TÀI LIỆU MÔN HỌC LÝ THUYẾT MẠCH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
KHOA CƠ HỌC KỸ THUẬT VÀ TỰ ĐỘNG HÓA
BỘ MÔN CƠ ĐIỆN TỬ







TÀI LIỆU MÔN HỌC
LÝ THUYẾT MẠCH
(Tài liệu dùng cho sinh viên lớp QH-2005-I/CQ-H)












Hà Nội, 2008

1
Chương 1: Những khái niệm cơ bản về mạch điện

1.1 Graph Kirchoff
1.1.1 Định nghĩa Graph Kirchoff
Xây dựng mô hình mạch điện Kirchoff để mô tả sự phân bố năng lượng, tín hiệu (u(t),
i(t)) điện từ trong thiết bị điện, điện tử. Từ mô hình thu được, xây dựng các phương
pháp phân tích, tính toán để đánh giá (định tính, định lượng) năng lượng, tín hiệu điện
từ (u(t), i(t)).
Khi thiết bị điện từ thoả mãn điều kiện mạch hoá thì ta chọn biến đo quá trình là dòng
điện i(t) và điện áp u(t) với công suất tương ứng p(t)=u(t)i(t)
Qui ước mô tả mỗi vùng năng lượng điện từ bằng cung định chiều (
 
)(),( tuti
) trên
đó gắn với dòng điện i(t) và điện áp u(t), ứng với công suất p(t)=u(t)i(t). Sự chắp nối các
cung giống như sự chắp nối các vùng năng lượng trong thiết bị điện. Hình được thành
lập theo qui ước đó được gọi là mô hình mạch Kirchoff (hay Graph Kirchoff).










Hình 1.1 Cung định chiều

Hình 1.2 Ví dụ Graph Kirchoff
1.1.2 Một số khái niệm trên Graph Kirchoff

 Nhánh: là các cung định chiều
 Đỉnh (nút): là chỗ gặp nhau của các cành
 Graph: là một tập d điểm gọi là đỉnh (nút) và một tập n nhánh nối (liên thông) giữa
các đỉnh đó
 Cây: là một tập nhánh với đầy đủ các đỉnh nhưng không tạo thành vòng
 Cành: là các nhánh tạo thành cây, số cành của cây c=d-1, với d là số đỉnh của cây
 Bù cây: là tập nhánh khi lắp vào cây thì tạo thành Graph
 Bù cành: là các nhánh của bù cây
 Vòng (tập kín): là tập nhánh khép thành một vòng kín
 Đường: Một đường giữa 2 đỉnh là một tập nhánh liên thông 2 đỉnh đó, và thường qui
ước thêm chúng không làm thành một tập kín nào.

2
 Tập cắt: Trên Graph (ví dụ) khoanh một mặt kín S1 tách ra một số nhánh và đỉnh
hoàn toàn nằm trong S1 (ví dụ nhánh 5 và đỉnh 3, 4). Sẽ có một số nhánh (ví dụ 1, 2,
3, 4) chui qua S1. Chúng có tính chất liên thông những đỉnh nằm ngoài với những
đỉnh trong S1, do đó nếu ngắt bỏ chúng đi sẽ cắt rời ra một bộ phận graph bao trong
S1, tức là làm tăng thêm số liên thông. Ta gọi một tập nhánh như vậy là một tập cắt.
Gắn với mỗi đỉnh là một tập cắt đơn giản nhất, khi ngắt bỏ chúng đi sẽ cắt rời đỉnh
ấy khỏi phần Graph còn lại. Ví dụ gắn với đỉnh 1 có tập cắt 1, 2, 6 chui qua mặt kín
S2.

1.1.3 Các luật trên Graph Kirchoff
a) Luật Kirchoff 1
Khi thiết bị điện thỏa mãn những điều kiện mạch hóa để có thể xây dựng sơ đồ mạch
Kirchoff, ta coi ở mỗi thời điểm t dòng dẫn )(t
k
i có giá trị như nhau dọc theo vật dẫn thứ
k. Do đó ở mọi điểm trên mỗi vật dẫn không đâu có ứ đọng dòng dẫn, nó chảy liên tục
một cách tức thời dọc các vật dẫn. Với một mặt kín S ứng với một tập cắt bất kỳ, trường

hợp đơn giản nhất là tập cắt đỉnh. Do dòng dẫn không ứ đọng ở mọi điểm trên nhánh kể
cả đỉnh nhánh, nên ở mọi thời điểm tổng các dòng dẫn chảy vào S phải bằng tổng các
dòng chảy ra khỏi S. Định luật Kirchoff 1 cho các tập cắt phát biểu như sau:
Tổng đại số dòng dẫn trên một tập cắt trượt tiêu, hoặc trường hợp đơn giản nhất: Tổng
đại số dòng điện chảy vào (hoặc ra) một đỉnh trượt tiêu.
0

k
i (1.1)
Ví dụ tại đỉnh 1 trong hình 1.2:
0
621
 iii
b) Luật Kirchoff 2
Với điều kiện mạch hóa ta đã chấp nhận giả thiết về sự phân bố thế dọc theo các vật dẫn
trong thiết bị điện. Vì vậy đi theo một vòng hay một tập kín trên thiết bị điện hoặc trên
Graph Kirchoff trở lại điểm xuất phát, ta sẽ trở lại thế cũ với lượng tăng thế bằng không.
Định luật Kirchoff 2 cho các vòng phát biểu như sau:
Tổng đại số các điện áp trên một vòng (hay một tập kín) trượt tiêu.
0

k
u (1.2)
Ví dụ lấy chiều đi vòng thuận kim đồng hồ làm chiều dương trong phép tổng (1.2), đối
với tập kín 1, 2, 5 trong hình 1.2 ta sẽ có:
0
521
 uuu
c) Ví dụ
Cho một Graph Kirchoff như hình 1.3 trên đó đã định chiều dương cho các biến dòng

áp. Hãy viết phương trình cân bằng dòng cho các tập cắt đỉnh, và phương trình cân bằng
áp cho các mắt lưới (các vòng).
Giải: Qui ước chiều dương dòng là chiều hướng vào các đỉnh, ứng với các tập cắt dính
với các đỉnh 1, 2, 3, 4 lần lượt ta có các phương trình sau:
0
641
 iii
0
542
 iii

0
653
 iii

3
1 2 3
0
i i i
   

Ứng với các vòng I, II, III với chiều dương áp đã chọn cho các vòng, lần lượt ta có:
0
421
 uuu
0
532
 uuu
0
654

 uuu

Hình 1.3

1.1.4 Mô tả Graph bằng các bảng số và ma trận
a) Bảng số nhánh - đỉnh A
Một Graph định chiều hữu hạn được hoàn toàn xác định nếu ta chỉ rõ tập d đỉnh đánh
số, tập n nhánh đánh số và chỉ rõ mỗi nhánh định chiều nối liền cặp đỉnh nào. Có thể mô
tả những điều ấy bằng bảng số nhánh - đỉnh A như sau:

Lập một bảng chữ nhật có d cột đánh số mô tả các đỉnh, n hàng đánh số mô tả các
nhánh. Nếu một nhánh định chiều thứ k nối từ đỉnh p tới đỉnh q, thì trên hàng k ta sẽ ghi
số 1 vào ô thuộc cột p và số -1 vào ô thuộc cột q. Trên các ô còn lại ghi số 0.
Ví dụ:

Đỉnh
Nhánh
1 2 3 4
1 1 0 -1 0
2 1 0 0 -1
3 0 -1 1 0
4 0 -1 0 1
5 0 0 1 -1
6 -1 1 0 0
Bảng 1.1 Bảng số nhánh - đỉnh A

4


Hình 1.4

Hình 1.5

Hình 1.6

Bảng số nhánh - đỉnh có các tính chất sau:
 Theo định nghĩa, cặp số 1, -1 trên mỗi hàng của một nhánh định chiều chỉ rõ nhánh
ấy nối từ đỉnh nào đến đỉnh nào. Đối với Graph Kirchoff nó còn nói rõ chiều dương
của dòng trên nhánh ấy chảy từ đỉnh nào tới đỉnh nào, và điện áp nhánh ấy bằng
hiệu số thế của cặp đỉnh nào. Ví dụ từ bảng 1.1, hàng 5 cho ta biết sơ đồ nhánh 5
như hình 1.5 và
435

u

 Những số 1, -1 trên cột một đỉnh chỉ rõ nhánh nào rời khỏi đỉnh (số 1) và nhánh nào
đi tới đỉnh (số -1). Ví dụ cột 3 trên bảng 1.1 chỉ rõ sơ đồ đỉnh như hình 1.6.

Đối với Graph Kirchoff mỗi cột nói rõ trong các nhánh nối với đỉnh đang xét, dòng
nhánh nào có chiều dương rời khỏi đỉnh (theo qui ước ở đây là số 1), dòng nhánh
nào có chiều dương chảy tới đỉnh (số -1). Vậy mỗi cột cho ta các hệ số của phép
tổng đại số các dòng nhánh rời khỏi một đỉnh.

Ví dụ cột 3 trong bảng 1.1 cho ta sơ đồ đỉnh 3 như hình 1.6 và phương trình cân
bằng các dòng nhánh rời khỏi đỉnh đó:
0
531
 iii

 Vì mỗi hàng đều có đủ một cặp số 1, -1 nên trong d cột của bảng số A thừa ra một
cột. Có thể tuỳ ý bỏ đi một cột mà bảng số với d-1 cột vẫn mang đủ tin tức về cấu
trúc của Graph, vì có thể khôi phục dễ dàng cột đã bỏ.


5
Để tiện tính áp nhánh và viết phương trình cân bằng dòng ta thường bỏ đi cột ứng
với đỉnh mốc được chọn có thế bằng 0. Ta gọi bảng như vậy là bảng số nhánh - đỉnh
đủ, ký hiệu là
A
hoặc
k
A
để chỉ rõ đỉnh mốc thứ k.
Ví dụ đối với bảng 1.1, chọn đỉnh 4 làm mốc ta có:

Đỉnh
Nhánh
1 2 3
1 1 0 -1
2 1 0 0
3 0 -1 1
4 0 -1 0
5 0 0 1
6 -1 1 0
Bảng 1.1 Bảng số nhánh - đỉnh đủ

Ma trận A:
Đối với Graph Kirchoff, sẽ phát huy được tác dụng của bảng số A nếu coi nó là ma trận

và áp dụng những phép đại số thích hợp trên ma trận. Cùng với ma trận A, ta qui ước
biểu diễn vectơ dòng, áp nhánh và thế đỉnh thứ tự bằng các ma trận cột
nh
i ,
nh
u ,
d

:






















6
5
4
3
2
1
nh
i
i
i
i
i
i
i
;






















6
5
4
3
2
1
nh
u
u
u
u
u
u
u
;














4
3
2
1
d






Như vậy có thể viết lại rất gọn hệ phương trình áp nhánh theo thế đỉnh, và hệ phương
trình theo luật Kirchoff 1 cho các đỉnh dưới dạng ma trận:
dnh
Au

 (1.3)
0iA
nht
 (1.4)
Trong đó
t
A
là nghịch chuyển vị của ma trận A. Ta thấy rằng A là ma trận làm phép
biến đổi các thế đỉnh về áp nhánh.

Ví dụ với Graph trên hình 1.4 ta đã lập ma trận A. Nếu dùng A, ta được quan hệ
nh
u

theo
d

, và hệ phương trình theo luật Kirchoff 1 như sau:

6


























































































21
43
42
32
41
31
4
3
2
1
d
6
5
4
3
2
1
nh
0011
1100
1010
0110
1001

0101
Au











u
u
u
u
u
u

0
011010
010101
101100
100011
iA
542
531
643
621

6
5
4
3
2
1
nht

























































iii
iii
iii
iii
i
i
i
i
i
i

b) Bảng số nhánh – vòng C
Ta có thể mô tả kết cấu của một Graph bằng cách chỉ rõ tập n nhánh đánh số định chiều,
tập b bù cành ứng với các vòng khép kín qua một cây, và chỉ rõ mỗi vòng gồm những
nhánh nào. Có thể mô tả những điều ấy bằng bảng số nhánh – vòng C như sau:

Định một cây. Lập một bảng chữ nhật có b cột đánh số để mô tả các bù cành cùng
những vòng của chúng, và n hàng đánh số để mô tả các nhánh. Nếu một bù cành thứ l
khép vào cây một vòng kín gồm chính nhánh l và những nhánh khác (ví dụ p, q, r, s…)
thì ta sẽ ghi số 1 trên ô giao nhau của cột l với hàng l và với những hàng của các nhánh
khác (p, q, r, s…) thuận chiều vòng với l, và ghi số -1 trên ô giao với những hàng của
các nhánh khác (p, q, r, s…) ngược chiều vòng với l.

Hình 1.7

Ví dụ với Graph trên hình 1.4, chọn cây 1, 2, 4 như hình 1.7, ta sẽ có bảng số C như sau:
Vòng
Nhánh

3 5 6
1 1 1 0
2 -1 -1 1

7
3 1 0 0
4 -1 0 1
5 0 1 0
6 0 0 1
Bảng 1.2 Bảng số nhánh – vòng C

Bảng số nhánh - vòng có các tính chất sau:

 Các số 1, -1 trên mỗi hàng ứng với một nhánh định chiều, chỉ rõ nhánh ấy tham gia
với chiều thuận hay ngược vào những vòng của bù cành nào. Ví dụ nhánh 2 khép
ngược chiều các vòng 3, 5 và khép thuận chiều với vòng 6.
Đối với Graph Kirchoff điều ấy còn nói rõ dòng của nhánh đang xét bằng tổng những
dòng bù cành nào. Ví dụ hàng 2 cho ta quan hệ:
6532
iiii 
 Theo định nghĩa trên mỗi cột ứng với một vòng bù cành nêu rõ vòng đó gồm những
nhánh nào, với chiều thuận hay ngược. Ví dụ cột 3 cho biết về vòng 3 như hình 1.7.
Với Graph Kirchoff nó còn nói rõ trong các nhánh thuộc vòng đang xét, áp nhánh nào
có chiều dương thuận (số 1) với vòng, áp nhánh nào có chiều dương ngược chiều (số -1)
với vòng. Vậy mỗi cột cho ta các hệ số của phép tổng các áp nhánh lấy theo một vòng
bù cành. Ví dụ cột 3 cho ta phương trình cân bằng áp: 0
4321
 uuuu
 Vì bù cành chỉ tham gia vào vòng của nó, nên trên các hàng bù cành chỉ có một số 1,
ví dụ như hàng 3, 5, 6. Vậy bảng C cho ta phân biệt rõ cây và bù cây đã chọn.

Ma trận C:
Giống như ma trận A, đối với Graph Kirchoff ta sẽ phát huy tác dụng của bảng số C nếu
coi nó là ma trận.
Ngoài các ký hiệu
nh
i ,
nh
u ta thêm vào các ma trận cột dòng vòng
v
i hay dòng bù cây
b
i ,
áp vòng
v
u ( 0u
v
 ). Với những ký hiệu đó có thể viết quan hệ giữa
nh
i với
v
i , và viết hệ
phương trình theo luật Kirchoff 2 cho các vòng như sau:
bvnh
CiCii 
(1.5)
0uuC
vnht

(1.6)

Trong đó
t
C là chuyển vị của C . Ta thấy rằng C làm phép biến đổi dòng bù cây hoặc
dòng vòng ra dòng nhánh.
Ví dụ với bảng 1.2 ta viết được vectơ dòng nhánh theo dòng vòng như sau:

















































































6
5
63
3
653
53

6
5
3
b
6
5
4
3
2
1
nh
100
010
101
001
111
011
Cii
i
i
ii
i
iii
ii
i
i
i
i
i
i

i
i
i


8

1.2 Các hiện tượng cơ bản của quá trình điện từ và các phần tử đặc trưng
1.2.1 Toán tử và phương trình trạng thái vùng năng lượng
a) Toán tử
Cho 2 tập biến )(tx và )(ty , ta gọi toán tử
T
định nghĩa trên 2 tập biến ấy là một phép
tác động lên một phần tử )(tx để cho một phần tử )(ty hoặc một phép chỉ ra một phần
tử. Ký hiệu:

T
)(tx = )(ty (1.7)
Trường hợp chung, phép tác động
T
có thể sai khác với
)(ty
một phân bố thời gian
)(tf nào đó, ta có:

T
)(tx + )(tf = )(ty (1.8)
b) Phương trình trạng thái
Về vật lý các luật Kirchoff không mô tả quan hệ giữa dòng và áp trên các vùng năng
lượng, do đó không mô tả được qui luật quá trình năng lượng, tín hiệu điện từ, tức là

hành vi mỗi vùng.
Ta có thể mô tả hành vi mỗi vùng bằng một phương trình riêng gọi là phương trình
trạng thái liên hệ áp )(tu với dòng )(ti , trong đó có thể coi một biến là kích thích và
biến kia là đáp ứng.
Như vậy mỗi phương trình trạng thái mô tả hành vi vùng năng lượng, và ngược lại mỗi
vùng năng lượng đặc trưng bởi một toán tử hành vi
T
và một phương trình nhất định.
Trong kỹ thuật điện người ta gọi toán tử tác động lên biến )(ti cho biến )(tu là toán tử
tổng trở ký hiệu

, và toán tử tác động lên biến )(tu cho biến )(ti là toán tử tổng dẫn
ký hiệu là

.
Vậy theo (1.8), với mỗi vùng năng lượng hoặc mỗi nhánh tồn tại một cặp phương trình
trạng thái dạng:
)(tu =

)(ti +
)(
1
tf
(1.9a)
)(ti =

)(tu +
)(
2
tf

(1.9b)
Ta gọi dạng phương trình trạng thái dạng (1.9) là luật Ohm tổng quát của vùng năng
lượng.
Đối với mô hình mạch phép
T
có thể hoặc là phép nhân một số hoặc hàm, hoặc những
phép đạo hàm, tích phân theo thời gian, hoặc tổ hợp của các phép đó.

1.2.2 Hiện tượng tiêu tán, điện trở, điện dẫn
Khi có dòng điện
i
chảy trong vật dẫn thì sẽ có hiện tượng tiêu tán trên vật dẫn, biến
năng lượng điện từ thành nhiệt năng. Xét một vùng coi là thuần tiêu tán, công suất điện
từ tiếp nhận phải không âm:

0 uip
r

Nghĩa là đối với vùng ấy dòng và áp luôn cùng chiều, tức là có thể viết phương trình
trạng thái dưới dạng một quan hệ hàm với hệ số dương giữa
u
và
i
:

9

ri
u


hoặc
gu
i

(1.10)
(1.10) chính là luật Ohm quen biết.
Ta gọi các hệ số đặc trưng
r
,
g
thứ tự là điện trở và điện dẫn của vật dẫn. Chúng có
những ý nghĩa như sau:

 Đó chính là những toán tử trở và toán tử dẫn của vùng thuần tiêu tán:


=
r
và

=
g
(1.11)
 Đối với vùng tiêu tán ta có:

2
i
p
i
u

r  (1.12)

2
u
p
u
i
g 
(1.13)
Như vậy điện trở
r
là một thông số đo khả năng tiêu tán của vật dẫn, theo (1.12)
nó bằng lượng tăng công suất tiêu tán khi tăng kích thích dòng
22
1Ai 
. Cũng
như vậy điện dẫn
g
là thông số bằng lượng tăng công suất khi tăng thêm kích
thích điện áp
22
1Vu  .

Trong hệ SI đơn vị của điện trở là Om (ký hiệu Ω), và đơn vị của điện dẫn là Simen (ký
hiệu là
S
).
Trong mô hình mạch Kirchoff ta ký hiệu vùng tiêu tán và toán tử
r
,

g
bằng một ô chữ
nhật như hình 1.8, gọi nó là phần tử điện trở hoặc phần tử điện dẫn của nhánh.

Hình 1.8

1.2.3 Hiện tượng kho điện, điện dung
Nếu hai vật dẫn ngăn cách nhau bởi chân không hoặc điện môi, được đặt tương đối gần
nhau với những mặt đối nhau tương đối rộng, khi đặt lên chúng một điện áp
u
thì trong
lân cận cặp vật dẫn sẽ tập trung một điện trường với năng lượng
E
w
, hình thành một
kho điện.

Dưới điện áp
u
(coi là kích thích), muốn làm thêm lên cặp vật dẫn những hạt mang điện
dq

(điện tích dương nạp lên vật có thế cao hơn) cần làm một công tích năng lượng
vào kho:
udqdw
E
 (1.14)
Lưu ý rằng trong những điều kiện thông thường điện tích
q
nạp trên các vật dẫn phụ

thuộc vào điện áp
u
, tức là )(uqq

, như vậy công suất tích năng lượng vào kho sẽ là:

10
ui
dt
du
u
q
u
dt
dq
u
dt
dw
p
E





Từ đó suy ra được phương trình trạng thái kho điện như sau:

dt
du
u

q
i



(1.15)
Ta gọi hệ số của phương trình (1.15) là điện dung của cặp vật dẫn, hoặc của kho điện,
ký hiệu là
C
:

u
q
uC


)( (1.16)
Phương trình trạng thái kho điện được viết lại như sau:

dt
du
Ci 
hoặc

 dt
C
i
u
(1.17)
Ứng với các toán tử dẫn và trở:

dt
d
C ;


C
dt
(1.18)

Điện dung
C
là thông số đặc trưng của kho điện. Nó có những ý nghĩa sau:
 Nó là hệ số của phương trình trạng thái và toán tử dẫn của kho điện.
 Tùy theo quan hệ (1.19) là tuyến tính ( constC

hay )(tCC

), hay phi tuyến
)(uCC

, nó quyết định phương trình trạng thái là tuyến tính hay phi tuyến.
 Theo (1.16) nó là thông số đo dung tích nạp điện của kho điện dưới tác dụng
của điện áp (
C
bằng
q
nạp được dưới điện áp 1 V)
 Về mặt năng lượng ta có:
2

2
du
CuCdudu
u
q
uudqdw
E




Tức là nó đo dung tích nạp năng lượng của kho dưới tác dụng của
2
u
(
E
dwC 2 khi tăng
2
du
thêm một đơn vị).

Trong hệ SI đơn vị của điện dung là Farad, ký hiệu là F. Trong sơ đồ mạch Kirchoff ta
ký hiệu kho điện như hình 1.9 trên đó ghi chữ C.


Hình 1.9

1.2.4 Hiện tượng kho từ, điện cảm, hỗ cảm
Khi trong một dây dẫn hoặc cuộn dây có dòng điện
i

, thì trong vùng lân cận (kho từ)
của vật dẫn thường tập trung một từ trường với năng lượng
M
w . Nó liên quan với dòng
điện
i
theo qui luật vật lý: khi do nguyên nhân nào đó nạp thêm vào cuộn dây một

11
lượng tăng từ thông

d , chiều dương của

lấy phù hợp với của
i
theo qui tắc vặn
nút chai thuận, thì kho từ sẽ được nạp thêm một năng lượng:
 iddw
M
(1.19)
Do đó công suất nạp năng lượng vào kho từ sẽ là:
ui
dt
d
i
dt
dw
p
M
M



 (1.20)

Cân bằng 2 vế của phương trình (1.20 ) ta thu được biểu thức mô tả quan hệ giữa điện
áp cảm ứng
k
u trong cuộn dây thứ k với từ thông nạp vào nó:

dt
d
u
k
k

 (1.21)
Trong đó chiều dương của
k
u chọn giống của
k
i , tức là phù hợp với chiều dương từ
thông theo qui tắc vặn nút chai thuận.
Trong những quá trình không quá nhanh thường có thể coi từ thông

là hàm của dòng
k
i trong cuộn dây đó và dòng
l
i ,
m

i ,… trong những cuộn dây thứ l, m khác:

, ),,(
mlkkk
iii
(1.22)
Kết hợp (1.21) và (1.22) ta sẽ có phương trình trạng thái kho từ:














dt
di
idt
di
idt
di
i
u
m

m
kl
l
kk
k
k
k
(1.23)
Trong phương trình (1.23) số hạng đầu chỉ sự phụ thuộc vào biến thiên dòng trong cuộn
k, gọi là điện áp tự cảm
kL
u . Những số hạng còn lại phụ thuộc vào dòng của những cuộn
khác, gọi là điện áp hỗ cảm
kM
u trong cuộn k.

a) Hiện tượng tự cảm
Ta gọi đạo hàm của từ thông
k
 theo dòng
k
i là hệ số tự cảm hoặc điện cảm của cuộn
dây, ký hiệu là
k
L :

k
k
kk
i

iL


)( (1.24)
Khi đó phương trình trạng thái gắn với điện áp tự cảm sẽ có dạng:

dt
di
Lu
k
kLk
 hoặc

 dt
L
u
i
k
kL
k
(1.25)
Tức là:
dt
d
L
L
 ; dt
L
L



1
(1.26)

Điện cảm L là thông số của kho từ, nó có những ý nghĩa sau:
 Nó là hệ số của phương trình trạng thái và của toán tử trở kho từ. Phương trình
trạng thái (1.25) sẽ là tuyến tính hay phi tuyến tùy thuộc vào L là tuyến tính
( constL

hay )(tLL

) hay phi tuyến ( )(iLL

).

12
 Theo (1.24), L đo dung tích nạp từ thông của kho từ dưới kích thích của dòng
k
i
.
 Về mặt năng lượng ta có:
2
2
k
kkkkk
k
k
kkkL
di
LdiLidi

i
ididw 



Tức là L đo dung tích nạp năng lượng của kho từ dưới kích thích
2
k
i
.

Đơn vị của điện cảm trong hệ SI là Henry, ký hiệu là H. Trong sơ đồ mạch Kirchoff ta
ký hiệu kho từ tự cảm như hình 1.10, trên đó ghi chữ L. Chiều dương của
L
u và
L
i chọn
như nhau với hệ số
L
>0.

Hình 1.10
b) Hiện tượng hỗ cảm
Xét một điện áp hỗ cảm
kM
u trong cuộn thứ k, ta gọi hệ số của áp này là hệ số hỗ cảm
kl
M của cuộn thứ k bởi dòng trong cuộn thứ l:

l

k
kl
i
M


 (1.27)
Phương trình trạng thái gắn với quá trình hỗ cảm của 2 cuộn dây sẽ là:

dt
di
Mu
l
klkl
 (1.28)
Toán tử hỗ trở (tác động lên dòng
l
i
của cuộn l) sẽ là:

dt
d
iM
lkl
)(
(1.29)

Hệ số hỗ cảm
kl
M giữa 2 cuộn dây có những ý nghĩa sau:

 Nó là hệ số của toán tử hỗ trở (1.29), và của phương trình trạng thái (1.28). Nó
quyết định tính chất tuyến tính hay phi tuyến của phương trình (1.28).
 Theo (1.27) nó đo dung tích nạp từ thông của kho từ k bởi dòng kích thích trong
cuộn thứ l.
 Về mặt năng lượng:
Trong môi trường tuyến tính, hệ số hỗ cảm
kl
M ,
lk
M giữa 2 cuộn l và k bằng
nhau:

kl
M
=
lk
M
=
M
(1.30)
Như vậy, khi cả 2 dòng
l
i ,
k
i đều biến thiên, trên 2 cuộn dây có những áp hỗ
cảm được tính như sau:

dt
di
Mu

l
Mk
 ;
dt
di
Mu
k
Ml
 (1.31)
Khi đó năng lượng nạp thêm vào cả 2 kho từ sẽ là:

13
)()(
klkllkl
k
k
l
lMlkMk
iiMddiidiiMdti
dt
di
Mdti
dt
di
Mdtiudtiudw 

Suy ra:
)(
kl
iid

dw
M 

Như vậy M là thông số đo dung tích nạp năng lượng vào một cặp kho từ dưới tác
dụng của kích thích
kl
ii
.
Đơn vị của hỗ cảm M cũng là Henry.

Cực tính cuộn dây và dấu của hệ số M:
Khi viết phương trình trạng thái (1.28) liên hệ áp dòng của một cặp cuộn dây, cần xác
định dấu của M theo chiều dương của các biến đã chọn cho mỗi cuộn dây.

Chiều dương của
k

được chọn phù hợp với chiều dương của
k
i
theo qui tắc vặn nút
chai thuận. Vì vậy nếu 2 cuộn dây sắp đặt trong không gian sao cho khi 0
l
di sẽ nạp
thêm vào cuộn k một lượng 0
k
d , tức là cùng chiều như khi tăng 0
k
di , thì với
chiều dương

Mk
u và
k
i đã chọn trùng nhau trong cuộn k sẽ có 0
Mk
u và do đó trong
phương trình (1.28) ta sẽ có 0

M .
Nếu ngược lại lượng từ thông nạp thêm
0
k
d
, tức là
0
Mk
u
, ta phải lấy
0

M
.
Ta thường ký hiệu quan hệ hỗ cảm giữa 2 cuộn dây bằng chữ M và mũi tên hai chiều
như hình 1.11, và thường dùng cách đánh dấu vào một cực cuộn dây để dễ xác định dấu
phương trình (1.28). Ta qui ước khi các dòng
l
i ,
k
i cùng đi vào (hoặc cùng đi ra khỏi)
những cực đánh dấu ấy, mà từ thông do 2 dòng đó nạp vào mỗi cuộn dây cùng chiều

nhau, nghĩa là đều phù hợp với chiều dòng điện mỗi cuộn theo qui tắc vặn nút chai
thuận, thì 2 cực như vậy được gọi là cùng cực tính.
Như vậy nếu chiều dương dòng (ví dụ
l
i
) và áp hỗ cảm (
Mk
u
) chọn giống nhau đối với
hai cực cùng tính ta có:

dt
di
Mu
l
Mk
 ;
dt
di
Mu
k
Ml
 ( 0

M )
Nếu chiều dương các lượng đối với hai cực cùng tính chọn khác nhau thì ta có:

dt
di
Mu

l
Mk
 ;
dt
di
Mu
k
Ml
 (
0

M
)


Hình 1.11


14
1.2.5 Hiện tượng nguồn
a) Nguồn áp u(t), nguồn sức điện động e(t)
Định nghĩa:
Nguồn áp hay nguồn sức điện động là một phần tử sơ đồ mạch Kirchoff có đặc tính duy
trì trên các cực một hàm áp, còn thường gọi là sức điện động e(t), xác định trong thời
gian, không phụ thuộc vào dòng chảy qua nó.
Theo luật Ohm nó có phương trình trạng thái:

)()( tetu

(1.32)

Trong sơ đồ mạch ta ký hiệu nguồn sđđ bằng một vòng tròn với mũi tên bên trong để
chỉ chiều tăng điện thế, hoặc với cặp dấu “ + -“ để chỉ rõ chiều dương của áp (cực nào
có thế cao hơn) như hình 1.12:


Hình 1.12
Nếu lấy chiều dương áp u(t) trên các cực như trong hình , theo chiều ấy ta có phương
trình trạng thái (1.32). Nếu lấy chiều dương của áp u(t) thuận chiều mũi tên của e(t) ta
sẽ có:
)()( tetu


(1.33)
Chú ý:
 Toán tử trở của nguồn sđđ bằng 0
 Một hàm e(t) không phụ thuộc vào dòng i(t)

Nếu nguồn e(t) bơm qua nó một dòng i(t) với chiều dương trùng với chiều sđđ thì công
suất tiếp nhận sẽ bằng:

ei
ui
p



(1.34)
tức là công suất phát ra sẽ bằng:

eipp

f

(1.35)
Như vậy e là thông số đo khả năng phát của nguồn, nó bằng công suất phát ra khi nguồn
bơm qua nó một dòng 1A.

a) Nguồn dòng j(t)
Định nghĩa:
Nguồn dòng j(t) là một phần tử sơ đồ mạch Kirchoff có đặc tính bơm qua nó một hàm
dòng j(t) xác định, không phụ thuộc vào áp trên các cực.
Theo luật Ohm nó có phương trình trạng thái:
)()( tjti

(1.36)

15
Trong sơ đồ mạch ta ký hiệu nó bằng một vòng tròn với mũi tên kép chỉ rõ chiều dương
dòng điện bơm qua nó như hình 1.14:


Hình 1.14

Chú ý:
 Toán tử dẫn của nguồn dòng bằng 0, tức là điện trở trong vô cùng lớn
 Một hàm j(t) không phụ thuộc vào áp u(t) trên cực.
Khi chiều dương của u, j trùng nhau, thì công suất nguồn dòng phát ra là

ujp
f


(1.37)

1.2.6 Các phương trình biến nhánh của mạch Kirchoff
a) Hệ phương trình mạch kích thích bởi nguồn e(t)

Hình 1.15
Xét một sơ đồ mạch Kirchoff có d đỉnh, n nhánh thụ động với 2n biến dòng, áp nhánh
và kích thích thuần nguồn sđđ nối tiếp trong các nhánh. Ta có hệ phương trình sau:


 0
k
i
(1.38)




kk
eu (1.39)



lklkkk
iiu (1.40)
Trong đó toán tử
k

nhánh có dạng tổng quát:



k
kkk
C
dt
dt
d
Lr (1.41)
Và toán tử hỗ trở thường là hỗ cảm dạng:

dt
d
M
klkl
 (1.42)
Do mỗi áp nhánh có quan hệ toán tử xác định với dòng nhánh, nên có thể thay (1.40)
vào (1.39), ta sẽ có:


 0
k
i
(1.43)




kk
eu

(1.44)





klklkk
eii
(1.45)

16

b) Hệ phương trình mạch kích thích bởi nguồn j(t)
Vẫn sơ đồ mạch Kirchoff với các số d, n, nhưng giả sử kích thích bởi những nguồn
dòng )(tj
k
ghép song song vào nhánh thụ động có toán tử dẫn
k
 , lập thành những cặp
như hình 1.16. Gọi
k
i là dòng chảy qua n phần tử dẫn
k
 . Ta có hệ phương trình sau:




kk
ji

(1.46)


 0
k
u (1.47)

kkk
ui 
(1.48)
Toán tử dẫn
k
 có dạng tổng quát:

dt
d
C
L
dt
g
k
k
kk


(1.49)
Thay (1.48) vào (1.46) ta có:





kkk
ju
(1.50)


 0
k
u
(1.51)

Hình 1.16
b) Hệ phương trình mạch kích thích hỗn hợp
Xét sơ đồ mạch Kirchoff với d đỉnh,và n nhánh thụ động, nếu coi hệ kích thích hỗn hợp
bởi các nguồn sđđ nối tiếp vào một số nhánh thụ động và các nguồn dòng ghép song
song vào một số nhánh ấy. Giả thiết mỗi nhánh thụ động ứng với một toán tử
k
 hoặc
k

xác định, ta có hệ phương trình sau:




kk
ji
(1.52)





kk
eu
(1.53)



lklkkk
iiu hoặc
kkk
ui  (1.54)

17
Chương 2: Mạch tuyến tính ở chế độ xác lập điều hòa

2.1 Khái niệm mạch tuyến tính ở chế độ xác lập điều hòa
2.1.1 Một số khái niệm
Mạch điện tuyến tính:
 Là mạch điện có mô tả toán học là hệ phương trình (vi phân hoặc đại số) tuyến
tính.
 Về cấu trúc mạch điện tuyến tính chỉ chứa các phần tử tuyến tính r, L, C.
Tính chất của mạch điện tuyến tính:
 Quan hệ dòng-áp ở mọi nhánh, bộ phận là tuyến tính
 Mạch tuyến tính thỏa mãn nguyên lý xếp chồng
 Khi tác động là nguồn hình sin, tần số

, thì đáp ứng dòng ở áp mọi nhánh cũng
là hình sin, cùng tần số


, và chỉ khác pha.
Chế độ xác lập:
 Chế độ xác lập trong mạch điện là trạng thái dòng áp chỉ phụ thuộc vào nguồn
và cấu trúc mạch, mà không phụ thuộc vào trạng thái ban đầu (t=0)
2.1.2 Biến trạng thái điều hòa và các thông số đặc trưng
Biến trạng thái điều hòa có dạng:
)sin()(

 tIti
m
hay )cos()(

 tIti
m

)sin()(

 tUtu
m
hay
)cos()(

 tUtu
m

a) Đặc trưng của biến điều hòa
Ta thấy rằng những đặc trưng của một biến điều hòa là biên độ
m
I ,
m

U ,
m
E v.v , ký
hiệu bằng chữ in hoa với chỉ số m hay max) và góc pha )(



t . Trong đó góc pha là
sự kết hợp của hai đại lượng đặc trưng là tần số góc

(đơn vị là rad/s), và góc pha ban
đầu

(đơn vị là rađian) khi 0

t .
Mỗi lượng nêu rõ một khía cạnh của hàm điều hòa. Biên độ
m
I
,
m
U
,
m
E
là giá trị cực
đại của biến điều hòa, nói nên cường độ của quá trình. Lượng )(




t đo bằng rađian
là một góc xác định trạng thái (pha) của biến điều hòa ở mọi thời điểm
t
, do đó gọi là
góc pha.
Trong biểu thức góc pha, tần số

đo tốc độ biến thiên của hàm điều hòa và góc pha
đầu

nói rõ trạng thái đầu ở khởi điểm thời gian khi
0

t
, ví dụ

sin)0(
m
Ii 
.
Do vậy cặp biên độ - pha, ví dụ (
m
I , )(



t ), làm thành một cặp thông số đặc trưng
của hàm điều hòa.

18

m
I
i

t

0

)
4
sin(


 tIi
m

HÌNH 2.1 Dòng điều hòa hàm sin

m
I
i

t

0

)
4
cos(



 tIi
m

HÌNH 2.2 Dòng điều hòa hàm cos
b) Tần số, chu kỳ
Chu kỳ
T
là khoảng thời gian ngắn nhất để hàm lặp lại trạng thái cũ, hay nói cách khác
chu kỳ là khoảng thời gian để pha biến thiên một lượng

2 , tức là:



2

T
(2.1)
Với khái niệm tần số
T
f
1

(là số chu kỳ trong 1 giây), ta có:

f


2


(2.2)
c) Các biến điều hòa cùng tần số
Khi các biến điều hòa có cùng một tần số, chúng chỉ phân biệt nhau về biên độ và góc
pha đầu. Vậy mỗi hàm điều hòa khi đó được đặc trưng bởi một cặp số biên độ-pha đầu
như (
m
I ,
i

), (
m
U ,
u

).
Trong trường hợp này để so sánh hai hàm điều hòa, ví dụ điện áp và dòng điện trên một
nhánh Kirchoff, chỉ cần biết rõ biên độ của chúng gấp bao nhiêu lần nhau, góc pha của
hàm này lớn hơn (sớm hơn) hay bé hơn (chậm hơn) của hàm kia bao nhiêu.


19
Khi đó góc lệch pha giữa hai hàm sẽ là hiệu số góc pha đầu. Ví dụ góc lệch pha giữa
)sin()(
um
tUtu


và
)sin()(

im
tIti


sẽ là:

iuiu
tt

 )()(
(2.3)
Nếu
0
iu

, ta nói điện áp sớm pha hơn dòng điện một góc

, ngược lại nếu
0
iu

, ta nói điện áp chậm pha hơn dòng điện.
d) Trị hiệu dụng của hàm điều hòa
Xét một dòng chu kỳ )(ti chảy qua một nhánh đặc trưng về tiêu tán bởi thông số
r
với
công suất tiêu tán )()(
2
tritp  . Năng lượng tiêu tán trong một chu kỳ là:



T
dttriA
0
2
)(
(2.4)
Nếu cũng trên nhánh đó, bây giờ cho chảy qua dòng không đổi
I
, năng lượng tiêu tán
trong thời gian
T
sẽ là
T
rI
2
.
Với dòng chu kỳ )(ti đã cho, có thể tìm được một dòng không đổi
I
tương đương về
mặt tiêu tán, sao cho năng lượng tiêu tán trong một chu kỳ bằng nhau:



T
dttriTrI
0
22
)(

(2.5)
Ta gọi giá trị dòng không đổi
I
tương đương về mặt tiêu tán với dòng chu kỳ )(ti là giá
trị hiệu dụng của dòng chu kỳ, ký hiệu là chữ hoa
I
. Nó liên hệ với công suất tiêu tán
trung bình
P
trên điện trở theo công thức:


P
2
rI
(2.6)
Từ công thức (2.5) ta có công thức tính trị hiệu dụng của dòng chu kỳ:



T
dtti
T
I
0
2
)(
1
(2.7)
Tương tự ta có giá trị hiệu dụng của điện áp )(tu và suất điện động )(te như sau:



T
dttu
T
U
0
2
)(
1
(2.8)



T
dtte
T
E
0
2
)(
1
(2.9)
Riêng đối với các biến điều hoà ta có:

2
2cos21
sin)(
2222

t
ItIti
mm



 (2.10)
Thay (2.10) vào (2.7) và chú ý rằng tích phân trong chu kỳ của hàm t

2cos bằng
không, ta được trị hiệu dụng của hàm điều hòa:

20

2
m
I
I  (2.11)
Tương tự ta có:

2
m
U
U  (2.12)

2
m
E
E 
(2.13)

2.1.3 Biểu diễn các biến điều hòa bằng đồ thị vectơ
Trên mặt phẳng pha ta biểu diễn một hàm điều hòa bằng một đoạn thẳng có độ dài bằng
trị hiệu dụng và làm với trục ngang một góc
)(



t
. Đó là những vectơ quay quanh
gốc với tần số góc

. Ta gọi vectơ biểu diễn ấy là đồ thị vectơ của hàm điều hòa.
I



I
0

HÌNH 2.3 Đồ thị vectơ của hàm điều hòa
Đối với các hàm điều hòa có cùng một tần số

, ta biểu diễn các hàm đó trên mặt
phẳng pha bằng những vectơ có độ dài bằng trị hiệu dụng EUI ,, và làm với trục ngang
một góc bằng góc pha ban đầu

.
Với cách biểu diễn trên thì mỗi điểm cố định trên mặt phẳng pha ứng với một vectơ
phẳng, sẽ biểu diễn một hàm điều hòa (sin hoặc cos tùy theo cách qui ước) với trị hiệu
dụng chạy từ 0 đến


và góc pha đầu từ 0 đến

2 dạng:
),(
i
II





)(2
sin
cos i
tI



6/


2
I
0

1
I
3/


3
2

HÌNH 2.4 Đồ thị vectơ của các hàm điều hòa cùng tần số

21
Ví dụ: )
3
,3(
1


I

)
3
sin(32
1


 ti

)
6
,2(
2


I



)
6
sin(22
2


 ti

Phương pháp biểu diễn các biến điều hòa bằng đồ thị vectơ có các đặc điểm sau:
 Cách biểu diễn rất gọn và rõ, nêu được rõ giá trị hiệu dụng, góc pha và góc lệch
pha của hàm điều hòa.
 Rất tiện lợi cho việc cộng trừ các hàm điều hòa cùng tần số.
Ví dụ để cộng trừ hai biến:
)sin(2
111

 tIi


),(
111

II


và
)sin(2
222


 tIi


),(
222

II


để thành
)sin(2

 tIi


),(

II


ta chỉ việc cộng trừ hai vectơ biểu diễn

 III
21

Vectơ hợp thành ),(

II


sẽ cho trị hiệu dụng và pha đầu của dòng tổng hoặc
hiệu cần tìm.

2
I
0

1
I

I
1


2


HÌNH 2.5 Cộng hai vectơ
2.2 Phản ứng của nhánh đối với kích thích điều hòa
2.2.1 Phản ứng của nhánh thuần trở
Phương trình trạng thái của nhánh thuần trở
r
có dạng:
rr
riu 
Giả sử
tIi
rr

sin2

, ta có:

trIu
rr

sin2
(2.14)
Gọi trị hiệu dụng của áp là
r
U
, ta có:

tUu
rr

sin2
(2.15)
Ta thấy rằng điện áp và dòng điện trên điện trở cùng pha với nhau, tức là:

irur

 hay 0
irurr

(2.16)

22
Và hiệu dụng của áp gấp
r
lần hiệu dụng của dòng:

rr
rIU 
hay
r
I
U
Z
r
r
r

(2.17)

r
U
0



r
I
i

2
t

0
u
r

i
r
u

t
T

HÌNH 2.6 Quan hệ áp dòng trong nhánh thuần trở với kích thích điều hòa
Quá trình năng lượng:
Vì
r
u
và
r
i
cùng pha nên luôn cùng chiều nhau, do đó công suất tiếp nhận không âm,
năng lượng điện từ luôn đưa từ nguồn đến và biến đổi hết thành nhiệt:
0)2cos1(sin2
2
 tIUtIUiup
rrrrrrr


Công suất tiêu tán trung bình sẽ là:

2
rrrr
rIIUP  (2.18)
2.2.2 Phản ứng của nhánh thuần cảm
Phương trình trạng thái của nhánh thuần cảm có dạng:

dt
di
Lu
L
L

Giả sử tIi
LL

sin2 , ta có:

)
2
sin(2cos2


 tLItLIu
LLL
(2.19)
Gọi hiệu dụng của điện áp là
L
U , ta có:
)sin(2
uLLL
tUu

 (2.20)
Ta thấy điện áp trên điện cảm sớm pha hơn dòng điện một góc:

2




iLuLL
(2.21)
Và hiệu dụng điện áp quan hệ với hiệu dụng dòng điện theo công thức:

LL
LIU

 hay
L
L
L
L
xL
I
U
Z 

(2.22)

23
L
x
được gọi là tổng trở đối với dòng xoay chiều hình sin của điện cảm
L
, hay còn gọi
là điện kháng.


L
U
2/


L

L
I
i

2
t

0
u
L
i
L
u

t
T
2



L

HÌNH 2.7 Quan hệ áp dòng trong nhánh thuần cảm với kích thích điều hòa

Quá trình năng lượng:
Do
L
u và
L
i lệch pha nhau
2

nên từ hình … ta thấy cứ 1/4 chu kỳ
L
u và
L
i cùng chiều
(
0
L
p
), 1/4 chu kỳ tiếp theo
L
u
và
L
i
ngược chiều (
0
L
p
). Tức là cứ 1/4 chu kỳ
đưa năng lượng từ nguồn đến nạp vào từ trường trong kho, và 1/4 chu kỳ tiếp theo lại
phóng trả năng lượng từ kho ra ngoài. Vậy năng lượng điện từ dao động, tích phóng và

không tiêu tán.
tIUiup
LLLLL

sin2 tIUt
LL

2sincos 
Công suất này dao động với tần số

2
, với giá trị trung bình
0
L
P
.
Công suất dao động năng lượng có biên độ bằng
LL
IU
, ký hiệu là
L
Q
:

2
LLLLL
IxIUQ 
(2.23)
L
Q được gọi là công suất phản kháng của phần tử điện cảm ở dòng điều hòa, có đơn vị

là VAr (Volt-amper phản kháng).
2.2.3 Phản ứng của nhành thuần dung
Phương trình trạng thái của nhánh thuần cảm có dạng:
dt
du
Ci
C
C
 hay
dt
di
C
u
C
C


1

Giả sử
tIi
CC

sin2
, ta có:
)
2
sin(
1
2cos

1
2





 tI
C
tI
C
u
CCC
(2.24)
Gọi hiệu dụng của điện áp là
C
U , ta có:

)sin(2
uCCC
tUu


(2.25)

24
Ta thấy điện áp trên nhánh thuần dung chậm pha hơn dòng điện một góc:

2




iCuCC
(2.26)
Và hiệu dụng điện áp quan hệ với hiệu dụng dòng điện theo công thức:

CC
I
C
U

1

hay
C
C
C
C
x
CI
U
Z 

1
(2.27)
C
x
được gọi là tổng trở đối với dòng xoay chiều hình sin của điện dung
C
, hay còn gọi

là điện kháng.

C
U
2



C

C
I
i

2
t

0
u
C
i
C
u

t
T
2




C

HÌNH 2.8 Quan hệ áp dòng trong nhánh thuần dung với kích thích điều hòa
Quá trình năng lượng:
Giống như trường hợp kho từ, có sự nạp phóng năng lượng điện từ giữa kho điện và
phần mạch ngoài, với công suất tiêu tán trung bình
0
C
P
.
Công suất dao động theo hàm:
tIUtItI
C
iup
CCCCCCC


2sin)sin2)(cos
1
2( 

Trong đó biên độ dao động công suất được gọi là công suất phản kháng của điện dung:

2
CCCCC
IxIUQ  (2.28)
Chú ý rằng khi dòng điện qua
L
và
C

bằng nhau (khi chúng nối tiếp nhau), điện áp và
do đó công suất dao động trên điện cảm và điện dung luôn trái dấu nhau, khi 0
L
p
(điện cảm nạp năng lượng) thì 0
C
p (điện dung phóng năng lượng).
2.2.4 Phản ứng của nhánh nối tiếp r-L-C
Xét một nhánh nối tiếp r-L-C như hình 2.9a. Gọi điện áp trên nhánh là
u
, trên mỗi phần
tử
r
,
L
,
C
thứ tự là
r
u
,
L
u
,
C
u
. Áp dụng luật Kirchoff 2 ta có:

CLr
uuuu 

(2.29)
Giả sử dòng điện chạy qua nhánh có dạng: