naêm

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: G(

−5 1
; )
3 3

0.5

→

AB = ( 3; 2 )
Câu IV
(4
điểm)

→

→

→

BC = ( 4; −6 ) ⇒ AB . BC = 3.4 + 2. ( −6 ) = 0
→

0.25

→

⇒ AB ⊥ BC ⇒ ∆ABC vuông tai B
1
BA.BC
2
BA = 13

0.25

BC = 2 13

0.25

S ∆ABC =

⇒ S ∆ABC =

1
13.2 13 = 13 ( dvdt)
2

0.25

* Lưu ý: Mọi cách giải khác nếu đùng đều cho điểm tối đa theo thang điểm.

Lớp 10 (cơ bản)

Trang 22

Lưu hành nội bộ